Lineární algebra
M1030 Matematika pro biolog 25.10. a 1.11.2023
Základní pojmy
Motivace Matice a vektory „Klasifikace" matic Operace s maticemi
Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace
Determinanty_
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo
Regulární matice_
Aplikace - maticové populační modely_
Základní pojmy
Motivace
Eulerův model růstu populace: x(t + 1) = rx(ť) x(t) ... velikost populace v čase t
r     ... růstový koeficient (r = 1 + b — d, b porodnost, d úmrtnost)
Caswellův model růstu populace strukturované podle plodnosti:
s(í + l)=<7i(l-7)a;(í)+ fy(t) y(t + 1) =        cri7 x(t) + cr2
x(t) ... množství juvenilních jedinců
y(t) . .. množství plodných jedinců
/    ... očekávané (průměrné) množství potomků plodného jedince za jednotku času
7    ... PQuvenilní jedinec během časové jednotky dospěje)
<7i   ... PQuvenilní jedinec přežije časovou jednotku)
7i   ... P(plodný jedinec přežije časovou jednotku)
Motivace
Eulerův model růstu populace: x(t + 1) = rx(ť)
Caswellův model růstu populace strukturované podle plodnosti
s(í + l)=<7i(l-7)a;(í)+ fy(t) y(t + 1) =        ai7 x(t) + a2
Označení: ^) = ('^Y R = " 7) 7
1 y(t) I \    au a2
Motivace
Eulerův model růstu populace: x(t + 1) = rx(ť)
Caswellův model růstu populace strukturované podle plodnosti: x(t-\-1) = Rx(ť)
a;(í + l)=(7i(l-7)a;(í)+ f y(t) y(t + 1) =        ai7 x(t) + a2
Označení: ^) = ('^Y R = " 7) 7
1 y(í) I        V    <ti7 ct2
Matice a vektory
Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích
A =
/ au	«12	«13	«1,71-1	«1,77 \
«21	«22	«23	«2,71-1	«2,77
«31	«32	«33	«3,n-l	«3,77
«ra—1,1	«m-l,2	«771—1,3       • •	«m—1,n—1	«771—1,77
\ «ral	«m2	«m3       • •	«777,77—1	«m,n /
Matice a vektory
Matice typu (m, n)	... tabulka čísel o		m řádcích	a n sloupcích	
	/ au	«12	«13	• • •        «l,n—1	«l,n \
	«21	«22	«23	«2,n-l	«2,n
A =	«31	«32	«33	• • •        «3,n— 1	«3,n
	«m—1,1	«m-l,2	«m—1,3	• • •     «ra—l,n—1	«m—l,n
	\ «ml	«m2	«m3	• • •       «m,n—1	«m,n /
Příklady:
A
1
-2   3,1415927 ±
i l >
B
8 0 -4 2
R
>i(l-7) / <ji7 <j2
C = (7)
A je matice typu (2, 3), B a R jsou matice typu (2, 2), C je matice typu (1,1)
Matice a vektory
Matice typu (m, n)	... tabulka čísel o		m řádcích	a n sloupcích	
	/ au	«12	«13	• • •        «l,n—1	«l,n \
	«21	«22	«23	«2,n-l	«2,n
A =	«31	«32	«33	• • •        «3,n— 1	«3,n
	«m—1,1	«m-l,2	«m—1,3	• • •     «ra—l,n—1	«m—l,n
	\ «ml	«m2	«m3	• • •       «m,n—1	«m,n /
Příklady:
A
1
-2   3,1415927 ±
3
i l >
B
8 0 -4 2
R
>i(l-7) /
(Ji7 <r2
A je matice typu (2, 3), B a R jsou matice typu (2, 2), C je matice typu (1,1) Číslo lze považovat za speciální případ matice, matice jsou zobecněním čísel.
C = (7)
4/27
Matice a vektory
Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích
A
/ «11
«21 «31
«12 «22 «32
«13 «23 «33
«m—1,1       «771—1,2       « 777—1,3
\   «777! «m2 «m3
«l,n-l «2,n-l «3,n-l
m-rozměrný sloupcový vektor je matice typu (m, 1), v =
V3
\vmJ
«l,n «2,n «3,n
\
«777— 1, n— 1 «777—1,77 «777,77—1 «777,77 /
Matice a vektory
Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích
A =
f «11
«21 «31
«12 «22 «32
«13 «23 «33
«m—1,1 «m—1,2 «m—1,3 • • \   «ml «m2 «m3       • •
«l,n-l «2,n-l «3,n-l
m-rozměrný sloupcový vektor je matice typu (m, 1), v =
V3
\vmJ
«l,n \ «2,n «3,n
«ra—l,n—1     «m—l,n
«m,n—1 «
m
,n /
n-rozměrný řádkový vektor je matice typu (l,n),
w = í/; 2 ^3
w
n
) = (^1,^2-
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m,n je • čtvercová řádu n, pokud m = n
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m,n je • čtvercová řádu n, pokud m = n
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m,n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j ^
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m,n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j ^ a>ij = 0
o "24)'(o 3'492?
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m,n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j ^ &íj = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi,j)i < j =>     = 0
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m,n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j ^ &íj = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi,j)i < j' =>     = 0
/8   0\      /l 0 0\
VO   oj'    \-2   3,1415927   0J
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j =^>     = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j ^ cl^ = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i 7^ j =^> a^- = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j =^>     = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j ^ cl^ = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i 7^ j =^> a^- = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
^0   2J'    V°   2/      V°   3,1415927 OJ
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j =^>     = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j ^ cl^ = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i 7^ j =^> a^- = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
• symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)a^ = a jí
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j =^>     = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j ^ cl^ = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i 7^ j =^> a^- = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
• symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)a^ = a jí
(o    (! 0' (i W4r7
V 2
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m,n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j =^>     = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j =^>     = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i 7^ j =^> a^- = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
• symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)a^ = a jí
• a7íy/owí, pokud (\/i1j)aij =0,    0=(^   ^   ^ )
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m,n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j =^>     = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j =^>     = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i 7^ j =^> a^- = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
• symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)a^ = a jí
• a7íy/owí, pokud (\/i1j)aij =0,    0=(^   ^   ^ )
• jednotková, pokud a^7
1, i=j 0, i^j,
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
1. unární operace (matice i—>> matice; A i—>>
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
1. unární operace (matice h> matice; A h> B)
• Transpozice matice: AT = A7 = B Matice B je typu (n,ra), 6ZJ =
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
1. unární operace (matice h> matice; A h> B)
• Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n,m), bij = a ji
Příklady:
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
1. unární operace (matice \-> matice; A h> B)
• Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n,m), 6^- =
Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A = AT
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
1. unární operace (matice h> matice; A h> B)
• Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n,m),     = a jí
Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A = AT
• Opačná matice: — A = B
Matice B je téhož typu (m,n),     = —
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
1. unární operace (matice h> matice; A h> B)
• Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n,ra),     = a jí
Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A =
• Opačná matice: — A = B
Matice B je téhož typu (ra,n),     = —
Příklad:
2
3,14
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
1. unární operace (matice h> matice; A h> B)
• Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n,m), bij = a jí
Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A = AT
• Opačná matice: — A = B
Matice B je téhož typu (m,n), bij = —clíj
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
2. vnější operace (číslo, matice h> matice; c, A h> B)
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
2. vnější operace (číslo, matice h> matice; c, A h> B)
• Násobení matice číslem (skalárem): cA = B Matice B je téhož typu (m,n), bij — ccííj
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
2. vnější operace (číslo, matice h> matice; c, A h> B)
• Násobení matice číslem (skalárem): cA = B Matice B je téhož typu (m,n), 6^ = ca^
Příklad:
1
2
3,14 \ i -1,57
2 -1
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
2. vnější operace (číslo, matice h> matice; c, A h> B)
• Násobení matice číslem (skalárem): cA = B Matice B je téhož typu (m,n),     = ca^-
Platí
-A = (-l)A
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice i—>> matice; A, B i—>>
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Příklady:
1      2      3 \     / 3 -1 -2   3,14 + 0,86
2/        \    A 4
1 + 3        2 + (-l)     3 + (-2)\ = / 4 11 2 + (-l)   3,14 + 0,86    -\ + \)     V-3   4 0
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Příklady:
3 + (-2)\     / 4    1 A -i + i;     V-3   4 Oj
(1 ľ)♦(i f) ■ (A ?)
1
2
3,14
1
-1 0,86
2 4
1 + 3        2 + (-l) ■2 + (-l)   3,14 + 0,86
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice i—>> matice; A, B i—>>
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj =     + b
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická Vlastnosti sčítání matic:
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) asociativita
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) asociativita A + B = B + A komutativita
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) asociativita A + B = B + A komutativita A + 0 = 0 + A = A        existuje neutrální prvek
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) asociativita
A + B = B + A komutativita
A + 0 = 0 + A = A existuje neutrální prvek
A + (—A) = 0 ke každé matici existuje opačný prvek
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) asociativita
A + B = B + A komutativita
A + 0 = 0 + A = A existuje neutrální prvek
A + (—A) = 0 ke každé matici existuje opačný prvek
Matice spolu s operací sčítání tvoří Abelovskou grupu.
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice i—>> matice; A, B i—>>
• Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = +
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
Cíj = diibij + ai2b2j + cti3b3j H-----h ainb
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B ^ C)
• Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n
Cij = CLiibij + (2i2^2j + <^i3^3j + ' ' ' + Uinbnj = CLik^kj
k=l
Příklady:
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice H> matice; A, B i-> C)
• Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n
C
Cbiibij + ai2b2j + ai3b3j H-----h ainb
k=l
Příklady:
A
2 5
AB
2 0\ -3 1 6 2)
1 2
-3 5
/ 2 0\
-3   1   , B = V 6    2 J
I 2-1 + 0-(-3)      2-2 + 0-5 \ =    -3- 1 + 1 -(-3)   -3-2 + 1-5 \ 6-1 + 2-(-3)      6-2 + 2-5 )
BA ... nelze vynásobit
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice H> matice; A, B i-» C)
• Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
Příklady:
-'-2,;).b- j, ;
Cij = «il&lj + «i2^2j + Gi3&3j H-----h CLinbnj = ^ ai/c6fc
fe=l
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n
Cij
ctnbij + ai2b2j + ai363j H-----h ainb
vnwnj
Příklady:
A
/O 0
-i i
2 -2 1 -1
B
1 1
0 0
o
1
AB
/O 0
2 1
-2
/ 2 0 -1 0
V-i o
2
\	/o	0	
=	0	0	°
	V>	Q	
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice H> matice; A, B i-» C)
• Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n
Cij — CLi\b\j + «i2^2j + ^isbsj + • • • + CLinbnj — Cíikbkj
k=l
Příklady:
A2 = AA =
/-l 1
V i
A
1 -3' -1 3 -1 3
-1     1 -3 1    -1 3 1    -1 3
í-1    1 -3 1    -1 3 VI -13
í-l    1 -c 1    -1 3 VI    -1 3
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
Cíj = diibij + ai2b2j + ai3b3j H-----h ainb
Vlastnosti násobení matic:
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n
Cij — cínbij + a^2^2j + cii3bsj + • • • + cíinbnj — ctik^kj
Vlastnosti násobení matic:
(AB)C = A(BC) asociativita
Operace s maticemi
A ... matice typu (m,n)
3. binární operace (matice, matice h> matice; A, B h> C)
• Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n
Cij — cínbij + a^2^2j + cii3bsj + • • • + CLinbnj — (^ikbkj
k=l
Vlastnosti násobení matic:
(AB)C = A(BC) asociativita m = n ^ AE = EA = A   k čtvercové matici existuje neutrální prvek
Základní pojmy
Řešení soustav rovnic — Gaussova eliminace
Příklad
Soustava lineárních rovnic Gaussova eliminační metoda Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Závěrečná poznámka
Determinanty
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo Regulární matice_
Řešení soustav rovnic - Gaussova
eliminace
Aplikace - maticové populační modely
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = A
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = A
x+2y = 4 2x+3y = 7
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 | • (-2) 2x + 3y = 7
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = A
x+2y = A 2x+3y = 7
(-2)
2x- 4y = -8 2x+3y = 7
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -S 2x+3y = 7
+
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = A
x+2y = A 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -8 2x+3y = 7
+
x + 2y = 4 -2/ = -l
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = A
x+2y = A 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -8 2x+3y = 7
+
x + 2y = 4
-Ž/ = -l ?/ = 1, .x = 4 - 2 • 1 = 2
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = A
x+2y = A 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -8 2x+3y = 7
+
x + 2y = 4
-Ž/ = -l ?/ = 1, .x = 4 - 2 • 1 = 2
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = A
x+2y = A 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -8 2x+3y = 7
+
x + 2y = 4 -2/ = -l
2/ = 1, .x = 4 - 2 • 1 = 2
2 3
Označení: A = [        j, íc
Soustava rovnic: Aíc = 6
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = A
x+2y = A 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -8 2x+3y = 7
+
x + 2y = 4 -2/ = -l
2/ = 1, .x = 4 - 2 • 1 = 2
Označení: A =
i í)-x=(y)-b=U
Soustava rovnic: Ax = b
Ještě stručnější zápis:
2 3 1 2
7
4
8/27
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
-2x- 4y = -S 2x+3y = 7
x+2y = 4
-y = -i
(-2)
+
y = 1, x = 4-2-1 = 2
(1	2		
u	3	7 J	
-2	-4		-8
2	3		7
1	2	4	
0	-1	-1	
Označení: A =
i í)-x=(y)-b=U
Soustava rovnic: Ax = b
Ještě stručnější zápis:
2 3 1 2
7
4
8/27
Soustava lineárních rovnic
Soustava (systém) m lineárních rovnic o n neznámých:
a\\X\ + ai2X2 + • • • + CLlnXn — b\ CL2\X\ + CL22X2 +      • • •      + CL2nXn = 62
flml^l H~~ Ojm2X2 ~~\~      ' ~~\~ CLmnXn — b
m
Soustava lineárních rovnic
Soustava (systém) m lineárních rovnic o n neznámých:
0*21%! + «22^2 +
+ CLlnXn — b\ + CL2nXn = Č>2
A =
/ q>11 tti2 cl21 0,22
\ami o
OmlXl + am2^2 +
OmnXn — b
m
Maticový zápis: Ax = b
Oln \
O 2 n
Omn /
matice soustavy   b =
x =
/bi\
b2
\bmj f Xl\
X2
\xnJ
vektor pravých stran
vektor neznámých
Soustava lineárních rovnic
Soustava (systém) m lineárních rovnic o n neznámých:
a\\X\ + ai2X2 + • • • + CLlnXn — b\ CL2\X\ + CL22X2 +      • • •      + CL2nXn = 62
flml^l H~~ Ojm2X2 ~~\~      ' ~~\~ CLmnXn — b
Maticový zápis: Ax = b
Všechny informace o systému jsou obsaženy v rozšířené matici soustavy
(A|6) =
/ «11
«21
«12 «22
0>ln «2n
61 \
b2
\ «ml «m2
a
mn
Gaussova eliminační metoda
Elementární řádkové transformace matice:
• výměna (přehození) řádků
• vynásobení řádku nenulovým číslem
• přičtení jednoho řádku k jinému
Gaussova eliminační metoda
Elementární řádkové transformace matice:
• výměna (přehození) řádků
• vynásobení řádku nenulovým číslem
• přičtení jednoho řádku k jinému
Označení: A ~ B ... „matice B vznikla z matice A pomocí elementárních transformací."
Gaussova eliminační metoda
Elementární řádkové transformace matice:
• výměna (přehození) řádků
• vynásobení řádku nenulovým číslem
• přičtení jednoho řádku k jinému
Označení: A ~ B ... „matice B vznikla z matice A pomocí elementárních transformací." Algoritmus metody:
1. Užitím elementárních řádkových transformací převedeme rozšířenou matici soustavy na vhodnou horní trojúhelníkovou.
2. Výslednou matici přepíšeme do tvaru soustavy rovnic a vypočítáme jednotlivé složky řešení.
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
1 0 -2 4 1 -1
-2 4 1 0 1 -1
přehození 1. a 2. řádku
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
vynásobení 1. řádku číslem —3
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
přičtení 1. řádku ke 2.
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x-2y + 4z = 1 2x+ y — z = — 1
vynásobení 1. řádku číslem ~
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
přičtení 1. řádku k 3.
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
vynásobení 1. řádku číslem —^
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
vynásobení 2. řádku číslem 5
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
vynásobení 3. řádku číslem —7
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
přičtení 2. řádku k 3.
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
vynásobení 3. řádku číslem »
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2
z = 2, y = ±(-3 + 12-2) = 3
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2
2 = 2, y = ±(-3 + 12 • 2) = 3, x = 1 - 4 • 2 + 2 • 3 = -1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
2x + ?>y- z = -12
x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
2x + 3y- z = -12
x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15
	2	3	-1	-12 \		1	2	1	9 \	í	1	2	1	9
	1	2	1	9 ~		0	1	3	30 -		0	1	3	30
v	5	8	2	i5;	v	0	-2	-3	-30 J	\	0	0	3	30
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
2x + 3y- z = -12
x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15
/ 2    3 -1 12 1 \ 5    8 2
12 1 0 10 0    0 1
1	2	1	9 \	/ 1
0	1	3	30 ~	0
0	-2	-3	-30 /	^ 0
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
2x + 3y- z = -12
x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15
	2	3	-1	-12 \		1	2	1	9
	1	2	1	9 ~		0	1	3	30
v	5	8	2	i5;	v	0	-2	-3	-30
/ 1
o
V 0
0	0	-1
1	0	0
0	1	10
z = 10, y = 0, x =
-1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
x\ + 2x2 + 3X3 2^1 —   x2 +   X3 + x4
xi+2x2 + X3 + 2x4
X1+3X2+3X3— x4
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
xi +2x2 + 3x3 = 5
2X1 —   X2+   %3 +   ÍC4 = 4 x\ +2^2+   £3+2x4 = — 1 XI +3^2 +3X3—   X4 = 5
	1	2	3	0	5	\	(	1	2        3 0	5 \	/	1	2 3	0	5 \
	2	-1	1	1	4			0	-5     -5 1	-6		0	1 0	-1	0
	1	2	1	2	-1	r-		0	0-2 2	-6		0	0 -5	-4	-6
v	1	3	3	-1	5	)	\	0	10-1	0 /	V	0	0 -2	2	-6 /
	1	2	3	0	5	\	/	1	2	3	0	5 \	/	1	2	3	0	5 \
	0	1	0	-1	0			0	1	0	-1	0		0	1	0	-1	0
	0	0	1	-1	3			0	0	1	-1	3		0	0	1	0	2
V	0	0	0	-9	9	/	V	0	0	0	1	-1 /	V	0	0	0	1	-1 /
	1	2	0	0	-1 \	/	1	0	0	0	1 \
	0	1	0	0	-1		0	1	0	0	-1
	0	0	1	0	2		0	0	1	0	2
V	0	0	0	1	-1 /	V	0	0	0	1	-1 /
x\ = 1, X2 = —1, X3 = 2, X4 = —1
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Příklad:
x + 2y 2x + 3y
4 7
x + 2y = 4
y = i
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Příklad:
x + 2y 2x + 3y
4 7
x + 2y
y
4
i
y = i, x = 2
x + 2?/ 2x + 4y
4 7
0
4 1
11 / 27
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Příklad:
x + 2y 2x + 3y
x + 2y 2x + %
4 7
x + 2y = 4 2/ = 1
2/ = 1, x = 2
4 7
x + 2y = 4 0 1
úloha je neřešitelná
11 / 27
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Příklad:
x + 2y 2x + 3y
4 7
1 2
2 3
4 7
1 2 0 1
4 1
x + 2y = 4 2/ = 1
2/ = 1, x = 2
x + 2?/ 2x + 4y
4 7
1 2
2 4
4 7
1 2 0 0
4 1
x + 2y = 4 0 1
úloha je neřešitelná
x + 2y = 4 2x + 4y = 8
1 2
2 4
4 8
1 2 0 0
4 0
x + 2y = 4 0 = 0
11 / 27
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Příklad:
x + 2y 2x + 3y
4 7
1 2
2 3
4 7
1 2 0 1
4 1
x + 2y = 4 2/ = 1
2/ = 1, x = 2
x + 2?/ 2x + 4y
4 7
1 2
2 4
4 7
1 2 0 0
4 1
x + 2y = 4 0 1
úloha je neřešitelná
x + 2y = 4 2x + 4y = 8
1 2
2 4
4 8
1 2 0 0
4 0
x + 2y = 4 0 = 0
úloha je řešitelná, řešení není jednoznačné; druhou neznámou volíme jako parametr: x = 4 — 2y
11 / 27
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Hodnost matice A, h(A):
počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminací.
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Hodnost matice A, h(A):
počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminac
Kronckerova-Capelliho věta:
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých
Ax = b.
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Hodnost matice A, h(A):
počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminací.
Kronckerova-Capelliho věta:
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých
Ax = b.
h(A) < h(A\b) =^>   úloha nemá řešení
h(A) = h(A\b) < n   ^>   úloha má řešení, řešení není jednoznačné h(A) = h(A\b) = n   ^>   úloha má jednoznačné řešení
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Hodnost matice A, h(A):
počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminací.
Kronckerova-Capelliho věta:
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých
Ax = b.
h(A) < h(A\b) =^>   úloha nemá řešení
h(A) = h(A\b) < n   ^>   úloha má řešení, řešení není jednoznačné h(A) = h(A\b) = n   ^>   úloha má jednoznačné řešení
Ve druhém případě lze řešení vyjádřit pomocí n — h(A) parametrů.
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Příklad:
2x + 3y + z = 1 x + 4y - 2z = 3 x + 3y — z = 2
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Příklad:
2x + 3y + z = 1 x + 4y - 2z = 3 x + 3y — z = 2
	2	3	1	1 \	/	1	3 -1	2 >	\	í	1	3	-1	2
	1	4	-2	3 ~		0	1 -1	1			0	1	-1	1
v	1	3	-1	27	\	0	-3 3	-3 V	I	\	0	0	0	0
/ 1
o
V 0
2 1 0
0
0
1 1 0
Řešení není jednoznačné, y = 1 + z, x =1 — 2y = 1 — 2(1 + z) = --1 - - 2z
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Předpokládáme, že matice soustavy je typu m, n, tj. jedná se o soustavu m rovnic o n neznámých.
Pro zjednodušení zápisu budeme v rozšířené matici soustavy prvky v posledním sloupci značit symboly a^j+i-
Algoritmus úpravy rozšířené matice soustavy:
1. j := 1 (indexu j přiřaď hodnotu 1)
2. mezi prvky cljj, clj+ij, clj+2,j, ..., dm,j najdi ak,j takový, že
(Vi = j, j + 1, j + 2,... ,m)\ak,j\ > (v j-tém sloupci najdi prvek s největší
absolutní hodnotou, příslušný řádek považuj za k-tý)
3. pokud \dk,j \ = 0, jdi na krok 7.
4. přehoď j-tý a k-tý řádek
1
5.   j-tý řádek vynásob číslem
a3,3
6.   dělej pro každé i ^ j: k ž-tému řádku přičti j-tý řádek násobený číslem —clíj
7-   j '>= j + 1 (index j zvětši o 1)
8.   pokud j < m, jdi zpět na krok 2., jinak konec
12 / 27
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 ■5x + 7y-8z = 2 bx — 6y + 7 z = -
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 ■5x + 7y-8z = 2 bx — 6y + 7 z = -
/   3     -2 4	5 ^
-5     7 -8	2
V   5     -6 7	-3 /
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 ■5x + 7y-8z = 2 bx — 6y + 7 z = -
/   3     -2 4	5 ^
-5     7 -8	2
V   5     -6 7	-3 /
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 ■5x + 7y-8z = 2 bx — 6y + 7 z = -
	3	-2	4	5 ^		f	-5	7	-8	2 \
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5
v	5	-6	7	-3 J		\	5	-6	7	-3 /
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 ■5x + 7y-8z = 2 bx — 6y + 7 z = -
	3	-2	4	5 ^		í	-5	7	-8	2 \		í	1	7 5	8 5	2 5
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5			3	-2	4	5
v	5	-6	7	-3 J		\	5	-6	7	-3 )		\	5	-6	7	-3
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + Az = 5 -5x + 7y -Sz = 2 bx — 6y + 7 z = —3
/	3	-2	4	5 ^		f	-5	7	-8	2 \	/	1	7 5	8 5	2 5	\	
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5		3	-2	4	5		
\	5	-6	7	-3 )		\	5	-6	7	-3 /	\	5	-6	7	-3	)	
f	1	7 5	8 5	2 5	\
	0	11	4	31	
		5	5	5	
	0	1	-1	-1	/
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + Az = 5 -5x + 7y -Sz = 2 bx — 6y + 7 z = —3
	3	-2	4		5 ^		í	-5	7	-8			2 \			1	7 5	8 5	2 5	\
	-5	7	-8		2			3	-2	4			5			3	-2	4	5	
v	5	-6	7		-3 j		V	5	-6	7			-3 J		V	5	-6	7	-3	/
	/ 1	7 5	8 5		2 5	\		/ 1	7 5	8 5			2 5							
	0	11	4		31			0	1	4			31							
		5	5		5					11			11							
	\ o	1	-1		-1	)		\ o	1	-1			-i /							
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 ■5x + 7y-8z = 2 bx — 6y + 7 z = -
	3	-2	4	5 ^		í	-5	7	-8	2 \		í	1	7 5	8 5	2 5	\
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5			3	-2	4	5	
v	5	-6	7	-3 J		\	5	-6	7	-3 )		\	5	-6	7	-3	/
/ 1
o \ o
_ 7 5 11
5
1
8 5
4
5
1
V
5 \
31 5
1 /
/ i o
0 1
o  o -4t
12 11 _4_ " 11 7_ 11
/ 1
O
\ o
7
5
1 1
39 \ 11 X 31 11
11 /
8 5
_4_
" 11
-1
5 \
31 11
i /
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 ■5x + 7y-8z = 2 bx — 6y + 7 z = -
	3	-2	4	5 ^		í	-5	7	-8	2 \		í	1	7 5	8 5	2 5	\	
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5			3	-2	4	5		
v	5	-6	7	-3 J		\	5	-6	7	-3 )		\	5	-6	7	-3	/	
í 1
o \ o
_ 7 5 11
5
1
8 5
4
5
1
V
5 \
31 5
1 /
/ i o
0 1
o  o -4t
12 11 _4_ " 11 7_ 11
/ 1
O
\ o
7
5
1 1
39 \ 11 X 31 11
11 /
8 5
_4_
" 11
-1
5 \
31 11
i /
	í	1	0	12 11	39 11	\
		0	1	4	31	
				11	11	
	\	0	0	1	6	/
12 / 27
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 ■5x + 7y-8z = 2 bx — 6y + 7 z = -
	3	-2	4	5 ^		í	-5	7	-8	2 \		í	1	7 5	8 5	2 5	\	
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5			3	-2	4	5		
v	5	-6	7	-3 J		\	5	-6	7	-3 )		\	5	-6	7	-3	/	
í 1
o \ o
_ 7 5 11
5
1
8 5
4
5
1
V
5 \
31 5
1 /
/ i o
0 1
o  o -4t
12 11 _4_ " 11 7_ 11
/ 1
O
\ o
7
5
1 1
39 \ 11 X 31 11
11 /
8 5
_4_
" 11
-1
5 \
31 11
i /
	í	1	0
		0	1
	\	0	0
12	39
11	11
4	31
11	11
1	6
39 \ 11 \
1	0	0	-3
0	1	0	5
0	0	1	6
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 ■5x + 7y-8z = 2 bx — 6y + 7 z = -
/
3	-2	4
-5	7	-8
5	-6	7
/ 1 0	7 5 11 5	8 5 4 5
V o	1	-1
5 \ 2
-3 /
5 \
V
31 5
1 /
/
/ i o
0 1
o  o -4t
12 11 _4_ " 11 7_ 11
/ 1
0
\ o
7	-8	2 \		í	1	7 5	8 5	2 5	\	
-2	4	5			3	-2	4	5		
-6	7	-3 )		\	5	-6	7	-3	/	
7
5
1 1
39 \ 11 X 31 11
11 /
8 5
_4_
" 11
-1
5 \
31 11
i /
	í	1	0
		0	1
	\	0	0
12	39
11	11
4	31
11	11
1	6
39 \ 11 \
1	0	0	-3
0	1	0	5
0	0	1	6
x = —3, y = 5, z = 6
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
13 / 27
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
{1, i = 3^P c, i = j =p 0, jinak
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
vynásobení 2. řádku číslem — 2 :
(1 0
o o
-2 0 0 1
/ 1
3
W
0
1
/1
-6
W
0
1
4N 4
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
{1, i = 3^P
c, i = j =p
0, jinak
• Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
1, i = j, nebo i = p a j = q 0, jinak
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
1,   i = 3^P Vij = < c,    i — j — P
0, jinak
• Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
Si j
1, i — j, nebo i = p a j = q 0, jinak
přičtení 2. řádku ke 3.
/I    0 0' 0 10 \0    1 1
/1	-2     4 \	(1
3	0       2 ] =	3
K-1	1      2 j	^2
-2
0
1
0
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
Vij = \ c.   i = j =p 0, jinak
• Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
Si j —
1, i = j, nebo i = p a j = q 0, jinak
• Přehození p-tého a q-tého řádku: matice T,
ti j —
1, p 7^ i = j 7^ q, nebo i = p a j = q, nebo i = q a j = p 0, jinak
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
Vij = \ c.   i = j =p 0, jinak
• Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
Si j —
1, i = j, nebo i = p a j = q 0, jinak
• Přehození p-tého a q-tého řádku: matice T,
ti j —
1, p 7^ i = j 7^ q, nebo i = p a j = q, nebo i = q a j = p 0, jinak
	(i	0	°\	(1 -2
přehození 2. a 3. řádku:	0	0	1	3 0
	^0	1	0/	^-1 1
4\	/ 1     -2 4
-2 =	-112
2/	^3 0-2
13 / 27
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
Vij = \ c.   i = j =p 0, jinak
• Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
Si j —
1, i = j, nebo i = p a j = q 0, jinak
• Přehození p-tého a q-tého řádku: matice T,
ti j —
1, p 7^ i = j 7^ q, nebo i = p a j = q, nebo i = q a j = p 0, jinak
Základní pojmy_
Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace
Determinanty
Determinant čtvercové matice řádu 2 Determinant čtvercové matice řádu 3 Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých Determinant čtvercové matice řádu n
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo
Regulární matice_
Aplikace - maticové populační modely_
Determinanty
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = f
f-cx
y
d
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
f-cx
b
ax + — (/ — cx)   = e
(ad — bc)x   =   ed — b f
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
f -cx
ax + — (f — cx)   = e
(ad — bc)x   =   ed — bf      předpokládejme, že ad — bc ^ 0
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
x
f -cx
b
ax + — (/ — cx)   = e a
(ad — bc)x   =   ed — bf      předpokládejme, že ad — 6c 7^ 0
ed — 6/ ad — 6c
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
/ - ar
ax -\- —(f — cx)   = e a
(ad — 6c)x   =   ed — bf      předpokládejme, že ad — bc 0
x =
ed — 6/ ad — 6c
d \        ad — bc   /       dad — bc        ad — bc
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax+by = e      . ed-bf af - ce
,       -      je—11 aa — oc 7^ 0   pak   # = —-——, v = —-——
cx + dy = f r ad-bc ad-bc
15 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax+by = e      . ed-bf af - ce
,       -      je—11 aa — oc    0   pak   x = —-——, v = —-——
cx + dy = f r ad-bc ad-bc
Matice soustavy A = (^   ^ V vektor pravých stran b = í ^
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodo
clx |   bij — (3 g-d — b j~
cx + dy = f     ie-Uad-bc^O   pak   x = „ Matice soustavy A = (^   ^ V vektor pravých stran b = (^
Determinant matice A:
det A = A = det
c (Í
a 6 c d
ad — be
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax+by = e      .  ..    .    .    , _      . ed — bf
,  7       -     je-h ad — bc ^ 0   pak   x = —-——, y = cx + dy = f ^ ad-bc
Matice soustavy A =        ^, vektor pravých stran b = ^
Determinant matice A:
det A = A = det
c (Í
a 6
c (Í
aa7 — 6c
Pokud det A ^ 0, pak jediné řešení dané soustavy rovnic je:
x
e b
f d
la b
c d\
ed — b f ad — bc
y
a e
c f
a b
c d\
a f — ce ad — bc
Determinant čtvercové matice řádu 2
Příklad:
2x + 3y = 7 x + 2y = 4
Determinant čtvercové matice řádu 2
Příklad:
2x + 3y = 7 x + 2y = 4
2 3 1 2
2-2-3-l = 1^0.
Determinant čtvercové matice řádu 2
Příklad:
2x + 3y = 7 x + 2y = 4
2 3 1 2
2-2-3-l = 1^0.
x
7 3
14 2
7-2-3-4
1/
2 7 1 4
2-4-7-1 = 1,
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
ax + by + cz   = k dx + ey + fz   = l gx + hy + j z   = m
dosazovací metodou:
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou:
ax + by + cz   = k dx + ey + fz   = l gx + hy +       = ra
1
z = — (m — gx — hy)
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou:
ax + by + cz   = k dx + ey + fz   = l gx + hy +       = m
1
z = — (m — gx — hy)
c
ax + fa/ H— (m — gx — hy)   = /c /
dx + H— (m — gx — hy)   = Z
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou:
ax + by + cz   = k dx + ey + fz   = l gx + hy + j z   = m
1
z = — (m — gx — hy)
c
ax + fa/ H— (m — gx — hy)   = /c /
cfcr + H— (m — gx — hy)   = Z
(aj - c#)x + (67 - c/i)ž/ = kj (dj - fg)x + (ej - //i)2/ =
— cm
- f m
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou:
ax + by + cz   = k dx + ey + fz   = l gx + hy +       = ra
1
z = — (m — gx — hy)
(aj — cg)x + (67 — c/i)y   =   fcj — cm (4? -        + (ej - fh)y   =   Ij - fm
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou
ax + by + cz   = k dx + ey + fz   = l gx + hy +       = ra
1
z = — (m — gx — hy)
(aj — cg)x + (67 — c/i)y = fcj — cm (4? -        + (ej - fh)y   =   Ij - f m
O jednoznačné řešitelnosti dané soustavy rovnic tedy rozhoduje
aj — cg   bj — ch
det
dj ~ f g   ej - f h
= aej2 - aj f h - cgej + cgfh - (b f d - bjfg - chdj + ch f g) =
— j(aej + bfg + cd/i — ceg — aj h — bdj)
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a b c d e f 9   h j
= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a b c d e f 9   h j
= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a b c d e f 9   h j
= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a b c d e f 9   h j
= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a b c d e f 9   h j
= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a b c d e f 9   h j
= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a b c d e f 9   h j
= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a b c d e f 9   h j
= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a
det I d
b	c
e	f
h	j
a b c d e f 9   h j
= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
Sarrusovo pravidlo:
e \	e \	e \			
	a	b	c	a	b
	d	e	f	d	e
	9	h	j	9	h
/ e	/ e	/ e			
= aej + bfg + cdh — gec — hfa — jdb
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
	/ a	b		1	a	b	c	
det j	d	e		=	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh —
		h	j)		9	h	j	
Sarrusovo pravidlo:								
e \	e \	e \						
	a	b	c	a	b			
	d	e	f	d	e		= aej + bfg + cdh — gec — hfa — jdb	
	9	h	j	9	h			
/ e	/ e	/ e						
Laplaceův rozvoj determinantu podle 1. řádku:
a   b c
i
aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
d e f 9   h j
~ f h) - b(dj - f g) + c(dh - eg)
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
a
det I d
b		a	b	c	
e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
h		9	h	j	
Sarrusovo pravidlo:
e \	e \	e \			
	a	b	c	a	b
	d	e	f	d	e
	9	h	j	9	h
/ e	/ e	/ e			
= aej + bfg + cdh — gec — hfa — jdb
Laplaceův rozvoj determinantu podle 1. řádku:
a   b c
i
aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
d e f 9   h j
a(ej - f h) - b(dj - f g) + c(dh - eg)
a
e h
f j
d f 9 j
+ c
d e 9 h
16 / 27
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
Pokud D
a d
9
e h
c
f j
ax + by + cz dx + ey + /z gx + hy + j z
k l
m
7^ 0 pak má daná soustava rovnic jednoznačné řešení;
složky řešení jsou dány výrazy
1
X = Ď
k    b c l    e f m   h j
y
1
a k c d l f g   m j
1
Ď
a b k d e l g   h m
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
2x + 3y + z =1 x + 2y + z = — 1 x + y — z =4
17 / 27
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
2x + 3y + z = 1 x + 2y + z = — 1 x + ?/ — z =4
3 2 1
1 1
= -4 + 3 + 1-(2 + 2-3) = -1/0
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
2x + 3y + z =1 x + 2y + z = — 1 x + ?/ — z =4
2 3 1 2 1 1
1 1
= -4 + 3 + 1-(2 + 2-3) = -1/0
1 3 -1 2
1 1
= -2 + 12 - 1 - (8 + 1 + 3) = -3.
4     1 -1
2 1 1 -1 1 4
1 1
-1
= 2 + l + 4-(-l + 8-l) = 1,
2 3 1 2 1 1
= 16 - 3 + 1 - (2 - 2 + 12) = 2.
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
2x + 3?/ + z =1 x + 2y + z = — 1 x + y — z =4
2 3 1 1   2 1
1   1 -]
= -4 + 3 + 1- (2 + 2-3) = -1^0
1 3 1 -12 1 4    1 -1
= -2 + 12 - 1 - (8 + 1 + 3) = -3.
2 1 1 -1 1 4
1 1
-1
= 2 + l + 4-(-l + 8-l) = 1
2   3 1 12-1 1   1 4
= 16- 3 + 1 - (2 - 2 + 12) = 2.
x = 3, 2/ = —1, 2 =
-2
Determinant čtvercové matice řádu n
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku
«11 «12 «13 «21 «22 «23 «31       «32 «33
«7X1 «7X2 «7l3
aln «2ti «3n
Determinant čtvercové matice řádu
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku:
all        a12        a13 ■ ■ ■ aln
a2l       CL22       0,23 • • • a2n
«31       «32       «33 ... a3n _
anl       an2       an3 ■ ■ ■ ann
«22       a23 ■ ■ ■ a2n
a32       a33 ■ ■ ■ a3n — au ...
«77,2       an3 • • • ann
Determinant čtvercové matice řádu
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku:
«11 «12 «13 • • • aln «21 «22 «23 ••• «2n «31       «32       «33       ••• «3n
anl       an2       an3        • • • ai
= «11
«22 «32
«23 «33
an2 an3
a2n a3n
a,
— «12
«21 «31
anl
«23 «33
an3
a2n a3n
a*
Determinant čtvercové matice řádu n
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku:
«11 «12 «13 • • • aln «21 «22 «23 ••• «2n «31       «32       «33       ••• «3n
«7X1        «7X2        «ti3 • • • «i
= «11
«22 «32
«23 «33
«7l2 «7l3
a2n a3n
a,
— «12
«21 «31
«nl
«23 «33
«Tl3
a2n a3n
a*
+ «13
«21 «31
«nl
«22 «32
«Tl2
a2n a3n
a,
Determinant čtvercové matice řádu n
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku
«11 «12 «13 «21 «22 «23 «31       «32 «33
«7X1 «7X2 «7l3
«ln «2n «3n
a1
= «11
«22 «32
«23 «33
«7X2 «7l3
«2ti «3ti
a,
— «12
«21 «31
«23 «33
«7X1 «7l3
«2ti «3ti
+ «13
«21 «31
«22 «32
«7X1 «7l2
«2ti «3ti
a,
+ (-1) «ln
«21 «31
«22 «32
anl an2
a2,n-l a3,n-l
an,n — 1
Determinant čtvercové matice řádu n
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku
«11 «12 «13 «21 «22 «23 «31       «32 «33
«7X1 «7X2 «7l3
aln «2ti «3n
= «11
«22 «32
«23 «33
an2 an3
a2n a3n
a,
— «12
«21 «31
«23 «33
anl «7x3
a2n a3n
+ «13
«21 «31
«22 «32
anl an2
a2n a3n
a,
+ (-1) «ln
«21 «31
«22 «32
anl an2
a2,n-l a3,n-l
an,n — 1
Determinant čtvercové matice řádu n
Determinant čtvercové matice A řádu 1 je číslo |A| = au
Determinant čtvercové matice A řádu n je číslo
A| = an|An| - ai2|Ai2| + ai3|Ai3| H-----h (-1)
A
ln
kde Aij označuje matici, která vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a j tého sloupce.
Determinant čtvercové matice řádu n
Determinant čtvercové matice A řádu 1 je číslo |A| = au
Determinant čtvercové matice A řádu n je číslo
A| = aii|An| - ai2|Ai2| + ai3|Ai3| H-----h (-1)
A
ln
kde Aij označuje matici, která vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a j tého sloupce.
Obecněji: Determinant čtvercové matice A řádu n je číslo
n
n
A| = ^(-l)i+j^|Ai
i=i
Eí-1)
i+3
a
13
A;
i=l
kde Ajj označuje matici, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j tého sloupce.
Determinant čtvercové matice řádu n
Příklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
Determinant čtvercové matice řádu n
Příklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
Determinant čtvercové matice řádu n
Příklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
-111
2 12
3 3-1
- 2
2 11 112 13-1
Determinant čtvercové matice řádu n
Příklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
-1 1	1		2	1	1		2	-1	1
2 1	2	- 2	1	1	2	+ 3	1	2	2
3 3	-1		1	3	-1		1	3	-1
Determinant čtvercové matice řádu n
Příklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
-1 1	1		2	1	1		2	-1	1
2 1	2	- 2	1	1	2	+ 3	1	2	2
3 3	-1		1	3	-1		1	3	-1
= 1 + 6 + 6- (3 - 6- 2)- 2[-2 + 2 + 3 - (1 + 12 - 1)] + 3[-4 - 2 + 3 - (2 + 12 + 1)] = -18
18 / 27
Základní pojmy
Řešení soustav rovnic -	Gaussova eliminace
Determinanty	
	
Řešení soustav rovnic -	Cramerovo pravidlo
Řešení soustav rovnic - Cramerovo
Soustava n rovnic o n neznámých
Regulární matice_
Aplikace - maticové populační modely
pravidlo
Soustava n rovnic o n neznámých
Ax = b
Pokud |A| 7^ 0, pak soustava rovnic má jediné řešení, jehož složky jsou dány rovnostmi
1
x q
A
au
«21
«12 «22
«nl «n2
«i,í-i   b\ «i,í+i
«2,i-l ^2 «2,i+l «n,i—1 «n,i+l
«ln «2n
a
nn
20 / 27
Soustava n rovnic o n neznámých
Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic
x\ + 2x2 + 3^3 = 5
2x\ — X2+ X3+ X4 = 4 x\ + 2#2 + ^3 + 2^4 = — 1 xi + 3^2 + 3^3 — X4 = 5
Soustava n rovnic o n neznámých
Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic
1
2 1 1
2
-1
2
3
3 1 1
3
0
1
2
-1
= -18 # 0
x\ + 2x2 + 3^3 2X\ —   X2+   X3+ X4 x\ + 2X2 +   ^3 + 2^4 Xi + 3^2 + 3^3 — X4
5 4
1
Soustava n rovnic o n neznámých
Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic
x\ + 2x2 + 3^3 2X\ —   X2+   X3+ X4 x\ + 2X2 +   ^3 + 2^4 Xi + 3^2 + 3^3 — X4
5 4
1
2
-1
2
3
2
3
3 1 1
3
3 1 1
3
0
1
2
-1
5 4
= -18 # 0
-1 1	4		2	1	4		2	-1	4		2	-1 1
2 1	-1	- 2	1	1	-1	+ 3	1	2	-1	- 5	1	2 1
3 3	5		1	3	5		1	3	5		1	3 3
= -5 - 3 + 24 - (12 + 3 + 10) - 2(10 - 1 + 12 - (4 - 6 + 5)) + 3(20 +1 + 12 -(8 - 6- 5))-
-5(12 - 1 + 3 - (2 + 6 - 3)) = 18
Soustava n rovnic o n neznámých
Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic
x\ + 2x2 + 3^3 2X\ —   X2+   X3+ X4 x\ + 2X2 +   ^3 + 2^4 Xi + 3^2 + 3^3 — X4
5 4
1
2
-1
2
3
2
3
3 1 1
3
3 1 1
3
0
1
2
-1
5 4
= -18 # 0
-1 1	4		2	1	4		2	-1	4		2	-1 1
2 1	-1	- 2	1	1	-1	+ 3	1	2	-1	- 5	1	2 1
3 3	5		1	3	5		1	3	5		1	3 3
■5 - 3 + 24 - (12 + 3 + 10) - 2(10 - 1 + 12 - (4 - 6 + 5)) + 3(20 +1 + 12 -(8 - 6- 5))-
-5(12 - 1 + 3 - (2 + 6 - 3)) = 18
£4 =
18 ^18
= -1
20 / 27
Základní pojmy_
Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace
Determinanty_
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo
Regulární matice
Inverzní matice Definice a vlastnosti
Aplikace - maticové populační modely
Regulární matice
Inverzní matice
verzní matice Ak čtvercové matici A řádu
AA"1 = A"
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu
AA-1 = A"
Užití: Ax   = b
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
AA
A_1A = E
Užití:
Ax   =   b   násobení maticí A 1 zleva
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n\
AA
A_1A
Užití:
Ax x
b | násobení maticí A 1 A_16
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu
AA-1 = A"
Výpočet: X   = A-1
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
AA-1 = A_iA = E
-i
Výpočet:
X   =   A 1   násobení maticí A zleva
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
AA
A_1A = E
Výpočet:
X = A-1 AX   = E
násobení maticí A zleva
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu
AA
A
Výpočet:
X = A-1 AX   = E
j-tý sloupec matic:
f X^3 \
x2j
A
X33 X3 + l,3
\   Xnj J
0
0
1 o
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n\
AA
A_1A = E
Výpočet:
X = A-1 AX   = E
j-tý sloupec matic:
f X^3 \
x2j
A
X33 X3 + l,3
\   Xnj J
0
0
1 o
To je soustava n rovnic o n neznámých. Je jednoznačně řešitelná, pokud h(A)
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
Výpočet:
AA
A_1A = E
X = A-1 AX   = E
j-tý sloupec matic:
f X^3 \
x2j
A
X33 X3 + 1J
\   Xnj /
0
0
1 o
To je soustava n rovnic o n neznámých. Je jednoznačně řešitelná, pokud h(A) Inverzní matici najdeme řešením n soustav n lineárních rovnic o n neznámých.
Inverzní matice
Příklady:
Inverzní matice
Příklady:
A
Inverzní matice
Příklady:
A
-3 1
1
-5
0,1 -0,2
0,3 0,4
Inverzní matice
Příklady:
A
4 -3 2 1
1 O O 1
2 O
1
-5
0 1
1 -2
10 O
O 5
10 i
0 -
1 3 -1 2
0
1
5
-2
1 O O 1
0,1 -0,2
0,3 0,4
A-x =
0,1 0,3 -0,2 0,4
1
10
Inverzní matice
Příklady:
A
4 2
1 O O 1
2 O
0
1
10 O O 5
10
0
1
-1
A
1 íl
io V-
Obecně platí:
-i
1     / d
ad — bc V —c
Inverzní matice
(-3   3    4 \ Príklady: B =     4 1-6
\6    5 -9/
Inverzní matice
Příklady:
B =
3 4 1 -6 5 -9
1 O O
	3	-3	-4	-1
	0	15	-2	4
v	0	0	7	-14
	1	-11	0	-3
	0	21	0	0
v	0	0	7	-14
O
3 -33
-2 -9 -33
B
11
	-4	-1	0		0 A		
	-2	4	3		0		
	-1	2	0		i /		
	3	-33	0		-9		-6
	0	105	0		0		-45
v	0	0	7		-14		-33
/	1 -	-11	0		-3		-2
	0	7	0		0		-3
\	0	0	7		-14		33
				f	7	0	0
					0	7	0
				V	0	0	7
47
-3
33
22 2
15
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n.
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní
Vlastnosti násobení regulárních matic:
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní
Vlastnosti násobení regulárních matic:
(AB)C = A(BC) asociativita
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní
Vlastnosti násobení regulárních matic:
(AB)C = A(BC) asociativita A E = E A = A     existuje neutrální prvek
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n. Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní.
Vlastnosti násobení regulárních matic:
(AB)C = A(BC) asociativita A E = E A = A     existuje neutrální prvek AA_1 = E       ke každé regulární matici existuje inverzní prvek
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n. Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní.
Vlastnosti násobení regulárních matic:
(AB)C = A(BC) asociativita A E = E A = A     existuje neutrální prvek AA_1 = E       ke každé regulární matici existuje inverzní prvek
Regulární matice spolu s operací násobení tvoří grupu.
Základní pojmy
Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace
Determinanty
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo
Regulární matice
Aplikace - maticové populační modely
Leslieho populace
Populace strukturovaná podle stádií Obecná strukturovaná populace
Aplikace - maticové populační
modely
Leslieho populace
Patrick Holt Leslie (1900-1972)
25 / 27
Leslieho populace
Xi(ť) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců Pí - podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce
25 / 27
Leslieho populace
Xi(ť) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — l,i) měsíců Pí - podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce
Xi+i(t + 1) =PiXi(ť),
1,2,..., k — l
Leslieho populace
Xi(ť) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců
Pí - podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce
fi - očekávaný počet dcer, které během měsíce porodí samice věku i měsíců
xi+1{t + 1) =PiXi(ť), i = 1, 2,..., k - 1
Leslieho populace
Xi(ť) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců
Pí - podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce
fi - očekávaný počet dcer, které během měsíce porodí samice věku i měsíců
Xl(t + 1) = flXl(t) + f2x2(t) + • • • + fkxk(t) Xi+i(t + 1) =PiXi(t), i = 1, 2,..., k - 1
Leslieho populace
) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce očekávaný počet dcer, které během měsíce porodí samice věku i měsíců
Xl(t + 1) = flXl(t) + f2x2(t) + • • • + fkxk(t)
Xi+i(t + 1) =PiXi(ť),
% — 1,2,... ^
/ a;i(í + l) \ x2(t + 1)
s3(í + l) ^ ^(í + l) /
(h h Pi 0
0 P2
fs 0
0
0 0 0 \0    0 o
fk-1
o o o o
M   / X!(t) \
x2(t) x3(t)
0 0
Pk-i    0 /
V xk{t) )
Leslieho populace
) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce očekávaný počet dcer, které během měsíce porodí samice věku i měsíců
Xl(t + 1) = flXl(t) + f2x2(t) + • • • + fkxk(t)
Xi+i(t + 1) =PiXi(ť),
% — 1,2,... ^
/ a;i(í + l) \ x2(t + 1)
s3(í + l) ^ ^(í + l) /
(h h Pi 0
0 P2
fs 0
0
0 0 0 \0    0 o
fk-1
o o o o
M   / X!(t) \
x2(t) x3(t)
0 0
Pk-i    0 /
V xk{t) )
x(t + l) = Ax(t)
Populace strukturovaná podle stádií
Leonard Lefkowitch (1929-2010)
Populace strukturovaná podle stádií
Obojživelníci: vajíčko - pulec - dospělý jedinec
Populace strukturovaná podle stádií
Obojživelníci: vajíčko - pulec - dospělý jedinec Hmyz: vajíčko - larva - kukla - imago
26 / 27
Populace strukturovaná podle stádií
k - počet stádií
Xi(ť) - počet jedinců stadia i v čase t (i = 1 - „novorozenci")
qi - podíl jedinců stadia i, kteří přežijí období a nepromění se; 0 < qi < 1
Pí - podíl jedinců stadia i, kteří se během období přemění na stadium i + 1;
0 <Pi < 1,
Pí + & < 1,   i = 1,2,..., fc /i - očekávaný počet „novorozenců", které vyprodukuje jedinec stadia i > 1; fa > 0
26 / 27
Populace strukturovaná podle stádií
k - počet stádií
Xi(ť) - počet jedinců stadia i v čase t (i = 1 - „novorozenci")
qi - podíl jedinců stadia i, kteří přežijí období a nepromění se; 0 < qi < 1
Pí - podíl jedinců stadia i, kteří se během období přemění na stadium i + 1;
0 <Pi < 1,
Pí + & < 1>   i = 1,2,..., A: fa - očekávaný počet „novorozenců", které vyprodukuje jedinec stadia i > 1; fa > 0
x1(t + 1) = ^2fjXj(t),       Xi(t + 1) = +Pí#í-i(í), i = 2,3,..., fc
J=2
Populace strukturovaná podle stádií
k - počet stádií
Xi(ť) - počet jedinců stadia i v čase t (i = 1 - „novorozenci")
qi - podíl jedinců stadia i, kteří přežijí období a nepromění se; 0 < qi < 1
Pí - podíl jedinců stadia i, kteří se během období přemění na stadium i + 1;
0 <Pi < 1,
Pí + q% < 1,   i = 1, 2,...,
/i - očekávaný počet „novorozenců", které vyprodukuje jedinec stadia i > 1; fi > 0
+ 1) = ^2fjXj(t),       Xi(t + 1) = +Pí^í-i(í), i = 2,3,..., fc
J=2
x2(í + 1) x3(í + 1)
\xfe(í+l)/
/<?1 /2 0 P2
\0 o
fk-1
0
o
/A o
o
032 (í)
Pfc-1      9fc/ \Xk(t)J
26 / 27
Populace strukturovaná podle stádií
k - počet stádií
Xi(ť) - počet jedinců stadia i v čase t (i = 1 - „novorozenci")
qi - podíl jedinců stadia i, kteří přežijí období a nepromění se; 0 < qi < 1
Pí - podíl jedinců stadia i, kteří se během období přemění na stadium i + 1;
0 <Pi < 1,
Pí + q% < 1,   i = 1, 2,...,
/i - očekávaný počet „novorozenců", které vyprodukuje jedinec stadia i > 1; fi > 0
+ 1) = ^2fjXj(t),       Xi(t + 1) = +PíXí_i(í), i = 2,3,..., fc
J=2
x2(í + 1) x3(í + 1)
\xfe(í + l)/
/<?1 /2 0 P2
\0 o
/fc-1
o o
/A o
o
x3(t)
Pk-i    QkJ \Xk(t)J
x(t + 1) = Aíc(ť)
26 / 27
Obecná strukturovaná populace
Příklad: Populace Dipsacus sylvestris
Obecná strukturovaná populace
Příklad: Populace Dipsacus sylvestris Časová jednotka: rok
Trideni:	třída	popis	
	1,2	semena	dormantní l.rok, dormantní 2. rok
	3,4,5	růžice	malá, střední, velká
	6	kvetoucí rostlina	
Obecná strukturovaná populace
Příklad: Populace Dipsacus sylvestris Časová jednotka: rok
Trideni:	třída	popis	
	1,2	semena	dormantní l.rok, dormantní 2. rok
	3,4,5	růžice	malá, střední, velká
	6	kvetoucí rostlina	
/XI (í+ 1)\		ŕ 0	0	0	0	0	322,38\		/Xl(t)\
x2(t + 1)		0,966	0	0	0	0	0		x2(t)
x3(t + 1)		0,013	0,010	0,125	0	0	3,448		x3(t)
x4(t + 1)		0,007	0	0,125	0,238	0	30,170		x4(ť)
x5(í + 1)		0,001	0	0,036	0,245	0,167	0,863		x5(t)
\x6(í + 1)/		\ o	0	0	0,023	0,750	0 )		\x6(t)J
27 / 27