Obsah přednášky 1.Počátky kvantové mechaniky, vlny vs. částice 2. 2.Operátory a matematický aparát, reprezentace a vzájemné transformace 3. 3.Postuláty kvantové mechaniky 4. 4.Schrödingerova rovnice a její 1D řešení 5. 5.Moment hybnosti, 3D problematika a atom vodíku 6. 6.Identické částice 7. 7.Elementarizace pro střední školy 8. Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 2 Shrnutí Diskrétní spektrum: Vázané stavy se vyskytují vždy, pokud částice nemůže uniknout do nekonečna. Čili částice je uvězněna/vázána v omezeném prostoru, Pohyb částice je tzv. limitní. V takovém případě jsou řešení SR pouze ta diskrétní. Toto platí např. pro harmonický oscilátor či nekonečnou potenciálovou jámu. Jejich vlnové funkce jsou konečné/nulové pro x jdoucí do +- nekonečna. Tyto stavy pak mají energie menší než daný potenciál. Kontinuální spektrum: Nevázané, čili volné stavy nastávají, pokud není pohyb částice potenciálem omezen/vázán - typicky jde třeba o volnou částici. Pohyb takové částice je infinitní. Řešení 1D problémů: •Rozdělíme x-ový 1D prostor do význačných intervalů •Zapíšeme Schrödingerovu rovnici a vyřešíme ji pro dané intervaly •Aplikujeme fyzikální intuici, standardní podmínky na vlnové funkce, a řešení specifikujeme •Normalizujeme vlnové funkce •Aplikujeme okrajové podmínky (podmínky spojitosti) a řešení dále specifikujeme •Spočítáme koeficient reflexe či transmise, pokud bylo v zadání Řešení pro harmonický oscilátor: Řešením SR pro periodický potenciál je pásová struktura: A black and white math equation Description automatically generated A close-up of a white background Description automatically generated A graph of a function Description automatically generated A graph with a line going up Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 3 Moment hybnosti V předchozích přednáškách jsme se zabývali 1D problémy z kvantové teorie. Logickým dalším krokem je řešení problémů v 3D, jako například atom vodíku, ovšem k tomu je zapotřebí pochopení momentu hybnosti a práce s ním. Moment hybnosti je zapotřebí hlavně k pochopení pohybu v centrálním, kulově symetrickém potenciálovém poli, , neboť zůstává zachován – je integrálem pohybu. Vzpomeňme, již Bohrův model atomu byl založen na kvantifikaci momentu hybnosti. Moment hybnosti je tak zásadním pro popis pohybu elektronů v atomech, rotaci molekul a jaderných systémech. Klasická mechanika definuje moment hybnosti jako: Jak už vlastně víme, lze jej přepsat pro kvantovou mechaniku použitím operátorů a V kartézských souřadnicích tedy: A black and blue symbol Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A white rectangular object with black lines and letters Description automatically generated A math equations on a white background Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A group of symbols on a white background Description automatically generated 4 Moment hybnosti Uvědomme si, že jak komponenty tak i mocnina momentu na druhou jsou operátory Hermiteovské. Protože vzájemně komutují a také, a protože Pak můžeme psát: Jmenovitě tedy: Složky momentu hybnosti tedy nekomutují a nejsou současně měřitelné. Výše uvedené platí pro operátory které jsou odvozeny ze souřadnicové reprezentace, ovšem platí pro jakoukoliv, jak už víme. V dalším výkladu se budeme soustředit na práci s momentem hybnosti bez vztahu k reprezentacím. Uvažujme nyní obecně operátor momentu hybnosti , který je definován následujícími (identickými, viz výše) relacemi: Druhá mocnina: ovšem s jednotlivými složkami komutuje: a je dobré si uvědomit, že všechny čtyři operátory jsou Hermiteovské, jejich vlastní hodnoty jsou reálné. A black and white text Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated A black and white image of letters Description automatically generated with medium confidence A math equations with black text Description automatically generated with medium confidence Symbols of mathematical symbols with arrows and symbols Description automatically generated A black and white logo Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 5 Moment hybnosti - vlastní hodnoty Protože komutuje s každou komponentou a , ale komponenty vzájemně nekomutují, vezměme vztah kvadrátu a komponenty a uvažujme jejich vlastní stavy (které jsou sdílené) a vlastní hodnoty. Označme sdílené vlastní stavy: a sdílené vlastní hodnoty a , následujícím způsobem: Redukovaná Planckova konstanta je zde uvedena pro bezrozměrnost vlastních stavů. Planckova konstanta má rozměr momentu hybnosti, a tedy: Uvažujme také, že tyto sdílené vlastní stavy jsou ortogonální: Vlastní hodnoty můžeme získát výpočtem pomocí dvou operátorů, podobně jako pro harmonický oscilátor, které zvyšují či snižují stav systému, tyto operátory jsou následující: Výpočet vede na: Ve výsledku tedy: Tato kvantová čísla znáte již z mikrosvěta, celkově tedy: Vrátíme se k tomuto výpočtu při řešení momentu hybnosti v centrálním poli… A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A set of symbols with arrows Description automatically generated A black and white image of a letter Description automatically generated with medium confidence A black and white image of letters Description automatically generated with medium confidence A black and white image of letters Description automatically generated A group of symbols with black text Description automatically generated with medium confidence A black and white photo of a word Description automatically generated A black and white text Description automatically generated with medium confidence A black and white rectangular object with symbols Description automatically generated A black and yellow symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white text Description automatically generated with medium confidence A white rectangular with black lines and a black and white rectangular with a black and white line and a black and white rectangular with a black and white line and a black and white rectangular with a black Description automatically generated a Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 6 3D problematika Nyní se budeme zabývat s problémy v 3D prostoru. Provedeme několik výpočtů pro kartézské souřadnice, abychom pak přešli k prostoru popsanému sférickými souřadnicemi. V 3D kartézském prostoru pouze generalizujeme naše předešlé výpočty k porozumění reálnějších situací. Na rozdíl od 1D problémů, v 3D již budou výsledné stavy degenerované – což nastává, když uvažovaný potenciál vykazuje symetrii. Obecný postup je následující: nejdříve budeme separovat proměnné. Časově závislá SR ve 3D pro částici bez spinu o hmotnosti m vypadá následovně: Kde operátor je Laplacián definovaný následovně: Pro časově nezávislý potenciál V je řešením následující vlnová funkce, jak už jsme si ukázali: Kde je řešení časově nezávislé SR: Kterou známe ve tvaru: Obecné řešení této rovnice je náročné, ovšem pro případ, kdy můžeme rozdělit potenciál do součtu tří nezávislých členů: můžeme použít techniku separace proměnných. Tedy rozdělíme SR do tří nezávislých 1D SR rovnic: A black and white symbols Description automatically generated with medium confidence A group of math symbols Description automatically generated A black and orange symbols Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 7 3D problematika V této rovnici pak jednotlivé členy můžeme zapsat následovně (pro všechny prostorové složky): A protože jsme rozdělili potenciál do tří členů, můžeme výslednou vlnovou funkci zapsat následovně: Vložením tohoto předpokládaného řešení do původní 3D SR pak: A jako vždy při separaci proměnných: každý výraz v hranatých závorkách je vždy závislý jen na jedné prostorové proměnné. A protože celý výraz je roven energii E, pak každá hranatá závorka je rovna složce energie, např.: Ve výsledku: V následujícím výkladu si tak zobecníme některé dříve uvažované 1D případy. A number and a line Description automatically generated with medium confidence A math equations and numbers Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black and blue plus and a black and blue plus Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 8 3D problematika Případ volné částice: Pro tento případ je potenciál pro všechny složky v prostoru nulový a tedy pro x-ovou složku můžeme psát: Kde a tedy Normalizované řešení jsou planární vlny: Vyjdeme-li z předchozích vztahů pro obecné 3D problémy, pak: Celková energie pak je: Přičemž platí: A protože, celkový počet možných orientací výsledného vlnového vektoru pro danou velikost je nekonečný, tak i energie této částice je nekonečně degenerována. Celkové řešení, i s časově závislým faktorem, je pak: ( ) A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A black and white text Description automatically generated A math equation with square and square symbols Description automatically generated with medium confidence A number and letter in black Description automatically generated with medium confidence A math equations with numbers Description automatically generated with medium confidence A math equation with numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 9 3D problematika Případ volné částice: Uvedená vlnová funkce samozřejmě není normalizovatelná na jedničku, ale na delta funkci: Což v Diracově symbolice můžeme napsat jako: Normalizovatelnou vlnovou funkci částice, kterou lze popsat v limitě i klasický případ jsme si již dříve uváděli ve formě vlnového klubka, pro 3D případ zde tedy: Kde je Fourierova transformace : A group of black symbols Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A black and white image of a smiley face Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 10 3D problematika Případ pravoúhlé dutiny: Uvažujme opět částici beze spinu o hmotnosti m uvězněnou v pravoúhlém potenciálu tvaru: Pro 1D jej můžeme přepsat pomocí jako: A pro ostatní souřadnice obdobně (jako nekonečná jáma). Vlnová funkce musí být nulová na hranicích dutiny a my již víme, že řešení bude: S odpovídajícími vlastními hodnotami energie: Můžeme pokračovat v řešení dle obecného předpisu dříve a získáme: Pro symetrickou krychlovou dutinu, kde A black text on a white background Description automatically generated jinde A number symbols on a white background Description automatically generated jinde A black and white math equation Description automatically generated A number with a number on it Description automatically generated with medium confidence A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated A math equation with a square and a line Description automatically generated with medium confidence A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A white rectangular with black text Description automatically generated with medium confidence A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 11 3D problematika Případ krychlové dutiny: Pokud konkretizujeme řešení: Pro základní stav, kdy , pak: Kde energie je energie základního stavu v 1D potenciálu. Čili pro 3D potenciálovou krychli je základní stav energeticky třikrát vyšší, to souvisí s omezením částice právě ve všech třech dimenzích. První excitovaný stav může mít tři různé sady kvantových čísel , odpovídající třem různým stavům kde: Podobně je to pro ostatní kombinace. Uvědomme si, že všechny tyto stavy mají stejnou energii: Říkáme tedy, že tato vlastní hodnota energie je třikrát degenerovaná. Toto se neděje v 1D případech, ani v 3D případu nesymetrického potenciálu, jako pro obecný pravoúhlý potenciál dříve. Druhý excitovaný stav je také třikrát degenerovaný se třemi vlnovými funkcemi s energií: Energetické spektrum je uvedeno v následující tabulce, kde : A black and white image of a sign Description automatically generated with medium confidence A black text with a line between it Description automatically generated A number and a line Description automatically generated with medium confidence A group of black semicolon faces Description automatically generated a A math equation with a number of letters Description automatically generated with medium confidence A black text with a white background Description automatically generated A white box with black numbers and numbers Description automatically generated A math symbols with numbers Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 12 3D problematika Případ harmonického oscilátoru: Začněme s případem anisotropického oscilátoru, bez symetrie. Uvažujme tedy následující potenciál: SR se pak dělí na složky, podobně jako dříve: Vlastní hodnoty energie pak můžeme vyjádřit: Odpovídající stacionární stavy jsou pak: Kde výše uvedené složky jsou vlnové funkce 1D harmonického oscilátoru. Tyto stavy nejsou degenerované, protože potenciál nemá symetrii. Isotropický harmonický oscilátor lze pak definovat dle a potom platí: Kde jakákoliv stejná suma kvantových čísel může dát stav se stejnou energií, tedy degeneraci a to díky symetrii kruhové frekvence. A number and plus and two symbols Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black and white math symbol Description automatically generated with medium confidence A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 13 3D problematika Případ harmonického oscilátoru: Vlastní hodnoty energií tedy: Základní stav s energií není degenerovaný. První excitovaný stav je třikrát degenerovaný, protože jsou to tři stavy které odpovídají stejné energii Lze ukázat, že stupeň degenerace n-tého excitovaného stavu, který je dán počtem způsobů jak uspořádat nulu a positivní celá čísla aby v součtu daly n, je dán: Kde samozřejmě platí: V následující tabulce jsou uvedeny první excitované stavy a jejich stupeň degenerace: A white sheet with black text Description automatically generated A black and white math symbol Description automatically generated with medium confidence A black and white math sign Description automatically generated A group of symbols with different colors Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 14 3D problematika ve sférických souřadnicích V této části se vrátíme k momentu hybnosti a ukážeme si jak jej kvantovat ve 3D ve sférických souřadnicích – což nám dále pomůže při řešení SR pro atom vodíku – fyzikální systém popsatelný ještě analyticky, a tedy pro nás ještě přístupný. Pro tyto účely je třeba přepsat operátor momentu hybnosti do sférických souřadnic: Jak již jsme si uvedli dříve: a Operátory vzájemně komutují, a existuje tedy společný systém vlastních funkcí těchto operátorů. Mohli jsme vzít i další složky jako význačný směr, ovšem s vybraným souřadnicovým systémem nám z-osa vyhovuje nejlépe. Než se pustíme do vodíku, budeme ovšem potřebovat vyřešit jinou úlohu, totiž vlastní hodnoty/čísla a vlastní funkce operátorů Ve sférických souřadnicích: a Vzpomeňme na nástin předchozích výpočtů: Budeme také hledat vlastní funkce a získat vlnovou funkci v separovaném tvaru: A math equations on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated A black letter and numbers Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black and white image of a letter Description automatically generated A group of symbols with black text Description automatically generated with medium confidence A black and yellow symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white text Description automatically generated with medium confidence A black letter x and a circle Description automatically generated with medium confidence A black text with a white background Description automatically generated A graph of a function Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A black text on a white background Description automatically generated 15 3D problematika ve sférických souřadnicích Vyjádřeme vlastní problém pomocí a A získáme rovnici: Separací proměnných a vydělením rovnice součinem získáme: (i) A protože tato rovnice musí platit pro všechny úhly pak: Funkce musí být také jednoznačná v tom smyslu, že nesmí změnit hodnotu při otočení o úhel okolo osy z: Pro danou podmínku a řešením jednoduché dif. rovnice pak (příklad z cvičení): Faktor plyne z normování fce při integraci přes . Výslednou funkci dosadíme do rovnice (i) a dostaneme: A provedeme substituci: kde A kde pro diferenciál platí: A dostaneme: Kde čárka značí derivaci vzhledem k Tato rovnice má dva singulární body v A black symbol with a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black and white image of a smiley face Description automatically generated A black and white image of a symbol Description automatically generated with medium confidence A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A black and white image of a circle and a sign Description automatically generated with medium confidence A black letter on a white background Description automatically generated A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated A group of black letters Description automatically generated A group of black symbols Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A square root of a person Description automatically generated A group of symbols with a white background Description automatically generated A number and a symbol Description automatically generated with medium confidence A black and white math symbol Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A close up of symbols Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white image of a math symbol Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 16 3D problematika ve sférických souřadnicích Diskutujme nejdříve řešení pro Pomocí substituce a po úpravě dostaneme (kde čárka značí derivaci dle z): (i) Řešení budeme hledat ve tvaru: Pro singulární bod ( ) budeme určovat koeficient v exponentu aproximovanou funkcí: Po dosazení tohoto vztahu do rovnice (i) a zanedbáním členů vyššího řádu než dostaneme po úpravě: Z toho plyne: Podobně lze postupovat i pro druhý singulární bod, dojdeme ke stejnému výsledku. A tedy řešení (i) je tedy ve tvaru: a v je funkce ve tvaru Dosazením tohoto řešení do rovnice z předchozí stránky (nezapomínejme, řešíme rovnici pro vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru kvadrátu momentu hybnosti) i s funkcí v, pak dostáváme: (ii) Pro vidíme, že Řada v se tedy chová stejně jako geometrická řada s kvocientem jejíž součet je úměrný To ovšem změní chování funkce v okolí bodů , kde by divergovala. Abychom tedy splnili požadavky na vlnovou funkci, musíme předpokládat, že se řada v redukuje na polynom, tj. existuje k, pro nějž je koeficient roven nule. Ze vztahu (ii) tak plyne: A black and white image of a equal sign Description automatically generated A black symbol with a white background Description automatically generated A black math equation with a plus and a line Description automatically generated with medium confidence A black letter on a white background Description automatically generated A black and white math symbol Description automatically generated with medium confidence A mathematical equation with numbers Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A black symbols with a white background Description automatically generated A black number and a white background Description automatically generated A black and white image of a number one and a half of a number one Description automatically generated A black text with a plus and two symbols Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 17 3D problematika ve sférických souřadnicích Z předešlého vztahu pro k, m a (opět připomeňme si, že vycházíme z rovnice ) je zjevné, že naše hledané nemůže být libovolné, ale může nabývat jen určitých kvantovaných hodnot (kde ): Toto kvantování opět vzešlo z podmínek kladených na vlnovou funkci. Položíme-li: dostaneme vlastní čísla v obvyklém tvaru: kde nové kvantové číslo l může nabývat hodnot: a zároveň platí: Vidíme tedy, že vlastní čísla operátoru kvadrátu momentu hybnosti a jeho z-ové komponenty jsou v centrálním pole kvantovány. Z matematického hlediska se ukazuje, že funkce jsou přidružené Legendrovy polynomy kde Přidružené Legendrovy polynomy lze vyjádřit pomocí obyčejných Legendrových polynomů pomocí vztahu: Tyto polynomy nejnižšího řádu vypadají následovně: Přitom platí normovací podmínka: A také: Shrneme-li, vlastními funkcemi operátorů kvadrátu momentu hybnosti a jeho z-ové složky jsou tzv. kulové funkce: kde normovací faktor je dán: Ve výsledku tedy: Kulové funkce tvoří úplný ortonormální systém – jsou bází: a obecnou vlnovou funkci můžeme psát: A black symbol with a white background Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A math problem with numbers and a few symbols Description automatically generated with medium confidence A black emoticon and equal sign Description automatically generated A black emoticon and equal sign Description automatically generated A number and a number Description automatically generated with medium confidence A black numbers and a white background Description automatically generated A number and a number Description automatically generated with medium confidence A number and equal sign Description automatically generated A black and white image of a circle with a white background Description automatically generated A black text in a rectangle Description automatically generated A math equations in a rectangular box Description automatically generated with medium confidence A black text in a rectangle Description automatically generated A black and white rectangular sign with black text Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A number of mathematical equations Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 17 3D problematika ve sférických souřadnicích Z předešlého vztahu pro k, m a (opět připomeňme si, že vycházíme z rovnice ) je zjevné, že naše hledané nemůže být libovolné, ale může nabývat jen určitých kvantovaných hodnot (kde ): Toto kvantování opět vzešlo z podmínek kladených na vlnovou funkci. Položíme-li: dostaneme vlastní čísla v obvyklém tvaru: kde nové kvantové číslo l může nabývat hodnot: a zároveň platí: Vidíme tedy, že vlastní čísla operátoru kvadrátu momentu hybnosti a jeho z-ové komponenty jsou v centrálním pole kvantovány. Z matematického hlediska se ukazuje, že funkce jsou přidružené Legendrovy polynomy kde Přidružené Legendrovy polynomy lze vyjádřit pomocí obyčejných Legendrových polynomů pomocí vztahu: Tyto polynomy nejnižšího řádu vypadají následovně: Přitom platí normovací podmínka: A také: Shrneme-li, vlastními funkcemi operátorů kvadrátu momentu hybnosti a jeho z-ové složky jsou tzv. kulové funkce: kde normovací faktor je dán: Ve výsledku tedy: Kulové funkce tvoří úplný ortonormální systém – jsou bází: a obecnou vlnovou funkci můžeme psát: A black symbol with a white background Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A math problem with numbers and a few symbols Description automatically generated with medium confidence A black emoticon and equal sign Description automatically generated A black emoticon and equal sign Description automatically generated A number and a number Description automatically generated with medium confidence A black numbers and a white background Description automatically generated A number and a number Description automatically generated with medium confidence A number and equal sign Description automatically generated A black and white image of a circle with a white background Description automatically generated A black text in a rectangle Description automatically generated A math equations in a rectangular box Description automatically generated with medium confidence A black text in a rectangle Description automatically generated A black and white rectangular sign with black text Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A number of mathematical equations Description automatically generated with medium confidence A drawing of a person with a angry face Description automatically generated [Ležándre] Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 18 Vodíku podobný atom Jak již víte z fyziky mikrosvěta, tak podle klasické mechaniky by atom vodíku neměl být stabilní. Při pohybu elektronů kolem jader mají tyto nenulové zrychlení a tedy by měly vyzařovat elektromagnetické záření (Larmorův vztah) a během času kratšího než jedna pikosekunda by elektron spadl na jádro. Existenci stabilních elektronových stavů nám dá teprve kvantová mechanika. Nyní budeme zkoumat stacionární stavy vodíku podobného atomu s Hamiltoniánem: kde pro atom vodíku a pro ion helia . Předpokládáme pro začátek, že elektron s nábojem e- a hmotnosti m se pohybuje v coulombovském poli nehybného jádra o náboji Spin elektronu a jádra nyní neuvažujeme a k popisu pohybu použijeme nečasovou SR. Pokud bychom chtěli započítat pohyb jádra, zavedli bychom polohu těžiště soustavy a relativní polohu elektronu a jádra. Příslušnou dvou-částicovou SR lze pak separovat na dvě nezávislé SR pro nekvantovaný pohyb soustavy jádro a elektron v těžišťovém systému a vzájemnému pohybu v relativních souřadnicích. Hamiltonián má pak tvar jako výše, jen elektronovou hmotnost nahradíme redukovanou hmotností soustavy jádro a elektron. Vzhledem k tomu, že coulombovský potenciál jde k nule pro , je zřejmé že: - stacionární stavy pro jsou nekvantované stavy odpovídající spojitému spektru - stavy s jsou díky přitažlivému coulombovskému potenciálu vázanými stavy a jsou kvantované, platí Při řešení SR s výše uvedeným Hamiltoniánem je vhodné použít sférické souřadnice Coulombovský potenciál závisí pouze na r a jde tedy o pohyb v centrálním poli. Zjevně můžeme pohyb klasifikovat pomocí kvantových čísel l (moment hybnosti na druhou) a m (z-ová složka momentu hybnosti), dále také pomocí kvantového čísla n (kvantování v radiálním směru, které je dáno coulombovským potenciálem): Vzhledem k faktu, že coulombovský potenciál závisí pouze na r, tak energie vázaných stavů nebudou závislé na l a m: V centrálním poli úhlová část pohybu nepřispívá ke kvantování energií. Všimněme si, že pro 3D případ kvantujeme pomocí tří kvantových čísel. A diagram of a triangle and a line of symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 19 Vodíku podobný atom Diskrétní spektrum atomu vodíku: Hamiltonián ve sférických souřadnicích má tvar: Tento operátor vytváří společně s a s systém tří vzájemně komutujících operátorů, tak existuje společný systém/sada vlastních funkcí těchto operátorů. Vezmeme-li v úvahu, že poslední dvě proměnné nezávisí na r, pak můžeme psát vlnovou funkci v separovaném tvaru: (i) Kde je dosud neurčená radiální část vlnové funkce a kulové funkce jsou vlastní funkce operátorů jak již jsme spočítali dříve: Dosadíme-li předpoklad (i) do nečasové SR s výše uvedeným Hamiltoniánem, a výšeuvedeného stavu pro kvantování pak: Kde E je vlastní hodnota energie. Řešíme tedy tuto jednorozměrnou Schrödingerovu rovnici s proměnnou r. A black text on a white background Description automatically generated A mathematical equation with black text Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A mathematical equation with a few lines Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A black text with a white background Description automatically generated with medium confidence 20 Vodíku podobný atom SR pro r: si ještě zjednodušíme substitucí: A dostaneme: Dalším zjednodušení bude zavedení bezrozměrných délek: kde je Bohrův poloměr. Číselně vyjádřeno je . Energii budeme podobně vyjadřovat bezrozměrně: Kde jeden Rydberg je roven: Číselně pak Jak se ukáže dále (a jak už také víte z mikrosvěta), Bohrův poloměr je vzdálenost od jádra, v níž je největší pravděpodobnost nalézt elektron v základním stavu atomu vodíku. Podobně Rydberg (až na znaménko) udává jeho energii. Čili pro atomární stavy jde o přirozené jednotky. Dostáváme se tedy k rovnici (i): tuto rovnici budeme řešit podobně jako pro kvadrát momentu hybnosti dříve. Určíme asymptotické chování funkce Dostáváme tak rovnici jejíž řešení splňující podmínku zapíšeme: kde . To se nám hodí, protože pro vázané stavy s energií E < 0 platí: Na celém intervalu pak hledáme řešení ve tvaru: kde je obecně nějaká nová funkce. Dosazením do rovnice (i) dostaneme: A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated A close-up of a mathematical equation Description automatically generated A math symbols with a plus and a plus sign Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black square and square symbol Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A group of black letters Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 21 Vodíku podobný atom Řešeni rovnice (i) Budeme hledat ve formě řady: Kde jsou dosud neurčené konstanty. Ovšem potřebujeme aby byla splněna normovací podmínka: Kde je radiální část objemového elementu ve sférických souřadnicích. Konstantu určíme z podmínky konečnosti funkce f. Pro můžeme tedy předpokládat: Dosazením do rovnice (i) dostaneme s přesností nejnižšího řádu v pak: což vede na (pro jinou možnost diverguje). A tedy: Dosadíme-li zpět do rovnice (i), pak: Pro libovolná pak musí platit (ii): Požadavek nám říká, že musí jít pro k nule. To opět splní požadavek na nahrazení řady polynomem. To se splní, když čitatel (ii) půjde k nule, tedy pro toto pak: a je celé nezáporné číslo. A black text with a line between it Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A group of black letters Description automatically generated A close-up of a sign Description automatically generated A black and white image of a circle with a divider Description automatically generated A math symbols and signs Description automatically generated with medium confidence A math symbols on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A mathematical equation with black text Description automatically generated A black arrow pointing to a circle Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 22 Vodíku podobný atom Předchozí výsledek ve spojení se vztahem dává kvantovací podmínku pro hodnoty energie: Místo kvantového čísla se obvykle zavádí tzv. hlavní kvantové číslo: kde Pro možné hodnoty energie pak dostáváme: A vrátíme-li se k původním jednotkám skrze vztahy: Pak pro vázané stacionární stavy vodíku platí: Tyto energie, jak už víme, jsou záporné. Možné hodnoty tzv. orbitálního kvantového čísla l vyplývají z rovnice tedy: Současně, tzv. magnetické kvantové číslo může nabývat hodnoty: Energie základního stavu není degenerována, přísluší jí jeden stav s kvantovými čísly . Naproti tomu vyšší energie jsou degenerované, protože jim přísluší několik různých stavů s rozdílnými kvantovými čísly Degenerace každé energiové hladiny je rovna (počítali jste v mikrosvětě): A black square and square symbol Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A black symbols on a white background Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated A rectangular white rectangular with black text Description automatically generated with medium confidence A black symbols on a white background Description automatically generated A row of black dots Description automatically generated A black letter e on a white background Description automatically generated A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated A diagram of a plane Description automatically generated A number and plus symbol Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 23 Vodíku podobný atom Použijeme-li rovnici A kvantové číslo n, pak předchozí vztah: Dostane tvar (i): Hodnota je dána normovací podmínkou a po dosazení (i) do dostaneme delší výraz: Normované radiální části vlnových funkcí lze psát ve tvaru: kde a Členy jsou přidružené Laguerrovy polynomy, které lze získat z obyčejných Laguerrových polynomů : pomocí vztahu Normovací koeficient je roven: A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A math symbols and signs Description automatically generated with medium confidence A math equations with numbers Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated A close up of a letter Description automatically generated with medium confidence A close up of a text Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A mathematical equation with letters and numbers Description automatically generated A math equations with numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 23 Vodíku podobný atom Použijeme-li rovnici A kvantové číslo n, pak předchozí vztah: Dostane tvar (i): Hodnota je dána normovací podmínkou a po dosazení (i) do dostaneme delší výraz: Normované radiální části vlnových funkcí lze psát ve tvaru: kde a Členy jsou přidružené Laguerrovy polynomy, které lze získat z obyčejných Laguerrových polynomů : pomocí vztahu Normovací koeficient je roven: A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A math symbols and signs Description automatically generated with medium confidence A math equations with numbers Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated A close up of a letter Description automatically generated with medium confidence A close up of a text Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A mathematical equation with letters and numbers Description automatically generated A math equations with numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence A person with a mustache and a suit Description automatically generated [L’gér] Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 24 Vodíku podobný atom Ukažme si tedy jak vypadají tyto normované radiální vlnové funkce: Pro úplnost si uveďme i některé normované (přes celý prostorový úhel ) úhlové části vlnové funkce: A group of mathematical equations Description automatically generated A graph of a function Description automatically generated A close up of a number Description automatically generated A diagram of a function Description automatically generated A black line on a white background Description automatically generated A number and a punctuation mark Description automatically generated A group of mathematical equations Description automatically generated A black text in a rectangle Description automatically generated A math equations in a rectangular box Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 25 Vodíku podobný atom Celkové vlnové funkce vázaných stavů vodíku podobných atomů pak vypadají následovně: A pro tvoří úplný ortonormální systém funkcí, do něhož lze rozvinout obecné řešení nečasové SR pro vázané stavy. Pravděpodobnost nalezení elektronu v objemovém elementu je rovna: Integrací tohoto vztahu přes celý prostorový úhel dostaneme pravděpodobnost nalezení elektronu v intervalu tedy: Podobně pravděpodobnost nalezení elektronu v daném prostorovém úhlu je rovna: Radiální hustoty pravděpodobnosti jsou zobrazeny níže, co z toho můžeme říci? Pro vyšší excitované stavy mají pravděpodobnosti celkem nulových bodů. S větší vzdáleností od jádra se maxima hustot pravděpodobnosti rozšiřují. S rostoucí energií se bod maxima hust. pravděpodobnosti vzdaluje od jádra. Pro velmi vysoká n mluvíme o Rydbergových stavech. S rostoucím nábojem jádra Z se maxima posunují k jádru a |En| roste. A black and white rectangular sign with a black text Description automatically generated A close up of a smile Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black symbol with a cross Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 26 Vodíku podobný atom Z fyziky mikrosvěta již víte, že stacionární stavy atomu vodíku s kvantovým číslem l = 0 se nazývají s-stavy, podobně l = 1 jsou p-stavy a l = 2 jsou d-stavy, a dále f-, g-, h-stavy. Na obrázcích níže jsou uvedeny kvadráty velikosti kulových funkcí pro s-, p- a d-stavy. Jsou zobrazeny v tzv. polárních diagramech. A diagram of a complex equation Description automatically generated with medium confidence A diagram of a function Description automatically generated A diagram of a graphing of a function Description automatically generated with medium confidence A graph of a function Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 27 Vodíku podobný atom 3D reprezentace hustot pravděpodobností a jejich velikost: O existenci diskrétních energiových hladin samozřejmě referovala experimentální fyzika dávno před vznikem kvantové mechaniky. Jak již víme z mikrosvěta. Teprve kvantově mechanické výpočty ale dokázali uspokojivě vysvětlit naměřená spektra. Ta se řídila vztahem: A pro vodík pak znáte jednotlivé série: A mathematical equation with black text Description automatically generated A close-up of a text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 28 Vodíku podobný atom Magnetický moment a moment hybnosti: Při pohybu elektronu okolo jádra atomu vzniká podle klasické fyziky proudová smyčka a tedy lze očekávat vznik magnetického momentu. Kvantově mechanicky můžeme zapsat celkovou hybnost pomocí vektorových potenciálů: Kde: a pro konstantní magnetické pole mířící podél osy z můžeme vzít vektorový potenciál ve tvaru: Pro slabá magnetická pole vynechejme člen a pro dané podmínky také , Hamiltonián pak vypadá následovně: Osamostatníme-li energiovou složku pro dodatečné působení magnetického pole a zapíšeme ji: pak pro operátor z-ové složky magnetického momentu souvisejícího s jeho orbitálním momentem hybnosti platí: Pro stacionární stavy popsané fcemi platí a magnetický moment nabývá hodnot kde je Bohrův magneton. Obecně: Dodatečná energie vodíku ve stavu popsaném funkcí závisí na magnetickém kvantovém čísle m: Přidáme-li výběrové pravidlo (spočítané z přechodových pravděpodobností, viz dříve) uvidíme, že původní spektrální čára odpovídající přechodu mezi dvěma energetickými hladinami se v magnetickém poli štěpí na tři hladiny – tzv. normální Zeemanův jev. A group of mathematical equations Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A math equation with black text Description automatically generated with medium confidence A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 29 Vodíku podobný atom Spin elektronu: Stern-Gerlachův experiment ukázal, že svazek atomů vodíku v základním stavu, s nulovým momentem hybnosti a tedy i nulovým magnetickým momentem se v nehomogenním magnetickém poli štěpí na dva svazky. Podle vztahu víme, že z-ová složka momentu hybnosti má celkem možných hodnot, kde tato hodnota je buď nula nebo liché číslo. Z tohoto je pak jasné, že kromě orbitálního momentu má elektron ještě nějaký další moment – vlastní magnetický, který souvisí s jeho vnitřním momentem hybnosti a pro který musí platit: Tento vnitřní moment hybnosti se nazývá spin a příslušný operátor je Proto kromě kvantových čísel zavádíme i čtvrté spinové kvantové číslo Z Einstein-de Haasova experimentu pak plyne relace mezi magnetickým momentem a spinem: Srovnáním s vidíme, že poměr velikosti magnetického momentu a spinu elektronu je dvakrát větší než v případě orbitálního momentu hybnosti. Pro nalezení operátoru spinu vyjdeme z podobných vztahů jako pro orbitální moment hybnosti: A v souladu s předešlým víme, že hodnota průmětu spinu na libovolnou osu měření je rovna . Operátory tak můžeme reprezentovat hermiteovskými maticemi řádu dvě: kde nové hermiteovské matice mají vlastní čísla rovny A black and white image of a sign Description automatically generated with medium confidence A black letter with a white background Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated with medium confidence A black symbols of a letter Description automatically generated with medium confidence A black letter with a pointy arrow Description automatically generated A close up of a letter Description automatically generated A black and white symbols Description automatically generated with medium confidence A rectangular object with text Description automatically generated with medium confidence A math equation with black text Description automatically generated with medium confidence A black letter with a white background Description automatically generated with medium confidence A black letter with a white background Description automatically generated with medium confidence A black and white rectangular with black letters and numbers Description automatically generated A black letter y on a white background Description automatically generated A group of black objects Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 30 Vodíku podobný atom Spin elektronu: Pro kvadráty matic obecně platí: (i) Z rovnic pak plyne A využitím vztahu (i) pak Platí tedy: - matice tedy spolu antikomutují A dále dostáváme: A tedy: Těmto vztahům pak vyhovují matice: Tzv. Pauliho matice. Tyto se používají pro reprezentaci spinu v kvantové mechanice. Lze ukázat, že vlastní funkce operátoru z-ové komponenty spinu odpovídající vlastním číslům jsou rovny: spin „nahoru“ a spin „dolů“ Pokud Hamiltonián obsahuje operátor spinu, pak vlnovou funkci píšeme ve tvaru dvousložkové funkce Kde odpovídá částici s kladnou z-ovou složkou spinu a složce opačné s Hustota pravděpodobnosti nalezení částice v libovolném ze dvou spinových stavů je rovna: A black letter y on a white background Description automatically generated A black and white math symbol Description automatically generated with medium confidence A close-up of a card Description automatically generated A white rectangular object with a black line and a smiley face Description automatically generated with medium confidence A black and white emoticon with a smiley face Description automatically generated A black letter and arrow Description automatically generated A black letter with a white background Description automatically generated A black and white image of a smiley face Description automatically generated A black and white emoji Description automatically generated A close-up of a smiley face Description automatically generated A black and white logo Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated A black symbol with a number Description automatically generated A black letter and a stick Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 31 Vodíku podobný atom Spin elektronu: Vezmeme-li v úvahu vztah můžeme pak pro pohyb elektronu v konstantním magnetickém poli a skalárním potenciálu V napsat: Což je Pauliho rovnice pro vlnovou funkci . Podle této rovnice tedy závisí energie vodíku podobného atomu v magnetickém poli nejen na jeho orbitálním momentu hybnosti, ale i na jeho spinu. A black and white rectangular object with text Description automatically generated A black and white math formula Description automatically generated A close-up of a smiley face Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A black text on a white background Description automatically generated 32 Shrnutí Zobecnění 1D řešení SR do 3D pomocí separace proměnných vlnové funkce S výslednou energií, která je součtem energií Výsledkem pro 3D pravoúhlou dutinu je a pro 3D anisotropický harmonický oscilátor pak relace: Při řešenírovnic pro vlastní hodnoty a vlastní funkce operátorů: a které komutují s Hamiltoniánem a tedy nám pomohou při řešení SR ve sférických souřadnicích pro centrální pole: Kde: a při použití standardních podmínek pak: a Pro úhel théta pak získáváme separovanou funkci která je dána Legendreovými polynomy. A je spolu s funkcemi základem pro vyjádření úhlových vlnových funkcí ve formě funkcí kulových, které spolu s normalizačním faktorem jsou: A určují nám tak vlastní funkce a hodnoty pro výše uvedené operátory: Což jsou také orbitální/vedlejší kvantové číslo a magnetické kvantové číslo. SR nám pak dá radiální složku vlnové funkce s Laguerreovými polynomy a normou Celková vlnová funkce pro vodíku podobné atomy je pak: Vlastní hodnoty pro Hamiltonián centrálního pole pak jsou Kvantová čísla jsou: Pro magnetický moment a moment hybnosti platí A pokud uvažujeme spin, pak: A black and blue plus and a black and blue plus Description automatically generated A black and white rectangular sign with black text Description automatically generated A diagram of a triangle and a line of symbols Description automatically generated with medium confidence A rectangular white rectangular with black text Description automatically generated with medium confidence A black text in a rectangle Description automatically generated A math equations in a rectangular box Description automatically generated with medium confidence A math equations with numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white rectangular sign with a black text Description automatically generated A row of black dots Description automatically generated A black and white image of a symbol Description automatically generated with medium confidence A black and white math equation Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A black and white image of a letter Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A math equation with black text Description automatically generated with medium confidence A rectangular object with text Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A black text in a rectangle Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic