Reálné funkce M1030 Matematika pro biology 8. a 15.11.2023 Definice a základní vlastnosti Reálná čísla Pojem funkce Jednoduché vlastnosti funkcí Operace s funkcemi Elementární funkce_ Další funkce Definice a základní vlastnosti Reálná čísla Množina R, aritmetické operace +, •, relace < Reálná čísla Množina R, aritmetické operace +, •, relace < (x + y) + z = x + (y + z) x + y = y + z (30) (yx) x + 0 = x (Vx)(3 —x) x + (—x) = 0 IR s operací + je abelovská grupa = x(yz) xy = y z (31 / 0)(Vx) lx = x (Vx / 0)(3x-1) x-1^ = 1 IR \ {0} s operací • je abelovská grupa a;(y -\- z) = xy -\- xz distributivita x < y a y < z => x < z x < y nebo y < x nebo x = lineární uspořádání y x < y =>x-\-z xz < yz operace + a • jsou slučitelné s uspořádáním množina M tvorí kontinuum, „nejsou v ní díry", jedno-jednoznačným obrazem IR je přímka Podmnožiny IR: • N = {1, 2, 3,... } přirozená čísla • Z = {... — 2, —1, 0,1, 2,... } celá čísla • Q = { § • P £ £ N| racionální čísla • I = IR \ Q iracionální čísla N C Z C O C IR 3/19 Reálná čísla Množina R, aritmetické operace +, •, relace < Rozšířená množina reálných čísel: R* = R U { — oo, oo}; (V# GR) — oo 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+pe D(f) a f(x+p) = f(x) Jednoduché vlastnosti funkcí Ohraničenost: / je ohraničená shora, pokud (3h)(\/x G D [f)) f (x) < h f je ohraničená zdola, pokud (3h)(\/x G D [f)) h < f (x) f je ohraničená, pokud (3hi, /&2)(V# G D(f)) h\ < f (x) < Periodičnost: / je periodická s periodou p > 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+pe D(f) a f(x+p) = f(x) Platí: Je-1i / p-periodická a A: G N, pak je / také fcp-periodická Jednoduché vlastnosti funkcí Ohraničenost: / je ohraničená shora, pokud (3h)(\/x G D [f)) f (x) < h f je ohraničená zdola, pokud (3h)(\/x G D [f)) h < f (x) f je ohraničená, pokud (3hi, /&2)(V# G D(f)) h\ < f (x) < Periodičnost: / je periodická s periodou p > 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+pe D(f) a f(x+p) = f(x) Platí: Je-1i / p-periodická a A: G N, pak je / také fcp-periodická x e D(f) D(f) =>■ x + 2p = (x + p) + p e D(f) =>■ • • • /(x + 2p) = /((# +p) +p) = f(x+p) = f (x),... Jednoduché vlastnosti funkcí Ohraničenost: / je ohraničená shora, pokud (3h)(\/x G D [f)) f (x) < h f je ohraničená zdola, pokud (3h)(\/x G D [f)) h < f (x) f je ohraničená, pokud (3hi, /&2)(V# G D(f)) h\ < f (x) < Periodičnost: / je periodická s periodou p > 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+pe D(f) a f(x+p) = f(x) Parita: / je lichá, pokud x G D(f) =^> —x G £>(/) a f (-x) = - f (x) f je sudá, pokud x G !}(/) —x G !}(/) a f (—x) = /(x) Jednoduché vlastnosti funkcí Ohraničenost: / je ohraničená shora, pokud (3h)(\/x G D [f)) f (x) < h f je ohraničená zdola, pokud (3h)(\/x G D [f)) h < f (x) f je ohraničená, pokud (3hi, h2)(Vx G D(f)) h\ < f (x) < h2 Periodičnost: / je periodická s periodou p > 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+pe D(f) a f(x+p) = f(x) Parita: / je lichá, pokud x G D(f) =^> —x G D(f) a f (-x) = - f (x) f je sudá, pokud x G £>(/) =>• — x G £>(/) a f (—x) = /(x) Monotónnost: /je rostoucí, pokud (Vxi,x2 € D(f))x1 < x2 => f(xi) < f(x2) /je klesající, pokud (Vxi,x2 e D{f))x1 < x2 => f{x1) > f(x2) /je nerostoucí, pokud (Vxi,x2 G D(f))x\ < x2 > /O2^) /je neklesající, pokud (Vxi,x2 G D(f)) x1 < x2 f(xi) < f(x2) Jednoduché vlastnosti funkcí Monotónnost: / je rostoucí na intervalu J, pokud (V#i,#2 £ J) x\ < x^ f(xi) < /O2^) / je klesající na intervalu J, pokud (V#i,#2 ^ J) 2^1 < ^2 ^ f(xi) > f(x2) f je nerostoucí na intervalu J, pokud (Vxi,x2 G J) < x2 =>• > /(#2) / je neklesající na intervalu J, pokud (V#i,#2 £ < x2 f(xi) < /(#2) Jednoduché vlastnosti funkcí Monotónnost: / je rostoucí na intervalu J, pokud (V#i,#2 G J) x\ < x^ f(xi) < /O2^) / je klesající na intervalu J, pokud (V#i,#2 ^ J) 2^1 < ^2 ^ f(xi) > f(x2) f je nerostoucí na intervalu J, pokud (Vxi,x2 G J) #1 < x2 > /(#2) / je neklesající na intervalu J, pokud (V#i,#2 G J)#i < ^2 ^ < /O2^) / je rostoucí v bodě x0 G D(f), pokud (3e > O)f(x) < f {x q) pro x0 — £ < x < x0 a /(#o) < f (x) pro x0 < x < x0 + £ / je klesající v bodě xq G D(f), pokud (3e > O)f(x) > f {x q) pro — e < x < xq a f(xo) < f (x) pro xq < x < xq + e Jednoduché vlastnosti funkcí Monotónnost: / je rostoucí na intervalu J, pokud (V#i,#2 £ J) x\ < x^ f(xi) < /O2^) / je klesající na intervalu J, pokud (V#i,#2 ^ J) 2^1 < ^2 ^ f(xi) > f(x2) f je nerostoucí na intervalu J, pokud (Vxi,x2 • > /(#2) / je neklesající na intervalu J, pokud (V#i,#2 £ < x2 f(xi) < /(#2) / je rostoucí v bodě x0 G D(f), pokud (3e > O)f(x) < f {x q) pro x0 — £ < x < x0 a f(x0) < f (x) pro x0 < x < x0 + £ / je klesající v bodě xq G D(f), pokud (3e > 0)f(x) > f {x q) pro — e < x < xq a f(xo) < f (x) pro < x < xq + e Platí: Funkce / je rostoucí (klesající) v každém bodě intervalu J právě tehdy, když je rostoucí (klesající) na intervalu J. Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) D D(g) ^ 0 Příklad: f(x) = x2 - 2x + 3, g(x) = 2-x, D(f) = D(g) = (-00 Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) D D(g) ^ 0 (/ +0)0*0 = f(x)+g(x) D(f + g) = D(f)nD(g) Příklad: f(x) = x2 - 2x + 3, ^(x) = 2 - x, D(f) = D(g) = (-co, co) (/ + #)0z0 =x2 -3x + 5 Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) D D(g) ^ 0 (/ + 9)(x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x) D(f-g)=D(f + g) = D(f)nD(g) Příklad: f(x) = x2 - 2x + 3, #(x) = 2 - x, £>(/) = D(g) = (-co, co) (/ — 5f)(:r) = ^2 — x + 1 Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) D D(g) ^ 0 (/ + 0)0*0 = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x) (f -0)0*0 = f(x)g(x) D(f • g) = D(f -g)= D(f + g) = D(f) n Příklad: /(x) = - 2x + 3, ^(x) = 2 - x, £>(/) = D(g) = (-co, co) (/ • 0)0*0 = + ^x2 - 7x + 6 Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) D D(g) ^ 0 (/ + 9)(x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x) (f.g)(x) = f(x)g(x) (f/g)(x) = M g(x) D(f ■ g) = D(f -g)= D(f + g) = D(f) D D(g), DUI9) = D(f) H D(g) \ {x e D(g) : g{x) = 0} Příklad: f(x) = x2 - 2x + 3, g(x) = 2-x, D(f) = D(g) = (-co, co) 3 (f/g)(x) = -z—- -x, z — X DUI9) = (-oo, 2) U (2, oo) Operace s funkcemi Skládání funkcí: /, g funkce takové, že H(g) C D(f) Operace s funkcemi Skládání funkcí: /, g funkce takové, že H(g) C D(f) _9__f fog(x) = f{g(x)), £>(/ o g) = {x : g(x) G £>(/)} /°S ../PO 5" Operace s funkcemi Skládání funkcí: /, g funkce takové, že H(g) C D(f) f o g{x) = f{g(x)), D(f og) = {x: g{x) G £>(/)} ,,f ?o g" Příklad: /(x) = - 2x + 3, #0) = 2 - x, = (-00, 00) = D(f) (f 0 g)(x) = (2 - xf - 2(2 - x) + 3 = - 2x + 3 6/19 Operace s funkcemi Skládání funkcí: /, g funkce takové, že H(g) C D(f) _9__f fog(x) = f{g(x)), £>(/ o g) = {x : g(x) G £>(/)} 6/19 Operace s funkcemi Terminologická poznámka: Funkce / je prostá, pokud libovolným dvěma různým hodnotám nezávisle proměnné odpovídají různé funkční hodnoty, tj. (Vxi,x2 € £>(/)) xi^x2^ f(xi) ^ f(x2). Operace s funkcemi Terminologická poznámka: Funkce / je prostá, pokud libovolným dvěma různým hodnotám nezávisle proměnné odpovídají různé funkční hodnoty, tj. (Vxi,x2 € £>(/)) xi^x2^ /Oi) ^ f(x2). Funkce / je prostá na intervalu J, pokud (Vxi,x2 eJ)x1^x2=> /Oi) 7^ /(x2). Operace s funkcemi Terminologická poznámka: Funkce / je prostá, pokud libovolným dvěma různým hodnotám nezávisle proměnné odpovídají různé funkční hodnoty, tj. (Vxi,x2 G £>(/)) xi ^ x2 f(xi) ^ f(x2). Funkce / je prostá na intervalu J, pokud (Vxi,x2 G J) xi ^ x2 f(xi) ^ f(x2). Platí: Je-li funkce / rostoucí (resp. klesající) na intervalu J, pak je na tomto intervalu prostá. Obrácené tvrzení neplatí. Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce / x y f-1' y = f (x) —> „vyřešení rovnice" —> x = / (y) D(f-1)=H(f), H(f-1) = D(f) Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce / y = f (x) „vyřešeni rovnice x = r1(y) x y '-1 D(f-1)=H(f), H(f-1) = D(f) -1 Příklad: Najděte funkci inverzní k funkci / definované na intervalu (—00,1) předpisem f(x) = x2 - 2x + 3. X Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce / y = f (x) „vyřešeni rovnice x = r\y) x y ■-i D(f-1)=H(f), H(f-1) = D(f) -1 Příklad: Najděte funkci inverzní k funkci / definované na intervalu (—00,1) předpisem f(x) = x2 - 2x + 3. x 2x + 3 = y. 2 ± ^4 - 4(3 - y) - ^1,2 ---- = 1 ± V2/ - 2 Pro x = 0 je y = /(O) = 3, vyhovuje pouze znaménko —. Tedy f-1(y) = l-Vv=2 V/ Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce / y = f (x) „vyřešeni rovnice x = r\y) x y ■-i D(f-1)=H(f), H(f-1) = D(f) -1 Příklad: Najděte funkci inverzní k funkci / definované na intervalu (—00,1) předpisem f(x) = x2 - 2x + 3. x 2x + 3 = y. 2 ± ^4 - 4(3 - y) - ^1,2 ---- = 1 ± V2/ - 2 Pro x = 0 je y = /(O) = 3, vyhovuje pouze znaménko —. Tedy f-1(y) = l-Vv=2 Obvykle se nezávisle proměnná označuje symbolem x, r\x) = 1 - Vx~^2. w 1 /' \ ! /' / / / / / / / / / / / / / / r7^ 6/19 Definice a základní vlastnosti Elementární funkce Polynomy Lomené funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce Obecná mocnina Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Shrnutí Další funkce Elementární funkce Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an_ixn_1 H-----h ai# + a0, kde an ^ 0 Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P (x) = anxn + an-\xn~x + • • • + a\x + ag, kde an ^ 0 P>(P) =R #(P) =R nebo #(P) = (-00, u) nebo #(P) = (a, 00) nebo H(P) = {7}. Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P{x) = anxn + an_ixn_1 + • • • + a\X + a0, kde an ^ 0 D(P) =R Speciální případy: Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an-\xn~x + • • • + a\x + ag, kde an ^ 0 £>(P) =R Speciální případy: • n = 0: y = Po(#) — a ~ konstantní funkce H(P0) = {a} ohraničená, periodická s libovolnou periodou, sudá, nerostoucí, neklesající y a 0 X 8/19 Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an-\xn~x + • • • + a\x + ag, kde an ^ 0 L>(P) =R Speciální případy: • n = 1: y = -Pi(#) = + 6 - lineární funkce ff(Pl) = (-00,00) 6 = 0 =>■ lichá; a > O => rostoucí, a < O =>■ klesající V- b 0 re a > O, 6 > O 2/ ■ \ 6 \ a 0 \ X a < O, 6 > O 8/19 Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an-\xn~x + • • • + a\x + ag, kde an ^ 0 L>(P) =R Speciální případy: • n = 2: y = P2(x) = ax2 + 6x + c - kvadratická funkce b = c = 0 =^> sudá Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an-\xn~x + • • • + a\x + ag, kde an ^ 0 L>(P) =R Speciální případy: • n = 2: y = P2(x) = ax2 + 6x + c - kvadratická funkce b = c = 0 =^> sudá 2 , Z' 2 & b2 \ b2 ( b\2 b2 -Aac ax +OX + C — a\x H—x H------\- c — a \ x -\---- V a 4a2) 4a \ 2a) 4a a > 0 rr/n , /4ac- 62 \ , , , / b \ , I b H{P2) = < —--,oo I, klesající na I — oo, — — y, rostoucí na (- —. oo a < O H(P2) = ( — oo, —rostouc:^ na f—klesající na (~^~,oc Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an_ixn_1 H-----h ai# + clq-, kde an 7^ 0 £>(P) =R kořen polynomu: takové číslo xq, že P(xq) = 0. Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P (x) y = R(x) = ———, kde P b Q jsou polynomy (qj{X) Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P (x) y = R(x) = ———, kde P b Q jsou polynomy (qj{X) D(R) = R \ {£ : £ je kořenem polynomu Q} Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy D(R) = R \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P (x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy D(R) = R \ : ^ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Platí: Je-li funkce R neryze lomená, pak ji lze vyjádřit jako součet polynomu a funkce ryze lomené. Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy D(R) = R \ {£ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Platí: Je-li funkce R neryze lomená, pak ji lze vyjádřit jako součet polynomu a funkce ryze lomené. x3 + x2 — 1 Příklad: R(x) = —-n- xz — 1 Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy D(R) = R \ : ^ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Platí: Je-li funkce R neryze lomená, pak ji lze vyjádřit jako součet polynomu a funkce ryze lomené. ^v>3 _i_ ~»2 _ i Příklad: R(x) = - xl — 1 x3 + x2 - l x3 —x + x + x2 —1 (x2 — í)(x + 1) + X X X i- ~\~ X 2 — 1 x2 — 1 x2 — 1 x2 — 1 Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy D(R) = R \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. • Lineární lomená funkce y — R(x) — ax ~*~ \, a / 0 / c Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem y = R(x) P(x) Q{x) kde P a Q jsou polynomy D(R) = R \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Lineární lomená funkce y — R(x) — ax ~*~ \, a / 0 / c a.x + b ax + }j- ax + ;- ; + ; a a 77 - 7 a bc - ad _ (X _ C C (X _ _ j _ _C£_C_ _ _ j CX + d C X + - C x + - c C c x + - c c c(cx + (Í) 9/19 Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem y = R(x) P(x) Q{x) kde P a Q jsou polynomy D(R) = R \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Lineami lomena funkce y — R(x) —-- = —|—---, a / 0 / c, frc cx + d c c(cx + a) D(R) = (^-oo,-^ U H(R) = R\ {^} ad 0 a, b, c > 0, eZ < 0 6c < ad ad < bc Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P (x) y = R(x) = ———, kde P b Q jsou polynomy D(R) = R \ {£ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. • Lineární lomená funkce y — R(x) — aX ~*~ \ — - + —a / 0 / c, bc — ad / 0 cx + a c c(cx + a) D(R) = (-00,--^ U H(R) = R\ {"} fc<.,k^M,i»lu(-„.-|);Mhte™to(4. bc > ad =^> rostoucí na intervalu [—00, — J a na intervalu í—,00 Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy D(R) = R \ {£ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Polynomy a lomené funkce se nazývají racionální funkce Polynom - racionální funkce celistvá Lomená funkce - racionální funkce lomená Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem Přitom a > 0, a ^ 1. f(x) = ax. Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. x = n G N: an = a • a • • • a = 1 • a • a • • • a n—krát n—krát Platí: qnqm = g • g • • • a- a • a • • • a = an+m, (gn)m = o gn • gn • •• -v-' n—krát m—krát m—krát Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. x = n G N: an = a • a • • • a = 1 • a • a • • • a n—krát n—krát Platí: qnqm = g • g • • • a- a • a • • • a = an+m, (gn)m = o gn • gn • •• -v-' n—krát m—krát m—krát x = 0: a° = 1 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. x = n G N: an = a • a • • • a = 1 • a • a • • • a n—krát n—krát Platí: gngm = g • g • • • g • a • a • • • a = gn+m, (gn)m = o gn • gn • •• -v-' n—krát m—krát m—krát x = 0: a° = 1 x = -n, n G N: 1 = g° = gn+(_n) = gn • a~n a~n = — Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f (x) = ax. Pritom a > 0, a =/ 1. x = n G N: an = g • q ■ • • q = 1 • g • g ■ ■ ■ g n—krát n—krát r ian. g g — g • g • • • g • g • g • • • g — g 1 , ^g j = g • g • • • g n—krát m—krát x = 0: g° = 1 i : -n, n G N: 1 = g° = gn+(-n) = "n • n~n - - a mn m—krát g g n 1 i / i \n i x = —, n G N: g = g1 = gn= (^a~ J . Tedy y/ä := a~ je řešením rovnice a = x n Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 x = 1: l3 = 1 < 2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 x = 1: l3 = 1 < 2 x = 2: 23 = 8 > 2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 x = 1: l3 = 1 < 2 x = 2: 23 = 8 > 2 *=f: (D3 = ¥ >2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 X — 1: 13 = 1 < 2 X — 2: 23 = 8 > 2 X — 3 . 2 ■ (I)3 _ 27 8 X — 5 . 4 ■ (I)3 _ 125 — 64 > 2 < 2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 x = 1: l3 = 1 < 2 x = 2: 23 = 8 > 2 *=f: (D3 = ¥ >2 T. _ 5 . /5n3 _ 125 ^ o x — 4 " U/ ~~ 64 ^ Z ^ — !!■ (1±\3 _ 1221 . 9 ^ — 8 ■ \ 8 ' 512 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 x = 1: l3 = 1 < 2 x = 2: 23 = 8 > 2 X = 2' (2) = (I)3 X = ~8: ("Š") 21 . /21n3 ^ 16" V 16/ = 21 > 8 ^ 125 < 2 > 2 64 1 221 512 9 261 4 096 > 2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 X — 1: l3 = 1 < 2 X — 2: 23 = 8 > 2 X — 3 . 2 ■ (§)3 = ¥ >2 X — 5 . 4 ■ /5\3 125 ^ 9 W ~~ 64 ^ Z X — 11 . 8 ■ / 11\3 1221 ^ o V 8 ) ~ 512 ^ Z X — 21 . 16 ■ /21\3 _ 9 261 ^9 V 16' 4 096 ^ X — 41 . 32 ■ /41\3 _ 68 921 ^ o V 32 J 32 768 ^ Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2 i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 X — 1: 13 = 1 < 2 X — 2: 23 = 8 > 2 X — 3 . 2 ■ (I)3 - ^ > 2 — 8 ^ Z X — 5 . 4 ■ (I)3 125 ^ 9 — 64 ^ Z X — 11 . 8 ■ \ 1221 ^ o ~~ 512 ^ Z X — 21 . 16 ■ í _ 9261 ^ 9 4 096 ^ X — 41 . 32 ■ í _ 68 921 ^ o 32 768 ^ Tedy 1,25 = § < 23 < § = L Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 x = 1: l3 = 1 < 2 x = 2: 23 = 8 > 2 *=f: (D3 = ¥ >2 x =!: (!)3 = W <2 Tedv ^25 =! <2* < i =1 t — li- m^3 — 1221 9 ^ — 8 ■ \ 8 ' 512 21 . (21\3 _ 9 261 ^ o X 16 ■ V 16/ 4 096 ^ 41 . (41\3 — 68 921 ^ r> 32 ' V 32 / 32 768 ^ Je ^2 = 1,2599. Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f (x) = ax. Pritom a > 0, a ^ 1. x = n G N: an = a • a — • a = 1 • a • a — • a n—krát n—krát Platí: anam = a • g-- • a- a ■ a- ■ a = an+m, (an)m = an • an • • • < n—krát m—krát .x = 0: a° = 1 l - -n, n G N: 1 = a° = an+(~n) = "n • "~n "~n = - mn m—krát a n 1 i / i \n i x = —, n G N: a = a1 = an'™ = |^a~ J . Tedy >/ä := a~ je řešením rovnice a = x n x = -, p G Z, g G N: a <2 0, a ^ 1. x = n G N: an = a • a — • a = 1 • a • a — • a n—krát n—krát Platí: anam = a • g-- • g- a ■ a- ■ a = an+m, (an)m = gn • an • • • anj n—krát m—krát x = 0: g° = 1 : _^ n G N: 1 = oP = an^(—n) = ^n • ^—71 n~n = - a mn m—krát a n 1 i / i \n i x = —, n G N: a = a1 = an'™ = |^a~ J . Tedy y/ä := a~ je řešením rovnice a x = -, p G Z, g G N: a Q p i i \ p 'i = \ cl'i p x G I: iracionární číslo lze libovolně přesně aproximovat číslem racionálním Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Příklad: aproximace čísla 7r: 3,14< 7T <3,15 3,141< 7T < 3,142 3,1415 < 7T < 3,1416 3,141592 < 7T < 3,141593 3,1415926 < 7T < 3,1415927 3,14159265 < tt < 3,14159266 3,141592653 < tt < 3,141592654 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. D(f) = R= (-00,00), H(f) = (0,oo), aXlaX2 = aXl+x\ (aXlf2 = aXlX2. Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. D(f) = R = (-00,00), H(f) = (0,oo), aXlaX2 = aXl+X2, (aXlf2 = aXlX\ a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. D(f) = R= (-00,00), #(/) = (0,oc), aXlaX2 = aXl+X2, (aXlf2 = aXlX2. a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající Přirozená exponenciální funkce exp(x) = ex, e = 2,718281828 - Eulerovo číslo Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. D(f) = R= (-00,00), H(f) = (0,oo), aXlaX2 = aXl+x\ (aXlf2 = aXlX2. a > 1 =^> rostoucí, a < 1 =^> klesající Přirozená exponenciální funkce exp(x) = ex, e = 2,718281828 - Eulerovo číslo Směrnice tečny ke grafu funkce v bodě je rovna funkční hodnotě e Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0,oo), £/"(/) = (—00,00), a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající. 11 / 19 Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0,oo), £/"(/) = (—00,00), a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající. loga 1 = 0, loga(xix2) = loga xi + loga x2, \oga(xi)X2 = x2 loga Xi 11 / 19 Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0,oo), £/"(/) = (—00,00), a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající. loga 1 = 0, loga(xix2) = loga xi + loga x2, \oga(xi)X2 = x2 loga Xi Přirozená logaritmická funkce: \ogex = lnx(= lgx = \ogx) 11 / 19 Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0,oo), £/"(/) = (—00,00), a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající. loga 1 = 0, loga(xix2) = loga xi + loga x2, \oga(xi)X2 = x2 loga Xi y ay y log6 a y = \ogax X logbx log^r log6a Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0,oo), £/"(/) = (—00,00), a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající. loga 1 = 0, loga(xix2) = loga xi + loga x2, \oga(xi)X2 = x2 loga Xi y ay y log6 a y = \ogax X logbx log^x log6a loga x = \ogb x In x \ogb a ln a 11 / 19 Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0,oo), £/"(/) = (—00,00), a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající. loga 1 = 0, loga(xix2) = loga xi + loga x2, \oga(xi)X2 = x2 loga Xi . \ogh x \yix lQga X = 1- = 1- log6 a In a ?/ = xa lny = a ln x y _ ealnx Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0,oo), £/"(/) = (—00,00), a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající. loga 1 = 0, loga(xix2) = loga xi + loga x2, \oga(xi)X2 = x2 loga Xi . \ogh x \yix loga x - log6 a ln a ?/ = xa ln y = a ln x a _ a ln x Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0,oo), £/"(/) = (—00,00), a > 1 =^> rostoucí, a < 1 ^> klesající. loga 1 = 0, loga(xix2) = loga xi + loga x2, \oga(xi)X2 = x2 loga Xi . log6 x lux lQga ^ = 1- = 1- log6 a In a a _ a ln cc Obecná mocnina becná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G IR definována vztahe f (x) =xa = ealnx. Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G M definována vztahem f(x) =xa = ealnx. D(f) = (0,oo),H(f) {1}, a = 0. (0,oo), jinak Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G M definována vztahem f(x) = xa = e a ln x D(f) = (0,oo),H(f) {1}, a = 0. (0,oo), jinak 1 x 12 / 19 Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G IR definována vztahe f (x) = x(l = e a ln x D(f) = (0,oo),H(f) {1}, a = 0. (0,oo), jinak a = 0 1 x Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G M definována vztahe f(x) =xa = ealnx. D(f) = (0,oo),H(f) {1}, a = 0. (0,oo), jinak Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G M definována vztahem f(x) = xa = e a ln x D(f) = (0,oo),H(f) {1}, a = 0. (0,oo), jinak a > 1 Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G M definována vztahem f(x) =xa = ealnx. D(f) = (0,oo),H(f) {1}, a = 0. (0,oo), jinak y t a > 1 ■ a = 1 0 < a < 1 Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G M definována vztahem f(x) =xa = ealnx. D(f) = (0,oo),H(f) {1}, a = 0. (0,oo), jinak Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G M definována vztahem f(x) =xa = ealnx. D(f) = (0,oo),H(f) {1}, a = 0. (0,oo), jinak a < 0 =^> klesající, a > 0 ^> rostoucí. Goniometrické funkce 13 / Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. v 1 Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0: A = [1,0] Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0: A = [1,0] x > 0: oblouk kružnice /c od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x 13 / 19 Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0 x > 0 x < 0 A= [1,0] oblouk kružnice /c od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v záporném smyslu má délku — x Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0 x > 0 x < 0 A= [1,0] oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v záporném smyslu má délku — x Goniometrické funkce sinus a cosinus jsou „definovány": sinx = 2. souřadnice bodu A Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0 x > 0 x < 0 A= [1,0] oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v záporném smyslu má délku — x Goniometrické funkce sinus a cosinus jsou „definovány": sinx = 2. souřadnice bodu A Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0 x > 0 x < 0 A= [1,0] oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v záporném smyslu má délku — x Goniometrické funkce sinus a cosinus jsou „definovány": sinx = 2. souřadnice bodu A. cosx = 1. souřadnice bodu A. Goniometrické funkce Z}(sin) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt Goniometrické funkce Z}(sin) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt D(cos) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, sudá, periodická - základní perioda 2n Goniometrické funkce Z}(sin) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt D(cos) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, sudá, periodická - základní perioda 2n Goniometrické funkce tangens a cotangens jsou definovány: sinx tgx =- cosx Goniometrické funkce Z}(sin) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt D(cos) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, sudá, periodická - základní perioda 2n Goniometrické funkce tangens a cotangens jsou definovány: sinx tgx =- cosx y ¥ / j / / x D(tg) = R \ {\{2k — 1)tt : k £ Z} , H (tg) = R, lichá, periodická - základní perioda n Goniometrické funkce Z}(sin) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt D(cos) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, sudá, periodická - základní perioda 2n Goniometrické funkce tangens a cotangens jsou definovány: srn x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x D (tg) = R \ {\(2k — 1)tt : k G Z} , H(tg) = R, lichá, periodická - základní perioda 7r i)(cotg) = R \ {/c7r : /c G Z} , ií(cotg) = R, lichá, periodická - základní perioda n Goniometrické funkce Základní vzorce: (sinx)2 + (cosx)2 = 1, sin(x + ^7r) = cosx, cos(x — ^7r) = sinx Součtové vzorce: sin(a ± /3) = sin a cos f3 db cos a sin /?, cos(a db /?) = cos a cos /? =p sin a sin /3 Vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument: sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = (cos a)2 — (sin a)2 2 2 (sin ^a) = |(1 — cos a), (cos ^a) =|(l + cosa) Cyklometrické funkce Funkce inverzní ke goniometrickým Cyklometrické funkce Funkce inverzní ke goniometrickým na zúženém definičním oboru: goniometrická funkce definiční obor cyklometrická funkce sin (—^7ľ, ^7r) arcsin cos (0,7r) arccos tg (-§7r, ±7r) arctg cotg (0,7r) arccotg Cyklometrické funkce Funkce inverzní ke goniometrickým D(arcsin) = (—1,1), i-f(arcsin) = (—t^tt, ^7r) ohraničená, rostoucí, lichá 1 x D(arccos) = (—1,1), iif(arccos) = (0,7r) ohraničená, klesající 1 x D(arctg) = M, if(arctg) = (—|tt, ±tt) ohraničená, rostoucí, lichá D(arccotg) = M, iif(arccotg) = (0,7r) ohraničená, klesající v X 2* 14 / 19 Cyklometrické funkce Vztahy mezi goniometrickými a cyklometrickými funkcemi: cos arcsm x = srn arccos x = v i — x x sin arct g x = cos arccotg x = ; , cos arctg x = srn arccotg Shrnutí Elementární funkce jsou ■ Polynomy, přirozená exponenciála, funkce sinus ■ Funkce, které z nich vzniknou pomocí aritmetických operací, operace skládání funkcí a operace tvoření inverzní funkce v konečném počtu Na každém intervalu, který je částí definičního oboru, lze graf elementární funkce nakreslit plynulým pohybem bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou. Definice a základní vlastnosti Elementární funkce Další funkce Absolutní hodnota Funkce signum Funkce celá část Další funkce Absolutní hodnota X X. x > 0 —x, x < 0 D(\ • |) =R, H(\ • |) = (0,oo), sudá y Absolutní hodnota X X. x > 0. £>(| • |) =R, #(| • |) = (0,oo), sudá Graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, ale nelze ho nakreslit plynulým pohybem. 17 / 19 Funkce signum sgn x = x x x^O. O, x = 0, £>(sgn) = R, H(sga) = {-1, 0,1}, lichá y ■4-1 X 18 / 19 Funkce signum sgn x = x x O, x = 0, £>(sgn) = R, H (sgn) = {-1, 0,1}, lichá y x 4-1 Graf nelze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou 18 / 19 Funkce celá část £>([•]) = R, H(\ • |) =Z 2/ ■4-1 X 19 / 19