O − C diagramy
Jakub Kolář
Periodicita
Většina proměnných hvězd je periodická
Periodické jevy: pulzace, rotace, oběh
Časová řada (světelná křivka)
t, m, δm
Předpoklady: t známe přesně, jsme si jisti periodou a měřením
2 / 55
Periodová analýza
Většinou je k dispozici alespoň nějaká hodnota
Zpřesňování periody
Změna periody
Efekty ovlivňující periodu
3 / 55
Světelné křivky
TESS eclipsing binary catalog, Prša
Forró et al., 2022
4 / 55
Fázová křivka, fázová funkce
Známe periodu (alespoň s nějakou přesností)
Můžeme sestrojit fázovou světelnou křivku
Fázová funkce ϑ = E + φ
Fáze φ = frac(ϑ), frac bere pouze desetinnou část
Epocha E = floor(ϑ), floor zaokrouhluje směrem k nejbližšímu
nižšímu číslu
5 / 55
Epocha
Vyjadřuje počet cyklů,
které uplynuly
od základního okamžiku
M0
Neklesající schodovitá
funkce
Po jednom cyklu se
zvedne o 1
0 1 2 3 4 5
HJD 2450000
0
1
2
3
4
5
E
6 / 55
Fáze
Vyjadřuje, v jaké jsme
části periodického cyklu
Na začátku 0, pak roste
do 1
Pilovitá funkce
0 1 2 3 4 5
HJD 2450000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Phase
7 / 55
Příklad
ϑ = 3, 5
E = 3
φ = 0, 5
Jak to bude pro ϑ = −2, 6?
8 / 55
Příklad
ϑ = −2, 6
E = −3
φ = 0, 4
9 / 55
Lineární efemerida
Nejjednodušší možný případ
Základní okamžik M0 a perioda P
Perioda je konstantní
ϑ = t−M0
P
10 / 55
Fázová křivka
Mikulášek, 2015
11 / 55
Časy významných okamžiků
Minima a maxima na světelné křivce
Určení časů
Význam pro detekci, stanovení a zpřesnění periody
Fázové posuny
Pokud známe periodu, můžeme si spočítat, kdy nastane daná fáze
(nejčastěji minimum pro dvojhvězdy)
12 / 55
Předpověď
Známe M0 a P
Jaká bude předpověď?
13 / 55
O − C
Spočítaný čas C (calculated)
C = M0 + P E
Naše měření: čas O z pozorování (observed)
Porovnání těchto časů
Grafickou podobou je O − C diagram
Dvojhvězdy ETV, exoplanety TTV
14 / 55
O − C diagram
Osa x: epocha, čas
Osa y: O − C, což je taky čas (dny, minuty)
Perioda je správně, M0 taky, nenastává změna periody ani další jev,
co dostaneme?
15 / 55
O − C diagram
Přímka kolem nuly
Perioda správně
Pokud máme dostatek dat
po dlouhou dobu, můžeme
periodovou analýzu hvězdy
uzavřít
16 / 55
Vodorovná posunutá přímka
Směrnice je nulová
Data neprochází bodem
[0;0]
Perioda je správně
Je tam posun, způsoben
nepřesným určením M0
Jak to opravit?
17 / 55
Vodorovná posunutá přímka
O je napozorovaný čas, s tím
nemůžeme nic dělat (ověřit
správnost)
Můžeme změnit C
Jsme nad nulou → O − C je
kladný → minima nastávají
později
Musíme to dorovnat, zvětšit
M0 o 0, 005 dne
při záporném O − C jsou
minima dříve, M0 se zmenší
18 / 55
Šikmá přímka
Perioda je konstantní
Není určena správně
Směrnice přímky může být kladná, nebo záporná
Případný vertikální posun M0
19 / 55
Šikmá přímka
Odhadovaná perioda
P0 = 1 den
Skutečná perioda
P = 1 den 1 minuta
∆P = P − P0 při každém
oběhu vznikne tento rozdíl, při
více obězích se nám rozdíly
sčítají
S každým dalším oběhem je
O − C větší, časy minim jsou
později
Směrnice přímky
0 1 2 3 4 5
HJD 2459000
0
1
2
3
4
5
OC[min]
20 / 55
Šikmá přímka
Směrnice je 1 min/den
= 6, 94 · 10−4 dnů/den
Hodnota směrnice přímky je
∆P
Časy O nastávají později, ta
předpověď je musí dohnat
Musíme přičíst jednu minutu,
tím opravíme periodu a O − C
diagram 0 1 2 3 4 5
HJD 2459000
0
1
2
3
4
5
OC[min]
21 / 55
TT Lyr - algolida s výrazným primárním minimem
0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
Phase
2
1
0
1
2
3
4
5
m[mag]
B 1.0 mag
V
R+1.0 mag
I+2.0 mag
TESS+2.5 mag
Modrá horká hvězda hlavní posloupnosti a červený podobr, Kolář et al., 2023
22 / 55
TT Lyr
8000 6000 4000 2000 0
E
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0.02
OC[days]
CCD Primary
CCD Secondary
Photoelectric
Photographic
Visual
Všechny možné druhy pozorování, ovlivnění pozorování
23 / 55
TT Lyr
2000 1500 1000 500 0 500 1000
E
0.004
0.002
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
OC[days]
Primary
Secondary
Analýza nejspolehlivějších dat
24 / 55
Excentricita
Eliptické trajektorie, při
nenulové hodnotě
excentricity
Minima nenastávají přesně
po polovině oběhu
Můžeme predikovat, kdy
nastanou zákryty mimo fáze
0,5 a 1, uzpůsobit výpočet
O − C
0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
Phase
9.6
9.4
9.2
9.0
8.8
8.6
8.4
m[mag]
B
R
Kolář et al., 2023
25 / 55
Eliptické trajektorie
GX Lac
2500 2000 1500 1000 500 0 500
E
0.015
0.010
0.005
0.000
0.005
OC[days]
Primary
Secondary
TT Lyr
2000 1500 1000 500 0 500 1000
E
0.004
0.002
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
OC[days] Primary
Secondary
Jaký je zde rozdíl?
26 / 55
Detekování excentricity
P = 6.355242075(10) dne
φsek = 0, 4986, nemusí se
poznat na světelné křivce
Časový rozdíl oproti fázi 0,5:
0, 0014 P = 0, 0089 dne
Na O − C diagramu již dost
velký rozdíl
GX Lac
2500 2000 1500 1000 500 0 500
E
0.015
0.010
0.005
0.000
0.005
OC[days] Primary
Secondary
27 / 55
Změna periody
Skoková změna
Neobvyklé
Může se jednat o eruptivní
procesy
Kontrolovat data
28 / 55
Pozvolná změna
Většinou parabola
Interpretace změn: přetok
látky, složitější jevy
Parabola otevřená vzhůru
600 400 200 0 200 400
E
0
2
4
6
8
10
OC[days]
Primary
Secondary
RX Cas, O-C brána
29 / 55
Pozvolná změna
Parabola otevřená vzhůru:
prodlužování periody
S každým dalším oběhem se
zvětšuje doba mezi minimy,
čas O se čím dál tím více
posouvá, nárůst O − C
Parabola otevřená dolů:
zkracování periody
Složitější změny, polynom
vyššího stupně, obtížná
fyzikální interpretace
30 / 55
Pozvolná změna
Pro popis nám nestačí
lineární efemerida
Změna periody ˙P
C = M0 + P0 E + P0
˙PE2
2
Z výpočtů parametr Q
Člen Q E2
2
P0
˙PE2
2 = Q E2
Jednotka Q?
31 / 55
Pozvolná změna
Časová jednotka (nejčastěji den)
Q = P0
˙P
2
˙P = 2 Q
P0
32 / 55
Apsidální pohyb (stáčení přímky apsid)
aasnova.org/2017/07/12/wasp-12b-and-its-possible-fiery-demise/
33 / 55
Apsidální pohyb
Spojnice pericentra a apocentra
Pro excentrické dvojhvězdy
Příčiny pohybu: odchylka od kulového tvaru a nehomogenní
rozložení hustoty hvězd, relativistické efekty
Periodický pohyb
Perioda U, většinou velmi dlouhé, stovky, nejkratší desítky roků
Různě natočené systémy, argument periastra ω
Potřeba co největšího pokrytí dat, nejlépe více než jedna celá perioda
34 / 55
OGLE LMC-ECL-7641 - apsidální pohyb
0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6
Fáze
1,0
0,5
0,0
0,5
m[mag]
B
V+0,4 mag
R+0,7 mag
I+1,0 mag
Minima oscilují kolem předpokládaných hodnot fáze.
35 / 55
O − C diagram CO Lac
6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000
E
0.02
0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
OC[days]
Primary
Secondary
U ≈ 40 roků, O-C brána
36 / 55
O − C diagram OGLE LMC-ECL-17411
6000 4000 2000 0 2000
E
0.2
0.1
0.0
0.1
0.2
OC[days]
Primary
Secondary
U ≈ 216 roků, Kolář et al., 2023
37 / 55
Apsidální pohyb
Jeden model (primární
i sekundární minima
dohromady)
Tvar závisí na excentricitě
Amplitudy obou minim by
měly být stejné
Perioda U = 360
˙ω
˙ω: změna argumentu
periastra (takto uvedeno
ve stupních za jednotku
času)
6000 4000 2000 0 2000
E
0.2
0.1
0.0
0.1
0.2
OC[days] Primary
Secondary
38 / 55
Sinusoida
Periodická změna
Primární a sekundární
minima jdou stejně
Co to může znamenat, proč?
39 / 55
Sinusoida
Oběh kolem společného
těžiště ve vícenásobné
soustavě
Efekt rozdílné dráhy světla
Dynamické jevy
40 / 55
Light Time Effect (LiTE)
Geometrický jev
Pohyb se třetí složkou kolem společného těžiště
Oběžná perioda zůstává stejná
Světelná křivka se cyklicky mění, podle toho, kde se při globálním
oběhu hvězda nachází
Spíše menší amplitudy změn, dlouhé periody
Třetí složka: jedna hvězda, více hvězd, exoplaneta
41 / 55
Light Time Effect (LiTE)
Z analýzy O − C diagramu jsme schopni určit funkci hmotnosti (mass
function) fm
fm dává odhad minimální hmotnosti třetího tělesa
Objev kandidátů, potvrzení spektroskopicky, případně fotometricky
42 / 55
Vícenásobné systémy
Třetí těleso (více těles)
Stabilní jsou jenom některá řešení, vždy dvojice
Trojhvězda: těsná dvojhvězda a vzdálená složka
Čtyřhvězda: struktura 3 + 1 nebo 2 + 2
43 / 55
Trojhvězda, zákryt třetí složkou
Rappaport et al., 2022 (data družice TESS)
44 / 55
Dvojzákrytové čtyřhvězdy
Čtyři hvězdy ve struktuře 2 + 2
Dva zákrytové podsystémy, oběh
kolem jejich společného těžiště
Vzájemný pohyb, většinou velké
periody, vyžaduje dlouhodobé
fotometrické sledování
Jak budou vypadat O − C
diagramy?
45 / 55
Dvojzákrytové čtyřhvězdy
8400 8600 8800 9000 9200 9400 9600
HJD 2450000
0.015
0.010
0.005
0.000
0.005
OC[days]
Primary
Secondary
8400 8600 8800 9000 9200 9400 9600
HJD 2450000
0.016
0.014
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0.000
OC[days]
Primary
Secondary
46 / 55
Dvojzákrytové čtyřhvězdy
OGLE BLG-ECL-088871, Zasche et al., 2019
47 / 55
Dvojzákrytové čtyřhvězdy
Perioda vzájemného pohybu je pro oba páry stejná
Změny vzájemně v protifázi
Obvykle podobné amplitudy, nemusí být stejné
mA
mB
= AB
AA
Dlouhodobá fotometrie nám může říct poměr hmotností mezi
dvojhvězdami
48 / 55
Analýza
Kontrolovat měření (hlavně ta cizí)
Nejistoty: nepřesné, nebo nemusí být uvedeny
Váhy, robustní regrese
Body mimo
Podivné tvary
49 / 55
ASASSN-V J020003.56+452605.2
Krátká perioda, velký O − C, převedení do špatné epochy
50 / 55
ASASSN-V J020003.56+452605.2
Úprava periody, přidání dalších dat
51 / 55
Zdroje dat pro O − C diagramy
Vlastní měření, družice a přehlídky
Publikace, databáze minim
O-C brána: var2.astro.cz/ocgate/index.php?lang=cz
Lichtenknecker-Database:
bav-astro.eu/index.php/veroeffentlichungen/service-for-
scientists/lkdb-engl
Nelson Database of Eclipsing Binary O-C Files:
aavso.org/bob-nelsons-o-c-files
52 / 55
O − C diagramy
53 / 55
O − C diagramy
54 / 55
Domácí úkol, QX Cyg
Zpřesnit periodu
55 / 55