1 Nalezněte plochu následujících útvarů:
1. kusu paraboly 𝑎𝑥(𝑏 − 𝑥), který je nad osou 𝑥. Zapište výsledek pomocí jeho „základny“ a „výšky“;
2. elipsy o poloosách 𝑎 a 𝑏;
3.bramboroiduohraničenéhoshoragrafemfunkce 1
1+𝑥2 ,zestranpřímkami 𝑥 = ±1azdolaosou 𝑦 = 0.
2 Vypočtěte objemy a povrchy následujících těles:
1. katenoidu, který vznikne rotací křivky 𝑟 = 𝑎
2 (e 𝑧/𝑎
+ e−𝑧/𝑎
) pro −𝑏 < 𝑧 < 𝑏;
2. paraboloidu, který vznikne rotací paraboly 𝑧 = 𝑎 − 𝑎𝑟2
𝑏2 pro 0 < 𝑟 < 𝑏.
3 Co když chceme spočítat plochu omezenou nějakou křivkou zadanou v polárních souřadnicích
(tedy vzdáleností od počátku 𝑟 a úhlem 𝜑)? Podívejte se na obrázek níže. Jaká je plocha červeně
vybarveného trojúhelníčka? Integrací pak sečtěte všechny tyto trojúhelníčky a dostanete plochu.
4 Spočtěte plochu následujících útvarů:
1. Kardioidy zadané vztahem 𝑟 = 𝑎(1 + cos 𝜑). 2. Lemniskáty zadané vztahem 𝑟2
= 𝑎2
cos 2𝜑.
5 Mějme nějakou křivku danou parametricky 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡). Když posuneme parametr o d𝑡,
o kolik se změní 𝑥 a 𝑦? Podle toho spočítejte délku kousku křivky d𝑠, který při této změně vykreslíme.
Délku křivky pak zapište jako integrál z d𝑠.
6 Vypočtěte délku:
1. paraboly 𝑦 = 𝑥2
mezi body 𝑥 = −1 a 𝑥 = +1; 2. řetězovky 𝑦 = 𝑎 ch 𝑥
𝑎 mezi body 𝑥 = 0 a 𝑥 = 𝑏.
7 Co když by ta křivka byla zadaná v polárních souřadnicích? Tedy kdybychom místo 𝑥(𝑡) a 𝑦(𝑡)
měli zadáno 𝑟(𝑡) a 𝜑(𝑡)? Přepište element délky d𝑠 tak, aby v něm vystupovalo pouze 𝑟 a 𝜑. (Nápověda:
Mezi kartézskými a polárními souřadnicemi platí vztah 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑.)
8 Vypočtěte délku:
1. logaritmické spirály 𝑟 = e 𝑎𝜑
od jejího prostředku v 𝑟 = 0 až do bodu s 𝑟 = 1;
2. kardioidy 𝑟 = 𝑎(1 + cos 𝜑) (celá křivka se opíše, když 𝜑 projde od 0 do 2𝜋).