1 Vypočtěte plochu „oka“ uzavřeného mezi parabolami 𝑦 = 𝑥2
a 𝑦 = √𝑥 .
2 Závaží o hmotnosti 𝑚 kmitá na pružině o tuhosti 𝑘 ve směru osy 𝑥. Kinetická energie je 1
2 𝑚𝑣2
,
potenciální je 1
2 𝑘𝑥2
.
1. Vysvětlete, proč 𝑣 = d𝑥
d𝑡 . Pak ukažte, že platí 𝑚 (d𝑥
d𝑡 )
2
+ 𝑘𝑥2
= 2𝛦 = const.
2. Vyjádřete z rovnice d𝑥
d𝑡 . Pak separujte proměnné a integrací zjistěte 𝑥(𝑡).
3. Co by se stalo, kdybychom přidali tíhovou sílu? Přidejte k potenciální energii ještě člen 𝑚𝑔𝑥.
3 Zjistěte plochu úseku paraboly 𝑎𝑥(𝑏 − 𝑥), který je nad osou 𝑥. Zapište výsledek pomocí jeho
„základny“ a „výšky“.
4 Vezmu parabolu 𝑦 = 𝑎 − 𝑎𝑥2
𝑏2 a rotací kolem osy 𝑦 vytvořím paraboloid. Jaký je objem tohoto
paraboloidu (pro 0 < 𝑥 < 𝑏)?
5 Mám homogenní tyčku o délce 𝐿 a hmotnosti 𝑚.
1. Kde je její těžiště? Nejdřív odpovězte intuitivně, pak ho spočítejte integrací.
2. Dám ji svisle do tíhového pole; jaká je její celková potenciální energie?
3. Zjistěte její moment setrvačnosti k ose kolmo procházející jedním koncem.
6 Válka mravenců. Kteréhosi dne v lese 𝑎 černých mravenců potkalo 𝑏 rezavých mravenců,
svých nejzarputilejších nepřátel. Obě skupiny se na sebe vrhnou a začnou se navzájem ničit. Každý mravenec
za čas d𝑡 zničí 𝛼 d𝑡 svých nepřátel.
1. Doplňte správně do následujících rovnic to, jak se za čas d𝑡 změní počet obou skupin mravenců:
d𝑎 = d𝑡; d𝑏 = d𝑡.
2. Dělte obě rovnice mezi sebou. Separujte proměnné.
3. Integrací ukažte, že během celé bitvy musí platit 𝑎2
− 𝑏2
= const. Z toho ukažte, že pokud černých
mravenců bylo více, přežije jich na konci bitvy √ 𝑎2 − 𝑏2 .
4. Řekněme, že obě skupiny bojují různě dobře: jeden černý mravenec za čas d𝑡 zničí 𝛼 d𝑡 rezavých,
jeden rezavý zas 𝛽 d𝑡 černých. Jak se změní řešení úlohy?