podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
SEISMOLOGIE
A
SEISMOTEKTONIKA
část 3.: Seismická vlna
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
3.1: Seismický signál jako vlnová
funkce
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Seismickou vlnu lze stručně charakterizovat jako kmitání částic
kontinua, které se šíří směrem od zdroje. Poisson v roce 1830 ukázal,
že se v pevném a rychlostně homogenním prostředí šíří jen dva
základní typy vln:
podélné (P – kmitání částic ve směru šíření vlny)
příčné (S – kmitání částic ve směru kolmém na směr šíření vlny).
Siméon Denis
Poisson
(1781-1840)
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Jak podélné tak i příčné vlny se šíří celým objemem horninového
prostředí a jsou proto nazývány vlnami objemovými.
Rychlost šíření seismických vln záleží na typu vlny (příčná, podélná, ...)
a na elastických vlastnostech prostředí, kterým se šíří. Obecně ale
platí, že v každém daném prostředí jsou vlny podélné (P) rychlejší
než vlny příčné (S).
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Rayleigh v roce 1887 ukázal, že v blízkosti rychlostního rozhraní
může vznikat další typy vlny – vlna povrchová.
Druhý typ povrchové vlny, vznikající v prostředí s nárůstem rychlostí
seismických vln s hloubkou, popsal v roce 1911 Love.
rayleighova vlna (kmitání částic ve směru šíření vlny a současně ve
směru kolmém k paprsku i rychlostnímu rozhraní)
loveho vlna (kmitání částic ve směru kolmém na směr šíření vlny a
paralelním s rychlostním rozhraním).
John William Strutt,
lord Rayilegh
(1842-1919)
Augustus Edward
Hough Love
(1863-1940)
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
3.1.a: Seismický signál jako funkce času
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Seismický signál si jednorozměrně můžeme znázornit vlnovou funkcí,
která popisuje amplitudu kmitání v závislosti na čase (ve skutečnosti
kmitají částice kontinua ve všech směrech třírozměrného prostoru).
V následujících úvahách budeme pro jednoduchost sledovat pouze
signál šířícím se jedním směrem a charakterizovaný kmitáním pouze
v jednom směru.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Představme si seismický signál jako jednoduchou harmonickou vlnu s
frekvencí f a amplitudou A, která se šíří podél osy x fázovou rychlostí v.
Tj. výchylka u0(t) (v bodě x=0) se ve vzdálenosti x projeví za čas t=x/v.
Obecně tak výchylku u(x,t) můžeme popsat vztahem:













v
x
-tf.2πA.sinx)u(t,
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Nebo také:
uvážíme-li, že pro vlnovou délku l, frekvenci f a fázovou rychlost v platí:
Vidíme jednoduchý vztah mezi frekvencí, vlnovou délkou a fázovou
rychlostí. Přitom fázová rychlost seismických vln závisí na elastických
vlastnostech prostředí, frekvence je v zásadní míře daná typem vlny
(podélná, příčná, povrchová) a vzdáleností od zdroje. Na základě těchto
úvah tak můžeme odvodit přibližné typické vlnové délky seismických vln.
f.λv 
 xv.t
2
Asinx)u(t, 
l

podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
f
v
λf.λv 
Např. převládající frekvence P-vln lokálních a regionálních jevů se
pohybuje v řádu X až X0 Hz.
Převládající frekvence P-vln vzdálených jevů se pohybuje v řádu 0.X až
X Hz.
Můžeme-li odhadnout průměrnou rychlost podélné seismické vlny v
zemské kůře přibližně na 5500 m/s, můžeme odhadnout také jejich
vlnové délky:
v (m/s) f (Hz) l m)
lokální jevy 5500 ~ 10 ~ 550
regionální jevy 5500 ~ 1 - 10 ~ 550 - 5500
vzdálené jevy 5500 ~ 0.5 - 1 ~ 5500 - 11000
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Signál jako součet goniometrických funkcí
Nyní budeme sledovat signál jako kmitání částic v jednom jediném bodě
kontinua (např. x = 0).
Představme si seismický signál jako jednoduchou harmonickou vlnu.
V případě, že tato vlna vyjadřuje posunutí, projevuje se v daném bodě
kontinua kmitáním s frekvencí f (respektive periodou T, T=1/f)
a amplitudou A, tj. s výchylkou u(t):
 f.t2πAsinu(t) .
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Příklad součtu tří vlnových funkcí:
).t9,0.2sin(.10(t)u1 
).t7.2sin(.30(t)u2 
).t23.2sin(.20(t)u3 
).t23.2sin(.20).t7.2sin(.30
).t9,0.2sin(.10(t)u4




podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Fourierova řada
Každou jakkoli složitou a nepravidelnou vlnovou funkci lze popsat jako
součet mnoha křivek funkcí sinus a cosinus (Fourierova řada)
 



1
0 .2.sin.2.cos)(
n
nn tfnbtfnaatu 
 
 
  ....2.sin.2.cos...
.2.2sin.2.2cos
.2sin.2cos)(
22
110



tfnbtfna
tfbtfa
tfbtfaatu
nn 


Joseph Fourier
(1768-1830)
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Fourierovy konstanty (an, bn) určují amplitudu jednotlivé frekvenční
složky signálu.
 



1
0 .2.sin.2.cos)(
n
nn tfnbtfnaatu 
určuje sledovanou
frekvenci
určuje míru zastoupení sinusovek o dané
frekvenci v celkovém signálu
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Fourierova řada v podobě součtu goniometrických funkcí potřebuje při
popisu vlnové funkce pro každou frekvenci dvě konstanty (an, bn),
protože jejich poměr definuje fázi.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
komplexní tvar Fourierovy řady
Nevýhody vyjádření Fourierovy řady pomocí goniometrických funkcí řeší
komplexní tvar Fourierovy řady. Vychází z geometrického významu
komplexního čísla a z tzv. Eulerovy věty.
Leonhard Paul Euler
(1707-1783)




n
ftin
neCtu 2
)(
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Komplexní tvar převádí goniometrické funkce sinus a cosinus na
vyjádření pomocí exponenciální funkce ex s komplexní proměnnou.
V tomto tvaru si pak můžeme všechny koeficienty (a0, an, bn) vyjádřit
jediným (ovšem komplexním) koeficientem.




n
ftin
neCtu 2
)(
určuje sledovanou
frekvenci
určuje míru zastoupení sinusovek o dané
frekvenci v celkovém signálu
protože je to komplexní číslo, zahrnuje také
informaci o fázi
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Komplexní tvar Fourierovy řady se jeví méně intuitivní, má ale dvě velké
výhody.
Pro každou frekvenci si vystačí s jedinou konstantou Cn – jelikož jde o
komplexní číslo, může nést současně dvě informace (o amplitudě i o fázi
vlny).
Součet goniometrických dvou různých funkcí (sinus a cosinus) je nahrazen
jedinou exponenciální funkci se kterou se lépe pracuje.
Komplexní tvar je důležitý pro odvození tzv. Fourierovy transformace.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
3.1.b: Seismický signál jako funkce
frekvence
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Vezmeme-li v úvahu určitý časový úsek, můžeme v tomto časovém
úseku určit amplitudy příslušející jednotlivým frekvencím (koeficienty
bn a an) a můžeme tak číselně vyjádřit, v jaké míře se jednotlivé
konkrétní frekvence podílejí na popisu celkového signálu. Můžeme
tedy sestrojit funkci, která popisuje amplitudu signálu v závislosti nikoli
na čase, ale na frekvenci, tj. frekvenční spektrum.
Matematická operace, která popisuje převod časové funkce signálu
(seismogram) na funkci závislou na frekvenci (Fourierovo spektrum),
se nazývá Fourierova transformace.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Fourierova transformace
Míru zastoupení různých frekvencí v signálu v určitém zvoleném
časovém okně lépe vyjádří funkce ukazující závislost amplitudy U(f)
nikoli na čase, ale na frekvenci.
Převod signálu z funkce času na funkci frekvence se nazývá
Fourierova transformace
)( fU)(tusignál jako funkce času signál jako funkce frekvence
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Funkce U(f) závislá na frekvenci se nazývá spektrum.
-Spektrum je komplexní veličina.
velikost udává tzv. amplitudové spektrum
úhel representuje tzv. fázové spektrum
dtetufU fti




 2
)()(
)( fU
 )(arg fU
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
V čem je podstata vztahu pro Fourierovu transformaci?
dtetufU fti




 2
)()(
dttfA
t
t

2
1
)(
Integrál funkce času f(t) od t1 do t2 je plocha pod křivkou dané funkce
ve stanoveném intervalu.
jde tedy o plochu pod křivkou funkce
f(t), kde
f(t) = u(t).e-2ft,
a to v celém rozsahu křivky (pro čas
od minus nekonečna do nekonečna)
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
dtetufU fti




 2
)()(
Vymezením času od minus nekonečna do nekonečna je však čas
fixován – ať do vztahu dosadíme za čas t jakoukoli hodnotu, plocha
pod křivkou daná integrálem bude stejná.
Tedy – přestože f(t) [f(t)= u(t).e-2ft] je funkcí času, daný integrál již
funkcí času není (nezávisí na času t)!
Současně vidíme, že plocha pod křivkou funkce f(t) bude různá
pro různé frekvence f ... tedy, že daný integrál je funkcí frekvence!
integrál není
funkcí času
integrál je funkcí frekvence
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Fourierovu transformaci a její význam si můžeme demonstrovat na
dvou jednoduchých příkladech – na transformaci jednoduché
sinusoidy a na transformaci píku (impulzu).
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Jednoduchá sinusoida je funkce popsaná jednou konkrétní
hodnotou frekvence F a jednou konkrétní hodnotou amplitudy A. Její
frekvenční popis je tedy funkce, která má nenulovou hodnotu pouze v
bodě o frekvenci F, všude jinde je nulová (tzv. impuls neboli pík).
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Také pík lze popsat jako součet sinusoidových křivek. V tomto
případě potřebujeme sčítat nekonečně mnoho křivek (musíme použít
všechny možné frekvence) a že amplituda všech jednotlivých křivek je
stejná (v píku jsou obsaženy stejnou měrou všechny frekvence).
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Typy signálů a jejich frekvence
Seismický záznam může zachycovat kmitání částic kontinua ve smyslu:
- posunutí polohy částice
- rychlost posunutí polohy částice
- zrychlení posunutí polohy částice
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Při převedení téhož signálu z posunutí na rychlost či zrychlení vidíme,
že změna amplitudy v různých typech signálů je závislá na frekvenci.
posunutí
rychlost
zrychlení
 f.t.2πAsin(t)u0 
t
(t)u
(t)v 0
0



 f.t.2πf.Acos.2π(t)v0 
t
(t)v
(t)s 0
0


    f.t.2π.Asinf.2π(t)s
2
0 
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Spektrum signálu se tedy zásadně liší podle toho, zda jde o spektrum
posunutí, rychlosti či zrychlení.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
V případě jednoduché sinusovky platí následující vztahy pro přepočet
mezi amplitudami posunutí, rychlostí a zrychlení:
 f.t.2πAsin(t)u0   f.t.2πf.Acos.2π(t)v0     f.t.2π.Asinf.2π(t)s
2
0 
 f.2πAA uv   f.2πAA vs   2
us f.2πAA 
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
3.2: Vliv prostředí na seismickou
vlnu
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
3.2.a: Signál jako tlumené kmity a coda
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Útlum
Horninové prostředí se chová elasticky a impuls vede k tlumeným
kmitům částic kontinua (d – součinitel tlumení).
nadkritický útlum
kritický útlum
podkritický útlum
t
eAA d
 0
 0t
t-
0 .tsineAu(t) d

podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Pro charakteristiku útlumu je široce používána veličina Q (quality factor):







2
1
t
A
A
ln
Q

  tQ
ft
0eAtA



podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
V homogenním prostředí má seismický signál spíše charakter impulsu.
V důsledku anelastických nehomogenit v reálném horninovém prostředí
dochází k odrazům a k rozptylu seismických vln a ke vzniku reziduálních
tlumených kmitů s výrazně menším útlumem, které vytváří v seismickém
záznamu část označovanou jako „coda“.
  tQ
ft
0eAtA



podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
3.2.b: Změna amplitudy jako funkce místa
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Dále od zdroje je posunutí (a tedy tvar signálu) ovlivněno nejen
dynamikou a kinematikou zdroje, ale také vlastnostmi horninového
prostředí. Vliv prostředí nám popisuje tzv. greenův tenzor.
George Green
(1793-1841)
    ,;,*,),( ,

txGMtxu qnppqn 
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Výsledné posunutí je popisováno jako reakce na silový impuls působící
v místě  a v čase , přičemž greenův tenzor popisuje odezvu prostředí
na tento impuls v místě x a čase t.
    ,;,*,),( ,

txGMtxu qnppqn 
greenův tenzor –
popisuje odezvu v
místě x a čase t
momentový tenzor –
popisuje působící momenty
sil v místě  a čase , které
způsobily pohyb
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Operace mezi funkcemi M a G v časové oblasti je konvoluce.
Při vyjádření v závislosti na frekvenci degraduje na součin.
    ,;,*,),( ,

txGMtxu qnppqn 
      ααt.GαMtu qnp,pqn d 


podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Se změnou místa se tedy mění jak amplituda tak i frekvenční
charakteristika signálu.
Amplituda se mění zejména z důvodu:
a) geometrického rozšiřování vlnoplochy
b) absorpce seismických vln v důsledku nedokonalé elasticity
horninového prostředí
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
rozšiřování sférické vlnoplochy (geometrical spreading)
Má-li být zachována konstantní suma energie E0 na kulové ploše, tak
s rostoucím poloměrem r připadá na jeden bod kulové plochy část
energie Er:
Tj. velikost seismické energie klesá
úměrně druhé mocnině vzdálenosti.
2
0
r
r4
E
E


podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Energie kmitajícího bodu je dána součtem jeho kinetické a potenciální
energie.
Kinetická energie Ek je úměrná hybnosti objektu, v závislosti na
rychlosti si ji můžeme vyjádřit vztahem:
V případě objektu kmitajícího na pružině si stačí uvědomit, že rychlost
je derivací výchylky
a po dosazení tak máme:
𝐸 𝑘 =
1
2
𝑚𝑣2
 f.t2πAsinu(t) .
𝑣 = 𝐴2𝜋𝑓. 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑡
𝐸 𝑘 =
1
2
𝑚𝐴2
2𝜋𝑓 2
. 𝑐𝑜𝑠2
2𝜋𝑓𝑡
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Potenciální energie Ep je úměrná působící síle, v případě kmitání
pružiny si můžeme působící sílu vyjádřit vztahem (k je tuhost pružiny):
Potenciální energie je pak úměrná práci, která je vlivem daná síly
vykonána přemístěním do rovnovážného stavu (tedy do stavu A=0),
přičemž síla se během přemístění mění, takže musíme vztah
integrovat:
𝐹 = −𝑘𝐴
𝐸 𝑝 = − 𝐹𝑑𝐴 =
1
2
𝑘𝐴2
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
rozšiřování sférické vlnoplochy (geometrical spreading)
Má-li být zachována konstantní suma energie E0 na kulové ploše, tak
s rostoucím poloměrem r připadá na jeden bod kulové plochy část
energie Er:
r
1
A
r
1
EAE 2r
2
r 
Tj. velikost seismické energie klesá
úměrně druhé mocnině vzdálenosti.
Energie je úměrná druhé mocnině
amplitudy A, takže amplituda pak klesá
úměrně se vzdáleností:
2
0
r
r4
E
E


podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
útlum v důsledku absorpce prostředí
Je dán vztahem pro tlumené kmity, kde amplituda A ve vzdálenosti r
závisí kromě vzdálenosti na frekvenci f, rychlosti v a tzv. „kvalitě
oscilátoru“ (quality factor) Q:
 
r
Qv
πf
0earA


  r
0earA 

 ... koeficient absorpce
absorpce je frekvenčně závislá, vyšší
frekvence jsou absorbovány rychleji.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
3.3: Rychlost seismických vln
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Odvození rychlosti seismických vln vychází z tzv. vlnových rovnic.
Např. pro rovinnou podélnou vlnu platí pohybová rovnice (tj. vlnová
rovnice), ve které vystupuje fázová rychlost v:
Současně lze na základě Newtonových zákonů zformulovat vlnovou
rovnici (za předpokladu zanedbání objemových sil, např. gravitace):
2
2
2
2
2
x
u
v
t
u





j
ij
2
i
2
x
σ
t
u
ρ





podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Pro přiblížení významu uvedených rovnic si nahraďme horninové
prostředí jednoduchým modelem – soustavou kuliček a pružin.
Sledujme kuličku uprostřed modelu.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
V důsledku průchodu vlny je kulička vychýlena ze své středové polohy.
To ale vede k deformaci pružin, v jejichž důsledku na kuličku působí
síly orientované tak, aby vedly k návratu do středové polohy.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Uvědomíme-li si, že ...
- druhá derivace výchylky hmotného bodu u podle času t je zrychlení
udělené danému hmotnému bodu:
- součin hmotnosti a zrychlení je síla (tudíž součin hustoty r a
zrychlení je síla působící na jednotkový objem):
- druhá derivace výchylky podle vzdálenosti x je úměrná elementům
deformace
... tak potom vidíme, že ...
zrychlení...a
t
u
2
2



sílysložka...F
t
u
ρ i2
i
2



podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
2
2
2
2
2
x
u
v
t
u





fázová rychlost
zrychlení částice kontinua
úměrné elementu
deformace
2
2
2
2
x
u
P
t
u





r
síly působící v důsledku
vychýlení ze středové polohy
napjatost prostředí
(tlak, napětí „struny“
apod.)
První rovnice uvádí souvislost mezi výchylkou (zrychlením) a elementy
deformace.
Respektive mezi elementy síly a deformace.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Druhá z rovnic uvádí jednoduchou souvislost mezi složkami síly a
napětí.
j
ij
2
i
2
x
σ
t
u
ρ





složky síly působící na
částici kontinua
úměrné elementu
napětí
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Máme tedy rovnice uvádějící souvislost mezi fázovou rychlostí a
elementy síly, deformace a napětí.
2
2
2
2
2
x
u
v
t
u





j
ij
2
i
2
x
σ
t
u
ρ





fázová rychlost
zrychlení částice kontinua
složka síly působící na
částici kontinua
úměrné elementu
deformace
úměrné elementu
napětí
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Navíc existují vztahy mezi deformací a napětím (respektive silou).
Elastické vlastnosti prostředí popisuje Hookův zákon:
kde sij jsou složky tenzoru napětí, ekl jsou složky tenzoru deformace a
Cijkl jsou elastické koeficienty
klijklij eCs
Robert Hook (1635-1703)











333231
232221
131211
sss
sss
sss
s











333231
232221
131211
eee
eee
eee
e
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Zobecněný Hookův zákon:
kde dij je tzv. Kroneckerův symbol, eI je stopa tenzoru deformace a l a
m jsou tzv. Lamého parametry.
ijIijij ee mlds 2
ji
ji
ij



0
1
{d











333231
232221
131211
eee
eee
eee
e
332211 eeeeI 
Gabriel Léon Jean
Baptiste Lamé (1795-1870)
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Modul pružnosti ve smyku (Lamého parametr m):
kde  je střižné napětí a g je střižná deformace.
g

m 
A
F

I
x
g
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Lamého parametr l a modul objemové pružnosti K
kde P je tlak a V objem.
3
2m
l K
dV
dP
VK 
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
S využitím Hookova zákona si pak můžeme z vlnových rovnic odvodit
fázovou rychlost v závislosti na hustotě prostředí a elastických modulech.
2
2
2
2
2
x
u
v
t
u





j
ij
2
i
2
x
σ
t
u
ρ





2
2
j
ij
2
x
u
x
σ
.
ρ
1
v





úměrné elementu
deformace
úměrné elementu
napětí
fázová rychlost
hustota
} tj. je to funkce úměrná
elastickým koeficientům
napětí = el. koef. x deformace
tedy
el. koef. = napětí / deformace
/
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
r
ml
r
m
23
4
K
vP




Rychlost vlny šířící se elastickým prostředím tedy záleží na hustotě a
na elastických parametrech daného prostředí.
Pro rychlost P-vlny platí:
kde K je modul objemové pružnosti, m je modul pružnosti ve smyku, l
je tzv. první Lamého parametr a r je hustota.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Pro rychlost S-vlny platí:
kde m je modul pružnosti ve smyku a r je hustota.
Modul pružnosti v kapalinách má hodnotu m=0.
Z toho plyne, že rychlost S-vlny v kapalinách je rovněž nulová: vs=0.
r
m
Sv
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Při znalosti hustoty a elastických parametrů horniny pak můžeme
odvodit rychlosti seismických vln:
hornina m [GPa] K [GPa] r [g/cm3] vp [m/s] vs [m/s]
granit 24.1 36.6 2.6-2.7 5093 3016
bazalt 25.0 41.7 2.8-3.0 5089 2938
rula 24.2 33.7 2.6-2.9 4898 2967
kvarcit 30.8 33.8 2.6-2.8 5266 3379
mramor 18.8 28.6 2.4-2.7 4588 2717
vápenec 20.2 33.6 2.3-2.7 4918 2840
pískovec 6.7 9.8 2.2-2.8 2686 1571
jíl. břidlice 6.3 5.4 2.4-2.8 2312 1562
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
S růstem kompakce a pevnosti materiálu rostou hodnoty
elastických parametrů mnohem rychleji, než hustota!
Proto s hloubkou roste jak hustota horninového prostředí tak
rychlost seismických vln.
Empiricky odvozená Gardnerova rovnice (1974):
r
m
Sv
r
m
3
4
K
vP


Gerald Henry
Frazier Gardner
(1926-2009)
𝜌 = 𝛼. 𝑉𝑝
𝛽
≈ 0,31 . 𝑉𝑝
0,25
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Pro elastické vlastnosti většiny horninového prostředí platí, že
hodnoty Lamého parametrů m a l jsou vzájemně velmi blízké:
hornina m [GPa] K [GPa] l [GPa]
granit 24.1 36.6 20.5
bazalt 25.0 41.7 25.0
rula 24.2 33.7 17.5
kvarcit 30.8 33.8 6.0
mramor 18.8 28.6 16.0
vápenec 20.2 33.6 20.2
pískovec 6.7 9.8 5.7
jíl. břidlice 6.3 5.4 1.2
lm 
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Pro elastické vlastnosti většiny horninového prostředí platí, že
hodnoty Lamého parametrů m a l jsou vzájemně velmi blízké:
Pro rychlosti seismických vln pak z toho plyne:
SP v.3.3
32
v 


r
m
r
m
r
ml
lm 
3
v
v
S
P

podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
S využitím Poissonova čísla n můžeme poměr rychlostí podéůné a
příčné vlny přepsat:
Poměr rychlostí podélné a příčné vlny se tedy dá vyjádřit jako funkce
závislá pouze na jediném elastickém koeficientu, a to Poissonově
čísle. Poměr Vp/Vs přibližně odpovídá Poissonovu číslu ¼.
𝑉𝑝
𝑉𝑠
=
𝜆 + 2𝜇
𝜇
=
2 − 2𝑣
1 − 2𝑣
𝜆 =
2𝜇𝑣
1 − 2𝑣
𝜇 =
𝜆 1 − 2𝑣
2𝑣
3
Poissonovo číslo některých
hornin (podle Ji et al. 2009)
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Variabilitu rychlostí seismických vln se
snaží popsat tzv. rychlostní modely.
Pro řešení většiny úloh seismologie
jsou dostatečné jednorozměrné
modely, které popisují pouze změny
rychlostí seismických vln v závislosti
na hloubce.
Hustoty horninového prostředí a
rychlosti seismických vln podle
modelu PREM.
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Existuje více globálních modelů, nejpoužívanější byly modely PREM,
IASPEI91 a ak135.
Rychlosti seismických vln podle modelu IASPEI91.
IASPEI91
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
hloubka
rychlost(m/s)
podzim 2023 Seismologie a seismotektonika – 03 (seismická vlna)
Rychlosti seismických vln v různých
materiálech dosahují řádově hodnot
x00 až x000 m.s-1.