ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY F5082 úvodní cvičení
1. Výraz (p = J41eI<pi + A2ei<p2 převeďte do tvaru 0 = Aeltp, tj. vyjádřete veličiny A5<p pomoci veličín Ai, <pi, M, 92.
2. Uvažujme dvouštěrbinový experiment. Amplituda vlny procházející štěrbinou A a dopadající do bodu P (poloha detektoru) je v relativních jednotkách ij/a-2, amplituda vlny přicházející od štěrbiny B je \\fn~6. Je-li otevřena pouze štěrbina A, dopadá do bodu P 100 elektronů za sekundu. Kolik elektronů bude registrováno za sekundu v bodě P:
a) je-li otevřena j en štěrbina B,
b) jsou-li otevřeny obě štěrbiny a dochází-li ke konstruktivní interferenci,
c) jsou-li otevřeny obě štěrbiny a dochází-li k destruktivní interferenci?
3. Najděte fázovou a grupovou rychlost de Broglieových vln pro relativistickou částici s energií E a impulsem p.
4. Proveďte normování vlnového klubka de Broglieovy vlny s koeficienty c(p)=C na vybraném intervalu Ap kolem bodu po. Pro zbylé hodnoty hybnosti jsou koeficienty nulové.
5. Spočítejte tvar vlnového klubka pro volnou částici, která je v čase t=0 lokalizována v intervalu -a do a, kde y/(x,Q)=Ai pokud j e x e [-a,a], j inak je nulová. Odhadněte vliv Heisenbergových relací neurčitosti na lokalizaci vlnového klubka v obou reprezentacích, souřadnicové a hybnostní.
6. Spočítejte Heisenbergovy relace neurčitosti pro vlnové klubko jehož koeficienty jsou gaussovského tvaru. Uvažujte pro případ ř=0.
ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY F5082 úvodní cvičení
1. Výraz 0 = y^e^i + A2ei<pi převeďte do tvaru (f) = Aei<p, t.j. vyjádřete veličiny A,cp pomocí veličin Ai, cpi, A2, (p2.
2. Uvažujme dvouštěrbinový experiment. Amplituda vlny procházející štěrbinou A a dopadající do bodu P (poloha detektoru) jev relativních jednotkách v|/a=2; amplituda vlny přicházející od štěrbiny B je \\íb=6. Je-ii otevřena pouze Štěrbina A, dopadá do bodu P 100 elektronů za sekundu. Kolik elektronů bude registrováno za sekundu v bodě P:
a) je-li otevřena jen štěrbina B,
b) jsou-li otevřeny obě štěrbiny a dochází-li ke konstruktivní interferenci,
c) jsou-li otevřeny obě Štěrbiny a dochází-li k destruktivní interferenci?
3. Najděte fázovou a grupovou rychlost de Broglieových vln pro relativistickou částici s energií E a impulsem p.
4. Proveďte normování vlnového klubka de Broglieovy vlny s koeficienty c(p)=C na vybraném intervalu Ap kolem bodu po- Pro zbylé hodnoty hybnosti jsou koeficienty nulové.
5. Spočítejte tvar vlnového klubka pro volnou částici, která je v čase t~0 lokalizována v intervalu -a do a, kde y/(x,0)=A, pokud je xe [~a,á\, jinak je nulová. Odhadněte vliv Heisenbergových relací neurčitosti na lokalizaci vlnového klubka v obou reprezentacích, souřadnicové a hybnostní.
6. Spočítejte Heisenbergovy relace neurčitosti pro vlnové klubko jehož koeficienty jsou gaussovského tvaru. Uvažujte pro případ /=0.
ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY F5082
1. cvičení
na funkci cos(x).
3. Upravte operátorové výrazy: a) ,   b) ■—-■{■ x
4. Ukažte, že operátory „násobení nezávisle proměnnou" a „derivace podle jiné nezávisle proměnné" komutují.
7. Dokažte, že a) součet, b) součin lineárních operátorů F, G , ... je rovněž lineárním operátorem.
8. Najděte operátor hermiteovsky sdružený s operátorem
a) násobení komplexní konstantou,
b) násobení (reálnou) nezávisle proměnnou,
c) derivace podle (reálné) nezávisle proměnné.
9. Ukažte, že hermiteovská sdruženost je vlastnost vzájemná, tj. pokud je operátor G hermiteovsky sdružený s operátorem P, pak také operátor P je hermiteovsky sdružený s operátorem G,
10. Rozhodněte, zda operátory P = ~~  a G = i j- jsou lineární a hermiteovské v prostoru všech kvadraticky integrabilních funkcí jedné proměnné.
,4 ofr/w;
11. Operátory —, —, — převeďte do sférických souřadnic.
dx   dy dz
ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY F5082
2. cvičení
1 Komutátory  [ÄB, Č], [Ä, B č], [ÄB^B], [Ä + B, Č + Ď] vyjádřete pomocí komutátorů 1/   jednotlivých operátoru Ä, B, Č, D..
JL. Dokažte,že [I,jCjÄ}, EfcdfcSfc] = Ey£*c}dk [ÄJt^]. /:
3, Přesvědčte se, že lineární kombinace vlastních funkcí lineárního operátoru P příslušných y   a) jeho téže (degenerované) vlastní hodnotě F je, opět vlastní funkcí tohoto operátoru y/       příslušnou této vlastní hodnotě,
b) jeho různým vlastním hodnotám, není jeho vlastní funkcí.
/ 4. Najděte vlastní hodnoty a vlastní funkce (splňující standardní podmínky) operátoru x + -j- .
5. Dokažte, že operátor — íh-~ je hermiteovský v prostoru všech kvadraticky integrabilních funkcí tří reálných proměnných (x, y, z).
6. V prostoru kvadraticky integrabilních funkcí tří prostorových proměnných (x, y, z)
d2 1 ověřte hermicitu operátorů a) —,   b) A
a najděte jejich vlastní hodnoty a vlastní funkce splňující standardní podmínky.
.7. Najděte operátor hermiteovský sdružený se 3 Aíwcn,^
/    a) součtem,
b) součinem, ■ :.    ; . , i ^ ' v_
c) lineární kombinací ^ ' , """^ iť^-> operátorů P, G,....                     ' . "
,/8. Dokažte, že vlastní hodnoty hermiteovského operátoru j sou reálné.   "U^ A^o
19. Dokažte, že vlastní funkce hermiteovského operátoru příslušné jeho různým vlastním hodnotám jsou navzájem ortogonální. y
10. Dokažte následující vlastnosti D iracovy deltafunkce: \ ^ /; ;.-
x/ a) S(4-rj) = <Hn~a ^   ,/f ľ
b) ô[c{^-r})\ = ~ S(£-77),   ( c je kladná konstanta)
c) C W - V) m-x)d$ = Sft - x) ■ í   j I
f) A
ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY F5082
3, cvičení
1, Určete vlastní funkce (splňující standardní podmínky) a vlastní hodnoty operátoru (—ifí JĽj [operátor x — ové komponenty hybnosti px v souřadnicové reprezentaci]. Přesvědčte se, že tyto funkce nejsou kvadraticky integrabilní a znormujte je.
\í >\     2. Totéž pro (vektorový) operátor hybnosti (v souřadnicové reprezentaci): p = —i
3. Najděte vlastní hodnoty a normované vlastní funkce operátoru ~fá~^> kde (p je polární úhel sférických souřadnic.   Q j^Al A '
4. Ukažte, že <pv(x) = (px(p), kde (pp(x) je vlastní funkce operátoru (x-ové komponenty)  l v hybnosti p v souřadnicové reprezentaci a <px (p) je vlastní funkce operátoru souřadnice x v impulzové reprezentaci (p).')
v \      5. Existuje nějaká souvislost mezi vlastními funkcemi operátoru P v G-reprezentaci a vlastními funkcemi operátoru S v F-reprezentaci? Pokud ano, jaká?   <^ „/>) *• ifVí>\ \/
6. Napište transformační vztah mezi vlnovými funkcemi i/>(F) a c(G) vyjadřujícími tentýž '  ) stav v F-reprezentaci a G-reprezentaci,
■ fl'> jí ^Najděte tvar vlastních funkcí operátoru F v F-reprezentaci, Rozlište případ operátorů j ,, a) s diskrétním spektrem vlastních hodnot,      /     i        %(>}\h < ■
b) se spojitým spektrem vlastních hodnot, ' ,
8. Vyjádřete operátor momentu hybnosti L = rxp v souřadnicové reprezentaci (kartézské souřadnice).. " V { ,\f ;
7 )    9. Najděte komutátory \px,f(x,y,ž)], \p>fif)\'
10. Najděte komutátor operátorukinetické energie Ť = ^ a operátoru potenciální energie
i:       v = v(ř).
1
Zrn.
-r 1       , -U      /.............. .     £.......^: 1
1) O impulzové reprezentaci se hovoří, jsou-li za bázi v prostoru vlnových funkcí zvoleny vlastní funkce operátoru hybnosti. Termín „hybnostní reprezentace" se v češtině neujal.
ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY F5082
4. cvičení
1. Najděte tvar operátoru x-ové souřadnice (x) v impulzové reprezentaci,
2. Totéž pro (vektorový) operátor polohy r.
3. V impulzové reprezentaci najděte normované vlastní funkce (splňující standardní podmínky) a vlastní hodnoty operátoru jc-ové komponenty hybnosti (px).
) 5. Dokažte, že v libovolném stavu iji je střední hodnota energie < fí > libovolného mikroobjektu větší nebo rovna energii jeho základního stavu.
7. Najděte komutátor [tj, pk] j-té komponenty momentu hybnosti a k-té komponenty hybnosti.
8. Najděte komutátory [tj, ř£], [tj, pl],
9.,)zjistěte, zda jsou kartézské složky momentu hybnosti současně přesně měřitelné.
10. Zjistěte, zdaje v principu možné změřit současně přesně j-tou komponentu momentu hybnosti a kinetickou energii mikroobjektu. ľA   J±. 1 , , l
4. Totéž pro (vektorový) operátor hybnosti p.
6. Najděte komutátor [tj, řk] j-té komponenty momentu hybnosti a k-té komponenty polohy.
L.
'i
ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY F5082
5. cvičení
/
1. Jaké výsledky a s jakými pravděpodobnostmi lze dostat při měření fyzikální veličiny^ ve stavu
? Po obecném řešení diskutujte speciální případy a) \p = (ppi, /
b) P = G.
2. Vypočtěte pravděpodobnost toho, že mikroobjekt nacházející se ve stavu popsaném vlnovou funkcí xp(_x, y, z) má z-ovou souřadnici z intervalu <z1;z3> a v-ovou komponentu hybnosti z intervalu <pyi,py2>.
3. Lze současně určit polohu a (celkovou) energii mikroobjektu? * 1
4. Ukažte, že v případě dvou komutujících operátorů P, G, z nichž jeden [P) má nedegenerované vlastní hodnoty a druhý (ŕ?) degenerované, je každá vlastní funkce operátoru P také vlastní funkcí operátoru 6, avšak ne každá vlastní funkce operátoru G je rovněž vlastní funkcí operátoru P.
5. V libovolném stavu i/> vypočtěte < AG > .
6. Vypočtěte < (Arí) > ve vlastním stavu veličiny G.
7. Přesvědčte se, že obecná Schrôdingerova rovnice má v libovolné reprezentaci stejný tvar
8. Proveďte separaci proměnných v obecné Schrodingerově rovnici v případě, že potenciální lj| energie mikroobjektu nezávisí na case. i ji
t| 9. Dokažte, že ve stacionárním stavu ^ozděleijií pravděpodobnosti naměření různých hodnot j i
1     libovolné fyzikální veličiny nezávisí na čase. J ^
10. Dokažte, že střední hodnota libovolné fyzikální veličiny ve stacionárním stavu nezávisí na čase. í i
ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY F5082 6. cvičení
1. Najděte stacionární stavy mikroobjektu nacházejícího se v konečne hluboké jednorozměrné pravouhlé potenciálové jámě se stěnami v bodech x — -a a x - a, a potenciálem Vo okolo.
2. Jaký charakter má energiové spektrum mikroobjektu nacházejícího se v potenciálovém poli
0   pro \x\ < a,
a) V (x) = <
VQ pro   \x\ > a, kde V0 je kladné (záporná.) konstanta,
b) V (x) = ~kx2, kde k j e kladná konstanta,
c) V (r) = j , kde k je kladná (záporná) konstanta.
3. Najděte koeficient průchodu mikroobjektu o energii E pravouhlou potenciálovou bariérou výšky VQ > E a šířky a.
mikroobjekt		i		
\	E t		t	x i-------------^
0 a'
4. Prověřte hermicitu operátoru momentu hybnosti.
5. Najděte střední hodnoty operátoru Lx a Ly ve vlastním stavu operátoru Lz.
6. Ukažte, že existence kvantověmechanického s-stavu (tj. stavu, v němž L2 — o = Lx = Ly = Lz) neodporuje principu neurčitosti.
7. Ukažte, že energiové spektrum mikroobjektu, nacházejícího se v poli tvořeném periodicky se střídajícími potenciálovými jamami a bariérami, se skladá z pásů.
ZÁKLADY KVANTOVÉ MECHANIKY F5082
7. cvičení
1. Prověřte hermicitu operátoru momentu hybnosti. ^
li--
2. Najděte střední hodnoty operátoru tx a Ly ve vlastním stavu operátoru tz
3. Pomocí relace neurčitosti ukažte, že moment hybnosti nemůže být orientován přesně do preferovaného směru.
4. Ukažte, že existence kvantověmechanického s-stavu (tj. stavu, v němž L2 = 0 = Lx = Ly = Lz) neodporuje principu neurčitosti.
5. Vysvětlete, proč se kvantování velikosti momentu hybnosti a jeho komponent neprojevuje v makrosvete.     ^jvj ^JJ^aK' Y
6. Proveďte separaci radiální a úhlových proměnných ve stacionární Schrodigerově rovnici se sféricky symetrickým potenciálem.
i