1 Ukažte, že pro všechna 𝑥 reálná platí (−𝑥)2
= 𝑥2
. Budete pak souhlasit i s tím, že |𝑥|2
= 𝑥2
?
2 Přesvědčte svého souseda, že druhá mocnina jakéhokoli reálného čísla je nezáporná. Tedy že
𝑥2
≥ 0 pro jakékoli 𝑥 reálné.
3 Dokažte, že platí vztah (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
. Zvládli byste to ilustrovat i obrázkem?
(Zkuste to pomocí ploch: 𝑎𝑏 je plocha obdélníka o stranách 𝑎 a 𝑏.)
4 A čemu se rovná (𝑎− 𝑏)2
? Dovedete to odvodit z předchozího vztahu, aniž byste museli znova
roznásobovat závorky?
5 Potřebujeme ještě další vztahy pro (−𝑎 + 𝑏)2
a (−𝑎 − 𝑏)2
? Čemu se tyto výrazy rovnají?
6 Když je pro každé 𝑥 reálné 𝑥2
≥ 0, bude také platit (𝑥 − 1)2
≥ 0? A co takhle 𝑥2
+ 1 ≥ 2𝑥?
7 Ověřte si (třeba pomocí vzorce z úlohy 3), že se dá psát:
1. 𝑥2
+ 4𝑥 + 7 = (𝑥 + 2)2
+ 3; 2. 𝑥2
− 2𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)2
− 3; 3. 2𝑥2
− 4𝑥 = 2(𝑥 − 1)2
− 2;
4. −𝑥2
+ 3𝑥 + 1 = − (𝑥 − 3
2)
2
+ 13
4 .
Přepsání do takového tvaru se říká „doplnění na (úplný) čtverec“.
8 Sami zkuste do tohoto tvaru přepsat následující polynomy:
1. 𝑥2
− 6𝑥 + 8; 2. −𝑥2
− 9; 3. −2𝑥2
+ 3𝑥 − 5; 4. Troufnete si převést i obecný kvadratický
polynom 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑏, 𝑐 jsou jakákoli reálná čísla)?
9 Jak vypadá graf funkce 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 v závislosti na 𝑎, 𝑏, 𝑐? (Pomůže Vám k tomu bod 4
předchozí úlohy.)
Odmocnina z reálného čísla 𝑥 (kterou označíme √𝑥 ) je takové 𝑅 ≥ 0, pro které platí 𝑅2
= 𝑥.
10 Z definice, kterou jsem dal do rámečku, je jasné, že √𝑥 je vždy nezáporná (pokud vůbec existuje).
Dává ovšem smysl dělat odmocninu ze všech reálných čísel? Nebo to u některých smysl nedává?
(Vizte úlohu 2.)
11 Je vidět, že odmocnina a druhá mocnina se „tak nějak“ ruší navzájem. Ale jak je to přesně?
1. Kdy dává výraz √ 𝑥2 smysl a čemu je pak roven? 2. Kdy dává smysl výraz (√𝑥 )2
a čemu je roven?
12 Často funguje vztah√ 𝑥𝑦 = √𝑥 ⋅√ 𝑦 . Zkuste si ho dokázat. Myslíte, že se může někdy pokazit?
13 Zkuste vyřešit rovnici √ 𝑥 + 1 + √𝑥 + 3 = 1.
14 Ubezpečte se, že rovnice 𝑥2
= 4 má dvě řešení: +2 a −2.
15 Zkuste řešit následující rovnice:
1. (𝑥 − 1)2
= 9; 2. (𝑥 + 2)2
= 1; 3. (𝑥 − 4)2
= 0; 4. (𝑥 + 1)2
+ 3 = 0.
Na čem závisí, kolik má která taková rovnice řešení? (Z předchozí úlohy vidíte, že některé takové rovnice
mohou mít dvě řešení. Mohou mít některé víc řešení? A míň?)
16 Zvládli byste doplněním na čtverec vyřešit libovolnou kvadratickou rovnici 𝑥2
+𝑎𝑥+𝑏 = 0?
Bude to snadné, pokud jste si v úloze 8 doplnili na čtverec obecný polynom. Kolik může mít taková
rovnice reálných řešení? Na čem to závisí?
17 Ukažte, že 𝑎2
− 𝑏2
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏). Šel by k tomu taky nakreslit obrázek podobně jako
v úloze 3?
18 Umělibystespomocídoplněnínačtverecukázat,žeje 𝑥2
+4𝑥+7 ≥ 3ataky−𝑥2
+3𝑥+1 ≤ 13
4 ?
(Pomůže Vám úloha 7.)
19 Může se stát, že by kvadratický polynom 𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎 ≠ 0) nabýval všech reálných hodnot?
Proč ano nebo proč ne?
20 Když chcete umocnit na druhou číslo končící pětkou, funguje tento trik: vynásobíte obě dvě
okolní celé desítky mezi sebou a přičtete 25. Tak třeba: 552
= 50 ⋅ 60 + 25 = 3025 (můžete si to ověřit
třeba na kalkulačce ̈⌣). Zvládnete vysvětlit, proč to funguje? A uměli byste vyčíslit podobnou metodou
i čtverce jiných čísel?
21 Ve starém Babyloně se násobilo pomocí tabulek čtverců. Představte si, že máte vypsané druhé
mocniny přirozených čísel od 1 do 100. Jak se dají pomocí této tabulky (a trochy sčítání a odčítání)
vynásobit jakákoli dvě dvouciferná přirozená čísla?
Zlomky 𝑎
𝑏
jsouprostějinýzápisdělení 𝑎 ∶ 𝑏.Protoplatí,žekdyžčitatelzvětším 𝑥-krát,hodnota
celého zlomku se také zvýší 𝑥-krát. Naopak jestliže zvětším 𝑥-krát jmenovatel, hodnota celého
zlomku se zmenší 𝑥-krát.
22 Na základě úvah z červeného kastlíku vysvětlete, proč násobení zlomků funguje takto: 𝑎
𝑐 ⋅ 𝑏
𝑑
=
= 𝑎𝑏
𝑐𝑑
. Stejně tak vysvětlete, proč dělení vyjde následovně: 𝑎
𝑐 / 𝑏
𝑑
= 𝑎𝑑
𝑏𝑐
.
23 Vysvětlete, proč můžeme ve zlomcích tzv. krátit: odstranit stejný nenulový činitel v čitateli
i ve jmenovateli. Tedy např. 𝑎⋅𝑏
𝑎⋅(𝑐+𝑑)
= 𝑏
𝑐+𝑑
. Proč je důležité, aby zkrácený činitel nebyl nulový? Pak
si zkuste upravit následující zlomky: 1. 𝑎𝑏𝑐
𝑎(𝑏+𝑐)
; 2. 𝑎𝑏+𝑎𝑐
𝑏𝑐+𝑐2 ; 3. 𝑎2
+𝑎𝑏
𝑎2−𝑏2 ; 4. 𝑎2
+2𝑎+1
𝑎2−1 .
24 Stejně tak vysvětlete, proč můžeme tzv. rozšířit a násobit čitatel i jmenovatel stejným nenulovým
činitelem, a proč je důležité, aby číslo, kterým rozšiřujeme, nebylo nulové.
25 Sčítatsedajíjenzlomkyse stejným jmenovatelem.Pakseprostěsečtoučitatele:např. 1
𝑎+2
𝑎 = 3
𝑎.
Často ale chceme sčítat i v případě, že se jmenovatelé liší — třeba bychom chtěli sečíst 1
5 + 2
7. Jak
to máme udělat? Využijte manévr rozšíření z předchozí úlohy na každý zlomek zvlášť tak, aby byly
jmenovatelé stejní. Pak sečtěte jako normálně.
26 Sčítejte:
1. 𝑎2
𝑎2−𝑏2 − 2𝑎𝑏
𝑎2−𝑏2 + 𝑏2
𝑎2−𝑏2 ; 2. 𝑎𝑏
𝑏+𝑐
+ 𝑎𝑐
𝑏+𝑐
. 3. 𝑎
𝑏
− 𝑏
𝑎; 4. 𝑎
𝑏
+ 𝑎
𝑐 ; 5. 𝑎
𝑏
+ 𝑐
𝑑
; 6. 1+𝑥
1−𝑥 + 1−𝑥
1+𝑥.
27 Uměli byste ukázat 1
√2 +1 = √2 − 1? (Zkuste zlomek rozšířit tak, aby šel použít vztah pro
𝑎2
− 𝑏2
. Tím se odmocniny ve jmenovateli zbavíte.)
28 Naložte podobně s těmito zlomky (odstraňte všechny odmocniny ze jmenovatelů):
1.
1
2 + √3
; 2.
1
3 − 2√2
; 3.
√39
√5 − 2√3
; 4.
1
1 + √2 + √3
.
Pro tuhle proceduru existuje malebný český název: usměrnění zlomku.