Spojitost a limita funkce M1030 Matematika pro biology 29.11.2023 Spojité funkce Spojitost Spojitost v bodě Exkurs: výroky s kvantifikátory Operace se spojitými funkcemi Spojitost na intervalu Funkce spojité na uzavřeném intervalu Limita funkce Spojité funkce Spojitost Funkce je spojitá, pokud Spojitost Funkce je spojitá, pokud • její graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, Spojitost Funkce je spojitá, pokud • její graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, tj- její graf je souvislá křivka; Spojitost Funkce je spojitá, pokud • její graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, tj. její graf je souvislá křivka; • malá změna nezávisle proměnné vyvolá malou změnu závisle proměnné. Spojitost v bodě Spojitost v bodě Spojitost v bodě Spojitost v bodě Spojitost v bodě Spojitost v bodě Funkce spojitá v bodě xq Funkce nespojité v bodě xq 4/14 Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě x$\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f) • Je-li x „blízko" xq pak je f(x) „blízko" f(x0) Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f(x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. Spojitost v bodě 2e ô \ ô X0 -\-^ \ X Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f(x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. x g D(f) \x-x0\<5 \f(x) - f(x0)\ < e Spojitost v bodě fM'z Funkce f je spojitá v bodě xq\ / \ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f(x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. • Ke každému kladnému číslu e (Ve > 0) xeD(f) \x-x0\<6 \f(x) - f(x0)\ 0)(3Č>0) xeD(f) \x-x0\<5 \f(x)-f(x0)\ 0)(36 > 0)(Vs g £>(/)) \x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ < e Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f(x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. • Ke každému kladnému číslu e existuje kladné číslo 5, že pro jakékoliv x g D (f) z č-blízkosti x k xq nutně vyplyne e-blízkost f (x) k f(xo). (Ve > 0)(3Ô > 0)(Vx g D(f)) \x - x0\ < S => \f(x) - f(x0)\ < e Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ (Ve > 0)(36 > 0)(Vs g £>(/)) \x - x0\ < 5 \f(x) - f(x0)\ < Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě x$\ * Funkce není v xq definována; xq 0 D(f). Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě x®. * Funkce není v xo definována; xq 0 D(f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xq, tak f(x) je od f(xo) Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xo- * Funkce není v xq definována; xq 0 D(f). * Pokud xq e D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xo, tak f(x) je od f(xo) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(x0). Spojitost v bodě y _____.............á 7 ...............1 XQ \ X Funkce f je nespojitá v bodě xo' * Funkce není v xq definována; xq 0 D(f). * Pokud xq e D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xo, tak f(x) je od f(xo) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(x0) x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ > s Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v xq definována; xq 0 D(f). * Pokud xq e D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xq, tak f(x) je od f(xo) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k x0 „daleko" od funkční hodnoty /(x0). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e (3e > 0) X — Xq <6 \f(x)-f(x0)\ >e Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě x$\ * Funkce není v xq definována; xq 0 D(f). * Pokud xq e D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xo, tak f(x) je od f(xo) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k x0 „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e, že pro libovolné „měřítko blízkosti" ó (3e > 0)(V5 > 0) X — Xq e Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě x$\ * Funkce není v xq definována; xq 0 D(f). * Pokud xq e D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xo, tak f(x) je od f(xo) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k x0 „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e, že pro libovolné „měřítko blízkosti" ó najít hodnoty x nezávisle proměnné (3e > 0)(V5 > 0)(3x e D(f)) \x - x0 e Spojitost v bodě y-f M _____.............á 7 ...............f XQ \ X Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v xq definována; xq 0 D(f). * Pokud xq e D(f), pak • Přestože x „je blízko" k #0» "tak f{x) je od f(xo) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k x0 „daleko" od funkční hodnoty f(x0). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e, že pro libovolné „měřítko blízkosti" ô najít hodnoty x nezávisle proměnné „č-blízké k xq11 , jejichž příslušné funkčn hodnoty jsou „e-vzdálené" od funkční hodnoty f(xo). (3e > 0)(VÍ > 0)(3x e D(f)) \x - x0\ < ô & \f(x) - f(x0)\ > e Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq G D(f): V' £ / _____.............a 7 ...............f XQ \ X (3e > 0)(VÍ > 0){3x G D(f)) \x - x0\ < 5 & \f(x) - f{x0)\ > e 4/14 Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > Q)(36 > 0)(Vx G £>(/)) \x - x0\ < ô => |/(a?) - /(a?0)| < £ Funkce / je spojitá v xq G D(f). {3e > 0)(Vá > 0)(3x G £>(/)) |x - x0| < á & - /(a?0)| > £ Funkce / je nespojitá v xq G D(f). Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > Q)(36 > 0)(Va: G £>(/)) |ar - ar0| < S Funkce / je spojitá v xq G D(f). \f(x) - f(x0) < e (3e > 0)(Vá > 0)(3x G £>(/)) |x - x0| < ô & - /(a?0)| > e Funkce / je nespojitá v x0 G !}(/). (Funkce / není spojitá v x0 G D(f).) Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3Ô > 0)(Vx G D(f)) \x - x0\ < 5 Funkce / je spojitá v xq G D(f). \f(x) - f(x0)\ < e {3e > 0)(V5 > 0)(3x G £>(/)) |a? - x0\ < ô & |/(a?) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xo G D(f). (Funkce / není spojitá v xq G £>(/)■ Není pravda, že funkce / je spojitá v x0 G D(f).) Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0){3Ô > 0)(Vx G D(f)) \x - x0\ < ô Funkce / je spojitá v xq G D(f). I/O) - /(x0)| < £ (3e > 0)(V5 > 0)(3a? G £>(/)) |a? - x0\ < ô & |/(a?) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xo G D(f). (Funkce / není spojitá v xq G £>(/). Není pravda, že funkce / je spojitá v x0 G D(f).) (3s > 0)(VÄ > 0)(Va: G £>(/)) |rr - a?0| > 5 & I/O) - /0o)| < e Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(36 > 0)(Va: G £>(/)) |ar - a?0| < S => \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v xq G D(f). (3e > 0)(VÍ > 0)(3x G £>(/)) |x - x0| < á & - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xo e D(f). (Funkce / není spojitá v xq G D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq G D(f).) (3e > 0)(VÍ > 0)(Vx G £>(/)) |x - x0| > í & - /(x0)| < e Funkce / je ohraničená. Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(35 > 0)(Vs G £>(/)) \x - x0\ < ô => |/(ar) - /(a?0)| < e Funkce / je spojitá vx0 í (3e > 0)(VÍ > 0)(3x G £>(/)) |x - x0| < á & - /(a?0)| > e Funkce / je nespojitá v xo G £>(/). (Funkce / není spojitá v xq G Není pravda, že funkce / je spojitá v xq G D(f).) (3e > 0)(VÍ > 0)(Vx G £>(/)) |x - x0| > í & - /(x0)| < e Funkce / je ohraničená. (Ve > 0)(VÄ > 0)(Vx G £>(/)) |ar - o?o| > S & |/(ar) - /(x0)| < e Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3Í > 0)(Vx G D(f)) \x - x0\ < ô => \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v xq G D(f). (3e > 0)(VČ > 0)(3x G £>(/)) |x - x0| < ô & |/(a?) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xo G D(f). (Funkce / není spojitá v xq G £>(/)■ Není pravda, že funkce / je spojitá v x0 G D(f).) (3e > 0)(V<5 > 0)(Vs G £>(/)) |x - a?0| > 5 & 1/0*0 - f(x0)\ < e Funkce / je ohraničená. (Ve > 0)(VJ > 0)(Var G £>(/)) |x - x0\ > ô & |/(a?) - f(x0)\ < e Funkce / je konstantní. Operace se spojitými funkcemi Nechť funkce / a g jsou spojité v bodě xq G D(f) D D(g). Pak také funkce jsou spojité v bodě xq. Pokud navíc g(xo) ^ 0, pak je také funkce 9 spojitá v bodě x0 Operace se spojitými funkcemi Nechť funkce / a g jsou spojité v bodě xq G D(f) D D(g). Pak také funkce jsou spojité v bodě #o- Pokud navíc g(xo) ^ 0, pak je také funkce / 9 spojitá v bodě x0. Nechť funkce g je spojitá v bodě x0 a #(#o) £ Je~'' funkce / spojitá v bodě g(x0), pak je složená funkce / o g spojitá v bodě xq. Operace se spojitými funkcemi Nechť funkce / a g jsou spojité v bodě x0 £ D(f) D D(g). Pak také funkce / + f-g, fg jsou spojité v bodě xq. Pokud navíc g(xo) ^ 0, pak je také funkce / 9 spojitá v bodě xq. Nechť funkce g je spojitá v bodě x0 a g(x0) £ D(f). Je-li funkce / spojitá v bodě g(x0), pak je složená funkce / o g spojitá v bodě xq. Nechť funkce / je spojitá v bodě xq. Pokud existuje inverzní funkce pak je tato funkce spojitá v bodě f(xo). Spojitost na intervalu Funkce / je spojitá na intervalu J C D(f), pokud je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. (Vx0 e J)(Ve > 0)(3Í > 0)(Vx G J) |x - x0\ < ô \f(x) - f{x0)\ < e Spojitost na intervalu Funkce / je spojitá na intervalu J C D(f), pokud je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. (Vx0 G J)(Ve > 0)(3S > 0)(Vx G J) |x - x0\ < 5 => \f(x) - f(x0)\ < e Každá elementární funkce je spojitá na každém intervalu, který je částí jejího definičního oboru. Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Funkce / je ohraničená na intervalu (a, 6). (3fc G M)(Vx G (a, 6)) |/(x)| < fc Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Funkce / je ohraničená na intervalu (a, 6). G R)(Vx G (a, 6)) |/(x)| < k • Funkce / nabývá na intervalu (a, 6) své nejmenší a největší hodnoty. (3c, d € (a, 6»(Va; G (a, 6» /(c) < f(x) < f{d) Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Funkce / je ohraničená na intervalu (a, 6). (3fc G R)(Vx G (a, 6)) |/(x)| < k • Funkce / nabývá na intervalu (a, 6) své nejmenší a největší hodnoty. (3c, d G (3c G (a, b)) f(c) = 0 Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D (f). Pak platí: • Pokud mají funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (a, b) opačná znaménka, pak uvnitř tohoto intervalu existuje kořen rovnice f{x) = 0. f(a)f(b) <0 => (3c G (a, b)) f(c) = 0 • Funkce / nabývá na intervalu (a, b) všech hodnot mezi svou nej větší a nejmenší hodnotou. (3c, d G {a,b)){Vx G (a, b)) f (c) < f (x) < f (d) & (Vy G (/(c),/(d)))(3? G (a,6)) /(?) = y Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Pokud mají funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (a, b) opačná znaménka, pak uvnitř tohoto intervalu existuje kořen rovnice f{x) = 0. f(a)f(b) <0 => (3c G (a, b)) f(c) = 0 • Funkce / nabývá na intervalu (a, b) všech hodnot mezi svou nej větší a nejmenší hodnotou. (3c,d € (a,b))(Vx G (a,b)) f(c) < f(x) < f(d) & (Vy G (/(c),/(d)))(3? G (a,6)) /(?) = y Bernard Bolzano 1781-1848 8/14 Spojité funkce Limita funkce Představa a pojem limity Nevlastní limita Limita v nevlastním bodě Výpočet limit Příklady Limita funkce Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq limitu a: Představa a pojem limity lim f(x) X^řXQ Funkce / má ve vlastním bodě xq vlastní limitu Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G R limitu a G R: Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M limitu a G R: Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M limitu a G R: a' Když se s hodnotami nezávisle proměnné se přibližujeme k xq tak se funkční hodnoty vi i ■ v ■y i přibližuji k a. Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M limitu a G R: a' Když se s hodnotami nezávisle proměnné se přibližujeme k xq tak se funkční hodnoty vi i ■ v ■y i přibližuji k a. Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq E M limitu a G R: Když se s hodnotami nezávisle proměnné se přibližujeme k xq tak se funkční hodnoty vi i ■ v ■y i přibližuji k a. Při jakémkoliv přibližování se nezávisle proměnné k hodnotě xq (ale nesplynutí s ní) se příslušné hodnoty závisle proměnné nutně přiblíží k hodnotě a. Představa a pojem limity lim f(x) X^řXQ a Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G R: A.U. i a \y Xq \ X d xo \ X Když se s hodnotami nezávisle proměnné se přibližujeme k xq tak se funkční hodnoty vi i ■ v ■y i přibližuji k a. Při jakémkoliv přibližování se nezávisle proměnné k hodnotě xq (ale nesplynutí s ní) se příslušné hodnoty závisle proměnné nutně přiblíží k hodnotě a. (v{^n}^°=0 ^ D(f) \ {x0}) lim xn = x0 lim f(xn) = a n—)-oo Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M limitu a G R: Pokud je funkce / spojitá v #0» tak a se rovná funkční hodnotě f(x0). 10 / 14 Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G R limitu a G R: Pokud je funkce / spojitá v #0» tak a se rovná funkční hodnotě f(x0). Pokud funkce / není spojitá v xq, tak a je taková hodnota, že dodefinování nebo změna funkční hodnoty v xq splňující rovnost f(xo) = a, změní funkci / na funkci spojitou v x0. Představa a pojem limity lim f(x) X^řXQ a Funkce / má v bodě xq G R limitu a G R: A.U. i a \y Xq \ X d xq \ x Pokud je funkce / spojitá v x0, tak a se rovná funkční hodnotě f(x0). Pokud funkce / není spojitá v xq, tak a je taková hodnota, že dodefinování nebo změna funkční hodnoty v xq splňující rovnost f(xo) = a, změní funkci / na funkci spojitou v xq (Ve > 0)(3Ô > 0)(Vx G D(f)) 0 < \x - x0\ < ô \f(x) - a\ < e Představa a pojem limity lim f(x) = a Funkce / má v bodě xq G R limitu a G R: (Ve > 0)(35 > 0)(Vx G £>(/)) 0 < |x - x0\ < ô \f(x) (V{xn}-= o C D(f) \ {x0}) lim xn x Q 7 a < e n—)-oo lim f (x n) = a n—>-oo 10 / 14 Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G R limitu a G R: (Ve > 0)(3Í > 0)(Vx G £>(/)) 0 < \x - x0\ < ô - a| < e (v{^n}^°=0 ^ £>(/) \ {^o}) lim xn = x0 => lim f(xn) = a n—)-oo n—)-oo Předpokládáme, že definiční obor funkce / je takový, že posloupnost ixn}n=o C D(f), lim xn = x0 n—)-oo existuje, tj. že v každém ryzím okolí bodu xq jsou hodnoty z definičního oboru funkce /. Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M limitu a G R: (Ve > 0)(3r5 > 0)(Vx G £>(/)) 0 < \x - x0\ < ô - a| < e (v{^n}^°=0 ^ £>(/) \ {^o}) lim xn = x0 => lim f(xn) = a n—)-oo n—)-oo Předpokládáme, že definiční obor funkce / je takový, že posloupnost ixn}™=o C D(f), lim xn = x0 n—)-oo existuje, tj. že v každém ryzím okolí bodu xq jsou hodnoty z definičního oboru funkce /. xq je hromadný bod definičního oboru. Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G R limitu a G R: (Ve > 0)(3Í > 0)(Vx G £>(/)) 0 < \x - x0\ < ô - a| < e (V{^n}^°=o C £>(/) \ {x0}) lim xn = x0 n—)-oo lim /(xn) = a n—)-oo #o je hromadný bod definičního oboru Nevlastní limita x0 g R lim f (x) = oo: (Vil g M) (36 > 0)(Vx g D(f)) 0 < |x - x0\ < 6 f (x) > H (v{^n}£°=o S £>(/) \ {^o}) lim xn = x0 lim /(xn) = oo n—)-oo n—)-oo lim f (x) X^-Xq ■oo: (Vil g R) (36 > 0)(Vx g £>(/)) 0 < |x - x0| < 6 => f (x) < H y ■ i j --► x lim xn -n—)-oo = x0 =^> lim f(xn) = —oo n—)-oo y' i 1 /w v/ V£ 11 / Limita v nevlastním bodě Vlastní limita v nevlastním bodě: lim f(x) = a: (Ve > 0)(3h G R)(Vx G D(f)) x > h \f(x) - a\ < e (v{^n}^°=0 ^ D(f)) lim xn = oo => lim f(xn) = a n—)-oo n—)-oo lim f(x) = a: (Ve > 0)(3h G R)(Vx G £>(/)) x (/)) lim = -OO lim /(xn) = Limita v nevlastním bodě Nevlastní limita v nevlastním bodě: lim f(x) = oo: (WH G R)(3h G R)(Wx G D(f)) x > h (V{*n}S°=o C D(f)) lim xn = oo X^-OO n—)-oo f{x) > H lim f(xn) n—)-oo lim /(x) = -oo: (WH G R)(3/i G R)(Vx G £>(/)) x>h^ f(x) < H (Vl>n}£°=0 ^ £>(/)) lim = OO lim /(xn) = X—)-00 n—)-oo n—)-oo lim /(x) = oo: (WH G R)(3/i G R)(Wx G £>(/)) x H {V{Xn}n=0 ^ ^(/)) lim = "OO lim f(xn) n—)-oo n—)-oo lim f(x) = -oo: (Vil G R)(3/i G R)(Vx G D(f)) xn}£°=0 S £>(/)) lim xn = -oo lim /(xn) n—)-oo n—)-oo Výpočet limit lim f (x), Xo G R Výpočet limit lim f (x), Xo G R X^řXQ • / spojitá v xo G R —>> lim /(x) = /(#o) Výpočet limit lim f (x), Xo G R X^řXQ • / spojitá v xo G R —>> lim /(x) = /(#o) • / nespojitá v xq G R Výpočet limit lim f (x), x0 G R* X^řXQ • / spojitá v xq G R —>> lim /(x) = /(#o) • / nespojitá v xq G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = #(#o) Výpočet limit lim f (x), x0 e R* X^řXQ f spojitá v x0 e R lim f (x) = f(x0) X^-Xq f nespojitá v xo G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xo stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) D £>(#)) (0 < |x - x0| < 77 /(x) spojitá v x0) lim /(x) - g(x0) Výpočet limit lim f (x), x0 G R* X^řXQ • / spojitá v xq G R —>> lim /(x) = /(#o) • / nespojitá v xq G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = #(#o) (3r])(3g)(\/x G £>(/) D £>(#)) (0 < \x - x0\ < r] /(x) spojitá v x0) ^> lim f (x) - g(x0) Príklad: lim —— ^X ÍC-)>1 #2 — 1 Výpočet limit lim f (x), x0 G R* X^řXQ • / spojitá v xq G R —>> lim /(x) = /(#o) • / nespojitá v xq G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = #(#o) (3r])(3g)(\/x G £>(/) D £>(#)) (0 < \x - x0\ < r] /(x) spojitá v x0) ^> lim f (x) - g(x0) Príklad: lim —— ^X ÍC-)>1 #2 — 1 x2 - 2x + 1 (x - l)2 x - 1 xz — 1 (x — l)(x + l) x + 1 Výpočet limit lim f (x), x0 G R* X^řXQ f spojitá v x0 G R lim /(x) = /(x0) / nespojitá v xq G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) D £>(#)) (0 < |x - x0| < 77 /(x) spojitá v x0) lim /(x) - g(x0) Príklad: lim —— ^X ÍC-)>1 #2 — 1 . x2 - 2x +1 (x-ľ)2 x — l , , x —1 . .x / 1 :--- =--—-- = -, q(x) = - je spojitá v x n = 1 ^ x2-l (x-1)0 + 1) x + ľ^' x + lJ KJ Výpočet limit lim f (x), x0 e R* X^řXQ f spojitá v x0 e R lim f (x) = f(x0) X^-Xq f nespojitá v xo G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xo stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) D £>(#)) (0 < |x - x0| < 77 /(x) spojitá v x0) lim /(x) - g(x0) Príklad: lim —— ^X = 0 ÍC-)>1 #2 — 1 . x2 - 2x + 1 (x - l)2 x — 1 , . x —1 . .x / 1 :--- =--—-- = -, q(x) = - je spojitá v x n = 1 ^ x2-l (x-1)0 + 1) x + ľ^' x + lJ KJ Výpočet limit lim f (x), x0 G R* X^řXQ f spojitá v x0 G R lim /(x) = /(x0) / nespojitá v xq G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) D £>(#)) (0 < |x - x0| < 77 /(x) spojitá v x0) lim /(x) - g(x0) Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Výpočet limit lim f (x), x0 G R* X^řXQ • / spojitá v xq G R —>> lim /(x) = /(#o) • / nespojitá v xq G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = #(#o) (3r])(3g)(\/x G £>(/) D £>(#)) (0 < \x - x0\ < r] /(x) spojitá v x0) ^> lim f (x) - g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — x^q x Výpočet limit lim f (x), x0 e R* X^řXQ • / spojitá v xo G R —>> lim /(x) = /(#o) • / nespojitá v xo G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xo stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = #(#o) (3r])(3g)(\/x G £>(/) D £>(#)) (0 < \x - x0\ < r] /(x) spojitá v x0) ^> lim f (x) - g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — x^q x lim — = 0, lim sin r m = 0 n—)-oo TL7T x^-oo Výpočet limit lim f (x), x0 e R* X^řXQ f spojitá v x0 e R lim f (x) = f(x0) X^-Xq f nespojitá v xo G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xo stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) D £>(#)) (0 < |x - x0| < 77 /(x) spojitá v x0) lim /(x) - #(xo) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — x^q x lim — = 0, lim sin nn = 0 n—)-oo TL7T x^-oo lim--— = 0, sin ±(2n + 1)tt = (-l)n n^oo (2n+ 1)tt ' 2V 7 v J Výpočet limit lim f (x), x0 G R* X^řXQ f spojitá v x0 G R lim /(x) = /(x0) / nespojitá v xq G R: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) D £>(#)) (0 < |x - x0| < 77 /(x) spojitá v x0) lim /(x) - #(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — neexistuje x^q x lim — = 0, lim sin r m = 0 n—)-oo TL7T x^-oo lim--— = 0, sin U2n + 1)tt = (-l)n n^oo (2n+ 1)tt ' 2V 7 v J Výpočet limit lim f (x), Xo g M X^řXQ Standardní limity:" Výpočet limit lim f (x), x0 e R* X^řXQ „Standardní limity:" • lim (anxn + an-\xn~x + • • • + a\x + ag) = sgn(an)oo X—)-00 lim (anxn + an_ixn_1 + • • • + ai# + ao) = sgn(an)(—1) x—)- — oo Výpočet limit lim f (x), Xo g M X—)-Xq tí Standardní limity: lim (anxn + an-ixn 1 + x—)-oo lim (anxn + an-ixn 1 + X——OO + aix + ao) • + aix + ag) anx'1 + an_ixn 1 + • • • + ci\x + ao aT-Tcx> 6mxm + 6m_ixm_1 H-----h bix + 60 lim anx7i + an_ixn XH-----h aix + a0 nm - ^-oo bmx'm + 6m_ixm_1 H-----h 6ix + 60 x sgn(an)oo : sgn(an)(-l)noo 0. a n 'm sgn a n 'm 0. a n sgn a n 'm m > n m = n oo, m < n OO, m > n m = n m < n 13 / 14 Výpočet limit lim f (x), Xq G R X^-Xq Standardní limity: lim ax x^-oo < 00, a > 1 1, a = 1 0, 0 1 a = 1 0 < a Výpočet limit Standardní limity: lim ax x^-oo < 00, a > 1 1, a = 1 0, 0 1 a = 1 0 < a , oo, a > 1 lim log x x—)-oo —oo, 0 < a < 1 Výpočet limit lim f (x), Xq G M Standardní limity:" [00, a > 1 < 1, a = 1 0, 0 < a < 1, lim ax X^řOC 00. a > 1 lim loga x = I -00, 0 < a < 1 lim xa 00. 1, o, a > 0 a = 0 a < 0 lim ax x^ř—oo í 0, 1, 00. a > 1 a = 1 0 < a Výpočet limit lim f (x), Xo g R X^řXQ „Standardní limity:" ex — 1 • lim - = 1 x^O X Výpočet limit lim f (x), Xo g R X^řXQ „Standardní limity:" ex — 1 • lim - = 1 x^O X y smx lim - = 1 x^O X y = sin x Příklady lim 6 — 2.x — 2x' 3x2 + 4r - 3 Příklady 6 - 2x - 2x2 lim —-- 3x2 + 4x - 3 Funkce je spojitá v bodě x0 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4 lim —-- =- 3x2 + 4x - 3 12-8 Funkce je spojitá v bodě x0 = Příklady 6 - 2x - 2x2 _ 6 + 4 3x2 + 4x - 3 ~ 12-8 Funkce je spojitá v bodě x0 = 3x2 +2x-l lim —-- x->-i 2x2 + 3x + 1 Příklady 6-2x-2x2 6 + 4-8 lim —-- =-= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3a-l)(z + l) 3x -1 -4 , lim —-- = lim--—-- = lim--- = —- = 4 z^-i 2x2 + 3x + 1 x^-i (2x + 1)0 + 1) s->-i2a + l -1 Příklady 6-2x-2x2 6 + 4-8 lim —-- =-= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x- l)(x + l) n. 3x -1 -4 , lim —-- = lim--—-- = lim--- = —- = 4 x->-i 2x2 + 3x + 1 (2x + 1)0 + 1) x^-i2x + l -1 lim -———- x->i [x — \y Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim —-- =-= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě x0 = —2 3x2 + 2x-l (3x-l)(x + l) 3x-l -4 , lim - = lim - = lim - = — = 4 a^-i 2x2 + 3x + 1 x^-i (2x + l)(x + 1) 2x + 1 -1 lim -—^—- = oo x^i [x — \y Příklady §-2x-2x2 6 + 4-8 lim —-- =-= 2 *->-2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě x0 = —2 3x2 + 2x-l (3a-l)(a; + l) 3x -1 -4 , lim —-- = lim--—-— = lim--- = —- = 4 ^^-i2x2 + 3x + l x^-i (2x + 1)0 + 1) s->-i2a + l -1 lim -—^—- = oo x-+l [X - l)2 lim 1 x-+l Xz — 1 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim —-- =-= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě x0 = —2 3x2 + 2x-l (3x-l)(x + l) 3x-l -4 , lim - = lim - = lim - = — = 4 2x2 + 3x + 1 x^-i (2x + l)(x + 1) 2x + 1 -1 lim -—^—- = oo x^i [x — \y lim —- neexistuje x^l XÁ — 1 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě x0 = —2 lim 3x2 + 2x-l lim (3x- 1)0 + 1) lim 3x — 1 4 2^-1 2x2 + 3x + 1 (2x + 1)0 + 1) 2x + 1 -1 4 1 lim - x^i [x — \y = 00 1 lim - x^l X2 — 1 neexistuje 2x3 -3x + 2 lim--— x^oo 7 — 4xó 14 / 14 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim —-- =-= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě x0 = —2 3x2 + 2x-l (3x-l)(x + l) 3x lim —-- = lim--—-r = lim x^-i 2x2 + 3x + 1 x^-i (2x + l)(x + 1) x^-i 2x lim -—= oo íc-)-i (x — \y lim —- neexistuje x^l XÁ — 1 2x3-3x + 2 r 2-^ + ^ 2-0 + 0 lim--— = lim -=^-— = -= - x^oo 7 — 4xd x^oo _í_ _ 4 0 — 4 Příklady 3^2 2x lim x^oo zxz + 4 Příklady lim x^-oc 3^2 2x 2x2+4 lim x^-oo 2 + Příklady 3x2 2x /r lim ——-- = hm x^oo 2x2 + 4 a:-^oo 2 + 2^—2_3x+i lim---- x->oc 2X~2 + 3^-! Příklady 3x2 2x x lim---= lim —--v— x^oo 2xl + 4 x^oo 2 + -% X2 2x-2_3x+l (I)- lim —-— = lim — x^-oo 2X -\- 3X x^-oo ^2^ X Příklady 3x2 2x x lim---= lim —--v— x^oo 2xl + 4 x^oo 2 + -%■ xz v 2*"2-3*+1 (|) lim ——-— = lim ^-L- x^-oo 2X -\- 3X x—)-oo ^2^ x- X lim x—±—oo qx -\- e x Příklady 3x2 2x x lim---= lim —--v— = (J x^oo 2xl + 4 x^oo 2 -\- -^7 xz lim---- = lim —-= -9 x^oo 2x~l + 3X x^oo (^)x +3 _ g 3? (32X _ 1 _ 1 lim -— = lim —- = lim -~-= — 1 x^—oo ex -\- e x x^ř—oo e -\-1 x^—oo (ex) H- 1 Příklady 3x2 2x x lim---= lim —--v— = (J X^OO 2X2 + 4 X^OO 2 + "% 2,-2_3,+i (l)""2-33 lim---- = lim —-= -9 X^OO 2X~l + 3^ X^OO +3 _ g 3? (32x _ 1 fc^l^ _ 1 lim -— = lim —- = lim -~-= — 1 x—t—00 ex -\- e x x—00 e H- 1 x^—oo (ex) H- 1 lim cc—)• — oc \/x2 + X X Příklady lim 3^2 2x lim 2 x x^oo 2x2 + 4 x^oo 2 + -4- xz o ííE-2 lim lim (!) íc-2 - 3* ■9 + 3 lim x—t—oo ex H~ e — a; lim 42íc x^ř—oc e^x _|_ 2_ - 1 lim (e*)2 - 1 (e*)2 + 1 1 lim x—)• — oc v^2 + X X lim \a2 (i + í) X X lim x——oo X X = lim s x——oo Příklady lim 3^2 2x lim 2 x x^oo 2x2 + 4 íe^oo 2 + -4- xz o ííE-2 lim ar2-* lim (ir+3 ■9 lim lim e2x _ X (exy - 1 x^—oo ex -\- e~~x x^ř—oo e2x -\-1 x^—oo (^qx^2 _j_ ^ lim 1 lim v^2 + X X lim \a2 (i + í) X X lim x——oo ^ x X lim s x——oo lim x cos - x Příklady lim 3^2 2x lim 2 x x^oo 2x2 + 4 x^oo 2 + -4- xz o ííE-2 lim ar2-* lim (ir+3 ■9 lim lim e2x _ X (exy - 1 x^—oo ex -\- e~~x x^ř—oo e2x -\-1 x^—oo (^qx^2 -\- \ lim 1 lim X lim lim ~^ x X lim s lim x cos - = 0 x^o x Příklady lim x^O 1 X Příklady lim x^O 1 X q3x _ lim 3- x^o 3x 3 lim- x^o 3x Příklady lim- = lim 3- = 3 lim- x^O x x^o 3x x^o 3x cosx lim —- Příklady lim- = lim 3- = 3 lim- x^O X x^O 3x x^O 3x cosx sm(f _ x) lim —- = lim —-= 1 Příklady lim- = lim 3-= 3 lim x->0 x x^o 3x x->0 3x cosx sin(f-x) lim —- = lim —^-= 1 oo y ^ ^ *^ ^ ^ ^ 2 *^ X lim x^o tg 5x Příklady v3x lim- x^O X 1 q3x _ lim 3- x^o 3x q3x _ 3 lim- x^o 3x cosx lim —- = lim sin(^ — x) = 1 . x bxcosbx bx cosbx lim- = lim - = lim-- x^otgbx x^o 5sin5x x^osin5x 5 1 5 Příklady ,3x lim- x^O X 1 q3x _ lim 3- x^o 3x q3x _ 3 lim- x^o 3x cosx lim —- x y ^ 00 = lim sin(Tj — x) = 1 . x bxcosbx bx cosbx lim- = lim - = lim-- x^otgbx x^o 5sin5x x^-o smbx 5 1 5 lim (^Jx + 1 — Příklady e3x _ lim x^O X q3x _ ^ lim 3- x^o 3x Q3x _ ^ 3 lim- x^o 3x lim cosx «2> y ^ ^ *^ = lim sin(f — #) oc y ^ ^ *^ i x bxcosbx 5x cos5:r 1 lim —— = lim . = lim ——---— = 7 x^otgbx x^o 5smox x^osmox 5 lim + 1 — \/#) = lim x + 1 — x x^-oo lim 1 O