Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Ustav teoretickě fyziky a astrofyziky Uvod do studia proměnných hvězd Zdeněk MikuiaSek, Miloslav Zejda Brno 2013 Vydáno v rámci projektu Inovace výuky aplikované fyziky na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity (CZ.1.07/2.2.00/15.0181) v operačním programu Vzdělávaní pro konkurenceschopnost (VK) - 2.2 Vysokoškolská vzdelávaní r,| O I ^V, £j (f) ^í^^fc I SOCialni |-" -1 MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OPVidilivini 'it-^^ŕ' ■^^^1 fondvCR evropská unie VILADC2ÍI ATCLOVÝChOVY pra konkurenceschopnost f4NA* INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ©2013 Masarykova univerzita ISBN 978-80-210-6241-2 OBSAH 3 Obsah Historie a metody výzkumu 1 Úvod 11 1.1 Definice.................................... 11 1.2 Význam studia proměnných hvezd...................... 11 2 Historie a současnost výzkumu proměnných hvezd 12 2.1 Prehistorie sledovaní proměnných hvězd .................. 12 2.2 První vedecký pozorovaní .......................... 12 2.3 Zacýtký sýstematickeho studia........................ 13 2.4 Výzkum promenných hvezd v 19. a 20. století............... 15 2.4.1 Vizuýlní fotometrie.......................... 16 2.4.2 Nevizuainí fotometrie......................... 18 2.4.2.1 Fotografický fotometrie................... 18 2.4.2.2 Fotoelektricka fotometrie ................. 18 2.4.2.3 „Kremíkový" fotometrie.................. 19 2.4.3 Spektroskopie ............................. 20 2.4.4 Druzicova pozorovaní......................... 21 2.5 Týpý promenných hvezd........................... 22 2.6 Brno a promenne hvezdý........................... 25 3 Pozorovaní promenných hvezd 27 3.1 Astronomicka fotometrie........................... 27 3.1.1 Zakladní pojmý a vztahý....................... 27 3.1.2 Rozlození energie ve spektru hvezdý................. 31 3.1.2.1 Zýrení ACT. Efektivní teplota. Spektrofotometrie .... 31 3.1.2.2 Barevne indexý....................... 33 3.1.3 Fotometrickýe sýstýemý ......................... 35 3.1.3.1 Historickýe fotometrickýe sýstýemý .............. 37 3.1.3.2 Johnsonuv mezinýrodní sýstem a jeho rozšírení..... 38 3.1.3.3 Stromgrenuv sýstem uvby((3) ............... 39 3.1.3.4 Dalsí soucasne fotometricke sýstemý........... 42 3.1.3.5 Standardizace fotometrických sýstemu.......... 43 3.1.4 Extinkce a jej í eliminace....................... 44 3.1.4.1 Optický tloust'ka a extinkce................ 44 3.1.4.2 Mezihvezdna extinkce................... 45 3.1.4.3 Atmosfýerickýa extinkce ................... 47 3.2 Astronomickaý polarimetrie .......................... 49 3.2.1 Stokesuv vektor............................ 50 3.2.2 Polarizace zarem kosmických objektu................ 52 3.2.3 Polarimetrickaý pozorovaýný ...................... 52 3.3 Astronomickýa spektroskopie ......................... 53 3.3.1 Charakteristiký spekter ........................ 54 4 OBSAH 3.3.2 Základní pojmy............................ 55 3.3.3 Vzhled spektra............................ 59 3.3.4 Co lze vyčíst ze spektrogramů.................... 62 3.4 Zdroje pozorovacích dat o promenných hvezdách.............. 63 3.4.1 Vlastní, prevzatý a archivní pozorovaní............... 63 3.4.1.1 Vizůalní odhady...................... 63 3.4.1.2 Fotograficka pozorovíní.................. 64 3.4.1.3 Fotoelektrickí pozorovíní................. 64 3.4.1.4 CCD pozorovaní...................... 65 3.4.2 Soůdobe prehlídkove projekty.................... 66 3.4.2.1 Pozemske projekty..................... 66 3.4.2.2 Kosmicke prehlídky .................... 69 3.4.3 Virtůalní observator ......................... 71 Zpracování pozorování proměnných hvězd 4 Regresní analýza 74 4.1 Úvodem.................................... 74 4.1.1 Regresní model............................ 74 4.1.2 Zdůvodnení metody nejmensích ctverců............... 76 4.2 Metoda nejmensích ctverců.......................... 77 4.2.1 Hledaní resení metodoů nejmensích ctverců............. 77 4.2.2 Kriteria íspesnosti modelovaní ................... 80 4.2.2.1 Statistika modifikovaních odchylek ěj........... 80 4.2.2.2 Sůmy x2, xfi a rozptyl proložení s2............ 81 4.2.2.3 Testovíní regresních modelů pomocí O-C diagramů ... 81 4.2.2.4 Informacní kriteria AIC, AICc a BIC........... 82 4.2.3 Odhad nejistot jednotlivých merení................. 83 4.3 Linearní regrese................................ 84 4.3.1 Linearní regrese ůzitím maticoveho poctů.............. 85 4.3.2 Nejistoty parametrů modelů a predpovedí ............. 87 4.3.3 Zakladní regresní modely - aplikace lineírní regrese........ 88 4.3.3.1 Průmerna hodnota..................... 89 4.3.3.2 Prímka jdoůcí pocatkem.................. 89 4.3.3.3 Prolození obecnoů prímkoů................ 90 4.3.3.4 Prolození casovych rad polynomem............ 91 4.3.3.5 Prolození casovych rad harmonickím polynomem .... 91 4.3.4 Zobecneníí lineíarníí regrese I - vektorovía zíavislía promennía ..... 92 4.3.5 Zobecnení linearní regrese II - více nezívisle promenních..... 92 4.4 Nelineíarníí regrese ............................... 95 4.4.1 Linearizace nelineírních regresních modelů............. 95 4.4.1.1 Odhad nejistoty okamziků extrémů............ 96 4.5 Robůstní regrese ............................... 96 4.5.1 Vlastní metoda robůstní regrese ................... 98 OBSAH 5 5 Analýza časových rad 100 5.1 Základní pojmy a úvahy........................... 100 5.1.1 Svetelná křivka............................ 100 5.1.2 (Čas pozorovaní............................ 101 5.2 Periodicita promennosti ........................... 103 5.2.1 Příčiny zmen periody periodicky pramenných hvezd........ 103 5.2.1.1 Púlzújící hvezdy...................... 103 5.2.1.2 Rotújící hvezdy....................... 104 5.2.1.3 Interagújící dvojhvezdy .................. 105 5.2.1.4 LiTE a apsidalní pohyb.................. 106 5.2.2 Epocha, fíze, fazova fúnkce a okamzita perioda.......... 107 5.2.3 Zakladní dvoúparametrickí model - linearní efemerida...... 108 5.2.4 Modely s pozvolnými zmenami periody promennosti........ 108 5.2.4.1 Príklady........................... 109 5.2.4.2 Diskúse. Prosty tríparametrickí model periody..... 111 5.2.5 Modely s marginalními zmenami periody.............. 112 5.2.5.1 Kúbickí model zmen periody............... 112 5.2.5.2 LiTE ............................ 113 5.3 Periodoví analíza okamzikú extremú.................... 113 5.3.1 Resení metodoú nejmensích ctvercú................. 116 5.3.1.1 Nejistoty jednotlivích okamzikú extremú......... 117 5.3.1.2 Urcovaní parametrú linearních regresních modelú .... 118 5.3.2 Štandardní úrcovaní okamzikú extremú............... 118 5.3.3 Proste modely svetelních krivek................... 119 5.3.4 Precizní úrcovíní okamzikú extremú svetelních krivek ...... 120 5.4 Príma periodova analíza........................... 122 5.4.1 Popis metody ............................. 123 5.4.2 Virtúalní O-C diagram........................ 124 5.5 Fenomenologicke modely fazovích krivek.................. 125 5.5.1 Rotújící hvezdy s fotometrickymi skvrnami............. 125 5.5.2 Zakrytove dvojhvezdy ........................ 127 5.5.3 Spektroskopickí promennost..................... 130 5.6 Simúltanní modelovíní nestejnorodích zdrojú fazove informace...... 130 5.7 Hledíní period. Periodogramy........................ 131 5.7.1 Metody minimalizace fíazovíeho rozptylú ............... 133 5.7.2 Periodogramy jako aplikace metody nejmensích ctvercú...... 133 5.7.2.1 Lineíarní regrese a její níastroje ............... 133 5.7.2.2 Varianta I - súma ctvercú odchylek............ 134 5.7.2.3 Varianta II - Lombova-Scargleova metoda ........ 135 5.7.2.4 Varianta III - signíl/súm ................. 136 5.7.3 Slozitejsí sitúace ........................... 136 5.7.3.1 Dloúhodobyí trend ..................... 137 5.7.3.2 Múltiperiodicke zmeny................... 137 5.7.4 Zdanlive periody (aliasy)....................... 137 5.7.4.1 Falesne periody....................... 138 6 OBSAH Fyzika proměnných hvězd 6 Proměnnost periodicky proměnných hvězd 142 6.1 Rotující proměnné hvězdy.......................... 142 6.1.1 Asfěrickě hvězdy ........................... 142 6.1.2 Skvrny na hvězdách.......................... 143 6.1.2.1 Sluncě a hvězdy sluněCního typu ............. 144 6.1.2.2 Typ FK Comaě Běrěnicěs................. 145 6.1.2.3 Typ RS Canum Věnaticorum - skvrnití psi........ 145 6.1.2.4 Typ BY Draconis...................... 149 6.1.2.5 Chěmicky pěkuliarní (CP) hvězdy............. 149 6.1.3 Magnětickě polě............................ 152 6.1.3.1 Pulsary ........................... 152 6.2 Dvojhvězdy.................................. 155 6.2.1 Zakrytově proměnně hvězdy..................... 155 6.2.2 Světělně krivky zakrytovych dvojhvězd............... 157 6.2.3 Krivky radialních rychlostí...................... 162 6.2.4 Těsně intěragující dvojhvězdy.................... 164 6.2.5 Víznam vízkumu zakrytovích dvojhvězd ............. 166 6.2.6 Nězíkrytově dvojhvězdy....................... 167 6.3 Pulzující proměnně hvězdy.......................... 168 6.3.1 Radialní pulzacě ........................... 168 6.3.2 Měchanismus pulzací ......................... 172 6.3.3 Pís něstability a jěho intěrprětacě.................. 173 6.3.4 Zavislost pěrioda-zarivy víkon a jějí vysvětlění.......... 176 6.3.5 Pulzacě radiíalní i něradiíalní. Míody pulzací ............. 178 6.3.6 Hěliosěismologiě a astrosěismologiě ................. 181 6.4 Typy pulzujících proměnných hvězd..................... 183 6.4.1 Klasickíě cěfěidy ............................ 183 6.4.2 Hvězdy typu W Virginis....................... 185 6.4.3 RRLyraě............................... 186 6.4.4 Hvězdy typu ó Scuti......................... 187 6.4.5 Hvězdy typu 7 Doradus ....................... 188 6.4.6 Rychlě oscilující pěkuliarní hvězdy ................. 189 6.4.7 Hvězdy typu /? Cěphěi........................ 190 6.4.8 SPB.................................. 190 6.4.9 Pulzující bílí trpaslíci ......................... 191 6.4.10 Dlouhopěriodickě pulzující proměnně hvězdy............ 192 6.4.10.1 Polopravidělně proměnně hvězdy............. 194 6.4.10.2 Hvězdy typu RV Tauri................... 195 6.4.10.3 Hvězdy typu R Coronaě Borěalis............. 195 7 Fyzika apěriodických proměnných hvězd 196 7.1 Proměnnost hvězdy v duslědku změn jějího okolí.............. 196 7.1.1 Hvězdy typu T Tauri......................... 196 7.1.2 Hvězdy typu FU Orionis....................... 199 OBSAH 7 7.1.3 Herbigovy-Harovy objekty...................... 200 7.1.4 Latka ve dvojhvězdách........................ 200 7.2 Aktivita hvězd a její projevy......................... 201 7.2.1 Príčiny hvezdne aktivity....................... 203 7.2.2 Vzplanutí nov............................. 204 7.3 Komplexní prestavby, zhroucení a výbuchy................. 205 7.3.1 Supernovy typu II, Ib a Ic...................... 206 7.3.2 Supernovy typu Ia.......................... 207 Literatura..................................... 209 Historie a metody výzkumu 11 1 Uvod 1.1 Definice Promenne hvezdy jsou takove objekty, jejichž jasnost se v case mení. Promenne hvezdy tvorí mimoradne pestrou skupinu osamoceních hvezd, dvojhvezd a vícenasobních hvezdních soustav, velice rozmanite jsou i projevy pozorovaních zmen a jejich pfíciny. Promennost hvezd je pomerne castí jev, odhaduje se, ze asi 10 % hvezd jsou hvezdy zjevne promenne. Cím více se zjemnují diagnosticke metody, tím vyssí je zastoupení odhalených promenních hvezd v nahodnem vzorku hvezd. Rozpetí pozorovaních svetelnych zmen je siroke: od 1 milimagnitudy (0,001 mag = 1 promile) do desítek magnitud (10 mag = 1 : 104,15 mag = 1 : 106). Rozlicne jsou casove skaly: od 10-4 s az do casovích merítek zmen, k nimz dochízí v dusledku hvezdneho vyívoje. Pokud tyto vyívojovíe zmeny souvisejíí s jaderníym víyvojem v centríalníích oblastech hvezdy, probíhají velice pomalu, v zavislosti na hmotnosti objektu v tzv. jaderné časové škále 106 az 109 let. Radove rychlejsí jsou tehdy, pokud jsou dusledkem vnitrní prestavby jadra i obalu hvezdy. Prestavba se zpravidla deje v tzv. Kelvinově-Helmholtzově škále (radove statisíce let), pricemz stíle je hvezda ve stavu takrka presne hydrostaticke rovnovahy. Dojde-li vsak v prubehu vívoje k jejímu narusení, mení se hvezda v tzv. dynamické časové škále (podle typu hvezdy az desítky minut). K rychlym zmenam tohoto druhu dochazí bud' na pocatku hvezdneho vívoje nebo v pozdních vyvojovych stadiích. 1.2 Význam studia promenných hvezd Promenne hvezdy jsou zajímave nejen tím, ze se na nich, v nich nebo kolem nich neco deje, ale i tím, ze se rozborem jejich promennosti muzeme neco dozvedet o objektech samotnych. Vseobecne platí, ze promenne hvezdy na sebe prozrazují více nez hvezdy s konstantníí jasnostíí. Vyzkumem promenních hvezd získavame casto unikatní informace o vykonech, hmotnostech i o vnitrní stavbe hvezd, ktere bychom jinak jen stezí dokazali získat (zakrytove dvojhvezdy, pulzující hvezdy aj.). Navíc mohou hodne prozradit i o sve poloze. Supernovy typu Ia, pulzující promenne hvezdy nebo zakrytove dvojhvezdy mohou velmi dobre poslouzit i pro urcovaní vzdaleností ve vesmíru. 12 Kapitola 2. Historie a současnost výzkumu proměnných hvězd 2 Historie a současnost výzkumu proměnných hvezd 2.1 Prehistorie sledovaní proměnných hvězd Přestože by se mezi hvězdami viditelnými pouhýma očima nasla řádka hvězd, které mění svou jasnost nepřehlednutelným zpUsobem, jejich pozorovaní byla v počýtcích astronomie velmi vzacný a nesystematicka. Hlavní zýbranou sledovýní promenných hvezd v zemích, ovlivnených starovekou řeckou a rímskou kulturou, byla predpojatost ucencu, který ve shode s tehdy nejvetsí autoritou - Aristotelem - nepocítali s tím, ze by se jasnost hvezd mela a mohla nejak menit. Vyplývalo to z aristotelskeho nahledu na svet, kde se za sferou Mesýce zýdne zmeny nepripoustely. Hvezdna obloha tak byla jen statickou kulisou, definovanou jednou provzdy v jednom jedinem definitivným tvaru. Pokud se prece jenom nějaké změny pozorovaly, pak muselo jít o proměnné hvězdy s výjimečnou amplitudou svetelných zmen - o vzplanutí nov či supernov. PotíZ je v tom, Ze tyto jevy byly aristotelovskou fyzikou odmítany bud' jako nedopatrení nebo se soudilo, ze tu jde o nejake meteorologicke jevy, nejspís komety. O tech astronomove zaznamy nevedli, nebot' komety, coby jev související s lokílním pocasím, spadaly do kompetence meteorologu ci kronikaru. Čínští a japonstí astronomove a astrologove touto predpojatostí netrpeli a neobvykle jevy na obloze, vcetne „nívstev hvezdních hostu", peclive zaznamenívali. Od nich pak pochízejí dulezite informace napríklad o vsech supernovach, jez v posledním tisíciletí vzplanuly (viz tabulka 2.1). Bohuzel, vzhledem k tomu, ze vzplanutí supernov byla vyznamna podle jejich astrologie, jsou jejich zaznamy nepresne a nekdy i ícelove zabarvene a pozmenene. Jedno z nejstarsích uvedomelích pozorovíní promenních hvezd se prí podle asyrologa Schaumbergera uskutecnilo ve staroveke Babylínii. Na jedne z klínopisných tabulek ídajne nasel ídajne dukaz toho, ze starovecí pozorovatele vedeli o svetelních zmenach Algolu. 2.2 První vedecka pozorovaní Tycho Brahe (1546-1601) objevil roku 1572 pobhz k Cas „novou" hvezdu. Presne ji zakreslil do hvezdne mapy a urcil jejý souradnice. Jejý menuý se jasnost srovnaval s jasnosti' ostatných hvezd a zýskal tak prvný casovou radu promenne hvezdy. Z ný pak bylo mozno sestrojit vubec první světelnou křivku1 promenne hvezdy a soucasne i první svetelnou krivku zachycující pokles jasnosti supernovy. Tutez supernovu sledoval jeste dvanact dalsých ucencu, a je treba poznamenat, ze po Brahovi byl nejpresnejsým pozorovatelem Tadeýs Hajek z Hajku (1525—1600). Z hlediska výzkumu promenných hvezd jde o pníkom v pohledu na tento typ hvezd. Ostatní ucenci Tychonova pozorovýní zhusta znevazovali, oznacujíce novou hvezdu za atmosferický jev: za kometu ci meteor. Tycho Brahe vsak peclivým rozborem vlastných i Hajkovych merem prokazal, ze ona nova je nejmene sestkrýt dal nez Mesýc. V te dobe to byla jedna z posledních ran aristotelskemu svetovemu nazoru. 1Termínem svetelna krivka oznacujeme zavislost jasnosti, hvezdne velikosti hvezdy na case. Presna definice bude uvedena v kapitole 5. 2.3. Začátky systematického studia 13 Obrázek 2.1: SN 1572. Periodicky proménná hvézda byla poprvé uvédoméle pozorována v lété roku 1596, kdy si David Fabricius (1564-1617) povsiml zmény jasnosti omikron Céti. Znovu ji pozoroval v rocé 1609 a nazval ji Mira - „Podivuhodná". Znovu ji objévilo nékolik dalsích pozorovatélu, v 1638 i holandsky astronom Holwarda2 (1618-1651), ktéryá hvézdu studoval systématicky po célyá rok - to jé prvnáí práípad systématickáého slédováanáí proménnáé hvézdy. Périodicitu svétélnách zmén Miry jako první zjistil Ismaél Boulliau (1605-1694). Périodu stanovil na 333 dny, coz jé v az dojémnáé shodé s dnésnáími urcénáími (332 dny). V rocé 1715 Edmond Halléy (1656-1742) uvadí v clánku o historii novyách" hvézd za poslédnáích 150 lét sést objéktu - vésmés nápadné sé ménící dlouhopériodické proménné a (supér)novy - SN 1572 (Tychonova), SN 1604 (Képlérova), omikron Céti (Mira), P Cyg (N1600 Cyg), Nova 1670 Vul, x Cyg. Néjdé vsak o katalog v pravém slova smyslu, protozé rozhodné néobsahujé vséchny téhdy znáamáé proménnáé hvézdy. Pripoménmé aléspon novodobyá objév proménnosti Algolu Géminianém Montanarim v rocé 1669. 2.3 Začátky systematického studia Iniciáatory systématickáého vyázkumu proménnyách hvézd sé stali Anglicanáé Edward Pigott (1753-1825) a John Goodrické (1764-1786). Tén v létéch 1782-3 objévil svétélné zmény 2nékdy též Jan Fokkens (Johann Phocylides) Holwarda Tabulka 2.1: Historické supérnovy Rok Typ Souřadnice Dnešní Maximainí Doba pozorovaní Pozorovatel(e) a [h m] 5 [°] oznaCení hv.vel. [mag] pouhýma oCima -134 ? 5 54 -13 ? ? Hiparchos, Cíňane 185 SN 14 12 -60 -8 7.12.185-Cervenec 186 369 ? 0± +60± ? 6 mesícu 386 SN 18 30 -25 +1 3 mesíce 393 SN 16 48 -38 -1 8 mesícu 1006 SN 15 13 -45 -8 az -10 28.4.1006 -13.8.1006 ařab.,jap.,cín.,jihoevř.poz. 1054 SN 5 30 +22 CM Tau -4 az -5 4.7.1054 -17.4.1056 Jang Wej-Te aj. 1181 SN -1 cervenec 1181 -? 1203 N 16 48 -38 -2 1230 N 16 20 +20 říjen 1230 - březen 1231 S. Fujivařa aj. 1430 N 7 24 +7 1 mesíc 1572 SN 0 19 +64 B Caš -4 6.11.1572-unor 1574 Schůlleř,Břahe,Hajek aj. 1600 N? 20 12 +38 P Cyg +3 8.8.1600-1626? Blaeu, Kepleř(?) 1604 SN 17 25 -21 V843 Oph -2,5 9.10.1604-podzim 1605 Kepleř,Fabřicius,Břunowski 1667 N 6 +20 V529 Oři 1670 N 19 42 +28 +2,7 20.6.1670-? Anthelme,Picařd 14 Kapitola 2. Historie a soucasnost výzkumu promennych hvezd Algolu a hvezdu sam tez systematicky pozoroval. Prokazal, Ze se mení s periodou necelých tri dní a spravne vysvetlil prícinu jejích svetelných zmen. Tyz Goodricke objevil jeste dalsí dve periodicke promenne hvezdy: P Lyrae a 8 Cephei, shodou okolností tu jde o predstaviteľky dalsích dvou typu promennosti hvezd. Pigott roku 1784 objevil dalsí cefeidu n Aquilae a v roce 1795 R Coronae Borealis a R Scuti. V roce 1786 Pigott publikoval první katalog proměnných hvezd, kterí obsahoval techto 12 exemplaru: Nova Cas (SN 1572) Algol R Leo Mira Nova Vul 1670 n Aquilae P Cygni X Cygni ß Lyrae Nova Oph (SN 1604) R Hya ô Cephei Zajem o vízkum promenních hvezd se zvísil az po roce 1844, kdy Friedrich Arge-lander (1799-1875) publikoval jednoduchou metodu odhadovaní jasnosti promennych hvezd - relativním srovnívíním promenne hvezdy s hvezdami srovnatelne jasnosti, jez se nachízely v bezprostredním okolí. Tato vseobecne dostupna pozorovací metoda slouzila po radu desetiletí jak profesionalním astronomum, tak i astronomum amaterum, jimz konecne slouzí doposud. Ale i zde se dnes díky dostupnosti moderní detekcní techniky (hlavne CCD) postupne prechízí od subjektivních pozorovacích metod k metodím objektivním. V roce 1844 mel Argelanderiív soupis znamych promennych hvezd 44 polozek. Jako autor znameho bonnskeho katalogu (Bonner Durchmusterung) si Argelander uvedomil nutnost jednoznacneho oznacovaní promennych hvezd a zacal je v jednotlivých souhvez-dích oznacovat postupne písmeny R, S, ... Z3 a nasledne kombinacemi RR, RS, RT,...., RZ, SS, ST, ..., SZ, TT,... ZZ. Argelander tak prispel take k systematizaci vízkumu promenních hvezd. 4 V roce 1880 byla znama uz stovka promenních, coz umoznilo Edwardu C. Pick-eringovi (1846-1919) provest jejich zakladní klasifikaci, jíz se pridrzujeme doposud. Presto poznaní príčin promennosti bylo stíle obtízne zejmena pro velke mnozství typu promennosti. Nicmene jak narustal pocet promennych hvezd, rísovaly se jiz urcitejsí skupiny promennych hvezd s podobnym chovaním. Spektroskopie ukazala, ze vetsina ze znamích promenních hvezd má syte oranzoví nadech (miridy) se spektrem s molekularními pasy. Soudilo se, ze promennost je tu vlastností rozsahlích chladních a hustích atmosfer. Príve zmena spektra se zmenou jasnosti vedla k tomu, ze byla definitivne opustena myslenka Wiliama Herschela, kterí se 3Casto se tvrdí, ze počáteční písmeno R bylo zvoleno podle německého „rot" nebo francouzského „rouge", česky červený, což melo vycházet z toho, že vetsina tehdy známých promennych hvezd byla červená. Tento rozsíreny názor vyvrátil sám Argelander, která naopak uvádí: „Aby se zamezilo zámenám s Bayerovych abecedním označením, zvolil jsem poslední písmena abecedy psaná verzálkami." Arge-landerUv návrh na označování pochází z roku 1855, ale oficiálne byl prijat az roku 1867. 4Pozdeji byl tento system označování novách promennách hvezd doplnen Ristenpartem a následne Andrem. Dnes platne „definitivní" označení promenne hvezdy má tedy následující podobu: Pred latinskym názvem souhvezdí ve 2. pádu, respektive jeho trípísmenovou zkratkou, se uvádí původní Argelenderova kombinace písmen, prípadne dalsí kombinace písmen nebo číslic, a to v tomto poradí: R, S, T, ... Z, RR, RS, RT, ... RZ, SS, ST, ..., SZ, TT,... ZZ, AA, AB, ... QQ, QZ, V 343, V 344 ..., pričemz se nepouzívají kombinace s písmenem J. Mohlo by se totiz snadno poplest s písmenem I. 2.4. Výzkum promenných hvezd v 19. a 20. stoletý 15 domnýval, ze týto hvezdý jsou posetý tmavými skvrnami a ke zmenam dochazý v důsledku rotace. Zachovýna ale zustala u nekterých polopravidelných promenných hvezd, jejichz svetelna krivka pripomínala prubeh výskýtu slunecných skvrn. Zcela jiným pHpadem býl býlý Algol: V roce 1880 Pickering oprasil jiz skoro sto let starou Goodrickovu domnenku o dvojhvezdne povaze promenne hvezdý a dokýzal, ze výborne odpovýdý pozorovýný. Z tvaru svetelne krivký odvodil promennost i relativný rozmerý obou slozek. O potvrzený domnenký se postaral v roce 1888 Hermann Vogel (1834-1898), kdýz zjistil, ze Algol je jednoslozkova spektroskopicka dvojhvezda, jejýz krivka radialný rýchlosti presne odpovýda dvojhvezdnemu modelu. Bezpecne tak býl kombinacý fotometrickýých a spektroskopickýých pozorovaýný prokýazýan mechanismus promennosti tzv. zákrytových dvojhvězd5. Po úspěchu u Algolu zkoušeli astronomové štěstí u cefeid. ô Cephei sice objevil už Goodricke, ale radne ji zkoumala až V. K. Ceraski roku 1880. I když se jedna o prísne periodickou hvezdu, pokus o vysvetlení zakryty ve dvojhvezde selhal. Hvezdy jsou v minimu jasnosti cervenejsí než v maximu, svetelnú krivka je asymetricka, vzdy mú pomaly pokles, rychlú narust. Radiúlní rychlost je promenna, coz dava moznost vypoctu fiktivní trajektorie dvojhvezdy. Bohuzel, jak v roce 1914 ukazal Harlow Shapley (1885-1972), trajektorie neviditelne slozky by v mnoha průpadech zasahovala do jasnejsí hvezdy - jedna hvezda by obíhala v druhe. Behem 19. stoletý vzrostl pocet znamých promenných hvezd az na nekolik stovek. Prýccinou a predpokladem býlý: a) zvýsený zajem o hvezdý, b) spolehlive hvezdne mapý, c) fotometricke prehhdký, d) na konci stoletý i harvardske fotograficke prehhdký a e) zapojený astronomu amateru do výzkumu promenných hvezd, coz jim v podstate umoznila Argelanderova stupnový metoda odhadu jasnosti. 2.4 Výzkum promenných hvezd v 19. a 20. století Devatenýcte stoletý a zejmena jeho druhý polovina býla epochou prekotneho vývoje astronomie a nekterých oblast! fýziký (napnklad spektroskopie); prinesla radu objevu, ktere vedlý ke vzniku noveho vedního oboru - astrofyziky. V rade publikací se toto období oznacuje jako era vznikajýýý „nove astronomie". Ta se navľc mohla stýle vľce spolehat na objektivnejsý metodý výzkumu, kdý oko prestavalo být zýkladným detektorem svetla. Pomýslne vladý se ujala fotografie, ktera si svou pozici drzela az do konce dvacateho stoletý. To prineslo nejen otevú-am oken do vesmýru v podobe detekce i jiných castý elek-tromagnetickeho spektra zarení nez svetlo, ale take presnejsí detekcní metodý výuzitím fotoelektrickýe a CCD fotometrie. Zejmýena CCD technika na konci 20. stoletý praktický zcela výtlacila z astronomických observaton klasickou fotografii i fotoelektrickou fotometrii. Po nesmelých pocatcých na balonech a raketach prisla v druhe polovine minuleho stoletý ke slovu i druzicový astronomie. Pripomeňme si tedý tento prekotný vývoj nikoli chronologický ale dle jednotlivých metod sledovým promenných hvezd a nusta pozorovaný. 5Teprve na sklonku 20. století ukazala interferometricka pozorovaní rúdioveho zdroje v míste dvojhvezdy, ze zdroj kmita v ramci úsecky o delce 0.004" s periodou 2.87 dne, ktera odpovída orbitalní periode Algolu B. Nove byla zjistena i orientace obezne trajektorie dvojhvezdy v prostoru. (J.-F. Lestrade et al., 1999). 16 Kapitola 2. Historiě a soucasnost vyzkumu proměnnych hvězd Tabulka 2.2: Děfinicní stupně rozdílu slabosti dvou hvězd. Odhadní stupěň (os) Děfinicní popis rozdílu slabostí srovnívaních hvězd Zapis 0 Hvězda a sě jěví stějně slaba jako hvězda b něbo sě chvílěmi zdí strídavě něpatrně slabsí a něpatrně jasnějsí něňz hvňězda b. a0b 1 Pňri bědlivíěm pozorovíaní sě hvňězda a jěví ňcastňěji jasnňějňsí něz stějně jasna jako hvězda b a jěn vzacně sě jěví hvězda b jasnňějňsí něňz hvězda a. a1b 2 Hvězda a sě jěví takrka vzdy o malo jasnějsí něz hvězda b. Jěn zrídka sě zdí, zě sě jějich slabosti rovnají. a2b 3 Hvězda a sě jiz na první pohlěd jěví jasnějsí něz b. a3b 4 Hvězda a jě vyrazně jasnějsí něz hvězda b. a4b 2.4.1 Vizimlní fotomětriě První pozorovatělě proměnnych hvězd měli kazdí svuj systěm zapisu a vyhodnocění pozorovíní proměnních hvězd. Jědnalo sě v podstatě bud' o prímě zarazění hvězdy do nňěktěríě z ptolěmaiovskíych tňríd hvňězdníě vělikosti něbo o (vňětňsinou něpňrěsnyí) popis, jak jasnaí jě hvňězda vě srovnaíní s okolními hvňězdami. První jasnňě formulovanou pozorovací mětodu pouňzíval F. W. Hěrschěl. Vyíslědky srovnaní jasností dvou hvězd vyjadroval pomocí soustavu zvlastních znacěk a symbolu, ktěrě lzě slovně císt jako: stějně jasně, jasnějsí, slabsí, vyrazně jasnějsí, vírazně slabsí. Hěrschěl systěmaticky pozoroval hvězdy dlě katalogu J. Flamstěěda a víslědky pozorovíaní vňsěch pňribliňznňě 3000 hvňězd publikoval vě ňctyňrěch katalozích v lětěch 17961799. Jěho mětodu uzívali pozorovatělě az do casu Argělanděra. F. W. A. Argělanděr pouňzííval nějprvě pňri vlastníích pozorovíaníích Hěrschělovu mětodu, alě zahy si uvědomil jějí nědostatky. V rocě 1844 pak publikoval Výzvu k přátelům astronomie (Argělanděr, 1844) v níz popsal, jak by sě mělo vizuílní pozorovaní proměnních hvězd provídět. Hěrschělovy znacky nahradil jasně děfinovaními stupni s císělnym vyjadrením. Pozorovanou jasnost hvězdy vyjadrenou vě stupních dlě děfinicě v tabulcě 2.2 oznaňcujěmě jako slabost. Argělanděr nězavrhujě ohodnocění rozdílu slabostí dvou hvňězd vyňsňsím stupnňěm. Takovíě odhady alě mohou bíyt zatíňzěny vňětňsí chybou a zpravidla jě pouňzívají jěn zkuňsění pozorovatělě, ktěrí mají po lětěch praxě odhadní stupěn poměrně maly. Zatímco u za-catěcníku totiz u prvních pozorovaní rmízě bít vělikost jědnoho odhadního stupně (os) az 0,5 mag, ti nějlěpsí pozorovatělě „v aktivní sluzbě" dosahovali az 0,02 mag. Takova presnost jě alě víjiměcní, zě znímích pozorovatělu ji dosahovali ci dosahují jěn napňríklad Sěbastian Otěro, Kamil Hornoch něbo Pavol A. Dubovskyí. Bňěňznaí vělikost 1 os pro zkuňsěníěho pozorovatělě jě kolěm 0,1 mag. Vizuaílní pozorovatělíě pouňzívají Argělanděrovu mětodu dodněs, alě vňětňsinou v nňějakíě zě dvou modifikací. Bud' pouzívají pro stanovění slabosti proměnně hvězdy vzdy pouzě dvňě srovnaívací hvňězdy - jědnu slabňsí a jědnu jasnňějňsí a něbo pouňzijí vícě srovnaívacích hvňězd najědnou. 2.4. Vyzkum promenních hvezd v 19. a 20. století 17 Jinou cestou nez Argelander se vydal N. R. Pogson. Zatímco Argelander nepotreboval v principu vedet nic o pouzitych srovnavacích hvezdích, Pogson svou metodu zalozil na znalosti hvezdních velikostí srovnívacích hvezd. Pri vlastním odhadu pak pozorovatel interpoluje hvezdnou velikost promenne hvezdy mezi zníme hvezdne velikosti dvojice srovnavacích hvezd. Pogson prímo predpokladal, ze velikost jednoho odhadního stupne je 0,1 mag, takze pak pracoval s desetinami magnitudy stejne jako se stupni. Ve svete je Pogsonova metoda pomerne rozsírena (napríklad v ramci spolecnosti AAVSO). Její víhodou je rychlost, odhady se vetsinou zapisují prímo v magnitudach a není potreba dalsích vípoctu. Jenze jsou zde prinejmensím dve uskalí - ne vzdy jsou srovnavací hvezdy promereny dostatecne presne a ve vizuílní oblasti spektra a navíc nejsou zpravidla uchovany informace o pouzitych srovnívacích hvezdach. Vysledkem je jednak mozní vetsí rozptyl pozorovaní a zejmena znehodnocení pozorovíní, pokud se pozdeji ukaze, ze jedna z pouzívaních srovnavacích hvezd je ve skutecnosti sama promenna. Americky vyznaCný astronom konce 19. století E. C. Pickering ale nebyl spokojen ani s jednou víse popsanou metodou a navrhl vlastní postup (Pickering, 1882, 1883) v clanku nazvanem „A Plan for Securing Observations of the Variable Stars". Jeho interpolacní metoda vyuzíívaí vzdy dvojice srovníavacíích hvezd se zníamíymi hvezdnyími velikostmi. Jejich rozdííl vzdy rozdelil na 10 cíastíí, takze pri vlastníím odhadu u dalekohledu bylo nutne rozhodnout, kde v danem intervalu lezí promenní hvezda. Tento prístup je z hlediska fyziologie smysloveho vnímíní lepsí nez absolutní porovnavaní v Argelanderove, respektive Pogsonove metode. Ale opet je tu nezbytní predpoklad mít srovnavací hvezdy predem rídne promerene. Jako poslední se objevila metoda vizuílního pozorovíní promenních hvezd, kterou nezavisle na sobe navrhli A. A. Nijland (1901) a o par let pozdeji S. N. Blazko. Snazí se spojit vyhody Argelanderovy stupňove a Pickeringovy interpolacní metody. Pro odhad jasnosti promenne hvezdy se vyuzije vzdy dvojice srovnívacích hvezd. Promenna hvezda se pak zaňradí mezi nňe do intervalu, rozdílu hvňezdnyích velikostí nebo slabostí. Interval slabostí mezi srovníavacími hvňezdami rozdňelíme na tolik ňcaístí, kolik bychom mezi nimi vlozili odhadních stupmí. Nísledne urcíme o kolik techto castí je promenna slabsí, respektive jasnňejňsí neňz srovníavací hvňezdy. Tato metoda vyňzaduje urňcityí cvik a není vhodnía pro zaňcínající pozorovatele. Vizuíalní pozorovaíní je dnes jednoznaňcnňe na uístupu. Provozuje se jen tam, kde zejmena z materiílních duvodu si pozorovatele nemohou pon'dit CCD kamery a pocítace. Nicmíenňe i v konňciníach, kde vizuíalní pozorovatelíe vymňreli, je nutníe vňedňet více o tňechto pozorovíaních, protoňze ňcasto pňredstavují jediníe informace o zkoumaníe hvňezdňe z období pňred desítkami nňekdy i stovkami let. Pokud uňz vizuaílní pozorovíaní pouňzije je vňsak nutníe k nim pňristupovat obezňretnňe a detailnňe je prozkoumat. Jsou totiňz subjektivním vyísledkem pozorovatele nikoli objektivním mňeňrením. Pňríňcinou jsou fyziologickíe a psy-chologickíe vlivy, kteríe se na víysledku vizuíalního pozorovíaní podepisují. Podrobnňeji si o nich lze precíst napríklad v publikaci Pozorovíní promenních hvezd I (Zejda et al., 1994). 18 Kapitola 2. Historie a soůcasnost víyzkůmů promenníych hvezd 2.4.2 Něvizualní fotomětriě 2.4.2.1 Fotograficka fotomětriě Jakmile se astrofotografie „zabydlela" na observatorích, doslo k prekotnemů objevovíní novích promennych hvezd. Astronomove ůz prestali spolehat na níhodů, a půstili se do systematickeho vyhledavíní novych promennych hvezd pomocí fotografickích prehlídek oblohy. Porizovaly se snímky stejnych oblastí hvezdneho nebe a na nich se prostím porovnaním daly nove promenne hvezdy odhalit relativne snadno. Vznikaly rozsíhle sklenene archivy.6 Desky take bylo mozno promerovat a merení i po letech znovů opakovat. Astronomove tak po nekolika staletích zacali opoůsteli sůbjektivní metody zkoůmaní hvezd. Nicmene bylo treba vyvinoůt korektní a presne metody zpracovaní a promerovíní fotografií hvezdních polí. Průkopníkem v oblasti fotograficke fotometrie se stal Karl Schwarzschild. 2.4.2.2 Fotoělěktricka fotomětriě První elektrickoů detekci slabeho svetla hvezd ůskůtecnil roků 1892 v Důblinů William Monck, kdyz poůzil jako svetlocivní prvek fotonků zkonstrůovanoů Georgem Minchinem. American Joel Stebbins zacal poůzívat seleniovy odporovy fotoclanek v roce 1907. Avsak skůtecny pocatek fotometricke fotometrie je spojen s konstrůkcí fotoclanků, kde se merí elektricky proůd vznikly fotoefektem v hydridů draslíků. Ten vyrobili Jůliůs Elster a Hans Geitel v Nemecků a kratce pote Jakob Kůnz v ÚSA. Hlavními průkopníky fotoelektricke fotometrie byli Paůl Gůthnick a Richard Prager v Berlíne a Joel Stebbins a jeho kolegove v ÚSA. Príve oni povísili původní fyzikílne technicke pokůsy na metodů, kterí zacala davat vedecke vísledky i mimo laborator. Behem let 1912-1940 nasledovalo postůpy pozorovatelů z Berlína a Illinois (nebo Wis-consinů) mnoho dalsích pozorovatelů. Úvídí se az 38 pozorovatelů na 22 observatorích ale s rozdílními íspechy. Samozrejme doslo k vylepsením a vívoji, ale nůtno ríci, ze do první komercní víroby fotonasobiců, vlastne behem cele zmiňovane epochy byla fotoelek-tricka fotometrie spíňe jistím drůhem ůmení nez růtinním merením. Do toho období, presneji do roků 19307 spadí i objev fotonasobice, jehoz aůtorem je L. A. Kůbetsky. Fotonasobice (PMT - z anglickeho "photomůltiplier tůbe") jsoů vlastne elektronky, kde ve vakůovaníe trůbici na zíapornňe nabitoů katodů dopadía zíaňrení hvňezdy. Fotoefektem vznikly proůd elektronů je pak zesílen v soůstave nekolika dynod vyůzívajících efekt sekůndíarní elektronovíe emise. Je to kňrehkíe zaňrízení, kteríe lze zniňcit i tím, ňze je vystavíte pňríliňs jasníemů svňetlů. I na pocatků 21. století jsoů fotonísobice nejcitlivejsím prístrojem na detekci svetla, schopníym detekovat jednotlivíe fotony. Mezi jejich dalňsí pňrednosti patňrí velkyí dynamickyí rozsah, kterí typicky dosahůje radů 107, a take linearita, kdy vystůpní signíl se mení s rozdíílnoů intenzitoů dopadajíícíího svňetla ve velkíem rozsahů lineaírnňe. Navííc jde o velmi rychlí merící prístroj, kterí můze pracovat i na skalích kratsích nez milisekůndy. Pri spríavníem zpracovíaní namňeňrenyích dat poskytůje velmi pňresníe reaílníe hodnoty v ňraídech milimagnitůd. 6Většinou byla fotografická emulze nanesena na skleněnou desku. 7Mnoho prací uvádí za datum vzniku fotonasobice rok 1936 a za jeho vynalezce kolektiv kolem V. K. Zworykina. 2.4. Výzkum proměnných hvězd v 19. a 20. století 19 V dnesní dobe jsoú merení provedena fotoelektrickím fotonasobicem spííše víjimecna. Vetsina observatorí vymenila tyto prístroje za modernej sí a citlivejsí CCD kamery. Bohúzel tím vetsinoú take úkoncila casove rady presnych fotometrickích pozorovaní jasnyích hvezd. 2.4.2.3 „Křemíkova" fotometrie První prvek CCD (z anglickeho Charged Coúpled Device) vznikl v roce 1969 v Bellovích laboratorích. Willard Boyle a George E. Smith tehdy vyvíjeli elektronovoú pocítacovoú pamet'. Nicmene první CCD kamerú predstavili úz o rok pozdeji. První komercní CCD zobrazovací prvky byly vyrabeny firmoú Fairchild Electronics v roce 1974 o rozmení 100 x 100 pixelú. Schopnost prenosú naboje byla tehdy mene nez 0,5 % (o trochú mene nez dobra fotograficka deska). První poúzití v astronomii a skútecní pocítek noveho vekú v pozorovací technice nastal v roce 1979, kdy na metrovem dalekohledú na Kitt Peak National Observatory poúzili chlazení cip RCA 320 x 512 LN2. Jiz první pozorovíní úkízala prednosti vyúzití CCD prvkú namísto fotografickych desek. Kvantoví úcinnost byla brzy 50 a vícekrít vyssí (v cervene barve). Cipy samotne byly na rozdíl od fotografickych desek velmi linearní, takze kalibrace byly snadne a bylo mozne snadno detekovat i slabe, malo kontrastní mlhoviny. Nicmene ve srovnaní s fo-toelektrickyích fotometrem CCD kamery nemají takovyí dynamickíy rozsah, citlivost a typicky nejsoú tak presne. CCD kamery jsoú vynikající pro sledovaní slabích hvezd, kdy se na snímkú najednoú nachízí rada zhrúba stejne jasních hvezd. Naopak pro jasne hvezdy vetsinoú není na snímkú poúzitelní srovnavací a kontrolní hvezda a navíc je pro jasne hvezdy treba zpravidla volit velmi kratke expozicní casy a presnost merení pak nemúsí bít velika. CCD kamery jsoú nejcitlivejsí v cervene oblasti spektra, dnes úz jsoú po úpravích více citliví i v modre barve. CCD systemy zpravidla dosahújí presnosti 0,01 mag, prestoze rada programú na zpracovaní CCD pozorovaní pocíta s milimagnitúdami. Maximílní casove rozlisení ú beznych komercní ch kamer bíva kolem 0,1 sekúndy. Dynamicky rozsah CCD kamer je dan analogove digitílním prevodníkem ADC8, ktery v dobe vznikú skript byva vetsinoú sestnacti bitoví, coz znamení zhrúba 65 000 úrovní signaílú. Jednoú z predností poúzití CCD kamer v astronomii je soúcasne zachycení rady hvezd na jedinem snímkú, tedy soúcasne merení jejich jasnosti. Navíc jsoú snímky úchovavany v digitalních archivech a je mozne se k nim po case znovú vrítit, promerit a zpracovat a to vse efektivneji nez ú skleneních desek. CCD kamery jsoú dnes masove rozsíreny a jsoú v dosahú i movitejsích amaterskích astronomú. Znamena to, ze od zavedení CCD kamer v astronomii nebívale vzrostl pocet fotometrickych dalekohledú, schopnych promerovat jasnosti i slabích objektú, ktere byly jeste pred nekolika desítkami let v dosahú jen nekolika malo velkych dalekohledú. Pocet získanych dat i nove objeveních promenních hvezd tak rostoú nevídanym tempem. Prispívají k tomú, jak jiz zminovaní amaterstí astronomove, ale zejmena pak velke prehlídkove projekty, napríklad ASAS, OGLE, MACHO, ROTSE, NSVS a dalsí. V soúcasne dobe jsoú zejmena díky zmiňovanym prehlídkovím projektúm masivne ob-jevovany nove promenne hvezdy. 8Zkratka vychází z anglického analog-to-digital converter. 20 Kapitola 2. Historié a soucasnost vyzkumu proménnych hvézd Zakladní katalog proménnych hvézd, tzv. General Catalogue of Variable Stars, vydávaná od roku 1948 v Moskvé, uz rozhodné néní „générální" - vséobécná. Poslédní 4. vydání katalogu (4.2 v éléktronické vérzi) lzé najít na intérnétu a obsahujé 40 215 objéktu (stav ké konci roku 2009). Nové jsou do néj zarazovány jén individualné ob-jévéné proménné hvézdy. Proménné hvézdy objévéné v ramci préhládkovách projéktu pozémnách obsérvatorá jako ASAS, ROTSE, OGLE, NSVS a dalsá, podobné jako proménné hvézdy, ktéré byly odhalény jako réntgénové nébo rádiové zdrojé z druzic byvajá oznacovany zkratkou práslusného katalogu a polohou na hvézdné oblozé, vétsinou v rov-nákovách souradnicách. Komplétnéjsá a aktualnéjsá préhléd o proménnách hvézdach dnés poskytujé napn'klad sérvér Américké asociacé pozorovatélu proménnách hvézd AAVSO (http://www.aavso.org/vsx). 2.4.3 Spektroskopie V 19. stolétá bylo publikovano nékolik zasadná pracá, ktéré polozily zaklad hvézdné spék-troskopii. Pripoménmé si aléspoň néktéré z protagonistu rozvojé spéktroskopié. Brit William Hydé Wollaston objévil roku 1802 témné cary vé slunécnám spéktru. V rocé 1818 Joséph Frauhofér pozoroval a popsal 576 témnách car vé slunécnám spéktru a ty néjvyáraznňéjňsáí oznaňcil páísmény A aňz K. David Bréwstér ukáazal roku 1832, ňzé chladnyá plyn vytvaáňráí témnáé ňcáary vé spojitáém spéktru. O 15 lét pozdňéji John W. Drapér zjistil, ňzé horkáa pévnáa laátka émitujé spojitáé spéktrum zatáímco horkáy plyn ňcaárováé spéktrum. V rocé 1859 Gustav Robért Kirchhoff a Robért Bunsén objévili, zé kazdá chémická prvék nébo slouňcénina máa charaktéristickáé spéktrum ňcar, ktéráé majáí stéjnou vlnovou dáélku v émisnáím i absorpňcnáím spéktru. To byl pňrévratnáy objév, ktéryá v podstatňé umoňznil studovat sloňzénáí alésponň povrchovyách vrstév hvňézd na dáalku pouhyám rozborém jéjich svétla. První fotografická zaznam spéktra, tzv. spéktrogram hvézdy, konkrétné Végy, záískal roku 1872 américkáy amatáér Hénry Drapér. Christian Dopplér (1803-53) vé svách pracích prédpovédél, zé pohybující sé objékt budé vykazovat zmňénu polohy spéktráalnách ňcar, takňzé budé moňznáé rozborém spéktra urňcit radiáalná sloňzku rychlosti s vélkou pňrésnostá. Nicmáénňé poprváé sé to vé spéktru konkráétná hvňézdy podaňrilo ukaázat aňz Williamu Hugginsovi v rocé 1868. Prvná mňéňréná a séstavéná kňrivky radiaálnách rychlostá pro dvojhvňézdu pak provédl o dvacét lét pozdňéji Hérmann Carl Vogél (1841-1907). Na konci 19. stolétá jiňz patňrilo spéktroskopickáé pozorovaáná hvňézd k bňéňznyám métodáam vázkumu. Préstozé uz roku 1867 sé Angélo Sécchi (1818-1878) pokusil o prvná klasifikaci spéktér 316 hvňézd, téprvé na pňrélomu 19. a 20. stolétá byl záskáan dostatéňcnňé bohatyá pozorovací' matérial, aby bylo mozné udélat dukladná rozbor a naslédnou klasifikaci hvňézdnyách spéktér. Pňri tvorbňé HD katalogu s táémňéňr 230 tisáci hvňézdami vytvoňrili Edward Pickéring a zéjména Annié Cannonová zaklad systému klasifikacé spéktér, ktérá sé pouňzávaá dodnés. Systématickáé slédovaáná spéktér nňéktéráych hvňézd ukáazalo, ňzé sé tato spéktra mňéná, a to v radé ohlédu. Kromé jiz zmánénách radiálnách rychlostá systému spéktralnách car vé spéktréch dvojhvézd a vícénasobných hvézdnych systému, byly nalézény zmény v pro-filéch néktérách spéktralnách car, zéjména pak téch, ktéré vykazujá émisi (néjcastéji Ha, rézonancní cáry ionizovaného vápníku CaII - H a K). U magnétickách chémicky pékuliarních hvézd pozorujémé cyklické zmény ékvivaléntní sírky car néktérách prvku, s 2.4. Vyzkum promenných hvezd v 19. a 20. stoletý 21 periodou rotace se mený i jejich rozsý^ený zpusobene silným magnetickým polem. U rady hvezd byly nejdriVe zjisteny jejich spektroskopicke zmeny a teprve pak se ukýzalo, ze jsou doprovýzeny i zmenami jasnosti. 2.4.4 DruZicový pozorovaní Novou eru ve vyzkumu promennych hvezd zapocala cinnost astrometricke druzice Hip-parcos, pomocí níz bylo objeveno na 12 000 nových promenných hvezd a byla potvrzena promennost 8 200 hvezd. Dnes je fotometrie teto druzice z hlediska presnosti a casoveho rozlisení uz prekonýna. Z fotometrických druzic pocatku 21. století uved'me alespon druzice COROT, MOST, BRITE, Kepler nebo pripravovany satelit GAIA. • COROT - odstartovala v roce 2006. Na palube je dalekohled o prumeru 28 cm (f=1200 mm, FoV 3,8°), dve CCD 2k x 2k - kazda na jeden zýkladní projekt -astroseismologie (objekty 5, 7 < V < 9,5 mag v 5 oknech) a exoplanety (objekty 11, 5 < V < 16, 5 mag v 6000 oknech). Druzice porizuje tríbarevnou fotometrii a spektroskopii s velmi malym rozlisením. http://corot.oamp.fr • MOST - Kanadskýa vesmýírnýa agentura (CSA) vypustila roku 2003 mikrosatelit Microvariability and Oscillations of Stars (MOST) urcený ke studiu zmen jasností hvezd a ke studiu extrasolarních planet. Dalekohled o prumeru 15 cm do-plneny CCD kamerou (1024x1024) pracuje v intervalu 350-700 nm. MOST zkouma male zmeny v jasnostech bhzkych hvezd a urcuje jejich starý a slozený Dalsľm po-zorovacým programem je studium atmosfýer extrasolýarných planet. http://www.astro.ubc.ca/MOST/ • BRITE - Projekt BRight Target Explorer pocľtý se 4 nanodruzicemi, kazdý s hlavným dalekohledem, vlastne jen cockou o prumeru 30 mm (FoV 24°). Druzice mají slouzit k monitorovým' zmen jasnosti hvezd s vizualní hvezdnou velikostí do 4 mag. Kazda ma mýt fixný fotometrický filtr. http://www.univie.ac.at/ brite-constellation/spacecraft.html • Kepler - Hlavným cflem druzice Kepler (start v roce 2009) je detekovat exoplanety o hmotnosti 30-600krat mens! nez Jupiter. Dalekohled o prumeru 0.95 m s FoV vetsý nez 10 ctverecmch stupňu nepretrzite monitoruje jasnost 100 000 hvezd jasnejsích nez 14 mag v souhvezdích Labut' a Lyra. Aby byl schopen splnit vytceny cýl, musý detekovat pokles jasnosti 1/100 procenta. http://kepler.nasa.gov/ • GAIA - NejočekývanejSí druzice stelarný astronomie posledných let ma planovaný start v roce 2013. Bňehem pňeti let mýa doslova proňsmejdit" oblohu do 20 mag. Hlavný zrcadla 1,45x0,5 m majý soustred'ovat zachycene zarený na 106 CCD prvku a tak zýskýavat výcebarevnou fotometrii, astrometrii (pro objekty do 15 mag dle barvy s presnostý 12-25 //as, do 20 mag 100-300 //as) a spektrometrii (spektrofo-tometrii s m'zkým rozlisenmi v rozsahu 330-1000 nm, radialm rychlosti s presnostý 1-15 km/s pro vňsechny objekty do 17 mag). http://www.rssd.esa.int/Gaia 22 Kapitola 2. Historie a současnost výzkumu proměnných hvezd 2.5 Typy proměnných hvezd VýuZití CCD techniky a její zpřístupnění amatěrským pozorovatelU spolu s pokrokem druZicově astronomie znamenaly doslova boom v počtu promenných hvezd. Prudký rust jejich poctu je mozne sledovat i v prehledu katalogu promenných hvezd v tabulce 2.3. Zatímco první katalog z roku 1786 obsahoval pouhý tucet promenných hvezd, ne-jobsýhlejsí katalog soucasnosti Variable Star Index (VSX) americký spolecnosti AAVSO obsahuje pres 200 000 promenných a kazdý mesýc v nem pribývajý dalsý tisýce hvezd. Je zrejme, ze jak v historii rostl pocet znamých promenných hvezd, vývstavala i potreba rozclenit je podle jejich chovým a pncin jejich zmen. Hlavným rozlisovarím znakem vzdý býl a stale zustava podoba zmený jasnosti, tedý vzhled jejich světelné krivky. S rozvojem pozorovací' techniký pres vizualný odhadý, fotografii, fotonasobice az po CCD prvký, se neustale zlepsuje presnost pozorovaný (v soucasnosti standardne rýdove milimagnitudý) i jeho casove rozlisem (az 10-4 s). Casem nabýlý na dulezitosti dalsí rozlisovací znaký príslusnosti k urcitemu týpu promennosti: vzhled spektra, spek-tralný zmený (zmený intenzitý, ekvivalentný sýrký a profilu spektralných car), zmený radiaýlnýí rýchlosti. Oficialní Generalní katalog promenných hvezd (GCVS) uz davno není generalní, obsahuje „jen" 40 000 hvezd. Najdeme v nem ale generacemi astronomu výtvýrenou týpologii promenných hvezd. Dnes uzívana klasifikace výchýzí z Generýlního katalogu promenných hvezd (Durlevich et al., 2006). Je v ný zastoupeno 119 týpu promenných hvezd. Na Valnem shromazdem IAU v roce 2006 v Praze býla diskutovana nova klasifikace navrzena vedoucým týmu GCVS Nikolajem Samusem. Krome radý zmen v týpologii promenných hvezd býlo navrzeno, abý se mimo jiz pouzývaneho znamenka "+"(pro koexistenci dvou týpu) uzýval take znak " |", znamenajíčí "nebo" - pro mozne klasifikace tehoz objektu, napfíklad EC|Ell, EC|RR. IAU nývrhý dosud neprijala, radu z nich akceptovali tvurci VSX a uvedli je v zivot. Jejich klasifikace týpu promenných hvezd vcetne charakteristik jednotlivých týpu je k dispozici na http://www.aavso.org/vsx/index. php?view=about.vartypes. V zasade muzeme rozdelit promenne hvezdý podle mechanismu promennosti na dve skupiný: A) geometrické (anglický extrinsic), kde se svetelný tok z hvezdý nebo hvezdne sous-tavý nemení, mení se vsak její svítivost. Deje se tak nejcasteji v dusledku rotace hvezdý se skvrnami na povrchu nebo obehu slozek dvojhvezdý kolem spolecneho teziste. B) fyzické (anglický intrinsic), neboli skutecne promenne hvezdý, u nichz se realne mený jejich zarivý výkon v danem spektrahum oboru. Sýdlo jejich zmen muze být jak v okolý hvezdý, tak v jejých povrchových vrstvach (nejcasteji tu jde o ruzne projevý hvezdne aktivitý), v podpovrchových vrstvých (pulzace vseho druhu) a ko-necne i samotnem jadru hvezdý, ktere bývý ohniskem vzplanutý supernov vseho druhu. Týto skupiný se dýle delý na tfídý a jednotlive týpý (viz obr. 2.2). Casto se jednotlive týpý promenných hvezd oznacují podle první nebo nejlepe prozkoumane hvezdý dane skupiný: 2.5. Typy proměnních hvězd 23 Tabulka 2.3: Katalogy proměnních hvězd v minulosti a dnes. Rok Autor Pocet hvezd 1786 Pigott )x 12 1840 Argelander )2 18 1850 Argelander )3 24 1856 Pogson )4 53 1865 Chambers )5 113 1866 Schönfeld )6 119 1868 Schönfeld, Winnecke )7 126 1875 Schönfeld )8 143 1877 Chambers )9 147 1884 Gore )10 191 1887 Gore )11 243 1893 Chandler )12 260 1896 Chandler )13 393 1903 Pickering )14 701 1907 Cannonova )15 1425 1918 Möller, Hartwig )16 1687 1920 Möller, Hartwig )17 2054 1922 Möller, Hartwig )18 2233 1926 Prager )19 2906 1930 Prager )20 4581 1935 Prager )21 6776 1940 Schneller )22 8254 1942 Schneller )23 9476 1948 Kukarkin, Parenago )24 10912 1958 Kukarkin aj. )25 14711 1969-70 Kukarkin aj. )26 20437 1972 Kukarkin aj. )27 22731 1974 Kukarkin aj. )28 25221 1985-87 Cholopov aj. )29 28277 1985 Cholopov, Samus aj. )30 28924 1987 Cholopov, Samus aj. )31 29587 1989 Cholopov, Samus aj. )32 30099 1990 Samus, Kazarovetsovä )33 30264 1993 Samus, Kazarovetsova, Goranskij )34 30702 2012 Samus, Durlevich et al. )35 45835 2012 VSX )36 214 287 Publikace: 1) Philosophical Transaction of the Royal Society of London 76, for the year 1786, s. 189; 2) Schumachers Jahresbuch für 1844, s. 214, 1844; 3) Abgedruckt von A. v. Humboldt im Kosmos Band III, s. 243, 1850; 4) Astronomical and Meteorogical Observations made at the Radcliffe Observatory, Oxford, in the year 1854, XV, s. 281—298; 5) Monthly Notices 25, 208; 6) 32. Jahresbericht des Mannheimer Vereins für Naturkunde. Mannheim 1866; 7) Vierteljahrschrift der Astronomischen Gesellschaft (Leipzig) 3, 66; 8) 41. Jahresbericht... (viz 6) Mannheim 1875; 9) A handbook of descriptive astronomy. 3. vyd. Oxford 1877, s. 578; 10,11) Proceedings of the Royal Irish Academy — Ser. II, Vol. IV, s. 149—210 a Ser. III, Vol. I, s. 97—150; 12) Astronomical Journal (AJ) s. 300, 1893; 13) AJ s. 379, 1896; 14) Annals of the Observatory of Harvard College (Harv. Ann.) 48, s. 91—123; 15) Harv. Ann. 55, s. 1—88; 16) Geschichte und Literatur des Lichtwechsels der bis Ende 1915 als sicher veränderlich anerkannten Sterne (GuL), 1. díl, Leipzig, 1918; 17) GuL, 2. díl, Leipzig, 1920; 18) GuL, 3. díl, Leipzig 1922; 19) Kleinere Veröffentlichungen der Universitatssternwarte zu Berlin-Babelsberg (KVBB) 1, 1926; 20) KVBB 9, 1930; 21) KVBB 15, 1935; 22) KVBB 22, 1940; 23) KVBB 26, 1942; 24) GCVS, 1. vydaní; 25) GCVS, 2. vydaní; 26) GCVS, 3. vydání; 27) 1. doplnek ke 3. vydaní GCVS; 28) 2. doplnek ke 3. vydání GCVS; 29) GCVS, 4. vydan í; 30) IBVS 2681, 1985; 31) IBVS 3058, 1987; 32) IBVS 3323, 1989; 33) IBVS 3530, 1990; 34) IBVS 3840, 1993; 35 CDS GCVS k 15.4.2012, 36) CDS VSX k 30.12.2012. 24 Kapitola 2. Historie a souňcasnost víyzkumu promňenníych hvňezd Obrazek 2.2: Rozdelení promenních hvezd. Prevzato z http://outreach.atnf.csiro.au/. tak napňríklad hvčezdy typu W Ursae Majoris jsou zíakrytovíe dvojhvňezdy s vlastnostmi podobnyími jejich hlavní pňredstavitelce W UMa, miridy hvňezdy typu Mira Ceti atd. Existují i promenne hvezdy které vykazují soucasne hned nekolik typu promennosti, patňrí tedy souňcasnňe do nňekolika skupin promňenníych hvňezd. Aplikace spektroskopie, vyízkum kinematiky promňenníych hvňezd v Galaxii, mňeňrení paralax novíymi astrometrickyími metodami (HIPPARCOS) a dalňsí níastroje umoňznily odhadnout vzdíalenosti ňrady jednotlivyích promňennyích hvňezd a vypoňcítat jejich absolutní hvňezdníe velikosti. Tím bylo umoňznňeno znaízornit jednotlivíe typy promňennyích hvňezd v ploňse HR diagramu (viz obr. 2.3). Tento zcela novyí pohled na problematiku vyízkumu promenních hvezd ukízal, ze urcite typy promenních hvezd zde zaujímají sve specificke místo. Poloha konkríetní hvňezdy na HR diagramu je díana její hmotností a víyvojovíym stadiem. Z tohoto pohledu se hvňezdnía promňennost zaňcala vyklaídat jako jistaí nemoc" , kterou si hvezda v prubehu sveho vývoje chte nechte musí prodelat (obdoba tzv. detskích nemocí). Ale ani tento vyňsňsí stupenň poznaíní nepňriníaňsí odpovňed' na zaíkladní otíazky: Jak a proňc se jasnost promňennyích hvňezd mňení?" K tomu je zapotňrebí nejprve vytipovat nekolik zékladnéch mechanismů, hvezdne promennosti a pomocí nich a teorie hvezdne stavby zkonstruovat soubor zíakladních modelUu promčennosti. Pak je moňzníe rozebírat vlastnosti a chovíaní reíalníych promňennyích hvňezd, jejichňz promňennost lze zpravidla vyloňzit spolupusobením nekolika mechanismu promennosti. O modelech i mechanismech pro-mňennosti si povíme v dalňsích kapitolíach. 2.6. Brno a promňenníe hvňezdy 25 SURFACE TEWPERATURE (K) 25000 10000 7500 60CO 5000 3500 p B A F G K M SPECTTWL CLASS Obrízek 2.3: Promenne hvezdy v Hertzsprůngove-Růssellove diagramů. Zdroj: http://webs.mn.catholic.edů.aů/physics/emery/. 2.6 Brno a proměnně hvězdý Astronomie mía na Masarykovňe ůniverzitňe dloůhoů tradici. Je zde vyůňcovíana ůňz od dvacíatíych let minůlíeho století. Kraítce po drůhíe svňetovíe vaílce zaloňzil profesor Josef Mikůlíaňs Mohr ůniverzitní astronomickíy ůístav, kteríy víyraznňe pňrispňel k rozvoji stelaírní astronomie v bívalem Ceskoslovensků. Mohrův nejlepsí zak - Lůbos Perek, pozdejsí sef ístavů si privezl z pobytů v Leidenů plíny na stavbů reflektorů, kteroů pak v Brne realizoval v ůniverzitníí kopůli hvňezdíarny na Kravíí hoňre v roce 1954. Na astronomickíem ístavů pracovalo mnoho významných ceskích astronomů, krome vyse jmenovanych naprííklad Vladimíír Vanyísek, Jiríí Grygar, Zdenek Kvííz nebo Lůbos Kohoůtek. V padesatích letech se darilo brnenske astronomii nejen na akademicke půde, ale vznikla i lidova hvezdarna s planetíriem, v jejímz cele stanůl prof. Oto Obůrka. Ten na konci padesíatíych let minůlíeho stoletíí inicioval vznik pozorovacíího programů kríatkope-riodickyích promňennyích hvňezd pro astronomy amatíery, zejmíena z ňrad mlaídeňze. Pozdňeji tento program pňrevzala pod svía kňríídla Cňeskoslovenskía a poslíeze Cňeskía astronomickía spoleňcnost a jejíí obnovenía Sekce pro pozorovatele promňennyích hvňezd. Sekce, jejíí po-zorovacíí program, zíískanía data, organizovaníe zíacvikovíe akce i vňedeckíe konference pak proslavila brnenskoů hvezdírnů v komůnite pozorovatelů promenních hvezd a stelarních astronomů po celem svete. V cele Sekce se po Obůrkovi vystrídali Jindrich IŠilhan, Zdenňek Pokornyí, Zdenňek Mikůlíaňsek, Miloslav Zejda a od roků 2005 Lůboňs Bríat. Se zmňenoů vedeníí brnňenskíe hvňezdíarny na poňcaítků 21. stoletíí se zmňenily i podmíínky pro ňcinnost Sekce. Symbioíza s Hvňezdaírnoů a planetíariem M. Kopernííka v Brnňe byla pňrerůňse-na, Sekce zmenila sve sídlo, reorganizovala se, rozsírila svůj program. Podrobnosti lze najít na straínkaích Sekce na http://var.astro.cz. Soůňcasníe vedení brnňenskíe hvňezdíarny 26 Kapitola 2. Historie a soucasnost vyzkumu promennych hvezd usiluje o navracení odborneho pozorovacího programu na pudu teto instituce. Mohutna prestavba budovy v letech 2010/2011 k tomu vytvorila predpoklady. Univerzitní astronomii se v Brne darilo se strídavími íspechy. Po skvelem zacatku v padesatích letech se v polovine 80. let dostalo univerzitní pracoviste pod tvrdí tlak dekanatu prírodovedecke fakulty, jenz tehdy astronomii vylozene nepríl. Po odchodu L. Perka a V. Vaníska do Prahy se stal vedoucím pouheho oddelení astrofyziky prof. Miroslav Vetesník, ale jeho pracoviste se muselo nekolikrít prestehovat do stíle stísnenejsích prostor a personílní stav se neustíle snizoval. Presto se na observatori na Kraví hore zísluhou prof. Miroslava Vetesníka a zejmena RNDr. Jirího Papouska stale konala soustavna a homogenní fotoelektricka merení. Po príchodu Zdenka Mikulaska v roce 2002 byl zatraktivnen obsah studia, zvysil se pocet studentu a take pracovníku astronomickeho oddelení. V soucasne dobe patrí mezi hlavní vedecka temata, kterím se zamestnanci oddelení venují, horke hvezdy a hvezdne systemy s horkou slozkou, a dale pak promenne hvezdy vsech typu. Venujeme se komplexnímu studiu chemicky pekuliírních hvezd, spojitostí mezi geometrií jejich magnet-ickích polí a tvarem a rozlozením fotometrickích a spektroskopickych nehomogenit na jejich povrchu. Dalsí oblastí vízkumu jsou atmosfery a hvezdní vítr horkích hvezd, a to jak z teoretickeho tak i z pozorovatelskeho hlediska. V prípade promenních hvezd se zamerujeme na vívoj a testovíní novích sofistikovaních metod pro zpracovíní a interpretaci napozorovaních dat, ktere jsou aplikovany zejmena na zíkrytove dvojhvezdy a miridy. Nezanedbatelnou pozornost venujeme i víukovím metodam v astronomii a historii astronomickeho vzdelavíní. Astronomicke oddelení Ustavu teoreticke fyziky a astrofyziky spolupracuje s dalsími ceskími a slovenskymi institucemi, jmenovite jde o Astronomickí ístav Akademie ved CR v Ondrejove a Astronomickí ustav Slovenske akademie ved, zejmena pak s jejich stelarními oddeleními, se kterymi pracujeme na nekolika spolecních projektech. Astrofyzici z techto pracovist' rovnez zastit'ují diplomove a dizertacní prace nasich studentu jako skolitele. Pracovníci astronomickeho oddelení se podílejí na resení rady dvoustranních projektu a spolupracují s partnerskími institucemi napríklad v Polsku, Rakousku, Turecku, Recku, Mad'arsku, Cíne, Nemecku a jinde (více na strankach oddelení http://astro.physics.muni.cz). Príkladem prestize a dobreho jmena brnenskeho pracoviste byla mezinarodní konference o dvojhvezdích BINKEY, na ktere prednaselo rada astronomu svetoveho jmena (http://astro.physics.muni.cz/binkey/). 27 3 Pozorování proměnných hvězd Proměnné hvězdy jsou objekty, jejichž pozorovatelné vlastnosti se průběhu casu mění. Probereme si ted' ve stručnosti ty charakteristiky, jichž si u promenných hvezd vsímame nejCasteji. 3.1 Astronomická fotomětriě Hlavním zdrojem informací o promenných hvezdach jsou casově zmeny jejich jasnosti. Zavislost jasnosti na case, tzv. světelná křivka ukazuje nejen na typ promennosti, ale prinaýsýí i radu dalsýích podstatnýych informacýí o objektu samotnýem, naprýíklad o jeho rozmerech a mechanismech promennosti a jejich parametrech. 3.1.1 Základní pojmy á vztáhy Zarení prichýzející k ným od zvoleneho objektu lze nahlízet jako proud fotonu o ruzně vlnove delce A ci frekvenci v pohybujících se rychlostí svetla c = 2, 99792458 • 108 m s-1, z nichz kazdý nese energii Ef a hybnost pf, pricemz platí: A =-, Ef = hv =-r-, pf = — = — =-r, (3.1) v A c c A kde h = 6,626069 • 10-34 J s. Vlnova delka zarení A se merí v metrech, ci v mensích jednotkých, jako jsou nanometry 1 nm = 10-9 m nebo v angstromech, 1Á = 10-10 m, zatímco frekvence v pocítí v hertzech, 1 Hz = 1 s-1. Zakladní fotometrickou velicinou je tzv. hustota zářivého toku F nebo tez bolomet-rická jasnost, coz je mnozství energie zarení, ktere projde plochou kolmo nastavenou smerem k prichýzějícímů zírení o výměre 1m2 za 1 s. Dulezite je vsak zduraznit, ze tato plocha musí byt umístěna za hranicemi zemskěho ovzdusí. Jednotkou bolometrickě jasnosti nebo hustoty zarivěho toku F je watt na metr ctverecní (Wm-2 = J m-2 s-1). Zakladní spektrofotometrickou velicinou je tzv. spektrálni hustota zářivého toku /a (A) nebo /v (v), coz je hustota zírivěho toku v urcitě vlnově dělce A nebo frekvenci v, pripadající na jednotku vlnově dělky (1m, 1 nm, 1 Á) nebo jednotku frekvence (1 Hz). Jednotkami těchto moznych vyjadrení spektrální hustoty zarivěho toku jsou watt na metr krychloví (Wm-3), respektive joule na metr ctverecní (Wm-2 Hz-1 = Jm-2). Mezi těmito velicinami platí tyto vztahy: F = f /v dv = j /a dA = j /a d(£) =j dv, =► /v = A^/a. (3.2) Zavislost spektralní hustoty zarivěho toku na vlnově dělce nebo na frekvenci urcuje rozdelená energie ve spektru, oznacovaně casto zkratkou SED (Spectral Energy Distribution), nebo takíe obycejne spektrum objektu. Rigorózní určování průběhu spektrální hustoty zářivého toku /a(A) reálných objektů z pozemních observatoří je velice náročným merením, tákze bylo provedeno jen u nekoliká málo nejjásnejSích hvezd. Jáko etálon, z nehoz se pák odvozuje SED pro ostátní objekty, se uzívá merení /a(A) Vegy. Rovnez ták merení bolometricke jásnosti F je dosti nírocním íkolem 28 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd mj. i proto, ze zemská atmosféra prakticky nepropustí záření s vlnovou délkou kratší než 300 nm. V minulosti se proto taková merení vedla z vysokých hor, prípadne vyskovych letadel, Ci ze stratosferickách balonu, v souCasnosti se taková pozorovaní provadejí z paluby umelych družic ci kosmickích sond. Ale i tam zustávají problemy se samotním merením, s propustností prístroju, citlivostí detektoru, coz je i prícinou, ze prakticka fotometrie i spektroskopie si vypracovala jináe metody a pracovná postupy. Pri běZně astronomickě fotometrii se jasnost dotycněho objektu zpravidla měrá fotometrem, coZ je prístroj schopný detekovat světlo s ácinností, ktera obecně zavisí na vlnově dělcě Rd(A). Pred fotometr se vkládají standardizovaně filtry c s definovanou propustností Rfc(A). Sada pouzitích filtru c pak definuje tzv. instrumentální fotometrický systém, kde index c označuje jednotlivě filtry nebo takě fotomětrickě barvy. Fotometr s filtrovím kolem byva pripojen k dalekohledu se svou specifickou propustností Rt(A). Signíl od hvězdy ale musí jestě prědtím projít několikakilometrovou vrstvou vzduchu se stopami vodní pary a rozptýlenými opticky aktivními Cásticěmi prachu. Propustnost těto dalsí prekazky stavící se postupujícímu zarení A), nazívana bězně atmosférická ex-tinkce, silně zavisí na vlnově dělcě. Hodnota atmosfěrickě extinkce se během pozorovaní navíc velice vyrazně mění a to jak co do amplitudy, tak i co do profilu funkce A). Skutěcně měrena hustota toku energie zarení FAc(t) jě pri tomto ^poradím rovna integrálu soucimi vsech zmíněních funkcí a spektrální hustoty zarivěho toku /a(A) pres vsechny vlnově dělky podlě vztahu: Í'OO Í'OO Fac(í) = / A(t, A) [Rfc(A) Rd(A) R (A)] /a (A) dA = / A(t, A) R (A) /a (A) dA Jo Jo (3.3) Soucin trí funkcí související s instrumentací naseho fotometru pfípojeněho k dalekohledu Rc(A) = Rfc(A) Rd(A) Rt (A) podlě vseho malo zavisí na casu a vírazně na volbě konkrět-ního filtru c, nězívisí na momentalním stavu zemskě atmosfěry ve směru pozorovaněho objektu, protoze ta jě zohledněna specialním clenem - extinkcí A). Pomocí funkce Rc(A) lze definovat instrumentalní jasnost Fc príslusnou k filtru c a pouzívaněmu prístroji1, nebo takě jasnost v odpovídající fotomětrickě barvě c. Měrením jasností vybraních hvězd zvanych fotomětrickě standardy lze pomocí jědnoduchích transformací dojít k jasnostem Fc v urcitěm mězinírodně uznavaněm fotometrickěm systěmu2: Fc = / Rc(A) fA - - = 1A/^//AíAA - ^ ^ Velmi informativní charakteristikou jasnosti v urcitě fotomětrickě barvě jě tzv. efektivní vlnoví dělka daně barvy Aefc, která ním vpodstatě zaradí data změrena v dotycně oblasti do spektra hvězdy i do kontextu s měreními v jiních fotomětrickych systěmech3. 1 Pokud si svuj fotometr neodvezete za hranice zemske atmosfery, musíte se smírit s tím, ze prímo vzdycky budete merit hustotu záriveho toku Fac(í), nikoli Fc. Nicmene pri zvolení vhodne metody pozorovaní lze vliv atmosfericke extinkce docela dobre odhadnout a eliminovat. Bude to predmetem kap. 3.1.4.3. 2Problematikou prevodu instrumentálních jasností na jasnosti mezinarodní se zabyvame v kap. 3.1.3.5, mnohem více se ale o ní dozvíte v pracích Harmanec et al (1977) a Harmanec et al. (1994). 3 Jak je patrno z rovnice 3.4, hodnota efektivní vlnove delky nezavisí pouze na pozorovacím prístroji, ale i na rozlození energie ve spektru pozorovane hvezdy. Platí, ze cím teplejsí hvezdu budeme studovat, tím kratsí efektivní vlnova delka bude. Jde vsak o efekt druheho radu, ktery temer vymizí, pokud prejdeme k strednepasmovym nebo ízkopasmovym fotometrickym systemum. 3.1. Astronomickáa fotométrié 29 Dalsá dulézitou charaktéristikou daného filtru jé i tzv. šířka filtru v polovicná váscé jého maximalná propustnosti FWHM (full width at half maximum), pomocá náz pak rozliňsujémé mézi ňsirokopáasmovyámi fotométrickyámi systáémy, stňrédnňépáasmováymi a spé-cializovanyámi uázkopaásmovyámi systáémy, jakyámi jsou tňréba absolutná spéktrofotométrié stojácá napul mézi klasickou fotométriá a spéktroskopiá. Méži množstvím používaných fotometrických „barev" zaujímá žviaštní postavení vizuální obor, definovaný filtrem V s propustností, jež odpovída spektrální citlivosti lidskeho oka v denním (fotopickem) režimu videní4. Nekolik vhodne žvoleních filtru spojených s detektorem o specificke spektralní citlivosti vytvarí instrumentalní žaklad pro tžv. fotometrický systém. Nejrožsírenejsí je Johnsonuv (standardní nebo mežinírodní) fotometrický system a jeho dlouhovlnne rožsírení (viž kapitola 3.1.3). Specialní filtry žde vymežují jasnosti v barve U (centrum v 365 nm), B (440 nm), V (550 nm), R (700 nm), I (900 nm), J (1250 nm) atd. Merením jasnosti hvežd v rade fotometrickych barev si lže ucinit uspokojivou predstavu nejen o celkove hustote žariveho víkonu F, ale i o rožložení energie ve spektru hvežd, ktere je dano prevažne její povrchovou teplotou Tef, mene pak už dalsími charakteristikami hvežd jako jsou chemicke složení nebo povrchove gravitacní žrychlení g. Astronomove ž tradicních i praktickích duvodu vyjadrují jasnost ždroje žarení pomocí tžv. hvězdné velikosti vyjadrovane v jednotkach žvanych magnitudy. Hveždna velikost m je logaritmickí velicina svažana s príslusnou jasností Fc v barve c nebo bolometrickou jasností F v celem rožsahu spektra tžv. Pogsonovou rovnicí:5 mc = -2, 5 log ^-fL) mag, mbol = -2, 5 log ^F0^ mag, (3.5) kde F0c je tžv. referencní jasnost, kterou ma ždroj s nulovou hveždnou velikostí. Velicinou je tedy hveždní velikost, jednotkou 1 magnituda, kterí ma povolenou žkratku mag.6 Podle typu jasnosti rožežnavame napr. vižualní hveždnou velikost mV, ožnacovanou nekdy prímo V, V = 3,18mag, bolometrickou hveždnou velikost mbol aj. Prevodní vžtahy meži bolometrickou jasností Fbol a bolometrickou hveždnou velikostí mbol vychížejí ž definice, podle níž hvežda s bolometrickou hveždnou velikostí mbol = 0 mag pusobí mimo žemskou atmosferu hustotu žíriveho toku F0 = 2, 553 • 10-8 Wm-2. Lže tedy psít: F = 2, 553 • 10-8 Wm-2 10-0,4 mbo1, mbol = (-18, 9824 - 2, 5 log F) mag. (3.6) V prípade vižualní hveždne velikosti mV je referencní jasnost pro mV = 0 mag stanovena na F0V = 3, 2 • 10-9 Wm-2.7 Hveždy v aktivní casti sveho života o sobe davají vedet predevsím svím elektromag-netickym žírením. Množství elektromagneticke energie v dane fotometricke barve c vyslane 4Maximum propustnosti filtru V leží u 554,4 nm, šírka ciní 84,3 nm (Moro & Munari, 2000). Hustota žariveho toku v barve V se tak prímo žtotožnuje hustotou svetelneho toku, nebo-li jasností j. Jednotkou jasnosti je i žde v principu Wm-2, vižualní jasnost lže ovsem tež vyjadrovat ve speciílních jednotkach žavedenych pro svetlo: [j] = 1 lumen m-2 5 Konstanta 2,5 v Pogsonove rovnici byla ž historickych duvodu vybrána tak, aby platilo, že pri roždílu 5 mag je pomer jasnosti 1:100 (log(100) = 2). Pro pomer jasností dvou objektu, jejichž hveždní velicina je vždalena práve o 1 mag, platí: Fc2/Fci = 100'4 = 2, 511886 Nežameňujte prosím s vyse vžpomínanou konstantou 2,5 v Pogsonove rovnici. 6Rcení jako: „magnituda hveždy je 4,7 mag" nemají smysl. Rovnež nedoporucujeme psít do exponentu male m: 4m7, protože „m" v exponentu je již vyhraženo pro vyjádrení uhlu v h m s. 7Ve speciílních jednotkích platnych jen pro barvu V to pak vypada tak, že j0 = 2, 54 • 10-6 lmm-2 = 2, 54 • 10-6 luxu. 30 Kapitola 3. Pozorovýaný promňennyých hvňezd za 1 sekundu do prostoroveho uhlu 1 steradianu (smerujícího k pozorovateli) vyjadruje tzv. zářivost zdroje, Ic, jez ma rozmer Wm-2 sr-1. Zarivost ízce souvisí s tzv. absolutní jasností v barve c, Jc, coz je hustota zúriveho toku hvezdy Fc = J Rc(A) /\(A)dA ve vzdalenosti r0 = 10 pc = 3,08568 • 1017 m, a absolutní velikostí Mc, coz je hvezdna velikost objektu sle-dovaneho v barve c rovnez z 10 pc. Jc = Í2 = 1, 050265 • 10-35 Wm-2 Ic, Ic = 9, 521406 • 1034 m2sr-1 Jc. (3.7) Ic = 2, 431 • 1027 Wsr-110-0,4Mc, Mc = (68, 464 -2, 5 log Ic) mag, (3.8) Fc = ^ = Jc (ľ^2 , ^ mc - Mc = 5log(r:^) =(m - M)o, (3.9) kde r je vzdílenost hvezdy. Poslední ze vztahu je dusledkem toho, ze se svetlo sírí prímocare, a platí tedy plne i pro merení v jakíchkoli filtrech8. Velicina (m — M)0 se nazíví modul vzdálenosti, a je tou vzdaleností plne urcen. V reílne situaci je treba jeste uvazovat tzv. mezihvězdnou extinkci, neboli zeslabení svetla zpusobene zpravidla rozptylem na prachovych císticích mezihvezdne latky Ac, jejízz velikost je zhruba neprímo ímerna v efektivní vlnove delce dane fotometricke barvy, takze pak pro danou hvezdu platí: mc = Mc + (m - M)0 + Ac = Mc + 5 log r - 5 + Ac = Mc - 5 log n - 5 + Ac, r = -, (3.10) n kde n je paralaxa v íhlovích vterinach, r je vzdalenost hvezdy vyjídrena v parsecích. Za predpokladu, ze hvezda zírí do prostoru rovnomerne ve vsech smerech, tedy izotropne, lze prejít od zarivosti Ic, udívane v jednotkach watt na steradiín, k zářivému toku v barve c c = J Ic(Q)dQ = dQ = 4 nIc = 4 Jc = 1,1965 • 1036 Jc, (3.11) Zariví tok hvezdy v barve c J VR0/ (3.17) kde (jTe4f je zariví víkon 1 m2 plochy o termodynamicke teplote rovnající se Tef, a 4 n R2 je plosna vymera koule o polomeru R. Slunecní zíriví víkon je L0 = 3.864 • 1026 W, efektivní teplota Tef0 = 5780 K, a polomer R0 = 6, 969 • 108 m. Je zjevne, ze víkon hvezdy zavisí predevsím na její efektivní teplote, a teprve v druhe rade na její velikosti. To je i prícinou skutecnosti, ze se na hvezdne obloze tak casto setkavame s hvezdami teplejsími nez Slunce, i kdyz v Galaxii jsou ve vírazne pocetní mensine. Efektivní teplota hvezdy Tef, ovsem nepopisuje jenom celkoví zariví víkon hvezdy, ale informuje nís tez o rozlození energie ve spektru (SED). Toto rozlození nam udava zavislost spektralní hustoty zariveho toku fv ci /a na frekvenci v, prípadne na vlnove delce A (viz rov. 3.2). Jiste by bylo vítecne, pokud bychom meli pro kazdou hvezdu tyto veliciny k dispozici, protoze pomocí nich si uz muzeme vypocítat, co potrebujeme, a muzeme je tez srovnívat s teoretickími predpoved'mi SED a meditovat nad prícinami mozních rozdílu mezi teorií a skutecností. Tak tomu vsak není. Absolutní kalibrace spektralní hustoty zariveho toku F\ patrí mezi ty nejsvízelnejsí ukoly prakticke spektro-fotometrie. Nastestí je mozne postupovat tak, ze velmi dukladne a odpovedne promeríme rozlození energie ve spektru jedne, kalibracní hvezdy, vuci níz uz pak budeme ostatní sva pozorovíní ostatních hvezd vztahovat. Za kalibracní hvezdu byla vybrana a Lyrae neboli Vega, jízz byl prisouzen nominalní spektralní typ A0V, a hvezdní velikost v barve V = 0 mag. V nísledující tabulce jsou uvedeny namerene hodnoty spektralní hustoty zíriveho toku /a(A) v jednotkích 10-11 Wm-2 nm-1 pro efektivní vlnove delky fotometrickích barev nejuzívanejsích foto-metrickích systemu - sirokopasmoveho rozsíreneho mezinírodního systemu Johnsonova a Stromgrenova ízkopísmoveho systemu uvbý: filtr u U v B b y V R I J H K L M Aef í^m] 0,35 0,365 0,41 0,44 0,46 0,55 0,55 0,7 0,9 1,25 1,65 2,2 3,5 4,8 /a(A) 3,25 4,22 7,18 6,40 5,81 3,70 3,75 1,70 0,83 0,307 0,12 0,041 0,0064 0,0019 Pozorovatelsky jednodussím prostredkem pro posouzení rozlození energie ve spektru hvezdy je absolutní spektrofotometrie, kde se pomeruje prubeh spektrální hustoty zárive energie Fa(A) vztazene k spektrální hustote zárive energie v nejake referenční vlnove delce, nejčasteji Ar = 500 nm (jde tedy o jisty barevná index vztazeny k Xr). Pro tento áčel se zavádí speciální 3.1. Astronomická fotometrie 33 diferenciální spektrofotometrická hvězdná velikost m(A): m(A) = —25log( (3.18) Z definice plyne, že spektrofotometrická hvězdná velikost m(A) je pro referenCní vlnovou delku vždy rovná nule. Prakticky se absolutní spektrofotometrie provádí merením jasnosti hveždy ížkopásmovou fotometrií vymezenou filtry s velmi malou sírkou spektrální propustnosti (mensí než 1 nm) v nekoliká desítkách vybraných vlnovích delek. Merení jsou to i ták dosti nároCná, opírájí se vždy o velmi peclivou kálibraci merícího prístroje á dukládne ocistení o vliv átmosfericke á tež mežihveždne extinkce. Vžhled žávislosti m(A) na vlnoctu (prevrácene hodnote vlnove delky) u konkretní hveždy je složitou funkcí parametru popisujících vlastnosti její átmosfery, dane žejmena její efektivní teplotou Tef, chemickím složením á gravitacním žrychlením pri povrchu hveždy g* (v m s-2), ktere se obvykle vyjadruje velicinou log g, log g = log g* + 2 (logaritmus gravitacního žrychlení v soustáve CGS). Odchylky od ideálního prubehu daneho žárením ábsolutne cerneho telesá teže efektivní teploty jsou žvlást' markantní pro hveždy spektrílní trídy A, kde intenžitá car nejhojnejsího ž prvku - vodíku, dosahuje sveho maxima. Absolutní spektrofotometrie popisující relativní rozložení energie ve spektru je jiste velmi komfortní záležitost, bohužel k dispozici je pozorování jen nekolik stovek tech nejjásnejsích hvezd. Je totiz nároCná ná svetlo, ná pozorovací podmínky á ná prístrojove vybavení, ktere má jen nekolik observátorí ná svete. Náproti tomu studií, kde se rozlození energie ve spektru studuje prostrednictvím tzv. bárevnych indexu, jsou tisíce. 3.1.2.2 Barevné indexy Barevny index hvezdy CI (z ángl. colour index) je rozdílem hvezdnych velikostí teze hvezdy ureenych ve dvou rozdílných bárvích c\ á c2 (vlnovích delkách), pro jejichz efektivní vlnove delky AC1 á AC2 plátí: AC1 < AC2. Vetsina používanych fotometrickych systemu pritom respektuje ímluvu, podle níž by mely mít referencní hustoty toku žárení FoC (viž rovnice 3.5) vsech fotometrickych bárev tákove hodnoty, áby melá hveždá spektrílního typu A0V nedotcená mežihveždnou extinkcí stejnou hveždnou velikost ve vsech bárvích. Pro takovou hveždu by prirožene by byly vsechny bárevne indexy nulovíe. K vípoctu bárevneho indexu pouzijeme vztáhy 3.4 á 3.5 CI (T) = rad - m-C2 = -2, 5 log /A(Aef Cl) FAcl FA0c2 ~ —2, 5 log fA(Aef c2) FAc2 FA0c1 FA0c2 / RcldA = —2, 5 log = —2, 5 log / RclfA(A)dA Faoc2" / Rc2/A(A)dA Fa0c1. fA(Aef cl) fA(Aef c2) + Kclc2, (3.19) _FA0c1 / Rc2dA_ kde Kc1c2 je pro dání bárevní index konstántá s jednotkou mágnitudá. Podíl uvedeny v hránáte je funkcí teploty. Pro jeho odhád pouzijeme Wienuv zíkon, podle nehoz je fA(A, T) ~ A-5 exp (— kAT), kde k je Boltzmánnová konstántá. Dosádíme-li znovu do rov.3.19 dostáneme po chvíli álgebry tákovouto funkcní zívislost bárevneho indexu ná teplote: CI (T) = —2,5 log (AtfC2 exp ĚÍt^ — tMI) l aefcl LkT \Aefc2 Aefcl / J j + kdc2 = y — c2, (3.20) 34 Kapitola 3. Pozorovaní proměnních hvězd O) CD E, -1.5 -1 -0.5 m 0 z> > 0.5 m 1 1.5 0.5 1.5 2 - 2.5 10000/Tef [K-1] 3.5 Obrazek 3.1: Zívislost bárevních indexu (B-V) á (U-B) ná prevrácene hodnote efektivní teploty Tef. Je pátrno, ze závislosti nejsou zdáleká prímkove, ják by vyplíválo ze zírení AČT, ále zvlnene, coz plátí zejmená pro zívislost (U-B). Duvodem je zjevná odchylká zírení hvezdy od zírení AČT s toutez efektivní teplotou. Čerchovánou cárou je náznácená predpoveď (B-V) podle vztáhu (3.21), pokud zámeníme bárevnou teplotu zá efektivní. kde C1, C2 jsou slozitě, lec konstantní funkce vsech vstupních parametru. Vzhledem k tomu, ze tato teplota byla odhadnuta pomocí barevněho indexu, mluví se o ní, jako o barevne teplotě Tb. Forma zívislosti pak treba opravnuje nísledující priblizní empirickí10 vztah mezi indikítorem teploty - barevním indexem B-V a efektivní teplotou 7300 (B - V) + 0, 52 (3.21) Barevna teplota se obecně odlisuje od efektivní teploty Tef, navíc pro kazdí jiny barevní index obecně dostaneme jinou barevnou teplotu. V oblasti efektivních teplot kolem 10 000 K kdy vodíkově círy nabívají svě maximalní intenzity, jsou odchylky rozlození energie ve spektru hvězdy od zarení ACT těze efektivní teploty velmi výrazně. Presvědcit se o tom muzete na modelověm prípadu demonstrovaněm na obr. 3.2. Barevně teploty jsou navíc silně ovlivněny mezihvězdnou extinkcí, kterou je nutno predem odecíst (viz kap. 3.1.4.2). Pro lepsí diagnostiku hvězd se zavídějí i slozitějsí barevně indexy jako linearní kombinace naměrenych hvězdních velikostí v rímci urcitych fotometrickych systěmu, v nichz jsou měreny hvězdně velikosti pro ruzně barvy q : CIj = aíj m(cí). Príkladem muze poslouzit astrofyzikalně dulezití Strômgrenuv systěm uvby (viz kap. 3.1.3.3), kde se 10Tento vztáh byl odvozen ná zákláde skutecne pozoroványch bárevnych indexu B-V á efektivních teplot, AČT poslouzil jen jáko inspiráci. 2 0 1 3 3.1. Astronomicka fotometrie 35 4 x 1015 r _ 3 x 1015 CO E T7» 2 x 1015 U? 1 x 1015 0 x 100 0 200 400 600 800 1000 l [nm] Obrazek 3.2: Rozložení energie ve spektru hvezdy s efektivní teplotou Tef = 10 000K s atmosférou složenou pouze z vodíku a helia. Ve spektru hvezdy dominují silne vodíkove cáry v oblasti volne-vazaních prechodu (Balmeruv skok). Rozlození energie pro ACT s teplotou 10000 K, B\(T), se od hvezdneho nejvíce odchyluje v oblasti ultrafialoveho zarení. V opticke oblasti je zesíleno kontinuum za Balmerovím skokem az po barvu V, coz je pak prícinou mensího barevneho indexu, nez by mel bít - hvezda se zde jeví jako objekt s vyssí teplotou. míísto hvňezdnyích velikostíí v ůvedenyích barvíach ňcasto poůňzíívaí i sloňzitňejňsíích barevnyích indexů: y = V, (b — y), m\ = (v — b) — (b — y), c\ = (u — v) — (v — b). Zvlastním prípadem barevneho indexů je tzv. bolometrická korekce BC daní rozdílem mezi bolometrickoů hvňezdnoů velikostíí hvňezdy a jejíí vizůaílníí hvňezdnoů velikostíí, takňze B C = TOboi — mV. Bolometricka korekce, rovnez vyjadrůje rozlození energie ve spektrů objektů, jez je v prípade hvezd ůrceno v prve rade efektivní teplotoů Tef. Bolomet-rickí korekce byla definovína tak, aby byla nůloví ů hvezd o povrchove teplote kolem 7000 K, jejichz zírení mí nejvetsí svetelnoů ícinnost (hvezdy spektralního typů F). Smňerem k vyňsňsíím i niňzňsíím teplotíam bolometrickía korekce klesaí, v extríemníích pňríípadech dosahůje az nekolika magnitůd! (viz obrazek 3.3). Tento fakt je vyjídrením skůtecnosti, ňze ů hvňezd relativnňe vysokíe ňci nízkíe teploty se maximům vyzaňrovaníe energie pňresoůvaí do ůltrafialove, respektive infracervene oblasti spektra, kde jiz není lidske oko citlive. 3.1.3 Fotomětrickě sýstěmý V astronomicke praxi se pro merení jasnosti kosmickích objektů poůzíva jasne definovaní soůstava speciílních fotometrickích filtrů, ktere spolů tvorí fotometrický systém. Filtry, ktere se vklídají do opticke cesty pri fotometrovíní, propoůstejí svetlo v defi-novanem intervalů elektromagnetickeho spektra a ůrcůjí tak barvy fotometrickeho syste-mů. V soůcasnosti víber filtrů fotometrickeho systemů jiz není nahodní, dosti casto bíví 36 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd Obrázek 3.3: Bolometrická korekce BC v závislosti na logaritmu efektivní teploty hvězd. Převzato z Flower (1996). šit na míru povaze rozložení energie ve spektru zkoumaných objektů11. Výběr pásem toho kterého fotometrického systému je ovšem diktován jak astrofyzikálními, tak ryze i praktickými důvody, jako jsou cena filtrů a jejich přístupnost na trhu, spektrální citlivost dostupných detektorů, nutnost vyhnout se některým spektrálním oblastem apod. Šířka pásma propustnosti použitých filtrů dělí požívané fotometrické systémy do tří tříd: jednak jsou to širokopásmové systémy (například Johnsonův systém UBV) pokrývající nejméně 30 nm v každém z filtrů, dále pak středněpásmové systémy, jako uvby s pásmy od 10 do 30 nm, a konečně víceméně monochromatické úzkopásmové systémy s křivkou propustnosti několika málo nm, které propouštějí jen velice úzkou část spektra hvězdy, nebo dokonce vydělují jen některé vybrané spektrální čáry. V současné době existuje už přes dvě stě nejrůznějších fotometrických systémů12, ale jen několik z nich se dočkalo většího rozšíření. U většiny systémů je možné provést standardizaci, tedy přepočítat výsledky naměřené určitým dalekohledem na určitém místě a s určitým detektorem na standardní podmínky (více v kap. 3.1.3.5). K tomu je nezbytné mít s dostatečnou přesností proměřené např. propustnosti užitých filtrů a citlivosti detektorů. Bohužel spousta originálních a neopakovatelných měření ztratila svou výpovědní hodnotu právě proto, že tato korekční měření nebyla provedena nebo byla provedena nepřesně a jediné originální fotometrické filtry daného fotometrického systému byly zničeny. Naštěstí se jedná jen o několik víceméně historických případů. Se standardizací fotometrických měření se začalo víceméně až po zavedení John-sonova systému UBV. Od padesátých let minulého století lze tedy pro většinu systémů 11Týká se to zejména objektů s atypickým SED, jako jsou třeba extrémně červené uhlíkové hvězd, Wolfovy Rayetovy hvězdy, chemicky pekuliární hvězdy, novy či komety 12Přehled systémů pod názvem Asíago Database on Photometríc Systems, který sestavili Ulisse Mu-nari, Massimo Fiorucci a Dina Morolze, lze najít na stránce http://ulisse.pd.astro.it/Astro/ADPS/. 3.1. Astronomicka fotométrié 37 standardizaci mérem provádét. Ruzné obsérvatoré konécné mohly zacát porovnávat své váslédky a pracovat na spolécnách projéktéch. Tato unifikacé prinésla své ovocé zéjména pňri vyázkumu promňénnáych hvňézd. Polosírka fotometrickích barev by mela bít co nejmensí, aby se potlacil vliv clenu druheho a vyssího radu. Soucasne by mela bít limitní hveždna velikost co nejvyssí. Takovyto optimílní fotometrickí system by se hodil pro co nejpresnejsí stanovení spektralního typu, luminožitní trídy, typu hveždne populace, velikosti mežihveždne extinkce, což by bylo možne odvodit použe pomocí techto parametru nebo barevnych indexu. ňadny takovy idealní fotometricky system ale v principu nemuže existovat, vsechny jsou jen jistym kompromisem, priblížením se k tomuto ideíalu. Praktická fotométricky systém musá pocátat s odlisnostmi instruméntalniho vybavéná a stavu atmosféry, takzé kromé définicé propustnosti idéalizovanách fotométrickych filtru musá obsahovat i dostatéňcnyá poňcét dobňré promňéňrényách péňclivňé vybranyách népromňénnáych hvézd, hvězdných standardů. Béz tohoto kroku néná mozny prévod z hvézdnych vélikostá zmérénych vé vlastnám - instrumentálním fotométrickém systému na systém standardní. 3.1.3.1 Historické fotometrické systémy Vizuální hvězdné velikosti mviz Lidskíe oko, jakoňžto detektor svňetla, je nejcitlivňejňsí ve ňžlutoželeníe oblasti spektra, maximum citlivosti je kolem 550 nm pro vidňení denní (fotopickíe), 480 nm pro vidňení noňcní (skotopickíe), kteríe se uplatní jen pňri velice nížkíem osvňetlení adaptovaníe sítnice. První vižualní odhady jasnosti uvedl ve svem katalogu Hipparchos, kterí kodifikoval system hveždních velikostí. Vižualní odhady jsou tabelovany take v nekolika velkych hveždnych kat-aložích ž 19. století, napr. HD katalogu. Presnost techto odhadu je nevelka - desetiny magni-tudy, navíc je skala hveždních velikostí v oblasti nížkych jasností silne deformovana. Fotografické hvězdné velikosti mpg Po vynaležu svetlocitlivych fotografickích emulží žacaly byt velmi bržy jasnosti hvežd prome-rovíny na fotografiích. Tento postup podstatne žvysil objektivitu merení a tež jejich dosah do oblasti velmi slabích hvežd. Protože bežne nesenžibilovane fotograficke desky byly citlive spíse na kratkovlnne žarení, lisily se fotograficke hveždne velikosti od hveždních velikostí vižuaílních v žíavislosti na barvňe hvňežd, ktería je žase funkcí jejich efektivní teploty. Astronomovíe velice bržy žjistili, že existuje velice dobre definovana korespondence meži spektralním typem hvňežd a barevníym indexem (mpg - mviz). Vžhledem k tomu, ňže takovíy barevníy index bylo možne žjist'ovat i u hvežd, ktere pro jejich malou jasnost nebylo tehdy možne spektroskopicky žkoumat, žastupoval barevnyí index parametr vyjadňrující teplotu hvňeždy. Fotometrie s prvními fotocitlivými diodami První fotoelektricka merení jasností hvežd provadeli Stebbins (1916) na Lickove observatori v USA a Guthnick a Prager (1918) v Potsdamu v Nemecku. Presnost merení vžrostla až na nňekolik setin magnitudy. Maximum citlivosti diody pouňžívaníe Stebbinsem se nachíaželo v modroželeníe barvňe kolem 500 nm. Naproti tomu diody uňžívaníe v Potsdamu byly nejcitlivňejňsí v modríe oblasti spektra. Fotometrie s fotonasobici a barevnými filtry V období meži dvema svetovími valkami se postupne žacalo používat fotometru, jejichž detektorem byl fotonísobic se ždrojem vysokeho napetí. Zvísena citlivost fotonísobicu dovolila 38 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd používat i různé barevné filtry vymezující sledovanou oblast elektromagnetického záření. Existují v te dobe i meření v nekolika barvach, meření vSak nebyla nikdy důsledne standardizovana, takže jsou nyní jen težko využitelna. 3.1.3.2 Johnsonův mezinárodní systém a jeho rozšíření Nejznámějším a nejrozšířenějším hvězdným fotometrickým systémem založeným na třech širokopásmových filtrech je system UBV zavedený Johnsonem13 a jeho spolupracovníky Johnson & Morgan (1953) v polovine minuleho století. Ten je realizovan tremi filtry: U: propustnost od 300 nm do 420 nm s maximem propustnosti kolem 358 nm; B: propustnost od 360 nm do 500 nm s maximem u 439 nm; V: propustnost od 460 nm do 740 nm s maximem u 545 nm. Obrázek 3.4: Propustnost filtrů v systému UBV Johnson a jeho spolupracovnýci promerili pomocý americkeho fotonasobice IP21 mnoho tisýc hvezd a sva merem v UBV publikovali. Dýky tomu a dýky jasne definovaným vztahům mezi urcitými fyzikalnými vlastnostmi hvezd a barvami urcenymi barevnými indexy (U-B) a (B-V) se jejich system stal ^juz^^jšým hvezdnym fotometrickým systýemem. V nekterích aplikacích se s oblibou pouzíva diagram zívislosti barevneho indexu (U-B), kterí odrazí specificke vlastnosti hvezdních fotosfer, na barevnem indexu (B-V), jez je mírou efektivní teploty. Na obrázku 3.5 je znazornena zavislost (U-B) na (B-V) pro hvezdy hlavní posloupnosti neovlivnene mezihvezdnou extinkcí. Vsimnete si dohodnute orientace os tohoto diagramu - v levem horním rohu jsou hvezdy namodrale s vysokou efektivní teplotou, v levem dolním pak pozdní nacervenale hvezdy s nízkou teplotou. Naznacena je i temer prímkova zavislost pro absolutne cerne teleso. Nejvetsí odchylka od tohoto prubehu je pozorovana u spektrálního typu A0, s maximem Balmerova skoku a pro hvezdy chladne, kde rozlození energie silne modifikují molekularní spektrální pasy. Pro hvezdy jiních luminozitních tríd (jiních povrchovych gravitacních zrychlení) vyhlízí tento diagram dost odlisne. V zasade tak lze pomocí polohy hvezdy na tríbarevnem diagramu 13 Systém jé označován jako Johnsonův, ale nékdy též jako Johnsonův-Morganův. 3.1. Astronomicka fotometrie 39 odvodit jak její efektivní teplotu Tef a tím i spektrální trídu, tak i luminozitní trídu, tedy zariví vykon L. Zname-li Tef a L, muzeme odhadnout i polomer hvezdy R. Neplatí to ovsem obecne (v nekterych prípadech poloha objektu na diagramu neurcuje hvezdne charakteristiky jednoznacne). Velmi negativne se zde ovsem projevuje vliv mezihvezdneho zcervenaní, ktere zeslabuje svetlo hvezdy více v modre oblasti spektra nez v cervene (více v kap. 3.1.4.2). Trýbarevný system UBV byl zahy rozsýi^en (Johnson, 1965) do cervene a infracervene oblasti spektra pouzitím sirokopasmových filtru R (700 nm), I (900 nm), J (1250 nm), K (2200 nm) a L (3400 nm)14. Johnson volil filtry v infracervenem oboru tak, aby pýasmo jejich nejvňetňsýí propustnosti leňzelo mimo oblasti se zvyýňsenou atmosfýerickou ex-tinkcí, pusobenou zde predevsím molekularními pasy vody (J - 1,25 ^m, H - 1,62 ^m, K - 2,2 ^m, L - 3,4 ^m, M - 5,0 //m). Filtr H se objevil az roku 1967 a o jeho profilu se vedly dlouhe diskuse, tabelovýn byl az v praci Bessell & Brett (1988). 3.1.3.3 Stromgrenuv system uvby(/3) Nevýhodou sirokopýsmoveho Johnsonova systemu je to, ze filtr U se prekrývý s filtrem B a zasahuje tak i do oblastý za Balmerovým skokem, coz v podstate znemoznuje vyuzýt jej k urcený výsky Balmerova skoku. Astrofyzikýlne stastnejsý je proto strednepýsmový system uvby, ktery navrhl Bengt Stromgren (1956). System obsahuje ctyri filtry s temito parametry: u: polosírka 30 nm, efektivní vlnova delka 350 nm; v: polosýi^ka 19 nm, efektivný vlnova delka 411 nm; b: poloňsýňrka 18 nm, efektivný vlnovýa dýelka 467 nm; y: polosŕrka 23 nm, efektivný vlnova delka 547 nm. 14Rozsírenemu Johnsonovu systemu se obcas ríka Arizonskí system. 40 Kapitola 3. Pozorovaní proměnních hvězd Díky uzsím písum jě tento systěm lěpě děfinovín a poskytuje těz srozumitělnějsí informaci o vlastnostech zkoumanych hvězd. Kalibrovana hvězdní velikost y se prímo navazuje na johnsonovskou hvězdnou velikost V, coz jě umozněno díky klidněmu pruběhu rozlození energie ve zlutě oblasti spektra. Pro astrofyzikílní aplikace se nejcastěji pouzí-vají barevně indexy (b-y) a (u-b), dalě pak jiz zmíněně indexy velmi malo zavislě na mezihvězdně extinkci: c1 = (u — v) — (v — b), m1 = (v — b) — (b — y), (3.22) z nichz první index prímo souvisí s velikostí Balmerova skoku, a druhí s obsahem kovovích prvku (odtud metalická index), kterí se projevuje zvysěním vískytem spekt-ralních car kovu v oblasti těsně za Balmerovím skokem. Vyssí metalickí index (větsí v) tak zpravidla znamena vyssí obsah kovu. V něktěrích zdrojích bívají místo hvězdních velikostí v uvby uvedeny věliciny: V, (b — y), c1 a m1. Zbyvající věliciny lze dopocítat podle vztahu: b = V +(b — y); v = V + 2(b — y)+ m1; u = V + 3 (b — y) + 2 m1 + c1. (3.23) Stromgrěnuv fotometrickí systěm bíva casto doplněn dvěma filtry centrovanym na stred vodíkově cary Hg (486 nm): strědněpásmovým filtrem (polosírka 15 nm) a uzko-pasmovím filtrem (polosírka 3nm). Rozdíl hvězdnych velikostí v těchto dvou filtrech Obrízek 3.6: Diagramy zavislostí indexu barevnách c1 a m1 na barevnem indexu (b-y) ve Stromgrenove fotometrickem systemu uvby. Neprerusovaná cara ukazuje polohu hvezd hlavní posloupnosti neovlivnenách mezihvezdnou extinkcí. Index c1 vyjadruje velikost Balmerova skoku, ktera dosahuje sve maximalní hodnoty pro hvezdy trídy A0 s barevnám indexem (b-y). Ten se bezne pouzíva jako míra efektivní teploty, jeho velikost ale bává silne zkreslena mezihvezdnám zcervenaním - smer jeho pusobení naznacuje sipka. Naopak index c1 je proti ácinkum mezihvezdne extinkce takrka imunní, a proto muze slouzit jako indikátor teploty hvezdy mnohem lepe. Metalická index m1 dobre koreluje s obsahem tezsích prvku, takze napr. pro CP hvezdy báva anomalne zvásen. Nicmene u normalních hvezd jej lze jako indikátor teploty rovnez lepe pouzít nez index (b-y). Zdroj: Dave Kilkenny: Photometry - I. „All sky" 3.1. Ástronomicka fotometrie 41 urcuje tzv. index /3. Pozorovaní v obou filtrech jsou vedena simultínně, coz potlacuje atmosfěrickě vlivy, navíc zmíněny index nezavisí na mezihvězdně extinkci. Index /3 je lineírně uměrny ekvivalentní sírce círy Hg. Pro teplě hvězdy (O az Á) tak predstavuje parametr souvisejíícíí s luminozitou hvezdy, pro hvezdy chladnejsíí je pak nezaívislyím meríítkem efektivníí teploty. 42 Kapitola 3. Pozorovíaní promňennyích hvňezd 3.1.3.4 DalSí současne fotometricke sýstemý System družice Hipparcos Na astrometrickíe drúňzici Hipparcos se ú jednotlivyích hvňezd províadňela tíeňz solidní fo-tometrie s pňresností dosahújící ú tňechnejjasnňejňsíchhvňezd i nňekolik milimagnitúd. Hlavní prístroj drúzice meril ve velice sirokem (instrúmentalním) pasmú HP. Navíc bylo zarení pňrichíazejíícíí do mapovacíího zaňríízeníí rozdňeleno na dva svazky a ve dvoú fotoníasobiňcíích se simúltanne merilo ve filtrech BT a VT zhrúba odpovídajících svím johnsonovskím pňredlohíam. Pro zjiňst'ovíaní promňennosti se nejlíepe hodí první barva, protoňze mňeňrení v ní jsoú nňekolikanaísobnňe pňresnňejňsí a spolehlivňejňsí, neňz ve zbyívajících dvoú barvaích. Núlovyí bod byl definovan tak tak, ze HP = BT = VT = 0, 000 mag pro Vjohnson = 0, 000 mag a (B - V) = 0,000. Obor Aef [nm] FWHM [nm] Bt 435 72 Hp 510 220 Vt 550 95 Harmanec (1998) publikoval nasledující prevodní vztah mezi hvezdnou velikostí V a hippar-covskou hvezdnou velikostí HP ve tvaru: V = Hp - 0, 2964(B -V) + 0, 0050(U-B) + 0,1110(B - V)2 + 0, 0157(B - V )3 + 0, 0072. CCD fotometricke systémy CCD dnes prakticky vytlaňcily fotoníasobiňce z pozice hlavního detektorú zíaňrení hvňezd. Nevíhodoú tohoto prechodú na CCD technikú je ale v naproste vetsine prípadú snízzení fotometricke presnosti zejmena pro standardizovanoú fotometrii. Dúvodú je nekolik - ne-soúlad poúzitych filtrú, nedostatek vhodních standardních hvezd pro CCD, nedostatek standardních hvezd s dobrím rozsahem barev, neochota pozorovatelú venovat se po-zorovíní standardú. Vetsina úzivatelú CCD kamer poúzíva pro fotometrii sirokopasmove filtry BVRI. Filtry B a V zpravidla vyhovújí prvotní definici, zavedení Johnsona, i kdyz i tady se nekdy poúzívají trochú odlisne filtry Bessellovy. Nejvetsí rozdíly jsoú ale v barvach R a i. Zpravidla se nejedna o Johnsonovy filtry, ale casto o filtry RC, ic v Coúsinsove rozsírení Johnsonova systemú Coúsins (1976), prípadne v modifikaci Bessellove (1990) nebo Landoltove (1983). Zejmena A. U. Landolt públikoval rozsahla merení standardních hvezd vhodních pro CCD fotometrii. Jeho pole standardú se poúzívají dodnes. Fotometrické systémy přehlídkových projektů, Prehlídkovích projektú jsoú dnes desítky. Bohúzel jejich aútori casto „objeví", ze potre-bújí pro sve úcely noví fotometrickí system. Pocet fotometrickych systemú narústí, ale ne vzdy je bohúzel venovína pece i promerovaní standardú pro kalibraci a standardizaci merení. V nasledújícím prehledú úvedeme jen nekolik malo príkladú. Projekt WASP (Wide Angle Search for Planets), respektive SuperWASP je prehlíd-kovy projekt zamerení na hledaní transitú exoplanet. Bezí od rokú 2004 na dvoú 3.1. Astronomická fotometrie 43 stánicích ná Lá Pálmá á v Jizní Africe. Kázdou noc se monitoruje hvezdne nebe pomocí serie CCD kámer 2048 x 2048. V prvních dvou letech nepouzíváli zádny filtr, tákze spektrální propustnost bylá definováná optikou, detektory á átmosferou. Od roku 2006 byly instálovány sirokopásmove filtry s sirkou pásmá 400 áz 700 nm (viz obr. 3.8). Obrízek 3.8: Pásmo propustnosti filtru prehlídky SuperWASP (nahore) vykreslene soubežne s atmosferickou propustností, citlivostí CCD á propustností použitích čoček. Spodní cást ukážuje originílní nefiltrovaní system spolu s SWASP filtrem á filtrem Tycho-2 V. Prevžáto ž Pollácco et ál. (2006). Projekt digitální prehlídky pojmenovány podle nádáce A. P. Sloáná (Digital Sky Survey, SDSS) byl záhíjen v roce 2000. Jde o jeden z nejrozsáhlejsích prehlídkovích projektu. Dátá jsou získáváná pomocí speciílní kámery slozene z triceti CCD cipu, usporádáních do peti rádku, z nichz kázdí má pred sebou jiní bárevní filtr. Byly zvoleny filtry u, g, r, i, z (Fukugitá et ál., 1996)(viz obr. 3.7). Tyto filtry se stály v podstáte stán-dárdem pro nove budováne vetsí prehlídkove projekty. Nekdy se setkíme s oznácením u', g', r', i', z'. Autori projektu poskytli identickou sádu filtru i pro dálsí dálekohled, ále tám nebyly filtry umísteny ve vákuu jáko u hlávního prístroje projektu. U filtru ve vákuu se totiz mírne smrstilá povrchová inferferencní vrstvá á to zpusobilo zmenu chárákteris-tik o zhrubá jedno procento. Ze dvou sád jedineho fotometrickeho systemu ták de fácto vznikly soustávy dve. 3.1.3.5 Standardizace fotometrických systémů Stezejní soucístí ánályzy fotometrickích dát je tzv. stándárdizáce fotometrickích bárev. Pokud se nám uz podárí pozorovíní ocistit o vliv zemske átmosfery á získáme hvezdne velikosti objektu tákove, jáke bychom námerili vne ovzdusí, je záhodno tyto vísledky tránsformovát ták, ábychom je mohli porovnát i s dáty, která jste porídili pred dvemá tremi lety, nebo s dáty získánymi z jiních pozorovácích stánovist', jiními filtry á detek- 44 Kapitola 3. Pozorovaní proměnních hvězd tory. I kdyz měríme v nějakěm dobre definovaněm systěmu, jakím je UBV, prípadne uvby, nikdy se nam nepodarí dosahnout toho, aby nase zarízení mělo relativní spektrílní citlivost, kterí presně odpovída definici. I kdyby se nam to nakrísně povedlo, nebudeme se z těto skutecnosti těsit děle nez jednu sezonu, protoze vlastnosti dalekohledu (napr. spektrílní odrazivost vsech zrcadel), spektrílní propustnosti filtru, citlivosti detektoru apod. s casem mění. Normalná transformace jsou ty, pri nichz se od instrumentílních barev prechazí do standardního fotometrickěho systěmu. Obcas vsak potrebujeme prejít od jednoho fotometrickíeho systíemu na druhyí, abychom mezi sebou mohli porovníavat hvězdně velikosti, ci barevně indexy získaně v ruzních fotometrickích systěmech. Těmto transformacím se ríkí transformace speciálně. Pokud predem nezname rozlození energie ve spektru hvězdy F (A), pak je v principu nemozně prevěst hvězdně velikosti získaně v jedně (zpravidla instrumentalní) barvě na hvězdně velikosti v barvě druhě15. Chceme-li tuto transformaci prověst, musíme jasnost hvězdy zjist'ovat alespon ve dvou odlisních barvach. Platí to prosím i v tom nej-jednodussím prípadě, kdy by sledovaní objekt zaril jako absolutně cerně těleso o jistě efektivní teplotě. Lze ukazat, ze v tomto prípadě vystacíme s jednoduchou lineírní transformacní rovnicí typu m(c1) = 611 612 m(c1) + a1 (3 _ m(c2^ [ 621 622 J [ m(c2) J [ , (.) kde bij jsou koeficienty barevněho systěmu. To znamení, ze platí m (C2) - m (c1) = B21 [m (c'2) - m (c1)] + A21. (3.25) Více se o transformacích dozvíte napríklad z pojednaní Harmanec et al (1977); Har-manec et al. (1994). 3.1.4 Extinkce á její eliminace 3.1.4.1 Optická tlouSt'ká á extinkce Prostor mezi zkoumaním objektem a měrícím prístrojem není dokonale pruhledny, ma nenulovou opacitu k. Vyslaně světelně kvantum se na svě cestě dlouhě i miliony parseku muze setkat s casteckami mezihvězdně latky nebo se shluky molekul vzduchu ci prachem v zemskíe atmosfíere. Tato setkíaníí mohou dotycníe kvantum pohltit a nebo, a to vyjde na stejno, odchyílit z pÁuvodníího smeru. Jak absorpce, tak rozptyl zíareníí pak zpÁusobíí to, ze se tok zírení zdroje zeslabuje, dochazí k tzv. extinkci. Predpokládejme, ze studujeme extinkci svetlá o puvodní hustote záriveho toku vstupujícího do prostredí, v nemz jsou rovnomerne rozptíleny cástice s koncentrácí n o ucinnem prurezu s. Necht' zárení o puvodní hustote toku 10 vstoupí do prostredí á urází zde málou dríhu ds. Soucin (ns ds) je bezrozmerná veliciná, která vyjádruje jákí cást prostupujícího zírení je ná dríze ds „odstínená" císticemi (pohlcená nebo odchýlená z puvodního smeru — tj. „rozptylená". 15Toto je cástá situáce, kdy pozorovátele nádsene pozorují nejákou slábou hvezdu v tzv. integrílním svetle bez pouzití jákehokoli filtru. Rezignují ták zcelá ná moznost vypovedet cokoli o chárákteristikách svetelne krivky s vyjimkou stánovení Cásových okámziku situácí, o nichz se predpoklídá, ze ná bárve svetlá nezávisí (okámzik minimá jásnosti zákrytove dvojhvezdy). 3.1. Astronomicka fotometrie 45 Odstínením, neboli zeslabení ci extinkcí ubude z prochazejícího toku / jista malí cast d/: d/ ľ d/ =-/(n 1 mluvíme o vrstve opticky tluste. Z rovnic 3.26 take plyne, ze opticka tloust'ka je velicina aditivní - rozdelíte-li si napríklad cestu zarení na dva libovolne íseky a vyňíslíte-li si jejich dílcí opticke tloust'ky, pak opticka tloust'ka obou íseku je soucet jednotlivích optickych tloustek. Dale platí, ze pokud existuje pro zeslabení svetla nekolik mechanismu, pak vysledna optickí tloust'ka bude rovna prostemu souctu jednotlivych príspevku. Jsou-li opticke vlastnosti prostredí podel drahy svetla stejne (vsude stejní soucin 0, je zjevně, ze extinkce zpusobujě zeslabení pozorovaně hvězdy, někdy o mnoho magnitud. Fakt, ze valnou větsinu mezihvězdně extinkce lze pripsat na vrub rozptylu na prachově slozce mezihvězdně latky v optickě, infracervěně a blízkě ultrafialově oblasti spektra, tedy v oborech, kde se bězně fotometricka pozorovaní proměnných hvězd vedou, znamena, ze toto zeslabení jě větsí v kratkovlnně oblasti nez dlouhovlnně. Prachoví extinkce tak zpusobujě mezihvězdné zčervenání18. Znamena to mj., ze na barevně indexy CI, jakozto indikítory efektivní teploty, se nelze spolehnout, poněvadz jsou zvětseny o tzv. barevny exces E (Cl) = Cl — CI0. Pro velikost barevněho excesu lze v prípadě prachově extinkce psat: E (CI) = CI — CIo = nicx — nic2 — mon + moc2 = An — AC2 = AC2{^ — 1^ > 0, Ac2 = . ^. E (CI), AC1 = [l + Xc^ j E (CI), moc = mc — Ac. (3.28) Pokud bychom tědy nevzali v potaz barevny exces, obdrzeli bychom systematicky větsí odhady povrchovích teplot. Ale naopak, jestlize bychom dokazali odhadnout teplotu jinak, napr. ze znaměho spektralního typu, mohli bychom v tabulkích najít odpovídající hodnotu nězcěrvěnalěho barevněho indexu CI0 a pomocí něj a pozorovaně hodnoty CI pak odhadnout nězcěrvěnalě hvězdně velikosti v obou barvach podlě vztahu uvěděnych v (3.28). Co si vsak pocít, nemame-li k dispozici spolehlivě urcení spektralního typu? Rěsením jě vyuzití měrení ve fotometrickěm systěmu s nejměně tremi barvami. Jako príklad si zdě uvedeme klasicky Johnsonuv systěm UBV. Z pozorovíní vělkěho mnozství hvězd vyplíva, poměr excesu v barevních indexech (U-B) a (B-V) zpusobeních mezihvězdnou extinkcí jě víceměně konstantní, a ze ciní E(U — B)/E(B — V) ~ 0, 72. Soucasně víme, ze poměr mezi hodnotou extinkce v barvě V, AV existuje relace: AV = 3, 2 E (B — V). Zpusob, jak zjistit nězcěrvěnalě hodnoty obou barevních indexu znízornujě obr. 3.9. Zdě se vyuzíví skutecnosti, ze obrazy nězcěrvenalích hvězd na plose (U-B)-(B-V) vytvarějí dobre definovanou zavislost. Z po- 18Tento termín je ovsem ponekud žavýdející, nebot' v nas vzbuzuje pocit, jakoby nekdo do svetla extinkcí zeslabenych hvezd pridaval cervene svetlo. Skutecnost je jina, extinkce jenom ubíra svetlo, mene v dlouhovlnne oblasti a více v kratkovlnne oblasti. Nejde tak o zcervenaní, ale spís o „odmodríní" svetla hvezdy. 3.1. Astronomická fotometrie 47 -1.5 1.5 -0.5 0 0.5 B-V [mag] 1 1.5 Obrázek 3.9: Na schématu je znázorněna závislost mezi johnsonovskými barevnými indexy (U-B) a (B-V) pro nezCervenale hvezdy hlavní posloupnosti. Prázdným koleCkem je naznaCena poloha zkoumane hvezdy, pokud by nebylo mezihvezdne extinkce. Ta posune obraz hvezdy ve smeru sipky v důsledku tzv. barevneho excesu o E (U — B) a E (B — V), plným koleCkem je vyznaCena skuteCne pozorovana poloha obrazu hvezdy. Vzhledem k tomu, ze smernici sipky posunu známe, muzeme najít polohu obrazu nezCervenale hvezdy a souCasne i hodnotu extinkce ve vsech trech barvach. Problemy nastavají tehdy, nemá-li áloha jedine resení. Tam je treba si vypomoci fotometrií v jinem vícebarevnem systemu. zorováneho obrázu hvezdy lze získát polohu bodu neovlivněného extinkcí á pomoci extinkce E (B — V) vypoCítát extinkci á o ni oprávit jásnost hvezdy ve V0 = V — AV á soucásne nezcervenále bárevne indexy (B — V)o á (U — B)0 á pomocí nich i U0, B0. Táke je mozne postupovát ták, ze si pro hvezdy merene v systemu (UBV) závedeme zvláštni bárevný index, který je nezávislý ná mezihvezdne extinkci Q, kde Q = (U — B) — 0, 72 (B — V). Zmineny index se pomerne dobre hodí jáko indikátor teploty u horkých hvezd. Dálsí mozností, ják do znácne míry omezit vliv mezihvezdne extinkce je pouzívíní slozenych bárevnych indexu ve ctyr á vícebárevných fotometrických systemech. Jejich príkládem mohou být bálmerovský c\ á metálický index m\ v Strômgrenove fotometrii uvby. 3.1.4.3 Atmosférická extinkce Pro pozorovátele predstávuje zemský átmosferá jákýsi filtr propoustející (nebo táke nepropoustející) zárení zkoumáných objektu, jehoz vlástnosti se v prubehu pozorování nepretrzite mení. Atmosferická extinkce v bárve c se definuje jáko rozdíl mezi po-zorovánou hvezdnou velikostí mc á hvezdnou velikostí teze hvezdy pozorováne zá hranicemi zemske átmosfery m0c. Pro pozorovánou hvezdnou velikost mc v prvním priblízzení plátí: m(c, z) = m0(c) + k(c) X (z), (3.29) 48 Kapitola 3. Pozorovaní promenných hvezd kde z je zenitova vzdalenost, k (c) je tzv. lineárni extinkCní koeficient v príslusne barve vyjadrený v magnitudých a X je bezrozmerna velicina nazývaný vzdušná hmota, ktera vyjadruje relativný výsku sloupce vzduchu v zemske atmosfere vztazenou k vysce sloupce vzduchu v zenitu, kde X(0) = 1. Pro planparalelm atmosferu platý ze vzdusna hmota je neprýmo umerna kosinu zenitove vzdýlenosti. Ve skutecne zemske atmosfere je pro rozsah zenitových vzdalenostý v nichz se bezne pozoruje, mozno pouzý aproximaci ve tvaru: X = (1 - 0, 0012 tan2 z) sec z. (3.30) Vyneseme-li si pozorovanou hvezdnou velikost m (ýmernou napr. velikosti výchylky merýcýio postroje) ve stabilný atmosfere v zývislosti na vzdusne hmote X sledovaneho konstantne jasneho objektu, pak bychom meli obdrzet polopřýmku (1 < X), jejýiz sklon je roven extinkcnýmu koeficientu a pruseďk s osou y pak udýva vneatmosferickou hvezdnou velikost objektu m0. Problem ovsem je, ze celou tuto Bouguerovou polopřýmku nelze obdrzet z daneho mýsta v jeden okamzik, takze zde bude hrat znacnou roli promennost extinkčního koeficientu behem pozorovaný. Ten se muze behem noci významne menit, zejmena při přechodu front. Jinak je noc v tomto ohledu přece jenom klidnejsým ob-dobým, ve dne se extinkce mený daleko rychleji a výrazneji. Dalsí komplikaci prinasí skutecnost, ze i citlivost aparatury se behem pozorovím muze menit (tzv. zmena nuloveho bodu). Vlivy tohoto druhu lze alespon zcasti omezit diferencialním me reníím s vhodne zvolenou srovníavacíí hvezdou (hvezdami) podobníeho typu a vhodnou strategiíí pozorovaíníí. Vzdy by mel pozorovatel do po radu pozorovaíníí za radit mereníí jasnosti standardních hvezd a hvezd extinkcních. Oprava o extinkci se zpravidla vztahuje k dotycne noci. Extinkce zemske atmosfery je zpusobena jednak Rayleighovym rozptylem, jehoz ex-tinkcný koeficient zývisý jen na poctu molekul v zenitovem vzduchovem sloupci. Je tedy umerny okamzite velikosti atmosferickeho tlaku. Vzhledem k tomu, ze zmeny tlaku v danem mýste o nadmořske výsce h nikdy nebývají pnlis dramaticke, lze pro stredný hodnotu extinkcný koeficient Rayleighovy slozky extinkce kRc(A, h) psýt vyjadrený vychazejKý z modelu izotermicke standardm atmosfery s výskovou skalou 7996 m. kRc = t0, 107 —- —— mag = 0, 107 —- exp ——- mag. (3.31) 550 nm P(0) 550 nm 7996 m Předlozeny vztah jasne ukazuje na výhodu vysokohorských observatoří a pozorovaní v dlouhovlnnyých oblastech spektra. Dalsý významnou a navľc silne promennou slozkou atmosfericke extinkce je rozptyl na aerosolech o velikosti srovnatelne s vlnovou delkou svetla kDc(t), kde platý kDc(t) = kov (t) —^- . (3.32) 550 nm Prave zmeny zaprasenosti zemske atmosfery mohou znamenat výrazne zmeny celkove-ho extinkcnýho koeficientu. Vseobecne platý, ze v nýzko polozenych a mestských obser-vatorých je vliv prachove extinkce casto převysuje i Rayleighovu slozku extinkce.19 19Prachova extinkce jeví silne sekulúrm a sezýnm variace. Na observatorích vysokohorskych je zaprísenost minimílní v zime, kdy je vrstva inverze pod írovní hvezdarny, v lete, kdy se dostava nad pozorovací stanoviste, bývú zaprísenost znacní. V Brne byví nejcistsí vzduch pocítkem ríjna, tam poprve pronikne relativne cisty arktickí vzduch. Pak zaprasenosti vícemene monotónne pribyva, aby se pak pocíatkem rííjna vzduch opet vyírazne vycistil. 3.2. Astronomicka polarimetriě 49 Vzhledem k tomu, ze extinkci nikdy nemeríme presne monochromaticky, ale v urcitem intervalu vlnovách delek, bude situaci komplikovat skutecnost, ze extinkce je zavisla na vl-nove delce. Dusledkem pak bude, ze extinkcní koeficienty urcene prostrednictvím teplejsích hvezd budou vzdy o neco vetsí nez koeficienty zjistene pomocí hvezd pozdejsích spektrálních tríd. Bude-li proto hvezdne pole behem pozorovaní klesat k obzoru, relativne rychleji v nem budou slábnout vlivem atmosfericke extinkce hvezdy ranejsích spektralních tríd. Tento efekt muze váznamne ovlivnit i ta pozorovaní, kde jasnost promenne hvezdy vztahujeme k vetsímu mnozství hvezd rozlozenách kolem ní, jak je to v prípade CCD pozorování. Rada pozorovatelu se CCD vychazí z toho, ze u CCD pozorovaní jsou oproti pozorovaní fotometrem vsechny hvezdy zaznamenane na snímku k sobe áhlove blízko. To znamená, ze jsou zachyceny za prakticky identickych atmosferickách podmínek (stejna zenitova vzdalenost, stejna vzdusna hmota) a navíc ve stejnem case. To jsou jiste idealní podmínky pro diferenciální fotometrii, kde se jasnost promenne hvezdy vztahuje k blízkám srovnavacím hvezdam. Jenze to neplatí zcela obecne. V rade prípadu je na CCD snímku zaznamenana oblast o rozmerech 1° a více a pak je nezbytne s extinkcí pocítat. A brat v ávahu ji musíme i tehdy, jsou-li mezi hvezdami váznamne rozdíly v barve srovnávacích hvezd. Pak se totiz zacnou uplatňovat i extinkcní cleny druheho rádu. Jejich vliv je znacny hlavne u sirokopásmove fotometrie. IŠkody dane ignorováním vlivu atmosfíerickíe extinkce jsou vňsak dosti potlaňceny faktem, ňze se tu pozoruje zejmíena v ňcerveníe barvňe, kde atmosfíera jiňz tolik nevadíí. Ale i zde se doporuňcuje víest pozorovíaníí tak, aby vzduňsnía hmota prílis neprekrocila bezpecnou hranici X = 2. Pri praktickě fotometrii jě treba vliv atmosfěrickě extinkce minimalizovat a co nejvíce se priblízit idealu pozorovaní mimo atmosfěru. Tomu se musí podrídit i metodika pozorovaní tak, ze se jako srovnívací hvězdy prednostne pouzívají co nejblizsí konstantní hvězdy co nejblizsího spěktralního typu i hvězdně velikosti. Za těchto okolností budě difěrencialní extinkce minimalní. Solidní pozorovaní jě zadoucí prérusovat za ucělěm proměrení vybraních tzv. extinkcních hvězd - zpravidla jdě minimalně o fotometrii vzdy nejměně dvou dvojic hvězd s extremně odlisním barevním indexem a to tak, aby jedna dvojice byla poblíz zenitu, zatímco druha dvojice zase co nejníz nad obzorem. Tato měrění jě vhodně opakovat po dvou trěch hodinach, větsinou i s jinou ctvericí ěxtinkcních hvězd. Ke konecněmu zpracovaní pak pouzívame specialní software, kde se k eliminaci extinkce uzíva i víslědku ěxtinkcních měrení v daně pozorovací sezoně. Cěla procedura se zacítěcníkum muze jevit jako zdlouhava a samoucělní, její oprávněnost se ale projeví zejměna tehdy, jdě-li nam o co nějpresnějsí a nejspolěhlivějsí pozorovaní a tehdy, kdy míníme spolecně zpracovavat pozorovaní získaní v ruznych nocích, razními prístroji a v odlisních astroklimatických podmínkach. 3.2 Astronomická polarimetrie Az doposud jsme mlcky predpokladali, ze zarení, kterě k ním z vesmíru prichízí, není polarizovaně nebo ze jeho polarizace vznika az teprve po vstupu do zemskě atmosfěry, a tudíz v sobě nenese zadnou informaci o povaze zírícího objektu. Toto by byla pravda, ale jen tehdy, pokud bychom se na obloze setkívaly jen s objekty zírícími jako absolutně cerna tělesa. Tak tomu vsak není, zarící vesmír jě dynamicky, navíc jě vyplněn i mezihvězdnou latkou, která se muze o polarizaci postarat. Zarení takověho vesmíru 50 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvezd je nutně polarizovaně, což je dobre, protože ona polarizace v sobě nese další důležitou informaci o stavu rady objektů vcetne promenných hvezd. Prostrednictvím polarimetrie se muzeme získat dodatecne informace o geometrickem usporadaní vyvinutých astronomických zdrojů, ktere bychom jinak nezjistili. Ve hvezdne astronomii napríklad muzeme studovat geometrii a dynamiku hvezdneho vetru, disku a výtrysku a tak zkoumat procesy ztraty hmoty, hvezdný vývoj a nasledne i mezihvezdne prostredí. Polarimetricka merení pomýhají pri studiu tesných dvojhvezd (umoznují urcení sklonu obezne roviny vuci smeru k Zemi) nebo magnetických polí bílých trpaslíku nebo chemicky pekuliarních hvezd. První záznam v historii astronomické polarimetrie patří Aragovi, který si v roce 1811 vsiml, Ze sluneCní svetlo odraZene od mesíCního povrchu je polarizovane. PrestoZe k tomuto objevu doslo pred etablovaním spektroskopie v astronomii, astronomicka polarimetrie byla po dlouha desetiletí zcela opomíjena. Na konci 40. let 20. století ale William Hiltner a John S. Hall objevili nezavisle polarizaci svetla hvezd pusobenou mezihvezdnou latkou (Hiltner, 1949; Hall, 1949). Od te doby polarimetrie i v astronomii dospela a stala se jednou ze zíkladních metod astrofyzikílního vízkumu. Nejprve byly vyvinuty pokrocile metody v opticke a rídiove oblasti spektra. Dalsí oblasti - ultrafialove, infracervene nebo submilimetrove, prípadne rentgenove jsou v tesnem zavesu. Duvodem, proc trval vívoj astronomicke polarimetrie o poznaní dele nez napríklad spektroskopie, je to, ze stupeň polarizace je v astronomickích situacích obvykle malí, zpravidla mene nez jedno procento, maximálne nekolik procent. Presní merení takovích malych signalu v sobe zahrnuje urcovaní malych rozdílu u velkých intenzit. A krome toho, kvMi povaze vektoru polarizace je nezbytníe províest nňekolik pozorovíaníí za pokud moňzno stejníych podmíínek, abychom zíískali o polarizaci uíplnou informaci. Stabilita pňríístroje a pňríístrojovía polarizace musíí byít mensí nez zhruba 0.1 - 0.05 %. Polarimetricka merení jsou take mnohem obtíznejsí. Protoze je polarizace ňcasto menňsí neňz jedno procento, je tňreba, aby pomňer signíal ňsum byl alesponň 10krít vetsí nez u spektroskopie. To ale vyzaduje stokrat az tisíckrat delsí expozicní casy. Dalsím problemem je to, ze polarimetricke pozadí ve viditelnem svetle muze bít snadno kon-taminovíano svňetelnyím zneňciňstňením, zodiakaílním svňetlem mezihvňezdnou polarizací a podobnňe. 3.2.1 Stokesův vektor Elektromagneticke vlnení lze charakterizovat pomocí dvou slozek - vektoru intenzity elektrickeho pole E a vektoru magneticke indukce B. Tyto vektory jsou pritom navzajem kolme, kmitají kolmo ke smeru sírení vlny a mají souhlasnou fýzi. Polarizovane zarení vzniký omezením kmitu vektoru intenzity elektrickeho pole E. Pokud pri pohledu proti smeru sírení vlny kmita v jedne pnnice, jedna se o lineýrní polarizaci. Jestlize vsak koncovy bod vektoru E opisuje elipsu, prípadne kruznici, jde o eliptickou, respektive kruhovou polarizaci. Obecne muze být pnjímane zarení kombinací linearne a kruhove polarizovaneho zarení. Polarizaci muzeme popsat pomocí Stokesova vektoru S (I \ Q Io - U I45 - - I135 Ví - intenzita linearní polarizace 0°/90° lineýrní polarizace 45°/135° kruhovía polarizace levía /pravía (3.33) 3.2. Astronomická Polarimetrie 51 Tabulka 3.1: Příklady normalizovaného Stokesova vektoru. (Q/I, U/I, V/I) popis (0,0,0) (1,0,0) (0,-1,0) (0.15,0.26,0) (0.001,0,0.01) nepolarizované zaření; I0 = I90, I45 = I135, I = Ip,p = 0 zcela linearné polarizované v kladném sméru Q Io = i, I90 = 0, I45 = I135, I = ip,p =1, e = o° 100% lineární polarizace ve sméru 135°; io = I90, I45 = 0, I135 = i, I = ip,p =1, e = 135° 30% linearní polarizace ve sméru 30° 1% kruhová polarizace s 0.1% složkou v lineíarní polarizaci Casto se pouzívá normalizovaná Stokesuv vektor / Q/i \ u/i (3.34) kde parametry Q/I, U/I, V/I lze chípat jako slozky vektoru, jehoz délka vyjadruje míru castecné polarizace nebo chcete-li stupeň polarizace p = a/(Q/I)2 + (U/I)2 + (V/I)2 < 1. (3.35) Je-li zarení polarizované jen linearné, pak je stupeň polarizace piin = \/(Q/I)2 + (U/I)2 (3.36) a orientaci polarizovaného vektoru E lze vyjadrit jako e = 1 arctan(U/Q), pricemz Q/I = p cos2e, a U/I = p sin2e. (3.37) Jestlize napríklad méríme prichazející fotony od nejakého zdroje zarení, pak mérení polarizace znamena provést mérení poctu zcela polarizovaných fotonu ve dvou opacnych polarizaňcních moídech: - N0 a N90 pro urcení Stokesova parametru Q, - N45 a N135 pro urcení Stokesova parametru U, - Nl a Np pro urcení Stokesova parametru V. Je-li pozorovanyí objekt izotropnňe zíaňrícím tepelnyím zdrojem, vyzaňruje nepolarizovaníe zarení a oba mérící kaníly by mély ukazat stejné pocty fotonu (v rímci presnosti Pois-sonovy statistiky), to znamena pro Q bude N0 = N90 = N/2 a obdobné pro parametry U a V. 52 Kápitolá 3. Pozorování promenných hvezd 3.2.2 Polarizace záření kosmických objektů Ják jsme jiz uvedli, je polárimetricke merení velmi obtízne zejmená proto, ze „stopá po-lárizáce" v ástronomickych dátech bývá zprávidlá velmi slábá. Astronomický polárime-trie má zátím „jen" nekolik, ále velmi dulezitých áplikácí. V nýsledujícím strucnem prehledu jsou uvedeny nejdulezitejsí mechánismy vzniku polárizováneho zárení á jejich projevy u ástronomických objektu. Nejbeznejsí polárizováne svetlo z vesmíru je výsledkem rozptylu. Procesy rozptylu se objevují prákticky vsude v ástronomii, ále k tomu, ábychom dostáli cistý á silný polár-izácní signál, je zápotrebí silná ásymetrie v geometrii rozptylujícího objektu. Zdrojem tákoveho lineírne polárizováneho zárení je nápríklád rozptýlene slunecní svetlo z Mesíce, plánet á jejich sátelitu, plánetek, komet á dálsích objektu Slunecní soustávy (polári-zovíno ná urovni 0,1 - 50%), plyn á prách v okolí hvezd, ktere ztrácejí hmotu nebo dochýzí teprve k jejich formovým (lineírne polárizováne zárení áz do ~ 50%), prípádne rozptyl v okolí áktivních gáláktických jáder ná máteriálu poblíz ákreující obrí cerne díry. Pro emisi á ábsorpci átomu á molekul v mágnetizovánem plázmátu je chárákter-istický Zeemánuv jev. Urovne energií átomu á molekul jsou rozdeleny kvuli orientáci jejich uhlových momentu. Rozdílne „mágneticke" podurovne pák produkují emise á áb-sorpce s opácnými polárizácními signály. Typicky polárimetrický profil cáry se Zee-mánovým efektem je pák modre krídlo cáry s kruhovou polárizácí á cervene krídlo cáry s opácne orientovánou kruhovou polárizácí. Lineární polárizáce je zprávidlá o rád slábsí nez kruhová polárizáce. Zeemánuv efekt lze pozorovát nápríklád ve slunecní átmosfere, v oblásti slunecních skvrn, u mágnetických hvezd se silným á rozsáhlým mágnetickým polem v podobe globílního dipolu (bílí trpáslíci, mágneticke chemicky pekuliýrní hvezdy) nebo u rychle rotujících hvezd slunecního typu s velmi kontrastními skvrnámi ná povrchu, prípádne muzeme z polárizáce emisních cár detektovát mágnetická pole i v mezihvezdnem prostredí. Pokud se v mágnetickem poli budou velmi rychle pohybovát cástice (vetsinou elektrony), pák budou generovát synchrotronove, prípádne cyklotronove zýrení s lineární á kruhovou polárizácí, jejíz orientáce závisí ná orientáci mágnetickeho pole. S tímto typem zárení se setkáme nápríklád v koroných hvezd, kde vzniká silne promenne polárizováne synchrotronove rádiove zárení. S relátivistickými elektrony se ále potkýme táke u výtrysku z kvásárä á u gámá záblesku, ktere produkují polárizováne emise áz do 30% lineární polárizáce á nekoliká procent kruhove polárizáce v rádiove ále i ve vizuílní oblásti. Relátivisticke elektrony v mezihvezdnem prostredí á mezigáláktickem prostredí se pák vyskytují v oblástech srázek, rýzovych á podobne jáko u pozustátku po supernovíách. Pro uplnost jeste uveďme polárizáci ábsorpcí nebo dvojlomem, ktere se v ástronomii vyuzívájí pri studiu mezihvezdneho prostredí. 3.2.3 Polárimetrický pozorování Pozádávky ná ástronomická polárimetrický pozorování jsou diktovány tím, co vlástne chceme zkoumát. Meli bychom zvázovát, zdá lineírní nebo kruhovou polárimetrii, zdá polárimetrii nebo spektropolárimetrii. Pro polárimetrii jednoho objektu muze být místo fotometrickych merení v nekoliká filtrech výhodná spektropolárimetrie. Spektrum i s níz- 3.3. Ástronomickía spektroskopie 53 kím rozlisením totiz poskytne polarizacní signal v sirokěm rozsahu vlnovych dělek v jednom pozorovíní. Spektropolarimetricka data mohou bít velmi uzitecna pri vízkumu a odlisení polarizace ruzních emisních slozek a príspevku mezihvězdně polarizace. U spektroskopie pro polarimetrickí měrení je ale nezbytně zvazit, zda je rozlisení spektrografu dostatecně. Pozorovatel by měl takě rozhodnout, zda je nezbytní absolutní polarimetrickí kalibrace a jakí je pozadovana polarimetricka citlivost pro normalizovanou polarizaci. Presna polarimetricka pozorovaní relativně slabích objektu jako aktivních galaktickích jader, supernov nebo gama zablesku je jednoduse limitovano statistikou fotonu. Takze jed-noznacny pozadavek pro lepsí polarimetricka data je jednoduchy a zrejmí - prostě více fotonÁu. Dalsí otízkou ke zvazení pred polarimetrickím pozorovaním je prostorově rozlisení pro obrazovou polarimetrii, zejměna pro prostorově rozsahlě objekty. Polarizace totiz u něrozrěSěných zdroju muze mít kladnou i zípornou hodnotu signílu s opacnou polarizací, takze se slozky vzíjemně vyrusí a zídna cista polarizace nezustane. Takze i objekt s velmi silnou polarizací s kladními a zaporními znaky se muze jevit jako cíl s velmi slabím polarizacním signalem pri pozorovaní s nízkím rozlisením. Lepsí situace je pri Zeemanově spektropolarimetrii, kde se casto jako referencní hodnota pro polarizaci bere kontinuum. Pak je mozně dosahnout i velmi vysokě polarimetrickě citlivosti, i kdyz v tě chvíli odsuneme do pozadí otazku absolutní kalibrace dat. Protoze ale spektralní cary jsou slozeny z kladně a zaporně polarizacní slozky, je nutně dostatecně rozlisení spektrografu, nebot' jinak se signal vyrusí. U polarimetrickích měrení ale více nez u jiních platí, ze samotní dalekohled a detektor vírazně ovlivňuje prichazející zarení a jeho polarizaci. Je tedy nezbytně vzít v uvahu vsechny komponenty těto soustavy a vísledky měrení patricně kalibrovat. V zísadě kazdí skloněny povrch vnasí do signílu novou, prístrojovou polarizaci. Napríklad rovinně zrcatko (M3) u dalekohledu typu Nasmyth s hliníkovím pokovením, skloněně vuci prichazejícím paprskum o 45°, pndava polarizaci zhruba 5% a zpusobuje retardaci signalu zdroje, kterí priblizně 10% Stokesovy lineírní slozky U konvertuje do slozky kruhově polarizace V. Zíakladní princip polarimetrickyích mňeňrení spoňcívía v urňcení normalizovaníych Stokeso-vích parametru Q/I, U/I a V/I, coz jak víme jsou rozdíly intenzit signalu ve dvou opaňcnyích polarizaňcních míodech. V podstatňe mÁuňzeme intenzity mňeňrit dvňema zpÁusoby. Pomocí jednoho svazku paprskÁu mňeňríme postupnňe dva polarizaňcní míody (napňríklad I0 a Ig0) nějakím polarimetrem. Muzeme ale takě svazek paprsku rozdělit a měrit oba po-larizaňcní moídy souňcasnňe. Jestliňze ale mňeňríme více neňz jeden StokesÁuv parametr, musíme měrit vícekrít, alespon trikrat pro získaní Q/I a U/I a nejměně ctyri měrení, jestlize urňcujeme i V/I (Schmid, 2012). 3.3 Astronomická spektroskopie Spektroskopie je stňeňzejníí metodou poznaívíaníí okolníího vesmííru. Historicky vlastnňe stíala u zrodu astrofyziky. Bez spektroskopie bychom nyníí mňeli k dispozici jen zlomek souňcas-ních informací o vesmíru. Stací si pripomenout zíkladní astrofyzikalní, HR diagram nebo HubblÁuv vztah pro extragalaktickou astronomii. 54 Kapitola 3. Pozorovaní promenných hvezd Nastrojeni studia spektroskopie je analyza spektra, respektive jeho zaznamu. Spektrum muzeme definovat jako funkci spektrýlní hustoty zýriveho toku fv(v) = /a(A) (viz kap. 3.1.1) prichazejícího k ním od zkoumaneho objektu20. 4 300 400 500 600 700 800 900 1000 Vlnová délka [nm] Obrázek 3.10: Relativní rozložení energie ve spektru hvězd různých spektrálních typů vztažená k spektrální hustote toku zárení o vlnove delce 550 nm. 3.3.1 Charakteristiky spekter Spektrum predstavuje jakousi vizitku, kterou nam posílají vesmírne objekty. Lze z nej vycíst opravdu rozsahle mnozství informací. U hvezd jsou to napríklad ídaje o jejich efektivní teplotňe, tlaku, chemickíem sloňzení nebo turbulencích ve hvňezdnyích fotosfíeríach, rotaci nebo pulzacích hvezd, prítomnosti souputníku, magnetickem poli, u galaxií pak jejich vzdalenost, vnitrní strukturu a pohyby a jine. Spektroskopie se dnes vyuzíva i ke studiu dalsích objektu -(exo)planet, komet, mlhovin aj. V dalsím vykladu se ale zameríme na spektroskopii hvezd. Hvezdna spektra, jez vznikají ve hvezdných fotosferach, jsou typicky spojitý s ab-sorpcními, obcas i emisními carami. Carove spektrum vznika výzane-vazanými prechody mezi jednotlivými energiovými hladinami atomu nebo molekul. Ve spektru vodíku círy tvorí tzv. serie, jez jsou mnozinou car vznikajících pri prechodech z libovolne vyssí hladiny do nektere pevne zvolene hladiny. Lymanova serie v ultrafialovem oboru tak odpovída prechodum do první, cili zakladní energeticke hladiny, Balmerova serie ve 20Spektralní anatyze se podrobneji venují kurzy Fyzika hvezd a hvězdných soustav, Hvězdné atmosféry nebo Fyzika horkých hvézd. 3.3. Astronomicka spektroskopie 55 viditelně oblasti spektra zahrnuje prechody do druhě energiově hladiny, infracervena Paschenova sěriě do tretí, Brackěttova do ctvrtě, Pfundova do patě atd. Spojitě zarení kontinua naproti tomu muze vznikat prechody volně-volními, vízane-volnymi nebo rekombinací. Astrofyzikílně nejdulězitějsí prvek - vodík, prispíva k tvorbě spojitěho spektra vaza-ně-volnymi prechody, pri nichz dochazí k prechodu elektronu z něktěrě z nizsích ener-giovych hladin do prostoru nebo naopak k zachycení kolem letícího elektronu vodíkovím iontem na některou z nizsích hladin. Rozeznívame tak napr. Balmerovo kontinuum v blízkě ultrafialově oblasti nebo Paschenovo kontinuum ve viditelně oblasti spektra. Nějvyssí pravděpodobnost mají ty prechody, kdy kinetickí energie uniknuvsího nebo polapeněho elektronu jě co nejmensí. Znamena to, ze nejvíce vyzarěních a pohlceních fotonu v kontinuu jě těsně za hranami spěktrílních sěrií, coz jě dobre patrno na obr. 3.2. V prípadě chladnějsích hvězd, jako jě treba nase Slunce, hraje pri vzniku kontinua rozhodující roli ionizace a děionizace tzv. negativního iontu vodíku - atomu vodíku se dvěma elektrony. 3.3.2 Základní pojmy „Spektroskop (vidmojev) jest prístroj pro pozorovaní a srovnávání spekter..." tolik Ottuv slovník nauňcníy. První spektroskop, tedy pňrístroj, kteríy vytvoňrí obraz spektra a umoňzní jeho vizualní pozorovaní, vyrobil Joseph von Fraunhofer v roce 1817. Pozdeji s vynalezeni a vyvojem fotografie byla cást pro vizuální sledování nahrazena castí pro zaznam sledovaneho spektra (spektrogram) a vznikl spektrograf. Spektrografy rozlisujeme podle disperzního clenu a vzhledu tzv. disperzní funkce, coz je vztah mezi polohou ve spektru x a vlnovou delkou A: 1. hranolovy (1 az 3 hranoly) - hranolová spektrograf je historicky starsí; vyuzíva rozdílu v indexu lomu materialu hranolu pro ruzne vlnove delky svetla. Štandardne byvá pripojen k dalekohledu v místech, kde se tvoňrí obraz. Poloha spektraílní ňcíary ve spektru x zňrejmňe zíavisí na vlnovíe díelce svňetla A, kteríe ji tvoňrí. Disperzní funkce mía nejňcastňeji tvar: A = A0 + (x — x0)-a, kde x0 je libovolne zvoleny pocátek, A0, C, a a jsou konstanty proloňzení. Nevyíhodami hranolovíeho spektrografu je silnňe nelineíarní disperzní funkce, ztráty svetla pruchodem jedním nebo i více hranoly, a nemoznost pozorovaní ultrafialove casti spektra, ktera je sklem hranolu pohlcovana. To vse nahravá vetsímu rozsírení mrízkovích spektrografu, prave na ákor hranolovych. Nicmene v historii sehraly hranolove spektrografy velkou roli. Uplatnily se zejmena objektivove hranoly, ktere umoňznňují získat zíaznamy spekter najednou pro vňsechny hvňezdy v poli. Hodí se tak víborne pro spektrální klasifikaci hvezd. S jejich pomocí byly take vytvoreny spektro-gramy pro HD katalog. 2. mňríňzkovíe spektrografy - K rozloňzení svňetla se vyuňzívía difrakce na mňríňzce a naísledníe interference. Na rozdíl od hranolovíeho spektrografu je disperze stejnaí pro vňsechny vl-nove delky. Predpokládejme, ze na mrízku s typicky 600 vrypy na mm dopada svetlo pod áhlem a. Po ohybu je paprsek odchylen od kolmice o áhel //, pricemz platí mA = d(sin / + sin a), kde d je vzdalenost sousedních vrypu mrízky, tzv. mrízkova konstanta, m je ňríad spektra. Získanyí zíaznam spektra na detektoru je tedy tvoňren celou ňradou spekter odpovídajících ruzním radum spektra (hodnotám m). Aby nedocházelo k prekryvu sousedních spekter, zuzuje se rozsah vlnovych delek dopadajícího zarení speciálními filtry. 56 Kapitola 3. Pozorovaní přomenních hvezd Normal lo Surface Incident Beam 2- Order j '*0rder i \ pi />" Order / / s^A* Order Reflection Grating Diffracted Orders Obrázek 3.11: Vrypy na mrízce. 3. eňseletovíe, nňekdy tíeňz echelle (z angl. echellette) spektrografy - Pouňzívají se zde dvňe difrakcní mrízky pootocene vuci sobe o 90°. První disperzní clen (zpravidla mrízka s malym poctem vrypu) soustred'uje zarení do vysokích rídu spektra, ktere se vsak vzíajemnňe pňrekríyvají. Proto se vyuňzije druhíeho disperzního ňclenu (znovu mňríňzka nebo i hranol), kterí vysoke rady opticky naskladí nad sebou. Na vyslednem snímku (zpravidla CCD je pak zachyceno velmi dlouhíy uísek spektra v mnoha ňríadech. A Schematic Diagram of a Slit Spectrograph Obrázek 3.12: Schema zachycuje klícove komponenty moderního sterbinoveho spektrografu. Zdroj: upraveno z diagramu Jamese B. Kalera, v knize "Stars and their Spectra,"Cambridge University Press, 1989. 3.3. Astronomická spektroskopie 57 Obrázek 3.13: Schéma uspořádání a činnosti ešeletového spektrografu. Převzato ze stránky http://pleione.asu.cas.cz/ slechta. Spektrograf mUZe pro pořízení spektrogramu pouZívat rUzne detektory. KdyZ odhledneme od oka jako detektoru u spektroskopu, pak se v astronomii setkaváme v podstate s dvema typy detektoru. Fotografickám detektorem muze bát fotograficka deska, folie nebo papír. V praxi se dnes nejcasteji setkaváme s elektronickám detektorem v podobe CCD cipu. V minulosti se pouzívaly i linearní CCD prvky tzv. Reticon. Od konce 90. let minuleho stoletá jsou vyuzávany stale ve vetsí míre spektrografy s optickými vlákny (multifibre spectroscopy). Jejich princip spocíva v tom, ze svetlo je z ohniskove roviny dalekohledu rozvedeno soustavou optickych vlaken do spektroskopu, kde vznikají simultánne spektra pro ruzne objekty ze zorneho pole dalekohledu. Soucasne porizovaní spekter pro více objektu je obrovskou váhodou a velice zvysuje vyuzití pozorovacího casu dalekohledu. Dulezitou charakteristikou spektrografu je tzv. linearní disperze W - bezrozmerná parametr vyjadřující, jak velká ásek spektra v jednotkách vlnove delky pripada najeden delková element na pouzitem detektoru spektrografu W = (3.38) Pro fotografická spektra se udavá v Á mm-1 nebo nmmm-1. U elektronickách detektoru je bezne udávat disperze i v nanometrech na pixel. Ale pozor, cím je disperze numericky mensí, tím vetsí detaily v profilu car muzeme pozorovat. O spektrografu s numericky mensí disperzí se pak ríká, ze ma vetsí disperzi. Podle disperze rozdelujeme spektra na nízkodisperzní s 2 nm mm-1 a více a vysokodisperzní spektra, kde je disperze 2 nm mm-1 a mensí. Nízkodisperzní spektra se hodí více pro spektrální klasifikaci. Nicmene i zde je lepsím resením vysokodisperzní echelle spektrum. O kvalite spektrografu vypovída rozlišovací schopnost R, ktera je definovana jako R = = —^, (3.39) kde A je vlnová delka spektra v nm, W linearní disperze v nmmm-1, d A je rozdíl vlnovách delek mezi dvema sousedními detekcními elementy zobrazeneho spektra (zrny emulze nebo pixely elektronickeho detektoru) v nm, s je vzdálenost stredu dvou detekcních elementu v mm a konecne n udavá, kolikrát je promítnuta sírka sterbiny v polovicní hloubce (FWHM) vetsí nez dA. Zpravidla se n pohybuje mezi 2 az 3. Obvyklá hodnota parametru s ciní pro fotograficke emulze 0,020 az 0,025 mm a 0,010 az 0,025 mm pro elektronicke detektory (Harmanec & Mayer, 2008). 58 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd Obrázek 3.14: Vlevo: 400 spekter z dalekohledu 2dF. Každá z dvojice CCD kamer zaznamenává 200 spekter hvezd, jejichz svetlo je z ohniskove roviny vedeno na mozku pomocí optických vlaken. Vpravo: DetekCní deska spektrografu 2dF na Anglo-Australian observatory pripravovana pro pozorování robotem. Opticka vlákna jsou osvetlena cervene. Zdroj: The 2dF Galaxy Redshift Survey Pro řadu astrofyzikálních úloh je nezbytná vysoká kvalita spekter. Ta je většinou dána poměrem signálu k šumu S/N, někdy SNR (z angl. signal to noise ratio). V minulosti byla limitujícím faktorem citlivosti fotografickúch desek, respektive zrnitost fotografických emulzí. Sum elektronickúch spekter je tvoren zejmena vlastním sumem detektoru, která lze ochlazením detektoru vyrazne snízit. U spekter urceních pro vedecke ácely se vzdy snazíme dosahnout co nejvetsího pomeru signál/sum pri co nejkratsí expozici. Dnes je mozno dosahovat i pomerne vysokách hodnot, ktere umozňují provadet diagnostiku i velmi jemnách efektu. Z praxe lze pomer signal/sum pro dane spektrum jednoduse odhadnout jako pomer prii-merneho signálu a jeho strední kvadraticke chyby urcene pro vhodne zvoleny usek spektra, o kterem víme, ze neobsahuje zadne spektralní cary. kde S je signál odpovídající dopadajícímu toku z hvezdy v dane vlnove delce, N je vícemene nahodná sum a m je pocet bodu rektifikovaneho spektra, ve kterych byl uvazovan signal S ámerná toku zarení z kontinua hvezdy (Harmanec & Mayer, 2008). Elektronická spektra dosahují bezne pomeru signal/sum více nez 100, s detektorem Reticon a s nejkvalitnejsími CCD detektory lze dosahovat i hodnot 2000. Pri vyhodnocovaní spekter z daneho spektrografu je nutne brat v ávahu i tzv. instrumentální profil. V ideálním prípade by spektralní cara mela prakticky nulovou sírku, ale v dusledku aberace a difrakce vznikne po pruchodu zarení optickám systemem spektrografu cara deformovana. Pri urcování skutecnych profilu car musíme instrumentalní profil odecíst. Spektrografy obecne potrebují hodne svetla, jsou proto pripojovany k velkym daleko-hledum s prumerem alespoň 60 cm. Nicmene s vyvojem detektoru se i tento limit zmensuje. Dulezite je vyuzití spekter a pozorovací program. Velice zalezí na pozadovane mezní hvezdne velikosti, ktera se odvíjí od konstrukce spektrografu, jeho ácinnosti. Napríklad 2m dalekohledem v Ondrejove lze získat po hodinove expozici spektrum hvezdy 10. velikosti. Obdobne velke dalekohledy napr. v Tauntenburgu v Nemecku vsak získávají spektra pro hvezdy az do S/N (3.40) 3.3. Astronomickíá spektroskopie 59 13. velikosti. Pokud nepotrebujeme vysokou disperzi lze porizovat spektra i hvezd 18., 19. velikosti. 3.3.3 Vzhled spektrá Ná vyslednou podobu spektrá má vliv mnoho fáktorii. Zýlezí nejen ná pozorovánem objektu, tedy místu vzniku zýrení, ále svuj vliv muze mít jákekoli z míst, jákým zárení prochází, nez se dostáne áz ná zýznámove medium detektoru ve spektrográfu. Musíme tedy pocítát s vlivem mezihvezdneho prostredí, zemske átmosfery i pouziteho spektrográfu, detektoru á záznámoveho zárízení, vcetne záznámoveho mediá. Záznámenáne spektrum kosmickeho objektu je závislost merene veliciny názyváne trádicne jáko intenzitá (nebo jen I (A), která souvisí s fyzikýlne jásne definovánou spektrýlní hustotou zýrení /a(A), udívánou v jednotkách W m-2 nm-1 následující relácí: I (A) = ty (A) /a (A), kde ty (A) je slozitá bezrozmerný funkce nejen vlnove delky, ále i cásu, kterou vsák pri resení vetsiny uloh spektrýlní ánálýzy muzeme v rámci krýtkých ýseku spektrá povázovát zá konstántu, tákze pák plátí, ze I (A) ~ /a (A). 6300 6400 6500 6600 6700 6S00 6300 6400 6500 6600 6700 Position (Uauelength) Position (Uauelength) PCyg(6. 7. 1995) Helaiwlí 20 tok 15 6 I! 6300 6400 6500 6600 6700 Vlnová délka (A| Obrýzek 3.15: Spektrální Cáry. Vlevo: absorpCní Cáry ve spektru Algolu s dominantní Cárou Ha, v jejímz krátkovlnnem krídle vidíme mnozství Car vodní páry vznikajících v zemskem ovzdusí; vpravo: várazna emise v míste Cary Ha u hvezdy ( Tauri; dole: rekti-fikovaná profil spektra hvezdy P Cyg (Ondrejov, 6. 7. 1995). Prevzato z webu M. Šlechty http://pleione.asu.cas.cz/ slechta/spektra. Ve spektru se krome kontinuá nácházejí i drobnejsí detáily, zjásnení nebo náopák 60 Kápitolá 3. Pozorování proměnných hvezd pokles intenzity v podobě spektrálních Cár. Zatímco spojitá slozká spektrá se mění pomalu, Cárová rychle s vlnovou delkou A. Protože v získáných záznámech spektrá (spek-trográmech) májí kontinuá obecne různý prubeh pro ruzne typy hvezd (viz obr. 3.10), rektifikují se tyto zýznámy ná kontinuum Jc(A) = 1. Pák je mozne studovát rozlození spektrýlních cár á jejich vlástnosti. Spektrální cýry muzeme rozdelit ná temne ábsorpcní (I < 1) á jásne emisní (I > 1). Jejich kombinácí vzniká nápr. cárá s tzv. profilem typu P Cygni (viz tretí z obrázku v obr. 3.15). Energiove hládiny výzáne-výzáných prechodu, ktere dávájí vznik spektrálním cárám, jsou velice presne definovýny. Dálo by se proto ocekývát, ze i sírká pozoroványch spektrálních cár bude dýná jen instrumentálními moznostmi pouziteho spektrográfu. Nicmene uvedomýme-li si, ze vlástne tákový preskok elektronu mezi jednotlivými hládinámi je fyzikýlným mereným rozdílu energii' probi'háji'cý v jistem cásove interválu, musý plátit mezi presnostmi obou velicin (AE, Aí) známá Heisenbergová reláce neurcitosti, který je pák prícinnou nenulove prirozene sírky kázde ze spektrálních cár. Polosírká je urcená zejmená frekvenď srázek nábuzeneho átomu s jinymi ionty, tedy tlákem. š'rku á obecne i celý jej! profil spektrýlný cáry urcujý i dálsý vlivy jáko Doppleruv jev (rotáce, turbulence, teplotný pohyb), Zeemánuv efekt (rozstepem cár v dusledku pn'tomnosti mágneticke pole). Pro zý^káný detáilm'ch informácý z profilu cýry je trebá provest komplexní spektrýlní ánálýzu á srovnání s vypoctenými modelovými spektry hvězdy. AX (vzdálenost od středu čáry) Obrázek 3.16: Profil spektrální Círy v absorpčním spektru. Prevzato z Kleczek (2002). U spektrýlních cár rozeznáváme jádro cýry (oblást v bezprostredním okolí stredu cáry) á krídlá, ják je videt ná obr. 3.16. Intenzitu nebo chcete-li mohutnost cýry se nekdy oznácujeme jáko „sílá cýry", pricemz cím více svetlá bylo ábsorbovýno, tím je cýrá hlubsý á sirsý á tedy silnejsý. Silne cáry ábsorbujý výce ják 25 % zárem v dáne cáre (viz obrýzek 3.19). Mohutnost cáry muzeme numericky vyjýdrit pomocí tzv. ekviválentní sírky cáry EW\. Její merení je jedním ze zákládních nástroju ánálýzy spektrálních cár. NejdSrýve spoScteme plochu vymezenou studovánou spektrýálnýScárou á nýáslednSe spoScýtáýme sýi^ku obdelm'ku (o jednotkove výsce) stejne plochy (viz obrázek 3.18). Plochu vymezenou spektrýálnýí Scárou spoScteme ze vztáhu r( 1 --H^L-) J Xl \ -^kont. dA, (3.41) 3.3. Astronomická spektroskopie 61 Obrázek 3.17: Spektrum jasne veleobrí hvezdy 41 Cygni spektrálního typu F5Iab. Prevzato z http://www.astro.washington.edu/. kde I (A) je závislost intenzity ná vlnove delce zárení v Cáre, /kont. (A0) je očekávaná intenzita kontinua ve stredu studováne Cáry. Integrujeme pres sírku Cáry, vymezene vlnovámi delkámi A1 , A2. Ekviválentní sírká Cáry se udává se v nánometrech nebo ángstromech Dálsí chárákteristikou spektrální cáry je její centrální hloubká, respektive intenzitá ve stredu cáry Ic, vyjádrená v jednotkách árovne intenzity spojiteho zárení v dánem míste. Pro ábsorpcní cáry je táto veliciná vzdy mensí nez jedná. Cím silnejsí je dáná ábsorpcní cárá, tím je hodnotá Ic mensí císlo v rozsáhu 0 áz 1. Velicine 1 — Ic se ríká zbytková nebo táke reziduální intenzitá. U emisních cár muzeme ovsem krome centrální intenzity merit i intenzitu fiáloveho Iy á cerveneho IR vrcholu emise (pokud je emise dvojitá) á studovát i jejich pomer. Lze sámozrejme merit i ekviválentní sírku emisní cáry Obrázek 3.18: Schematicke znázornení závislosti relativní intenzity spektralní cáry Irei = I(A)/Ikont^(A0) profilu spektrální cáry s vyznacením centrální relativní intenzity Ic, centrální vlnove delky Ac, sírky cáry v polovicní hloubce (FWHM) a take ekvivalentní sírky (EW, equivalent width). Vpravo je komplikovaná profil cáry, na kterem lze rozlisit absorpce a dvojitou emisi. Relativní intenzity emisních komponent oznacujeme Iy (posunutou do fialova) a Ir (do cervena). Prevzato z Harmanec & Broz (2011). nm). 62 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd a obvykle se pouZíva konvekce, Zě jě-li ve výsledně ekvivalentní sírce emisní příspěvek dominantní, udáva se ekvivalentní sírka numericky zaporna. V obrazku 3.18 jě vyznačen i parametr FWHM (z angl. full width at half maximum), který známe z fotometriě. U spěktralní cary jdě o sírku cáry měrenou v polovicní hloubce cáry, mezi centrem cary a árovni spojitěho zarení. 3.3.4 Co lze vycíst ze spektrográmU Spektrá hvezd ním poskytují mnozství informácí o studovánem objektu, zejmená o jeho svrchních vrstvích, tedy pokud je umíme v získánem spektrográmu císt. Anátyzá spekter není vubec jednoduchou zílezitostí. V pozorováných spektrech hvezd se velmi cásto prekryvájí ruzne cáry á i zdánlive „ciste" círy mohou byt ve skutecnosti vysledky tákoveho prekryvu, tedy tzv. blendy. Autori moderních metod spektrální diágnostiky jsou si toho vedomi. Nesnází se proto o detáilní identifikáci cár, ále o pripodobnení modeloveho spektrá reálnemu pomocí vhodneho ástrofyzikálního modelu. Reílná, nápozorováná spektrá srovnávájí se spektry vypoctenymi, tzv. syntetickími. Vízkumníkum jsou k dispozici cele síte modelu hvezdních spekter. Podle vzhledu hvezdních spekter lze urcit spektrální typ vcetne luminozitní trídy. Mimo jine lze tez urcit nebo álespoň odhádnout: 1. Teplotu á tlák (z intenzity á sírky spektrálních cár ruzních prvku). 2. Čhemicke slození (z sírky spektrálních cár s prihlednutím k teplote). 3. Zárivy víkon (z spektrálních cár obvykle vodíkovych nebo ze srovnání intenzity nekterích spektrálních cár). 4. Rotáci hvezdy á turbulentní pohyby plynu v horních vrstvách átmosfery (z Dopplerová jevu, tyto pohyby rozsirují círy á soucásne zplost'ují jejich profil). 5. Rádiílní pohyb hvezd (z Dopplerová jevu). 6. Násobnost hvezdy (z periodickeho posunutí nebo rozstepení cár). 7. Prítomnost prípádne poláritá mágnetickeho pole (vede k rozsírení cár, u silnych polí áz k rozstepení, vse jáko dusledek ze Zeemánová jevu). Nenulová radiální rychlost RV (z ánglickeho: rádiál velocity) je nejcástejsí príčinou toho, proc je jiná pozorováná vlnová delká A. Objekt i pozorovátel jsou ve vzájemnem pohybu nápr. v dusledku rotáce Zeme, jejího pohybu kolem Slunce, obehu Slunce kolem stredu Gáláxie, pohybu objektu vuci Gáláxii, rotáci á orbitálním pohybu objektu. RV je pák prumet rychlosti objektu do smeru k pozorováteli, kterou získíme porovnáním vlnovích delek známích spektrálních cár ve spektru objektu s nepohyblivym láborátorním zdrojem; kládná RV známení, ze se od nás objekt vzdáluje, jeho cáry jsou v dusledku Dopplerová jevu posunuty smerem k delsím vlnovym delkím (cerveny posuv). Rozbor rádiílní rychlosti se dríve provídel pomocí dobre definoványch cár nebo jejich sous-távy á urcoválá se vlnová delká centrá cáry (SPEFO, Splát). V soucásnosti se vyuzívá vlástne posun celeho íseku spektrá, kde nezívislou promennou není vlnoví delká A ále její prirozeny logáritmus x = ln A. Posun v x: Ax = A(ln A) = AA/A = ARV/c, coz umozňuje rychle hledát zmeny rádiílní rychlosti á vyuzívát pritom celou delku spektrá, ktere máte k dispozici. Tímto prístupem lze íplne vyuzít veskerou informáci o prípádnych zmenách rádiální rychlosti, která je ve spektru obsázená, coz vírázne prispívá ke snízení nejistoty vísledku. Prícinou zmen rádiální rychlosti muze byt jákykoli krivocárí pohyb, nejcásteji jde o projev dvojhvezdnosti. Pokud ve spektru pozorujeme cáry obou slozek podvojne soustávy, mluvíme o dvojhvezdy typu SB2 (double line spectroscopic bináry), jestlize je svetlo jedne ze slozek prílis slábe, nájdeme ve spektru jen jeden system spektrálních cár á hovoríme o dvojhvezde typu SB1 (single line spectroscopic bináry). 3.4. Zdroje pozorovacích dat o promennych hvezdach 63 3.4 Zdroje pozorovacích dat o promennych hvezdach Kazda studie promenne hvezdy nebo nejake třídy promenných hvezd vyzaduje získat pokud mozno co nejvíce informací, zpravidla pozorovacích dat. V nekterych případech postací vlastní pozorovaní, dnes získana nejpravdepodobneji se CCD kamerou, ale mohou to být i fotoelektrický fotometrie. Mene casto zřejme budete v dnesní dobe provadet vizuýlní pozorovaní případne fotograficka pozorovaní na klasický film. Ale pozorovýní vsech typu muzete najít v dostupných zdrojích a archivech a případne pouzít pro vasi praci. Pujde o nýrocný ukol, zejmena v případe, ze se rozhodnete vyuzít take data ze starsích fotografických pozorovaní, fotografických přehlídek, sklenených archivu, případne vizualní pozorovaní. V kazdem případe je ale dobre vedet, na co si davat pozor a jak s takovyými daty zachýazet. 3.4.1 Vlastní, prevzatá a archivní pozorovaní 3.4.1.1 Vizuální odhady Vizuýlní pozorovaní promenných hvezd uz ve vyspelych zemích takřka nikdo neprovýdí. Vyjimkou jsou chudsí regiony, kde pozorovatele nemají prostředky na zakoupení lepsího vybavení, CCD kamer ci digitalních fotoaparatu. Zdalo by se tedy zbytecne, se tomuto typu pozorovaní venovat. Jak uz jsme uvedli, jde o pozorovaní zatízene raznými subjektivními vlivy, jehoz přesnost znacne pokulhýva ve srovnaní s moderními metodami. Jenze, vizuýlní pozorovýní a odhady jasnosti promenných hvezd byly provadeny od dob Tychona Braheho. Mají tedy nejdelsí casovou zakladnu a pro zkoumýní dlouhodobých zmen promenných hvezd jsou tak casto jediným zdrojem informací. Muzeme jim ale duveřovat? Ve svete existuje řada i vyhranených nazorä pro a proti vyuzívýní vizuýlních pozorovaní ve studiích promenných hvezd. Obecne lze říci, ze s jistou obezřetností lze tato data pouzít. Nez ale vizualní pozorovaní pouzijeme, meli bychom je podrobit detailnímu zkoumaní. Je dobre vedet neco více i o pozorovateli. Ukazuje se, ze například urcení okamziku minima jasnosti zýkrytových dvojhvezd jsou u nekterych pozorovatelu zalozena jen na třech az peti odhadech jasnosti. Takovato data jsou krajne neduveřyhodný. A pokud je produkuje nejaký pozorovatel programove, udelate nejlepe, kdyz je nepouzijete. Je třeba peclive zkontrolovat uvadený cas pozorovaní, zda jde o svetový, písmový nebo dokonce pasmový letní cas. Velmi dobre je tedy mít k dispozici detailní zaznam (protokol) pozorovýní a ne jen například výsledný okamzik minima nebo maxima nejake periodicky promenne hvezdy. Vzhledem k tomu, ze vizualní pozorovaní je silne subjektivní zalezitostí, býva dosti silne zatízeno tím, ze zejmena zkusení pozorovatele jiz předem vedí, jak by mel vypadat výsledek jejich pocínaní, tedy jaký tvar ma mít svetelna křivka v okolí extremu (mý být hladký, symetricka a s extremem nekde hodne blízko předpovedi). Pak je to spís otazka, jakou efemeridu okamziku extremu ten který pozorovatel pouzíval. Detailní rozbor vyuzitelnosti vizualních pozorovýní zýkrytových dvojhvezd pro studium zmen jejich periody je ukýzan v clanku Mikulasek et al. (2013). Je treba pripomenout, ze v tomto smeru ceskoslovenstí, cestí a slovenstí pozorovatele jsou opravdu jedni z nejlepsích na svete. Ke kazdemu publikovanemu pozorovaní zakrytove dvo-jhvezdy existuje protokol v papírove nebo elektronicke podobe. Z nej je mozne získat jednotlive 64 Kapitola 3. Pozorovaní pramenných hvezd odhady jasnosti a revidovat napňríklad urňcení okamňziku minima jasnosti hvňezdy. Daíle naprostía vetsina z nich vyuzívala predpovedi okamziku minim zaokrouhlene na pul hodiny, takze se sice vňedňelo, ňze bňehem tíeto noci by mňelo hlídaníe minimum nastat, ale kdy, to vňedňelo jen tňech paír organizatoru, kterí tyto predpovedi vydívali. 3.4.1.2 Fotograficka pozorovan í Klasická fotografie je dnes v astronomii na ýstupu. Nicmene je nutne připomenout, ze stále jsou k dispozici velke archivy sklenených fotografických desek. Jmenujme alespoň archivy na observatorích na Harvardu, Mt. Palomaru, Sonnebergu, Asiagu, Moskve, Petrohradu, Odese a jinde. V techto archivech je uloženo skutecne obrovske množství informací o promenných hvezdach. Uz radu let se majitele techto sklenených desek snazí archivy zdigitalizovat a tím je i zprístupnit siroke vedecke obci. Meli bychom tedy prece jen vedet neco malo i o fotografickích procesech, kňivce zcernaní a podobne. Tyto otazky vsak resí jiní kurz. Zde uz na ne není místo. Pripomenme si ale nektera uskalí prevzatích fotometrickych dat pochýzejících z fotografickích prehlídek. Bezne expozicní casy pri získavaní techto snímku byly minuty, ale spíse desítky minut, takňze je nelze vyuňzíívat pro studium velmi rychle promňennyích hvňezd. Navííc sníímky stejníeho hvňezdníeho pole byly poňrizovíany s urňcitíym odstupem aňz nňekolika dníí. Naprostou víjimkou jsou rady snímku tehoz pole porízene behem jedine noci. Takova data jsou tedy vhodnía pro studium dlouhoperiodickyích nebo nepravidelnyích promňenníych hvňezd. U zakrytovích dvojhvezd byl v minulosti místo standardního urcení okamziku minima ňcasto publikovían jen ňcas poňrízení snímku, na nňemňz sledovanía promňennía hvňezda byla slabsí nez obvykle, tedy v te dobe, kdy hvezda bud' sestupovala nebo naopak vystupovala minima. Tento velice hrubí odhad okamziku minima byval uveden jako „priblizní" cas minima a v seznamu okamziku minim vetsinou oznacen dvojteckou. Tato usance ovsem zcela ignoruje informace z ostatních snímku, a její vypovídací hodnota je velice nízka. Spríavnňe bychom mňeli vyhodnotit vňsechny snímky a získat soubor hvňezdníych velikostí naňsí promňenníe hvňezdy. Ten pak pňripojit k ostatním individuaílním mňeňrením pro dalňsí zpracovíaní, o nňemňz je pojedníano díale. Takovíy postup umoňznňuje získat fíazovou kňrivku z fotografickych merení, presní sezínní okamzik nebo okamziky minima jasnosti vcetne nejistot jejich urňcení. Vyísledkem je tak mnohem více pňresnňejňsích dat neňz pouhíe nejistíe okamňziky zeslabení jasnosti. Je treba rovnez venovat zvísenou pozornost casovím udajum, ktere fotograficke desky províazí. Protoňze byly zňrejmňe poňrizovíany pňred ňradou desítek let, budou se liňsit zvyklosti zapisu casovích udaju, bude se lisit i pouzity casovy standard a to, zda jde o zaňcíatek nebo stňred expozice. 3.4.1.3 Fotoelektricka pozorovan í Na rozdíl od fotografickych nebo vizuílních pozorovíní jsou fotoelektrickí merení vetsinou standardizovana (alespon ta, provadena od 50. let minukého století). Znamena to mj., ňze pňri prvotníím zpracovíaníí uňz byly nalezeny a odstranňeny hrubíe chyby, chybníe identifikace pri merení a podobne. Badatel tak dostava do ruky vetsinou velmi kvalitní material pro dalsí studium. Jenze prílisní duvera se ani zde nemusí vyplatit. Problemy 3.4. Zdroje pozorovacích dat o proměnných hvězdách 65 Obrázek 3.19: Výsledky projektu digitalizace desek Harvard Observatory v projektu DASCH. Světelná krivka zakrytove promenne hvezdy RY Cnc s periodou 1,092943 dne. Na obrázku jsou dva cykly zmen. Do prvního jsou zobrazena vsechna merení vCetne chybových áseCek. V druhem jsou taz merení. Prevzato z http://hea-www.harvard.edu/DASCH. jsou zejměna s casovími ídaji. Někdy se zdě objevují opravdu nevídaně věci, kdy se pozorovatel splete o jeden den nebo dokonce cely rok. Takově chyby ale snadno odhalíte, pokud si pozorovaní zakreslíte napríklad do O-C diagramu. Jenze, pokud se chystatě prevzít tato data napríklad ze starsí publikace, doporucujěme velmi peclivě procíst informace o měrení casu, casověm standardu. Pri detailní analíze, napríklad pro ícěly studia jemních posunu okamziku minim nebo maxim proměnních hvězd oproti predpovedi, mohou i na první pohled zanedbatelně odchylky mít zívazně duslědky. Ukazuje se navíc, ze pro takově presně analízy jě nezbytně provadět prevod uvedeních casu na barycen-tricky (podrobněji v kapitole 5.1.2). 3.4.1.4 CCD pozorování S nastupem CCD techniky a jejím rozsírením mezi amatěrskě pozorovatele doslo k obrovskěmu narästu fotomětrickych dat proměnnych hvězd. Bohuzel tento boom prinesl takě urcitě problěmy. Fotoelěktricka fotometriě byla takrka víhradně doměnou profěsionálních institucí, kdě byla jista zaruka kvality zpracovaní dat. I kdyz i tam se vyskytly víjimky, CCD pozorovaní jsou jědnoznacně razena k objektivním metodím studia proměnních hvězd. Bohuzel ruzně metody zpracovíní dokazí i docela dobrě surově snímky znehodnotit. Prvním problěmem zpracovaní CCD snímku jsou korekcní snímky. Zějměna tzv. flat snímek rovnoměrně osvětleněho polě (napríklad soumrakově oblohy bez hvězd) jě casto spatní a tak po jeho aplikaci klesí presnost získaně fotometriě. V radě prípadu jsou publikovany pouze okamziky minim a maxim jasnosti ze CCD pozorovaní. Jenze větsinou se uz nezkoumí, kolik měrení bylo k urcení okamziku extrěmu jasnosti pouzito. A jě samozrejme velky rozdíl, pokud to bylo 10 nebo treba 200 bodu. K tomu se pridava casto chybna metoda urcení okamziku extrěmu a víslědkem jě uměle vyrobení nejistota publikovaněho okamziku az několik minut. Nějlěpsím resěním jě tědy shromazdit vsechna dostupna individualní CCD měrení a v prípadě nejistoty ohledně zpracovaní, dokonce 66 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd i původní CCD snímky. Opet můsíme apelovat na pozorovatele a zpracovatele, aby věnovali velkoů pozornost časovým ůdajům. Vzhledem k tomů, Ze CCD kamery jsoů rízeny osobními počítači, zpravidla z nich take prebírají čas. Tento počítačoví čas je zalozen na časovem standardů UTC, kterí je synčhronizovan pres Network Time Protočol (NTP) server. Ale ne vždy probíha synčhronizače tak často, jak je treba. Nektere starsí programy pro obslůhů CCD kamer dokonče zastavovaly čas v počítači po dobů vyčítaní snímků. Behem noči se tak čas v počítači stíle víče a víče opozd'oval. Takovoů čhybů vsak nezjistíme jen z okamžiků extremů, ale porovnaním průbehů svetelne krivky s jiními pozorovaními. Dalsím problemem CCD pozorovaní je to, ze vetsina pozorovatelů se spokojí s tzv. diferenčiílní fotometrií a neprovídí dalsí zpračovíní, ktere by vedla k navízaní získaníčh hvezdníčh velikostí na mezinírodní system. Vyůzíví se predpokladů, ze pri male velikosti zorneho pole jsoů rozdíly způsobene různými barevními indexy pozorovanyčh hvezd a různoů vzdůsnoů hmotoů zanedbatelne. Zkůsenost ale ůkazůje, ze tím se do po-zorovíní, respektive vísledne fotometričke rady dat vkladají různe trendy, ktere mohoů ovlivnit napríklad ůrčovane okamziky minim nebo maxim jasnosti. V prípade, kdy je na CCD čipů zaznamenáno velke zorne pole (nekdy az o rozmerů nekolika stůpňů) můze dojít k vyznamne deformači získane svetelne krivky, pokůd nepovedeme standardizači mňeňrení a pňrevod do meziníarodního systíemů. 3.4.2 Soudobé přehlídkové projekty Prehlídkovích projektu, kde je monitorována alespoň cást hvezdne oblohy, je dnes nekolik desítek. Není mozne zde uvest kompletní prehled. Navíc rada opravdu velkách projektu se teprve chysta, napríklad Large Synoptical Survey Telescope (LSST) (Ivezic et al., 2008), Panoramic Survey Telescope and Rapid Response System (PanSTARRS) (Hodapp et al., 2004) nebo SkyMapper (SEKBO) (Keller et al., 2008). Vybereme tedy jen nektere z nich, kde je mozne získat dobrá data pro studium promennách hvezd. 3.4.2.1 Pozemské projekty ASAS All Sky Automated Survey (ASAS) je polský projekt, který bězí od roku 1997. Cílem je provádět automatickou fotometrii zhruba 20 milionU hvězd jasnějších nez 14 mag na celě hvězdně obloze. Dalekohledy projektu mohou nyní pozorovat jizní objekty do deklinace +28°, takže pokrívají tri čtvrtiny hvězdně oblohy. Stanice ASAS-jih je umístěna na ob-servatori Las Campanas v Chile a ASAS-sever na hawaiiskěm ostrově Maui na Haleakala Observatory. Strůjcem nípadu byl Bohadan Paczynski. První prototyp a nístroje na prenos a zpracovaní dat vytvoril Grzegorz Pojmaíski. V ramci projektu bylo objeveno jiz několik desítek tisíc novích proměnních hvězd. Pozorovaní jsou províděna ve filtrech V a I a jsou k dispozici v prehlědně formě na webovskích strankach projektu http://www.astrouw.edu.pl/asas/. Popis projektu a zpracovíní dat je uveden v prvním ze sěrie clínku o vysledcích projektu Pojmanski (2002). 3.4. Zdroje pozorovacích dat o proměnných hvězdách 67 NSVS Přehlídka Northern Ský Variability Survey (NSVS) vznikla vlastně jako doCasný produkt projektu Robotic Optical Transient Search Experiment (ROTSE-I). Ten spoCíval v monitorovaní oblastí hvezdne oblohý s deklinací vetsí neZ -38° pomocí ctýr spraZených dalekohledu (teleobjektiv se CCD kamerou) v Los Alamos (New Mexico, USA). Databaze NSVS obsahuje svetlene krivký zhruba 14 milionu objektu v rozmezí 8 az 15.5 mag. Data jsou nefiltrovaní, takze vzhledem k profilu citlivosti kamer budou blízkí merením ve filtru R. Vsechna fotometricka data jsou k dispozici pres Ský Database for Objects in Time-Domain (SkýDOT) v Los Alamos National Laboratorý http://skydot.lanl. gov/nsvs/nsvs.php. Pri pouzití dat je treba davat pozor na format casu. Je totiz uveden v podobe (MJD-50000), tedý modifikovane juliínske datum zmensene o 50000. Navíc autori v informativním clínku (Wozniak et al., 2004) neuvadejí ani presní casový rímec (spokojí se chýbne jen s UT) ani to, zda býla aplikovana heliocentricka korekce. OGLE Optical Gravitational Lensing Experiment (OGLE) je dalsí polskí projekt, kterí je rízen z varsavske univerzitý. Jeho vedoucím je Andrzej Udalski. Zameruje se na hledaní temne hmotý s pomocí mikrococek. Projekt býl zahajen v roce 1992 na observatori Las Campanas v Chile. Od te dobý se jako vedlejsí produkt mimo jine podarilo objevit nekolik exoplanet. Hlavním cílem pozorovaní jsou Magellanova oblaka a vídut' nasí Galaxie. Fotometrickí data pro zvolení objekt jsou k dispozici ve filtrech BVI na webovske strance projektu http://ogle.astrouw.edu.pl/, respektive http://ogledb.astrouw. edu.pl/~ogle/photdb/. Detailý strukturý dat jsou popsaný v príci Szýmanski (2005). Projekt probíha v nekolika fazích: OGLE-I (1992-1995), OGLE-II (1996-2000), OGLE-III (2001-2009). V roce 2010 býl proveden upgrade technickeho výbavení a odstartovala faze OGLE IV. Díký výuzití 32cipove mozaikove CCD kamerý je mozne nýní zvísit kadenci snímku pri zachovíní stejne oblasti monitorovíní. Hlavním ukolem teto faze je nýní detekce exoplanet. SLOAN Sloan Digital Ský Surveý (SDSS) je velmi ambiciózní projekt. Podílí se na nem 25 institucí z celeho sveta. V soucasne dobe (od r. 2008) probíha tretí faze. Behem osmi let prvních dvou castí (SDSS-I, 2000-2005; SDSS-II, 2005-2008) býlý získaný snímký v peti fotometrických filtrech. Z nich býla mimo jine výtvorena trojrozmerna mapa více nez ctvrtiný hvezdne oblohý obsahující pres 930 000 galaxií a 120 000 kvasaru. Porízena fotometricka a spektroskopickí data jsou postupne zverejnovana. V da-tovem balícku 8 uvolnenem pocatkem ledna 2011 je fotometrie pul miliardý hvezd a galaxií a spektroskopie dvou milionu objektu. V datech zverejneních v roce 2012 je k dispozici první císt spektroskopie z Barýon Oscillation Spectroscopic Surveý (BOSS), coz predstavuje pres 800 000 spekter. Podrobnejsí informace k projektu a zverejnena data jsou k dispozici na http://www.sdss.org/. 68 Kapitola 3. Pozorovaní proměnných hvězd Pi of the Sky Tento projekt jě dalším z rady polských prehlídkových fotometrických projektů. Jdě o radů plně automatických soustav se CCD kamerami s velkými zornými poli. Jeden system je umístěn v Chile (od roků 2004) a drůhý (od roků 2010) ve Španělsku. Projekt jě zaměren na hlědýní krátkých optických transientů, zvlastě optických dosvitů gama zablesků, monitorovýní aktivit blazarů a obecně sledovaní vsech proměnných hvězd v pozorovaně oblasti. Dětailý jsoů popsaný v praci Bůrd ět al. (2004). Pozorovýní býla provýděna bez filtrů, jen nejnovějsí dětěktorý mají rovněz predrazen fotometrický filtr. Něfitrovaný pozorovaní býla kalibrovana na filtr V Opiěla ět al. (2012). Data jsoů k dispozici na http://grb.fuw.edu.pl. Cas jě ůdavan ve formě hěliocen-trickěho jůlianskěho data HJD, od něhoz jě odecten cas T0=2453250. Celý sýstěm výh-lědavýní jě trochů neohrabaný, alě vzhledem k tomů, ze proběhl ůpgradě a rozsírění hardwarů, můzeme snad ocekývat zlěpsení i na softwarově straně a ůvolnění dalsí varký dat. Zatím jsoů k dispozici data, radý fotometrických měrení zejměna pro jizní hvězdý v rozmezí zhrůba 6 az 10 mag. 2MASS Prehlídkový infracervený projekt Two Micron All Ský Sůrvěý ve filtrech JHK jě v provozů od roků 1997 (severní cast na Moůnt Hopkins, Arizona, USA), respektive 1998 (jizní cast na Cerro Tololo, Chile). Projekt býl navrzen pro výzkům rozsahlých strůktůr nasí Galaxie a místní skůpiný galaxií, alě takě jak prípravný a podpůrný pro infracervěně kosmickě projěktý HST/NICMOS, Spitzer a James Wěbb Space Tělescope. Měrění ve filtrech JHK jsoů získývana soůcasně tremi různými HgCdTě dětěktorý. Limitní hvězdně velikosti jsoů 15.8 mag (J), 15.1 mag (H) a 14.3 mag (K). Pozorovaní býlo ůkonceno v roce 2001 a první data býla zverejněna v roce 2003 na http://www.ipac.caltech. edu/2mass/. V poůzitě infracerveně oblasti spektra jsoů ěfěktý spojeně s mezihvězdnoů extinkcí zhrůba desetkrát mensí nez jě tomů ve filtrů B. I kdýz jě prehlídka cílena na galaxie, protoze větsina z nich nejsilněji zarí pravě v blízkě infracerveně oblasti, jsoů data z těto prehlídký velmi dobre výůzitělna i pri stůdiů proměnných hvězd. K dispozici jsoů totiz nejen jědnotliva měrení pro daný objekt, alě radů proměnných hvězd i celě sěriě měrení postacůjících kě konstrůkci kompletní světelně krivký periodický proměnných hvězd. V rýmci 2MASS býlo získano 4 121 439 snímků s rozlisením zhrůba 2"/pixěl. V katalogů Point Soůrce Catalogůě (PSC) jě 470,992,970 objektů. Jenze 2MASS PSC obsahůjě vzdý jen jedno měrení v kazděm filtrů. Casovoů sěrii měrení lze získat z 2MASS Calibration Point Soůrce Working Database výůzitím serverů NASA/IPAC IRSA GATOR http://irsa.ipac.caltech.edu/applications/Gator/. Blizsí informace o projektů lze nalězt napríklad v praci Skrůtskiě ět al. (2006). Fotometrickým datům projektů, jejich kalibraci a barevně transformaci se věnuje rada půblikací, napríklad Cohen ět al. (2003). Informace o rozsírení projektů jsoů napríklad na http://www.ipac.caltech. edu/2mass/releases/allsky/doc/seca1_1.html. CRTS Catalina Real-Time Transient Sůrvěý (CRTS) se zaměrůjě na hledaní optických tran-sientů s změnami v dělce od minůt po roký. Primarně jě ůrcěný na výzkům blízkozemních 3.4. Zdroje pozorovácích dát o promennych hvezdách 69 objektu NEO. Prástroje projektu pokývájá 26 000 stupnu ctverecnách hvezdne oblohy v deklinácích od -35° do +65°, ále vyhýbájí se oblásti (10 áz 15 °) kolem gáláktickeho rovnáku. V kátálogu projektu táke nenájdeme objekty jásnejsá nez 12 mág (V), kde uz je prális málá presnost fotometrie. Pro objekty jásnejsá nez 13 mág by fotometrie projektu melá bát vyuzáváná obezretne. Pro slábsá cále je presnost vyslednách hvezdnách velikostá ve V filtru priblizne 0.06 áz 0.08 mág. V rámci projektu, ktery bezá od konce roku 2007, se uz podárilo detekovát desátky supernov, kátáklyzmickách promennách hvezd, ák-tivnách gáláktickách jáder dálsách tránsientu, nektere dosud neznáme pováhy. Dátá projektu jsou dostupná ná http://nesssi.cacr.caltech.edu/cgi-bin/getcssconedb_ release.cgi. Blizsá informáce lze náját v Dráke et ál. (2009). 3.4.2.2 Kosmické přehlídky Hipparcos Druzice Hippárcos (zkrátká z High Precision Párálláx Collecting Sátellite) bylá soucástá ástrometricke mise Evropske kosmicke ágentury (ESA), zámerene ná merená hvezdnách páráláx á vlástnách pohybu hvezd. Projekt byl pojmenován ná pocest stárovekeho ás-tronomá Hippárchá, konkráetná náázev vznikl ze zkrátky z High Precision Párálláx Collecting Sátellite. Druzice prácoválá ve vesmáru od 8. srpná 1989 do 15. srpná 1993. Celá projekt byl rozdelen ná dve cásti. V rámci sámotneho experimentu Hippárcos se merilo pet ástrometrickách párámetru u zhrubá 120 000 hvezd s presností 2 áz 4 tisíciny obloukove vterlny (más) á jejich hvezdná velikost ve filtru Hp. Druhy experiment Tycho se venovál merená ástrometrickych párámetru á hvezdnych velikostá ve filtrech BT á VT u dálsách 400 000 hvezd s o neco mensá presnostá. Vysledne kátálogy Hippárcos á Tycho byly publikovány Evropskou kosmickou ágenturou v cervnu 1997 (ESA, 1997; Perrymán& ESA, 1997). O deset let pozdeji bylá publikováná nová redukce dát kátálogu (ván Leeuwen, 2007, 2008, 2009, 2010). Cás ve vsech kátálozích dát je uváden v podobe (JD-2440000). Corot Sondá COROT (COnvection ROtátion ánd plánetáry Tránsits) je projektem Frán-couzskáe vesmárnáe ágentury (CNES) á ESA. Ják vypláyváá z plnáeho náázvu, máá táto mise dvá primáárná cále. Jednák máá páátrát po tránzitujácách exoplánetáách á jednák studovát dáky velmi presne fotometrii i osciláce hvezd podobne tem slunecnám, zámerit se tedy ná ástroseismologii. Sondá odstártoválá v prosinci 2006 á predpokládálo se, ze bude v provozu priblizne dvá á pul roku. Pres technicke potíze, ktere v roce 2009 zmensily zorne pole ná polovinu, sondá pokrácuje á jejá cinnost bylá prodlouzená áz do roku 2015. Dálekohled sondy o prumeru 27 cm snímá strádáve pouze dve pole - kruhove oblásti o prumeru 10° v rovine Gáláxie se stredy ná rektáscenzi 6h 50m á 18h 50m. Výsledkem je vácebárevná fotometrie (UBVr'i'). Blizsá informáce á zverejnená dátá z projektu jsou k dispozici ná http://smsc.cnes.fr/COROT/. Cásy jsou v pHpáde teto sondy uvádeny v podobe CJD (CoRoT Julián dáy) á jsou uvádeny i v heliocentricke podobe. Mozná záludnost je zde v tom, ze uvádená okámzik je konec 32sekundove expozice (u snámku s udávánou expozicá 32 s), prápádne konec prvná z 16 dváátricetisekundovách expozic (u snámku s expozicá 512s). 70 Kapitola 3. Pozorovaní proměnnách hvězd Kepler Jedna z nějuspěsnějsích kosmickách sond nese jměno Kepler. Na oběznou drahu kolem Země ji vyslala NASA v roce 2009 s cílem měrit soustavně jasnosti hvězd ve vybraněm poli na rozhraní souhvězdí Lyry a Labutě. Dalekohled o pruměru 95 cm (s hlavním zrcadlem 1.4 metru) jě doplněn maticí 42 CCD cipu, coz jě v soucasnosti největsí CCD detektor ve vesmíru. Hlavním ákolem druzice jě patrat po transitujících exoplanerách u hvězd ve vybraněm zhruba 12 stupňu vělkěm zorněm poli. Do pocatku roku 2013 objevil Kepler pres 400 exoplanet a těměr 3000 kandidatu. Mimorádně presna fotome-triě a zcela unikátní dělka a casově rozlisení umoznují i velmi presně a detailní studie proměnnách hvězd. Blizsí informace o projektu jsou k dispozici na stránkach http: //www.nasa.gov/mission_pages/kepler/main/index.html. Data pro jednotlivě objekty jě mozně vyhledávat na http://archive.stsci.edu/kepler/data_search/search. php. Integral Druzice INTEGRAL (International Gamma Ray Astrophysics Laboratory) jě dalsí z rady vědeckách druzic ESA. Jejím cílem jě získaní mapy hvězdně oblohy v oboru 7 zárení. Na obězně draze pracuje od roku 2002. Pozorovatele proměnnách hvězd ale více zajíma malá podpurní projekt na palubě - Optical Monitoring Camera (OMC). Kamera se zobrazovacím polem 1024 x 1024 pixelu jě nainstalována na dalekohledu o pruměru 50 mm a opatrena Johnsonovám filtrem V. Data z těto kamery jsou dostupna na https: //sdc.cab.inta-csic.es/omc/secure/form_busqueda.jsp?resetForm=true a jsou prubězně zverejňována. Pri vyuzití jě treba dukladně procíst popis dat. Casy pozorovaní jsou ukladany v geocentrickě a barycentrickě podobě a znací zacatek expozice. Dělka expozice se pritom mění. Navíc mohou bát jednotlivě hvězdně velikosti vásledkem skládanách expozic, kterě jsou uvedeny v casověm rozlisení 10 minut, ale jejich dělka se muze měnit od zhruba 4 minut do 15 minut. Blizsí informace lze najít napríklad v Zejda & Domingo (2011). Po devíti letech prace jsou v databazi OMC světelně krivky (o více nez 50 bodech) zhruba 70 000 objektu. Kolektiv autoru (Alfonso-Garzon et al., 2012) publikoval souhrnně výsledky o 5263 proměnnách objektech, jejich data jsou dostupna i na serveru CDS (Strasbourg Astronomical Data Center) (http://cds.u-strasbg.fr/). GAIA Kratká prehled kosmickách prehlídek jsme zacali astrometrickou druzicí Hipparcos a skon-címe jejím nastupcem - sondou Gaia (Global Astrometric Interferometer for Astrophysics). Takě GAIA je evropská projekt (ESA). Její start je planován na ríjen 2013. Mezi zakladní cíle sondy patrí shromazdění astrometrickách a fotometrickách dat priblizně jedně miliardy hvězd do 20 mag. Kazdou hvězdu by pritom během predpokladaně zivot-nosti sondy (5 let) měla změrit 70krát. Presnost urcení polohy by měla bát pro hvězdy do 15 mag kolem 20 milióntin uhlově vteriny a pro hvězdy 20 mag pak desetkrát mensí. Na palubě budou tri hlavní prístroje: kamera Astrometric Field pro astrometrii, modry a cervení fotometr pro nízkodisperzní spektroskopii a Radial Velocity Spectrometer na měrení radialních rychlostí. O zpracování dat bhze pojednava Busso et al. (2012). Pokud vse pujde, jak má tak bude vásledny katalog s daty k dispozici kolem roku 2020. Blizsí informace o misi jsou na http://sci.esa.int/science-e/www/area/ 3.4. Zdroje pozorovacích dat o proměnných hvězdách 71 index.cfm?fareaid=26. 3.4.3 Virtuální observatoř Jak napovídá i předchozí kapitola, je souCasná astronomie postavena pred závaZný problěm - zaplavu dat. Data se valí skutecne ze vsech stran v takove míre, Ze jejich objem se zdvojnísobuje kazdých sest mesícu. Samozrejme, jak uz to bíva, zrovna pro vami studovaní objekt je tech dat malo a potrebujete najít vsechna dostupna merení. V oblasti promenních hvezd vam pro prvotní prehled dobre poslouzí katalog americke spolecnosti pozorovatelu promenních hvezd AAVSO Variable Star Index, o nemz uz jsme se zminovali. Na adrese http://www.aavso.org/vsx/ najdete totiz nejen samotný katalog promenných hvezd, ale pro zvolenou hvezdu take odkazý prímo na data hvezdý v razních fotometrických prehlídkích a databazích. Samozrejme muzete data hledat take pres SIMBAD Astronomical Database (http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/) a nebo výuzít shužeb virtualní observatore (VO). Virtualní observator vznikla na zíklade iniciativý astronomicke komunitý. Jejím cílem je poskýtnout globalní elektronickí prístup ke vsem astronomickím datovím archivum z prehlídkových projektu pozemských i kosmickích, ale i archivum jednotlivých observatorí nebo i pozorovatelu. Ruku v ruce s otevrením archivu je i poskýtnutí efektivních nastroju pro zpracovaní techto dat a praci s nimi. Ve svete existují razne narodní virtualní observatore nebo jejich mezinarodní sdruzení, napríklad Evropska virtualní observator EURO-VO (http://www.euro-vo.org/). Vsechný zajemce pak sdruzuje IVOA (International Virtual Observatorý Alliance, http://www.ivoa.net/). Metody zpracování pozorování 74 Kápitolá 4. Regresní ánálýzá 4 Regresní analýza 4.1 Uvodem Ob jekty s promSennyými chárákteristikámi jsou pSredmSetem soustSredSenýeho záýjmu ástro-fyziku, protoze svou promenností toho o sobe prozrázují více, nez objekty nepromenne. ZjiSstSený á mátemátickýe vyjýádSrený pováhy Scásovýe promSennosti mSeSrenyých veliScin (jás-nost, mágneticke pole, intenzitá spektrálných cár, polárizáce ápod.), hledáný trendu, cyklickýych zmSen, periodicit ápod. - to jsou nejScástSejSsýí uýkoly, kterýe práktickýá ástrofyziká resí. Nejdulezitejsím nástrojem pro mátemáticke zprácovýní techto zývislostí je tzv. regresní analýza á zejmená její nejstársí á nejproprácovánejsí disciplíná - metoda nej-menších čtverců (MNC, ánglicky leást squáre method - LSM). DSrýíve neSz pSristoupýíte ke zprácovýánýí pomocýí regresnýí ánálýyzy, doporuScuji ábyste si celou situáci nejprve zevrubne obhledli, coz mj. známená, ze si do nejruznejsích gráfu ci schemát vynesete vzájemne závislosti vsech mozných velicin dotycneho objektu, áť uz vámi námerenych nebo prevzátých z literátury. Verte, ze tyto „obrázky" váým o pováze vzáýjemnyých souvislostýí mezi jednotlivyými chárákteristikámi povSedýí výíce nez sebedokonálejsí císelne rozbory. Zjistíte-li, ze zobrázene výsledky merení {yi} jeví jistou Scásovou zýávislost, zSrejmSe týeSz pocýítýíte neodolátelnýe nutkáýnýí tuto záývislost proloSzit (fit) nejákou elegántní hládkou krivkou. Proc? Nejspís proto, ábyste videli, ják se dáná veliSciná dooprávdy mSený, tedy ják by to ási vypádálo, pokud byste dotyScnou veliScinu dokýázáli mSeSrit nepSretrSzitSe á pSritom návýc ábsolutnSe pSresnSe. K tomuto ideáýlu sámozSrejmSe nedospejete nikdy, lze se mu vsák álespoň pribUzíit. Metodá nejmensých ctvercu pritom náznáScuje osvSedScenou cestu, ják toho dosýáhnout. Doporucuji vám, ábyste ále predem zvázili, zdá je vubec trebá neco proklýdát á poď-tát! Chceme-li totiz jen dokumentovát, ze tu oná závislost existuje, ták je poctivejsí do gráfu zýádnou krivku nevkreslovát, stácýí jen zvolit vhodnýá merýítká ná osýách á obrýázek prezentovát v jeho originýálnýí podobe. Pouze tehdy, chceme-li s vyýsledky prolozenýí dýále prácovát á neco z nich vyvozovát, je zýáhodno pustit se do mátemátickýeho zprácovýánýí. 4.1.1 Regresní model Vysetrujme nejprve cásovou závislost vybráne merene veliciny y ná zákláde casove rady, coz je soubor n trojic {ti, yi, ai}. Predpokládejme pritom, ze cás merení t známe náprosto presne, lze jej tedy poklýdát zá nezavisloů veličinu, zátímco jednotlivý merení zévisle proměnné veličiny y, yi, jsou zátízená urcitou nejistotou, rekneme ci. Násím zámerem nyní bude nájít tákovou skálýrní funkci cásu t, f (t), která optimýlne prochýázý mezi námSeSrenyými body á co nejlýepe vystihuje reýálnou Scásovou zýávislost po-zorovánýe veliSciny. Triviálním resením teto ílohy v prípade Casove závislosti je pospojování vsech po Casove sobe nísledujících bodů lomenou círou prípadne nejakou sice hladkou, ale dostatecne zvlnenou cárou (napr. polynomem stupne n — 1), která by procházela dusledne vsemi namere-nými body1. Takovíto postup by mel sve opodstatnení pouze tehdy, pokud bychom jak cas, tak zívisle promennou velicinu znali absolutne presne, coz je nereálne. Mnohem hodnovernejsí Tímto polynomem stupne n — 1 muze bít treba Lagrangeuv nebo Newtonuv interpolacní polynom. 4.1. Uvodem 75 vásledky dava prosta grafická metoda, kdy mezi body vyneseními do grafu tahneme od ruky hladkou kňrivku, ktería dle naňseho pňresvňedňcení co nejlíepe vyjadňruje pozorovanou zaívislost. Tento zpusob prolození vsak není obecne reprodukovatelná (i vy sami nakreslíte tu svou optimální krivku pokazde trochu jinak), navíc se s tímto grafickám reňením potom dosti spatne pracuje. Bězně se proto díva prednost takovym metodím, kterě vědou k analytickěmu vyjíd-réní prokladaně funkce a k objektivnímu, reprodukovatělněmu stanovení kriteria nejlěpsí shody. Obvykle si hned na pocatku definujeme tzv. regresní model (regression model). Regresním modelem si z nekonecněho mnozství funkcí, jimiz by bylo mozno pozorovanou zavislost prolozit, vybereme jen jistou omezenou mnozinu funkcí, pricěmz kazda z funkcí těto zvoleně mnoziny modělovích funkcí budě plně děfinovína g prědem neznamymi volními parametry, kterě si pracovně oznacímě ^1,^2,^3, . Vělicina g pak vyjadruje počet stupňů volnosti (děgrěě of frěědom) zvoleněho modelu. Na tom, jak si dokazeme zvolit ten spravní regresní model, kterí v sobě obsahuje funkce co nejpodobnějsí reílně zavislosti y(t) a pouzít pritom co nejmensí pocět volních parametru, pak zavisí uspěch celěho naseho dalsího pocínaní. Pokud nevíme o fyzikalní podstate závislosti jedne z pozorovanách velicin na druhe vubec nic, pak jako regresní model volíme soubor co nejjednoduňsňsích funkcí - polynomy, harmon-icke funkce - s nimiz lze snadno pracovat. Pokud vsak jiz predem víme, jakou modelovou funkcí by mela byt pozorovana zavislost popsana, meli bychom jí dat prednost, protoze jinak si zpusobíme zbytecne problemy pri interpretaci zjistene závislosti. Spravnou a citlivou volbou regresního modelu lze ze souboru dat vytňeňzit spoustu informací, naopak zvolením neadekvátního modelu, lze snadno dospet i ke zcela mylnym a falesnám vávodum. Regresní model predstavuje mnozinu podobních funkcí, kterě se od sebe lisí jen jiními hodnotami volních parametru Z^, /32, ...^g : f (t) = f (Zh, Z2, ...Z^, t). Usporadanou g—ticí parametru Zj je víhodně zapisovat jako g-rozměrní vektor nebo sloupcovou matici (3 o rozměrech g x 1 (g radků a 1 sloupec): (3 = (Z1,Z2, .-/Zs) . Predpokladějmě nyní, ze jsme v ramci regresního modelu zvolili nějakou konkrětní hodnotu vektoru parametru pro i-tě měrení {tj, y^j pak lze vyjídrit odchylku ej tohoto měrení od daně zavislosti vztahem ei = y — f (tj, (3). (4.1) Jě zjevně, ze cím mensí budou odchylky měrení od modelově predpovedi, tím lepsí budě prolození. Jě vsak treba navíc uvazit, ze jědnotliva měrení mají ruznou kvalitu, ci chcetě-li vahu, ktera budě nějak souviset s nejistotou jejich urcění aj. Jě uzitěcně zavěst si tzv. modifikovanou odchylku ěj, kde g = ej/aj, a tu pak brít jako rozhodující pri posuzovaní íspěsnosti modelovaní nějakych pozorovanych zívislostí, tědy: g = 6- = yi — f (ti, 3). (4.2) Nasím ukolem nyní budě vybrat z mnoziny funkcí, kterě pripoustí zvolení regresní model, f (t, (3) popsaních vektorem (3, takoví vektor (3 = b, pro nějz budou modifikovaně odchylky {gj j minimalní. Onu podmínku minimálnosti jě ovsem treba nejprve matematicky precizovat. Nějcastěji pouzívanou, a z mnoha duvodu nejoblíběnějsí (nikoli 76 Kapitola 4. Regresní analýza vsak jedinou2), je podmínka, aby součet čtverců modifikovaných odchylek pro všechna merení, oznacovaný bežne jako velicina x2, tedy i=1 i=1 byl minimalní. Z teto podmínky pak vychazí moderní varianta, jinak již letite metody nejmenších ctverců, ktere se budeme nadale venovat. Metoda nejmensích ctverců je nýstroj, pomocí nehož lze pomerne jednoduse stanovit hodnoty parametru zvoleneho regresního modelu tak, aby tento model co nejlepe souhlasil s tím, co jsme napozorovali. Pokud jsme meli st'astnou ruku pri vyberu modelu, budeme moci i predpovedet, jak se zkoumaný objekt choval, a to i v dobe, kdyz jsme jej nemeli pod dohledem. Budeme moci predpovedet, co by se s ním melo dít v budoucnosti. Vsechny tyto predpovedi zname i s jistou davkou nepresnosti, ktera je dína jednak tím, ze zvolení model nemusí uplne presne odpovídat realite, ale zejmena proto, ze vsechna pozorovací data jsou zatízena jistou nepresností danou zpusobem merení a radou nezníni/ích faktoru, ktere vísledky pozorovaní ovlivnují. Velkou predností MNC je, ze umozňuje nejen predpovídat, ale i odhadnout nejistotu techto predpovedi. 4.1.2 Zdůvodnění metody nejmenších čtverců MNCň vychaízí ze skuteňcnosti, ňze naprostía vňetňsina odchylek od hodnoty, kterou jsme meli v dane chvíli namerit, mí tzv. normálni rozděleni. To znamena, ze histogram tňechto níahodnyích odchylek mía zvonovityí tvar, vyjadňrující skuteňcnost, ňze pňrevaíňznía vetsina merení se kupí kolem te „realne" hodnoty, najdou se vsak i merení, kterí se od tohoto ňzíadoucího ideíalu více ňci míenňe odchylují. Nejistota mňeňrení pak znamenía, ňze pravdepodobnost rozlození zmerení dane hodnoty je dobre popsína Gaussovou funkcí3, jejíň síňka - tedy míra rozmazanosti - je urcena tzv. rozptylem a2. Príciny one roz-mazanosti jsou mnohe, souvisejí jak s kvantovou povahou merení (napr. statistika fotonu apod.), turbulencí atmosfery, zmenami atmosferickeho tlaku i stavem pozorovatele, kolísaním napetí elektricke síte apod. Nekteré z techto vlivu sice lze potlacit, nicmene uíplnňe je odstranit nelze. Naňstňestí níam vychíazejí vstňríc tím, ňze jsou pňredvídatelníe a tím i eliminovatelníe. Krome nich vsak existují i takové vlivy, které do našich měření vnášejí hrubé chyby. Mohou to bát např. vlety kosmickách Částic, nestabilita vlastního pozorovacího přístroje, prudke zmeny pocasí, chyby odectu pozorovane veliciny treba z duvodu nepozornosti (zímena císlic, chybny format) apod. Nektere z hrubých chyb lze uz ve vypisu namerenách hodnot snadno identifikovat, nebot' se vyrazne odchylují od ostatních merení. Takoveto chyby je zahodno nemilosrdne eliminovat. Pokud se vsak merení zatízena hrubími chybami od ostatních merení lisí jen mílo, je jejich odhalení nírocnejsí a neobejde se bez celkoveho statistickeho zhodnocení cele pozorovací serie. Dosti zaludne mohou bít casove promenne systematicke odchylky ci kolísaní, kdy lze vysledovat zjevnou korelaci odchylek. 2 Jinou takovou podmínkou muze bít minimílnost souctu absolutních hodnot modifikovanych odchylek nebo jejich ctvrtích mocnin. Nicmene takto definovane podmínky se pouzívají jen zrídka, a ve zcela oduvodneních prípadech. Naopak casto se pouzívají jiste modifikace MNC, ktere dokízí eliminovat hrube chyby. Temto modifikacím se pak ríka robustní regrese. 3Podrobnejsí zduvodnení, proc tomu tak je, nam prinísí tzv. „centrílní limitní teorem". 4.2. Metoda nejmenších čtverců 77 My še ted' však šoůštredíme jen na ty odchylky, které vznikají šoůhroů náhodných procesů a jejichž pravdepodobnošt lze doštatečne popšat tzv. normální rozdelovací fůnkcí. Předpokládejme nyní, že modelůjeme závišlošt n merenych velicin yi na caše f (ti, (3) necht' je modelova predpoveď v caše ti š modelovámi parametry (3. Důlezitám parametrem je nejištota (rozptyl) ai kazdeho merení. Soůštred'me še nejprve na libovolne vybrane i-te merení š namerenoů hodnotoů yi a její modelovoů predpovedí f (ti, (3). Za predpokladů, ze rozdelení odchylek je normílní, pak platí, ze hůštota pravdepodobnošti teto šitůace P(yi|f (ti,bůde dína povedomím vztahem: P(yi|f(ti,/3),Gi) = ^=exp -\(Vi^^)' . (4.4) Je zjevne, ze tato dílcí hůštota pravdepodobnošti bůde tím vyšší, cím blízze k šobe bů-doů mít pozorovíní a predpoveď. Víše ůvedenoů hůštotů pravdepodobnošti lze pro daní model a zvolenoů šadů parametrů vypocítat pro všechna pozorovaní. Jšoů-li jednotliví pozorovaní zíškana nezívišle, pak vyšlední hůštota pravdepodobnošti toho, jak verne zvolení regrešní model f (t, (3) popišůje realitů, bůde dana šoůcinem dílcích hůštot pravdepodobnošti. Ten šoůcin, kterí ši oznacíme L(/3), cíšelne vyjadrůje verohodnošt zvoleníeho modelů: L(3) = íl -^T exp í-5 íyi-^)1- (4.5) Bůdete-li ši nyní vybírat mezi jednotlivími regrešními modely, vyberete ši jište ten, kterí ma maximílní verohodnošt (likelihood) L(/3). Tomůto poštůpů še ríka metoda maximální věrohodnosti a lze ji poůzít míšto metody nejmenších ctverců, š níz ovšem intimne šoůviší. Stací totiz vztah pro verohodnošt (4.5) zlogaritmovat a trochů ůpravit n n p _ f (t 3) -i 2 n -2lnL(3) + 5>[2n (g;)2] = £ l^^ll3 = £ g2 = x2(3). (4.6) Gi i=i i=i i=i Nabíví-li verohodnošt modelů L(/3) šveho maxima, pak všechny vírazy v rovnicích (4.6) došahůjí šveho minima, pricemz šůma na leve štrane rovnice je konštanta. Sůma ctverců podílů odchylek a jejich nejištot še bezne oznacůje jako x2(3). Minimalizací teto bezrozmerne veliciny4 x2(3) pak lze hledat ty nejlepší z regrešních modelů. Od metody nejmenších ctverců naš delí ůz jen docela maly krůcek. 4.2 Metoda nejmenších čtverců 4.2.1 Hledaní rešení metodou nejmenších Ctverců Sůma X2(3) je bezrozmerna škalírní fůnkce vektorů parametrů (3: x2(3) = £ yi-f_(ti,3) = £ 02 = £ e2w2 = J> - f (ti, 3)]2 Wi, (4.7) i=i Gi i=i Gi i=i i=i 4Srovnejte prosím s intuitivním tvarem x2 v (4-3). 78 Kápitolá 4. Regresní ánályízá jez je umerná záporne vzátemu logáritmu právdepodobnosti dáneho resení. Místo indi-viduílních nejistot ui lze z výpocetních duvodu pouzít i individuálni váhy5 dáne vztá-hem: wi = u-2. Hledejme nyní tákový vektor (3, ((3 = b) pro nejz je táto sumá x2 = x2((3 = b) minimýlní. Funkci x2(3 si lze predstávit jáko zprohýbánou plochu v (g + 1) rozmernem prostoru, kde g rozmeru je vyhrázeno pro slozky vektoru (3 á g plus první rozmer je rezervován pro funkcní hodnotu x2(3). Obecne muze mít táková plochá dosti kompliko-váný vzhled. Nicmene vetsinou ná ní muzeme nájít jedno nebo i více lokálních minim, z nichz ovsem jen nekterá budou mít nejáký dobrý fyzikální smysl. Pri hledýní extremnů (minimá nebo máximá) skálární funkce je vhodne si závest pojem gradient funkce. Grádient v dánem bode je vektor orientováný v opácnem smeru nez spádnice, pricemz delká vektoru je tím vetsí, cím strmeji v dánem bode funkce probíhá. Císelne jsou slozky vektoru grádientu funkce x2, která je funkcí g promenných párámetru, rovny párciálním derivácím podle techto párámetru vx2(b)=( dři ,---,S)- (4.8) Grádient lze tákto podle potreby chápát jáko bud' jáko vektor o g slozkách nebo rádkovou mátici s g sloupci. Pomocí grádientu souctu ctvercu odchylek lze podmínku pro nálezení extremu funkce nebo jeho sedloveho bodu lze pák elegántne zápsát vx2(b) = 0, (4.9) kde 0 je rádkový vektor o g slozkách, jez jsou vsechny rovny nule. Podmínká ták ríká, ze extrem (sedlový bod) skálární funkce nástívá v tákovem bode, kde vsechny slozky grádientu funkce jsou rovny nule. Níás ovsem zájíímájíí práíve jen minimá tíeto funkce. Velikost vektoru grádientu je v minimu nulová, jsme totiz ná dne - hloubeji se v okolí tohoto bodu dostát nelze. Popisováníe metode hledíáníí minimá skálíárníí funkce se proto ríká tez grádientni metodá (grádient method). Dosádíme-li nyní výráz pro víhovánou sumu ctvercu odchylek do (4.9) po krátkých uíprávíách dojdeme k jediníe vektorovíe podmíínce ■A Xi / (ti, b) = -A Xi y i i=1 i i=1 i n n nebo y~] Xi /(ti, b) Wi = Xi yi Wi, (4.10) x=v/(ti,b):(d/r,d/ir,---,d/r)- (4.11) Vektor príslusný k i-temu merení xi s g slozkámi je tedy grádientem podle slozek párámetru prokládáne funkce v dánem bode. Slozky tohoto vektoru ták lze pokládát 5U téchto vah je však treba mít na paméti, že to nejsou bezrozmérné veličiny, ale že mají individuálni rozmer dim(wj) = [dim(yj)]-2. 4.2. Metoda nejmenších čtverců 79 o co *,, ~ ,----~e' • o °- - - Ó " " ' Obrazek 4.1: Na techto čtyřech po sobe následujících obrázcích si můžete ověřit sílu metody nejmenších ctverců. Předpokládejme, že závisle promenná (meřená) velicina y je lineárne závislá na nezávisle promenne velicine x (typicky na case). Dále predpokládejme, že každá z 1000 namerenych bodů je zatízen nejistotou oi, která bude pro jednoduchost pro vsechny body stejná. Nyní si z techto 1000 bodu náhodne vybereme 20, ktere jsou na druhem obrázku zvárazneny krouzky. Z techto reprezentantu te puvodní velke mnoziny bodu vypocteme odhad závislosti y (x). V obrázku vlevo dole si znázorníme onu závislost definovanou nyní jen temi 20 body. V grafu je pro informaci vynesena i vysledná závislost, ovsem s vedomím, ze tuto závislost v te chvíli jeste neznáme. Nyní jde o to, zvolit správny model pro tuto závislost. I kdyz by v techto 20 bodech bylo mozne videt i ásek paraboly, dostacujícím modelem závislosti tu bude prímka obecne neprocházející pocátkem definovaná dvema parametry. Pouzitím MNC lze tyto dva parametry vypocítat a do grafu je vynest. Tato prímka se zjevne dobre shoduje se skutecnou závislostí definovanou padesátkrát více body, nez kolik jich máme k dispozici. Ukazuje se tedy, ze MNC je skutecne mocnym nástrojem, která ale není hned tak pro kazdeho. za nezavišle promenne. Soůštavů g obecne nelineárních rovnic o g neznámých, šlozek parametrů b pak rešíme bezným způsobem.6 6Triviálním príkladem regrese resene pomocí MNC je nalezení strední hodnoty n namereních hodnot {yi} se stejnou nejistotou o . Model regresní funkce f (t) = f3, = V fi = d f /df3 = 1, x2 (^) = Minimum funkce x2 (V) nastává v bode (3 = b, v nemz platí, ze dx2/d( = -2o-2 £(yi - b) = 0, tedy b = 5ľ yi = y hledáním stredem je aritmeticky prumer. Suma kvadrátu modifikovanych odchylek ě2 pro b = y, x2(V = y) = o-2Y,(yi - V)2 = o-2E y2 - 2 yi y + y2 = n o-2 (y2 - y2). Poucní je i prubeh funkce = o-2 J2(yi - V)2 = o-2 yi - 2 Vyi + V2 = x2(b) + no-2(V - y)2 - jde o parabolu, krivku s minimem v V = b = y s minimální hodnotou x2 (V)min = x2 (b). 80 Kapitola 4. Regresníí analyíza 4.2.2 Kritériá Úspešnosti modelování 4.2.2.1 Státistiká modifikováních odchylek ěj 80 70 60 50 Z 40 30 20 10 0 „ -15 -10 -5 0 5 10 15 -15 -10 -5 0 5 10 15 e/o e/o Obrízek 4.2: Histográmy rozlození modifikováných odchylek jásnosti v bárve I: ěj = ej/c7j dvou hvezd ve Velkem Mágellánove mrácnu merenych v rámci prehlídky OGLE-III. Jejich svetelne krivky byly prolozeny modelem predpokládájícím konstántní jásnost. Konstátujeme, ze u první z hvezd, která je obycejnym nepromennám oránzovym obrem trídy K, zmíneny model vcelku vyhovuje. Rozlození odchylek se kválitátivne shoduje s očekáváním, ále lisí se v detáilech, speciálne: n = 531, ě = 0,01, s2 = ě2 = 1,25; x2 = 662. Sumá x2 je viditelne vetsí nez n — g, kde g = 1. Prícinou nejspís jsou podcenene hodnoty nejistot ctj, ktere by mely byt o ccá 12% vetsí. Zcelá jinák je tomu u druhá z hvezd, nádobrá spektrálního typu G: n = 437, ě = 0,18, s2 = ě2 = 25, 7; %2 = 11230! Sumá x2 je mnohonásobne vetsí nez n — g, X2 = 25,8, rozptyl je tez 26krát vetsí, nez by se dálo ocekávát. Záver je ten, ze model teto hvezdy je vádny, hvezdá není konstántní, ále promenná. Násvedcuje tomu i vyslovene bimodální rozdelení s vyráznejsím vrcholkem v kládne cásti ěj, coz je príznácne pro periodicky promenne hvezdy s ostrejsími máximy. Podrobnejsí rozbor ukáze, ze tu jde o trpáslicí cefeidu. Predpoklíadejme, ze se naím pro danou situaci a danyí datovyí soubor podarilo pomocí MNC najít adekvatní regresní model f (t, b), kterí je funkcí casu a g-tice volních parametru b. Pomocí tohoto modelu muzeme vypocítat pro vsechna nase pozorovíní in-dividuílní odchylky ej = yj — f (t, b) i modifikovaně odchylky ěj = ej/aj. Predpokladějme jestě, ze nase odhady nejistot jednotlivích měrení skutecně rigorózně vyjadrují míru rozptylu níhodně veliciny. Pak ovsem platí, ze strední hodnota modifikovaně odchylky ě = 0 a rozptyl s2 = ě2 — ěj = = (n — g)/n. To vse je dobrě otestovat, zejměna pak vyse uvedenou podmínku pro rozptyl s2(ě). Pokud bude roven (n — g)/n, pak je nejspís vse v poradku. Vyjde-li větsí nez (n — g)/n, pak to muze znamenat dvě věci - bud' muze byt v neporadku nalezení model, kterí dostatecně nerespektuje pruběh realně zavislosti měreně veliciny na case, nebo to muze byít tíez zníamka toho, ze je nejistota jednotlivíych mereníí systematicky podcenovíana, ze 4.2. Metoda nejmenších čtverců 81 nám zrejme ůniká nejaký důvod jejich rozptylů. V opačném prípade, kdy je s2(ě) < (n — g)/n, jšoů nejistoty jednotlivých merem přeceňovaný. I zde je dobre še zamýšlet, proč k tomů dochází. Pro klid důše bychom meli ješte prezkoůmat, zda je rozlození modifikovaných odchylek vškůtků gaůššovške, tak jak by to melo být, to znamená, je-li ěj = ej/aj náhodnoů promennoů. Velmi rychlym způsobem je sestrojená histogramů š toůto velicinoů. Bůde-li mát všechny atribůty gaůššova rozdelená, pak jšme še modelem zrejme štrefili a naše vášledky lze interpretovat naštroji MNC. V opacnem prápade, pokůd je jádro rozdelená príliš štíhle vzhledem ke krídlům, bává to známkoů toho, ze zrejme nejšoů došti dobre ůrceny nejištoty jednotlivách pozorovaní nebo ze še v materialů objevůje došt odlehlych bodů. Za techto okolnoští je záhodno data zpracovat metodami tzv. robůštní regreše (napr. 4.5.1). Pokůd zjištíme, ze je profil hištogramů zjevne ašymetricky nebo še v nem objevůjá i náaznaky bimodáalnáho rozdňelená, báyváa chyba v neadekvaátnošti zvolenáeho mod-elů7. 4.2.2.2 Sumy x2, X2 a rozptyl proložení s2 Uvazáme-li, ze šůma x2 = Yl ě2, pak lze odhadnoůt, ze x2 — n — g. Rovnátko v tomto vztahů není, protoze šůma x2 je rovnez nahodná promenna, pricemz její šmerodatnoů odchylků lze odhadnoůt na ax2 = 2 (n — g). Takze mame-li treba n — g = 450, lze cekat, ze x2 = 450 ± 30. Ukazuje še, ze je váhodne ši krome šůmy x2 zavešt i její modifikovanoů podobů x a rozptyl prolození zvolenám modelem s2 podle vztahů: x = 2__ - =z_>ei — n — g' ax2 = v2(n — g) i=i L aj J j=1 ,2 * = — 1' - °« ^/ňí; s2 = (4.12) Modifikovana šůma x2 je tak rovna jednicce š nejištotoů ±\/2/(n — g). Polozíme-li tedy n — g = 450 bůde x2 = 1,00 ± 0, 07. Chceme-li porovnat dva konkůrencná modely, pak by mňel zvátňezit ten, jehoňz hodnota x22 bůde menňšá. Pokůd ovňšem bůde rozdál mezi obňema konkůrůjácámi ši modely menšá nez ax2, pak to vypadá špáše na plichtů. Rozptyl prolozená8 cašove závišlošti pozorovanách velicin s2 by še zaše mel limitne blízit predpovedi s2 = (a-2)-1. Obecne by melo platit s2 > (a-2)-1. I pomocí tohoto kritáeria by bylo moňzno mezi dvňema modely rozhodnoůt. 4.2.2.3 Testovaní regresních modelU pomocí O-C diagramU Jak ůz bylo receno váše, modelovaná škůtecnošti pomocá MNCC štojá a pada še špravnoštá volby regrešní fůnkce. Nejnazornejším kriteriem adekvatnošti zvoleneho modelů je grafická vzhled tzv. O-C diagramů (viz 5.3), která vznikne vynešenám odchylek pozorovane veliciny (Obšerved) od modelove predpovedi (Calcůlated), tedy O-C v zavišlošti na 7Problematiku stanovení normality rozdělovači funkce zevrubně řeší text Z. Mikulášek, 2012, Popisná statistika 2, dostupný na http://astro.physics.muni.cz/study/courses/f7581/. 8Tato veličina ma rozumný fyzikalní význam pouze tehdy, maji-li meřene veličiny stejny rozmer. 82 Kápitolá 4. Regresný ánályýzá nezýávislýe promSennýe, coSz nejScástSeji byývýá Scás nebo jeho funkce, nápSr. epochá. PSreloSzeno do násý reci - je to závislost odchylky ei = yi — f (t, b) ná cáse ti. Vysoce zádoucí je v tomto diágrámu vhodnym zpusobem vyznácit nejistoty ci, jednotlivych merených hodnot ei = O-Ci; zprávidlá se ták deje formou svisle ýsecky9 se stredem v (O-C)i á dýelkou 2 c i. PSri prohlýídce O-C diágrámu se nejprve zámSeSrýíme ná to, zdá nálezenyý model po-zorovánou zýávislost v globýále popisuje nebo zdá se tám objevujýí nSejákýe systemátickýe odchylky od ideýlního prubehu kolem O-C = 0. Jákekoli trendy ci dobre viditelne vlny ukázujýí, Sze zvolenyý model je pSrýíliSs hrubyý, Sze by mohl byýt zdokonálen pSridýánýím dálSsýích clenu do regresní funkce nebo její zámenou jiným, ádekvýtnejsím modelem, který bude skutecnost lepe vystihovát. Zvlást' pekne by pák bylo, kdyby se touto nýhrádou podárilo i redukovát pocet stupnu volnosti. Vzdy je vsák trebá se pri hodnocenýí mýíry náýhodnosti nebo nenáýhodnosti urcitýeho vzhledu O-C diágrámu drzet spíse pri zemi á svuj vizuální dojem vzdy doplnit jeste nSejákyým jinyým, objektivnýím" testem. Zcelá náýhodnýá seskupenýí mohou obScás budit dojem vysoke usporádánosti, který se pák v prubehu cásu muze náprosto ztrátit. Zejmená tehdy, chceme-li svýe modely pouzýít k predikci chováýnýí objektu v cásovyých interválech, kterýe nejsou pokryty pozorováýnýím, je trebá býyt hodne rezervovánýy á dýávát prednost modelum s co nejmensím poctem volnych párámetru. K tomu nýs konecne nábádájí i tzv. informáScný kritýeriá pojednánýá v nýásledujýcý podkápitole. 4.2.2.4 Informační kriteria AIC, AICc a BIC Obcás se nám prihodí, ze se nemuzete rozhodnout mezi dvemá modely s ruznym poctem stupnu volnosti. Svízelne je hlávne, kdyz se ten slozitejsí model od jednodussího lisí jen o nejáký áditivní clen, protoze pák zárucene plátí, ze x2 toho s vetsím poctem stupnu volnosti je mensí, nez ten jednodussí. Jine to muze být, porovnývýme-li x2 (viz rovnice 4.12). Byly vsák vyvinuty jeste spolehlivejsí indikátory správneho poctu stupňu volnosti. Z mnozství informácních kriterií zde uvedeme jen tri: Akáikeho informácní kriterium AIC, Akáikeho korigováne informácný kriterium AICc10 á hodne prísne báyesovske informácný kriterium BIC, která jsou definováná tákto: n AIC = x2 + 2 g; AICc = x2 + 2 g--; BIC = x2 + g ln n. (4.13) n — g — 1 Vsechná táto kriteriá se pouZívájí obdobne: hodnotu kriteriý vypodtýme pro obá konku-rencný modely áplikováne ná zkoumáný dátový soubor. Ten z modelu, který má mensí hodnotu zvoleneho informácního kriteriá, by mel dostát prednost. 9 Toto tradicní oznacení není moc šťastne, protoze nás zrak upoutají spíse ty body s delší íseckou a tedy i nizsí kvalitou. Alternativne se uzívá jine oznacení, kdy víznamnost príslusneho merení (váha) se znázorní plochou príslusneho symbolu, pncemz jeho lineírní rozmer by mel byt neprímo umerny nejistote ~ a-1. Bohuzel pak se zase ztrící informace, kam az sahá ona ísecka nejistoty. Resením je pak kombinace obou zpusobu - tedy jak usecka, tak ruzná velikost symbolu - viz obr. 4.3. 10 AICc je záhodno pouzívat v prípade, kdy pocet merení n není mnohokrát vetsí nez pocet stupňu volnosti g. Pro n ^ g pak kriteria AIC a AICc splyvají. 4.2. Metoda nejmenších čtverců 83 2 1.5 -1.5 -2-1-1-1-1-1-1 -1 -0.5 0 0.5 1 t Obrázek 4.3: Simulace možného vzhledu závislosti y = t třiceti náhodné vygenerovaných měření, z nichž na polovinu byl aplikován sum s a = 0, 2 a na druhou polovinu sum s a = 0,4. Rozhodnout se mý mezi přímkou ((1) - spravne řešení) a parabolou (2). Zde jsou pro porovnaní jednotlive charakteristiky obou modelu %2 = 35, 0, x2 = 31, 7; %2t1 = 1, 25, %2t2 = 1,17; AICi = 39, 0; AIC2 = 37, 7; AICci = 39, 5; AICc2 = 38, 6; BICi = 41, 8; BIC2 = 41, 9. Odtud vyplýva jasne doporucení: pokud mozno vyuzijte poslední, nejprísnejsí z informacních kriterií - 'bayesovske'. 4.2.3 Odhad nejistot jednotlivých měření Víse uvedení informacní kriteria ovsem obcas selhavají z toho duvodu, ze v praxi nemame vzdy spolehlivou informaci o nejistotích {a^j projeden kazdí bod merení. Pritom vetsinou jde o merení provedena v minulosti, tedy neopakovate^í a tudíz unikítní. Nekdy o nejistotích vstupních ídaju nevíme zhola nic. Jenze ony nejistoty k vípoctu %2 nutne potrebujeme. Nebylo by poctivejsí oprísit starou dobrou prostou metodu nejmenších čtverců se sumou ctvercu odchylek v podobe: S (b) = J2[yi — f (tí, b)]2, v níz není ani nejistoty a» ani vahy Wi zapotrebí? Lze to ale vubec takto udelat? Lze to ucinit, ale jen v tom prípade, kdy mame co do cinení s daty stejneho druhu, o nichz víme, ze vsechna mají zarucene stejnou nejistotu aí = a. Pokud by tato podmínka splnena nebyla, nemeli bychom MNC pouzívat nebo alespoň bychom nemeli tvrdit, ze jsme k nejakým zíverum dospeli pomocí teto metody. Vísledky, ktere bychom dostali, by byly nutne zkreslene, zejmíena by nebylo moňzníe se spolehnout na odhady nejistot. Pfípůštíme-li, ze v šoůborů zpracovávaných dat še nacházejí data nebo škůpiny dat š rozdílným rozptylem, š rozdílnoů kvalitoů11, je naší povinností vše ůdelat pro to, abychom ony nejištoty ci vahy nejak odhadli a poůzili vztahy zohlednůjící rozdílne nejištoty, rešpektive víhy jednotlivích merení. Jak tedy onů nejištotů merení veliciny aí odhadnoůt? Predne je treba še šmírit 11 Zde íplne stací, kdyz pouzívíme data od raznych pozorovatelu, získana ruznou pozorovací technikou, v ruzních fotometrickych filtrech, v raznych klimatickych podmínkach atp. 84 Kapitola 4. Regresní analýza se skutecností, ze onu nejistotu individuýlního meření nikdy nedokazeme urcit přesne: kazde meření je jedinecne, neopakovatelne a nikdy zpetne nebudeme znýt vsechny okolnosti, ktere v tu chvíli mohly vlastní meření ovlivnit. Jistým vodítkem ným sice muze být udavana vnitřní nejistota (chyba), ktera ovsem zpravidla představuje jen dolní odhad skutecne nejistoty. Zde je třeba si uvedomit, ze ona nejistota by se mela vztahovat k prýve pouzitemu regresnímu modelu, který nemusí realitu popisovat idealne. Východiskem tu muze být pouzití proste metody nejmensích ctvercu s jednotkovými vahami a s nýslednou analýzou kvality prolození jednotlivými podskupinami v celem datovem souboru. Zlepseny odhad nejistot pak lze ucinit za předpokladu, ze přesnost merenýí v rýamci urcitýe relativne homogennýí podskupiny dat bude nejspýís zhruba stejnýa (např. meření z urcite noci v urcitem filtru atp.). Tato nejistota pro j-tou podskupinu meření - g j je pak dana rozptylem meření podskupiny vzhledem k modelove predpovedi. Platí tedy: oj = g j. Takto lze upřesnit výhy vsech meření ve zpracovavanem souboru a celou regresi zopakovat. Po nekolika iteracýích dojdeme k ustýalenýemu stavu, kdy se jiz vyýsledky nebudou dýale menit. Odhadujeme-li nejistoty jednotlivýych pozorovýanýí takto, musýíme se smýírit s týím, ze se vazou na dany regresní model. Při volbe jineho modelu, muzeme dostat ponekud odlisne hodnoty odhadu týím i vah jednotlivyých merenýí. Zkusenost vsak ukazuje, ze tyto rozdíly povedou jen k marginýlním zmenam ve výsledku, takze je muzeme zanedbat. 4.3 Linearní regrese Resení soustavy rovnic (4.10) v jejich obecnosti byva dosti komplikovane, takze není divu, ze se vyhledají takove regresní modely, s nimiz by se dalo zachazet jednoduseji. Příjemný prace je s tzv. lineárními regresními funkcemi f (t, (3), ktere je mozne vyjadřit jako lineýrní kombinaci g funkcí casu {x1(t), x2(t), ... , xg(t)}, ktere tvoří vektorovou funkci x(t) = (x1,x2,... , xg). Hovoříme pak o lineýrní regresní funkci nebo o linearním regresným modelu. Platý tedy g f (t, (3) = & X1(t)+ & X2 (t) + ... + & Xg (t) = ^ & Xj (t) = (3 x(t) (4.14) j=1 - ^f(t-3)=(I'I'^'f)=x(t). (4.15) Dosadíme-li nyní do rovnice (4.10) za f (t, (3) dostaneme n g n ^ x(ti) Wi ^ bj x j (ti) = ^2 x(ti) yi Wi, (4.16) i=1 j=1 i=1 kde výha wi = g-2. k-tou slozku předchozí soustavy rovnic lze po roznýsobení sum přepsat do tvaru g n n y~] bj ^2 Xfc (ti) Xj (ti) Wi = ^2 yi Xfc (ti) Wi. (4.17) j=1 i=1 i=1 4.3. Linearní regrese 85 Celou soustavu g lineírních rovnic o g neznamích, jimiz jsou slozky hledaneho vektoru b lze zapsat takto: V1161 + V1262 + ... + Vig bg = Ui V2161 + V2262 + ... + V2g bg = U2 (4.18) Vg1b1 + Vg2b2 + • • • + Vgg bg = Ug, kde nn Vkj = Vjk = Xk (ti) x j (ti) Wí; Uk = yi Xk (ti) Wi. (4.19) i=1 i=1 Soustavu g rovnic o g neznýmých (bj) pak lze standardním zpusobem resit. Nalezením vsech hledanych koeficientu je pak nalezena i regresní funkce, kde 3 = b. Pokud nas dale nezajíma presnost merení, hodnovernost prolození, chyby parametru a neurcitost pňredpovňedi, pak jsme hotovi. 4.3.1 Lineární regrese ůžitím maticoveho počtů Lineaírní regresi lze elegantnňe ňreňsit pouňzitím maticovíeho poňctu. Ten budeme pňrednostnňe pouzívat i v nasledujícím textu. Pozorovanyí vztah mezi zíavisle promňennou (nepňresnňe mňeňrenou veliňcinou, nejňcastňeji hvňezdnou velikostí, ale i tňreba radiaílní rychlostí, teplotou aj.) y a nezíavislou promňennou (presne merenou velicinou - typicky casem) t muze bít prolozen vhodnou modelovou fůnkcí f. Matematickí model zívislosti necht' je urcen usporadanou g-ticí volních parametru P j, ve forme sloupcoveho vektoru 3 = P2,..., Pg )T. Pokud je mozne modelovou funkci f zapsat jako linearní kombinaci g ruzních funkcí casu xk(t), tak hovorííme o tzv. lineíarníí modelovíe funkci a lze psíat X = (X1, X2, . . . ,Xg) , f (x, 3) = ^ Pk Xk = X 3. (4.20) k=1 Zaved'me sloupcoví vektor zívisle veliciny y s delkou n a matici X s rozmerem n x g y1 X11 X12 • • • X1g X1 X21 X22 • • • X2g y y2 yn X Xn1 Xn2 Xng X2 (4.21) Xn kde yi je hodnota i-teho pozorovíní, Xik je funkcní hodnota k-te funkce pro i-te pozorovaní, f (ti) je hodnota radkoveho vektoru definovaneho v (4.15)12. / f 1 \ /xA / W1 0 • • • 0 \ f (X, 3) f2 fn X2 3 = X 3; W Xn 0 W2 00 0 0 (4.22) 12 Štandardne pouzívaními modely lineírních regresních funkcí jsou bezne nebo trigonometricke polynomy vhodnych stupňu. Jako príklad lze zvolit parabolickí model, jenz je nejjednodussím modelem císti svetelne krivky s extremem. Parabolicky model lze predpoklídat ve forme: f (t) = /112 + //21 + //3, f(í) = [í2,í, 1], x = [{t2} M {i}]. 86 Kápitolá 4. Regresní ánálýzá kde W je diágonýlní mátice n x n s váhámi jednotlivych merení v diágonále, f ((3) je sloupcový vektor s jednotlivymi hodnotámi modelove funkce /i(xi) pro i-te pozorování pro zádáníe ( . Jáko objektivní míru ýspesnosti prolození modelovou funkcí s párámetry 3 pouzijeme soucet víhováných ctvercu odchylek pozorováných hodnot od predpovedených x2 (3) x2(() = [y - f (3)]T W [y - f (()] = (yT - (3TXT) W (y - X(3) = (4.23) yT W y - (3T U - UT3 + (T V (3 = yT W y - 2 (3T U + (3T V (. U je rýdkovy vektor s delkou g, V je ctvercoví mátice g x g, jejíž; inverzní mátice H je tzv. kovariánCni matice: U = XT Wy; V = XT WX; H = V-1 = (XT WX)-1. (4.24) Pri prolození modelovou funkcí /(t, 3) metodou nejmensích ctvercu se bere zá optimýlní tákove, pro nez je sumá x2 = x2 (3 = b) minimální. V prípáde lineírní modelove funkce /(t, 3) plátí, ze tákove minimum je jen jedine. Pro resení v podobe sády párametra b á sumu kvádrátu odchylek x2 (b) plátí: = 0 = -2 U + 2 Vb b = HU = (XT W X)-1XT Wy. (4.25) /3=b Predpoveď hodnot modelove lineírní funkce pro 3 = b, yp je dáná nýsledujícím vztá-hem: yp = X b = [X (XT W X)-1XT W] y = H y. (4.26) Výráz v hránáte zývorce - symetrický mátice H o rozmeru n x n, který zde vystupuje jáko operátor, který kázde hodnote pozorovíní priradí její „vyhlázenou" hodnotu. Toto zobrazení je tím vernejsí, cím více se mátice H blízí jednotkove mátici E(n, n). Minimální sumu kvádrítu odchylek x2 lze pro lineární regresi zápsát ruzne x2 = (y - Xb)TW(y - Xb) = yTWy - bTU = yTWy - ypTWyp. (4.27) V posledních dvou váriántích vystupuje i víhováná sumá ctvercu funkcních hodnot, coz je veliciná vstupní, vyplývájící z pozorování, tudíz zcelá nezývislá ná modelovíní. Metodu nejmensích ctvercu ták lze álternátivne chýpát i jáko metodu nejvetsích ctvercu modelovych predpovedí. Tento pohled lze s výhodou vyuzít nápr. pri hledíní nejlepsích period, tedy pri tvorbe LSM periodográmu. Sumu Ctvercu odchylek X2(3) pro linearní regresní model lze po urCitách ápravách zapsat v nasledujícím instruktivním tvaru: g n 2 X2(33)= X2 + - bk)^ ^• (4.28) fc=1 i=1 Gi Ze zapisu je okamzite patrne, ze funkce X2(3) ma tvar paraboloidu s minimem v bodu 3 = b. Má tedy jedine a tudíz absolutní minimum. 4.3. Lineární regrese 87 4.3.2 Nejistoty parametrů modelu a předpovědí V rámci rešení úlohy lineární regresí lze tež odhadnout strední rozptyl měření13 s2, dále odhád nejistoty predpovedi jednotlivách vstupních dát óyp á odhád nejistot párámetrú modelu ób s2 = 4-; óyp = Jdiág(XHXT); ób = Jdiág(H), kde xj = —. (4.29) w v p Vp p n — g X, je pomocná bezrozmerná funkce, jejíž velikost závisí ná ádekvátnosti volby regresního modelu á správnosti odhádu nejistot pouzitách dát. Operátor „diág", áplikováná ná čtvercovou mátici, vytvorí sloupcová vektor sestávená z prvku nácházejících se ná její diágonále; operátor muze fungovát i v opácnem smeru, áplikácí ná sloupcová vektor obdrzíme ctvercovou mátici, jejíz diágonálu tvorí prvky vektoru v odpovídájícím poradí. Je-li vse v porádku, pák plátí x2 ~ 1 ± \J2/(n — g). 11 10.5 0) O) E 10 9.5 8.5 10 20 30 40 time 50 9 Obrázek 4.4: Na obrázku jsou čtverečky znázorněna simulovaná pozorování proměnné hvězdy v okolí jejího minima jasnosti. Vnitrní presnost jednotlivách měrení je znázorněna Sedámi čhybovámi ísečkami. Prolozena parabola je naznačena černými tečkami s chybovími ísečkami odpovídajícími nejistotě predpovedi pomočí zvoleněho paraboličkěho linearního modelu. Slozky sloupcoveho vektoru ób se cásto uvádejí jáko rigorózní odhád nejistot jednotlivách párámetru modelu. Bohuzel, tento váznám máj í jen vyjimecne, nicmene ná nich obcás trvájí recenzenti odbornách clánku á oponenti diplomovách prácí. Náproti 13Tato veličina ma ovsem fyzikílní vyznam pouze tehdy, zpračovívame-li měrení stejněho druhu (se stejnou fyzikílní jednotkou - mag, km/s apod.). V opačněm prípadě je víznam veličiny s2 čistě formalní. 88 Kapitola 4. Regresní analýza tomu velmi cenný je nasledující odhad predpovedi modelu í/(í, b) í/(í, b) = * Ad x H xT = V ws2 xHxT = J x2 V/ H (V/)T. (4.30) Odhady nejistoty jednotlivých parametrU obsazených ve vektoru rešení b, íb se zdají být duleZite, nebot' prece pomocí nich lze odhadnout i nejistotu libovolneho výrazu Q(/3,í), a to podle notorickeho zákona o siřeni chyb íQ(/3,í) = É (1íbk)(4.31) ktery lze prepsat do elegantnej sího tvaru zahrnujícího i vypocet vektoru chyb í b íQ(/5,í) = Vx2 VQdiag(H) (VQ)T, kde VQ(/3) = (||, ||,..., ||) , (4.32) kde vQ(/3) je radkový vektor gradientu funkce Q podle jednotlivých parametru. Jenze výrazy (4.31,4.32) platý pouze tehdy, je-li kovariancm matice H diagonalný jinými slovy - jednotlive parametry v danem výrazu nejsou korelovane. V obeaném prýpade takto dostaneme jen horný hranici nejistoty. Chcete-li postupovat korektne, meli byste pouzýt nasleduj ýý, jiste jeste elegantnejsý vztah íQ = V X2 vQ H (vQ)T. (4.33) Funkcý Q muze byt i prvný nebo druhý derivace modelove funkce podle casu /, /, coz jsou veliciny nezbytne napr. k výpoctu nejistoty urcení okamziku extremu svetelne krivky: í/(t, b) = J X2 V/ H (v/)t = J x2 xHxT; (4.34) í/(í, b) = V X2 v/H (v/)t = x2 xHxt, (4.35) kde x (í) = (xč i(í), xč 2(í),... ,žfl (í)) a X(í) = (áXi(í), ^(í),... ,áxfl (í)). 4.3.3 Základní regresní modely - aplikace lineární regrese Nasleduje nekolik praktických príkladu aplikace linearní regrese metody nejmensích ctvercu, ktere mají ilustrovat zpusob, jak lze metodu linearní regrese v maticove podobe pouzívat. Pokud tyto príklady nekomu pripadnou jako triviýlní, pak se nemýlí, nebot' jde o zamer. Pokud ovsem zvladnete toto, muzete si troufnout na slozitejsý modely. V rade prýkladu budou s výhodou pouzity nekteré stredný veliciny, nezavislých i za-vislých velicin í a y: n n í"V = ]C C yi wi/Y, wi, (4.36) +2 i=1 i= , uyy = y2 - y2, íy - íí / Míy St Sy y = v/uyy, uty = íy - íy, (4.37) r ="J^ĽL= \_Z^__ = (4.38) 4.3. Lineární regrese 89 Korelacní koeficient r je bezrozmerna velicina nabívající hodnotů mezi -1 a 1, pricemz 0 je roven tehdy, kdy mezi velicinami t a y neexištůje zídna linearní korelace, ±1 je roven tehdy, kdy jšoů všechny hodnoty {tí, yí} vyškladany na jedine prímce. Individůílní víha šoůviší š nejištotoů takto: wí = = —2 £ * + 26£ -i =0; =* 6 ^^ya^ = = y; (4.40) n 2 —2 n x2(y) = E ySJL; x2(//) = x2(y) + (// — y)2 £ a-2. (4.41) i=1 ai i=1 Grafem funkce X2(//) je parabola s minimem v // = y a funkční hodnotou x2(y) (viz (4.41)). I kdyz minimalizací funkce X2(//) lze strední hodnotu vypočítat prímo, zkusme si nyní ze cvičných duvodu všechny potrebne vztahy odvodit pomocí maticových vztahu. X = [1,1,..., 1]T, Y = [yi,y2,...,yn]T, W = diag[a"2, a"2,..., a"2 ]; (4.42) V = XTWX = V a"2; H = V"1 = —í—,, (4.43) U = £ yi a"2, b = HU = ^a2222 = y, (4.44) ai X2(y)= YTW Y - bT U = £(y2 - y2) a"2; s2 = *}V\ = 4 , (4.45) a"2 (- — 1) - — 1 X2 in n — x, 56 = \l Xl diag(H) = -S=, 5yp = s^jxl diag(xHxT) = s. (4.46) Za povsimnutí jiste stojí, ze vztahy pro 6, a, £6 a čyp jsou formílne stejne jako v prípade bez vah. Rozdíl ovsem je v tom, jak jsou definovany strední veliciny, z nichz se pri vípoctu vychazí. 4.3.3.2 Přímka jdoůcí poCýtkem Obcas se muzeme setkat se situací, kdy je jeden nebo více bodu zavislosti pevne fixovano. Z tíeto skuteňcnosti musíme pňri volbňe regresního modelu vychaízet. Nejjednoduňsňsím pňríkladem toho druhuje nase oCekývaní, ze n bodu o souradnicích [tí,yí] se stejnymi vahami lze prolozit pňrímkou jdoucí bodem o souňradnicích [0, 0], neboli poňcaítkem. Regresní model je pak: yi = /tí + eí, f (//, t) = / t. Optimílní hodnotu // = 6, pri mz je vazení suma kvadrítu odchylek eí minimílní, nazveme tentokrat koeficientem ímernosti. 90 Kapitola 4. Regresný analyýza I zde budeme predpokladat, ze kazdemu z bodu merení bude prisouzena urcita individuílní vaha wi = 1 /1 áno. Minimální je táto chybá v prípáde, kdy pocátek sourádnic ztotozníme s tezistem. Nejistotá pák bude Č61 = s/y'n. Absolutní clen 61 lze geometricky interpretovát jáko ásek ná ose y, ktery ná ní vytíná regresní prímká. Neurcitost polohy tohoto prusecíku udává chybá predpovedi c5yp(č = 0) v bode 0. Číselne je táto chybá rovná chybe ábsolutního clenu ták ják je uvedeno v (4.60). Korelácní koeficient r je dobrou mírou toho, ják dobre práve prímká vystihuje pozorovánou cásovou závislost _ r = íy—M = . (4.61) 4.3.3.4 Prolození cásových rád polynomem Pri zprácování delsích cásovych rád cásto áproximujeme vyvoj pozorováne veliciny y polynomem rádu rádu g — 1. Lineární regresní model predpokládáme ve tváru: yj = //1 + //2 íj + ... + //g íf"1 + ej. Polynomiáílníí zíávislost necht' je prokláídíáná n body o sou rádnicíích [ j, yj], pricemz kázdíemu z bodu je prisouzená jeho individuální váhá wj. Resením álohy je nálezení sloupcoveho vektoru b s g slozkámi 61, 62,..., 6g, pro nez je sumá váhoványch ctvercu odchylek x2(A, Ä,..., //g) = x2(/3) minimální. Resíme pomocí máticoveho poctu. Definice mátic W á y je táz jáko v (4.55), jediná rozdíl je v mátici X: X = 1 ti tf 1 Í2 t2 1 t t2 1 bn br, (4.62) nazývané též matice Vandermondova. 4.3.3.5 Proložení časových rad harmonickým polynomem Rada astrofyzikálních déjů probíha více Ci méné periodicky. Zname-li z dřívějška parametry periodicity, lze si zavést tzv. fázovou funkci kteroů dostanete jako soůcet béžné faze p a epochy E. Pokůd je perioda P konstantní, lze si fazovoů fůnkci vypocítat jednoduchým vztahem: « = ^, (4.63) kde í je jůliínské datům pozorovíní, M0 je jůlianské datům pocítků pocítaní fízové fůnkce, P je fixní perioda ve dnech. 92 Kápitolá 4. Regresníí ánályízá Pozorovane periodicky se menící veliCiny y (jasnosti, radialní rychlosti, intenzity spektralních Car, indukce magnetickeho pole aj.) vytvarejí fázovou křivku, kterou nejCasteji znázorňujeme jako zavislost promenne veliCiny na fazi

i ; I i ! j i • : t *í išiU jiiSfiií í Míli Í! • • • M M !::;:!!;: i: i i i*i i 0 5 10 15 20 25 Obrázek 4.5: Simulace výsledků 25 měření pro normální rozdělení s centrem v 0 a standardní odchylkou 1. Jednotlivý merení jednotlivých sad jsou znýzornena nad sebou plnými ko-touCky, prumer s jeho nejistotou je naznacen vetsím prazdným krouZkem a chybovou useckou. Povsimnete si, jak odlisne muze být rozlození techto bodu v jednotlivých sadach, rovnez tak, ze body s odchylkou 3 a jsou pomerne bezne - v tomto prípade tedy nejde o odlehle body. Zastánci tvrdého postupu obvykle nelítostné orezávaj í vsechná merení odchylující se o více neZ 3 a, domnívajíce se, Ze tímto krokem metode nejmensích ctvercu prospívají. Ale jedine, ceho ták dosáhnou, je to, Ze zejmena odhady nejistot modelovách vásledku budou zbytecne podcenený15. Body odchylující se o 3 a á více jsou korením normálního rozdelení á likvidovát by se rozhodne nemely. Jiná vec je, kdyz je pokrm prekorenen á techto odchálenách bodu je presprílis. V zásáde je mozne se áplne rozloucit s metodou nejmensích ctvercu á zácít prá-covát nápríklád s ábsolutními hodnotámi. Príkládem tákoveho postupu je nápríklád nááslednáe zjistenáí st redu á máíry rozptyálenáí urcitáeho souboru. Jde o velmi robustnáí metodu, která ná prítomnosti odlehlách bodu závisí jen okrájove. Strední hodnotu lze odhád-nout prostrednictvím mediánu funkcních hodnot y ~ medián(y) á stándárdní odchylku a známou z MNC lze náhrádit její robustní váriántou ar pomocí mediánu absolutní odchylky tákto: ar = 1.482 mád(Ay) = 1.482 medián(|Ay - medián(Ay)|). (4.77) Nevyáhodou zmáínenáeho postupu je mensáí presnost urcenáí stredu souboru á velikosti rozptylu v p ráípáde normáálnáího rozdelenáí. Vyskytnou-li se ále v souboru nejákáe odlehláe body, je vyáse uvedenáá metodá mnohem jistejsáí. Mimoráádne vhodnáá je pro zjistenáí prvního odhádu pro dálsí sofistikovánejsí metody zálozene ná metode nejmensích ctvercu. 15Takze at' jsme konkretní: v prípade normalního rozdelení tak prijdeme o cca 0,27% merení a, coz je horsí, standardní odchylka se nam tak „snížzí" o 1,33%! 98 Kapitola 4. Regresní analýza 4.5.1 Vlastní metoda robustní regrese Nyní si popíšeme nazornou a obecne použitelnou metodu robustní regrese, který vychazí z metody nejmensích Ctvercu. Tato robustní regrese byla již mnohokrát odzkousena a plne se osvedcila i v prípadech, kdy odlehlích bodu bylo v souborech 5 a více procent. Zatímco v obecne metode nejmensích ctvercu velikost vahy na velikosti odchylky nezavisí, v teto variante robustní regrese je víha funkcí odchylky. Pro body silne odchýlene od predpovedene hodnoty tato vaha klesa az nule, coz mírne preferuje body v blizsím okolí predpovedi. Je pravda, ze zmensením víhy vzdalenejsích bodu mírne poklesne formalní presnost metody, ale to je dan, kterou se hodí zaplatit, pokud se rozdelení odchylek lisí od normalního. Predpokladejme, ze nejistoty jednotlivích merení {oi} jsou v mezích mozností urceny korektne a lze se na ne spolehnout. To neplatí o odlehlých bodech, které se od prolozene funkce vzdalují více, nez by bylo zdrávo. Upravíme si proto hodnoty nejistot {o^} tak, ze je vynísobíme skalírní funkcí W(Ay/o) > 1. S takto upraveními nejistotami ori pak pracujeme stejne, jako predtím. Definujme si tez robustní sumu x?(/3) Ori = OiW- = Oi exp "- , Xr(P)^V - • (4.78) Nyní pomocí standardní metody nejmensích ctvercu minimalizujeme sumu X?(/3) a najdeme novou sadu parametru b a vípocet opakujeme, dokud se nalezena sada parametru b neustalí. Pak je na case spocítat i dalsí veliciny, jako napr. robustní pocet merení nr, vahovanou sumu ctvercu odchylek x2 a pomocnou velicinu x2M nr = n 106JO_°r-2; X2 = ^ fyi-^I'; X2„ = ^• (4.79) Koeficienty 1,06 a 1,23 vyskytující se ve vztazích (4.79) jsou voleny tak, aby pri normalním rozdelení byl robustní pocet merení nr roven poctu merení n, stejne jako x^t je roven velicine x2. Bezne platí, ze robustní pocet merení nr není vetsí nez n, proste proto, ze v souboru bívají nejake odlehle body. V praxi se ale setkame s opacnou situací, a to tehdy, kdyz byl soubor jiz prédem „ocisten" o odlehle body a pritom byla orezína i realna merení. I zde je na míste pouzít robustní regresi, která tento neoprávnení zasah do znacne míry eliminuje. Strední robustní standardní odchylku sr, nejistotu predpovedi íyp a nejistotu sady parametru vypocteme prostrednictvím nasledujících vztahu: 2 = ^; čyp = yf xr22 (XHXT); íb = yf xr2M diag(H). (4.80) Ke konecnemu vysledku se ovsem nedostaneme hned, ale postupními iteracemi. To je prirozene, nebot' vlastne upresňujeme individualní velikosti vah, ktere mj. zívisejí i na pomeru individualní odchylky ei a predpoklídane nejistoty urcení oi. K tomu je ovňsem nezbytníe pro zaňcíatek znaít alesponň hrubyí odhad oníe odchylky. Zde rozliňsujme dva pňrípady. V tom prvním, jednoduňsňsím, budete zníat pňredem nejistoty jednotlivyích mňeňrení oi a budete jim duverovat. Pak v prvním kole muzeme urcit hodnotu bo prímo MNC a 4.5. Robustnýí regrese 99 postupovat podle naznaceneho schematu a postupne menit hodnoty b a individuýlních robustných vah. Po trech, ctyrech iteraďch dospejeme k výcemene nemennemu odhadu vsech velicin, které nas zajímají. -5 0 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Ay/o t [d] Obrýzek 4.6: Na obrázku vlevo je naznačena závislost poměru vah u bodů upravovaných robustní regresí a poměru robustní nejistoty ar a nejistoty a v zavislosti na odchylce vyjádreně v jednotkách a. Na obrázku vpravo je ukázka toho, jak se v prubehu robustní regrese zmení nejistota jednotlivých bodu. Patrne je to zejmena u odlehleho bodu vlevo. Čarkovaneje naznacen vásledek linearní regrese bez robustní regrese a plnou carou je vykreslena taz linearní regrese po ctvrte iteraci robustní regrese. V pnýpade, ze nejistoty ai pro jednotliva merený predem nezname, coz je dosti bezne, vypocteme prvný odhad sady parametru b0 pomocý MNC, kde výhy vsech merený budou stejne, a pro jednotlive podskupiny merený vypocteme jejich robustný standardní' odchylky arj- podle vztahu (4.77), a vsechny individuýlm nejistoty clenu podskupiny s touto robustní standardní odchylkou ztotozníme: aij = arj-. Pak uz muzeme postupovat podle výse uvedeneho postupu. 100 Kápitolá 5. Anályzá cásových rád 5 Análázá casovách rad 5.1 Zákládní pojmy á áváhy 5.1.1 Svetelná krivká Pováhu promennosti nejákíeho objektu ná hvezdníe obloze zprávidlá posuzujeme podle vzhledu jeho tzv. svetelne krivky, coz je závislost hvezdne velikosti ci jásnosti sledováneho objektu ná cáse udáíváníem nejcásteji v juliíánskyích dnech. Hvezdníá velikost se udíávíá v mágnitudích, nekdy tez v jejích zlomcích (milimágnitudích - mmág). Hvezdnou velikost promenne hvezdy urcujeme zprávidlá relátivne pomocí pomeru jásnosti zkoumáne hvezdy jv á jásnosti jine, vhodne zvolene srovnáváci hvezdy jc, o níz predpokládýme, ze je hvezdou s konstántní jásností. Ná vertikální osu pák vynýsíme velicinu Am: Am = -2, 5log —, (5.1) bezne vsák v opácnem smeru ták, áby pri vzrastu jásnosti slá svetelná krivká vzhuru. Pokud je známá hvezdná velikost srovnávácí hvezdy (tu muzeme urcit i fotometrickým merením vuci tzv. stándárdním hvezdám se známou hvezdnou velikostí), pák muzeme vynáset prímo hvezdnou velikost promenne hvezdy v zývislosti ná cáse. Vzdy bychom ále meli táke uvídet, v jákem spektrálním oboru jsme jásnosti obou hvezd porovnáváli. Merení sice muzeme provádet v instrumentýlním fotometrickem systemu, kde je spektrýlní citlivost urcená jen vlástnostmi zemske átmosfery, prístroje á detektoru, mnohem lepsí je vsák merení jásnosti vest ve vhodne zvolenem mezinýrodním fotometrickem systemu (nápr. UBV, uvby áj.). U promňennáych hvňezd vňsak nemusáí byát záavisle promňennou veliňcinou jenom jasnost nebo jasnosti pňráíbuznáa veliňcina, ale i jináa veliňcina, napňráíklad radiáalnáí rychlost, indukce magne-tickeho pole, intenzita nejake spektralní Cáry nebo váska Balmerova skoku. Postup zpracovaní takováehoto pozorováaná báyváa velmi ňcasto podobnáy jako zpracováaná klasickáe svňetelnáe kňrivky. Hlavním duvodem, proC jsou svetelne krivky preferovany pred jinámi Casovymi radami, je skuteňcnost, ňze relativnáí pňresnost fotometrickáych zmňen vzhledem k jejich amplitudňe zpravidla byvá mnohem vetsí nez u jinych typu promennách veliCin (napr. radialní rychlosti, intenzity spektráalnáích ňcar nebo indukce magnetickáeho pole). Pomocí vzhledu á ámplitudy svetelných krivek promennych hvezd lze urcit o jáký typ promennosti se u ní jedná, mnohe se dozvíme i o hvezdách sámotných. Optimální by jiste bylo, kdybychom meli k dispozici co nejdelsí, souvislý ýsek svetelne krivky, protoze pák budeme mít moznost reálisticky celou hvezdu zhodnotit á popsát. Tomuto ideálu se ovsem lze priblízit jen tehdy, budeme-li mít k dispozici táková po-zorovíní vedený z páluby speciálních ástronomickych druzic. I kdyz tákových merení v poslední dobe pribyvý, válný vetsiná promennych hvezd bylá, je á bude pozorovíná z povrchu rotující Zeme obklopene átmosferou návíc nedokonálými prístroji, vnásejícími do pozorovíní vetsí ci mensí rozptyl. Toto vse limituje pováhu pozorovíní promennych hvezd, který typicky jsou jen ýtrzkovitá, návíc slozená z mnozství krátickych useku, kdy se skutecne príslusne merení provádí. Kompletní svetelnou krivku ástronomove 5.1. Zakladní pojmy a ůvahy 101 šice dokazoů vytvorit, ale rozhodne to nebíva jednodůchí íloha š jediným rešením. Zakladem pro konštrůkci švetelních krivek jšoů tzv. časové rady pozorovaní nejake vybrane veliciny zkoůmaneho objektů. Pripomeňme, ze za cašovoů radů bůdeme povazovat šoůbor ůšporídanych dvojic ob-šahůjící okamzik i-teho merení jišteho drůhů, tí, a namerenoů velicinů yí. Velmi zadoůcí je doplnit kazdoů z techto dvojic i odhadem nejištoty príšlůšneho merení aí, prípadne jeho vahoů wi, ktería še štandardnňe volí tak, aby byla rovna ňctverci pňrevraíceníe hodnoty nejištoty, tedy wí = a-2. 5.1.2 Cas pozorovaní Vňetňšina půblikací o pozorovíaní promňenníych hvňezd še vňenůje technikíam, jak zvyíňšit pňrešnošt mňeňrení jašnošti ňci hvňezdníe velikošti, ale velmi ňcašto še zapomínía na drůhoů velicinů, kterí prešnošt a hodnovernošt merení ovlivnůje zcela zíšadním způšobem, a to je caš. Abychom mohli zaradit a popšat v caše nejakoů ůdílošt, napríklad merení, opatrůjeme ji cašovoů znackoů (v anglictine „time štamp"). Ta definůje prešnošt š jakoů je ůdalošt zaznamenína a je ůrcena kombinací tzv. referencního rímce a cašoveho štan-dardů. Referencní rímec (v anglictine „reference frame") še vztahůje ke geometricke poloze ůdalošti, v našem prípade k míštů pozorovaní. Je tedy zrejme, ze různe referencní ramce še liší o dobů, kteroů potrebůje švetlo na ceštů mezi nimi. Cašoví štandard (time štandard) še pak vztahůje ke způšobů chodů ůrcitych hodin poůzitích pro merení cašů a jejich nůloveho bodů definovaneho mezinarodními štandardy. Mezi nejštarší cašove štandardy poůzívane v aštronomii patrí GMT (Greenwich Mean Time), jehoz zíkladem byl štrední šlůnecní caš na obšervatori v anglicke Greenwichi.1 V roce 1884 byly zavedeny píašmovíe cašy a greenwichškyí poledníík byl ůštanoven nůltyím poledníkem, na nemz še merí UT (Univeršal Time). Termín UT byl ale zaveden az roků 1928 (po zmene definice pocatků aštronomickeho dne od 1. 1. 1925). Na zaklade rozhod-nůtí IAU še tento caš UT od 1. ledna 1956 prejmenoval na UT0 a znamení caš odvození z rotace Zeme pro konkríetníí mííšto pozorovíaníí, prepocíítanyí pomocíí znaímíe zemepišníe delky na greenwichškí poledník. Poštůpne byly zavadeny různe opravy, napríklad o vliv pohybů polů na zemepišnoů delků míšta pozorovíní (caš UT1), o kratkodobe odchylky š periodoů kratší nez 35 dní (UTR1), šezínní zmeny v rychlošti rotace Zeme (UT2). Jako zaíklad pro obňcanškíe mňeňrení ňcašů a mezinaírodní štandard dneš šloůňzí ňcaš UTC (Coordinated Univeršal Time), ktery je definovan pomocí atomovích hodin tak, ze še ale nešmí odchýlit od cašů UT1 o více nez 0,9 šekůndy. Z toho ovšem vyplíví velmi nepríjemna vlaštnošt UTC. Tento caš není plymůý! Priblizne kazdych šešt mešíců je korigovan zarazeníím tzv. preštůpníe šekůndy. Od doby, kdy še tento inštitůt zacal poůzíívat, ůz doba korekcí ciní priblizne půl minůty a takoví rozdíl ůz še projeví v rade aštronomickích po-zorovýní. Můšíme š ním tedy pocítat. Cašů UTC vyůzíva vetšina pozorovatelů, kterí cašy ve švem pocítaci, z nehoz rídí CCD kamerů, šynchronizůjí še štandardem pomocí Network Time Protocol (NTP). Cašovích štandardů je celí rada, od štandardů atomovích hodin TAI (International Atomic Time), preš různe varianty tereštrickeho cašů TT (Ter- 1GMT byl roku 1847 prijat na britskích ostrovech zeleznicní spolecností Railway Clearing House jako „zeleznicní cas" („railway time"). Oficiílním casem pro Velkou Britanii se stal v r. 1880. 102 Kapitola 5. Analyza casovích rad restrial Time) az po barycentricky dynamicky cas TDB (Barycentric Dynamical Time), ktery opravuje TT na barycentrum Slunecní soustavy. V kazdem prípade by pozorovatel mel vzdy uvadet jakí casoví standard pro sví merení pouzil. V astronomii se cas zpravidla prevíadíí a publikuje v juliíanskíem datovaíníí. Jednía se o volne plynoucíí casovyí udaj odpovídající poctu dnu, které uplynuly od jistého, casove dostatecne vzdaleneho pocatku. Jeho uzití v astronomii navrhnul John Herschel v Outlines of Astronomy (1849) a poprve v praxi pouzil Pickering (1890). Jenze i tady je treba si uvedomit, ze na juliíanskíe datovaíníí pňrechíazííte z urňcitíeho ňcasovíeho standardu. Doporuňcujeme zíasadnňe nepouzívat pasmove casy, letní casy a podobne. Pokud budete vychazet z UTC, vzdy je treba to zaznamenat a uvíest pri publikaci dat. Ale nezapomíínejme na referencníí raímec. Udanyí cas pozorovíaníí vychíazíí z polohy pozorovatele. Pokud bychom chteli bíyt zcela presníí, meli bychom vyjadrovat casovou znacku mereníí v barycentrickíem dynamickíem case a prepocíítat jej na aktuaílníí polohu barycentra Slunecníí soustavy. Spríavnía casovaí znacka by pak mela obecnyí tvar BJD tdb = JDutc + ARQ + AC© + AS© + AE©, (5.2) kde BJD znací barycentricke jv,Mnské datovaní, AR© R0merovo zpozdení, AC0 korekci hodin, AS© Shapirovo zpozdení, AE0 Einsteinovo zpozdení2. Pokud nepozadujeme présnost vetsí nez 1 sekunda, muzeme poslední dve relativisticke korekce zanedbat. R0merovo zpozdení je dano konecnou rychlostí svetla. Jak Zeme obíha kolem Slunce, mení se její vzdalenost od sledovaneho objektu a v dusledku toho muze dojít ke zpozdení signaílu aňz o 8,3 minuty. Bňeňznňe se setkíame s tzv. heliocentrickou korekcí, ktería ňreňsí R0merovo zpozdení „posunutím" Zeme do stredu Slunce. Takoví korekce vsak nestací pokud poňzadujeme pňresnost lepňsí neňz 8 sekund. Pak je tňreba províest pňrepoňcet na barycen-trum Sluneňcní soustavy3. Navíc si musíme uvňedomit, ňze ke stejníemu zpoňzdňení signíalu muze dochazet i v pozorovanem objektu, pokud je jím napríklad vzdalena planetírní soustava, víceníasobnyí hvňezdníy systíem a podobnňe. Z praktickeho hlediska je treba casovím udajum opravdu venovat pozornost, kterou si zaslouňzí. At' uňz v budeme v odborníe príaci uvíadňet juliíanskíe datovíaní geocentrickíe JDgeoc, heliocentrickíe JDhel nebo barycentrickíe JDbar, vňzdy je tňreba uvíest takíe pouňzityí ňcasovyí standard, nejňcastňeji UTC a pňrípadnou korekci hodin. Pro vyípoňcet barycen-tricke korekce muzeme napríklad vyuzít kalkulítor na http://astroutils.astronomy. ohio-state.edu/time/utc2bjd.html. Ale nesmíme v nasich zíznamech a vípoctech zapomínat ani na to, ňze expoziňcní nebo integraňcní ňcas není nulovyí. Je tedy tňreba uvíadňet, zda ňcasovaí znaňcka pňrísluňsí zaňcíatku, stňredu nebo konci expozice a takíe díelku pouňzitíe expozice. Napríklad u snímku kamery OMC druzice Integral je uvaden cas zacatku expozice a pritom kazdí expozice ma obecne ruznou delku, ktere se lisí v radech minut. Nepozorní uzivatel dat tak muze prostym opomenutím silne „zasumet" jinak velmi kvalitníí data. 2Detailní informace lze nalézt v článku Eastman et al. (2010). 3Heliocentrické juMnské datování HJD bylo formalné odmítnuto rezolucí A4 Mezinarodní astronomické unie v roce 1991, ktera doporucuje nadíle pouZívat BJD vztaZené k barycentru Slunecní soustavy 5.2. Periodicita promennosti 103 5.2 Periodicita promennosti U rady typu promenných hvezd se pozorovane svetelne i jine zmeny opakujý se znacnou pravidelností. Promennost hvezdy urcuje nejaký periodicky dej, jehoz perioda pak odpo-výda perióde světelných změn prýslusne promenne hvezdy. V nekterých prýpadech se muzeme setkat i s kombinac! nekolika periodických deju, pfípadne periodickeho deje s nejakými aperiodickými zmenami ci trendy. V pozorovatelske praxi se lze setkat s rozlicnámi modifikacemi i stupni periodicity promennosti: a) idealná promennost - svetelne krivky záskane v ruznych cyklech jsou v ramci presnosti merená zcela identicke; b) sekularná (dlouhodobe) zmeny - tvar svetelne krivky nebo delka periody se dlouhodobe mená; c) váce period - svetelná krivka je vásledkem superpozice nekolika periodických zmen, probáhajácách nezávisle a s ruznámi, zpravidla nesoudelnámi periodami nebo frekvencemi; d) aperiodicke (neperiodicke) zmeny, trendy - pres periodicke zmeny se prekladajá aperi-odicke zmeny a trendy, ktere periodicke zmeny modulujá a mená jejách ároveň. Ukazuje se, ze vetsina promenných hvezd mení svou jasnost (ale take i radialní rychlost, intenzitu spektrýalnýích car nebo indukci magnetickýeho pole) výíce ci mýene periodicky, s jednou periódou P nebo chcete-li frekvenci v (v = 1/P) nebo uhlovou rychlosti oj, oj = 2 nv = 2 n/P. Dale platí, ze tvar i amplituda svetelných krivek vetsiny promenných hvezd zustavají po mnoho cyklu konstantní, zatímco jejich periody P (í) se mohou z rady prýccin pozvolna menit. Studiem techto zmen se zabyva tzv. periodová analýza, ktera zmeny periody zkouma prostrednictvým v!ce ci mene slozitých a sofistikovaných modelu. Vysledovým periodicity promenne hvezdy a nalezení delky periody4 hodne vypovída o fyzikýlní podstate pozorovaných zmen i o promenne hvezde samotne. Navýc umozňuje stanovit predpoveď chovaný hvezdy smerem do budoucnosti i do minulosti. 5.2.1 PríCiny zmen periody periodicky promenných hvezd 5.2.1.1 Pulzující hvezdy Periodicky promenne hvezdy se podle mechanismu jejich zakladná promennosti delá do trá hlavnách skupin. Predevsám jsou to fyzicky promenne pulzujáá hvezdy, kde pncinou promennosti jsou kmity vnejsích a podpovrchovách cástí hvezdy. Perioda promennosti je dána okamzi-tym stavem techto vrstev, jejich rozmerem, hustotou a teplotou, zpusobem buzená a tlumená pulzacá a jejich celkovou amplitudou. Pulzace mohou soucasne probáhat i v nekolika modech, jejichz perioda je obecne ruzná. V souvislosti s postupnou prestavbou vnejsku hvezdy danou vnitrnám (nuklearnám) vyvojem pulzujácá hvezdy se mená napráklad jejá rozmer, coz se pak odrazá v postupne zmene periody. V prubehu zmen muze tez doját k pomerne nahlym udalostem, jako je treba podstatne utlumená pulzacá ci nasazená novych pulzacnách mádu. 4Jevá-li hvezda periodicke zmeny s periodou P, pak jsou tyto zmeny periodicke i v celistvách násobcách teto periody (2 P, 3 P, —P,...). Periodou zmen promenne hvezdy budeme myslet tu nejmensá kladnou z mnoziny takovych period. 104 Kapitola 5. Analíyza casovyích rad Nicméně lze očekávat, že zmíněné změny periodicity pulzujících proměnných budou probíhat v tzv. nukleární casove skále, kterou lze podle typu hvezdy odhadnout na miliýny let. Jsou ovsem etapy vívoje hvezdy, kdy se i zmeny periody pulzací znacne urychlí. Napríklad u cefeid je to tehdy, kdyz prave prochazejí hranicemi pasu nestability. Tak treba Berdnikov & Turner (2010) zjistili rozborem pozorovaní klasicke cefeidy II Car (P = 64,4d), ze se její perioda soustavne prodluzuje tempem dP/dt = 719(15) s/rok.5 5.2.1.2 Rotující hvezdy Dalsí skupinou jsou rotující hvezdy s neizotropním vyzarováním do prostoru. To bívá stan-dardne zpusobeno bud' vískytem fotometrickích skvrn ve fotosfere nebo zpusobem generace elektromagnetickeho zarení, jak je tomu v prípade magnetosfer pulsaru. Paklize hvezda rotuje jako tuhe teleso, pak její íhlová rychlost w souvisí s celkovím momentem hybnosti L a momentem setrvacnosti J vztahem L = Jw. Ke zmenam íhlove rychlosti rotujícího tuheho telesa muze dojít ze dvou duvodu - muze se menit moment hybnosti L nebo moment setrvacnosti J, kterí je dan rozlozením hmoty v tele hvezdy. Jako príklad rotující promenne hvezdy si vezmeme treba chemicky pekuliarní hvezdu hlavní posloupnosti s fotometrickími skvrnami na povrchu. Predpokládejme, ze zvolena hvezda o hmotnosti M a polomeru R jeví sferickou symetrii, takze hustota p(r) v ní je funkcí je vzdalenosti r od centra hvezdy. Uzitecne je jeste zavest bezrozmernou velicinu u = r/R, kde R je polomer hvezdy. Zívislost hustoty latky p(u) na u ním udívá jina bezrozmerna funkce Q(u) = p(u)/p, kde strední hustota p = M/1 nR3 a M je celkoví hmotnost hvezdy. Pro moment setrvacnosti sfericky symetricke hvezdy pak obdrzíme vztah J = / h2dM = / 3 r2 4np(r) r2 dr = [2 /J Q(u) u4 duj MR2 = aMR2, (5.3) J M jO L -1 kde h je vzdalenost vybraneho elementu o hmotnosti dM od osy rotace hvezdy. Omezíme-li se nyní jen na hvezdy hlavní posloupnosti, pak vychazí, ze bezrozmerna konstanta a související s rozlozením uvnitr hvezdy je zhruba a ř« 0, 05. Behem vívoje hvezdy hlavní posloupnosti dochízí ke dvema protichudním procesum - predne se neustíle zahust'uje centralní jadro obsahující stale vetsí podíl helia, címz klesa „konstanta" a, ale soucasne roste polomer hvezdy R. Z modelu odborníku na hvezdny vívoj Meyneta a Maedera plyne priblizní vztah a(t) ~ R(t)-1, takze moment setrvacnosti bude s casem rust ímerne polomeru, J (t) ~ R(t). Budeme-li predpoklídat, ze moment hybnosti hvezdy se behem vyvoje na hlavní posloupnosti za-chovíva, pak bude íhlova rychlost hvezdy w(t) neprímo ímerna polomeru R(t), w(t) ~ R-1. Rotacní perioda hvezdy P bude ýmerný polomeru P ~ R, takze by mela s casem rust, naproti tomu rovníkova rychlost hvezdy by mela behem celeho vívoje hvezdy na hlavní posloupnosti zustat konstantní: Veq = wR = konst.. Predpoklídejme nyní, ze polomer hvezdy behem fíze na hlavní posloupnosti roste, a to tak, ze platí R/R(t) = y, kde 7 je kladna konstanta. Vyresením teto diferencialní rovnice obdrzíme R(t) = R0 exp(7t), kde R0 je polomer hvezdy na pocítku jejího vívoje na hlavní posloupnosti, tedy v case t = 0. Vidíme tedy, ze polomer hvezdy exponencialne roste, coz odpovída 5U tohoto zjistení je vsak zídoucí se trochu pozastavit. Casova skala tohoto zpomálovýní t, jez je dína pomerem t = P/P = 7700 let, je o mnoho radu kratší, nez by odpovídalo oCekávýní vyplývající z tempa vyvoje hvezdy. Vysvetlení se nabízejí hned dve - zjistene zpomalování pulzace není dusledkem nukleírního vyvoje v centru hvezdy, ale má mozná prozaictejsí vysvetlení - cefeida treba muze byt slozkou dvojhvezdy, nebo, coz je jeste pravdepodobnejsí, pri zpracování se zanedbal nejakí efekt, treba sekulární zmena svetelne krivky... 5.2. Periodicita promňennošti 105 i vysledkum modelovaní hvezdneho vívoje. Z modelu pak vyplíva, ze hvezda se behem faze hvezdy hlavní posloupnosti, kterí trví thp, zvetsí zhruba e-krat. Takto pak dostaneme: ^ í t \ R 1 w v P . v . t. R(t) = Ro exp- * - =-=--= —- = -, v =--. (5.4) V trp/ R thp w v P thp Dosazením konkretních hodnot pro nejhmotnejsí CP hvezdy: trp = 107 let by se dalo ocekívat, ze relativní zmena periody v dusledku vívoje by mohla cinit nejvýSe P/P ~ 10-7 rok-1, coz je tňesnňe na hranici detektovatelnosti. U horkych hvezd je produkce hvezdneho vetru prímo írnemí zarivemu víkonu hvezdy, maximílne dosahuje az 10-6 MQ/rok, u CP hvezd vsak nikdy tak silní vítr nepozorujeme. Hvňezdnyí vítr vanoucí z povrchu hvňezdy je schopen velmi uíňcinnňe odníaňset ze hvňezdy moment hybnosti a tím i brzdit rotaci hvezdy. Muzeme si vyjídrit casovou zmenu celkoveho momentu hybnosti L. Je-li ľič2w specificky moment hybnosti pripadající na jednotku hmoty odchazející do prostoru, M zmena hmotnosti hvezdy v dusledku hvezdneho vetru a platí, ze M < 0 a tedy L < 0, pak L = ľMfí2w = J 1, = ^ = Jw + Jw * iÍ = — í^= (1 — ľ\ MM (5.5) Pokud vystupuje hvezdní vítr rovnomerne z povrchu, pak je ľ = |, pochízí-li vsak z rozsíhle magnetosfery, muze bít jeste mnohonísobne vyssí. Magnetosfíera hvňezdy udrňzuje hvňezdníy vítr v korotaci6 s hvňezdníym povrchem, a to aňz do vzdalenosti rc. Protoze polomer korotace je vetsí nez polomer hvezdy rc > R, dochazí k pňrenosu momentu hybnosti z hvňezdy na hvňezdnyí vítr prostňrednictvím magnetickíeho pole pevnňe spojeníeho s hvňezdou. Tím pak by mňelo dochíazet k brzdňení celíe hvňezdy nebo alesponň jejích svrchní vrstev, do nichňz je magnetickíe pole zamrzlíe. Polomňer korotace je omezen u oby-cejnych hvezd indukcí magnetickeho pole, u pulsaru pak podmínkou w rc < c. Zíavňerem je tedy moňzníe ňríci, ňze ůínik líatky z hvňezdy ve formňe hvňezdníeho vňetrů je docela ůíňcinnyí proštňredek k brzdňení zejmíena tňech hvňezd š rozšíahloů magnetošfíeroů jako jšoů magnetickíe chemicky pekůliíarní hvňezdy a neůtronovíe hvňezdy. 5.2.1.3 Inteřagůjící dvojhvezdy Dalňším typem ňcašto štůdovanyích periodicky promňenníych hvňezd jšoů zíakrytovíe dvoj-hvňezdy, kde periodoů promňennošti je perioda obňehů šloňzek dvojhvňezdy kolem špoleňcníeho tezište. Pozorovaní okamziků minim jašnošti pri vzajemních zakrytech šlozek ůmozňůjí š mimorídnoů prešnoští teštovat prípadne zmeny orbitalní periody v průbehů mnoha dešetiletí. Ukazůje še, ňze orbitaílní perioda ňrady z tňechto zíakrytovíych dvojhvňezd še šyš-tematicky prodlůňzůje nebo naopak zkracůje. Zpravidla še to tyíkía tzv. tňešnyích nebo takíe interagůjících parů, mezi nimiz dochazí k prenošů latky a momentů hybnošti. Pokůd še zadna latka nedoštane ven ze šoůštavy tvorene dvema hvezdami o hmotnoštech M1 a M2, pak še jední o tzv. konzervativní přenos hmoty. Pri konzervativním prenošů zůštava konštantní celkoví orbitalní moment hybnošti šoůštavy L = L1 + L2 a šoůcet hmotnoští oboů šlozek M = M1 + M2, takze M = L = 0. Bůdeme pritom predpokladat, ze veškera hmotnošt i veškerí moment hybnošti je ůlozen v dvojici hvňezd, mezi nimiňz pňrenoš hmoty probíhía. Daíle bůdeme mít za to, ňze šloňzky IJhlova rychlost tu nezavisí na vzdalenosti od centra, tedy w(r) = konst. 106 Kápitolá 5. Anályzá cásových rád dvojhvezdy obíhájí kolem spolecneho težiste po kruhových dráhách o polomerech a1, a2, a = a1 + a2. Ze vztáhu pro polohu tezište dvou hvezd, reprezentováných zde dvojicí hmotných bodu plyne a1/a2 = M2/M1 á tedy a1 = a M2/M, a2 = a M1/M. Pro moment hybnosti L lze pák psát 2 2, 2 M1M2 2 n 2 M1M2 , , L = L1 + L2 = u(M1a2 + M2a2) = u a2^T = p a^^MT' ^) Vztáh pro moment hybnosti nyní zlogáritmujeme á pote zderivujeme podle cásu (tomuto postupu se ríká „logáritmický deriváce") ln L = ln(2 n) - ln(P) + 2 ln(a) + ln(M1) + ln(M2) - ln(M), L =- p + 2 a + K + m2 - m =- p + 2 a + M1^Mr = °- (5.7) Obdobne lze nálozit s 3. Keplerovym zákonem, který spolu váze hmotnost soustávy M, vzdálenost slozek a á obeznou periodu P, á sloucit jej s rovnicí (5.7) do tváru a3 = GM p2 a =4 n2 P ' a P 3- = 2p, aP Budeme-li predpoklýdát, ze M1 je hmotnost primární, v tomto prípáde hmotnejsí slozky7, pák pozorováne prodluzovým periody (P > 0) známená, ze (M1 > 0) tedy, ze hmotnost primárný slozky jeste roste á vzdálenosti slozek se s cásem zvetsuji', tákze se látká sekundárný slozky prenásý ná slozku primárný. V pfípáde, ze by se periodá náopák zkrá-coválá (P < 0), muselá by lýtká tect z primýrm slozky ná slozku sekundárný (M1 < 0). Slozky dvojhvezdy by se k sobe priblizovály ((i < 0), coz by pokrá&válo áz do okámziku, kdy by se hmotnosti slozek vyrovnály, á slozky si vymenily role. V tom okámziku by dvojhvezdá melá nejkrátsý periodu á slozky by k sobe mely ábsolutne nejblíž?. Pák by prenos látky pokrá&vál, látká by z nyný jiz sekundárný slozky teklá smerem k slozce primárný á periodá dvojhvezdy by rostlá (P > 0), vzdálenosti mezi slozkámi by rostly táktez (<2 > 0). Tempo zmeny periody P/P ták prýmo ukázuje ná velikost toku hmoty mezi kompo-nentámi M1 = - M2. 5.2.1.4 LiTE a apsidalní pohyb Krome výse zmýnených mechánismu, ktere mený periodu výcemene monotónne, známe i mechánismy zmeny pozorováne periody, ktere mený periodu periodicky. Jedná se ják o tzv. light-time efect (LiTE), jez je dusledkem pntomnosti dálsýho telesá (teles) v soustáve, ták i ápsidálný pohyb, pri nemz se cyklicky mený periodá zákrytove dvojhvezdy, která je odrázem rovnomerneho posouváný prýmky ápsid (spojnice mezi periástrem á 7Takova volba neplatí vždý. Nekdý je jako přimařní složka ožnacovana vetsí (řožmeřnejší) hvežda, nekdý ta, kteřa je v přimařním minimu žakřývana. Ožnacení přimýřní složka tedý řožhodne není jed-nožnacne. 3 ln( a) = ln + ln(M ) + 2ln(P), (5.8) p = - ; = - ;; =3 (í = 3 m?7m2 aí1- (5.9) 5.2. Periodicita promňennosti 107 apoastrem). Tento pohyb způsobuje jak změnu periody, tak i změnu vzhledu světelné křivky. NejviditelnejSím efektem je vzajemny pohyb primarních a sekundarních minim. Pri LiTE zustava svetelna krivka nepromenna. Cílem nasledujúcich kapitol bude sestavit modely periody a ukazat, jak souvisejí s pozorovaním. K tomu je vsak nezbytne zavest a definovat nekolik dulezitých pojmu. 5.2.2 Epocha, fáze, fázová funkce a okamžitá perioda Stav periodicky se menící promenne hvezdy se zpravidla popisuje dvema funkcemi casu t: neklesající schodovitou funkcí, zvanou epocha E (t), jez vyjadruje pocet cyklu, ktere uplynuly od okamziku zacítku poďtaní epochy t = M0, a pilovitou funkcí (t) = -Kvq P(t) = K P2-q, (5.16) kde q je tzv. deceleracné parametr, charakteristickí pro dominující mechanismus zmeny periody a K je konstanta umernosti vlastní danemu objektu. Je-li K > 0, jde o pokles frekvence a prodluňzovaíní periody. 5.2. Periodicita promennosti 109 K -- ^ --P---PL (517) d^i vo V V)/ \v0/ v2 • / P V 2-9 dP • / P V 2-9 p- Po Po • ^- Po PoPo ■ (5.18) 2 P'-(2-qd ß;) p3-2q-2-«. Pomineme-li zýakladnýí, tedy dvouparametrickyý model popsanyý dvňema veliňcinami (viz rovnice 5.13), zpravidla zýkladním okamzikem nulove faze M0 a konstantní periodou P0, prechazíme ted' ke slozitejsím modelum, kde se perioda, prípadne frekvence mení podle zakona (5.16). Probereme si postupne prýpady, kdy parametr q bude nabývat celoňcýselnýe hodnoty od 0 do 3. 5.2.4.1 Príklady q = 0 Pouzitím vztahu uvedenách v rovnicích (5.17) lze pro prípad q = 0 psát • • dv Vo ) Vo . + P Po dP PoP2 P Po (51Q) dtf i vo vo P2 Po2 d0i Po 1 - Potf 1 Zde tedy je casová zmena frekvence konstantní, perioda se mení komplikovaneji. Nasim cílem je vypocátat fazovou funkci 0(0^ a jejá inverzi. 0(0i)= / ^dr = * + 2 § 02 = / ^dr = 0i - i Po 01, (5.20) 01 = 1 - ^1.- 2 Po- = 0 + 2 02 + |P2 03 (5.21) Po G(E) = Mo + Po E + Po Po -y + Po P-2 y .... (5.22) Zde jsou též zapotřebí tri parametry modelu promennosti Mo, Po, -=2 nebo Mo, vo, vo. q = 1 vo vo P P —o dv v. o v v = vo exp v v2) dP d0i = Po P, P = Po exp(Po 0i), (5.23) (5.24) v 110 Kapitola 5. Analyza casovích rad ů = ľ' e~PoTdr = i (1 - e~Po 9l) ; ůi = i in (-1—^ ; (5.25) Jo Po ^ J Po Vl - Po ů/' V ' ů = ůi - 1 Poů2 + 1 Po2 ůl; ůi(ů) = ů + 2Po ů2 + 3Po2 ů3 (5.26) G(E) = Mo + Po E + Po Po ^ + Po Po2 ^• (5.27) Zde jsou též zapotřebí tři parametry modelu proměnnosti Mo, Po, Po/Po. q = 2 V tomto případe je perioda lineární funkcí casu, takže platí P = P> = 4 = dt f i) = - % • (5.28) Nejdríve si pomocí rovnic (5.11) celí probiem vyreSíme exaktne. P (t) = Po + Po (t - Mo) = Po(1 + Poů), (5.29) dP = dP = dP dů = dP2_ = . P(ů) = Po Po(5 30) dt = dT = dů dT = dů P = Po; P(ů) = Po 6 ; (5.30) ů(t) = i ln(1 + Po ůi); T(ů) = Mo + 5 (ePo1? - 1) . (5.31) Po Po ^ ' Protože casova zmena periody P bíva zpravidla pomala, muzeme nahradit skutecnou fazovou funkci ů(t) a její inverzní funkci jejich Maclaurinovym rozvojem ů(t) = ln(1 + Po ůi) = ůi - Po ů1 + Po2ů1 - •••; (5.32) Po 23 T(ů) = Mo + ^ (e™-1) = Mo + Po (ů + Po2 + Po2^ .. ^ , (5.33) 0(E) = Mo + ^ (ePo E-1) = Mo + PoE + PoPoE-r + PoPo2EEr • • • • (5.35) Po ^ ' 2! 3! K popisu fízove funkce, respektive její inverze, potrebujeme celkem tri parametry: Mo, Po, Po. q = 3 Je-li soucin P P konstantní, dostaneme jine resení: z> = v3 dv = vo v3 P = Po dP vvo = v3' důi = vov3' pPo = P' dů 3> ^,9 - „3> A - t>> ^a^11^ (5.36) dP = konst-; P = Po (1 + Po ů) = Po^1 + 2 Po ůi; (5.37) ů(ůi) = i(\A + 2 Po ůi - 1) = ůi - ^ů2 + PP2ůi - • • •; (5.38) Po vv ; 2 * 2 ľ9 ??2 E2 ůi(ů)=/ (1 + PPor)dr = ů + Po —; 0 (E) = Mo + PoE + PoPo —• (5.39) 2 2 Zde jsou zapotrebí tri parametry modelu promennosti: Mo, Po, PoPo. 5.2. Periodicita proměnnosti 111 5.2.4.2 Diskuse. Prostý tříparametrický model periody Porovnejme nyní výsledky vsech těchto, jinak odlišných modelů předpokládajících, že změnu periody lze popsat jedním parametrem. Předne jsme diskutovali vývoj period/frekvencí třídy modelů, u nichž platí, bud' v v-q = konst. nebo P Pq-2 = konst., kde q je bezrozmerný dece-leracní parametr popisující dany mechanismus zmeny periody/frekvence. Pokud se omezíme ve vztazích pro fízovou funkci respektive na predpoveď okamziku nulove fíze 6(E) jen na prvních nekolik clenu Maclaurinova rozvoje, vcetne kubickeho clenu, lze psat obecne pro libovolníe q (ů), kde //(ů) výjadřuje malou odchýlku od dokonale linearnosti. Chci-li výjadřit fýzovou funkci ů(ů1) pomocý ů1, dostanu ů = ůi - V(ů) = ůi - V(ůi - //(ů)) = ůi - V(ůi) - Po ^) = ůi - //(ůi). (5.43) Vzhledem k tomu, ze v přýpade marginalných zmen periodý je splneno, ze P0 // 1, platý výse uvedena relace. Ta umozňuje velmi řýchle sestavit modelý i pro slozitejsý přýpadý, nez ktere býlý uvedený v předčhazejičí podkapitole. Modelem s marginálními změnami periody je i výše uvedený prostý tříparametrický model periody. Pro nej platí = Po y, ů = ůi - = ůi - Po y, (5.44) coZ je ve shode se vztahy (5.42). 5.2.5.1 Kubická model změn periody Zjistýme-li, ze se při popisu fazove funkce bez kubickeho clenu neobejdeme, musíme připustit, ze mechanismus pozorovaných zmen periodý je slozitejsí, ze obsahuje deje, ktere nepopisuje zakon z> = -K uq, nebo P = K P2-q diskutovaný výse. Nejjednodussí takový model periodý předpoklada, ze perioda je kvadratickou funkcí ňcasui0 ů2 dP dů P (t) = Po + Po Po ůi + Po2Po ^; P(t) = ~dp = Po + Po Po ůi. (5.45) Uzitmi vztahu (5.11) muzeme najýt pro fazovou funkci ů(t) exaktný resený Bohužel, vztah pro tuto funkci je natolik slozitý a nepřehledný, ze je temeř nepouzitelný. Proto 10Prísne vzato, i v prípade, kdy platí, Ze P = K P2-q, je P = (2 - q) P0 P0q-4 P3-2q obecne rUzný od nuly. V tomto prípade nam ovsem jde o situace, kdy druha derivace periody je mnohem vetsí, nez tato, vícemene zanedbatelna velicina. 5.3. Periodova analýza okamziků extremů 113 se již od počátku omezíme jen na první tři členy Maclaurinova rozkladu. #(t) = -i - Po f - (Po Po - 2P2) f = -i - Po f - Po Po f; (5.46) T (-) = Mo + Po ^ + Po Po + (Po2 Po + Po i^o2) ^ = Mo + Po - + Po Po ^ + Po2 Po(5.47) P(-) = Po + PoPo - + (Po2Pio + PoPo2)^ = Po + PoPo - + Po2Pio^. (5.48) Ve výrazech v zavorkách v rovnicích (5.46), (5.47) a (5.48) mužeme zanedbat členy s Po2 z jiz výše uvedených dUvodU. K popisu fázove funkce tak v prípade kvadraticky se menící periody potrebujete celkem ctyri parametry: Mo, Po, Po, Po. K tomu, abyste zejmena ten poslední z clenu urcili s dostatecnou presností (doporucuji nejmene 4,5 a), musíte mít k dispozici vynikající pozorovací materií! pokrývající nekolik desítek let. 5.2.5.2 LiTE Jako efekt rozdílne drahy švetla (Light-Time Effect) še zpravidla oznacůje vliv obezneho pohybů periodicky promenne hvezdy nebo hvezdne šoůštavy kolem špolecneho tezište š dalším clenem šyštemů (napr. v prípade půlšarů drůheho teleša, v prípade zakrytove dvo-jhvezdy tretího teleša). Celí problem lze šice rešit zcela exaktne, ale pro ůcely štanovení efemeridy v naprošte vetšine prípadů vyštacíme š fenomenologickím modelem zmen periody. T = Mo + Po(ů + V); V =4" f6i šinŮ3 + 62 šin2í?3 + 6a(coš2^3 - coš ^s)/v^l , (5.49) Po L J kde 61, 62,63 jšoů koeficienty ve dnech. ů3 a ů jšoů pak dany vztahem: ^3 = t-M3, ů = ůi - V, (5.50) P3 kde M3 je okamzik, kdy V = 0, a P3 je obezní perioda tretího (drůheho) teleša v šoů-štave. Pro tento fenomenologicky model zmen periody je zapotrebí celkem 7 parametrů, ktere je mozno najít podštatne šnaz nez pri exaktním rešení problemů. 5.3 Periodova analýza okamžiků extrémů Jednoů z ůloh, kteroů badatel v oborů vyzkůmů promenních hvezd můší opakovane rešit, je zjišťovaní a prípadne zprešňovaní parametrů modelů promennošti (tedy fazove fůnkce ů(t, a) a její inverzní fůnkce ů1(ů, a) nebo O (E, a)), prípadne jeho zdokon-alovíní ci modifikace. Spolehliví znalošt techto zíkladních parametrů je totiz zakladním predpokladem pro další ůvahy o fyzice objektů a mechanišmů jeho promennošti, even-tůílne k zobecnením, kterí by bylo mozne vztíhnoůt na hvezdy jako na celek. 114 Kapitola 5. Analíyza ňcasovyích ňrad Vektor a chapeme jako usporadanou g-tici volnych parametru popisujících model promňennyích hvňezd. K jeho hledaíní pňrikroňcme aňz tehdy, budeme-li mít k dispozici po-zorovaíní dotyňcníe hvňezdy poňrízenía v co nejdelňsím ňcasovíem intervalu. Vňseobecnňe platí, ňze pňresnost urňcení lineíarního ňclenu je nepňrímo uímňernía díelce intervalu sledovíaní hvňezdy, kvadratickeho clenu s P kvadratu teto delky a kubickeho clenu s P dokonce tretí mocnine tíeto díelky. Nejcastejsí zpusob, jak diagnostikovat prípadne zmeny periody a vytipovat vhodní model jejíí promňennosti, stanovit, pňríípadnňe zlepňsit jeho parametry, je zaloňzen na analíyze tzv. O-C diagramu. V zísade tu jde o urcení parametru inverzní fazove funkce T(ů, a), respektive 0(E, a) na zaklade dat, ktera udavají okamziky urcitích specialních hodnot fazove funkce ů (vetsinou jde o okamziky extrémni jasnosti - tedy 0(E)). Pňredpoklíadejme, ňze u vybraníe periodicky promňenníe hvňezdy alesponň zhruba zníame její svetelne elementy, tedy zakladní okamzik nulove fíze M0, kterí zpravidla klademe do okamňziku extríemu jasnosti, a stňrední periodu svňetelnyích zmňen P0. Pro libovolnou epochu11 E pak lze vypoňcítat odpovídající pňredpovňed' nulovíe fíaze podle vztahu: 0 (E) = M0+Ex P0. Rozdíly mezi casem, kdy urcita fíze Text(E) skutecne nastala, a vypoctením okamňzikem tíeňze fíaze ve stejníe epoňse 0 (E) se nazíyvajíí hodnoty O-C(E). Jejich zíavislost na epoňse nebo obecnňe ňcase je pak nazyívíana jako O-C diagram. Tento diagram slouňzíí zejmena k zlepsovaní lineírních efemerid nebo ke zduvodnení volby slozitejsího modelu zmňen periody P(t). V prípade, ze grafem O-C je: 1. vodorovna prímka prochízející O-C = 0, pak je to indikace skutecnosti, ze hvezda ma jen jednu periodu svetelních zmen a ze pouzite svetelne elementy jsou v poradku. Tyto „bezproblemove" hvezdy je mozno bez obav na nekolik let opustit a venovat se jiním. 2. vodorovnía pňrímka neprochíazející O-C = 0. To znamenaí, ňze perioda je jedinía, urňcena je spraívnňe, zato okamňzik zíakladního minima nebo maxima si opravu vyňzaduje. 3. sikma prímka prochazející bodem E = 0, O-C = 0, ukazuje, ze okamzik zakladního extríemu je urňcen spríavnňe, periodu je nutno opravit o smňernici pňríímky proloňzeníe zaívislostíí O-C na epose E, AP = d(Text(E) - 6(E)/dE. 4. parabola svňedňcíí o tom, ňze se perioda lineaírnňe zkracuje nebo prodluňzuje (parabola otevňrenía vzhmru - napríklad pri tzv. pomalem prenosu latky mezi slozkami algolidy.) 5. polynom vyssího stupne. Zmeny periody jsou komplikovanejsí, do vzorce pro predpoved' okamziku extremu nutno zavest dalsí cleny, jde v podstate o Tayloruv rozvoj se stredem v epose E = 0. Viz poslední cast podkapitoly 5.2.4. 6. sinusoida nebo podobnía funkce. Zde je nejpňrirozenňejňsím vysvňetlením fakt, ňze promňennía hvňezda obíhía kolem spoleňcníeho tňeňziňstňe v soustavňe s jinou hvňezdou, ktería se jinak spektraíl-ne nebo i svetelne nemusí projevovat. Jde o tzv. light-time effect. Je treba si ale uvedomit, ze bezne jsou i kombinace víse uvedeních jevu, jak je videt i na obr. 5.1. Zpravidla, cím dele je hvezda sledovana, tím slozitejsí pribeh graf O-C ukazuje. 11 Zpravidla je tato epocha vyjadrena celym císlem, v prípade zakrytovích dvojhvezd s nulovou vístredností, se epose pridava 0,5, vztahuje-li se dotycne pozorovaní k okamziku sekundarního minima. 5.3. Periodová analýza okamžiků extrémů 115 Obrázek 5.1: Ukázky různých průběhů hodnot O-C. Zdroj: O-C brána. http://var.astro.cz/ocgate/. 116 Kapitola 5. Analýza časových řad Je třeba si uvědomit, ze pro samotnou periodovou analýzu, založenou na okamžicích extrému svetelných křivek přomenných hvezd, v zasade zadný O-C diagram nepotřebujeme. Stačí, kdýz budeme vyšetřovat jen zavislost nameřených okamziku extřemu Text(E) na epose. Nicmene, prave k uřcení one epochý E (t) tu pocítecní efemeridu potřebujeme. Při peřiodove analýze pak zjistujeme vlastnosti Text(E), ktera se vzdý jenom minimalne bude lisit od ideýlní přímký se smeřnicí P0. Přýve tato skutecnost nýs vede k zavedení O-C diagramu, který je osvedcenou vizualizací cele situace. 5.3.1 Řešení metodou nejmenších čtverců Předpoklýdejme, ze u urcite periodický promenne hvezdý zname uz z dřívejska (např. z katalogu nebo z literaturý) její linearní svetelne elementý P0, M0 a dýle mame k dispozici soubor celkem n odhadu okamziku jejích extřemu {Ti}, dejme tomu přimýřních minim, jde-li o zýkřýtovou dvojhvezdu. V přvním kroku pro nalezene hodnotý okamziku minim {Ti} najdeme odpovídajíčí epochý, a to jednoduchým předpisem Ei = řound[(Ti — M0)/P0]. Na takto uřcene epochý {Ei} budeme nahlízet jako nezavisle promennou (x-ovou souřadnici) a okamziký {Ti} jako zývisle promennou (y-ovou souřadnici). Předpoklýdýme, ze okamziký minima lze výstihnout modelem 0(E, a), popsaným g pařametřý uspořadanými do sloup-coveho vektoru a = [ai; a2;...; ag]. Týto pařametřý lze urcit pomocí metodý nejmensích ctvercu, podle nichz mý platit, ze výzený suma ctvercu odchýlek x2(a) je minimalní, takze X» = E í") = E [^^^j = £ [Ti — 0(Ei, a)]2 Wi, (5.51) i i kde ai je nejistota uřcení okamziku extřemu Ti, přicemz platí, ze výha wi je dýna vztahem Wi = a,"2. Minimum funkce x2(a) nastane, bude-li splnena vektorova podmínka vx2(a) = 0. Dosadíme-li tam za x2(a) z rovnice (5.51) dostaneme g rovnic ve tvaru: -^Ok— 0 (Ei, a) Wi = ^ -^Ok— Ti Wi. (5.52) i i i i Regresní funkce 0(E, a) s pařametřý a je pak onou modelovou funkcí, pomocí níz lze mj. i odvodit, jak se mení perioda. Rovnice (5.52) platí obecne pro jakýkoli model 0(E) a je třeba je řesit iterativne s tím, ze na pocýtku musíte mít pomerne dobrý odhad řesení, kteřý pak v dalsích krocích dolaďujete. Podrobný popis, jak si při tom pocínat, lze najít v kapitole 4.4. Podaří-li se nam prolozit zavislost okamziku extřemu na epose předem zadaným modelem, mela bý nasledovat etapa zhodnocení, sebereflexe. Pozornost je přitom nutne venovat jak kvalite pouziteho datoveho souboru a zejmena pak hodnovernosti pouzitých nejistot okamziku extřemu, tak i adekvatnosti pouziteho modelu řegřesní funkce 0(E, a), zejmena v tom, ze si výkřeslíme zavislost jednotlivých odchýlek zadaných hodnot okamziku extřemu a jejich predpovedi ATi = Ti — 0(Ei, a). V případe, ze týto odchýlký budou odpovídat jen nýhodnemu rozptýlu a budou tedý stejnomeřne rozprostřený kolem 5.3. Periodova analýza okamziku extremu 117 kolem pňrýmky AT = 0, jsme u cýle. V opaňcnýem pňrýpadňe je nutno se zamyslet, zda nejsou nektere hodnoty okamziku zatízeny hrubou chybou. Tech je pak lepe se zbavit, pňrýpadnňe zda by nebylo na mýstňe zmňenit nebo zdokonalit proklýadanyý model promňennosti. Zde je zapotrebí velmi kriticky posoudit zejmena to, zda pocet volných parametru zv-olenýe regresný funkce vskutku odpovýdaý kvalitňe a poňcetnosti dat, kteraý zpracovýavýamei2. V opacnem prípade by nas to vedlo k falesným zaverum a hlavne k chybnym predpovedím budoucýho vyývoje. Rovnňeňz je tňreba pňrehodnotit nejistoty, kterýe jednotlivyým hodnotaým pňrisuzujeme a pňrýpadnňe znovu celýe proloňzený zopakovat. 5.3.1.1 Nejistoty jednotlivých okamzikU extremu Zkusenost ukazuje, ze jen malo verí je pri analýze casových rad okamziku Ti extremu promenných hvezd tak nejistych, jako prýve nejistoty jejich urcení ai. 1) Ze sve dlou-holete praxe se zpracovaním prevzatych výsledku víme, ze zatímco na publikovane okamziky extremu se lze jakz takz spolehnout (u vysledku vizualných pozorovýný je tňreba býyt ostraňzitýy neustýale), odhady jejich nejistot býyvajýtýemňeňr vňzdy citelnňe podcenňeny, ňcasto mnohonaýsobnňe, takňze byývajý takňrka nepouňzitelnýe. Navýc u ňrady pozorovýaný nený ona nejistota ureem vyríslena vubec. 2) I kdyby odhady ureem okamziku extremu ai byly signifikantný muze být jejich „rozptyl" o dost vetsý nez by vyplývalo z presnosti jejich nalezený, proste z toho duvodu, ze zvolený model promennosti periody nemusý onu promennost periody popisovat adekvatne, a teprve v prubehu vypoctu je budeme diverzifikovat. Vyplatý se proto v prvný iteraci pocýtat s tým, ze nejistoty ureem okamziku veskerych extremu, respektive jejich výhy wi jsou si rovny, rekneme jednotkove. Po nalezený parametru modelove fazove funkce $(E, a) pak spoďtame odchylky pro jednotlive okamziky pozorovaný ATi. Pak si vsechna data rozdelnne do h skupin podle typu pozorovýný (vizualný, fotograficke, CCD, fotoelektricke), pfípadne podle jednotlivých pozorovatelu nebo jinych atributu, pricemz je treba dohlednout, aby v kazde z techto ad hoc vybraných skupin bylo nejmene 5 okamziku extremu. Pro kazdou z techto skupin vypocteme standardný odchylku z ATi, Z j = sdv{ATij}. Clenum kazde skupiny pak prisoudmie nejistotu aij = Zj. S temito novymi nejistotami, prípadne vahami, provedeme vypocet znovu a znovu pak zopakujeme evaluaci nejistot pro jednotlivýe skupiny pozorovýaný a iterujeme dokud se takto urcene nejistoty neprestanou menit. V prubehu vypoctu muzeme jednotlivýe skupiny spojovat nebo rozdňelovat. Upornym nesvarem je zadávat vahy predem, jen podle zvykoveho prava - napr. ČČD a fo-toelektricka minima w = 10, fotografická w = 3 a vizualní w = 1. Takoveto vahovaní k nicemu neposlouzí, jen zpusobí to, ze nejistoty vásledku uz vubec nebude mozne nejak rozumne interpretovat. Maximalne lze toto vahováná prijmout jako prvná odhad, ale ke spravnemu ovahováná je treba vychazet z nove zjistenách nejistot, tak jak jsme to popsali váse. 12Pokud si nejsme stoprocentne jisti, ze nami zvoleny regresná model má ten správná tvar a adekvatná pocet stupňu volnosti, a zda by se nedalo uvazovat i o jinem modelu s menším arsenalem volnách parametru, muzeme pouzít treba bayesovske informacní kriterium BIČ definovane v (4.3). 118 Kapitola 5. Analyza casovích rad 5.3.1.2 UrCovýní parametrU lineýrních regresních modelU Pokud je regresní model linearní ve vsech svích parametrech, pak se system rovnic (5.52) vírazne zjednodusí a lze jej resit jednoznacne a navíc bez iterací. Vsechny modely 9(E, a) diskutovane v oddílu 5.2.4 linearní jsou (jde o polynomy), takze je radost je pouzívat. Jejich regresi lze elegantne provest pouzitím maticoveho poctu. Popsana je dostatecne podrobne v kapitole 4.3. 5.3.2 Standardní urCovaní okamžiků extremU Spolehlivost modelu promennosti jednotlivích promennych hvezd kriticky zavisí na presnosti nasí znalosti casoveho vívoje pozorovane periody P (t) a tedy na presnosti a spolehlivosti casove rady okamziku extrému nebo chcete-li na hodnovernosti vychozího O-C diagramu. Ta primírne zalezí na spolehlivosti pouzitích urcení okamziku extrému a dobríe znalosti jejich nejistoty. Zachyceníí reaílníeho okamziku extríemu jasnosti promenníe hvezdy neníí zrovna triviaílníí pozorovatelskaí uíloha. Chceme-li urcit moment extríemu vskutku spolehlive, musííme hvezdu pozorovat nejen v samotnyí okamzik extríemu, ale i v jeho sirokíem casovíem okolíí. Musíme zachytit dostacující císti vzestupne a sestupne vetve svetelne krivky. Takto je ovsem urcení polohy jednotlivych bodu v plose grafu O-C vísledkem obvykle nekolika desítek pozorovííní v okolí pozorovaneho okamziku Text(E), pricemz hodnota pozorovííní v bezprostrední blízkosti okamziku extrému je paradoxne nejmensí. Urcení skutecneho okamziku extremu a stanovení jeho nejistoty je tak v principu mlhave a sporne. Existuje rada vzajemne si konkurujících metod urcení okamziku minima/maxima svetelne krivky, jejichž vísledky jsou az prékvapive ruzne a jeste horsí je to s odhadem nejistoty urcení hodnoty Text(E). Nicmene je vhodne se seznamit s beznymi postupy pri urcovaní okamziku minima nebo maxima svetelne krivky, protoze tak byla urcena naprostí vetsina vísledku, s nimiz se v praxi setkate. Nejbeznejsí metodou uzívanou pro urcovaní okamziku minim dosud byla Kweeova-van Woerdenova metoda Kwee & van Woerden (1956), ktera je vlastne jen lehce inovovanou verzí, jiz publikoval uz Hertzsprung (1928). Tato metoda vsak daví korektní vísledky jen pri sprívnem pouzití. Je-li pouzita napr. na asymetricke svetelne krivky, krivky se zjevním trendem nebo nestejnou delkou sestupne a vzestupne vetve, nejsou získane vísledky a ani jejich nejistota v poradku. Bohuzel prave nespravne pouzití je jednou z nejcastejsích príccin chyb v urcení okamziku minim jasnosti u zakrytovích dvo-jhvezd. Obecne bívají techniky urcovaní okamziku extremu zpravidla dosti podezréle, nej-casteji jsou zalozeny na prolození paraboly nebo jine symetricke funkce v bezprostrédním okolí extremu jasnosti. Takto urcene okamziky extremu dívají spolehlive vísledky jen víjimecne, zpravidla vsak bívají deformovany z rady duvodu. Prédne, zmínene metody selhívají v prípade neuplních nebo asymetrickích svetelních krivek. Nejistoty nalezeních okamziku extremu jsou bezne neduveryhodne, protoze prokladane krivky vetsinou nejsou podobne skutecne pozorovaním svetelnym krivkím. Hlavní nedostatek techto standardních metod tkví ve skutecnosti, ze zcela opomíjejí ten fakt, ze svetelne krivky jsou periodicke funkce! 5.3. Periodova analíza okamziku extremu 119 5.3.3 Proste modely svetelných krivek Dalňsí metody periodovíe analyízy jsou zaloňzeny na vyuňzití pňrímo pozorovanyích zmňen, nejňcastňeji svňetelnyích zmňen, ňcili svňetelnyích kňrivek. Zde je nezbytníe umňet reprezentovat pozorovanou svňetelnou kňrivku periodickíe promňenníe hvňezdy jejím vhodníym fenomenolo-gickyím modelem, jehoňz parametry obecnňe nemusí mít vztah k fyzickyím charakteristikíam hvňezdníe promňennosti. Dosti ňcasto staňcí pňredpoklíadat, ňze tvar svňetelníe kňrivky periodicky promňenníeho objektu lze aproximovat kosinusovkou prípadne harmonickím polynomem radu r, kteryzto model lze aplikovat napr. na chemicky pekuliarní hvezdy (tam stací r = 2), zakrytove dvojhvezdy s plynulou zmenou jasnosti jako jsou hvezdy typu W UMa, RR Lyr apod. Svňetelnou kňrivku v urňcitíe barvňe pak lze vyjíadňrit ve tvaru volnosti. Zvyňsovíaníím ňríadu pouňzitíeho polynomu lze staíle pňresnňeji vyjadňrovat tvar po-zorovaníe svňetelníe nebo obecnňe fíazovíe kňrivky. Je vňsak ňzaídoucíí nepodlehnout tomuto líakadlu a zastavit se v aproximovaníí na takovíem stupni, kteryí dostateňcnňe dobňre popisuje vzhled svňetelníe kňrivky, zejmíena v oblastech, kdy dochíazíí k nejrychlejňsíím zmňeníam jasnosti. Zvetsovíní poctu volnych parametru ve vseobecnosti vede k nestabilitím v prokla-daní a zhorsuje interpretovatelnost nalezeních vísledku a jejich nejistot. Uvedeny zpusob prosteho modelovaní svetelních krivek ovsem narazí u klasickych algolid, jejichz jasnost se vyrazne mení jen relativne krítce, a to jen tehdy, probíhali u nich zrovna zíakryt sloňzek. Sestup do minima a pak níasledující vzestup je pňritom vícemíenňe lineaírní, svňetelníe kňrivky kolem minima lze v prvním pňriblíňzení povaňzovat za symetrickíe funkce. V minimu se algolidy zpravidla dlouho nezdrňzují, existuje vňsak ňrada algolid, u nichz muzete pozorovat tzv. zastavku v minimu, kdy se jasnost hvezdy mení jen minimíalnňe. K vyjíadňrení takovyích kňrivek bychom potňrebovali pouňzít harmonickyí polynom nejmíenňe 13. ňríadu, coňz by ovňsem ňslo proti naňsemu poňzadavku vyjíadňrit pozorovaníe svetelne krivky modelem s co nejmensím poctem parametru. Z hlediska periodove analízy jsou nejdulezitejsí prave ty íseky svetelne krivky, kdy se jasnost hvezdy mení nejrychleji, tedy casti kolem tzv. inflexních bodui3, zatímco na dení v bezprostňredníím okolíí minima uňz tolik nesejde. Nejjednoduňsňsíí matematickou kňrivkou, ktera tyto pozadavky splnuje, je Gaussova krivka, kterí ovsem nm tu nevíhodu, ze to není krivka periodickí, ale jistím trikem ji muzeme periodickou funkcí ucinit. Prvním pňriblíňzením pro svňetelnou kňrivku zíakrytovíe dvojhvňezdy s kruhovyími orbitami sloňzek je nasledující funkce se ctyrmi volními parametry bo, bi, b2, b3 r (5.53) Vektor parametru b ma gb = 2 r + 1 slozek a model svetelne krivky tak mí gb stupnu F(ů, b) = bo + bi Wi(ů, 63) + &2 (5.56) A Ayi dF =0 A Ayi dF důi = _ A Ay* dFgifc =0 (55?) kde Ayi = yi — F(b, ů{), j = (1,2, ...g) a ai jsou odhady nejistoty jednotlivých měření. Soustava g a N (viz 5.55) řovnic se řeSí zpravidla iterativně použitím zobecněně Newtonovy-Raphsonovy 5.3. Periodová analýza okamžiků extrémů 121 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 V 0 o -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.01 1 1 1 1 n " 5 i i i - £ H -IZ - i i i i 1 -1 1 1 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 epocha 1000 Obrýzek 5.2: O-C diagram zákrytové dvojhvězdy AR Aurigae sestavený pomocí okamžiků minim jasnosti zjištěných metodou precizního ůrcování okamžiků extrémů. Chybova áseCka naznaCůje nejistotu ůrcení daneho okamziků. Pri vápoctů se vsechny okamziky vypocítavaly simultánne spolů se zjistovaním parametrů svetelne krivky. V modelů se predpokladal i jisty linearní trend behem noci. Je zjevne, ze hodnoty O-C se kůpí kolem jiste periodicke krivky, kterí svedcí o tom, ze zíkrytoví soůstava je ve skůtecnosti trojhvezdoů, kde zakrytoví dvoj-hvezda obehne s tretím telesem kolem spolecneho teziste za nekolik desítek let. Tato krivka demonstrůjící LiTE je jedním z nejlepe takto dolozeních prípadů prokízaní existence tretí slozky v soůstave. 0 nebo Levenbergovy-Marqůartovy metody. Celí procedůra vede k ůrcení g parametrů a popisů-jících vzhled svetelne krivky (nebo soůstavy svetelních ci obecne fazovích krivek) a soůborů N hodnot ATmk. Okamzik k-teho extremů je dín vztahem Tmk = M0 + Po Ek + ATmk, kde Ek je strední epocha pozorovaní z k-teho intervalů zaokroůhlena na cele císlo. Nejistota stanovení ôATmk je pak i rigorózním odhadem nejistoty ůrcení Tmk. Fůnkci F(ů) volíme tak, aby byla periodicka s minimem nebo maximem ve fazi (f = 0. V ívahů pripadají jak harmonicke polynomy (5.58), tak i symetricke zvonovite fůnkce (5.59) ve tvarů: F(ů) = bi + b2 cos(2vrů) + b3 cos(4vrů) + b4 [sin(2nů) - 1 sin(47rů)] ; (5.58) F(ů) = bi + b2 exp 1 U) F(ů) = bi + b2 exp 2 1 - cosh (b3 (5.59) kde f = ů — roůnd(ů). První fůnkce je vhodna i pro asymetricke profily, poslední dve (5.59) vcelků dobre vystihůjí vzhled minim jasnosti vetsiny zíkrytovych dvojhvezd (bez totality) i tvar svetelne krivky hvezd s jednoů vícemene symetrickoů fotometrickoů skvrnoů. 122 Kapitola 5. Analýza časových řad Celá situace se značně zjednoduší, pokud již známe tvar světelné křivky (světelných křivek), třeba máme-li k dispozici velmi dobrou fotometrii hvezdy z dřívejsí doby nebo solidní modelovou křivku odvozenou z fyzickeho modelu promennosti hvezdy. V tomto případe muzeme zcela vynechat g rovnic (viz 5.56) a přímo řesit jen soustavu N rovnic (viz 5.57). Takto získame soubor s N hodnotami ATmk a dobře definovane odhady jejich nejistot 5Tmk -Pn En V i=i Vík Ayt dF í=i Vík OF' O), $Tmk En í=l aí \™£n=i Vík (ff)2 (5.60) kde s je smerodatna odchylka jednoho meření. Vyse uvedeny postup s vyhodou pouzijeme tehdy, máme-li k dispozici řadu odhadu okamzi-ku extremu a pak i nejake casove řady pozorování jasnosti a chcete-li toto vse zpracovat nejakou jednotnou technikou, tedy ciste pomocí okamziku extremu. Lze vsak postupovat i jinak a mezikroku urcení okamziku minima ci maxima se vyhnout. 5.4 Přímá periodová analýza V minulosti býla většina peřiodových analýz provedena užitím okamžiků extrému světelné křivký. Historičke časý Tm a nekdý i jejich nejistoty lze najít bud' přímo v literatuře nebo i ve specialních databazích. Hodnoveřnost takových peřiodových analýz je odvisla od spolehlivosti uřcení okamziku extřemu a jejich nejistot. Vetsina publikovaných okamziku extřemu proměnných hvezd býla získýna pomocí notořický zname Kweeový-van Woeřdenový metodý a jejích modifikací. Bohuzel, tato metoda je casto uzívana jako magicka skříěka na libovolný pozořovací data, tedý i přo případý, kdý předpokladý, za nichz býla odvozena, neplatí. Navíc vubec nelze pouzít odhad nejistotý uřcení okamziku extřemu, kteřý poskýtuje - býva totiz opřoti skutecnosti silne podcenen. Rozhodující nedostatek bezneho zpusobu uřcovýní okamziku extřemu vsak tkví v tom, ze nezohlednuje fakt, ze svetelna křivka je peřiodický funkce. Přitom znalost tvařu svetelných křivek odvozený z pozorovým ucinených v minulosti muze zcela zasadním zpusobem zlepsit hodnoveřnost uřcení hodnot Tm. Pak lze okamzik extřemu uřcit metodou fýzoveho posuvu pozořovane svetelne křivký vzhledem k ocekavane, vzořove svetelne křivce, kteřý zajist'uje mnohem spolehlivejsí udaj o okamziku extřemu a jeho nejistote. Bohuzel, tato dlouho znamý metoda se dosud pouzíva jen vzacne. Jak zlepsit spolehlivost peřiodových analýz? Muzeme zdokonalit vstup výse diskuto-vanýe metodý tým, ěze budeme přacovat se spolehlivěejěsými výýchozými pozořovanýými mo-mentý extřemu s výuzitím vzorových svetelných křivek (viz. kapitola 5.3.4). Nebo lepe, muzeme mezikrok s výpoctem okamziku extřemu zřusit uplne. Casový vývoj peřiodý totiz lze sledovat přímo a jeste přitom zpřacovývat pozorovým nejřuznejsího dřuhu! Je zde pouze jedine omezení - k pouzití one nízze popsane metodý je nezbýtne znýt puvodní data, získana pozořovaním. V nekteřých případech ale nejsme schopni puvodní meření dohledat a pak nýam nezbude, neěz se spolehnout na pouze na nespolehlivaý publikovanýa data v podobe okamziku Tm. Postupý pouězývanýe k analýýze dat jsou zaloězený na řigořýozný aplikaci nelineýařný, vahovane metodý nejmensích ctveřcu uzívane nařaz přo vsechna řelevantní data obsahující fazovou infořmaci. Nase technika vubec nevýuzívý O-C diagřam jako mezistupen při zpřacovaní dat. O-C diagřamý se ovsem s výhodou pouzívají přo vizuýlní 5.4. Přímá periodová analýza 123 kontrolu adekvátnosti použitích modelů. Metoda se může úspešne aplikovat jak pro casove sevřene Casove řadý, tak i na pozorování přehlídek oblohý. 5.4.1 Popis metody Předpokládejme, že veskere pozorovane fázové křivky promenne hvezdý lze uspoko-jive popsat jedinou obecnou modelovou funkcí F(ů, b), popsanou zde gb parametry tvořícími tzv. vektor parametru křivký b, kde b = (b\,b j,bgb). Při nasich vápoctech předpokládame, ze tvar vsech fázovách křivek je konstantní a casova promennost je zcela dana fazovou funkcí ů(t,a), jejíz vlastnosti býlý probráný v podkapitole 5.2.2 i pro případ promenne periodý. Budeme předpokladat, ze fazova funkce ů(t, a) bude popsana nejakým vhodným modelem urcenám uspořádanou g«-ticá parametru a = (al, ...,ajaga). Pro realisticke modelovaná fazovách zmen pro data vsech týpu potřebujeme gb volnách parametru pro popis modelove funkce F(ů, b) a ga volných parametru pro popis fazove funkce ů(t, a). Výpocet volnách parametru je iterativní' a to se zakladná podmínkou MNC, ze suma x2(a, b) kvadrátu podálu (Ayi/a,)2 je minimalná, přicemz ai je indi-viduálná nejistota i-teho meřená, zatímco Ayi = yi — F(ůi, b) je rozdá i-teho meřená yi a jeho modelove predpovedi F(ůi). Tedý Ay, = y — F(ůj); x2 = £ 5 Vx2 = 0; (5.61) ^ Ay, dF (ůj, b) ™ Ay, dF (ů,, b) dů(U, a) =Q = a2 dbj 0; ^ a2 důi 3ak 0. Celkem získame g = ga + gb rovnic s g neznamámi volnými parametřý. Sýstem rovnic je nelineárná, coz m.j. znamena, ze parametřý modelu nelze urcit přámo, ale pomocá iteracá. Nejčastěji postupujeme tak, že si funkci F(ů, a, b) linearizujeme tak, že ji nahradíme jejím Taylorovým rozvojem kolem odhadu parametru a a b, ao a bo. Pak platí: dF -> F[ů(t, a), b] ~ F[ů(t, ao), bo] + VbF(ů, b) Ab + — Vaů(í, a) Aa, (5.62) kde Vb a Va jsou označení gradientu skalárních funkcí F(ů, b) a ů(a) podle vektoru a a b. V rovnici (5.62) se místo g parametru a a b objeví nových g parametru Aa a Ab, v nichž ovsem je rovnice pro funkci F (t, Aa, Ab) již linearní a umíme ji tedy resit maticovími metodami linearní regrese. K novemu odhadu hodnot hledaních parametru a a b dojdeme tak, že k predchízejícím odhadum korekci Aa a Ab korekci proste pricteme14, tedy ai = a0 + Aa, b1 = b0 + Ab. S temito novími odhady parametru výpocet znovu a znovu opakujeme až se priblížíme k hodnotam sady parametru, ktere se už v dalsích iteracích nemení (vektory Aa a Ab se blíží k nulovím). Ukazuje se, že mate-li pro vektory parametru a0 a b0 k dispozici dobry pocítecní odhad, konvergují tyto iterace rychle. Bežne potrebujeme pouze nekolik iteracních cyklu, abychom celou iteracní proceduru dokoncili. Nejistoty nalezenych parametru jsou tytež jako nejistoty odpovídajících korekcních clenu Aa a Ab. Podrobnejsí popis cele procedury najdete v kapitole 4.4. 14Ukazuje se, že není zahodno pricítat hned celou korekci, stačí, když korigujeme sadu parametru jen o polovinu vypoctene korekce. Zvísí se tím sice pocet nutních iterací, ale podstatne se tím zvysí stabilita črečsení, kteríe by jinak mohlo i divergovat. 124 Kapitola 5. Analýza časových řad 5.4.2 Virtuální O-C diagram Jakkoli k vlastnímu výpočtu hodnot parametrů modelu O-C diagram nepotrebujeme, bylo by nerozumne zbavovat se jej nadobro. O-C diagram nam totiž muže ýčinne pomoci, a to zejmena ve fazi, kdy se snažíme najít adekvatní modely pro pozorovane zmeny periody. V tomto prípade pouzijeme tzv. virtualní O-C hodnoty pro libovolný podsoubor pozorovacích dat. Navíc muzeme snadno sestrojit diagram ilustrující casove zmeny okamzite periody P (t). 0.02 -0.02 g -0.04 O- ó -0.06 -0.08 -0.1 -0.12 -0.14 ■* + + BS Vul 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 0 Obřýzek 5.3: Virtualní O-C diagram tesne, temer kontaktní zíkrytove dvojhvezdy BS Vul-peculae sestavení pomocí veskerych dostupných pozorovacích dat. Ruzními znaky jsou zde vynesena pozorovíní ruzních typu. Povsimnete si, ze pomerne silne se od strední krivky odchylují vizuílní pozorovaní (+ a x), coz prokazuje subjektivní charakter a tudíz i nespolehlivost tohoto typu informace o svetelnem chovaní zíkrytove dvojhvezdy. Periodova anatyza jasne nasvedcuje tomu, ze perioda soustavy se zkracuje, coz je dusledkem stacionírního pretoku latky smerem od primírní slozky k slozce sekundarní. Soustava se zrejme v blízke budoucnosti stane kontaktní. Blizsí informace v Zhu et al. (2012). Pouzitím reziduí pozorovaních dat vzhledem k predpovedi pozorovaních hodnot Ayj muzeme vytvorit jednotlive fazove posuny vyjídrene ve dnech (O-C)j s individuílní vahou Wj pro kazde pozorovaní. Vahovaní aritmetickí prumer fýzovyčh posunu pak definuje pro libovolne sestavenou dílcí skupinu merení strední hodnotu (O-C)^ nebo odchylku okamzite periody pro danou skupinu merení od okamzite periody predikovane modelem APk (tk) (O-C)j (O-C), (3F Y,T= i (O-C)j Wj Zlí i Wj (5.63) ; APfc = E jí i (O-C)j ůj Wj 5.5. Fenomenologické modely fázových křivek 125 Výpočty (O-C)k a APk následují az po nalezení modelových parametrů; tedy nemají, a ani nemohou mít Žádny vliv na resení modelů. PouZívají se pouze pro vizualizaci resení. Obdobne můZeme vypočítat virtualní 'pozorovane' hodnoty okamzite periody ze skupiny pozorovaní, ktere lze s víhodou pouzít pro vytvarení pusobivích obrízku zmen periody. 5.5 Fenomenologické modely fázových křivek Teořie přoménnosti hvézd se pokouší s vétším Ci menším uspéchem vytvářet tzv. fyzické modely pramenných hvezd. Cílem fyzických modelu je poznát příciny přomennosti á nájít fyzicke vlastnosti přomenných objektu. Pomocí modelu cásto dokážeme docelá veřohodne předpovedet tvářy svetelných křivek. V ástřofyzice je ovsem velice důležitá i obřácený ýlohá, kdy se snážíme z tvářu pozořováných svetelných křivek urcit fyzicke pářámetřy přomenneho objektu. Táto ulohá obcás nemý řesení, pokud dotycný model nezohlednuje veskeře příciny přomennosti, dosti cásto pák nemá jednoznácne řesení, zejmená pokud sámotne pozořování není extřemne přesne. Duvodem je skutecnost, ze nejřuznejsí kombináce pářámetřu dokýzí zhřubá stejne dobře popsát pozořovánou skutecnost. Ják jsme jiz ukýzáli, přo peřiodovou ánálýzu nepotřebujeme znát jáke jsou skutecne fyzicke pářámetřy přomenneho objektu, postácí jen nájít tákový model svetelne křivky, kteřý by pozořovánou řeálitu dostátecne přesne vystihl, á to s nejmensím poctem pářámetřu, přicemz vubec nesejde ná tom, jáke jsou příciny toho, ze oná křivká vyhlízí ták, ják vyhlízí. Cílem tedy není řesit otázku přoc?, ále ják? Zájímý nás nyní jen jevový střánká veci, jde ným o fenomenologický popis skutecnosti, o vytváření tzv. fenomenologických modelů. 5.5.1 Rotující hvezdy s fotometrickými skvrnami Existuje velka skupina rotujících promennych hvezd, ktere mení svoji jasnost, protoze se na jejich povrchu vyskytují rozsahle tzv. 'fotometricke' skvrny, jasnejsí nebo tmavsí nez okolní povrch. Zkusenost ukazuje, ze pokud zrovna neanalyzujete data porízení s presností 0.0003 mag a lepsí, postací k popisu jejich svetelne krivky harmonickí polynom 2. stupne. Doporucujeme pritom pocatek pocítaní fazove funkce ů v okamziku M0 umístit do jednoho z extrému nasledu-jícího modelu svetelne krivky rotující skvrnité hvezdy v urcité barve Fc(ů) = AcWc(ů,bic,b2c) + moc, pricemz (5.64) 3 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 rotational phase c|> 1.2 0 1 Obřýzek 5.4: Fázová křivka světelných změn chemicky pekuliární hvězdy CU Virginis podle pozorování Diany Pyperove provedených ve Stromgrenove středne-pásmovem fotometrickem systemu uvby. Prolozená svetelnách krivek bylo realizováno jako soucet dvou gaussovách krivek s centry kolem faze 0.4 a 0.6 (viz 5.69). Stejne dobreho prolozená bychom dosáhli, pokud bychom svetelne krivky v kazdem z filtru zvlast' prolozili harmonickým polynomem 2. stupne. Problem by ovsem byl s interpretacá takoveho fitu. Poznamenejme, ze i v tak perfektnám materiálu, jakym toto pozorován bezesporu je, se najde nekolik odlehlych bodu. A jeste dulezitou poznamku. Je treba se rozhodnout, ktere parametry vlastne budeme hledat. Kdyz pujdeme po dvojici fázá centra skvrn tp01 a (£>02, pak je treba zafixovat pocatek pocátáná fázove funkce M0. Lze postupovat i tak, ze si pocátek M0 ztotoznáme s centrem jedne z skvrn, dejme tomu s tou prvná. Pak ovsem fixujeme parametr ip01 = 0. Pokud bychom tohoto doporucená nedbali, pak by hledaná parametru modelu nezadrzitelne divergovalo. 5.5.2 Zákrytové dvojhvězdy Vetsina studiá tykajácách se studia zmen obeznych period zákrytovách dvojhvezd je zalozena na technice rozboru O-C diagramu, i kdyz nekolik nejpropracovanejsách programu resená svetelnách krivek jako jsou napr. PHOEBE, FOTEL nebo Wilsonuv-Devineyho program nabázá prámou periodovou analyzu ve smyslu váse nastánene metody. Doporucuji vsem pouzát tyto utility, kdyby uz k nicemu jinemu, tak aspoň k simulovaná svetelne krivky, kterou pak lze pouzát jako vzorovou svetelnou krivku práslusne zákrytove dvojhvezdy. Ovňsem mnohem jednoduňsňsá je pouňzát k jejá reprezentaci fenomenologickyá model svňetelnáe krivky zakrytove dvojhvezdy. Vypracovali jsme soubor modelu svetelnách krivek zakrytovách soustav, kteráy je schopen popsat vňetňsinu pozorovanyách svňetelnyách kňrivek s pouňzitám minimáal-náho poctu volnách parametru. Napr. následujácá fenomenologická model muze byt aplikován 128 Kapitola 5. Analýza časových řad -3-2-10123 Obrýzek 5.5: Obrízek ůkazůje jak odlisne normalizovane typy svetelních krivek \ř(Af/d, C) v okolí stredů zíkrytů nís fenomenologicky model nabízí. Predelova krivka s C = 1 je zvíraznena tůcnejsí caroů. Pro hodnoty parametrů C < 1, ma modelova krivka v nůle skok v derivaci, jinak se vsůde choví mravne. Pomocí modelů lze realisticky modelovat i svetelne krivky se zastavkoů C > 1. Pri srovnaní realnych a modelovych svetelních krivek vyplíva, ze nejvetsí odchylky nachízíme v centrů zakrytů a na vzdílenych krídlech. Pro periodovoů analyzů jsoů zcela rozhodůjící oblasti kolem inflexních bodů, a tam nase modeloví svetelní krivka modelůje skůtecnost velmi dobre. na většinu těsných dvojhvězd s kruhovými drahami (minima ve fázích t£> = 0; 0, 5). Model dobre popisuje vzhled obou minim jasnosti zpUsobených zýkrýtem, vCetně minim se zastavkou, efektý blízkosti slozek (elipticita slozek, efektý odrazu a gravitaCního ztemnení) lze popsat zavedením dalsích fenomenologických clenu. ^1,2(0) = 1 -{1 - exp 1 - cosh^} ; (5.71) Fc(0) = moc + bic ^i(0,Cic,dic)+ b2c V>2(0, C2c, cfec), (5.72) kde 0 = (t - Mo) /P; ^1 = 0 - round(0); ^2 = (0 - 2) - round(0 - 2). (5.73) b1c a b2c jsou hloubký primarního a sekundírního minima v barve c, jsou parametrý popisující sírku zíkrýtu, C^2 výjadruje spicatost minim svetelne krivký behem zakrýtu. V první aproximaci lze krivku minim výjadrit jednoduseji, napr. pomocí Maclaurinova rozvoje 4. radu funkce cosh nebo ^1,2(^1,2) = 1 -j 1 - exp -i(^ j (5.75) 5.5. Fenomenologické modely fázových křivek 129 případně ^1,2(^1,2) = exp 1 - cosh 1 — cosh ( ^i^2 V«1,2 ^1,2(^1,2) = exp ^1,2(^1,2) = exp d1,2 d (5.76) (5.77) (5.78) Obecně to vše platí jen pro určitou vlnovou délku, ale často lze model funkce ^1,2(^1,2) světelné křivky pouzít i pro ruzne filtry. Nestejná teplota zakrývajících se slozek a tím i ruzne hloubky primárních a sekundarních minim v nuzných barvach se dobre vyjadrí nestejnými hloubkami b1c, b2c ve vztahu (5.72). 0 05 T3 +^ 'c O) E > 1.5 0.2 0.4 0.6 orbital phase 0.8 1 0 1 Obřýzek 5.6: Světelně křivky téměř kontaktní zákrytově dvojhvězdy RW Com ve filtrech BVRI. Jě zjěvně, Zě světělně křivky v různých barvách jsou si dosti podobně, tědy i v tom, Zě jasnost dvojhvězdy sě němění jěn při zakřytěch, alě něustaiě. Z toho důvodů jě potřěba zavěst jěstě hařmonickě křivky, jimiz lzě tzv. "přoximity ěffěct" poměřně obstojně řěpřězěntovat. Povsimnětě si, zě výsky maxim jasnosti sě od sěbě lisí, nějvícě v modřě oblasti spěktřa, nějměně v infřaCěřvěněm obořu. Jdě o tzv. O'Conněllův jěv, ktěřy sě nějcastěji vysvětlujě vískytěm těmních fotosfěřickych skvřn. Poměřně výsky obou maxim sě běhěm casu mění. 130 Kapitola 5. Analyza casových rad 5.5.3 Spektroskopická promennost Dalsí dulezitou soucastí komplexní fízové informace, kterou ním proménné hvézdy poskytují, predstavují zmény spektra. Obecné vzato i dosud probírané svetelné zmény jsou zménami spektroskopickími, s tím, ze rozhodující zde jsou variace spojitého spektra. Nicméné, napr. u hvézd se silními spektralními carami a spektralními pasy ci hranami, mohou fotometricky dulezitou roli hrat zmény v intenzite téchto car. Zde zalezí jak na typu hvézdy, tak i na spektralním oboru. Zatímco v optickém oboru lze zmínéné efekty tohoto tzv. 'line blockingu' zpravidla zanedbat, v blízkém a zejména vzdíleném ultrafialovém oboru mohou být zmény intenzit car velmi dulezité a prostrednictvím prerozdelení energie mezi jednotlivymi cístmi spektra mohou zpusobovat zmény írovné spojitého spektra. Tato poznamka se tíka predevsím CP hvézd, ale také i hvézd chladnejsích s molekularními pasy ve spektru. Spektroskopickou promenností se bezne myslí promennost profilu vybraných spek-tralních car, specialne pak nejakych kvantitativních charakteristik zmínene cýry, s nimiz se pak pracuje, jako jsou napr. radialní rychlost príslusne cýry, zmeny centralní intenzity cary nebo její ekvivalentný sírky. Príciny zmen bývají rozlicne, muze jít o zmeny vlastnosti prave privracene casti hvezdne atmosfery, dulezitou roli zde sehrava i hvezdna rotace, ktera v podstate urcuje tvar profilu vetsiny absorpcních car vetsiny promennych hvezd. Ze zmen profilu spektralních car ve vysokodisperzním spektru lze pomocí tzv. Dopplerovy tomografie odvodit napr. rozlození chemických prvku na povrchu hvezd. Tyto techniky patrí k vrcholum v interpretaci spektroskopických zmen a k jejím výsled-kum je dobre se vzdy stavet s urcitou rezervovanosti', výplývajíčí z celeho procesu zpra-covýaný spektroskopickýe informace. Naopak studie zmen radiýlních rychlostí zmerených zpravidla z polohy dobre definovaných car ci vsech car v pozorovanem spektru, jsou vetsinou dosti spolehlive, navíc techniky zmen radiýalnýích rychlosti dozrýavajýí do svýeho zlatýeho veku, protoze se jejich prostrednictvýím jednak urcujýí hmotnosti v hvezdnyých systýemech, jednak se jimi detekuje prítomnost dalsích, zpravidla temných slozek nýsobných systemu tvorených nejen hvezdami, ale i planetami. V prípade, ze nepozorujeme zadne zmeny svetelne, býva spektroskopicka promennosti velmi solidní nahrazkou fotometricke promennosti. Dalsí informaci poskytuje polarizace svetla a její zmeny v razných ýsecích spektra, ktere davají informace o zmenach magnetickeho pole, prípadne alespon jeho konfiguraci vzhledem k pozorovateli. 5.6 Simultánní modelování nestejnorodých zdrojů fázove informace Výhodou príme metody periodove analýzy je, ze dokýze vyuzít a zkombinovat veskere zdroje fazove informace, a to bez ohledu na jejich faktickou odlisnost a rozdílnou kvalitu. Prýve toto modelovým fazove promennosti je její nejdulezitejsí a na výsost kreativní etapou periodove analýzy pomocí príme metody. Vsechny dalsí cýsti se dají zautomatizovat, ale modelovaní promennosti vzdycky zustane ukazkou toho, jak dokýzete vytezit z dat, ktera mate k dispozici, maximum informací, jak dokazete být kritictí, predvídaví a pruzní ve vasem pohledu na daný objekt. A protoze data jsou pokazde jina a jiný je i objekt zkoumýní, nemohou být výpocetní programy nikdy stejne, musí se lisit prípad od prípadu. Nemoznost algoritmizace prace je pak hlavním duvodem, proc prímou metodu 5.7. Hledání period. Periodogramy 131 periodove analázý pouzíva jen zlomek poctu astronomu zabávajících se výzkumem promennách hvezd. Zasadou je, ze se veskerá meření daneho objektu yi, týkající se jednoho objektu zpracovavají simultanne, a ze kdýkoli je mozne do zpracování přidat nová data libo-volneho puvodu. Vtip toho přístupu spoďva v tom, ze pro modelovaná pozorovanách casovách zmen daneho objektu nejruznejsího druhu pouzijeme jedinou specialne sestavenou modelovou funkci F[ů(t, a), b], ktera ale popisuje fázove zmený všech typU pouzitách dat15. Modelovou funkci zádoucích vlastností muzeme výtvořit jako skalární soucin sloup coveho vektoru dílcích modelových funkcí pro i-te meřená s q slozkami: Fi = [Fii, F2i,..., Fki(ů(tj, a), b),..., Fqj]T a vektoru přepínacu n i = [Vn, Vi2,...,VikViq ] se slozkami nabývajících hodnot 0 nebo 1. Prolozená fazová funkce pro i-te meřená v case ti a její gradient podle parametru a a b pak budou dáný vztahem: Fj[ů(tj, a), b] = rjjFi = Ek=i Vik Fki[ů(U, a), b], (5.79) VFj [ů(tj), a), b] = ni V F j = (5.80) kde várazem VFi je mýslena matice q x g, kde g je pocet stupňu volnosti (pocet volnách parametru), V F j = [VFu, ..., VFqj]T. Nejnaároňcnňejňsám uákolem je pňráprava výápoňctu - regrese, tedý výtipováaná vhodnáých dálňcách modelovýách funkcá, jejich matematickáa formulace, kde je tňreba hledňet napňr. i na to, abý se v jejich výjáadňrenánevýskýtovalý lineaárnňe záavisláe parametrý a spráavnňe sestavená matice přepánacu pro kazde z meřená. Ostatná kroký a spustená iterací je uz pak jen vecí rutiný. Vhodnou formulacá modelu promňennosti lze napňráklad v jednom váýpoňctu souňcasnňe zpracovaávat informace skrýtáe v pňrámáem pozorováaná pňrásluňsnáe promňennáe hvňezdý a zpro-středkovane informace dane např. okamziký extremu svetelnách křivek. Jednotlivá „meřená" se zpracovávajá prostředký metodý nejmensách ctvercu ve tvaru se sumou x2. Rozhodující roli zde ovsem hraje nutnost odhadu nejistotý příslusne veliciný, coz lze standardne zvládat pomocí iterací, kde přisuzujeme konkretní nejistotu definovaním skupináam mňeňrená - pozorovaáná od jednoho pozorovatele, nebo tňreba podle metodý po-zorováaná. Zmánňenáe pňrástup maá znaňcnou výáhodu v tom, ňze dokaáňze zpracovat simultaánnňe takřka vse, co mame k dispozici. Dulezite ovsem je, abýchom si takto do nasich kalkulací nezanaseli přílis mnoho odlehlách bodu, s nimiz si samotna metoda nejmensách ctvercu neporadá. V táeto situaci je dobráe sáahnout po nňekteráe z variant robustná regrese, tňreba po táe, co je popsáana v 4.5.1. 5.7 Hledaní period. Periodogramy Hledíním periodickích jevu v casovích radích se zaobíra rada vedních disciplín. Tam se zpravidla darí získívat souvisle pozorovací rady s konstantním rozestupem po sobe nasledujících merení. V takovych prípadech se s velkou vyhodou k rozboram periodicity využíva klasicke 15Tak treba pro jistou nejmenovanou promennou hvezdu mame k dispozici fotometrii UBV od dvou raznych pozorovatelu, dale pozorovíní v CCD v R a I, dale krivku radialních rychlostí a treba magnet-ickeho pole. Vsechny fízove krivky se vzajemne lisí, ale tykají se jednoho objektu, byt' pozorovaneho v raznou dobu. 132 Kápitolá 5. Anályzá cásových řád Fourierovy analízy. V prípade studia hvezd se s podobnou situací prakticky nesetkame, proto o ní ani nebudeme mluvit. V ástřonomickíe liteřátuře nájdeme celou řádu mátemátickíych, zpřávidlá pocíítácovyích metod k hledíáníí peřiodicity, á novíe se stáíle objevujíí. Jsou vsák vzdy obmenou dvou zákládních principu, pomocí nichz lze v dátech s nepřávidelným cásovym řozlozením hledát: 1. Metody, kteře přo kázdou zkusmou peřiodu setřídí dátá do fýzoveho diágřámu á v jednotlivých málych fýzových inteřválech (binech) pák zkoumájí mířu řozptylu bodu. Zá nejlepsí se povázuje tá peřiodá, přo níz je řozptyl ve vsech fázích inteř-válu minimální. Tyto metody minimalizace fézoveho rozptylu májí tu výhodu, ze o tvářu svetelne křivky se toho předpokládý velice málo, á jsou tedy vhodne přo situáci, kdy o dotycne přomenne hvezde nevíme přákticky nic. 2. Metody, kteře předem předpokládájí uřcitý tvář svetelne křivky, zpřávidlá ve fořme jejího modelu, á pák hledájí tákovou peřiodu, přo níz je shodá modelove funkce s pozořovánými dáty nejlepsí. Oná shodá se hledá nejcásteji řegřesními meto-dámi zálozenými ná metode nejmensích ctveřcu. Výhodou tohoto přístupu je, ze dostáneme křome odhádu peřiody i odhád nejistoty jejího uřcení, jákoz i mátem-átický popis tvářu přolozene křivky zmen, coz se muze přo dálsí zpřácovýní hodit. Musíme se vsák střefit do tvářu svetelne křivky. Kdybychom třebá přo zýkřytovou dvojhvezdu předpokládáli svetelnou křivku ve tvářu sinusovky, coz je jinák docelá bezny předpoklád, ási bychom se k řeálne obezne peřiode ták snádno nepřopřáco-váli. Dopořucený postup je tedy jásný: nejprve pouzít nekteřou z vářiánt metody minimáli-záce fázoveho řozptylu, nájít peřiodu, ze tvářu svetelne křivky odhádnout typ přomenne hvezdy á přo model její svetelne křivky upřesnit nálezenou peřiodu á zjistit dálsí chářák-teřistiky svetelne křivky á získát předpoveď svetelneho chovýní hvezdy. Při hledání peřiody zcelá neznáme přomenne hvezdy metodou minimálizáce fázoveho řozptylu je nezbytne zádát minimální á máximýlní předpokládánou peřiodu zmen. Zde se nejcásteji kláde zá nejdelsí moznou peřiodu delká cele cásove řády, zá minimýlní pák minimální cásová vzdílenost mezi po sobe nýsledujícími meřeními. Stezejní ovsem je spřývná volbá křoku přohledávání, s nímz meníme zkusmou peřiodu. Pokud bychom zvolili ten křok přílis velký, mohlo by se stít, ze bychom spřývnou peřiodu mohli přeskocit. Ná drahou střánu nemý smysl volit tento křok přílis křátký, nebot' bychom si ták zbytecne přodluzováli celý výpocet. Pokud ocekáváme sinusoidální svetelnou křivku, pák stáď volit ták velký křok, ze se řozdíl fází ná zácítku á ná konci cásove řády zmeníí příáve o desetinu peřiody. Je zřejmíe, ze zá techto okolnostíí je řozumníe od pe-řiod přejít ke frekvencím, kde přohledívácí křok je lineýřní. Je-li T delká cásove řády á A t/ pozádováný křok ve fázi (v přípáde sinusovky 0.1), pák křok přo přohledávání ve frekvencích je A f = A

4> = 0.744 # - Q.994 Obřazek 6.7: Nahore vlevo: Zmena rozlození obsahu kremíku na disku hvezdy HD 37776 pro ruzne rotacní fíze podle Khokhlova et al. (2000). Kolem faze 0 je abundance kremíku nejvetsí. Nahore vpravo: Srovnaní predpovezeních svetelnych zmen HD 37776 spoctenych podle povr-choveho rozlození kremíku a helia (viz Khokhlova et al. 2000) a pozorovaných svetelních krivek v barvích uvby Stromgrenova fotomoetrickeho systemu (Adelman & Pyper 1985, Adelman 1997b). Dole: vypoctene toky zarení z atmosfery HD 37776 s ruznym zastoupením kremíku. Skvrny s vetsím zastoupením kremíku jsou v uvby jasnejsí nez oblasti s malou abundancí kremíku. Prevzato z Krticka et al. (2010). takoveto chemicke sepařaci dochízí. Teořii jeste zbíva výsvetlit nekteře detailý, např. jak je řole hvezdneho vetřů při vzniků chemicke pekůliařitý hvezd třídý CP6 nebo z jakeho důvodů dochazí ke vzniků spektřoskopickích skvřn. Jak jiz býlo řeceno, magneticke chemický pekůliařní hvezdý jsoů hvezdý přomenne, mení se s peřiodoů rotace ve sve jasnosti, spektřů i magnetickem poli. Vse lze výsvetlit konceptem tůhe řotůjící hvezdý s peřsistentními spektřoskopickími a fotometřickými 152 Kapitola 6. Promňennost periodicky promňennyích hvňezd skvrnami a globíalníím magnetickyím polem vmraňzenyím do plazmatů hvňezdy, s níímňz jako první prisli Stibbs (1950) a Deůtsch (1958). Spektroskopický promennost, pri níz se mení profil jednotlivých spektrýlních car, byla odhalena az spektroskopií s vysokym rozlisením. Z profilů spektrýlních car lze odvodit nejen průmernoů abůndanci jednotlivých chemickych prvků, ale i jejich rozlození po hvezde, a to pomocí tzv. Dopplerovy tomografie. Z analýz vyplyva mj. i to ze zejmena ty prvky, jeňz jsoů v pňrebytků, jsoů po hvňezdňe rozloňzeny krajnňe nerovnomňernňe - jejich zastoůpení se zde můze lisit az o 2 rýdy. Fotometrickía promňennost byla objevena aňz po spektroskopickíe, a to proto, ňze ampli-tůdy svňetelnyích zmňen jsoů takňrka vňzdy menňsíí neňz dvňe desetiny magnitůdy, typicky setiny magnitůdy. Analýza svetelných zmen je proto docela narocnoů disciplínoů, detailneji je popsína v podkapitole 5.5.1. Krticka et al. (2010) ůkazali, ze prícinoů vzniků fotomet-ricky kontrastních skvrn je nejspís prerozdelení energie ve spektrů způsobene zesílenoů absorpcí ve spektralních carach nebo pýsech volne-vazaných prechodů chemickych prvků, kteríe jsoů v daníe spektroskopickíe skvrnňe v pňrebytků. 6.1.3 Magneticke pole (Ne)pňríítomnost magnetickíeho pole a pňríípadnňe jeho podoba a intenzita hraje velmi důlezitoů roli ve vývoji hvezd. U rotůjících promennych hvezd býva prícinoů osove asymetrie pňrítomnost silníeho magnetickíeho pole. Je-li magnetickíe pole zhrůba dipíolovíe, můsí jeňstňe platit, ňze osa tohoto dipoílů nesmí soůhlasit osoů rotaňcní, coňz je vňsak vňetňsinoů splnňeno. Pozorovaníe zmňeny jsoů pňrísnňe periodickíe, perioda odpovídía rotaňcní periodňe objektů. Ta byva velmi rozmanití: od 10-4 s ů tech nejrychlejsích pulsaru az po nekolik let ů zvlíst' pomalů rotůjících chemicky pekůliarních hvezd. V promenných hvezdach bychom mohli vymezit vliv magnetickíeho pole zejmíena na: • magneticke chemicky pekůliarní hvezdy, • hvezdy typů a2 Canům Venaticorům, • půlsary. 6.1.3.1 Pulsary Pňrestoňze samotníe slovo pulsar vzniklo z anglickyích slov půlse" a star" , nejednaí se o půlzůjící hvezdů. Zdrojem půlsů je velmi rychle rotůjící neůtronový hvezda vysílající do prostorů zejmíena raídiovíe zaíňrení v ůízkíem kůňzelů. Jakmile se pozorovatel ocitne ve smňerů kůňzelů pozorůje kraítkyí, intenzivní zaíblesk (tzv. majíakovíy model). Doba mezi zíablesky tak odpovídaí periodňe rotace hvňezdy. Půlsar je tedy rotůjící promňennaí hvňezda. Půlsary byly objeveny nahodoů pri prehlídce extragalaktických radiových zdrojů na frekvenci 81 MHz. Pri vyhodnocovaní zaznamů si zvlastních periodických signalů povsimla Jocellyn Bellový (dnes Bůrnellový). Spolů s tehdejsím skolitelem a dalsími kolegy pak půblikovali objevový clanek (Hewish et al., 1968)4. Půlsary byly nejdríve 4Antony Hewish obdrzel v roce 1974 se Sirem Martinem Rylem Nobelovů cenů za fyziků za průkopnicky vyzkům v oblasti radiove astrofyziky, predevsím za rozhodůjící ílohů pri objevů půlsarů. Jocelyn Bellova prisla zkrítka. 6.1. Rotůjící přomenne hvezdý 153 znacený podle zkřatký obseřvatoře, kde býlý objevený, a řektascenze (například Cambridge půlsař CP1919). Pozdeji se zacala poůzívat zkřatka PSR (Půlsating Soůřce of Radio) a soůřadnice PSR0531+21, dnes PSR B1919+21, řesp. PSR J1921+2153. 5.0 103 4.0 103 3.0 103 m E— Z 8 2.0 103 1.0 103 0.0 0 2000 4000 6000 8000 1000C WINDOWS Obřízek 6.8: Svetelní krivka pulsaru v Krabí mlhovine s casovím rozlišením 3/xs ve filtrech U+B+V+R, B, R, U (odshora dolu). Prevzato z Komarova et al. (1996). t i i | i i i | i i i | i i i | i i r b_i_i_i_I_i_i_i_I_i_i_i_I_i_i_i_I_i_i_i_d V soůcasnosti zníme přes dva tisíce půlsařů5 s periodami od 1.4 ms do 8.5 s. Vetsina z nich zaří zejmena v řadiove oblasti, ale nekolik i ve viditelnem svetle. Přo vsechný půlsařý je týpicke extřemne silne magneticke pole dosahůjící az 1010 T, řesp. 1011 T ů magnetařů. Nicmene zdřoje eneřgie se lisí. Podle nich řozlisůjeme v přincipů tři dřůhý půlsařů. • Půlsařý dotovane z řotacní eneřgie, výzařůjící v důsledků ztřatý řotacní eneřgie hvezdý. • Půlsařý pohínene přířůstkem hmotý (to platí přo vetsinů, ale ne vsechný řentgenove půlsařý), kdý je zdřojem eneřgie akřece. • Magnetařý, jejichz zdřojem eneřgie je řozklad extřemne silneho magnetickeho pole. Rotacní eneřgii půlsařů můzeme výjadřit vztahem Erot =2 I =2^, (6.1) kde O je ůhloví řýchlost, P peřioda a I moment setřvacnosti. Peřioda půlsů se casem přodlůzůje, řotace půlsařů zpomalůje, takze platí dP P = dp> 0. (6.2) Dosazením vztahů (6.1) a ípřavoů dostaneme zavislost zmený eneřgie řotace na peřiode a zmene peřiodý dErot -4 n 2 IP _-dr = ^P^~. (6.3) 5Pro aktualní pocet znamích pulsaru navstivte jejich katalog na http://www.atnf.csiro.au/ people/pulsar/psrcat/. 154 Kapitola 6. Promennost periodický pramenných hvezd Obrazek 6.9: Zavislost dekadickeho logaritmu zmeny periody na periode pulsaru je ekvivalentem HR diagramu pro pulsary. Na diagramu jsou vyznaceny vsechny zname pulsary v nasí Galaxii. Pomocí pozorovane periody pulsu a jejich zmeny muzeme odhadnout radu parametru jako vek pulsaru, sílu magnetickeho pole b a zmenu rotacní energie eE. Mlade pulsary jsou v levem horním rohu a postupne se s vekem presouvají v diagramu dolu a doprava az zhruba po 1010 let zeslabne magneticke pole natolik, ze pulsar prestane vysílat a skoncí na „hrbitove". Zajímave je zjistení, ze temer vsechny pulsary s kratkou periodou jsou soucastí binarního systíemu. Pro nejznamejsý pulsar v srdci Krabý mlhoviný z toho napřýklad výplýva, ze jeho rotačný energie se mený rýchlostí -4 • 1031 J/s. Porovnaným vztahu (6.3) s mnozstvým výzařene energie podle Larmorova vztahu muzeme odvodit jak minimalný intenzitu magnetickeho pole na povrchu pulsaru, tak i tzv. charakteristický vek pulsaru T = P 2P (6.4) Charakteristický vek pulsaru nezavisý ani na velikosti pulsaru R, momentu setrvačnosti I nebo sklonu a intenzite magnetickeho pole B sin a. Vztah platí, pokud je počatečný perioda pulsu mnohem mens! nez současna (P0 90° — a, kde Ri + R2 sin a =-. r Pro nase dalsí ývahy vezmeme ideýlní prípad i = 90°, coz znamena, ze v teto soustave bude dochazet k tzv. centrýlním zakrytum. Pro nase ývahy zvolíme vetsí z hvezd o polomeru R1 za centralní teleso (na volbe nezýlezí)8 a druha mensí bude kolem ní stýlou rychlostí obíhat tak, ze její stred opíse kolem stredu centrýlní slozky kruznici za dobu obehu P. Prechod (tránsit) Pozorujeme-li soustavu z velke vzdalenosti, vidíme, ze k prvnímu kontaktu prechazejí-cího telesa s telesem v pozadí dojde ve chvíli, kdy spojnice ke stredu druhe slozky bude se smerem k pozorovateli svírat uhel a1 (viz obrazek 6.13), pricemz platí sin a1 =- pro male uhly a1 ~-. (6.9) Pokud jde o prechod mensího telesa pres vetsí, pak budeme sledovat, jak se pred kotouc vetsí slozky predsune mensí kotouc, který bude systematicky ukusovat stale vetsí cýst disku hvezdy v pozadí. Behem teto faze castecneho zakrytu jasnost soustavy takrka linearne klesý v dusledku skutecnosti, ze vyzarující plocha zakrývane hvezdy se zmensuje. Ve svetelne krivce vidíme pokles, nazývaný sestupna vetev minima jasnosti. Rychlý pokles se zastaví v momentu tzv. druheho kontaktu, kdy se na disku centrýlní hvezdy zobrazí celý kotouc mensí slozky. V tom okamziku bude spojnice ke stredu druhe slozky se smerem k pozorovateli svírat uhel a2, pricemz platí sin a2 = —1-R2 pro male ýhly a2 ~ —1-R2. (6.10) 8To, že na volbě nezáleží, je ale i často příčinou jisté libovůle a tak se můžeme setkat v různých publikacích s tím, že jsou jako primarní definovaný různe složky! Nekdy je to hmotnejSí, nekdy jasnejSí složka, nekdy ta, ktera je ve faži 0 blíže požorovateli. 160 Kapitola 6. Proměnnost periodicky proměnných hvězd primárni minimum t2 tg čas Obrázek 6.14: Vznik svetelne křivky zákrytové dvojhvězdy. t1 až t4 označují okamžiky tzv. prvého, druhého, třetího a čtvrtého kontaktu. Nyní bude kotouC menší složky putovat az do centra kotouCe větší složky, kdy nastane stred zýkrytu. Vzhledem k tomu, že naprosta vetšina hvezd jeví nezanedbatelne okrajove ztemnení, bude v teto fazi jasnost hvezdy mírne klesat. Na svetelne krivce pozorujeme melke dno - v promenarskem zargonu se praví, hvezda je v tzv. „zastívce". Po průchodu centrem cely ukaz symetricky pokracuje. Kdyz se okraj druhe slozky zevnitr dotkne okraje hvezdy v pozadí nastíva tzv. tretí kontakt, po nemz se zacne zmensovat podíl zakrívane plochy a to az do momentu ctvrteho kontaktu, kterí ukoncuje vzestupnou vetev svetelne krivky a celí zakryt. V prípade, ze lze pristoupit na aproximaci sin a = a, delka doby mezi prvním a ctvrtym kontaktem, ccili období snízene jasnosti soustavy (doby tzv. minima jasnosti), oznacovaní zpravidla symbolem D, je dana vztahem D = 2a1 = Rl + R2 (611) Pro trvaní zastavky d v minimu jasnosti dostívame obdobne: d 2 ao Ri — R2 — =-- = —--. (6.12) Pokud jsme schopni ze svetelne krivky odhadnout trvíní obou fazí, dostaneme tak odhad relativních rozmera obou slozek: Ri n D + d R- n D - d . . V =2^; V =2^. (6.13) Budeme-li mít navíc k dispozici i krivku radialních rychlostí obou slozek, pak z ní snadno vycteme tez obeznou rychlost a tím i absolutní polomer trajektorie. Pomocí nej vypoďtame absolutní rozmery slozek. Upozornuji, ze jsme k tomu vsemu nepotrebovali zníat vzdíalenost soustavy. 6.2. Dvojhvezdý 161 Zákryt (okultace) Přesne po půl peřiode dojde k opacne sitůaci, v popředí bůde centřílní teleso a za nej se bůde postůpne ůkřívat teleso mensí. Po přvním kontaktů se cast kotoůce mensí hvezdý skřýje za nepřůhledním kotoůcem centřalní hvezdý. Jasnost soůstavý bůde postůpne klesat a to az do okamziků dřůheho kontaktů, kdý kotoůc dřůhe hvezdý zmizí nadobřo. Od te chvíle zůstíva jasnost soůstavý konstantní az do chvíle třetího kontaktů, kdý se na opacne střane centřalní hvezdý objeví cast kotoůce zakřívane hvezdý. Ta se nakonec výnoří cela, přicemz obe slozký se od sebe oddelí v okamziků tzv. ctvřteho kontaktů. V hlavníích řýsech je vzhled svetelníe křivký obdobníý jako v příípade přechodů (třan-sitů), jen s tíím řozdíílem, ze v zastíavce svetelníe křivký se jasnost sýstíemů nemeníí. Pokůd nejsoů slozký zíakřýtovíe dvojhvezdý identickíe, pozořůjeme řozdíílý v hloůbce oboů minim (třansit a okůltace). Hlůbsímů z nich říkíme přimařní minimům, dřůhemů pak minimům sekůndařní. Pokůd je efektivní teplota mensí slozký nizsí nez teplota slozký vetsí, pak při třansitů nastíví hlůbsí minimům nez při okůltaci. Pokůd je tomů naopak, odpovída přimířní minimům zakřýtů mensího telesa. Jestlize dochazí k ůplnemů zakřýtů, je mozne dokonce ůřcit pomeř teplot slozek dvojhvezdý dle vztahů Bo — Bp Bo — B s , (6.14) kde B0, Bp, Bs jsoů bolometřicke jasnosti v maximů, přimířním a sekůndařním minimů a T1 a T2 teplotý vetsí a mensí slozký. V astrofyzikílní praxi se bezne setkívame s obema prípady. Jsou-li slozky dvojhvezdý hvezdami hlavní posloupnosti, pak platí, ze hmotnejsí slozka je vetsí a teplejsí nez slozka mene hmotna. Vezmeme si hypotetickí príklad zakrytu dvou hvezd: F0 V (R1 = 1, 6R©, Tef = 7200 K) a F5 V (R2 = 1, 4R©, Tef = 6400 K). Zanedbíme-li vliv okrajoveho ztemnení, zvísí se pri centralním transitu bolometrickí hvezdna velikost o 0,78 mag, pri zakrytu vzroste jen o 0,43 mag. Jine je to s tzv. algolidami typu II, kde rozmerove vetsí z obou hvezd je podobr, jenz je ale chladnejsí a mene hmotní nez druha slozka, ktera bíva hvezdou hlavní posloupnosti. Zvolme si modelovy príklad: centrální hvezdou bude podobr o polomeru R1 = 5R©, Tef = 4500 K a druhou slozkou hvezda hlavní posloupnosti A0 V (R2 = 2, 7R©, Tef = 9250 K). Transit se projeví nepatrním zeslabením o 0,05 mag, ale pri zakrytu, kdy primírní slozka zcela zmizí, vzroste bolometricka hvezdna velikost o 1,99 mag! Je tedy zrejme, ze algolidy typu II jsou pozorovatelsky napadnejsí, nez soustavy, kde jsou obe slozky hvezdami hlavní posloupnosti (algolidy typu I). Pokůd nejsoů splnený víse ůvedene podmínký (kůlove hvezdý, křůhove třajektořie, i = 90°) setkavame se s komplikovanejsími svetelnými křivkami, kteře se v nekteřých ohledech od naseho idealizovaneho případů lisí. Pro porídek uved'me, ze: • Pri nenulove excentricite obecne nebyví sekundírní minimum umísteno presne ve fízi 0,5. Vyjimku tvorí situace, kdy je prímka apsid kolineírní se smerem k pozorovateli. Na svetelne krivce se to ale stejne pozna tak, ze pozorovaní zeslabení mají ruzní trvíní. • Pri sklonu i = 90° muze jít i v absolutním minimu jen o cístecní zakryt, kdy nenastíva v minimu zastavka (d = 0). Z tvaru svetelne krivky lze na velikost sklonu i usoudit. 162 Kapitola 6. Proměnnost periodicky proměnných hvězd • V případě těsných dvojhvězd tvořících krátkoperiodickou soustavu, jsou jejich složky výrazně slapově deformovány. Během oběhu se mění jejich natocení vuci pozorovateli, a tím i jejich prumět. Proto se jasnost soustavy mění i mezi zakryty. • Hvězdy se vzájemně osvětlují - ne prílis prilěhavě se tento efekt, ktery deformuje a komplikuje pozorovaně světelně krivky, oznacuje jako efekt odrazu. • Světelnou krivku muze deformovat tzv. t ret í světlo v soustavě, kterě Hrůze bít zpusobeno zarením z dalsí hvězdy v soustavě nebo u těsních soustav prítomností plynněho proudu mezi slozkami, akrecního disku kolem jedně ze slozek. Významným deformacním prvkem jsou takě skvrny na povrchu slozek ci akrecního disku. Toto jsou ty nejdůležitější okolnosti, kterě formují světelnou krivku. Lze najít samozřejmě i dalsí efekty ovlivňující podobu světelně krivky zákrytových proměnných hvězd, vesměs ale jde o jemnější efekty druhého řádu. i—i—i—■—i—■- _i_i_i_i_i_i_i_ 0.0 0.1 0,2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.3 0.« 1.0 Plnit Obrazek 6.15: Změny radialních rychlostí hmotnostně jen malo odlisních slozek A a B dvojhvězdy AR Aur s kruhovími trajektoriemi. Tmavě jsou vyznacena měrení pro primarní slozku, světle pro sekundírní, tvar symbolu odlisuje zdroj pozorovaní. Čary ukazují prolozeně krivky radiílních rychlostí - plna pro primarní slozku, carkovana pro sekundírní. Zdroj: Folsom et al. (2010). 6.2.3 Křivky radiálních rychlostí Kromě fotometrických pozorovaní a tedy světelných krivek jsou dulezitím zdrojem informací pňri studiu zaíkrytovíych promňennyích hvňezd i pozorovaíní spektroskopickaí, zejmíena pak krivky radialních rychlostí (viz obr. 6.15). Pomocí nich muzeme urcit zejměna poměr hmotností q slozek dvojhvězdy. Da se totiz ukízat, ze platí q = — = — = 17- , (6.15) mi a2 K2 kde m1, m2 jsou hmotnosti slozek, a^, a2 jejich vzdalenosti od tězistě soustavy a K1,K2 amplitudy9 krivek radialních rychlostí slozek dvojhvězdy. Podoba krivky radialních rychlostí silně zavisí na trajektorii slozek dvojhvězdy, její excentricite a orientaci vuci pozorovateli (viz obr. 6.16). 9 Hodnota K odpovída polovině rozsahu hodnot řadiýlních rychlostí daně slozky dvojhvězdy, proto se někdy oznacuje jako semiamplutuda krivky radialních rychlostí. 6.2. Dvojhvezdy 163 Obřázek 6.16: Orbitalná trajektorie (vlevo) a krivky radialnách rychlostá (vpravo) pro hvezdy o hmotnostech m1 = 1 M0a m2 = 2 M0s obeznou dobou P = 30 dná. Radiálná rychlost teziste soustavy vtěžíště = 42 km/s. v1;v2 jsou radiálná rychlosti slozek. V obou prápadech je inklinace i = 90°. Nahore je situace s kruhovou trajektom, dole s excentricitou e = 0, 4 a delkou periastra uu = 45°. Prevzato z Carroll & Ostlie (2007) a upraveno. Pokud jsou ve spektřech meřitelne spektřální cířy obou slozek dvojhvezdy, získáme ámplitudy K1 , K2 á lze přímo uřcit přojekci poloos třájektořií slozek ai,2 sin i = —2^—Ki,2 P, (6.16) kde P je obezná peřiodá slozek á i inklináce (sklon) á e excentřicitá třájektořie. Dosázením třetího Kepleřová zákoná á ípřávámi dostáneme vztáh přo minimální hmotnosti slozek dvojhvezdy mi,2 sin3 i = (1- er]2 (Ki + K2) K2,i P. (6.17) Tento vztáh díví skutecne hmotnosti slozek dvojhvezdy jen přo i = 90°, přo všechny ostátní inklináce jde o dolní mez hmotnosti kázde slozky. Pokud je ve spektřu meřitelná jen jedná slozká dvojhvezdy dostáneme po ípřávích tzv. hmotnostní funkci „. . m3 sin3 i . . f (m) = ^--. (6.18) (mi + m2)2 Přo zpřácovíní špektřOškopických pozořování se vyuzívá řády metod od přímeho (řucníího) přomeřovíáníí poloh jednotlivyích cář, přes metody křoskořeláce, řozsiřovácíí funkce (břoádening function) áz po metody řozplíetíáníí (disentángling) spekteř (viz obř. 6.17) nebo doppleřovskou tomogřáfii. Je třebá si ále uvedomit, ze nápříklád vísledkem disentánglingu jsou příímo pářámetřy systíemu. Přimíářníím vyísledkem jsou zde spektřá spektřá jednotlivích slozek dvojhvezdy á pářámetřy systemu. Rádiální řychlosti zde uz vlástne nejsou zápotřebíí, ále lze je sámozřejme přo okámziky poříízeníí spekteř spocíítát. 164 Kapitola 6. Promennost periodický promennýích hvezd Obrazek 6.17: Ukazka metody rozpletíní spekter pro system AR Aur. Body vyznacují po-zorovíaní a ňcíara ukazují nejlíepe odpovídající spektrum. Vyíslednía rozmotanía spektra sloňzek A a B jsou vykreslena ve spodní casti obrazku. Detaily viz Folsom et al. (2010). 6.2.4 Tesne interagující dvojhvezdy U tesných dvojhvezdnách páru dochazí ke vzajemne interakci slozek sýstemu. Muze jít jak o „pusobení na dálku", tak i bezprostřední kontakt obou slozek s vámenou hmotý. Anizotropie zaření vzhledem k ose orbitalního pohýbu muze být v tesných sýstemech zpusobena slapovou deformaci sloZek, kdý komponentý nabávají kapkovitá tvar (viz kapitola 6.2.1). Jak se soustava otací, mení se jejich prurezý kolme na smer k pozorovateli a tím i pozorovanaí jasnost. Dalňsím momentem je zde fakt, ňze jas slapovňe deformovaníých hvňezd není vňsude stejnýí, menňsí je v oblastech s menňsím gravitaňcním zrýchlením. U tesnách zakřýtovách dvojhvezd to pak znamená, ze se v dusledku slapove deformace sloňzek jasnost soustavý mňení i mezi zaíkrýtý. Jinám efektem, která u tesnách soustav hraje dulezitou roli, je tzv. efekt odrazu, výjadňrující fakt, ňze se hvňezdý navzíajem osvňetlují. Toto zíaňrení se ve fotosfíeríach jejich ko-legýn dílem rozptýlí a výzaří do prostoru, dílem se absorbuje a slouzí k nahřatí svrchních vrstev teto hvezdý. V kazdem případe to vede ke skutecnosti, ze jas k sobe přivraceních castí hvezd je vetsí, nez jas castí odvraceních. Při obehu nám pak hvezdý natácejí ruzne caísti svýích fotosfíer, coz se projevíí periodickíým kolíísíaníím jasnosti soustavý. Zvlíaňstňe víyznamníy je efekt odrazu v takovíych soustavíach, kde jednu sloňzku tvoňrí normaílní hvezda a druhou je zhroucení složka, ktera v dusledku akrece latky pochazející z normílní sloňzky vyzaňruje do prostoru mocníe rentgenovíe zíaňrení. To se v povrchovyích vrstvíach druhíe komponenty zachytí a nahreje její fotosferu až o 1000 kelvinu. Vzhledem k tomu, že se rentgenova sloňzka v optickíem oboru neprojevuje a je velice malía, takňze ani nic nezakryje, pozorujeme jen svetelne projevy natacení normalní složky. Jde tedy vlastne o sveraznou rotující promennou hvňezdu s nestejníymi polokoulemi. V tesníých dvojhvezdíach casto dochíazíí k výímene líatký mezi slozkami, v soustave po- 6.2. Dvojhvezdy 165 zorujeme plynné proudy, akrecnl disky, horké skvrny. Tato latka a utvary v ní se projevují i vlastním zarení nebo absorpcí zarení slozek dvojhvezdy. Behem obehu se konfigurace teto latky mení, mení se i svetelny príspevek latky mezi slozkami. Interpretace techto svetelních zmen je nesnadna, protoze je obtízne sestrojit dobre fyzikílne fungující modely zohlednující vsechny dulezite procesy probíhající v soustavích s masivním pretokem lítky.10 Nektere tesne, interagující systemy bívají vycleneny do zvlastních skupin. Jako kataklyzmické dvojhvězdy se oznacují soustavy obsahující normalní hvezdu hlavní posloupnosti, kterí ztrací hmotu a predíva ji akrecí bílemu trpaslíkovi. Jsou zpravidla velmi malych rozmeru, typicky srovnatelne velikostí se soustavou Zeme - Mesíc, coz vede ke obezním dobím od 1 do 10 hodin. Projevují se zejmena v rentgenovske casti spektra. Patrí sem napríklad novy, trpaslicí novy, polary. Dalsí skupinu tzv. symbiotickéch dvojhvězd tvorí dlouhoperiodicke interagující dvojhvezdy, jejichz jednu slozku tvorí vyvinutí cervení obr, zpravidla spektralního typu M III, kterí prenísí hmotu na sveho horkeho a kompaktního pruvodce, nejcasteji bíleho trpaslíka. Prenos hmoty se v naproste vetsine prípadu uskutecňuje intenzivním hvezdním vetrem vyvinute slozky. Horkí trpaslík pak tento hvezdní vítr obra ionizuje a kolem soustavy vznika symbioticka mlhovina o teplotach 7000 K az 15 000 K, kterí se projevuje jako tretí komponenta slozeneho spektra dvojhvezdy. Symbioticke hvezdy se mení nepravidelnňe aňz o 4 mag na ňcasovyích ňskíalíach stovek dní. 10V případě horkých interagujících dvojhvězd, projevujících se jako hvězdy se závojem, nalezli Kříž & Harmanec (1975) dUkazy o zákrytech hvezd plynným proudem mezi složkami. 166 Kapitola 6. Přomňennost peřiodický přomňennýích hvňezd Obřazek 6.19: U, B, V, I svetelne krivky CI Cygni. Na horním panelu jsou nejnýpadnejsí hluboke zýkryty a velký výbuch, ktery zacal v roce 1975. Behem výbuchu a krýtce po nem byly zakryty ýzke, dobre definovane s jasnymi casy kontaktu, zatímco v klidovem stavu se vyskytují velmi siroka minima a takrka plynulí sinusoidalní zmena (levy dolní panel). Elip-soidaílníí promennost cerveníeho obra je viditelnía pouze v klidovíem stavu a na vizuíalníích nebo infračervenýčh krivkach (malý hrb poblíz fýze 0,5 v pravem dolním panelu). Prevzato z Miko-lajewska (2001). 6.2.5 Význam vázkumu zakrytovách dvojhvezd Výuzitím vsech dostupných moderních metod přo studium dvojhvezd muzeme uřcovat pařametřý slozek dvojhvezdných sýsterrrů s řelativne výsokou přesností, s chýbou mensí nez 1 %, coz je i limit přesnosti přo testovýní vívojovích modelu (Andeřsen, 1991). Analízou svetelne křivký lze, jak víme uřcit řadu pařametřu, zejmena inklinaci i, řela-tivní řozmeřý slozek R1, R2 a řelativní zařive výkoný slozek vzhledem k celkove svítivosti soustavý. Zmený polohý sekundařního minima na svetelne křivce výpovídají o excen-třicite obezne třajektořie. Z pomeřu hloubek minim lze usuzovat na pomeř povrchových teplot slozek. Pomeřý mezi jasnostmi v minimu a mimo zakřýt v řuzních obořech spek-třa výpovídají o hodnotach mezihvezdne extinkce. Při řozbořu přesních fotometrických požOřovýní pak lze odhalit i přojevý efektu dřuheho řadu jako koeficientý okřajových ztemnňeníí sloňzek, tedý řozloňzeníí jasu na discíích hvňezd, efektý odřazu, pňříítomnost skvřn na povřchu sloňzek a podobnňe. Pňřipojííme-li k fotometřickýím mňeňřeníím i řozboř spekteř lze s pomocíí kňřivký řadiíalníích 6.2. Dvojhvňezdy 167 rychlostí odvodit linearní vzdalenost slozek a tak i absolutní rozmery slozek. Zejmena ale muzeme urcit hmotnosti slozek dvojhvezdy, s presností, jakou nam jine metody nedívají. Dvojhvezdy v tomto hrají zcela dominantní a nezastupitelnou roli a udaje z jejich výzkumu jsou tak zasadní pro celou astrofyziku. Fotometricka i spektroskopicka pozorovýní navíc prinasejí i informaci o efektivních teplotých slozek. Nasledne tak lze stanovit i zarive výkony hvezd a jejich absolutní bolometricke hvezdne velikosti. Z nich a z pozorovaných hvezdných velikostí je pak mozne odvodit i vzdalenost soustavy. Je dulezite si uvedomit, ze takto urcene vzdalenosti jsou velmi presne a zejmena nezavisle na jiných technikach a slouzí tak jako opora pro jine metody urcení vzdaleností i pro skalu efektivních teplot vsech hvezd. Od konce minuleho století se podobný prístup aplikuje i pro merení extragalaktických vzdaleností (Gimenez et al., 1995; Hilditch, 1996 aj.). Zakladní parametry hvezd zjistene pro slozky dvojhvezd umoznují príme testy vývojových modelu hvezd ruzne hmotnosti. Ale nemylte se. Prestoze zýkrytových dvojhvezd zname mnoho tisíc, takových, kde jsou dostatecne presne urceny absolutní parametry soustavy je jen nekolik desítek. Nase informace o vývojových procesech a jednotlivých aktivních stýdiích výrazne obohacují take nove techniky zpracovaní spekter jako mapovaní zakrytu, Dopplerovska tomografie ci rozmotývaní (disentangling) spekter. Vsechna zjis-tený data ale prispívají i k overení nasich predstav o specifikach ve vývoji dvojhvezd samotných. Konecne studium dvojhvezdných soustav, jejichz cleny jsou novy, trpaslicí novy, rentgenovske zdroje, polary, supernovy, neutronove hvezdy, cerne díry, slouzí krome jiz výse zmínených mozností k získavaní informací i o techto, rekneme extremních, objektech sveta hvezd. Získana data lze vyuzít take k overovýní nasich znalostí o zakladních fyzikalních zakonech, testovýní platnosti obecne teorie relativity a podobne. Obrazek 6.20: Zména dvojice spektralních car spektroskopické dvojhvezdy HD80 715 v za-vislosti na orbitalní fazi. Prevzato z http://csep10.phys.utk.edu/astr162. 6.2.6 Nezákrytové dvojhvězdy Rovina oběžné trajektorie dvojhvězd může být samozřejmě orientována zcela náhodně. Jen ů Časti systemů tak můžeme pozorovat zakryty. Vetší poCet soustav (z hlediska orientace roviny obezne trajektorie slozek) můzeme pozorovat spektroskopicky. Uplatní 168 Kápitolá 6. Přomňennost peřiodicky přomňennyích hvňezd se Doppleřuv jev á my muzeme ve spektra, kde je slite svetlo obou slozek pozořovát systemátickíe, peřiodickíe posuny spektřáílních ňcář. V ideíálním pňřípádňe jde o dvá systíemy spektřáílních ňcář, kteříe se posouvájí v ántifíázi. Tákovíe spektřoskopickíe dvojhvňezdy ozná-cujeme jáko dvoucářove (double-line spectřoscopic binářy) SB2. Bohuzel velmi cásto je řozdíl zářivích víkonu obou slozek ták mářkántní, ze slábší slozká se ve spektřu dvojhvňezdy přákticky nepřosádí á dominuje tám jen přimáířní sloňzká. Pák se ve spektřu peřiodicky mení polohá cář jen jedním zpusobem. Mluvíme o single-line binářy SB1. Přávidelne vychází kátálog pářámetřu špektřOškopických dvojhvezd (Pouřbáix et ál., 2009). 6.3 Pulzující proměnně hvězdy Hvňezdníe pulzáce jsou velmi ňcástou pňřííňcinou hvňezdníe přomňennosti. Ná obloze mezi přo-menními hvezdámi zcelá převázují, v kátálogu přomenních hvezd GCVS tvoří celích 70 % všech uvedeních hvezd (známe zákřytove dvojhvezdy jsou áň ná dřuhem míste). Je vňsák dobříe si uvňedomit, ňze tuto státistiku silnňe zkřesluje vyíbňeřovyí efekt, kteřyí zvíyhodnňuje hvňezdy s velkyím zíáňřivyím vyíkonem. ii Pomňeř mezi stábilními á pulzujícími hvezdámi v Gáláxii se odháduje ná ~ 105 : 1. Pňříňcinou svňetelníych zmňen pulzujících hvňezd jsou zmňeny povřchovíych chářákteřistik - zejmená polomeřu u řádiálních pulzácí, tvářu hvezdy u neřádiílních pulzácí á tomu odpovídájící zmeny povřchove efektivní teploty, k nimz v dusledku peřiodickích pulzácí docháízí. Nejvňetňsí ámplitudu svňetelníych zmňen jeví přomňenníe hvňezdy pulzující řádiíálnňe, tedy hvezdy kuloveho tvářu, jejichz polomeř se cyklicky mení. Ani u nich všák nejsou zmeny řozmera hvezdy niják nápádne. Inteřfeřometřická meření ukázují u nejznámejší cefeidy 8 Cephei zmeny polomeřu ccá 8 %. V Heřtzspřungovňe-Russellovňe diágřámu se setkíávíáme s pulzujícími přomňennyími hvňez-dámi především v tzv. pasu nestability, kteří se zde tíhne z oblášti veleobřu třídy G, přotíní hlávní posloupnost v oblášti pozdních typu A á řánych F, zášáhuje áz do oblášti bílích třpášlíku pozdního typu B á řáneho typu A. V pásu nestábility náchízíme klasické cefeidy typu 8 Cephei, cefeidy typu W Virginis, křýtkopeřiodicke cefeidy populáce II - hvezdy typu RR Lyrae, díle pulzující hvezdy hlávní posloupnosti - hvezdy typu 8 Scuti á konecne pulzující bíle třpášlíky typu ZZ Ceti. V oblášti ceřveních veleobřu á nádobřu se setkývýme dlouhopeřiodickými přomenními hvezdámi, át' uz přávidelnymi nebo polopřávidelníymi, ná hořníí ňcáísti hlávníí posloupnosti pák s pulzujíícíími hvňezdámi typu P Cephei. 6.3.1 Radiální pulzace Hvňezdá je gřávitáňcnňe váízányí uítvář ve stávu hydřostátickíe řovnovíáhy: v káňzdíem bodňe hvňezdy jsou v pňříísníe řovnovíáze sííly dostňředivíe (gřávitáce) á sííly odstňředivíe (gřádient tláku). Jde přitom o řovnovíhu stábilní12, coz známení, ze při jejím nářušení dojde 11 Pokud bych studovali zastoupená ráznych typu promennych hvezd ve vzorku hvezd v okolá Slunce, musáme konstatovat, ze nejcasteji se zde setkáme s eruptivnámi cervenámi trpasláky, hvezdami pozorovatelsky znacne zneváhodnenymi svym názkám zárivám vykonem. 12Práklad s labilná rovnovahou je uveden ve skriptech UFHaHS. 6.3. Půlzůjíícíí promňenníe hvňezdy 169 vňzdy k posííleníí tíe silovíe sloňzky, ktería se snaňzíí systíem navríatit do rovnovíaňzníe polohy. Pňri naívratů do rovnovíaňzníeho stavů se ale hvňezda v rovnovaíňzníe poloze nezastavíí a bůde setrvaňcnostíí pokraňcovat ve svíem pohybů na opaňcnoů stranů. Proti tomůto pohybů se postavíí stíale rostoůcíí rozdííl mezi silami odstňredivyími a dostňredivíymi. Pohyb se zastavíí a zmňeníí se v opaňcníy. Pakliňze takto půlzůje celía hvňezda, hovoňrííme o radiaílníích půlzacíích. Lze ůkazat, ze ů nevelkých rozkmitů nezavisí perioda deje na jeho amplitůde a odpovída periode vlastních kmitu hvezdy. Pro vznik a ůdrzení půlzací můsí být splneny patricne podmíínky. Uvaňzůjme element hmoty, jehoňz stav se cyklicky mňeníí. Pro rozvinůtíí půlzacíí můsíí byít celkovía praíce vykonanía na ůíkor tepla kladnaí. Na zíakladňe 1. a 2. vňety termodynamiky lze dojíít ke vztahů: W = j ^ > 0, (6.19) 8Q 8T(t) v nňemňz To je vňzdy kladníe. Takňze aby platila zmíínňenaí nerovnost, můsíí byít pňri kladníem Q kladníe i T( t), coňz znamenía, ňze pňri zvyňsovíaníí teploty můsíí dochíazet k pohlcovaíníí tepla! Celkovoů energetickoů bilanci hvezdy lze popsat pomocí vety o virialů jako U = <£k> + (Ep) < 0. (6.20) V gravitaňcnňe vaízaníem ůítvarů je absolůtníí hodnota potenciíalníí (gravitaňcníí) energie rovna dvojníasobků jejíí vnitňrníí (kinetickíe) energie 2 + = 0. (6.21) Uvíaňzííme-li, ňze ve hvňezdňe je tato energie daína soůňctem kinetickyích energiíí chaotickíeho pohybů vňsech ňcíastic, lze soůhrnnňe psíat Ek = 2 M v2, (6.22) kde vs je strední kvadratický rychlost cístic, kteroů je mozne vyjýdrit pomocí vety o viriíalů. Potenciíalníí energie je M2 Ep ~ aG— = 2Ek = Mvs2, (6.23) kde a je koeficient soůvisející s rozlozením hmoty ve hvezde, zpravidla blízký jedne (standardnňe 1,6). Pak stňrední kvadratickía rychlost ňcíastic vs2 = aGR. (6.24) Stňrední rychlost ňcíastic zhrůba odpovídía i rychlosti zvůků. Zaíkladní periodů radiíalních půlzací Ppz lze pak zhrůba ztotoznit s casem, ktery je zapotrebí k prenesení informace o zmene tlaků z jednoho „konce" hvezdy na drůhy. Tento cas je pak roven 2R/vs a tedy: 2 R [4 R3 1 , , 170 Kapitola 6. Promennost periodický promenních hvezd Peřioda vlastních kmitu hvezdý, nebo tez základní perioda pulzací, je tedý funkcí střední hustotý hvezdý a v přvním přiblízení platí, ze peřioda pulzací hvezdý P je nepřímo mnema odmocnine z její střední hustotý p P ~ "i. (6.26) V G p Výse uvedený teořetický zaveř se shoduje i s nasí zkuseností, ze řozmeřne a velmi řídke dlouhopeřiodicke přomenne týpu o Ceti (miřidý) pulzují s peřiodou nekolika stovek dní, zatímco hustejsí cefeidý desítký dnu a extřemne hustí bílí třpaslíci mají peřiodý pulzací křatsí nez jednu hodinu. Relace (6.26) stojí tez v pozadí povedomeho vztahu zarivý výkon - perioda u klasických cefeid. Amplituda kmitu v nitřu řadialne pulzující hvezdý silne zavisí na vzdalenosti od centřa. V centřu hvezdý nutne musí být nulova nulova - zde totiz lezí uzel (jeden z uzlu) stojateho vlnení, zatímco na povřchu hvezdý je kmitna. Pokud hvezda osciluje v tzv. zakladním módu, pak pulzace v řamci cele hvezdý přobíhý ve stejnem smeřu -v temze okamziku se celý hvezda bud' řozpíný nebo smřstuje. Hvezda vsak muze řadialne kmitat i ve výssích hařmonických fřekvencích, ve výSSSSóch modech, přicemz stale musí být splnena podmínka, ze na povřchu hvezdý je kmitna a ve středu uzel. Ve hvezde ale navíc existuje jedna nebo více uzlových kulových ploch, tedý míst ve hvezde, kteře se behem pulzací nehýbou. Lýtka hvezdý v sousedících mezikoulích se pohýbuje v danem okamziku v opacnem smeřu. -----Nodal line ->- Motion of gas I_ j_I I i I 0 L 0.67L 0.4L 0.8L R (a) (b) (c) Obrázek 6.21: Stojaté zvukové vlny v píšťale a ve hvězdě a) základní mód, b) první harmonický mód, c) 2. harmonický mod. Převzato z Carroll & Osťlie (2007). Radiýlní pulzace hvezd lze zjednodusene přiřovnat k zakladnímu řezonancnímu týnu v polouzavřených lineýřních řezonýtořech (obř. 6.21) - tzv. póSStalach (klařinet, vařhanní píst'ala). Zakladní týn (n = 0) ma vlnovou delku Ao odpovídající ctýřnýsobku delký píst'alý l, Ao = 41. Výssí modus (n = 1) odpovídý stojatemu vlnení, v nemz křome povinneho uzlu na uzavřenem konci najdeme jeste jeden uzel uvnitř vzduchoveho sloupce, přicemz na otevřenem konci třubice zustava kmitna. Uzel se nachýzí ve dvou třetinach delký třubice a vlnový delka tohoto vlnení je tudíz Ai = 11, Ao/Ai = 3. Dalsí modus 6.3. Půlzůjící přomenne hvezdý 171 (n = 2) obsahůje ve vzdůchovem sloůpci dva ůzlý nachazející se ve 5 a 5 jeho delký (pocítano od ůzavřeneho konce píst'alý). Vlnova delka vlnení A2 = 11, A0/A2 = 5. V aků-stickem spektřů zvůků, kteří z poloůzavřeneho řezonatořů výchazí, najdeme křome zakladní fřekvence, ůřcene delkoů řezonatořů, jeste toný o fřekvenci (2n + 1)křat vetsí nez je fřekvence tínů zíkladního13. Obřazek 6.22: Radialní mody pulzující hvezdy hlavní posloupnosti o hmotnosti 12 M0. Tvar kazde vlny byl preskalovín tak, aby ôr/R = 1 na povrchu hvezdy. Ve skutecnosti je maximílní hodnota pomeru ôr/R priblizne 0.05 az 0.10 pro klasicke cefeidy. Prevzato z Carroll & Ostlie (2007). Tak, jako v píst'ale, jsoů i ů hvezd povolený poůze nekteře fřekvence (mídý půlzací). Celkove je ale ů hvezd sitůace podstatne slozitejsí. Rozdílý spocívají v tom, ze: 1. hvezda není lineařním, ale prostorovým (kůlove sýmetřickím) řezonítořem, 2. řýchlost zvůků není v římci řezonatořů konstantní. Vzhledem k tomů, ze teplota ve hvezde s řostoůcí vzdíleností klesa, klesa v ní i řýchlost zvůků. Důsledký jsoů pak opřavdů zísadní. • Uzlý výssích hařmonickích mídů nachízíme obecne jinde nez ů píst'al. U 1. modů je polomeř ůzlove koůle 0,6 R (nikoli 2), ů 2. modů 0,5 a 0,85 R (nikoli 2 a |). • Pomeř mezi peřiodoů zakladního modů a peřiodoů výssího modů není 3:1, jak je to v případe poloůzavřeneho lmeamího rezonítom, ale podstatne mensí, asi 1,5:1. • Na řozdíl od vlnení v lineařním rezonítom, jehoz amplitůda má sinůsoví přůbeh, je přůbeh zavislosti amplitůdý na vzdílenosti od centřa hvezdý mnohem kompli-kovanejsí. Půlzace se přaktický netíkají centřalních cístí hvezdý - amplitůda je s ohledem na amplitůdů půlzací povrchových cístí takřka zanedbatelní. Radialní 13První harmonickí tín ma tedy vzhledem k zakladnímu tínu trikrat vetsí frekvenci, coz odpovída hudebnímu intervalu zvanemu duodecima - tedy oktíva + kvinta (1 : 3 = 1 : 2x3/2). Druhý harmonickí ton ma vzhledem k prvnímu pomer frekvencí 5:3, coz je velka sexta, doplnkovy interval mollove male tercii. Vzhledem k zakladnímu tonu jde o pomer frekvencí 1:5, coz odpovídí dvema oktívím a velke tercii, matematicky 1:5 = 1: 22 x 5/4. 172 Kapitola 6. Promňennost periodicky promňennyích hvňezd pulzace, tňrebaňze postihují celou hvňezdu, jsou zíaleňzitostí jen vnňejňsího, velmi ňrídkíeho obalu hvňezdy, kteríy obsahuje jen procenta její celkovíe hmotnosti. Pulzace tak nemohou ovlivnit stav hvňezdníeho nitra, zejmíena nemají ňzíadnyí vliv na produkci hvězdně energie. Naprosta větsina klasickych cefeid a hvězd typu W Virginis pulzuje radiílně, a to v zíkladním modu. Existují vsak i vyjimky, jakou je treba Potárka, ktera kmita v 1. har-monickě. Proměnně typu RR Lyrae pulzují jak v zakladním modu, tak v 1. harmonickě, některě z nich v obou mídech soucasně. Miridy pulzují rovněz v zíkladním modu, situace je u nich vňsak komplikovanňejňsí neňz u pulzujících hvňezd píasu nestability, protoňze pulzace zde vedou ke vzniku rázově vlny, ktera pri svěm pruchodu atmosfěrou vírazně mění její pruzracnost. 6.3.2 Mechanismus pulzací Pozorovíaní velkíeho poňctu pulzujících promňennyích hvňezd prokíazala, ňze amplituda jejich pulzací se dlouhodobě nemění. Z energetickěho hlediska to znamena, ze pulzace jsou neustale dotovany nově príchozí energií. V nitru kazdě reílně pulzující hvězdy hraje dulezitou roli trení, kterě prevídí usporadany pohyb pulzací na neusporadaní pohyb tepelní. Kdyby v pulzujících hvězdach nepusobil mechanismus, kterí neustale tyto ztraty uhrazuje, pulzace hvňezd by se zaíhy zatlumily a hvňezda by pňreňsla do stavu dokonalíe hydrostatickíe rovnovíahy. Radiaílní pulzace vyuňzívají jako energetickíy zdroj tok zíaňrivíe energie prostupující hvňezdou z centra na povrch, kteríy je stíale k dispozici v kteríekoli ňcaísti hvňezdy. Nicmíenňe k tomu, aby se ve hvňezdňe pulzace udrňzely, je nezbytníe, aby zde existovaly dostateňcnňe rozsaíhlíe oblasti hvňezdy, kteríe by ve fíazi nejvňetňsího smrňstňení dokaízaly zadrňzet potňrebníe mnozství prochízející zírivě energie a tuto naakumulovanou energii v okamziku nasledu-jící expanze opět vyzarit. Uz z toho, ze valní větsina hvězd viditelně nepulzuje, je zrejmě, ze uvedena podmínka bíva splněna jen zrídkakdy. Hvězdna latka se tak totiz nechova. Kdyz ji adiabaticky stlacíte, žvýší se nejen její hustota, ale i teplota, jez zpusobí, ze opacita lítky k poklesne dle Kramerova zakona: k oc p T-3.5 , takze latka zpruhlední a pro prochíazejí zíaňrivyí tok znamenía menňsí pňrekíaňzku. Takovíeto chovíaní hvňezdníe líatky ovňsem hvňezdníe pulzace potlaňcuje a stojí tak na tíeňze stranňe barikíady jako disipace me-chanickě energie v dusledku trení. Presto Eddington (1926) pro vysvětlení pulzací navrhl tzv. zíklopkoví mechanismus, podle nňejňz by v pulzující hvňezdňe mňela existovat vrstva materiaílu, jehoňz opacita bude pri stlacovaní (ohrevu) naopak narustat. Takoví vrstva by pak byla schopna během smrňstňení absorbovat dostatek energie, pňrehradit její tok z nitra a pňri níasledníe expanzi ji zase uvolnit. IŠlo jen o to, zda takova vrstva v realních hvězdach vubec existuje. Presně podmínky pro rozvinutí a zachovaní pulzací odvodil az v 50. letech minulěho století Zevakin (1953) a později je detailně propocítali R. Kippenhahn, N. Baker a J. P. Cox. Zjistili, ze zíklopkoví mechanismus, jak jej navrhl Eddington muze íspesne pracovat v oblastech s ňcíasteňcnňe ionizovanou líatkou. A jak tedy vlastně zmíněny zaklopkoví mechanismus (k-mechanismus) funguje? Pri smršťovýní se cast energie prochízející „aktivní" vrstvou spotrebovíví spířse na ionizaci prvku, nez na zvysovaní teploty, coz vede k rustu opacity vrstvy vzhledem k okolí. 6.3. Půlzůjící promňenníe hvňezdy 173 Neprůhlednost vrstvy způsobůje růst tlaků plynů a zýrení, který naroste do takove síly, ze vyzvednoů vrstvů výse. Vrstva se pohybůje vzhůrů, smerem od stredů hvezdy do míst s menňsí hůstotoů a teplotoů. Bňehem tohoto pohybů se vrstva rozpínía, dochíazí k hoůfne rekombinaci atomů a k ůvolňovaní naakůmůlovane energie. Teplota vrstvy ale neklesía tak rychle jako v okolí, coňz spolů s klesající hůstotoů vede ke sníňzení opacity vzhledem k okolí. V ůrňcitíem okamňziků ale tíha víyňse poloňzeníeho materiíalů pňrevíaňzí nad siloů smerůjící vzhůrů a cyklůs zacína znovů. Nekdy je popsaní K-mechanismůs posílen tím, ze do stlacovane „aktivní" vrstvy s castecne ionizovaním materialem prostůpůje teplo, jednodůse proto, zeje tato vrstva chladnejsí nez její okolí. Díky narůstajícím tepelnym kapacitam CV a CP je vrstva schopna pojmoůt tohoto tepla více. Tento efekt se nekdy podle pomerů 7 = CP/CV oznacůje jako 7-mechanismůs. Ve vňetňsinňe hvňezd jsoů dvňe hlavní ňrídící vrstvy půlzací. První je ňsirokía vrstva, v níňz se nachíazí jak ionizovanyí vodík, tak i jednoů ionizovaníe híeliům. Zpravidla se oznaňcůje jako oblast ňcíasteňcnňe ionizovaníeho vodíků a vyskytůje se v hloůbkíach s teplotoů mezi 10 000 az 15 000 K. Tato vrstva ma ů vetsiny půlzůjících hvezd jen okrajový význam. Uplatnůje se vsak ů mirid a půlzůjících trpaslíků typů ZZ Ceti. Pro ostatní typy radiýlne půlzůjících hvezd je důlezitejsí drůha, hloůbeji ůlozena vrstva castecne ionizovaneho helia s teplotoů cca 40 000 K. Vedle sebe se tam ve srovnatelníem zastoůpeníí nachíazejíí jedenkrat ionizovane atomy helia (HeII) a zcela ionizovane atomy tehoz prvků (HeIII). Ale pozor, aby byl zmíínňenyí tepelnyí stroj patňriňcnňe ůíňcinníy, můsíí byít aktivníí vrstva He II/He III ůlozena v optimýlní hloůbce pod hvezdným povrchem. Ve hvezdach s nizsí efektivní teplotoů je tato vrstva ůloňzena pňríliňs hlůboko ve hvňezdňe, ňcili v místech, kde je amplitůda půlzací tak nicotnaí, ňze se jimi vlastnosti vrstviňcky takňrka nemňení a zadrňzeníe teplo je jen nepatrníe. Naopak půlzůjící hvňezdy nesmňejí bíyt pňríliňs horkíe, protoňze v nich je aktivní vrstva ůloňzena ve vyňsňsích, relativnňe velmi ňrídkyích a míalo hmotnyích pod-povrchovíych vrstvíach hvňezdy. Malía hmotnost aktivní vrstvy znamenía i nedostaňcůjící mnoňzství zadrňzeníe energie, kteríe pak není s to dotovat tepelníe ztríaty pňri půlzacích hvňezdy. To znamenía, ňze hloůbka ůloňzení vrstvy ve hvňezdňe ůrňcůje, v jakíem míodů bůde hvňezda půlzovat. U teplejňsích hvňezd je vrstva níňze a vznikají půlzíatory půlzůjící v prvním harmonickíem míodů, ů chladnňejňsích vznikají půlzíatory se zaíkladním míodem. Teplota hvňezdy a tím i ůloňzení aktivní vrstvy He II/He III takíe vymezůjí hranice píasů nestability v HR diagramů, takňrka svislíeho průhů o ňsíňrce 600 aňz 1000 K pro hvňezdy v rozmezí teplot 5500 az 7500 K. Srka pasů nestability se mírne mení v různých oblastech HRD. Víyňse zmíínňeníe vrstvy ionizovaníeho materiíalů híelia a vodííků jsoů zodpovňedníe za půlzace hvňezd v paísů nestability. Ale za půlzacíí hvňezd v horníí ňcíasti hlavníí posloůp-nosti s teplotami kolem 105 K stojí vrstva castecne ionizovanych prvků skůpiny zeleza. 6.3.3 Pás nestability a jeho interpretace Jak jsme jiz ůkíazali, radiaílne půlzůjíícíí hvezdy můsíí splnovat podmíínků, ze se v nich v patricníe hloůbce vyskytůje dostatecne mohůtnía vrstva materiíalů, kteryí je schopen v sobe akůmůlovat a potíe opet ůvolnovat zadrzenyí zaírivyí tok energie prichíazejíícíí z centra. Je to tedy otíazka stavby hvezdy, a hvezdy s podobnoů stavboů zejmíena pod-povrchovyích vrstev se v HR diagramů vyskytůjíí pospolů. V príípade hvezd splnůjíícíích podmíínků půlzacníí nestability tyto hvezdy v HR diagramů vytvíarejíí tzv. pías nestability. Pokůd se hvezda pri svíem vyívoji dostane do píasů nestability, pak se v níí zíahy rozvinoů 174 Kapitola 6. Promňennost periodický promňennýích hvňezd DENSITlr STAR TEMPERATURE Obrazek 6.23: Vrstvy ve hvezde na pocatku horizontalní vetve v HR diagramu. Prevzato z Iben (1971). a udrzí radialní pulzace. Kdýz oblast nestabilitý v prubehu dalsího vávoje opustí, silne radiíalní pulzace se v ní zase utlumí. To jak rýchle bude hvňezda pulzovat a jakýí týp promňennosti ji pňrisoudíme pak bude zaíviset pňredevňsím na její stňrední hustotňe, a tedý na hmotnosti hvňezdý a stupni jejího výívoje. Nejhmotnejsím a nejzařivejsím osazenstvem pásu nestabilitý jsou klasické cefeidy -veleobři týpu Ib pulzující s periodou dnu az desítek dnu. Týto promenne hvezdý tez jeví nejvňetňsí amplitudý svňetelnýích zmňen, velmi výírazníe jsou i pozorovaníe zmňený radiíalních rýchlostí (rozkmit az 50 km/s) i zmený efektivní povrchove teplotý. Vsechna pozorování do sebe dobňre zapadají a potvrzují naňsi zíakladní pňredstavu o cefeidíach jako o radiaílnňe pulzujících hvezdach, jejichz oscilace jsou dotovaný zadrzováním zařive energie ve vrstve, v níňz je srovnatelnou mírou zastoupeno jednou a zcela ionizovaníe helium. Kratňsí periodý, niňzňsí víýkoný a menňsí amplitudý svňetelnýích kňrivek mají po ňradňe hvezdý týpu W Virginis, RR Lyrae, 5 Scuti a konecne bílí trpaslíci týpu ZZ Ceti, kteří kmitají s periodou 100-1000 s (zpravidla v 1. harmonickem modu). Hvezdý týpu RR Lyrae jsou obří hvezdý s hmotností kolem 0.7 MQ, ktere jsou ve velmi pokroňcilíem stíadiu svíeho výívoje. Bňeňznňe se s nimi setkaívíame v kulovýích hvňezdoku-píach a v galaktickíem halu, kde se výskýtují tý nejstarňsí hvňezdý v galaxiích. Jednaí se tedý vesmes o hvezdý první generace. Kvuli jejich nízke povrchove teplote se dlouho nedaňrilo stanovit zastoupení híelia v jejich vnňejňsích vrstvíach, kteríe svýím chemickýím sloňzením odríaňzejí sloňzení materiíalu, z nňehoňz týto hvňezdý vzniklý. Nicmene už sím fakt, že hvezdy typu RR Lyrae existují a pulzují, ukazuje, že musejí od svíeho zrodu obsahovat helium, a to v zastoupení, kteríe odpovídía souňcasníemu. Toto zjiňstňení mía mimorídnou duležitost pro teorie raneho vyvoje vesmíru, nebot' jim uklada za íkol vysvetlit tez, kde se ve vesmíru vzalo prvotní helium, a to jeste pred erou vznikaní prvních hvezd. 6.3. Pulzující proměnné hvězdy 175 Obrízek 6.24: Pulzující hvezdy v HR diagramu. Šrafovaní jednotlivých oblastí značí typ pulzací, jak ukazuje vlozeny obrazek vpravo dole. Pas nestability je vyznačen barevne silními čarami. Církovaní cara vyznačuje polohu hlavní posloupnosti nuloveho starí ZAMS. Na ní končí linie vyznačující vyvojove cesty hvezd o hmotnostech 1, 2, 3, 4, 7, 12 a 20 MQ. Cerchovaní čara značí horizontalní vetev a tečko-vaní krivka je krivka chladnutí bílych trpaslíku. Prevzato z http://astro.phys.au.dk/~jcd/HELAS/pulsJiR/ a upraveno. Hvezdy typu ô Scuti jsou vubec nejpocetneji zastoupenými pulzujícími hvezdami píasu nestability, coňz je díano tím, ňze se jednaí o pňrísluňsnice hlavní posloupnosti, na níňz hvňezdy bňehem svíeho vyívoje stríaví nejdelňsí dobu. Pozorovaníe svňetelníe kňrivky tňechto hvňezd jsou velmi komplikovaníe a lze je vysvňetlit superpozicí ňrady pulzací, z nichňz nňekteríe ani nejsou radialní. Navíc amplitudy svetelních zmen jsou nevelke, 10-2 i 10-3 mag, coz je k jejich skode odsouva z oblasti zajmu vetsiny pozorovateli promenních hvezd.14 Výjimkou jsou HADS (High-amplitude delta Scuti stars) s amplitudami většími než 0.1 mag (V). 176 Kapitola 6. Promňennost periodicky promňennyích hvňezd Obrázek 6.25: Vlevo: Historický diagram zavislosti perioda - svítivost pro cefeidy prevzatý z prace Leavitt (1908). Na vodorovne ose je log P, na svisle pak hvezdne velikosti v magni-tudach. Vpravo: Graf pro vztah perioda-svítivost pro cefeidy i hvezdy typu RR Lyrae. Zdroj: http://outreach.atnf.csiro.au/. 6.3.4 Závislost perioda—zářivý vykon a její vysvětlení Zavislosti mezi periodou a absolutní hvezdnou velikostí klasických cefeid si povsimla jiz Henrietta Swan Leavittoví (čti levitova) (1868-1921). Na snímcích systematicke prehlídky Mag-ellánovýčh mračen porizovaních na observatori Harvard College v Peru u Arequipa v letech 1893 az 1906 objevila 1777 promennych hvezd15. Do roku 1908 určila periody nekolika cefeid a povsimla si, ze jasnejsí z nich mají delsí periody (viz obr. 6.28). Protoze hvezdy z Maleho Magellanova oblaku (SMC) jsou od nas vsechny rela-tivnňe zhruba stejnňe daleko (cca 60 kpc), indikuje to, ňze i absolutní hvňezdníe velikosti tňechto hvňezd jsou funkcí periody. Tento fakt umoňznil s nebyívalou spolehlivostí mňeňrit vzdíalenosti cefeid a tím i vzdíalenosti soustav, v nichňz se tyto cefeidy nachíazejí. Cefeidy jsou k tomu ucelu zv^st' vhodne, nebot' jsou to jedny z nejsvítivejsích hvezd, ktere ve vesmíru nachíazíme - jsou tedy viditelníe do velikíe díalky. Zatímco sklon závislosti absolutní hvezdne vizualní velikosti cefeid MV na logaritmu jejich periody zníame s vysokou pňresností a spolehlivostí, se stanovením polohy tzv. nulového bodu - absolutní hvezdne velikosti fiktivní cefeidy o periode 1 den - je to o dost svízelnejsí. V minulosti byla hodnota nuloveho bodu zavislosti MV — log P klasickích cefeid nňekolikríat korigovaína, a to vňzdy smňerem k vňetňsím absolutním jasnostem. Kaňzdía takova rekalibrace mela zavazne dusledky na nas níhled na vzdílenosti ve vesmíru, na jeho stíaňrí a vyívoj. Zde je totiňz nezbytníe zníat spolehlivňe vzdíalenost alesponň jediníe z cefeid. Tu jsme vňsak aňz donedaívna neznali, i ta nejbliňzňsí z cefeid, Polaírka, byla pňríliňs daleko, neňz aby bylo moňzníe stanovit její paralaxu. Navíc, konkríetnňe u Políarky nejde o typickou cefeidu, takňze není pro kalibraci vhodnía. Situace se ponňekud zlepňsila po misi astrometrickíe druňzice 15 Jen pro srovnaní, poslední verze katalogu z prehlídky OGLE III uvadí 3361 klasickych cefeid v LMC (Soszynski et al., 2008) a 4630 v SMC (Soszynski et al., 2010). 6.3. Pulzující promenne hvezdy 177 Hipparcos, z níz vyplynula nýsledující relace16,17: Mv = —2, 81 log P — 1, 43(10), (6.27) kde hvezdna velikost je uvadena v magnitudých, a perioda ve dnech. Pri uzívaní vztahu zarivý výkon-perioda ale musíme mít na pameti, ze platí pouze pro ty cefeidy, ktere pulzují v zýkladním modu. Cefeidy, oscilující v 1. harmonickem modu, mají pri tomtez výkonu kratsí periodu. Nastestí lze oba prípady snadno rozlisit jiz pouhým pohledem na svetelnou krivku - zatímco u cefeid kmitajících v zakladním modu je tato krivka výrazne asymetricka, cefeidy pulzující v 1. harmonickem modu mají svetelne krivky docela symetricke. V soucasnosti se v literature uvadí vztah perioda - absolutní jasnost ve tvaru, kde vystupují veliciny nezavislé na mezihvézdné extinkci. Takovou velicinou je treba funkce W (v angl. Wesenheit function), v níz vystupují skutecné pozorované hvézdné velikosti v barvé napr. V a I a jistí konstanta RVi odvozena zpravidla z pozorovíní. Odpovídající funkci W zkonstruujeme takto: w = y — Rvi (V — i) = V0 — Rvi (V — /)q + [Av — Rvi E (V — /)] = Wo, kde (6.28) Vo = V — Av , (V — 1)o = (V — I) — E(V — I), Rvi = E /) (6.29) kde veliciny oznacené nulou jsou veliciny korigované o mezihvézdnou extinkci, Av je extinkce v barvé V a E (V — I) barevní exces príslusní k barevnému indexu (V — I) a RVi je konstanta dana vlastnostmi mezihvézdného materialu nezavisla na konkrétní hodnoté Av. Její velikost ocenili napr. Freedman et al. (2001) na 2,45. Obecné lze zavislost perioda - zíoví víkon, s absolutní funkcí W zapsat Wabs = a + b (log P — 1). (6.30) Nejpresnejsí urcení hodnot parametru a = —5.86 ± 0.04, b = —3.34 ± 0.17 vychazí z mérení HST (Benedict et al., 2007). Jedna z posledních studií vzdílenosti LMC pomocí fotometrie je pak napríklad Inno et al. (2013). Teoreticke objasnení pozorovane relace mezi periodou cefeid a jejich zarivým výkonem spocíva ve faktu, ze klasicke cefeidy jsou hmotnými veleobry, kterí se pri svem vývoji dostali do oblasti pasu nestability. Vzhledem k tomu, ze pas nestability je relativne ýzký, zavisí poloha cefeidy v tomto pasu predevsím na jejím zýrivem výkonu, a ten opet hlavne na hmotnosti príslusne hvezdy. Vseobecne platí, ze v rýmci te cýsti pýsu nestability, kde se setkavame s cefeidami, smerem k vyssím zarivým výkonum: a) roste absolutní jasnost hvezd (tj. klesa jejich absolutní hvezdný velikost); b) klesa povrchový teplota hvezd; c) roste jejich hmotnost a polomňer; d) výrazne klesa jejich strední hustota. S ohledem na to, ze vnitrní stavba cefeid ruzne hmotnosti je dosti podobna, lze uplatnit zakladní relaci pro vlastní kmity hvezdy, podle níz je perioda pulzací neprímo umerna odmocnine její strední hustoty, a tedy musí platit, ze e) perioda hvňezdy roste. Spojením bodu a) a e) pak dospívame k objasnení pozorovaneho vztahu mezi periodou pulzací a zarivým výkonem, absolutní hvezdnou velikostí hvezdy. 16Feast M. W., Catchpole R. M.: 1997, MNRAS 286, L1 17Je treba pripomenout, ze absolutní hvézdna velikost MV se béhem pulzací zrejmé méní. Ve vztahu 6.27 MV se proto uvídí strední absolutní hvézdna velikost 178 Kapitola 6. Promňennost periodicky promňennyích hvňezd 6.3.5 Pulzace radiální i neradiální. Mody pulzací Hvňezdníe pulzace mají povahu podíelníeho vlnňení, kteríe se ňsíňrí i vzduchem a kapalinami (na rozdíl od vlnňení pňríňcníeho, kteríe se ňsíňrí jen v tuhíych tňelesech). Podíelníe vlnňení prostupuje tělesem hvězdy a interferuje samo se sebou - vznika tzv. stojatě vlnění. V pros-torovyích rezoníatorech jsou pro vznik stojatíeho vlnňeníí, jeňz vznikía interferencíí, nepostra-datelníe odrazy na stňeníach rezonaítoru. Pokud je tíímto rezonaítorem tňreba tňeleso Zemňe, pak k nezbytním odrazum seismickích vln dochízí na povrchu Země. Kde vsak muze dojít k odrazum v tělese Slunce, ci jině hvězdy, u nichz zadnou podobnou diskontinuitu nenajdeme? Vypadía to tak, ňze v plynnyích, neohraniňcenyích hvňezdíach se mohou ustavit jen radialní oscilace, kde pevním koncem (uzlovím bodem) je stred hvězdy. Uvízíme-li vsak, ze tu mame co do cinění s akustickími vlnami o dělce 104 az 105 km, je zrejmě, ze touto diskontinuitou, cili povrchem muze bít hvězdna fotosfěra, jejíz tloust'ka je proti vlnovíe díelce zanedbatelnía. Vlna pňrichíazejíícíí z nitra se tak na povrchu hvňezdy odríaňzíí podle klasickych zakonu pro odraz vlnění. Kromě odrazu akustickích vln od fotosfěry hraje pri sírení těchto vln dulezitou roli i jejich lom daní tím, ze směrem dovnitr hvězdy roste teplota, a tíím i rychlost zvuku, cili klesía index lomu. Vlna postupujíícíí sikmo do hvezdy se tak líame smerem od normíaly. Sledujeme-li pak smer postupu takovíe vlny, kteraí se príave odrazila od povrchu, vidííme, ze se trajektorie vlny neustíale zakrivuje smerem k povrchu. Vlna tak pri svíem postupu dosaíhne jistíe maximíalníí hloubky, pak zacne opět symetricky vystupovat nahoru. Takovíto vlna muze interferovat sama se sebou, ve hvězdě muze vzniknout stojatě vlnění (viz obrízek 6.26). Největsí amplitudu nm stojatě vlnění odpovídající urcitím modum, kterě splnují jistě speciíalní podmínky. Protoňze se ve hvňezdňe jednía o vlnňení v tňrírozmňerníem rezoníatoru, jsou pulzace popsíny usporadanou trojicí vlnovích císel {n,l,m}. Obrazek 6.26: Zvukově vlny ve hvězdě. Prevzato z Kurtz (2006). Ve hvňezdňe se totiňz naprostaí vňetňsina vlnňeníí vlastníí interferencíí zruňsíí, zbudou jen takovía, ktería splnňujíí urňcitíe podmíínky. Pro jednoduchost pňredpoklíadejme, ňze hvňezda 6.3. Pulzující promňenníe hvňezdý 179 pulzuje jen v jediníem pulzaňcním míodu. Pak na jejím povrchu najdeme oblasti, kteríe pulzují ve fíazi i v antifíazi. Týto plochý od sebe oddňelují uzlovie kruZznice. V rotující hvňezdňe, kde zíakladní sýmetrii pulzací urňcuje osa rotace hvňezdý, jsou uzlovíe kruňznice obdobou sýstemu poledníku a rovnobezek na zemskem globu. Príslusný pulzacní modus je popsán dvojicí celách císel l a m, kde l výjadřuje celková pocet uzlovách kruznic. Pokud l = m = 0, pak je to případ ciste radiálních pulzaci, která jsme jiz diskutovali. Je-li m ruzne od nulý, lze si představit příslusní modus jako postupnou vlnu, ktera bezí kolem hvezdý rovnobezne s rovinou rovníku bud' ve smeru rotace (m > 0) nebo proti smeru rotace (m < 0). Cas, která tato vlna cestující kolem hvezdý potřebuje k celemu obehu je |m|nasobek príslusne pulzacní periodý. Vlna po hvezde postupuje, aniňz bý se horizontíalního pohýbu uíňcastnilý reíalníe ňcíastice. (V tom se liňsí od radiíalních pulzací, kde ňcíastice pulzaňcní pohýb skuteňcnňe výkonaívají.) Po povrchu hvňezdý putuje i |m| pomýslnách azimutálnich uzlových kruznic, prochazejících rotacními polý, ktere povrch hvezdý delí na 2 |m| stejnách dílu (jako duznina pomerance). Oscilace ma jí jeňstňe dalňsí stupenň volnosti - hvňezda kmitía vzhledem k ekvatoreaílní rovine, přicemz l — |m| výjadřuje pocet uzlovách rovnobezek (|m| udavá pocet uzlovách poledníku). Je-li l = 1, pak lezí tato kruznice na rovníku, při l = 2 jsou tu dve uzlove rovnobňeňzký uloňzeníe sýmetrický vzhledem k rovníku. Hodnota m se pohýbuje vňzdý v rozmezí od -l do +l, takze pro kazde císlo l existuje 2l+1 m-modu. Vseobecne take platí, ňze ňcím výňsňsí je ňcíslo l, tím míenňe hluboko týto míodý do nitra hvňezdý zasahují. Dalňsím parametrem je poňcet uzlovýích sfíer uvnitňr hvňezdý popsanýí ňcíslem n, kteríe nabíývaí celocíselnách kladnách hodnot vcetne nulý. V zakladním modu není zádní uzel (n=0), v 1. harmonicke jeden (n=1), v 2. harmonicke dva (n=2) apod. Stejnňe jako u radiíalníích pulzacíí je amplituda výňsňsíích harmonickýích v nitru výíraznňe mensí nez relativní amplituda zakladního modu.18 Pokud hvezdý neradialne pulzují, pak se tak vetsinou deje soucasne ve velkem poctu modu, jejichz ucinký se navzajem pňreklíadajíí. Výísledkem je neobýňcejnňe komplikovanýí pohýb, kterýí býchom mohli popsat nespííňse jako chvňeníí. Nicmíenňe príavňe toto chvňeníí níam pňriníaňsíí o vlastnostech hvňezd zcela neocenitelníe informace. Matematický lze 3 D oscilace ve hvezde popsat v soustave sferickách souřadnic (r, 9, p) pomocí sferickách harmonickách funkcí Ylm (9,p). r popisuje polomer soustředních radiálních obalek, 9 výjadřuje sířkovou souřadnici a znaď p poledníký na hvezde, l,m jsou váse uvedena modalní císla. Pro sferický sýmetrickou hvezdu muzeme výchálení z rovnovazne polohý £ v case t zapsat jako Cr (r,9,p,t) = a (r) Ylm (9,p) ei2nvt, BYr (9,p) & (r,9,p,t) Šv (r,9,p,t) b (r) B9 b (r) BYlm (9, p) sin 9 Bp pi2nvt pi2nvt (6.31) (6.32) (6.33) kde a(r),b(r) jsou amplitudý a v je frekvence oscilací. Sfericke harmonicke funkce jsou 18Síla, ktera se snaží vybuzeny stav navrítit do rovnovažneho stavu, souvisí s tlakem (pressure), proto se temto typum oscilací ríkí p-mody. Existují zrejme jeste tzv. gravitacní, cili g-mody. 180 Kápitolá 6. Přomennost peřiodicky přomenních hvezd dány vztáhem (6.34) Obřízek 6.27: Nákresy vrstevnic pro skutecne sfericke harmonicke funkce Ylm(0, p) dle vztahu 6.34, kde byl pro jednoduchost potlacen fázová faktor ( —1)m. Kladne vrstevnice jsou vyznaceny plnou carou, zaporne prerusovanou. Osa 0 = 0 byla stocena o 45° smerem ke ctenári a práslusná pál je oznacen hvezdickou. Rovník je vyznacen serií krízku. V obrázku jsou nasledující situace: a) l = 1, m = 0; b) l = 1, m = 1; c) l = 2, m = 0; d) l = 2, m = 1; e) l = 2, m = 2; f) l = 3, m = 0; g) l = 3, m = 1; h) l = 3, m = 2; i) l = 3, m = 3; j) l = 5, m = 5; k) l = 10, m = 5; l) l = 10, m = 10. Prevzato z Christensen-Dalsgaard (2003). 6.3. Půlzůjící promňenníe hvňezdy 181 kde P™(cos 9) jsoů Legendreovy polynomy dane vztahy Pm (cos 9) = (--)- (1 - cos2 9)f--—— (cos2 9 - 1)l, (6.35) l v ; 2l l! v ; dcosl+m 9 v ; ' v ; kde 9 je mňeňrena od půlzaňcního píolů, osy symetrie. Hvňezdy nepůlzůjí jen v jednom nebo dvoů míodech, ale vňetňsinoů v mnoha míodech najednoů. Ve vňetňsinňe hvňezd osa půlzací soůhlasí s rotaňcní osoů hvňezdy. Víyjimkoů jsoů rychle oscilůjící chemicky pekůliarní hvezdy - tzv. roAp hvezdy, kde osa půlzacní symetrie soůhlasí s osoů magnetickíeho pole. 6.3.6 Helioseismologie a astroseismologie Az do 60. let 20. století se vseobecne soůdilo, ze hvezdne půlzace postihůjí jen hvezdy, ktere jsoů k půlzacím nachylne, ostatní, tůctove se zdaly bít vůci půlzacím odolne. Tento nazor byl podporovan i „teoretickím zdůvodnením", ze půlzace hvezd se velmi rychle ůtlůmí, pokůd nej-soů nírocním způsobem energeticky dotovíny zvlastním mechanismem, ktery je stale ůdrzůje. Prípadne půlzace svrchních vrstev hvezdy mela zvlíst ícinne tlůmit dynamicky rozharana kon-vektivní vrstva se silními vertikalními pohyby zajist'ůjícími prenos tepla z nitra na povrch. To vse by ovsem vedlo k tomů, ze by půlzovalo jen nepatrne procento hvezd. Byli to Leighton et al. (1962), kdo zjistil neocekívane oscilace Slunce, hvezdy velice vzdalene od pasů nestability, ktera by mela byt zarůcene klidní. Pri spektroskopickem průzkůmů vertikalních pohybů způsobenych konvekcí, specialne pri stůdiů dejů spojeních se vznikem a zínikem granůlí zjistili ůrcite zakmity o amplitůde desítky m s-1 s charakteristickoů periodoů 5 minůt. Zpocatků se soůdilo, ze tů jde o jakoůsi odezvů na narůsení fotosfery vzestůpními konvektivními proůdy. Celoů zíhadů se podarilo rozloůsknoůt az po 8 letech. Ulrich (1970) a nezívisle Leibacher & Stein (1971) vysvetlili teoreticky zahadne petiminůtove slůnecní oscilace jako vísledek sůperpozice obrovskeho mnozství stojatích akůstickích vln, ktere půtůjí Slůncem. Ukazali, ze se jední o globalní jev, ktery postihůje jak povrch, tak i vnitrek Slůnce. Na první pohled chaoticke chvení slůnecního povrchů s typickoů amplitůdoů 0,1 m s-1 a mensí bylo rozlozeno do asi 107 různych modů půlzací, prevazne neradiýlních. Slůnce je tak rozmernym akůstickym rezonatorem, který oscilůje, kmita v neůveritelnem mnozství akustických módU. Brzy nato se potvrdilo, ze podobne oscilace jsoů zjevne spolecne vňsem hvňezdíam slůneňcního typů. Klasickíe půlzůjící hvňezdy a hvňezdy bňeňzníe, nepromňenníe" odliňsůje amplitůda pozorovaníych oscilací a zdroj jejich energie. Hvňezdníe oscilace tak lze rozdňelit do tňrí kategorií: a) p-mýdy - tlakove (akůsticke mody) s frekvencemi vetsími nez 1 mHz a relativne malými horizontílními vlnovými delkami (l se mení od 0 do 1000, i více). U Slůnce jsoů nejsilnňejňsí oscilace s frekvencí 2-4 mHz (s periodami od 3 do 8 minůt). Nňekdy se jim ríka pětiminutové oscilace; b) gravitacní g-mody, ktere mají gravitaci jako síly, ktera se snazí obnovit rovnovazný stav. Mají maloů frekvence do 0.4 mHz a vyskytůjí v hlůbokých vrstvach hvezdy, pod konvektivní zoínoů. U Slůnce se nňekdy tyto g-moídy spojůjí s oscilacemi o del-sích periodach kolem 160 minůt. Jejich vysvetlení je vsak ponekůd kontroverzní. Slůnecní oscilace s periodoů 160 minůt byly pozorovany z pozemských obser-vatorí, ale více nez 690 dní trvající pozorovaní provídena prístrojem GONG na 182 Kápitolá 6. Přomňennost peřiodicky přomňennyích hvňezd pálube dřuzice SOHO zádne podobne osciláce nezáznámenálo. Jedno z moznych vysvetlení je, ze 160minutove zmeny jsou vísledkem hářmonickích přocesu spojeních se zemskou átmosfeřou. 160 min je přesne 1/9 24hodinoveho slunecního dne.19 c) povřchove gřávitácní vlny, tzv. f-mody. Objevují se ve fotosfeře. Jejich fřekvence je mezi p-míody á g-míody. Dlouhodobým pozořovýním ustávicních zmen řádiální řychlosti jednotlivích bodu ná slunecním povřchu je mozne řozlozit slunecní osciláce do jednotlivých mídu á získát ták spektrum slunecních oscilácí. Ze vztáhu mezi pozořovánou vlnovou delkou jednotlivych modu á jejich peřiodou je mozne vypocítát, jákou střední řychlostí se tá kteří vlná šířilá slunecním nitřem. Vzhledem k tomu, ze kázdí z mídu zášáhuje do Slunce jinák hluboko, je moňzníe stánovit funkci zíávislosti řychlosti zvuku ná vzdíálenosti od centřá. Přesne stejním zpusobem postupuje seismologie, kteří vyšetřuje vlástnosti Zeme. Přotoňze řychlost zvuku bezpřostňřednňe záívisíí ná teplotňe hvňezdníeho nitřá v dáníe hloubce, je moňzníe tíeňz uřňcit, ják zíávisíí teplotá ná vzdíálenosti od stňředu Slunce. Tákto lze testovát souňcásníe modely sluneňcníího nitřá á přovíádňet jejich opřávy. To se jiňz skuteňcnňe stálo, nápňřííklád v tom, ňze se ukáízálo, ňze konvektivníí zíoná zásáhuje hloubňeji, neňz se dříve předpokládálo - áz 30% pod povřch. Z řozdílu v pozořováných peřiodách mídu s opáňcnyími ázimutíálním ňcíslem m záse bylo moňzníe odhádnout, ják se mňení uíhlovíá řychlost slunecního nitřá. Puvodní předpoklád, ze Slunce řotuje jáko tuhe teleso, musel byít díky helioseismologii pňřehodnocen. Nyní uňz víme, ňze Slunce uvnitňř řotuje řychleji. Toto zjištení hřáje dulezitou řoli při vysvetlování přícin slunecní á hvezdne áktivity. Obřízek 6.28: Ukazka „koncertu" cervenách obru, jak je zaznamenala druzice KEPLER. Zdroj: NASA. Sluneňcní osciláce přostupují celíe Slunce, á ják se zdíá, podpovřchovíá konvekce jim zňřejmňe pňříliňs nepňřekíáňzí. Bá co víc, je přávdňepodobníe, ňze přáívňe z eneřgie dosti uspoňříádá- 19Prehled problematiky slunecních oscilací v g-modu uvadí Appourchaux et al. (2010). 6.4. Týpý pulzujících pramenných hvezd 183 neho konvektivního pohýbu ceřpají slunecní oscilace svou eneřgii. Muzeme samozřejme zobecnovat a předpoklýdat, ze u jiných hvezd je to stejne. Je vsak zřejme, ze z velke vzdýlenosti, kdý se ným kotoucek hvezd smřstí na jediný bod, není mozne se soucasnou pozořovací technikou pozořovat výssí mýdý oscilací, kteře jsou u Slunce zvlast' silne. Je nutno se omezit jen na tý nejjednodussí. U vzdýlených hvezd tak lze zaznamenat jen mýdý s nízkým l (l < 4), přotoze pak se modý při pozorovaní navzajem stírají. V současnosti se výzkumu hvezdných seismických vln (astroseismologii) venuje rada tymu, ktere vyuzívají i velmi presna fotometricka merení z druzic WIRE (start v r. 1999), MOST (2003), COROT (2007), KEPLER (2009). Posledne jmenovaný druzice take získala fotometrický data pro hvezdu KIC 11026764, který je nyní jednou z nejpresneji promerených hvezd ve vesmíru (Metcalfe et al., 2010). Astroseimologickou analýzou pozorovaní byl velmi presne určen polomer hvezdy a její starí. S podobnou presností zname v současnosti data jen u nekolika hvezd! Pro hvezdu KIC 11026764 z analyzy napríklad vyplýva, ze je ve vyvoji dale nez nase Slunce a uz zapýlila vodík ve slupce kolem helioveho jadra. 6.4 Typy pulzujících proměnných hvězd 6.4.1 Klasickě cefěidy Cefeidý nebo tez klasické cefeidý, případne hvezdý týpu ó Cephei jsou řadiýlne pulzující nadobři ci veleobři (luminozitní třídý Ib - II) spektřalního týpu F-K (viz obř. 6.32). Peřiodý pulzací jsou od 1 dne do 135 dní, amplitudý svetelných zmen az 2 mag. Křivka řadiýlních řýchlostí je ve fazi se svetelnou křivkou: maximum řýchlosti expanze odpovídý maximu jasnosti hvezdý (viz obř. 6.31). Jde o hmotne hvezdý v pokřocilem stadiu vývoje, v jejichz ni-třu se jiz zapýlilý heliove řeakce. Jsou to týpicke clenký plocheho podsýstemu Galaxie, výskýtují se obcas v mladsích otevřených hvezdokupach. Dobře výjýdřena zavislost mezi peřiodou pulzací a zařivým Obřízek 6.29: Klasicke cefeidy výkonem je dusledkem skutecnosti, ze cefeidý jsou v HR diagramu (viz obr. 6.24). mzne hmotne a tudíz mzne zýřive hvezdý, jez se při svem vývoji přave dostalý do pasu nestabilitý. Přícinou udřzení pulzací cefeid je akumulace tepla získaneho při přostupu zýřive eneřgie ve vřstve, v níz je sřovnatelne mnozství jedenkřat a dvakřat ionizovaneho helia. Vetsina pulzuje v zakladním mýdu, býlý ale nalezený i takove, kteře pulzují v prvním hamionickem modu. Tý jsou pak oznacený CEP-FO (fiřst oveřtone). 184 Kapitola 6. Promennost periodicky promenných hvezd Obrazek 6.31: Pozorovane vlastnosti typicke cefeidy 5 Cephei v zívislosti na fazi pulzační periody. Prevzato z Carroll & Ostlie (2007). 6.4. Týpý půlzůjících přomenných hvezd 185 6.4.2 Hvězdy typu W Virginis Obřízek 6.32: Hvezdy typu W Vir v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Půlzůjící přomenne hvezdý týpů W Viřginis jsoů tzv. cefeidý dřůhe geneřace. Přomennost Samotne W Viř objevil Ařgelandeřův asistent Schônfeld v řoce 1866. Na skůtecnost, ze se tato hvezda a jí podobne lisí od klasických cefeid ůpozořnil ale az řoků 1946 Wal-teř Baade. Hvezdý týpů W Viřginis jsoů řadiílne půlzůjící obři staře diskove a sfeřicke slozký Galaxie (popůlace II). Peřioda jejich půlzací je 1 az 50 dní, amplitůda od 0,2 do 2 mag. Je ů nich řovnez po-zořovína obdoba zavislosti peřioda-zařiví víkon, kteřa platí ů cefeid, jen s tím řozdílem, ze přo tůtez peřiodů jsoů hvezdý W Viřginis o 0,7 az 2 mag slabsí. Příve smíchaní klasickích a cefeid a hvezd týpů W Viř působilo v první polovine minůleho století problemý v přesnem výmezení zívislosti peřioda-zařiví víkon. Nýní ůz víme, ze přomenne týpů W Viřginis lze od klasickích cefeid řozlisit podle tvařů jejich svetelne křivký (viz obř. 6.33). Obřízek 6.33: Svetelna krivka klasicke cefeidy lCarinae a W Virginis v barve V. Prevzato z http://www.surastronomico.com. 186 Kapitola 6. Proměnnost periodicky proměnních hvězd 6.4.3 RR Lyrae Hvězdy typu RR Lyrae jsou někdy oznacovany jako krátkoperiodické cefeidy. Jedna se o radialně pulzující obry a podobry slunecních hmotností spektralního typu AazF, populace II s mensím zastoupením tězsích prvku, kterě se během svěho vívoje prívě dostaly do pasu nestability. Periody světelních změn jsou v intervalu 0,2 az 1,2 dní (větsinou ale do 0,8 dne), amplitudy 0,2 az 2,5 mag. Maximu jasnosti odpovída maximum expanzní rychlosti hvězdy. Rozborem světelních krivek lze takě na zíkladě semiempirickích vztahu urcovat fyzickě vlastnosti těchto hvězd, napríklad metalicitu [Fe/H]. Podle tvaru světelních krivek se rozlisuje několik pod' typu, ale naprostí větsina (pres 90 %) jich patrí k typu Obrazěk 6^4: Hvězdy typu ab, kterě jsou charakterizovíny rychlím narustem jas-RR Lyr v HR diagramu. Popis nosti (viz obr. 6.35). U hvězd typu RR Lyrae se někdy a zdroj viz obr. 6.24. v pruběhu casu mění periody pulzací i podoba světelně krivky. Zajímavím fenoměnem je tzv. Blazkuv jev, kdy se pres hlavní pulzacní krivku prekladí dalsí sekularní změna tvaru a amplitudy světelně krivky. Ani jedno století po objevu není tento jev uspokojivě vysvětlen. Blazkuv jev postihuje jen některě hvězdy typu RR Lyrae. Jejich katalog publikoval Skarka (2013). ■0* JJ.4 J>1 0 0.? Dl 0« -0« 41 -03 0 01 0* 0U> pliaSě [l Im M1 Obrázek 6.35: Světelné křivky hvězd typu RR Lyrae. Vlevo je podtyp RRab, vpravo RRc. Zdroj: M. Skarka. Tyto hvězdy lze pouzít jako standardy pri stanovovíní vzdíleností hvězdních soustav, nebot' vsechny mají zhruba tutěz strední absolutní hvězdnou velikost (My « 0, 6 mag)20. S víhodou se tak ciní zejměna u kulovích hvězdokup a eliptických galaxií, v jejichz osazenstvu se klasickě cefeidy nenachízejí. Soucasně studie ale ukazují, ze bude v pruměru jestě nejspíse o něco mensí a zívisla na metalicitě. 6.4. Typy pulzujících proměnných hvězd 187 6.4.4 Hvězdy typu ô Scuti Obrýzěk 6.36: Obrázek 6.37: Hvezdy typu ô Scuti v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Hvězdy typu ô Scuti jsou radiálne i něrádiýlně pulzující hvězdy hlavní posloupnosti, prípádně obri spěktrálního typu A0 áž F5. Jdě o hvězdy z pásu něstábility, kdě jsou kmity posilovány zádrzovíním zárivě ěněrgiě postupující z nitrá hvězdy v zíně Hě n/Hě in.21 Pozorováně ámplitudy světělních změn jsou od 0,003mág do 0,9 mág s krátkými pěriodámi, jěn 0,01-0,2 dně. Hvězdy s ámplitudámi větsími něz 0,1 mág sě oznácují jáko HADS (z ánglickěho high-ámplitudě děltá Scuti stárs). Tvár světělně krivky i ámplitudá sě s cásěm obvyklě silně mění. Jě to duslěděk skutěcnosti, zě sě zdě vědlě sěbě uplátnujě hněd několik pulzácních pěriod, hvězdá pulzujě soucásně v několiká moděch. Vzhlěděm k tomu, zě sě tyto pěriody od sěbě zprávidlá prílis nělisí, muzěmě vě světělně krivcě pozorovát rízy, období zvísěně ámplitudy, někdy náopák mohou světělníě změny ná cás vymizět. Obřazek 6.38: Svetelní krivka FG Vir, hvezdy typu ô Scuti získana z nekolika observatorí na zaklade pozorovací kampane. Prevzato z Breger et al. (2004). Zvlastní podtřídoů hvezd týpů ó Scůti jsoů hvezdý týpů SX Phoenicis. Zpřavidla mají vetsí amplitůdý zmen jasnosti (az nekolik desetin magnitůdý) s peřiodami mezi 0,03 az 0,08 dne. Nekteře půlzůjí ve dvoů modech. Ale zejmena se lisí fýzicke pařametřý. Mají maloů metalicitů a jejich vlastní pohýb je řadí spíse mezi hvezdý popůlace II. Objevůjí se v třpaslicích galaxiích a kůlovích hvezdokůpích mezi modřími opozdilci (v anglictine „blůe střaggleř"). 21Ve stejnem míste H-R diagramu se nachazejí i magneticke hvezdy typu Ap, z nichz u nekterych byly pozorovany neradialní pulzace. Jejich spektrum i amplituda se mení s periodou rotace. Kurtz (1982) v nich odhalil tzv. magneticke pulzatory, hvezdy, u nichz je urcující osou symetrie osa jejich mohutneho dipoloveho magnetickeho pole. 188 Kapitola 6. Promennost periodický promenných hvezd Obrazek 6.39: Svetelne krivky hvežd typu SX Phe v barve V v poli kulove hveždokupy M 55. Prevžato ž Pych et al. (2001). 6.4.5 Hvezdy typu y Doradus Obrázek 6.40: Vlevo: Hvezdy typu 7 Dor v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Vpravo: Symetricke a multimodílni (praví sloupec) svetelne krivky hvezd typu 7 Dor z pozorovaní družice Kepler. Prevzato z Balona et al. (2011). Hvezdý týpu y Doradus tvoří pomerne homogenní skupinu trpaslicích pulzujících promenných hvezd spektralního týpu F0 az F2. Lezí tesne u cerveneho okraje pasu nestabilitý s hvezdami týpu ô Scuti. Jako samostatná týp promennách hvezd býla skupina definovana pomerne nedavno (Kaýe et al., 1999). Hvezdý kmitají s jednou az peti periodami o delce 0,4 az 3 dný, amplitudý svetelnách zmen dosahují 0,1 mag (V). Jedna se 74688264 6.4. Typy pulzujících promenných hvezd 189 o neradialní pulzace v g-modu. V pozorovýních druzice Kepler byly objeveny i hybridy - hvezdy typu 7 Dor s pulzacemi ô Scuti. 6.4.6 Rychle oscilující pekuliární hvezdy Obrazek 6.41: Hvézdy typu roAp v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Rychle oscilující pekuliýrní hvezdy jsou oznacovany jako roAp hvezdy. Do teto skupiny patrí hvezdy spektralního typu B8 az F2 na hlavní posloupnosti nebo v její blízkosti. RoAp hvezdy jsou podtypem rotujících promenných hvezd typu a2 Canum Venaticorum. Perioda svetelných zmen s amplitudou radove milimagnitudy je od 5 do 15 minut. Pozorovaný svetelný krivka je výsledkem sklýdýní zmen zpusobených rotací hvezdy a pulzací. Z hlediska pulzací jde o neradialne pulzující magneticke hvezdy, u nichz osu pulzací neurcuje rotacní osa, ale osa magnet-ickeho dipýlu. Pulzace o periode rýdove 0,01 dne a amplitude rýdove 0,01 mag se prekladají pres rotacní zmeny jasnosti. Tomuto typu promennosti, který je kombinací rotace a pulzace rízene magnetickým polem, se ríký magnetický pulzátor (viz obr. 6.44). Obrazek 6.42: Svételna krivka hvézdy typu roAp a Cir z druzice WIRE a africké observatore SAAO, kde byly roAp hvézdy objeveny. Spodní panel ukazuje trídenní simultínní pozorovíní z WIRE a SAAO. Prevzato z Bruntt et al. (2009). 190 Kapitola 6. Promennost periodicky proměnných hvezd 6.4.7 Hvezdy typu (3 Cephei Obrázek 6.43: Hvězdy typu // Cěp v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Někdy se hvězdy typu (3 Cephei oznaCují i jako hvězdy typu (3 Canis Majoris. V kazdem prípade jsou to jsou pulzující horke hvezdy horní Casti hlavní posloupnosti v uzkem rozmezí spektrálních typu B0 az B2, ktere vykazují svetelne zmeny o amplitude 0,01 az 0,3 mag a zmeny radialních rychlostí, vse s periodou 0,1 az 0,6 dne. Krivky svetelne a krivky radiílních rychlostí jsou proti sobe posunuty o ctvrt periody: maximílní jasnost odpovída minimalnímu polomeru a maximalní teplote. Vse je to dusledek pulzací, ktere bívají jak radiílní, tak neradialní. Nekdy mívají i více period. Pokud je prítomno více period, pak jedna zpravidla príslusí radialním pulzacím a jedna nebo více neradiílním. Periody jsou casto neprílis odlisne a jejich zazneje (v angl. „beat effect") vytvarejí charakteristicke vzedmutí a poklesy amplitud. Obrazek 6.44: Model magnetického pulzátoru. Převzato z Percy (2011). Mechanismus pulzací je podobní jako u cefeid, jen s tím rozdílem, ze zde k zadoucí akumulaci prostupující zarive energie dochízí v dusledku fotoionizace prvku skupiny zeleza. Ty jsou v podpovrchovích vrstvach techto horkích hvezd hlavní prícinou opacity hvezdneho materialu. 6.4.8 SPB SPB je zkratka z anglickeho „slowly pulsating B stars" a znamení pomalu pulzující B hvezdy. Jedna se hvezdy spektrálního typu B2 az B9 o hmotnostech 3 az 9 M0. Jako zvlastní skupinu promenních hvezd je popsal Waelkens (1991). Amplitudy zmen jsou jen velmi male, maximalne do 0,1 mag. Bívají interpretovíny jako vísledek neradialních pulzací g-modu vysokích rádu. Period pulzací je zpravidla více v rozmezí od nekolika hodin do nekolika dní. 6.4. Typy půlzůjících pramenných hvezd 191 Obrazek 6.45: Svetelne krivky trí hvezd typů // Cephei z prehlídky ASAS a krivka BW Vůl sestavena pozorovaní v rímci kampane v r. 1982. Prevzato z Pigůlski & Pojmaíski (2008). Obrízek 6.46: Vlevo: Poloha hvezd typů SPB v HR diagramů. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Vpravo: Svetelne krivky hvezdy typů SPB HD 123515. Prevzato z Waelkens (1991). 6.4.9 Pulzující bílí trpaslíci Nadpis teto kraticke kapitolky odhalil, o jake hvezdy se jední. Nekdy jsoů podle sveho hlavního predstavitele oznacovany jako promenne hvezdy typů ZZ Ceti. Jak je videt z HR diagramů na obrazků 6.47 nachazejí se v prodloůzení pasů nestability v dolní casti HR diagramů v oblasti spektrálního typů A. Pozorovane zmeny jasnosti o amplitůdach od mmag do 0,2 mag a periodach od desítek po tisíce sekůnd jsoů důsledkem neradialních půlzací. Vetsinoů jich probíhí hned nekolik najednoů s pomerne blízkými periodami. Obvykle půlzůjí soůcasne v nekolika blízkých periodach. I kdyz první prípad je zním ůz více nez ctvrt století (Landolt, 1968), je celkove znamo jen nekolik prípadů. 192 Kapitola 6. Promennost periodicky proměnných hvezd , 1 , I ^ , 1 , , , I 1 I , 1 , 1 , , \ f 1 ll jS Cep\|l|s CepíTl ^PNNV ^ É \ SPbW|S ~~-|| k EC14026 ft \ S5532 S5535 V V v v wVv v W vV^ S 55 36 v v v y v '* v S5539 32 0.38 0 .44 0.50 0.56 Obrázek 6.47: Vlevo: Poloha hvězd typu ZZ Ceti v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Vpravo: Pozorovaní hvězdy EC23487-2424 během 6 nocí. Převzato z Stobie et al. (1993). 6.4.10 Dlouhoperiodickě pulzující proměnné hvezdy Významnou skupinu proměnnách hvezd tvorí dlouhoperiodicke proměnně hvězdy, znamě těZ jako hvězdy typu Mira, rěspěktivě miridy22. Jsou to chladně hvězdy asymptotickě větvě obru o hmotnostěch Sluncě. Tyto hvězdy na sěbě vělicě upozornují zějměna vělkou amplitudou svých světělných změn (i pres 10 mag), alě i rělativně vysokým zárivým výkoněm - jsou to jědny z nejzarivejších hvězd v Galaxii, viditělně i na vělkou vzdalenost. Kolem těchto hvězd se casto pozoruji' mzně vyvinutě okolohvězdně plynoprachově obalky (viz napríklad okolí samotně Miry na obr. 6.50). Amplitudy světelných změn v optickěm oboru jsou velikě zpravidla mezi 2,5 az 11 mag, v modrě a ultrafialově oblasti bývají jestě větsí, v infracerveněm oboru vsak neprevysují 2,5 mag. Rekordmankou mezi miridami a vlastně mezi vsemi periodicky proměnnýcmi hvězdami je x Cygni, který se ve vizuýlným oboru mění v rozsahu 14 mag. Bolometricky ciní ale amplituda změn jen 3,3 mag. Tento rozdíl je dan tím, ze v pruběhu cyklu dochýzí k velmi drastickým změnam v rozlození energie ve spektru. Světelně krivky mirid jsou poněkud asymetrickě, pozorujeme zde rychlejsí vzestup do maxima a pomalejsí pokles. Světelně krivky jsou poměrně stabilní, změny probíhají dosti periodicky. Pozorovaně periody v rozsahu 80 az 1100 dní dobre souhlasí s velmi nízkou strední hustotou těchto cervených obru. Pulzace těchto rozměrných chladných 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ ; i 1' n ^PNNV >ä || '■■ spb%I? ~wL k EC14026 W\K fffH Irr - >RR Lyr SolarVVľ like ^? i DB^ ■ 1.........1"-.. i 1 , , Obrázek 6.48: Miridy v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. 22Pripomeňme, Ze prototyp těchto hvezd o Ceti byla také první známá periodická proměnna hvězda. Její zmeny jasnosti si povšiml David Fabricius uz roku 1596. 6.4. Typy pulzujících proměnných hvezd 193 hvezd jsou řadialní, spořý se vsak vedou o tom, zda kmitají v zýkladním modu nebo v 1. hařmonicke. Pulzace miřid ceřpají svou eneřgii ze stejneho zdřoje jako ostatní týpý pulzujících přomenných, tedý ze zýřiveho toku výchýzejícího z centřýlních castí hvezdý. Rozdíl je v tom, ze k akumulaci zýřive eneřgie a k jejímu převodu na eneřgii kinetickou dochýzí zřejme ve vřstve ionizovaneho vodíku. Pulzace, jez se hvezdou ísířří, břzý nabude povahu řazove vlný, kteřa se pak přodířý hvezdou z nitřa na povřch. Pozořovane svetelne zmený jsou pak předevsím výsledkem inteřakce hořke řazove vlný, kteřý přochazí rozmernou atmosfeřou o nízke efektivní teplote. Latka zde, navzdořý sve řídkosti, je optický velmi mýlo přuhledna, a to hlavne v dusledku absořpce vývolane molekulami oxidu titanu TiO. Při středu řazove vlný dochazí k disociaci techto molekul, coz vede k přudkemu poklesu opacitý. V maximu jasnosti spektřalní pasý TiO mizí, objevují se emisní cýřý vodíku a ionizovaneho vapníku, zcela neodpovídající pozdnímu Obrázek 6.49: Světelný krivka Miry. Zdroj AAVSO. 194 Kapitola 6. Promennost periodicky promenných hvezd spektralnímů typů. Zmeny ve vzhledů a charakterů spektra jsoů velmi průdke. Půlzace hvezd jsoů az sekůndarním efektem a na zmeny jasnosti hvezd mají jen okrajový vliv. Obrazek 6.50: Nahore: Snímek okolí hvézdy Mira Ceti v ultrafialové oblasti spektra jasné ukazuje materiíl, kterí za sebe hvézda zanechava. Dole: Stejna oblast v okolí o Ceti nic zvlastního neukazuje. Zdroj: Galex team, Caltech. 6.4.10.1 Poloprávidelne promenne hvezdy S klasickými miridami jsou sprízneny tzv. polopravidelné proměnné hvezdy (typ SR z an-glickeho semi-regular) s mensí amplitudou svetelných zmen a s mene prísnou periodicitou. U nich nejsou efekty tak výrazne, hlavne tu nema pmchod razove vlny atmosferou tak devastující ucinek. Pasy TiO ve spektru pozorujeme stale, coz se pak projeví pozorovanou mensí amplitudou svetelných zmen. Hvezdy typu SR jsou obri a veleobri pozdních spektralních tríd s jistou periodou pulzací. Periodicita deju je zde obcas narusovana urcitými nepravidelnostmi. Periody svetelných zmen o amplitudach 1-2 mag bývají od 20 do 2000 dní. Prestoze jsou zde spolecne znaky s miridami, celkove je svetelne chovaní teto rozmanite skupiny hvezd velice ruzne. Muzeme je dale rozdélit do ctyr podtypu: SRa - jejich svetelné zmény jsou takrka presné periodické, periody v rozmezí 100 az 400 dnu, amplitudy az 2 mag. Jedna se o obry a veleobry pozdních spektralních tríd s emisemi vodíku. Jsou zrejmé velice podobné miridam. SRb - svetelné zmény nejsou jiz tak prísné periodické, perioda vétsinou 80 az 120 dní. U rady z nich se objevuje i dalsí, o rad delsí perioda. Amplitudy zmén jsou vesmés pod 1 mag. Jední se o obry a veleobry spektralních typu M, C a S. 6.4. Typy půlzůjících promenných hvezd 195 SRc - svetelne zmeny ůrcůje více period jedna byva radove stovky, drůha tisíce dní dloůhí. Amplitůdy kolem 1 mag. Vesmes jde o hmotne cervene veleobry trídy M se silnoů koncentrací ke galakticke rovine. SRd - svetelne zmeny jsoů pomerne prísne periodicke, pricemz pro kazdoů hvezdů lze vytipovat soůbor period, v nichz se strídave mení, v období zmeny periody se můze jasnost hvezdy menit dosti chaoticky. Amplitůdy jsoů v rozmezí 0,1 az 4 mag. Hvezdy tohoto typů jsoů teplejsí obri a veleobri typů G, K a M, vetsinoů s emisemi ve spektrů. 6.4.10.2 Hvezdy typu RV Tauri Hvezdy typů RV Taůri jsoů radialne půlzůjící veleobri, jejichz spektra se v cyklů pro-mennosti výrazne mení. Zatímco v maximů jde o hvezdy spektralní trídy F-G, v min-imů K-M. Periody svetelnych zmen ciní 30 az 150 dní s amplitůdami 3 az 4 mag. Ve svetelných krivkach vedle hlavních minim jasnosti pozorůjeme i minima sekůndarní, pricemz pomery jejich hloůbek se s casem mení, mohoů se i prevratit. Hvezdy silne zarí v infracervenem oborů, kde se projevůje zarení prachove obílky vymetene z hvezdy půlzacemi. Emisní cary svedcí o prítomnosti rozsahle atmosfery. 6.4.10.3 Hvezdy typu R Coronae Borealis Hvezdy typů R CrB jsoů stare veleobrí hvezdy spektrílní trídy F az K s nízkým zas-toůpením vodíků v atmosfere, ale s hojností ůhlíků. Půlzůjí s periodoů 30 az 100 dní s amplitůdoů pozorovaných zmen 0,1 az 1 mag. Pres půlzace se preklídají aperiodicka zeslabení v rozmezí od 1 do 9 (!) magnitůd. Tato minima jasnosti mohoů trvat i celíe roky (viz obr. 6.51). Enormní pokles jasnosti se vykladí silnoů absorpcí svetla grafitovymi zrnícky, ktera zde zkondenzovala z latky vyvrzene hvezdoů. Obrízek 6.51: Svetelna krivka R CrB v letech 1910-2010. Zdroj AAVSO. 196 Kapitola 7. Fýzika apeřiodickích pramenných hvezd 7 Fyzika apěriodických proměnných hvězd Apeřiodicke zmený jasnosti ů přomenních hvezd zpřavidla přímo soůvisejí se zmenoů samotne hvezdý nebo jejího okolí. V teto kapitole tedý půjde zejmena o fýzicke přomenne hvezdý (v anglický psane liteřatůře „intřinsic vařiable stařs"). Zmený chařakteřistik objektů přitom mohoů probíhat: • v okolí hvezdý. Mlůvíme o nejřůznejsích přojevech akřece, přítomnosti akřecního disků, o vlivů hvezdneho vetřů apod. • v povřchovích vřstvach, kde jsoů to nejcasteji přojevý hvezdne aktivitý. Ale samo-zřejme sem můzeme zařadit i vzplanůtí nov. • v podpovřchových vřstvach, kteře mohoů být zdrojem hvezdních půlzací. Tý sice patří mezi střiktne peřiodicke jevý, ale jde o fýzicke zmený hvezdý, proto je zde ůvíadííme přo ůíplnost takíe, • v samotnem jadřů hvezdý, ke kteřým dochízí při zřodů hvezdý ve fazi řýchleho smřst'ovaní i na konci vývoje velmi hmotních hvezd při víbůchů sůpeřnov a hý-peřnov. Jednotlivím mechanismům přomennosti se nýní bůdeme venovat podřobneji. 7.1 Proměnnost hvězdy v důsledku změn jejího okolí Kolem hvezd se casto nachazí mnozství optický aktivního mateřialů řůzneho původů. Mohoů to bít třeba zbýtký zírodecneho mateřialů, kteří nebýl spotřebovín na stavbů hvezd. Tak je tomů i v případe velmi mladích hvezd týpů T Taůři, FU Ořionis tesne před jejich vstůpem na hlavní posloůpnost. Do okolního přostořů, ale naopak mohoů mateřial dodavat samotne hvezdý. Hvezdý ztřacejí svoů hmotů nejcasteji hvezdním vetřem, kteřý můze bít ů nekteřích týpů hvezd i pomeřne intenzivní. Ke ztřate hmotý do okolí hvezdý dochazí tez v důsledků půlzací hmotních hvezd a hvezd v pozdních stadiích jejich víývoje. Nesmíme zapomenoůt ani na výíbůchý sůpeřnov nebo hýpeřnov, při nichz je do přostořů odvřzena cela vnejsí císt hvezdý, ne-li hvezda celí. Výskýt okolohvezdneho mateřialů je take důlezití například ů zablesků zaření gama. Tý jsoů zřejme způsobený řazovími vlnami ve vítřýsků lítký, ale jeho inteřakce s mezihvezdnoů latkoů stojí za tzv. optickím dosvitem (v anglicke liteřatůře „afteřglow"). Znacne přocento hvezd se navíc výskýtůje ve vesmířů v pařech a tadý vstůpůjí do hřý i dalsí mechanismý, kteře vedoů k íniků latký do okolí jedne slozký dvojhvezdý nebo i cele dvojhvezdý. 7.1.1 Hvězdy typu T Tauri Prestoze samotnou promennost T Tauri objevil J. R. Hind uz roku 1852 (viz obr. 7.3), jako specifickí typ promenních hvezd byly oznaceny az o temer sto let pozdeji (Joy, 1945). Nedlouho pote Ambarcumjan vyslovil hypotezu, ze jde o hvezdy podobne Slunci ale v ranem stadiu vyívoje. 7.1. Proměnnost hvězdy v důsledku změn jejího okolí 197 Gravitační Akreující Smršťující se Hvězda hlavní kolaps protohvězda hvězda před HP posloupnosti Vlastnosti YSO 1 1 . WfjL-IM TToríMír Fáze adiabatická (A,B,C) akrece (D) hoření deuteria začátek konvekce konve ktivní zářivá začátek jaderného hoření konvektivní zářivá; plné jaderné hoření Toky látky většinou dopad disk & odtoky částečně dopad většinou akrece odtoky, výtrysky malá akrece 9 Obálka/velikost disku < 10000 AU < 1000 AU < 400 AU - 100 AU Dopad/ rychlost akrece io 4 10 "5 io"6- io"7 9 Věk [roky] 4 5 10 - 10 10 6 7 10 — 10 6 7 10 — 10 Obor záření (kromě IR) tepelné rádiové rtg.? rádiové rtg. rádiové optické silné rtg. netepelné rádiové optické silné rtg. netepelné rádiové optické rtg. Třídy Třída 0 Třída I Třída II Třída III ZAMS Obrázek 7.1: Infračervená klasifikace YSO vzhledem vývojové fázi a přetoku hmoty. Převzato z Schulz (2005). Hvězdy typu T Tauri jsou mladě, většinou rychle rotující, a tudíZ aktivní hvězdy ve stadiu gravitačního smršťování, jěZ prědchízí jějich vstupu na hlavní posloupnost. Jsou jědnou zě skupin tzv. mladých hvězdných objěktu (YSO, z angl. Young Stěl-lar Objěct) (viz tabulka 7.1). Obvyklě proto v jějich sousědství nachazímě zbytky zaroděcně mlhoviny. Vyskytují sě ponějvícě v tzv. T-asociacích a v mladích otěvrěních hvězdokupach. Jějich hmotnost jě strědní, lězí v intěrvalu 0,3 M0 az 3 M0. Spěktralní cary (obcas i silně ěmisě) profilu P Cygni jasně svědcí o rychlych pohyběch v atmosfěrě, o silně chromosfěrickě aktivitě. Vě spěktrěch nalězamě nějěn ěmisě vodíku, vapníku Ca II (H a K cary), alě takě ěmisní cary zělěza (406,3 a 413,2 nm), zakazaně cary [O i] a [S Ii] (406,8 a 407,6 nm) a silnou caru lithia (670,7 nm), svědcící o tom, zě těplota v jějich nitru jěstě něprěsahla zípalnou těplotu tohoto prvku. Fotomětricka pozorovaní províděna v ruznych oblastěch spěktra ukazují na ruzně zdrojě proměnnosti těchto hvězd. Proměnnost v infracěrvěněm oboru pravděpodobně vznika v chladněm matěrialu akrěcního disku, zatímco ultrafialoví proměnnost byva duslědkěm horkích skvrn vznikajících v místěch dopadu matěrialu z vnějsku. Cast in-fracěrvěně a optickě proměnnosti jě dalě duslědkěm hvězdně aktivity vyvolaně dispipací lokalních magnětickích polí vznikajících v konvěktivním obalu poměrně rychlě rotujících 198 Kápitolá 7. Fyziká áperiodických proměnných hvězd Obrázek 7.2: Světelná křivka T Tauri určená z 275 archivních desek na Harvard College Observatory (prevzato z Tracy L. Beck & M. Simon, AJ 122, 413, 2001). hvezd. Hvezdna aktivita se přojevuje výskýtem chladných i hořkých skvřn na povřchu, eřupcemi a chřomosfeřickou aktivitou. Pozořovane svetelne zmený bývají povetsinou nepřavidelne, chaoticke, s amplitudami od 1 mag do 4 mag na casove skale od minut po desítký let. Býlý ale detektovaný i pe-řiodicke zmený v řýdu dní spojene s řotací hvezdý. Mateřiýl v okolí hvezd T Tauři je jednak pozustatek zařodecne latký, z níz hvezda vznikla a kteřa se koncentřuje zejmena v akřecním disku a jednak je dodavan hvezdou prostřednictvím bipolýřních výtřýsku a hvezdneho vetřu. Střední řýchlost akřece se 7.1. Promennost hvezdý v dusledku zmen jejího okolí 199 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 1 1 1 FU Ori V1515Cyg -18 V1057 Cyg . ...mJ ^ 1................ 3000 3500 4000 4500 5000 JD 2400000 + Obrazek 7.4: Svetelne krivky trí nejlepe studovaních fuoru. (Prevzato z Vittone & Errico, 2006, ChJAS Vol. 6, Suppl. 1, 132.) udava přiblizne 10 8 M0. Zářiví víkon, která objekt získa akrecí, je přitom j _ ^ ^^hvězda ^^akrece ít ~\\ Lakrece = g r • (7.1) Zařiví víkon samotneho akrecního disku je polovicní, tak jak to plýne z virialoveho teoremu. Podle nej polovina energie získana akrecí je tedý výzařena a druha spotřebovana na zvísení vnitřní energie disku. Znacna ccast T Tauri hvezd se výskýtuje ve dvojitích nebo vícenasobních soustavach, kde se mohou krome víse uvedeních uplatnovat i dalsí specificke deje. 7.1.2 Hvezdy typu FU Orionis S pocatecními stadii hvezdneho vývoje jsou spojovaný i hvezdý týpu týpu FU Ori, oznacovane tez jako fuorý. Jsou to vubec nejmladsí pozorovane promenne hvezdý. Jsou nesmírne vzacne. Vzdýt' krome hlavní představitelký zname dosud mene nez tucet dalsíích podobnýích hvezd. Charakteristickýím projevem hvezd týpu FU Orionis je nepředvídatelní narust hvezdne velikosti hvezdý az o 6 mag (viz obr. 7.4). Ve stavu zvísene jasnosti muze hvezda setrvat i nekolik desetiletí a pak se opet navratit do puvodního stavu. Mechanismus promennosti zatíím neníí uspokojive nalezen. Uvazuje se o procesech souvisejících s dosazením rotacní stabilitý hvezdý (Herbig et al., 2003), o výbusích akreujícího materiálu v disku (Vorobýov & Basu, 2010), vlivu magnetickeho pole a podobne. Podle jedne z teorií je pozorovane zjasnení dusledkem přechodu hroutící se hvezdý z faze rýchleho smrst'ovaní, kdý hvezda příjímá az 10-4 M0/rok a zjevne není v hýdrostaticke rovnováze, do stadia pomaleho smrst'ovaní, kdý nitro jiz v rovnováze je. V poslední dobe je nejvíce akceptován model výbuchu FU Ori v dusledku nestabilitý v akrecním disku. Proces je podobnýí výíbuchu trpaslicíí nový, ale na delsíí casovíe skíale, protoze se jednía o disk kolem hvezdý hlavníí posloupnosti a nikoli bíílíeho trpaslííka jako u zminovanýích trpaslicích nov. Behem faze výbuchu přezaří disk hvezdu 100 az 1000krat. Je tu rovnez silní vítr s rýchlostí dosahující az 300 km/s. Na HR diagramu tato situace odpovída mo- 200 Kapitola 7. Fýzika apeřiodických přomenných hvezd mentů, kdý vývojova stopa hvezdý přave zpřava přotne Haýashiho cířů, řesp. Haýashiho mez. 7.1.3 Hěrbigovy-Harovy objěkty V okolí velmi mladích hvezd se výtvaří plýnopřachový disk. Mateřial z disků pos-tůpne klesa na hvezdů a obohacůje hvezdů, zvýsůje její hmotnost. Cast mateřialů je ale vývřhovína kolmo k řovine disků v polařních smeřech nadzvůkovoů řýchlostí. Přotilehle výtřýský se setkavají s okolní mlhovinoů mezihvezdne latký (viz obř. 7.5). Vznikají řízove vlný, kteře latků ohřívají a nůtí ji tak zařit. Přave tato zířiva oblast se nazíví Heřbigův - Hařův (HH) objekt na pocest astřonomů Geořge Heřbiga a Gůilleřma Hařa, kteří pocatkem padesatích let minůleho století půblikovali přvní stůdie techto objektů (viz obř. 7.5). Týto objektý nejsoů sice hvezdami (viz obř. 7.5), ale jsoů ů nich po-zořovaný zmený jasnosti v řozsahů az o nekolik magnitůd na casových skílích 10 az 20 let. Jejich přícinoů je přavdepodobne inteřakce mlhoviný HH objektů s řazovoů vlnoů, kteřa jimi obcas přochazí. Obřízek 7.5: Vlevo: Obrazek Herbigova - Harova objektu HH30 ukazuje disk a vítrysk nove hvezdy. Podobne mohlo na pocatku sveho vívoje vypadat i nase Slunce. Zdroj: A. Watson (UNAM Mexico) a NASA. Vpravo: Model hvezdy typu T Tauri s akrecním diskem a Her-bigovymi - Harovími objekty. 7.1.4 Latka vě dvojhvězdých S mnozstvím okolohvezdneho mateřiílů se setkavame i v okolí tesních dvojhvezd, kde dochízí k intenzivnímů přetoků latký mezi jejími slozkami. Nejvíce latký bíva ůlozeno v akrečním disku kolem slozký přijímající latků. Disk zde vznika přoto, ze přetekající 7.2. Aktivita hvezd a její projevý 201 latka si s sebou nese jistá moment hýbnosti a ten jí nedovolí dopadnout přímo na hvezdu-příjemkýni. Akrecní disk muze absorbovat a rozptýlovat svetlo slozek, míva vsak i vlastní zdroj energie. Turbulentní tření dokáze zahřat material disku az na teplotu nekolika tisíc kelvinu a zajist'uje v rámci disku tok momentu hýbnosti z vnitřních castí disku do vnejsích. Behem tohoto procesu klesa material z vnitřních partií na hvezdu, uvolňuje se potenciální energie, která se z vetsí casti mení v energii neuspořádaneho pohýbu mikroňcaístic.1 Zmínená proces s ohledem na turbulentní povahu tření zpravidla není spojitá, v ne-kterýích pňrípadech se zapne" naraíz a dojde k prudkíemu uvolnňení energie, kteraí pak vývola přímo explozi, vzplanutí. Takto si výsvetlujeme tez vzplanutí trpaslicích nov, tňesnýích dvojhvňezd sestíavajících ze zhrouceníe sloňzký - bílíeho trpaslíka - a normaílní hvezdý. Vetsí slozka výpmuje svuj Rocheuv lalok a neustale dodava latku do akrecního disku kolem bílíeho trpaslíka. Pokud ale hustota disku pňrevíýňsí jistou kritickou mez, rozvine se nahle turbulence, která je s to zpusobit, ze cast disku spadne do gřavitacního jíícnu bíílíeho trpaslííka. Rýchlýím sestupem ňcaísti laítký dovnitňr se uvolníí znaňcníe mnoňzstvíí energie, coňz se projevíí i optickýím zjasnňeníím o nňekolik magnitud. Svňetelnía kňrivka je jistou miniaturou vzplanutíí nový - pozorujeme zde níahlíe zjasnňeníí, trvajíícíí desíítký hodin. Po nňem naísleduje pomalejňsíí, dný trvajíícíí pokles. Potíe soustava pňrejde do klidovíeho stavu a pňrenos líatký z druhíe sloňzký pokraňcuje. Vzplanutíí trpasliňcíích nov se opakují s casovou prodlevou nekolika mesícu. Zdrojem nestabilitý bíývía i plýnníý proud pňrinaíňsejíícíí hmotu do akreňcníího disku. Pňretok nebýívaí obecnňe stacioníarníí, líatka se ke druhíe sloňzce dostíavía po jistíých díavkaích. Na stýku plýnníeho proudu, výstupujíícíího z Lagrangeova bodu, s akreňcníím diskem vznikía tzv. horka skvrna, jez muze být i nejvýdatnejsím zdrojem svetla v soustave trpaslicích hvňezd. Její momentíalní teplota i rozsah pak v rozhodující míňre ovlivnňuje pozorovanou jasnost soustavý. Nestacionarnost přenosu se projevuje i tzv. mihotáním (flickeringem) svňetla horkíe skvrný. 7.2 Aktivita hvezd a její projevy Projevý hvňezdníe aktivitý býlý objevený i u dalňsích hvňezd, zejmíena u chladníých hvňezd hlavní posloupnosti třídý M, ccili u tzv. červených trpaslíků,. Spektralní týp řadý z nich obsahuje přídomek e - například M5Ve, která znací, ze ve spektru jsou pozorováný emisní ňcaírý, nejňcastňeji vodíku a víapníku (ňcíarý H a K). Vzhledem k tomu, ňze teplotý techto cervených trpaslíku jsou nizsí nez 3 500K, nemel bý zde bát k zaření výbuzen ani ionizovanýí víapník, natoňz pak vodík. Víýskýt tňechto ňcar tak jasnňe dokazuje existenci relativnňe mohutníe chromosfíerý. Hvňezdý tohoto týpu jsou nezňrídka fýzický promňennýími hvňezdami, pňriňcemňz nejňcastňeji se zde setkaívíame z tzv. eruptivnáimi trpasláiky - hvňezdami, kteríe výkazují nňekolik minut trvající zjasnňení, pňri nichňz se ve výíjimeňcnýích pňrípadech muze víkon hvezdý zvásit az o dva řádý. Vse se výsvetluje castámi bílámi erupcemi, kteríe jsou nejmíenňe o ňríad mohutnňejňsí a mnohem ňcastňejňsí neňz sluneňcní bílíe erupce. 1Je treba dodat, že mince prerozdelovaní momentu v rímci disku má i svou druhou stranu, jízž je ínik latky do prostoru. Ze k tomuto deji vskutku dochazí, potvrzují i nedavne trírozmerne hydrodynamicke vypocty skupiny D. V. Bisikala (Boyarchuk et al., 2002). 202 Kapitola 7. Fyzika aperiodických promenných hvezd 5 G 15 G 50 G 150 G 12 [cm] 10 [cm] 8 [cm] 7.0 8.0 log T [K] Obrazek 7.6: Diagram zavislosti emisivity na teplote pro slunecní a hvézdné rentgenové erupce. Prevzato z Schulz (2005). Silnou hvezdnou aktivitu jeví i hvezdy typu T Tauri, hvezdy, ktere jsou v poslední fýzi sveho gravitacního smrst'ovaní, ktere predchazí okamziku, kdy se hvezda stane hvezdou hlavní posloupnosti. U hvezd tohoto typu pozorujeme hned nekolik projevu mimoradne mohutne hvezdne aktivity: prudke zmeny jasnosti dane castými erupcemi, promenne emise v carých vodíku a ionizovaneho vapníku (H a K cary), ktere dokazují existenci chromosferý. Z hvezd vane hvezdný vítr o nekolik rýdu mohutnejsí nez slunecní.2 U obrů a veleobru byla rovnez potvrzena existence mohutných chromosfer, jakoz i ocekavaný výron lýtky pusobený hvezdným vetrem. Ten obcas býva natolik mohutný, ze ovlivňuje i pmbeh vývoje hvezdy. Zvlastním prípadem jsou promenne hvezdy typu RS Canum Venaticorum. Jedna se o slozky tesných dvojhvezd. U nich lze vysledovat nekolik projevu hvezdne aktivity: 1. fotosfericke skvrny, ktere mohou opanovat az 50% pozorovaneho povrchu hvezdy; 2. chromosferickou aktivitu; 3. mohutne erupce. Z optických pozorovýní hvezd pozdního spektrýlního typu vyplývý, ze u techto hvezd chromosferý bezne existují. Aktivita mnohých hvezd je výrazne vyssí nez aktivita slunecní, coz prímo souvisí s jejich rychlejsí rotací. Zývery potvrzují i pozorovaní mimo optickou oblast. Hvezdne koróny, horke miliony kelvinu, zarí nejvíce v rentgenove oblasti, fotosfery i chromosferý jsou prílis chladne na to, aby se v tomto oboru vubec nejak projevily. Chromosferý se pak projevují spíňe v oboru ultrafialoveho zýrení a nekterých intenzivních spektralních carých. Vzhledem k tomu, ze veskere kratkovlnne zarení prichazející z kosmu je pri svem prechodu hustejsími cístmi zemske atmosfery spolehlive pohlceno, je nutno toto zýrení pozorovat nad nimi - z druzic nebo stratosferických balonu3. 2Slunecním vétrem ztratí Slunce 4 • 10-13 M0. 3Nejvétsí pokrok v tomto sméru predstavovala pozorovaní druzice Einstein, ktera se specializovala na pruzkum mékkého rentgenového zarení jednotlivích hvézd, a dale druzice IUE, ktera zkoumala hvézdy v ultrafialové oblasti. 7.2. Aktivita hvňezd a její projevy 203 Pozorovíaní z paluby druňzic jasnňe ukíazala, ňze valnía vňetňsina hvňezd (i kdyňz ne vňsechny) spektralních typu F az M jeví silně emise v ultrafialověm oboru spektra, coz svědcí o existenci atmosfíerickíych vrstev s teplotami kolem 200 000 K. Tyto hvňezdy produkují rentgenovíe zíaňrení, kteríe svňedňcí o tom, ňze ve svrchních ňcíastech atmosfíery tňechto hvňezd je prítomen rídkí plyn o teplotě 106 az 108 K. Vykon hvězd v rentgenově oblasti byví zpravidla vňetňsí neňz rentgenovíy vyíkon Slunce, ve víyjimeňcnyích pňrípadech se setkíavíame aňz se 100 000níasobkem tohoto sluneňcního vyíkonu. Z toho ovňsem plyne, ňze vňetňsina hvňezd stňrední a dolní ňcíasti hlavní posloupnosti mía horkíe koríony. Hvňezdíam spektríalního typu ranňejňsího neňz F, ve shodňe s naňsím oňcekaívíaním, rozsíahlíe horkíe koríony chybňejí. U tňechto hvňezd totiňz není rozvinuta podpovrchovía konvektivní vrstva. Horkíe hvňezdy spektríalního typu O a B naproti tomu rozmňerníe chromosfíery mají, coňz zrejmě souvisí se silním odtokem latky do prostoru, pusobením mohutnym, zarením pohíanňenyím hvňezdnyím vňetrem. U obru a veleobru spektralního typu ranějsího nez K2 pozorujeme silně emise v ultrafialově oblasti, dokladající existenci chromosfěr, i rentgenově zarení, svědcící o prítomnosti koríony. U chladnňejňsích hvňezd tohoto typu vňsak pozorujeme uňz jen chromosfíery spolu s masivním odtokem laítky do prostoru. Podobníe chovíaní pozorujeme i u mladíych hvňezd typu T Tauri. Zdía se, ňze vňseobecnňe platí pravidlo: Hvňezdy se silnyím hvňezdnyím vňetrem nemívají koríony. 7.2.1 Príciny hvezdne aktivity Prícinou vsech projevu hvězdně aktivity je rozpad mohutních lokalních magnetickych polí, ktería v podpovrchovyích vrstvíach chladnňejňsích hvňezd vzlínají na povrch hvňezd. Pňri vysvňetlovaíní aktivity hvňezd je tak tňreba vysvňetlit, jak takovía magnetickaí pole ve hvňezdíach vznikají. Zíakladním mechanismem generace magnetickyích polí je tzv. dy-námovy mechanismus, v dusledku něhoz dochízí k zesilovaní slabych (nahodních) mag-netickyích polí. Ve hvňezdíach tento mechanismus funguje v souňcinnosti jiňz zminňovanyích 204 Kapitola 7. Fyzika aperiodických promennych hvezd vertikílních konvektivních pohybů a rotace!4 Magneticke pole vznikle v nitrů zamrzava do elektricky dobre vodiveho plazmatů a vzestůpnými proůdy je vynaseno k povrchů hvezdy. Zde tato lýtka chladne a staví se hůre vodivoů. Elektricke proůdy se zde tlůmí a mení se v ohmicke teplo - pole slabne, disipůje. Pritom se vytvírejí mohůtne mag-netohydrodynamicke vlny, ktere se sírí vodivym prostredím fotosfery i vyssích vrstev hvezdy. Podobne, jako akůsticke vlny, dokaze nezbytnoů energii nad fotosferů trans-portovat i samotníe magnetickíe pole. Rozpadem magnetohydrodynamickyích vln dochíazí k ohrevů plazmatů, a tím i k neůstalemů vytvarení dynamicky nestale chromosfery a koríony. Důkazem ramcove platnosti naznaceneho mechanismů je zajímavy fakt, který objevil Robert Kraft (1967). Ten zjistil, ze cím rychleji zkoůmana hvezda rotůje, tím silnejsí ma ve spektrů chromosfericke emise v carach H a K. Velmi podobna soůvislost byla odhalena i v ůírovni rentgenovíe emise vyjadrůjíícíí velikost a mohůtnost hvezdníe koríony. Tam se navííc ůkíazalo, ze rentgenovyí víykon hvezdy je ůímernyí ctverci rovnííkovíe rotacníí rychlosti hvezdy. Ukazůje se tedy, ze mohůtnost hvezdníe aktivity silne zíavisíí na rychlosti rotace. Je to ve shode s nasíí predstavoů, ze lokíalníí magnetickaí pole jsoů generovíana dynamovyím mechanismem, jehoz ůícinnost je príímo ůímernía ctverci rotacníí rychlosti. Rychle rotůjíícíí hvezdy tedy vseobecne vykazůjíí vyssíí aktivitů, nez hvezdy pomerne lííne rotůjíícíí (takovoů je i nase Slůnce). Jake mohoů být důvody rychle rotace hvezdy? a) Jednía se o mladíe hvezdy, jez, jak zníamo, rotůjíí rychle. Jejich otíacky se vsak pozvolna snizůjí v důsledků interakce hvezdy s okolím. Mlade hvezdy jsoů tak casto velmi aktivní. Tento fakt ůmozňůje i ůrcit starí hvezdy nebo hvezdne soůstavy, jíz je hvezda soůcastí. b) Jde o sloňzky tňesníe dvojhvňezdy s víazanoů rotací (rotaňcní perioda je shodnía s obňeňz-noů). Pňríkladem jsoů promňenníe typů RS Canům Venaticorům. Slůnce rotůje pomalů, proto je jeho aktivita relativnňe nízkaí. Naznaňcenyím mechanismem lze dobňre vysvňetlit vlastnosti aktivity chladnňejňsích hvňezd. U horkyích hvňezd chybí rozsaíhlía konvektivní zíona, takňze vysvňetlení je tňreba hledat jinde. Pozorovíaní zde zcela jasnňe naznaňcůjí, ňze ůírovenň aktivity horkyích hvňezd roste s rostoůcí teplotoů. U hvňezd typů O a B jsoů chromosfíery, pňrípadnňe i koríony vytvíaňreny rychlyím odtokem latky do prostorů v důsledků tlaků ůltrafialoveho zírení. Hvezdný vítr neůstale obrůsůje vnňejňsí vrstvy hvňezdy, atmosfíery tňechto hvňezd jsoů znaňcnňe nepokojníe. Naproti tomů svrchní vrstvy hvňezd tňrídy A jsoů mimoňríadnňe klidníe a stabilní. Nedevastůjí je ani ůíňcinky konvektivních vrstev ani hvňezdnyí vítr. 7.2.2 Vzplanutí nov Nejcastejsí vnejsí prícinoů nestacionarních procesů ve fotosferických vrstvach hvezd je dopad líatky zvnňejňsků. Zdrojem tů bíyvía zpravidla pňrenos líatky v tňesnyích dvojhvňezdaích. Pňríkladem mohoů byít tňreba klasickóe novy, coňz jsoů tňesníe dvojhvňezdy sestíavající z bílíeho 4Uplatňůje se tedy zejmena ů hvezd pozdních spektralních typů, kde je konvektivní proůdení dostatecne rozvinůto. 7.3. Komplexníí pňrestavby, zhrouceníí a vyíbuchy 205 trpaslíka a normílní trpaslicí slozky, jez vyplnuje svuj Rocheuv lalok. Latka bohata na vodík, jeňz vytíekía z tíeto sloňzky, se pňres zíasobník v akreňcním disku kolem bílíeho trpaslíka postupnňe uklíadaí na jeho povrchu. Tíha pňreneseníe líatky stlaňcuje degenerovanou hvňezdu, kteraí se postupnňe mírnňe smrňs-t'uje. Uvolnňenía gravitaňcní energie se zňcíasti transformuje na vnitňrní energii, coňz vede k postupníemu zvyňsovíaní teploty hvňezdníeho nitra. Neohňrívía se ovňsem jen nitro, ale i vrstva s pňrenesenyím materiíalem bohatíym na vodík. Vzroste-li v ní teplota nad urňcitou, tzv. zípalnou teplotu, dojde k zazehnutí překotných termonukleárních reakcé (CNO cyklus), jejichňz prostňrednictvím se ve velmi kríatkíe dobňe uvolní znaňcníe mnoňzství energie. Ta zpusobí explozi vnějsku hvězdy, kterí se do prostoru rozletí rychlostí několika tisíc km/s. Pozorujeme pak vzplanutí klasickě novy, pri němz se soustava níhle (radově během dní!) zjasní o 7 az 19 magnitud. Pak nísleduje pomalejsí, radu měsícu trvající pokles, pricemz v maximu zarivy víkon hvězdy dosahuje az 105 LQ. Potíe nastupuje znovu klidníe mezidobíí o díelce ňraídovňe 105 let, pňri nňemňz se na bíílíem trpaslííku, jenňz pňredchozíím vzplanutíím nijak neutrpňel, znovu uloňzíí kritickíe mnoňzstvíí jaderníe tňraskaviny a k explozi dojde znovu. 7.3 Komplexní prestavby, zhroucení a víbuchy Zvlíaňstníí kategoriíí promňennyích hvňezd, jejichňz promňennost je spojena s dňeji probííhajíícíími uvnitňr hvňezdy jsou tzv. supernový. Jsou to promňenníe hvňezdy vyíjimeňcníe tíím, ňze jejich proměnnost je jednorízova. Jako supernova hvězda muze vybuchnout jen jedenkrát ve svíem ňzivotňe. Vyíbuch supernovy je natolik drastickou udíalostíí, ňze se se po nňem hvňezda kvalitativnňe zcela zmňeníí - bud' pňrestane jako gravitaňcnňe víazaníy uítvar existovat - rozplyne se, nebo se zmňeníí v neutronovňe degenerovanou hvňezdu, pňríípadnňe v ňcernou dííru. 206 Kapitola 7. Fyzika aperiodickích proměnnych hvězd Pro vzplanutí supernov napsala príroda hned několik scěním5, setkívame se s několika typy supernov, jez mají ruznou prícinu destrukce a ruzní dalsí osud. Z logiky věci budeme o nich pojednívat v opacněm poradí, nez by se dalo podle jejich oznacení ocekavat. 7.3.1 Supernovy typu II, Ib a Ic Supernovy typu II jsou vysledkem vívoje mimorádně hmotních hvězd, v nichz se během jaderně evoluce vytvorilo dostatecně hmotně jídro slozeně predevsím ze zeleza a dalsích prvku skupiny zeleza (nikl, chrom), jejichz jídra jsou velmi silně vazana a jsou tak jaderně nehorlava. Dění v centralních oblastech hmotně hvězdy těsně pred explozí je znacně dynamickě, ve hvězdě existuje rada vrstvicek, některě z nich jsou aktivní -probíhají v nich termonuklearní reakce, jině jsou neaktivní, zadně energeticky vydatně reakce v nich nehorí. V centru roste teplota i hustota, stale rychleji se zapalují nově a nově termonuklearní zdroje, vse v casově skale stovek let, později i dnu. Navenek se hvezda jevíí jako veleobr a nedíavaí na sobe nic znaít.6 Po prekroceníí kritickíe hmotnosti elektronove degenerovaníeho zelezníeho jíadra dojde k prudkíemu kolapsu, kdy se zacnou volníe elektrony houfne spojovat s protony v jíadrech. Vznikajíí tak neutrony a jíadra se rozpadajíí. Zhrouceníí se az do okamziku vzniku neu-tronovíe hvezdy deje prakticky volníym paídem, líatka padía dovnitr rychlostíí desíítek tisííc km/s. Uvolnuje se mnozstvíí potenciíalníí energie, kteraí z jíadra unikía prostrednictvíím neutrin. V okamziku kolapsu prevíysíí vyíkon hvezdy v oblasti neutrin jejíí zíarivíy vyíkon az o 7 radu. Naprostía vetsina vzniklyích neutrin bez odporu projde telesem hvezdy, nicmíene nektería se v níí zachytíí. Svou kinetickou energii predajíí hvezdníe líatce, ktería se tíím silne zahreje na velmi vysokou teplotu. V dusledku toho v nitru vznikne mohutní rázova vlna, kteraí se nadzvukovou rychlostíí sííríí hvezdou smerem na povrch. Mía dostatek energie k tomu, aby celou hvezdu rozmetala do prostoru. Na vodíík bohatíy obal hvezdy je pak v podobe rychle se rozpíínajíícíí mlhoviny navríacen do okolníího prostoru. V maximu svěho lesku dosahují supernovy typu II asi -18. absolutní bolometrickě velikosti. Vrchol je níasledovían postupníym poklesem vyíkonu, a to zhruba o 6 az 8 magnitud za rok. Pri kolapsu a nísledněm pruchodu rázově vlny hvězdou vznikí mnozství prvku nejruznejsích atomovych císel, vznikají i radioaktivní izotopy, z nichz dulezití je izotop Ni56 s polocasem rozpadu 6,1 dne, Co57 (270 dnu) a Na22 (2,6 roku). Pozvolní radioaktivní rozpad těchto prvku je totiz dodatecním zdrojem energie supernovy v době poklesu její jasnosti. Po vzplanutí supernov typu II bychom na místě hvězdy měli najít její zhroucení zbytek - rychle rotující neutronovou hvězdu projevující se jako pulzar. Typickím príkla-dem je SN 1054, v jejímz pozustatku, Krabí mlhovině, takoví pulzar pozorujeme. V mnoha jinych prípadech se to vsak nepovedlo a nazory na to, proc, se lisí. 5V poslední době se hovorí ještě o dalším typu supernov - o tzv. hypernovach, kterě by měly byt dusledkem príměho zhroucení velmi hmotně hvězdy na cernou díru. Pri tomto kolapsu by se měla ve zlomku sekundy uvolnit jestě mnohem větsí energie nez v prípadě vzplanutí standardních supernov v podobě nicivěho zablesku zýřěm gama. Takto se totiz tyto stale tajemně jevy těz vysvětlují. 6Viz prípad supernovy SN1987 A ve Velkěm Magellanově oblaku. 7.3. Komplexní pňrestavby, zhroůcení a vyíbůchy 207 Vedle sůpernov typů II, kteríe jsoů teňckoů za víyvojem hmotnyích hvňezd s poňcíateňcní hmotností od 11 do 50 Slůncí, pozorůjeme jeňstňe jasnňejňsí sůpernovy typů I. Pro sůpernovy tohoto typů je charakteristickíe, ňze se v jejich spektrů nevyskytůjí ňcíary vodíků. Podle spektrílních príznaků se tento typ delí na tri podtypy: Ia, ů nejz nachazíme velmi intenzivní carů Si II na 615 nm, ů typů Ib a Ic nikoli. Ve spektrů sůpernov typů Ib nachíazíme silníe ňcíary híelia, kteríe ovňsem ů podtypů Ic nenajdeme. Sůpernovy typů Ib a Ic jsoů vňseobecnňe o 1,5 aňz 2 magnitůdy slabňsí neňz sůpernovy typů Ia, takňze se podobají spíňse sůpernovíam typů II. Navíc se zdía, ňze i pňríňciny jejich vzplanůtí jsoů v mnohíem shodníe s pňríňcinami explozí sůpernov typů II. Podobnňe jako tyto sůpernovy nachaízíme sůpernovy typů Ib a Ic vyíhradnňe ve spiraílních ňci nepravidelníych galaxiích, pňrednostnňe poblíňz míst, kde v soůňcasnosti vznikají novíe hvňezdy. Jde tedy o hmotníe hvňezdy, kteríe ve svíem jaderníem víyvoji dojdoů aňz do ňzelezníeho konce, po nňemňz níasledůje gravitaňcní kolaps jaídra. Soůdí se, ňze vzplanůtí sůpernovy typů Ib, a zňrejmňe i typů Ic, je vyísledkem sloňzitíeho vyívoje tňesnyích dvojhvňezd s hmotníymi sloňzkami. 7.3.2 Supernovy typu Ia Tyto velice jasníe sůpernovy se kromňe mohůtnňejňsího zaíňrivíeho vyíkonů (v maximů svíeho lesků dosahůje jejich absolůtní vizůaílní hvňezdnaí velikost -19,6 mag) vyznaňcůjí i tím, ňze jejich svetelne krivky jsoů prakticky identicke. To je povysůje do role tzv. standardních svíček, objektů, pomocí nichz lze pomerovat vzdalenosti vzdalených hvezdných soůstav. Vzhledem k tomů, ze je nachazíme ve vsech typech galaxií (tj. i v takových, kde tvorba hmotnejsích hvezd jiz dívno ůstala), je zrejme, ze predchůdci tohoto typů sůper- 208 Kapitola 7. Fyzika aperiodických promenných hvezd J_I_I_I_L_I_L 0 50 100 150 200 250 300 350 400 DNY PO MAXIMU JASNOSTI Obrazek 7.10: Schématické svetelné krivky ruzních typu supernov a supernovy SN1987A. Prevzato z http://ned.ipac.caltech.edu/. nov musejí být mene hmotne hvezdy. Vseobecne se proto soudí, ze supernovy typu Ia vznikají v dusledku jaderne detonace vznikle zapalením termonuklearních reakcí v elek-tronove degenerovanem uhlíko-kýslíkovem bílem trpaslíku. Bezprostrední prícinou vzplanutí je pozvolný nariíst hmotnosti uhlíkokýslíkoveho bíleho trpaslíka, k nemuz dochýzí v dusledku prenosu latky z druhý slozky tesne dvoj-hvezdy. Zvysovaní hmotnosti vede k tomu, ze se rozmery trpaslíka neustale zmensují, címz se v jeho nitru uvolňuje potencialní energie, který lýtku hvezdy stýle více nahrívý. Prekrocí-li hmotnost degenerovane hvezdy jistou kritickou mez (asi 1,3 M©), zvýsí se centralní teplota hvezdy natolik, ze se zde zazehnou termonuklearní reakce, ktere brzy rozhorí v cele hvezde.7 V dusledku toho se v nitru hvezdy zacne dale prudce zvysovat teplota, ktera nakonec preroste i teplotu degenerace. Sevrení krunýre elektronove degenerace povolí, latka hvezdy se zmení v plyn, který divoce expanduje do prostoru. Nasledný výbuch jaderne reakce uhasí a rozhodí veskerý material hvezdy do prostoru rychlostí az 104 km/s. Nicmene jeste dríve nez se tak stane, se stací více nez polovina uhlíku a kyslíku z bíleho trpaslíka zmenit na zelezo. Tento pohled na vec dobre souhlasí se spektralními vlastnostmi supernov typu Ia, kde prevladají tezsí prvky. Odhaduje se, ze jsou to prave supernovy typu Ia, ktere více nez supernovy jiných typu obohacují mezihvezdný materiýl o prvky skupiny zeleza i o uhlík a kyslík. Podobne jako u supernov jiných typu je svetelný výkon supernov typu Ia po maximu lesku urcen tempem radioaktivního rozpadu nestabilních izotopu niklu, kobaltu a dalsích radioaktivních prvku. 7Tato skutecnost je zrejmé prícinou, proc se svetelné krivky supernov typu Ia tak podobají - vybuchují nam tu objekty s navlas stejnou hmotností a vnitrkem. LITERATURA 209 Literatura Alfonso-Garzön, J., Domingo, A., Mas-Hesse,J.M., Gimenez, A. 2012, A&A, 548, A79 Appourchaux, T., Belkacem, K., Broomhall, A.-M., et al. 2010, Astronomy and Astrophysics Review, 18, 197 Argelander, F. W. A. 1844, Aufforderung an Freunde der Astronomie, Jahrbuch für 1844, vyd. H. Ch. Schumacher, Stuttgart a Tübingen Andersen, J., 1991, Astronomy and Astrophysics Review 3, 91 Babcock, H. W. 1947, ApJ, 105, 105 Benedict, G. F., McArthur, B. E., Feast, M. W., et al. 2007, AJ, 133, 1810 Balona, L. A., Guzik, J. A., Uytterhoeven, K., et al. 2011, MNRAS, 415, 3531 Berdnikov, L. N., & Turner, D. G. 2010, Astronomy Reports, 54, 392 Bessell, M. S., Brett, J. M. 1988, PASP 100, 1134 Bessell, M. S. 1990, PASP 102, 1181 Bessell, M. S. 2005, ARA&A, 43, 293 Boyarchuk, A. A., Bisikalo, D. V., Kuznetsov, O. A., & Chechetkin, V. M. 2002, Mass transfer in close binary stars, by A.A. Boyarchuk, D.V. Bisikalo, O.A. Kuznetsov, and V.M. Chechetkin. Advances in astronomy and astrophysics, Vol. 6. London: Taylor & Francis, 2002, ISBN 0415273536., Breger, M., Rodler, F., Pretorius, M. L., et al. 2004, A&A, 419, 695 Bruntt, H., Kurtz, D. W., Cunha, M. S., et al. 2009, MNRAS, 396, 1189 Burd, A., Cwiok, M., Czyrkowski, H., et al. 2004, Astronomische Nachrichten, 325, 674 Busso, G., De Angeli, F., & Montegriffo, P. 2012, Proceedings of the SPIE, Vol. 8442 Carroll, B. W. & Ostlie, D. A. 2007, An Introduction to Modern Astrophysics, 2. vydani. Benjamin Cummings, 2007. ISBN 0-321-11284-9. Catalano, S., Frisina, A., & Rodono, M. 1980, v Close binary stars: Observations and interpretation; Proceedings of the Symposium, Toronto, Canada, August 7-10, 1979. (A80-53742 24-89) Dordrecht, D. Reidel Publishing Co., 1980, p. 405-412 Cohen, M., Wheaton, W. A., & Megeath, S. T. 2003, AJ, 126, 1090 Cousins, A.W.J., 1976, MNRAS 81, 25 Cramer, N., Mander, J. 1979 A&A 78 305 Deeming T.J. 1975 Astrophys. & Space Sci. 36, 137 Deutsch, A. J. 1958, Electromagnetic Phenomena in Cosmical Physics, Proceedings from IAU Symposium no. 6, ed. Bo Lehnert, Cambridge University Press, 209 Domiciano de Souza, A., Kervella, P., Jankov, S., et al. 2003, A&A, 407, L47 Drake, A. J., Djorgovski, S. G., Mahabal, A., et al. 2009, ApJ, 696, 870 Durlevich, O. V., Kazarovets, E. V., Kholopov, P. N., Kireeva, N. N., Samus, N. N., Tsvetkova, T.M., 2006, General Catalogue of Variable Stars V1.4, Vol. IV (verze z 17. 10. 2006), ed. N.N. Samus, Astronomical Council of the USSR Academy of Sciences and Sternberg, Astronomical Institute of the Moscow State University, http://www.sai.msu.su/groups/cluster/gcvs/gcvs/ Eastman, J. 2012, Astrophysics Source Code Library, 6012 Eastman, J., Siverd, R., & Gaudi, B. S. 2010, PASP, 122, 935 Eberhard, G., & Schwarzschild, K. 1913, ApJ, 38, 292 Eddington, A. S. 1926, The Internal Constitution of the Stars, Cambridge: Cambridge 210 LITERATURA University Press, 1926. ISBN 9780521337083. Eggleton, P. P. 1983, ApJ, 268, 368 ESA 1997, VizieR Online Data Catalog, 1239, 0 Flower, P. J. 1996, ApJ, 469 355 Folsom, C. P., Kochukhov, O., Wade, G. A., Silvester, J., & Bagnulo, S. 2010, MNRAS, 407, 2383 Freedman, W. L. et al. 2001, ApJ, 553, 47 Fukugita, M.,Ichikawa, T., Gunn, J. E., et al. 1996, AJ 111, 1748 Gimenez, A., Clausen, J. V., Guinan, E. F., Maloney F. P., Bradstreet, D. H., Storm, J. a Tobin, W., 1995, Experimental Astron. 5, 181-183 Golay, M., 1962, Pub. Obs. Geneve No 15 (serie A), 29 Hall, J. S. 1949, Science, 109, 166 Hall, D. S. 1976, IAU Colloq. 29: Multiple Periodic Variable Stars, 60, 287 Harmanec, P., Grygar, J., Horn, J., Koubský, P., KnZ, S., Zd'arsky, F., Mayer, P.; Ivanovic, Z., Pavlovski, K., 1977, Astronomical Institutes of Czechoslovakia, Bulletin, vol. 28, no. 3, p. 133-143 Harmanec, P., Broz, M., 2011, Stavba a vyvoj hvezd, Matfyzpress, Praha 2011 Harmanec, P., Mayer, P., 2008, Dvojhvezdy, učební text, Astron. ustav MFF UK Praha Harmanec P., Horn J., Juza K. 1994, Astron. Astrophys. Suppl. 104, 121 Herbig, G. H., Petrov, P. P., & Duemmler, R. 2003, Apj, 595, 384 Hertzsprung, E. 1928, BAN 4, 178 Hewish, A., Bell, S. J., Pilkington, J. D. H., Scott, P. F., & Collins, R. A. 1968, Nature, 217, 709 Hilditch, R. W., 1996, Binary Stars in Local Group, v The origins, evolution, and destinies of binary stars in clusters, Astron. Soc. of Pacific Conference Series 90, An internat. symposium, Univ of Calgary, 18-23 June 1995, San Francisco, ed. E. F. Milone, J.-C. Mermilliod, str. 207 Hiltner, W. A. 1949, Nature, 163, 283 Hodapp, K. W., Kaiser, N., Aussel, H., et al. 2004, Astronom. Nachrichten, 325, 636 Christensen-Dalsgaard, J. 2003, Lecture Notes on Stellar Oscillations, University Aarhus, 5. vydýaný Iben, I., Jr. 1971, PASP, 83, 697 Inno, L., Matsunaga, N., Bono, G., et al. 2013, ApJ, 764, 84 Ivezic, Z., Axelrod, T., Brandt, W. N., et al. 2008, Serbian Astronom. Journal, 176, 1 Johnson, H. L., Morgan, W.W., 1953, ApJ 117, 313 Johnson, H. L., 1965, ApJ 141, 923 Joy, A. H., 1945, ApJ 102, 168 Jurkevich, I., 1971, Astrophysics and Space Science, Vol. 13, 154-167 Kaye, A. B., Handler, G., Krisciunas, K., et al. 1999, PASP, 111, 840 Keller, S. C., Murphy, S., Prior, S., Da Costa, G., & Schmidt, B. 2008, ApJ, 678, 851 Kleczek, J., 2002, Velkýa encyklopedie vesmýru. Academia, 584 str. Komarova, V. N., Beskin, G. M., Neustroev, V. V., & Plokhotnichenko, V. L. 1996, Journal of Korean Astronomical Society Supplement, 29, 217 Kopal, Z., 1955, Annales d'Astrophysique, 18, 379 Korhonen, H., Berdyugina, S. V., Ilyin, I. V., Strassmeier, K. G., & Hackman, T. 2009, LITERATURA 211 Revista Mexicana de Astronomia ý Astrofisica Conference Series, 36, 323 Krticka, J., Mikůlasek, Z., Zverko, J., et al. 2010, IAU Sýmposiům, 264, 270 Kríz, S., Harmanec, P., 1975, Astronomical Institůtes of Czechoslovakia, Bůlletin, vol. 26, no. 2, p. 65-81. Kůiper, G. P. 1941, ApJ, 93, 133 Kůrtz, D. W. 1982, MNRAS, 200, 807 Kůrtz, D. W. 2006, Astrophýsics of Variable Stars, 349, 101 Kwee, K. K., & van Woerden, H. 1956, BAN 12, 327 Landolt, A. U. 1983, AJ, 88, 439 Landolt, A. U. 1968, ApJ, 153, 151 Leavitt, H. S. 1908, Annals of Harvard College Observatorý, 60, 87 Leibacher, J. W., & Stein, R. F. 1971, Astrophýsical Letters, 7, 191 Leighton, R. B., Noýes, R. W., & Simon, G. W. 1962, ApJ, 135, 474 Lockwood, G. W., Skiff, B. A., Herny, G. W., et al. 2007, ApJS, 171, 260 Messina, S., & Gůinan, E. F. 2002, A&A, 393, 225 Messina, S., & Gůinan, E. F. 2003, A&A, 409, 1017 (erratům 2004, A&A 428, 983) Metcalfe, T. S., Monteiro, M. J. P. F. G., Thompson, M. J., et al. 2010, ApJ, 723, 1583 Michaůd, G. 1970, ApJ, 160, 641 Mikolajewska, J. 2001, IAU Colloq. 183: Small Telescope Astronomý on Global Scales, 246, 167 Mikůlasek, Z., Zejda, M., Zhů, L., Qian, S.-B., Liska, J., de Villiers, S. N., 2013, Cent. Eůr. Astrophýs. Bůll. 37, 1, v príprave (jinak arXiv:1212.5519) Mikůlasek, Z., Zejda, M., Qian, S.-B., Zhů, L. , Proceedings of 9th Pacific Rim Conference on Stellar Astrophysics, (11.-26. důbna 2011, Lijiang, Cína), 2011, Astronomical Societý of the Pacific, 451, 111 Mikůlýsek, Z., Krticka, J., Henrý, G. W. et al. 2008, Astron. and Astrophýsics, 485, 585 Mikůlasek Z., Wolf M., Zejda M., Pecharova P. 2006, Astrophýs. Space Sci. 304, 363 Morbeý, C. L., Půblications of the Dominion Astrophýsical Observatorý, Vol. 14, p. 185 Moro, D., Můnari, U., 2000, A&A Sůppl. 147, 361 Opiela, R., Malek, K., Mankiewicz, L., et al. 2012, Proceedings of the SPIE, Vol. 8454, Percý, J. R. 2011, Understanding Variable Stars, bý John R. Percý, Cambridge, UK: Cambridge Universitý Press, 2011, Perrýman, M. A. C., & ESA 1997, ESA Special Půblication, 1200, Pettersen, B. R., Olah, K., & Sandmann, W. H. 1992, Astronomý and Astrophýsics Sůpplement Series, 96, 497 Pickering, E. C. 1882, The Sidereal Messenger Pickering, E. C. 1883, The Observatorý, 6, 79 Pickering, E. C. 1890, Annals of Harvard College Observatorý, 18, 285, Appendix Pigůlski, A., & Pojmanski, G. 2008, A&A, 477, 917 Plavec, M., & Kratochvíl, P. 1964, Bůll. of the Astron. Inst. of Czechoslovakia, 15, 165 Pojmanski, G. 2002, Acta Astronomica 52, 397 Pollacco, D. L., Skillen, I., Collier Cameron, A., et al. 2006, PASP, 118, 1407 Poůrbaix, D., Tokovinin, A. A., Batten, A. H., et al. 2009, VizieR Online Data Catalog, 1, 2020 Press, W. H., Rýbicki, G. B. 1989, ApJ, 338, 277 212 LITERATURA Pych, W., Kaluzny, J., Krzeminski, W., Schwarzenberg-Czerny, A., & Thompson, I. B. 2001, A&A, 367, 148 Rucinski, S. 1999, Turkish Journal of Physics, 23, 271 Schmid, H.M. 2012, ucební texty Astronom. Observations, http://www.astro.ethz.ch Schulz, N. S. 2005, From Dust To Stars Studies of the Formation and Early Evolution of Stars, by N.S. Schulz. Springer-Praxis books in astrophysics and astronomy. Praxis Publishing Ltd, 2005. ISBN 3-540-23711-9, Skarka, M. 2013, A&A, 549, A101 Skrutskie, M. F., Cutri, R. M., Stiening, R., et al. 2006, AJ, 131, 1163 Soszynski, I., Poleski, R., Udalski, A., et al. 2008, Acta Astron., 58, 163 Soszynski, I., Poleski, R., Udalski, A., et al. 2010, Acta Astron., 60, 17 Stellingwerf, R. F., 1978, Astrophysical Journal, vol. 224, 953-960 Sterken, C., & Jaschek, C. 1996, Light Curves of Variable Stars. A Pictorial Atlas, ISBN 0521390168, Cambridge University Press Stibbs, D. W. N. 1950, MNRAS, 110, 395 Stobie, R. S., Chen, A., O'Donoghue, D., & Kilkenny, D. 1993, MNRAS, 263, L13 Strassmeier, K. G., Bartus, J., Fekel, F. C., & Henry, G. W. 2008, A&A, 485, 233 Stromgren, B. 1956, Vistas in Astronomy 2, 1337 Svechnikov, M. A., Istomin, L. F., 1979, Astronomiceskij cirkuljar No.1083 Szymanski, M. K. 2005, Acta Astronomica 55, 43 Ulrich, R. K. 1970, ApJ, 162, 993 van den Bergh, S. 1968, J.R.Astron.Soc.Can., 62, 145 van den Bergh, S. 1975, Galaxies and the Universe. Eds. A. Sandage, M. Sandage, J. Kristian. University of Chicago Press (Stars and Stellar Systems. Volume 9), Chicago, USA, p.509 van Leeuwen, F. 2007, A&A 474, 653 van Leeuwen, F. 2008, VizieR Online Data Catalog, 1311, 0 van Leeuwen, F. 2009, A&A 500, 505 van Leeuwen, F. 2010, Space Science Reviews 151, 209 Vaughan, A. H., Preston, G. W., & Wilson, O. C. 1978, PASP, 90, 267 Vaughan, A. H., & Preston, G. W. 1980, PASP, 92, 385 Vorobyov, E. I., & Basu, S. 2010, Apj, 719, 1896 Waelkens, C. 1991, A&A, 246, 453 Walraven, Th., Walraven J. H. 1960, BAN 15, 67 Wilson, O. C. 1978, ApJ, 226, 379 Wilson, R.E., 1979, ApJ 234, 1054 Wilson, R.E., 1994, PASP 106, 921 Woízniak, P. R., Vestrand, W. T., Akerlof, C. W., et al. 2004, AJ, 127, 2436 Zejda, M., Borovicka, J., Hajek, P., et al. 1994, Contributions of the Public Observatory and Planetarium in Brno, 30 Zejda, M., & Domingo, A. 2011, Information Bulletin on Variable Stars, 5996, 1 Zhevakin, S. A., 1953, Astronomicskij zurnal 30 161-179 Zhu, L.-Z., Zejda, M., Mikulasek, Z., Qian, S.-B. & de Villiers, S.N., 2012, Astronomical Journal 144, 37 Uvod do studia promenných hvezd Prof. RNDr. Zdenek Mikulasek, CSc., RNDr. Miloslav Zejda, Ph.D. Vydala Masarykova univerzita v roce 2013 Vydaní první Naklad 200 ks Tisk Tiskýrna Knopp, Cerncice 24, 549 01 Nove Mesto nad Metují ISBN 978-80-210-6241-2