Mějme kladné reálné číslo 𝑎. Jeho 𝑛-tá mocnina (kterou označujeme 𝑎 𝑛
) je součin 𝑛 kopií čísla
𝑎 vynásobených mezi sebou. 𝑛 zde musí být přirozené.
1 Jak byste ukázali, že 𝑎 𝑛
⋅ 𝑎 𝑘
= 𝑎 𝑛+𝑘
? (Klidně si vypište ty součiny a počítejte jednotlivá 𝑎-čka.)
2 Co tedy musí vyjít, když uděláme dvě mocniny po sobě? Tedy (𝑎 𝑛
) 𝑘
?
Zatím jsme definovali jen přirozenou mocninu, ale rozšíříme to i na racionální mocniny. Základempro
násbude vztah 𝑎 𝑥
⋅𝑎 𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
—ten budemepovažovat zajakousi „esenci“mocninné
funkce a racionální mocniny definujeme tak, aby pořád platil.
3 Jakou hodnotu je potřeba přidělit výrazu 𝑎0
, aby se základní vztah 𝑎 𝑥
⋅ 𝑎 𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
nepolámal?
(Zkuste do toho vztahu dosadit třeba 𝑥 = 0.)
4 Čemu se má rovnat záporná mocnina 𝑎−𝑛
(𝑛 je pořád přirozené), pokud se základní vztah
nemá rozbít? (Doporučuju na pravé straně vztahu udělat jedničku.)
5 Čemusemusírovnatracionálnímocnina 𝑎 𝑘/𝑛
(obojípřirozenáčísla),abyzákladnívztahzůstal
v platnosti, stejně jako vztah z úlohy 2? (Zkuste umocnit 𝑎 𝑘/𝑛
na 𝑛-tou.)
6 Zkuste nakreslit graf funkce 2 𝑥
.
Logaritmusjefunkce,kterájeinversníkmocninnéfunkci—tedy„vrátízpátky“to,coudělala.
Označujeme ho symbolem log 𝑎
𝑥 a definujeme ho takto: řekneme, že log 𝑎
𝑥 = 𝐿 právě tehdy,
když 𝑎 𝐿
= 𝑥. Tomu log 𝑎
se říká „logaritmus při základu 𝑎“. I zde pořád požadujeme 𝑎 > 0.
7 Z této definice odvoďte, že platí log 𝑎
(𝑎 𝑥
) = 𝑥 a 𝑎log 𝑎
𝑥
= 𝑥.
8 Co můžu dávat do logaritmu, aby to vůbec v reálných číslech dávalo smysl? (Jelikož logaritmus
„vrací zpátky“ exponenciálu, má smysl do něj dávat jen takové hodnoty, kterých exponenciála může
nabývat.) Jakých nabývá logaritmus hodnot?
9 Pro počítání s logaritmy platí jakási pravidla, která snadno odvodíte z pravidel pro počítání
s mocninnými funkcemi. Vymyslete, jak ze základní vlastnosti 𝑎𝑠
⋅ 𝑎𝑡
= 𝑎𝑠+𝑡
dostat pravidlo
log 𝑎
𝑥𝑦 = log 𝑎
𝑥 + log 𝑎
𝑦. (Zkuste napsat 𝑥 = 𝑎log 𝑎
𝑥
a 𝑦 = 𝑎log 𝑎
𝑦
.)
10 Zvládnete podobným stylem upravit log 𝑎
𝑥
𝑦 a log 𝑎
𝑥 𝑦
? (Využijte výsledky cvičení 4 a 2.)
11 Řekněme, že nějaké číslo 𝛧 dokážeme napsat jako 𝑎 𝑥
, ale raději bychom ho chtěli zapsat jako
nějakou mocninu 𝑏 (tedy nějaké 𝑏 𝑦
). Jak se musí změnit exponent? (Tedy jak vypočteme 𝑦 pomocí 𝑥, 𝑎
a 𝑏?)
12 Od úvah předchozí úlohy už není daleko ke vztahu pro přepočet základů logaritmů: log 𝑎
𝑥 =
=
log 𝑏
𝑥
log 𝑏
𝑎
(pro 𝑥, 𝑎, 𝑏 kladná). Zkuste ho z toho odvodit.
13 Opět nakreslete graf, tentokrát však funkce log2
𝑥. Myslíte, že by šel nějak snadno udělat
z grafu funkce 2 𝑥
, který už jste nakreslili?
14 Jakou hodnotu mají tyto mocniny dvojky? (Upravte je tak, aby ve výsledku byly jen odmocniny,
zlomky a čísla. Žádné mocniny.)
1. 23
; 2. 2−2
; 3. 20
; 4. 23/2
; 5. 2−7/3
.
15 Vypočtěte následující logaritmy (pomůže napsat vnitřek logaritmu jako nějakou mocninu
základu. Logaritmus je pak ta mocnina):
1. log2
4; 2. log3
1
9; 3. log5
1; 4. log2
√8 .
16 Může být 𝑎 𝑥
(při 𝑎 > 0) rovno nule? Může být dokonce záporné?
17 Pro jaká 𝑥 má smysl výraz 𝑎 𝑥
, je-li 𝑎 záporné? Dovedete říct, proč u mocninné funkce, kde 𝑥
může být úplně libovolné, raději 𝑎 ≤ 0 nedovolujeme?
18 Potřebujeme mnoho mocninných funkcí o nejrůznějších základech, nebo nám stačí jedna
jediná? A potřebujeme logaritmy o všech možných základech, nebo nám stačí jeden jediný?