Integrální počet
M1030 Matematika pro biolo 20.12.2023
Úvod
Základní úloha integrálního počtu
Neurčitý integrál_
Určitý integrál a jeho užití Nevlastní integrál _
Úvod
Základní úloha integrálního počtu
3/
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax}
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x)
Ax^O Ax^O
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x)
Ax^O Ax^O
Dále:      F (x) +        Ax)Ax < F(x + Ax) <        + f* (x, Ax)Ax
V'					
*(x, Ax) * (x, Ax)					
					
		F (x)			
	a a		cx +	Ax  b x	
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x)
Ax^O Ax^O
Dále:
F (x) + /„(x, Ax)Ax < F(x + Ax) <        + Ax)Ax
f*(x,Ax) < -±--^ < /* x, Ax)
Ax
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x)
Ax^O Ax^O
Dále:      F (x) +        Ax)Ax < F(x + Ax) <        + f* (x, Ax)Ax
fJx.Ax) < —--— < f*(x,Ax) hm
Ax As^O
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x)
Ax^O Ax^O
Dále:      F (x) +        Ax)Ax < F(x + Ax) <        + f* (x, Ax)Ax
fJx.Ax) < —--— < f*(x,Ax) hm
Ax As^O
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x)
Ax^O Ax^O
Dále:
F (x) + /„(x, Ax)Ax < F(x + Ax) <        + Ax)Ax
f*(x,Ax) < -±--^ < /* x, Ax)
Ax
f (x) < F'(x) < f (x)
lim
Ax^O
Odtud: F'{x) = f (x)
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x)
Ax^O Ax^O
Dále:
F (x) + /„(x, Ax)Ax < F(x + Ax) <        + Ax)Ax
f*(x,Ax) < -±--^ < /* x, Ax)
Ax
f (x) < F'(x) < f (x)
lim
Ax^O
Odtud: F'{x) = f (x) Přitom: F(a) = 0, S = F (b)
3/17
Úvod
Primitivní funkce a její vlastnosti „Tabulkové integrály" Substituční metoda Integrace „per partes" Příklady
Určitý integrál a jeho užití
Nevlastní integrál
Neurčitý integrál
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x £ (a, b) platí
F'(x) = f(x).
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(aO = /(*).
Označení:
F = í f(x)dx.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(aO = /(z).
Označení:
F = J f(x)dx.
Alternativní názvy: Funkce F je neurčitý integrál z funkce f.
Funkce F je antiderivace k funkci f.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(a;) = /(z).
Vlastnosti primitivní funkce:
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(a;) = /(z).
Vlastnosti primitivní funkce:
•   Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(a;) = /(z).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(a;) = /(z).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
• Primitivní funkce je aditivní.
J [f(x)+g(x))dx = J f(x)dx-\- J g(x)dx.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(a;) = /(z).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
• Primitivní funkce je homogenní:
(cf(x))dx = cl f(x)dx.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(a;) = /(z).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
Primitivní funkce je lineární:
(af{x)Jrbg{x))áx = a J f(x)dx-\-b J g(x)dx.
„Tabulkové integrály"
6/
„Tabulkové integrály"
„Tabulkové integrály"
x áx —
x
a+l
a + 1
pro a / -1
— áx — ln Ixl
x
6 / 1
„Tabulkové integrály"
x áx —
x
a+l
a + 1
pro a / -1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
6 / 1
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx: — - pro a / -1
a + 1
— áx — ln Ixl
x
x I
e áx: — e
X
X 1
a áx —
a
X
lna
6 / 1
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx: — - pro a / -1
a + 1
— áx — ln Ixl
x
x I
e áx: — e
X
X 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
6 / 1
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx: — - pro a / -1
a + 1
— áx — ln Ixl
x
x I
e áx: — e
X
X 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
6 / 1
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a + 1
— áx — ln Ixl
x
x I
e áx = e
X
X 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xáx — — cos x
cosxdx = sin x
6 / 1
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a + 1
— áx — ln Ixl
x
exáx — ex
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xáx — — cos x
cosxdx = sin x
(cosx):
áx
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a + 1
— áx — ln Ixl
x
x I
e áx: — e
X
X 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xáx — — cos x
cosxdx = sin x
(cosx)2
1
(sinx)2
áx — tgx
áx — — cotg x
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx: — - pro a / -1
a + 1
— áx — ln Ixl
x
x I
e áx: — e
X
X 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cosxdx = sinx
(cosx)2
1
(sinx)2 1
áx — tgx
áx — — cotg x
1 + x:
áx — arctg x — — arccotg x
„Tabulkové integrály"
x°áx —	xa+1
	a + 1
— áx — X	ln \x\
exáx —	X e
pro a / -1
a áx —
a
X
lna
\nxáx — x(\nx — 1)
sin xáx — — cos x
cosxdx = sinx
1
(cosx)2
1
(sinx)2 1
áx = tgx
áx — — cotg x
l + x2
1
áx — arctg x — — arccotg x
áx — arcsin x — — arccos x
„Tabulkové integrály"
x°áx —	X
	a + 1
—dx — X	ln \x\
exdx —	X e
pro a / -1
axdx —
a
X
lna
\nxdx — x(\nx — 1) sin xdx = — cos x cosxdx = sin x
(cosx)2
1
(sinx)2 1
dx — tgx
dx — — cotg x
1 + x2
1
y/1 -x2
dx — arctg x — — arccotg x
dx — arcsin x — — arccos x l + x
1 — x
6/1
„Tabulkové integrály
x° dx —	X
	a + 1
—dx — x	ln \x\
exdx —	X e
pro a ^ — 1
axdx —
X
lna
lnxdx — x(\nx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx — sin x
(cos x)2
1
(sin x)2 1
dx = tg x
dx: — — cotg x
1 + x2 1
dx — arctg x — — arccotg x
:dx — arcsinx — — arccosx
X'
-—-—-dx = — ln
1 -x2 2
dx — ln
1 +x 1 — X
Vx2 ± 1
X
+ \/x2 zb 1
= - ln
x
Vx2 ± 1
6/1
„Tabulkové integrály
X
a+1
xaáx — - pro a ^ — 1
a + 1 ^
— dx — ln Ixl
e^dx — e
X
axdx —
X
lna
lnxdx = x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cosxdx = sinx
(cosx)2
1
(sinx)2 1
dx = tgx
dx = — cotg x
1 + x:
vT
dx — arctg x — — arccotg x
:dx — arcsinx — — arccosx
X'
-—-—-dx = — ln
1 -x2 2
dx — ln
1 +x 1 — X
Vx2 ± 1
X
+ \/x2 ± 1
= - ln
x
\/x2 ± 1
6/1
„Tabulkové integrály"
Příklady:
„Tabulkové integrály"
Příklady:
J (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx
„Tabulkové integrály"
Příklady:
(3x5 - 2x3 + x2 - 2) dx = 3y - 2y + ^- - 2x = \x% - \xA + |x2 - 2x
ry* ^ ry* ^ rv>
„Tabulkové integrály"
Příklady:
(3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx = 3— - 2^— + — - 2x = \x% - \xA + |x2 - 2x
ry* ^ ry* ^ rv>
6 4
2x2 — x + 2x\fx — \fx
x + 1
„Tabulkové integrály"
Příklady:
/6 4 3
(3x5 - 2x3 + x2 - 2] áx = 3— - 2— + — - 2x = \xQ - \xA + \x2 - 2x v 7 6 4       3 2 2 3
2x2 — x + 2x\fx — \fx ^       Z4 2x\fx [^fx + 1) — + 1) ^
x + 1 ./ + 1
5 3
o    3 A   , 0 # 2 3?2
2^2 — .x2 I d.x = 2-^---3~ =        — yx
2 2
„Tabulkové integrály"
Příklady:
/6 4 3
(3x5 - 2x3 + x2 - 2] áx = 3— - 2— + — - 2x = \xQ - \xA + \x2 - 2x v 7 6 4       3 2 2 3
2x2 — x + 2x\fx — \fx ^       Z4 2x\fx [^fx + 1) — + 1) ^
x + 1 ./ + 1
5 3
o    3 A   , 0 # 2 3?2
2^2 — .x2 I d.x = 2-^---3~ = (|x —
2 2
„Tabulkové integrály"
Příklady:
J (3x5 - 2x3 + x2 - 2) dx = 3
x
6
6
4 S
2x2 — x + 2x\fx — \fx
X + 1
dx =
2X\fx (^Jx + 1) — a/x (a/x + 1)
X + 1
dx =
2x2
i
X2
dx = 2
5
X2
2
3
X2
2
X — 1
3x
dx
x2 - 2x + 1 Ôx2
dx
i
9
1---Y x
x
= ± í x - 2 ln
x
dX :
1
X
1
9
Substituční metoda
F' = f,    F = ff
Substituční metoda
Derivace složené funkce: [F(<p(t))
F' = f,    F = Jf
' = ±F(<p(t))=f{<p(t))<f/(t)
Substituční metoda
F' = f,    F = ff i d
Derivace složené funkce: [F (<£>(£))] = —F (<£>(£)) = f((p(t))(p'(t)
yJLL
Odtud:    f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Substituční metoda
F' = f.    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F((p(ť))]' = —F((p(t)) = f\ip(ť))ip'\ť)
yJLL
Odtud:    f(<p{t))<f/(t)dt = F(<p(ť))
Použití vzorce:
Substituční metoda
F' = f,    F = ff d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(ip(t)) = f(tp(t))ip'(t) Odtud: ff(<p(t))<f/(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:      1.   Výpočet integrálu f f(<p(x))(p'(x)dx
Substituční metoda
F' = f,    F = ff d
Derivace složené funkce: [F(ip(t))]' = —F(<p(t)) = f ((p(t))(pf(t)
yJLL
Odtud: Jf(ip(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:      1.   Výpočet integrálu J f((p(x))(p'(x)dx
substituce: tp(x) = s, dcp(x) = (p'(x)dx = ds
Substituční metoda
F' = f,    F = ff i d
Derivace složené funkce: [F (<£>(£))] = —F (<£>(£)) = f((p(t))(p'(t)
yJLL
Odtud: jf^(t))^'(t)át = F^(t))
Použití vzorce:      1.   Výpočet integrálu f f(cp(x))cp'(x)dx
substituce: cp(x) = s, dcp(x) = cp'(x)dx = ds
f((p(x))(p'(x)áx= í f(s)ds = F(s) = F(<p(x))
Substituční metoda
F' = f,    F = ff i d
Derivace složené funkce: [F (<£>(£))] = —F (<£>(£)) = f((p(t))(p'(t)
yJLL
Odtud: jf^(t))^'(t)át = F^(t))
Použití vzorce:      1.   Výpočet integrálu f f(cp(x))cp'(x)dx
substituce: cp(x) = s, dcp(x) = cp'(x)dx = ds
f((p(x))(p'(x)áx= í f(s)ds = F(s) = F(<p(x))
2.   Výpočet integrálu J f(x)dx
Substituční metoda
F' = f,    F = ff d
Derivace složené funkce: [F(<p(t))]' = —F(ip(t)) = f(ip(t))ip'(t) Odtud: Jf{<p(t))tp'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:      1.   Výpočet integrálu J f(ip(x))(p'(x)dx
substituce: (p(x) = s, dip(x) = (p'(x)dx = ds
f(tp(x))cp'(x)dx = í f(s)ds = F(s)=F(<p(x))
2.   Výpočet integrálu J f(x)dx
substituce: x = ip(s), dx = dip(s) = cp'(s)ds
Substituční metoda
F' = f,    F = ff i d
Derivace složené funkce: [F (<£>(£))] = —F (<£>(£)) = f((p(t))(p'(t)
yJLL
Odtud: jf^(t))^'(t)át = F^(t))
Použití vzorce:      1.   Výpočet integrálu f f(cp(x))cp'(x)dx
substituce: cp(x) = s, dcp(x) = cp'(x)dx = ds
f((p(x))(p'(x)áx= í f(s)ds = F(s) = F(<p(x))
2.   Výpočet integrálu J f(x)dx
substituce: x = cp(s), dx = dcp(s) = cp'(s)ds
f(x)dx= [ f(<p(s))<p'(s)ds = F(<p(s))=F(x)
7/17
Substituční metoda
Příklady:
Substituční metoda
Příklady:
(\nx)2
dx
x
Substituční metoda
Příklady:
(\nx)2
dx
x
substituce: \nx =
1
s, —dx = ds
x
Substituční metoda
Příklady:
(lnx)2
substituce: \nx = s, — dx = ds
Substituční metoda
Příklady:
(lnx)2
substituce: lnx = s, — dx = cis
Substituční metoda
Příklady:
^nx^ áx = Js2ás = \s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, —dx = ds
xex dx = 7} I 2xex áx
Substituční metoda
Příklady:
^nx^ áx = Js2ds = = |(lnx)3 substituce: hix = s, —= ds
xex dx = 7} I 2xex dx
substituce: x2 = s, 2xdx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^nx^ áx = Js2ás = \s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, —dx = ds
xex d.x = \ l 2xex áx = \ l esds = |
substituce: x2 = s, 2xdx = ás
Substituční metoda
Příklady:
^nx^ dx = Js2ds = = |(lnx)3 substituce: lnx = s, —= ds
xex d.x = \ l 2xex dx = | / esds = |
substituce: x2 = s, 2xdx = ds
x3 + x
—-dx
x4 + l
Substituční metoda
Příklady:
^nx^ áx = Js2ás = \s3 = \{hix)3 substituce: hix = s, —= ds
xex d.x = \ l 2xex áx = \ l esds = |es
substituce: x2 = s, 2xdx = ás
x3 + x        1 f 4x3 1 f 2x
Substituční metoda
Příklady:
^nx^ <\x = Js2ds =      = |(lnx)3
substituce: lnx = s, —dx = ds
x
xex dx = \ l 2xex dx = | / esds = |e
substituce: x2 = s, 2xdx = ds
x3 + x        1 Z4 4x3
X4 + 1 4 / X4 + 1
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ás
Substituční metoda
Příklady:
^nx^ <\x = Js2ds =      = |(lnx)3
substituce: lnx = s, —dx = ds
x
xex dx = \ l 2xex dx = | / esds = |
substituce: x2 = s, 2xdx = ds
x3 + x        1 Z4 4x3
X4 + 1 4 / X4 + 1
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ás
Substituční metoda
Příklady:
^nx^ <\x = Js2ds = \s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, —dx = ds
x
xex dx = | / 2xex dx = | / esds = |es
substituce: x2 = s, 2xdx = ds
x3 + x n       , Z4 4x3   n         f   2x . dx    4 / —:-dx + ^ / —a-dx
X4 + 1 4 / X4 + 1 2 / X4 + 1
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ds substituce 2: x2 = t, 2xdx = dt
i
4
Substituční metoda
Příklady:
^nx^ dx = Js2ds = \s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, —dx = ds
x
x2
xex dx = | J 2xex dx = | J esds = |es = |e substituce: x2 = s, 2xdx = ds
x3 + x n       i /" 4x3   n      , í   2x    .      i ^ 1 n i
—;-dx    7 / —:-dx + £ / —:-dx = 4 / -ds + £
x4 + l 47x4 + l        27x4 + l        4j 5 2
= | ln |s| + ^ arctgí
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ds substituce 2: x2 = t, 2xdx = dt
Substituční metoda
x1
Příklady:
^nx^ áx = Js2ás = \s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, —dx = ds
xe^dx = \ J 2xex2dx = \ J eS<^s —      — |e substituce: x2 = s, 2xdx = ds
x3 + x 1       , f 4x3   1      ,  Z4   2x    1       i  íl        ,  Z4    1 n
—:-d.x = 4 / —:-d.x + 4 / —:-ax = 4 / -ds + £ / —-dí =
x4 + l 4j x4 + l 2j^ + l 4J s        2J t2 + l
= | ln |s| + ^ arctgí = | ln(x4 + 1) + \ arctgar
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ds substituce 2: x2 =    2xdx = át
7/17
Substituční metoda
Příklady:
f 1 — bx / -dx
J 3 — bx
Substituční metoda
Příklady:
f 1 - bx 1       f 3 - bx - 2 l       /" l        f    1     l            o f   -b , / -dx = / -dx = / ldx — 21 -dx = x + f / -dx
J 3 — bx        J     3 — bx J J 3 — bx ó J 3 — bx
Substituční metoda
Příklady:
f 1 - bx 1       f 3 - bx - 2 l       /" l        f    1     l            o f   -b , / -áx = / -áx = / ldx — 21 -áx = x + f / -d.x
J 3 — bx        J     3 — bx J J 3 — bx ó J 3 — bx
substituce: 3 — bx = s, — báx = ds
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx
3 — bx
áx =
3-bx-2 3 — bx
dx =    ldx — 2
1
— dx = x + | bx 0
-5
3 — bx
dx=
1
# + f / -ds = x + | ln
x + | ln 3 — bx
substituce: 3 — bx = s, — 5ckc = ds
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx
3 — bx
áx =
3 - 5x - 2 3 — bx
áx =    ldx — 2
1
— áx = x + | bx 0
-5
3 — bx
áx=
1
# + f / -ás = x + | ln
x + | ln 3 — bx
substituce: 3 — bx = s, — 5ckc = ds
(smx)2dx
Substituční metoda
Příklady:
1 — hx
3 — hx
dx =
3 - hx - 2 3 — hx
dx =    ldx — 2
1
— dx = x + | 5x 0
-5
3 — hx
dx=
1
x + | ^ -cis = x + | ln
x + | ln 3 — 5x
substituce: 3 — 5.x = s, —5dx = ds
(sinx)2dx
1 — cos 2x
dx
-dx 2
\ I cos2xdx
_1_ rr*
2<L
\ I cos2xdx
Substituční metoda
Příklady:
1 — hx
3 — hx
dx =
3 - hx - 2 3 — hx
dx =    ldx — 2
1
— dx = x + | 5x 0
-5
3 — hx
dx=
1
# + f / -ds = x + | ln
x + | ln 3 — 5x
substituce: 3 — hx = s, — hdx = ds
(sinx)2dx
1 — cos 2x
dx
-dx — ^ / cos2xdx = 7^x —    I cos2xdx
substituce: 2x = s, 2dx = ds, dx = ^ds
Substituční metoda
Příklady:
1-52;,       f 3 - bx - 2 l       /\ n        f    1     l 2 f   -5 1
dx = / -dx = / ldx — 21 -dx = x + | / -d.x=
3 — 5x        /     3 — 5x / / 3 — 5x 5 / 3 — 5x
x + | / -ds = x + | ln 5 = x + | ln 3 — 5x
1
5 /   g^      "  1 5
2
5
substituce: 3 — bx = s, — bdx = ds
_cos 2x f 1
(sinx)2dx = /-dx = / -dx —\ \ cos2xdx = \x — \ / cos2xdx=
2 12
— It - !
2^ 4
y cos sds — \x~\ sm s = \x ~ \ sm %x = \ (x — sin x cos x) substituce: 2x = s, 2dx = ds, dx = ^ds
7/17
Substituční metoda
Příklady:
J\Jr2 — x2 dx
Substituční metoda
Příklady:
J\Jr2 — x2 áx
substituce: x = rcoss, áx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^Jr2(l — (cos s)2) = r sin s
Substituční metoda
Příklady:
J\Jr2 — x2 dx = — r2 J(sin<s)2ds = |r2(sin s cos s — s)
substituce: x = rcoss, dx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^Jr2(l — (cos s)2) = r sin s
Substituční metoda
Příklady:
J\Jr2 — x2 dx = — r2 J(sins)2d,s = |r2(sin s cos s — s)
substituce: x = rcoss, dx = —rsinsds
\/r2 — (r cos s)2 = ^Jr2(l — (cos s)2) = r sin s
x   . l     í x\2     \Jr2 — x2
s = arccos —, sin s = \ 1 —   — =
r v       \r / r
Substituční metoda
Příklady:
J\Jr2 — x2 áx = — r2 J{úns)2ás = |r2(sinscoss — s)
Ir2 2 '
\Jr2 — x2 x
r
x
-- arccos —
iy ty*
IxV
— x
2 1^2
X
arccos —
Z ty
substituce: x = rcoss, áx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^Jr2(l — (cos s)2) = r sin s
x\ 2     vV2 — ar
s = arccos —, sins = Wl -   - =
r V       V r / r
7/17
Substituční metoda
Příklady:
1 +
dx
Substituční metoda
Příklady:
1 +
áx
substituce: x = s2, áx = 2sás
Substituční metoda
Příklady:
l + Vx
áx
1 + 5
2sás = 2
1 + 5
ás
1 + 1
5 + 1
d5
2s - 2 + 2
1
5 + 1
ds = 52 - 25 + 2 ln |s + 1| = x - - 2y/x-\-\n{l + y/x)'
substituce: x = s2, áx = 25 d5
7/17
Substituční metoda
Lineární substituce:
jf(aX + b)á
Substituční metoda
Lineární substituce:
f(ax + b)dx
1
substituce: ax + b = 5, adx = ds, dx = —ds
a
Substituční metoda
Lineární substituce:
/ f(ax + b)dx = - í f{s)ds = -F(s) = -F(ax + b) J a J a a
1
substituce: ax + b = s, adx = ds, dx = —ds
a
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —Fiax + b) a
Substituční metoda
Lineární substituce:
Logaritmická substituce:
1
f(ax + b)áx = —F(ax + b)
a
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —Fiax + b) a
Logaritmická substituce:
fix)
dx
1
substituce: ln \f(x) \ = s,        f'{x)dx = ds
j \x)
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —Fiax + b) a
Logaritmická substituce:
f(x)
dx
ds = s = ln |/(#)
1
substituce: ln \f(x) \ = s,        f'(x)dx = ds
Substituční metoda
Lineární substituce:
jf(aX + b)äX
Logaritmická substituce:
Integrace „per partes"
8/
Integrace „per partes"
Derivace součinu funkcí:
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) -\-u(x)v'(x),
Integrace „per partes
Derivace součinu funkcí:
odtud
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) -\-u(x)v'(x) u(x)v'(x) = (u(x)v(x))' — u (x)v(x)
Integrace „per partes
Derivace součinu funkcí:
odtud
tedy
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) -\-u(x)v'(x). u(x)v'(x) = (u(x)v(x))' — u (x)v(x)
u{x)v'{x)áx = u(x)v(x) — / u (x)v(x)dx
Integrace „per partes
u(x)v'\x)áx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)áx
Příklady:
Integrace „per partes
u(x)v'\x)áx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)áx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx
Integrace „per partes"
u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx
u = 2 — 3x v' = e1_x'
Integrace „per partes
u(x)v'\x)áx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)áx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx
u = 2 — 3x   u' = —3 v' = e1_x'     v = —e1_x'
Integrace „per partes"
u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx J J
Příklady:
J (2- 3x)el~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e
= (3x + l)e u = 2 — 3x   v! = —3
1 —X _
1 —X
^/ _ el   x        ^ _ _el X
Integrace „per partes
u(x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e
l — x
= (3x + l)e
l — x
hixdx
Integrace „per partes"
u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx J J
Příklady:
J (2- 3x)el~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e
l — x _
1 — x
= (3x + l)e
\nxdx
1
u = In x    u' = —
v' = 1      v = x
Integrace „per partes"
u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — J u'\x)v(x)dx
Příklady:
J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e
= (3x + l)e
/ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l)
1
u = In x   u' = —
X
v' = 1        V = X
1 — x _
1 — x
Integrace „per partes
u(x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l)
l — X
= (3x + l)e
l — x
x2 cos x dx
Integrace „per partes
u(x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx
Příklady:
J (2- 3x)el~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l)
l — X
= (3x + l)e
l — x
x2 cos x dx
u = x2        u' = 2x v' = cos x   v = sin x
8/17
Integrace „per partes
u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx
Příklady:
J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l)
l — X
= (3x + l)e
l — x
x2 cos xdx = x2 sin x — 2   x sin x dx
u = x2        u' = 2x v' = cos x   v = sin x
8/17
Integrace „per partes
u(x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx
Příklady:
J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l)
l — X
= (3x + l)e
l — x
x2 cos xdx = x2 sin x — 2 I x sin x dx
u = x
u' = 1
v = sin x   v = — cos x
8/17
Integrace „per partes
u(x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx
Příklady:
J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l)
l — X
= (3x + l)e
l — x
x2 cos xdx = x2 sin x — 2   x sin xdx = x2 sin x — 2 [ —x cos x + / cos x dx
ix' = 1
v = sin x    v = — cos x
8/17
Integrace „per partes"
l — x _
1 — x
u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx
J J
Příklady:
J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e
= (3x + l)e
/lnxdx=xlnx-/ldx = xlnx-x=x(lnx-l)
x» cos x dx = x» sin x - 2 f * sin * dx =    sin x - 2 (-, cos * + J cos x dx
= x2 sin x + 2x cos x — 2 sin x = [x2 — 2) sin x -\- 2x cos x
8/17
Příklady
9/
Příklady
X \ X
XK
dx =
x
2+ Í       5 A rY> -
dx = Ix 2dx =
x
3 2
2
1
9/17
Příklady
X2\/X
ar
dx =    x2+2 5dx =    x 2 dx =
6
3 2
1
3 2
3
7ex - - ) dx
x
9 / 1
Příklady
X2\/X
XK
dx =
x
2+ i   5j„ —
dx = / i' 2 dx =
x
3 2
1
7ex - - ) dx = 7ex - 6 ln
x
x
7ex — ln x
3 2
6
3 Vx~š
9 / 1
Příklady
Příklady
X2\/X
XK
áx =
6
x
2+ Í       5 A rY> -
áx = / .r 2 d.x =
x
3 2
1
7e* - - \áx = 7ex - 6 ln
x
x
7ex — ln x
3 2
6
3 Vx~š
(cotgx)2 áx
/cosx\2
-- dx
V srn x J
1 — (sinx)' (sinx)2
áx
1
(sinx):
1 j áx =
= — cotg x — x
Příklady
9/17
Příklady
X2\/X
XK
dx =
6
x
2+ Í       5 A rY> -
dx = / x 2 dx =
x
3 2
1
3 2
3 Vx3
7ex--) dx = 7ex — 6 ln x = 7ex  - ln x6
x
(cotgx)2 dx
/cosx\2
-- dx
V srn x /
1 — (sinx)'
X'
dx
1 + x2 - 1
vT^2
dx
(sinx):
1
vT^2
dx
1
(sinx):
1 j dx =
= — cotg
= — arccos x —
\x\J\ — x2 + ^ arccos x = - - ^ (
arccos x
+ x\/r
Příklady
X2\/X
XK
dx =
6
x
2+ Í       5 A rY> -
dx = / x 2 dx =
x
3 2
1
3 2
3 a/x3"
7ex--) dx = 7ex — 6 ln x = 7ex  - ln x6
x
(cotgx)2 dx
ar
dx
/cosx\2
-- dx
V srn x /
1 — (sinx)'
1 + x2 - 1
dx
(sinx):
1
dx
1
(sinx):
1 j dx =
= — cotg
= — arccos x —
\x\J\ — x2 + ^ arccos x = - - ^ (
arccos x
+ xa/T
3e Mx
Příklady
X2\/X
ar
dx =
6
x
dx = / x 2 =
x
3 2
1
3 2
3 Vx~š
7ex--) dx = 7ex — 6 ln x = 7ex  - ln x6
x
(cotgx)2 dx
/cosx\2
-- dx
V srn x /
1 — (sinx)'
X'
dx
1 + x2 - 1
dx
(sinx):
1
dx
1
(sinx):
1 j dx =
= — cotg
= — arccos x —
\x\J\ — x2 + ^ arccos x = - - ^ (
arccos x
+ x\/r
3e xdx = —3e x
Příklady
X2\/X
ar
dx =
6
x
dx =    x 2 dx =
a;
3 2
1
3 2
3 Vx~š
7ex--) dx = 7ex — 6 ln a; = 7ex  - ln a;6
x
(cotg a:)2 da:
/cosa:\2
-- da:
V srn x J
1 — (siná:)'
X'
da:
1 + x2 - 1
vT^2
da:
(sina:):
1
vT^2
da:
1
(sina:):
1 j da: = = — cotg
= — arccos x —
\x\J\ — x2 + ^ arccosx= -\ (
arccos x
+ xVT
3e Ma: = —3e x
(3a: - 7)14da:
Příklady
X2\/X
XK
dx =
6
x
2+ Í       5 A rY> -
dx = / x 2 dx =
x
3 2
1
3 2
3 Vx~š
7ex--) dx = 7ex — 6 ln x = 7ex  - ln x6
x
(cotgx)2 dx
/cosx\2
-- dx
V srn x /
1 — (sinx)'
X'
dx
1 + x2 - 1
vT^2
dx
(sinx):
1
vT^2
dx
1
(sinx):
1 j dx =
= — cotg
= — arccos x —
\x\J\ — x2 + ^ arccos x = - - ^ (
arccos x
+ x\/r
3e xdx = —3e x
(3x - 7)14dx = \
1{3x-7)lb (3x--7)
15
15
45
Příklady
X
x2 — 1
dx
9 / 1
Příklady
1
2
2x
x2 — 1
dx
9 / 1
Příklady
x2-ldX~2f x2-ldX substituce: x2 — 1 = s, 2xdx
Příklady
X
x2 — 1
dx
1
2
2x
x2 — 1
dx = 77 / -cis
i In
ln
ar
1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
9 / 1
Příklady
X
dx
1
2
2x
dx = 77 / -cis
x2 — 1 2 J x2 — 1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
\ ln
ln
ar
1
tgxdx
9 / 1
Příklady
X
x2 — 1dX     2 I x2 — 1
dx = \ í -ds = \ ln
ln
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
ar
1
tgxdx
sinx
dx
cosx
9 / 1
Příklady
x               f   2x f 1
dx = A / —-dx = A / -ds
x2-l 2J x2-l        2J s
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
.        / smx
tgxdx = / -dx
j cosx
.   .       . - sin x 1
substituce: In cosx = s, -dx
cosx
Příklady
x f   2x f 1
dx = A / —-dx = A / -ds = A In
x2-i     V x2-i     27 s 2
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
/ smx /
tg xdx = / -dx = — / ds = — s = - In
J   COS X J
.   .       . - sin x
substituce: In cosx = s, -dx = ds
cosx
cosx
Příklady
x f   2x f 1
dx = A / —-dx = A / -cis = A In
x2 — 1 2J x2 — 1        2j s 2
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
/ sinx . / .
tg xdx = / -dx = — / ds = — s = - In
J   COS X J
.   .       . - sin x
substituce: In cosx = s, -dx = ds
cosx
smx . -dx
cosx
cosx
Příklady
X
1
x2-ldX~ 2
dx = h í -ds = 7T ln
x2 — 1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
tgxdx
sinx
dx
cosx
substituce: ln
cosx
ds = —s sinx
ln
s,
cosx
dx = ds
smx
>/2 +
dx
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
Příklady
X
x2 — 1
dx
1
2
dx = A / -ds = tt ln
x2 — 1
ln
ar
1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
tgxdx
sinx
dx
cosx
substituce: ln
cosx
ds = —s = -
— sin x s, -dx = ds
ln
cosx
cosx
smx
>/2 +
dx
1
cosx
ds
s 2 ds
1
S2
2
■2y/Š= -2\J2 + cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
Příklady
x
x -i j 2x
M dx = 2 / ^1
dx = 7} J -ds = 7) In |s| = In a^/
x2 — 1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
. smx tgxdx = / -dx
cosx
substituce: ln
cosx
ds = —s = ■
— sin x s, -dx = ds
ln
cosx
cosx
sin x
>/2 +
dx = —
1
cosx
ST*
ds
i
S2
s~žds = —=- = -2y/š= -2V/2T
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
.2íE
1
:dX
Příklady
X
x2 — 1
ClX = 77
21 x2 - 1
dx = A / -ds = 77 ln
ln y^x2 — 1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
. smx tgxdx = / -dx
cosx
substituce: ln
cosx
= — J ds = —s = -
— sin x
= -dx = ds
cosx
ln
cosx
sin x
>/2 +
dx = —
cosx
ds =
s 2ds
1
2
= -2y^= -2^/2^
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
2x
Vex - 1
dx
substituce: ex — 1 = s, exdx = ds
9/17
Příklady
X
^__     1   _ 1
2-l     2/ x2-l
2x   n      , Z4 1 , dx = ^ I -ds = ^ In
ln \/|x2 — 1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
. smx tgxdx = / -dx
cosx
substituce: ln
cosx
ds = — s = - ln
— sin x -dx = ds
cosx
cosx
srn x
>/2 +
dx
1
cosx
ds = —    s 2 ds
1
2
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
t2x
V?
1
:dx =
s + 1
ds
S 2   + S     2  ) d5
3 S2
2
i
S2
+ V =     + 3)
substituce:     — 1 = s, e^dx = ds
= fVe^Tíe^ + 2)
9/17
Příklady
Příklady
u = x3 v! = 3x2 v' = ex    v = ex
Příklady
x3exdx = x3ex - 3 / x2exdx
u v'
ar
\ OČ
u
v
3x'
Příklady
x3exdx = x3ex - 3 / x2exdx
u v'
X'
\ OČ
w v
2x
Příklady
x3exáx = x3ex - 3 / x2exdx = x3ex - 3 í x2ex - 2 / xexdx
u
= x2    u' — 2x
v' — ex    v = ex
Příklady
x3exáx = x3ex - 3 / x2exdx = x3ex - 3 ( x2ex - 2 / xexdx
= x3ex - 3x2ex + 6 / xexdx
u = x
u' = 1
vf = ex    v = ex
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
ty \ ,j /
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= [x3 — 3x2 + 6x — 6) e
2X = X
u' = 1
vf = ex    v = ex
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
ty \ ,j /
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= [x3 — 3x2 + 6x — 6) e
x2 ln x dx
9/17
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
ty \ ,j /
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= [x3 — 3x2 + 6x — 6) e
x2 ln x dx
1
a = ln x    u' = —
/ 2 1 s
v   = X V = ^x
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
ty \ ,j /
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= [x3 — 3x2 + 6x — 6) e
x2 \nxdx = |x3lnx
1
a = ln x    u' = —
V   = X V = ^X
| / x2dx
|x3 lnx — ^x3 = |x3 (lna;3 l)
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
x2 ln x dx
ty \ t/ /
x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= (x3 — 3x2 + 6x
|x3 lnx — | /x2dx = |x3 hix — jjX3 = |x3 (lnx3 — l)
-6)
»OČ
1=1 sin ln x dx
9/17
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
ty \ ,j /
x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= (x3 — 3x2 + 6x
-6)
»OČ
x2 ln x dx
|x3 lnx — | / x2dx = |x3 lnx — |x3 = |x3 (lnx3 l)
I =    sin ln x dx
?x = sin ln x    u' = — cos ln x
x
v' = 1 v = x
9/17
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
ty \ ty /
x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= [x3 — 3x2 + 6x
-6)
»OČ
x2 ln x dx
|x3 lna; — | / x2dx = |x3 lna: — ^x3 = |a:3 (lna:3 l)
I =    sin ln x     = x sin ln a: — / cos ln x dx
u = sin ln x    u' = — cos ln a:
x
v' = 1 v = x
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
ty \ ty /
x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= (x3 — 3x2 + 6x
-6)
»OČ
x2 ln x dx
|x3 lnx — | / x2dx = |x3 lnx — |x3 = |x3 (lnx3 l)
I =    sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx
?x = cos ln x    v! =--sin ln x
x
v' = 1 v = x
9/17
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
ty \ ,j /
x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= (x3 — 3x2 + 6x
-6)
»OČ
x2 ln x dx
|x3 lnx — | / x2dx = |x3 lnx — |a;3 = |x3 (lnx3 l)
I =    sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx
x sin ln x — ( x cos ln x + / sin ln x dx I = x sin ln x — x cos ln x — I
u = cos ln x    v! =--sin ln x
x
v' = 1 v = x
9/17
Příklady
x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx
ty \ ty /
x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= (x3 — 3x2 + 6x
-6)
»OČ
x2 ln x dx
|x3 lnx — | / x2dx = |x3 lnx — |x3 = |x3 (lnx3 l)
1=1 sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx
x sin ln x — ( x cos ln x + / sin ln x dx I = x sin ln x — x cos ln x — J
Tedy 21 = x sin lnx — x cos lnx, odtud J = |x (sin lnx - - cos lnx)
Příklady
e^dx
9/
Příklady
e^dx
substituce: x = t2, dx =
Příklady
e^dx = 2 / tédt
substituce: x = t2, dx = 2tdt
9 / 1
Příklady
u = t u' v' = et v
Příklady
Příklady
substituce: x = t2, dx = 2Mí
9/17
Příklady
e^dx = 2   tetdt= 2 [té - \ édt J = 2(t - l)eť = 2 (y/x - 1)
substituce: x = t2, dx = 2tdt
u = t v! = 1 vf = e1    v = et
9 / 1
Úvod
Neurčitý integrál
Určitý integrál a jeho užití
Definice a základní vlastnosti
Obsah obrazce
Délka rovinné křivky
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Nevlastní integrál _
Určitý integrál a jeho užití
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6)
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f (x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
b
J f(x)dx = F (b) - F (a)
a
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
o
J f(x)dx = F(b) - F (a)
a
Označení: F(b) - F(á) = \F(x)
x=a
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
o
J f(x)dx = F(b) - F (a)
a
Označení: F(b) - F(á) = \F(x)
x=a
F(x)
a
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Označení: F(b) - F(á) = \F(x)
x=a
F(x)
a
Definice a základní vlastnosti
f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)ib
a
a
a b a
• I f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
a a b
Definice a základní vlastnosti
f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
Definice a základní vlastnosti
f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
b b b
aditivita: J (f(x)+g(x)}dx = J f(x)dx + Jg(x)dx
a
a
a
Definice a základní vlastnosti
f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
b b b
aditivita: J (f(x)+g(x)}dx = J f(x)dx + Jg(x)dx
a
a
a
b b
homogenita: J cf(x)dx = c J f(x)dx
a a
Definice a základní vlastnosti
f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
b b b
aditivita: J (f(x)+g(x)}dx = J f(x)dx + Jg(x)dx
a
a
a
b b
homogenita: J cf(x)dx = c J f(x)dx
a a
Aditivita vzhledem k integračnímu oboru:
b c b
c G (tx, b) => J f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx
a
a
Definice a základní vlastnosti
f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Integrace „per partes" pro určité integrály:
b b
J u(x)v' (x)dx = u(x)v(x)    — J u'(x)v(x)dx
a
a
Definice a základní vlastnosti
f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Integrace „per partes" pro určité integrály:
b b
J u(x)v' (x)dx = u(x)v(x)    — J u'(x)v(x)dx
a
a
Substituční metoda pro určité integrály:
b <p(b)
f f((p(x))(p'(x)dx = j f(s)ds
ip(a)
substituce: cp(x) = s, cp'(x)dx = ds
a
Definice a základní vlastnosti
f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Integrace „per partes" pro určité integrály:
b b
J u(x)v' (x)dx = u(x)v(x)    — J u'(x)v(x)dx
a
a
Substituční metoda pro určité integrály:
b <p(b)
f f((p(x))(p'(x)dx = j f(s)ds
ip{á)
substituce: cp(x) = s, cp'(x)dx = ds
a
b ^(b)
Jf(x)dx=     J f(<p(8))<p'(8)d8
<p-Ha)
substituce: x = cp(s), tj. cp~1(x) = s, cp'(x)dx = ds
a
11 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b - (1
n G N, položíme Ax —- a X{ — a + iAx, i = 0,1, 2,..., n — 1.
n
f{Xi
Ax
a X\
<1 i
-i b x
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b - (1
n G N, položíme Ax —- a X{ — a + iAx, i = 0,1, 2,..., n — 1. Pak je
n
n—l
i=0
Xj c
|     |     |Aa;|     | | a   xi      ■■■     Xi ■■■ xn-i 5 x
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b — a
n G N, položíme Ax —
n
a Xi = a + iAx, i = 0,1, 2,..., n — 1. Pak je
n—1 n—1 «
S ^ y^f(xi)Ax,    lim VV(^)Ax= / f(x)dx,
i=o *=o Ja
Xi ■ ■ ■ xn—i 5 x
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b — a
n G N, položíme Ax —
n
a Xi = a + iAx, i = 0,1, 2,..., n — 1. Pak je
n—1 n—i                         p p
S w      f(xi)Ax, lim      f(xi)Ax = / f(x)dx,       S= f(x)dx
^—^ n—)>oo ^—'                      y y
z=0 i=0                      a a
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
o
S — j f(x)dx
a
Příklady:
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku zákla a.
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku zákla a.
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a.
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny
a.
2
vi	f	4 2
\		a2
		± 2
v	1 —	
	V	a2
2
2
dx
4v
2
2
x2dx — v [x] ^ a
4v
x1
2
f a a\ 4v (a3 a3 ^U^)"^   24 + 24
2
= -va
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2
x y --h — = 1
a2 b2
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2 7
—+ — = 1 y=-Va2-x2 az     oz a
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2
x y
a* b2
a
+     = 1    —>>   y — —\/d2 x2
a
S = 4 / — \Ja2 — x2 dx J a
o
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2
x y
a*
b2
+     = 1    —>•    y — —\fa2 — x2
a
a
7T
2
7T
2
S — 4: Í —\/a2 — x2 dx = — ľ a2 (cos s)2ds — 4a6 / Ja cl J J
1 + cos 2s
ds —
o
o
o
2a6
sin 2s
7T
2
j s = 0
substituce: x = a sin s, dx = a cos s ds,   a2 — x2 = a2 (l — (sin s)2) = a2 (cos s)'
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b — a
n G N, položíme Ax =-, x o = a, xz = a + iAx,
n
Ayi = f(xi+i) - f(xi), i = 1,2,... ,n.
13 / 17
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
n G N, položíme Ax =
b — a
n
, xq = a, Xi = a + iAx,
Ayi = f(xi+i) - f(xi), z = 1,2,... ,n. Pak je
lim ^ = f>(Xi),tedy^*f'(xi)
Ax^O Ax
n—l
Ax
n—l
£«^V(Ax)2 + (Ayi)2 = ^Wl +
i=0 n—l
i=0
Ax
n—l
ax ~    v1 + (/'(xí))2ax
lim V Jl + (f'(Xi))2Ax = í Jl + (f'(x)fdx,
n—)-oo z—' v J i=0 a
xq = a     xi    ■ ■ ■    Xi xi+i
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
n G N, položíme Ax =
b — a
n
, xq = a, Xi = a + iAx,
Ayi = f(xi+i) - f(xi), z = 1,2,... ,n. Pak je
lim ^ = /'(*,), tedy        * f'(Xi)
Ax^O Ax
Ax
n—l n—l    / / *     \ 2 n—1 ,-
i=o i=o V       V     / i=o
i=0 n—l
lim V Jl + (f'(Xi))2Ax = í Jl + (f'(x)fdx, tedy
n—)-oo z—' v J i=0 a
b
a
13 / 17
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). Její délka je dána integrálem
b
i = I y/l + (f>(x))2dx
a
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
t= í v/i+ (/'(*
a
Příklad:
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
t= í v/i+ (/'(*
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
t= í v/i+ (/'(*
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = Vr2 — x2
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
1 =
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
e
f{x) = Vr2 - x2, f(x) =     ~X      '      nn2 X'
\/r2 — x2
. (/'(*)) =
ty 2 _ rjQ 2
13 / 17
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
i = I y/l + (f'(x))2dx
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = V^^, f(x) = -ř^L=, {f'{x)f = ^
yV2 - x2 ' r2 - x
2
r
X2
i = A J a/1 + —--dx
o
ty 2 _ rj* 2
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
i = I y/l + (f'(x))2dx
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = V^^, f(x) = -=S==, {f'{x)f = ^
yV2 - x2 ' r2 - x
2
ry* ry*
x2 ľ r
£ = 4 j yl + —--        dx = 4 j „dx
o o
substituce: x = r sin s, dx = rcossds
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
i = I y/l + (f'(x))2dx
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
yV2 - x2 ' r2 - x
2
7T
r     ,- r 2"
x2 Ír
£ = 4 / W1 + —--        dx = 4 / d.x = 4r2
7 V      r2-x2 y Vr2 - x2
0 0 0
substituce: x = r sin s, dx = rcossds
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax.
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn — b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a,#1,#2,... ,xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax.
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, x\, X2,..., xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven S(xí)Ax.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax.
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn — b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven S(xi)Ax.
n
Pro objem tělesa tedy platí: V
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax.
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn — b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven S(xi)Ax
n
Pro objem tělesa tedy platí: V
i=l
Limitním přechodem n     00 dostaneme
b
V
a
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
14 / 1
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, 6, c.
x2    y2     z2 ^
a2     b2     c2 ~
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b
x2    y2     z2 ^
a2     b2     c2 ~
y2 z2
Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 —
b2 c2
y2 z2
^--= i
(l-^)b2 (l-fí)cŕ
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b
x2    y2     z2 ^
a2     b2     c2 ~
y2 z2
Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 —
b2 c2
y2 z2
^--= i
(l-fl)62 (l"fl)C:
= irbc (1---
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, 6, c
x2    y2     z2 ^
a2     62     c2 —
y2     z2 x2
Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—0 = 1--0
62
a-
+
(1-fí)^2 (l-fí)c
= 1
= irbc ( 1
ar
a
V
irbc í 1
X'
(V
dx = 27r6c
o
ar
a:
3a2
n a
Jo
27r6c í a
3a2
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Speciální případ: těleso vzniklé rotací „podgrafu" funkce y = f (x) definované na intervalu (a, b) kolem osy x.
S(x) = 7r(f(x))2, tj.
V = tt J (f(x))2dx
o
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = tt J (f(x))2dx
0
14 / 1
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = tt J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = tt J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a
a-\-h
V = 7T
J [g2 — x2) dx
a
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
V = tt j (f(x))2dx o
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
14 / 17
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = tt J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
V = 7T
^  (^>2 - X2) dx = 7T ^
r -i		1   ry, 3 .3^ .	
	a		a /
a
= 7T (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3))
a2 = £2 - R2 (a + h)2 = Q2 -r2
14 / 17
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = tt J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
V = 7T
^  (^>2 - X2) dx = 7T ^
r -i		1   ry, 3 .3^ .	
	a		a /
a
= 7T (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3))
a2 = £2 - R2 (a + h)2 = g2 -r2
-+    2a/i + h2 = R2 -r2
14 / 17
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = tt J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
V = 7T
^  (^>2 - X2) dx = 7T ^
r -i		1   ry, 3 .3^ .	
	a		a /
a
a2 = g2 - R2 (a + h)2 = Q2 - r2
= 7T (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3)) R2 - r2 - /i2
2ah + h2 = R2 - r2 <
a —
£2 =
2/i
(iť-r2-/i2)2 4X2
14 / 1
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = tt J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
V = 7T
^  (^>2 - X2) dx = 7T ^
r -i		1   ry, 3 .3^ .	
	a		a /
a
= 7T (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3)) R2 — r2 — h2
a2 = Q2 - R2 (a + h)2 = g2 -r2
-+    2ah + h2 = R2 - r2 <
a —
£2 =
Celkem: v = |tt/i(3(í?2 + r2) + h2)
2h
(R2-r2-h2)2 4h?
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = tt J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
V = 7T
^  (^>2 - X2) dx = 7T ^
r -i		1   ry, 3 .3^ .	
	a		a /
a
= 7T (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3)) R2 — r2 — h2
a2 = Q2 - R2 (a + h)2 = g2 -r2
-+    2ah + h2 = R2 - r2 <
a —
£2 =
Celkem: v = |tt/i(3(í?2 + r2) + h2)
Specielně - Kulová úseč (r = 0): V = \7ľh{3R2 + /i2) Polokoule (r = 0, h = R): V = ^ttR3
2h
(R2-r2-h2)2 4h?
Úvod
Neurčitý integrál_
Určitý integrál a jeho užití
Nevlastní integrál
Integrál na neomezeném intervalu Integrál z neohraničené funkce
Nevlastní integrál
Integrál na neomezeném intervalu
nkce / spojitá na intervalu (a, oo):
16/
Integrál na neomezeném intervalu
oo b
Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx = lim  / /(
J J
a a
pokud tato limita existuje a je vlastní.
Integrál na neomezeném intervalu
oo
Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim  / f(x)dx,
J b^oo J
a
pokud tato limita existuje a je vlastní.
d
Funkce / spojitá na intervalu (—00,6): J f (x) d
a
■00
x =   lim   / f(x)dx
a^ř—oo
a
pokud tato limita existuje a je vlastní.
Integrál na neomezeném intervalu
oo
Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim  / f(x)dx,
J b^oo J
a
pokud tato limita existuje a je vlastní.
d
Funkce / spojitá na intervalu (—00,6): J f (x) d
a
■oo
x =   lim   / f(x)dx,
a^- — oo
a
pokud tato limita existuje a je vlastní. Funkce / spojitá na intervalu (—00,00)
00
o
/f(x)dx =   lim   / f(x)dx + lim  / f(x)dx, —    J b^-oo J
■00
a
0
pokud obě limity existují a jsou vlastní.
Integrál na neomezeném intervalu
oo
Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim  / f(x)dx,
J b^oo J
a
pokud tato limita existuje a je vlastní.
d
Funkce / spojitá na intervalu (—00,6): J f (x) d
a
■oo
x =   lim   / f(x)dx,
a^- — oo
a
pokud tato limita existuje a je vlastní. Funkce / spojitá na intervalu (—00,00)
00
o
/f(x)dx =   lim   / f(x)dx + lim  / f(x)dx, —    J 6—)-oo J
■00
a
0
pokud obě limity existují a jsou vlastní. Říkáme, že nevlastní integrál konverguje.
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc 0
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xdx
6—)-oo
0
0
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xdx = lim
6—)-oo J b^-oo 0 0
■x
b 0
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xdx = lim
6—)-oo J b^-oo 0 0
■x
b 0
lim (
6—)-oo
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xdx = lim
6—)-oo J b^-oo 0 0
■x
b 0
lim (
6—)-oo
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xdx = lim
6—)-oo J 6—)-oo 0 0
■x
b 0
lim (-e"6 + l)
oc
1
~xž+ 1
dx
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xdx = lim
6—)-oo J 6—)-oo 0 0
■x
0
lim (
6—)-oo
-e"6 + 1)
OC
1
X2 + 1
dx = lim
1
6^oo J   X2 -\- 1 1
dx = lim [arctgx
6—)-oo
= lim (arctg b — arct
6—)-oo
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xdx = lim
6—)-oo J 6—)-oo 0 0
■x
0
lim (
6—)-oo
-e"6 + 1) = 1
OC
1
X2 + 1
dx = lim
1
6^oo J   X2 -\- 1 1
dx = lim [arctg x
6—)-oo
7T
= lim (arctg b — arctg 1) =---- = —
6—)-oo 2
7T
4
7ľ
4
OC
a > 1.
1
x
a
dx
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xdx = lim
6—)-oo J 6—)-oo 0 0
■x
0
lim (
6—)-oo
-e"6 + 1) = 1
OC
1
X2 + 1
dx = lim
1
6^oo J   X2 -\- 1 1
dx = lim [arctgx
6—)-oo
= lim (arctgfr — arctg 1)
6—)-oo
oc
a > 1
1
x
a
dx = lim
1
dx = lim
6^oo J   Xa b^oc
X
-a+1
n 6
-a + 1
J i
- lim (-—-
1-a 6^oo V ba~l
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
00
/— dx x
1
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
ľ 1
lim / —áx
b^oc J X 1
lim [ln x
6—)-oo
lim ln 6
6—)-oo
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
1
— áx nekonverguje
x
ľ 1 lim  / —áx
b^oo J X 1
lim [ln x
6—)-oo
lim \nb
6—)-oo
Integrál z neohraničené funkce
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
Integrál z neohraničené funkce
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b p
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní. I3^b J
a
a
Integrál z neohraničené funkce
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b p
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní. I3^b J
a
a
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b b
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní.
a
a
Integrál z neohraničené funkce
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b p
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní. I3^b J
a a
Bod b se nazývá singularita funkce f.
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b b
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní.
a
a
Bod a se nazývá singularita funkce f.
Říkáme, že nevlastní integrál konverguje.
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
dx = lim
1
dx
lim
arcsm x
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
áx = lim
1
áx
lim
arcsm x
/5 0
= arcsin 1 — arcsin 0
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
dx
1
dx
lim
arcsm x
/5 0
/ i
= arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
o
áx
/5
lim
1
0
áx
lim
arcsm x
/5 0
/ i
= arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
i
0
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
/5
0
dx
lim
1
0
dx
lim
arcsm x
/5 0
/ i
= arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
lnxdx = lim / \nxdx
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
/5
0
dx
lim
1
0
dx
lim
arcsm x
/5 0
/ i
= arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
lnxdx = lim / \nxdx
lim ľx(l
nx
i)"
Q!
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
/5
0
dx
lim
1
0
dx
lim
arcsm x
/5 0
/ i
= arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
ln xdx = lim / ln xdx
a—tO
lim ľx(l
nx
i)
Q!
1 — lim a(ln a — 1)
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
/5
0
dx
lim
1
0
dx
lim
arcsm x
/5 0
/ i
= arcsin 1 — arcsin 0 = —
7T
2
ln xdx = lim / ln xdx
a—tO
lim ľx(l
nx
i)
Q!
1 — lim a(ln a — 1)
= — 1 — lim x lnx
x^O
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
/5
0
dx
lim
1
0
dx
lim
arcsm x
/5 0
/ i
= arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
i i
/lnxckc = lim / lnxckc = lim ľxílnx — 1) a^O J a^O 1
1
a
0
= — 1 — lim x ln x = —1 — lim
1 — lim a(ln a — 1)
ln x
x—)•()
x^o 1
x
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
/5
0
dx
lim
1
0
dx
lim
arcsm x
/5 0
= arcsin 1 — arcsin 0
\nxdx = lim / \nxdx
at—tO
lim ľxílnx — 1)
Q!
1 — lim a(ln a — 1)
0
Q!
lnx
= — 1 — lim x In .x = —1 — lim —r- = — 1 — lim
x
x^O
x^O 1
x
x^-0--\
x
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
1
/5
0
áx
lim
1
0
áx
lim
arcsm x
/5 0
= arcsin 1 — arcsin 0
hixáx = lim / hixáx
at—tO
lim ľxílnx — 1)
Q!
1 — lim a(ln a — 1)
0
Q!
In x
= — 1 — lim x ln x = —1 — lim —r- = — 1 — lim
x
x^O
x^O 1
x
x^-0--\
x