2 Závaží o hmotnosti 𝑚 kmitá na pružině o tuhosti 𝑘 ve směru osy 𝑥. Kinetická energie je 1
2 𝑚𝑣2
,
potenciální je 1
2 𝑘𝑥2
.
1. Vyjádřete 𝑣 pomocí d𝑥 a d𝑡. Pak ukažte, že platí 𝑚 (d𝑥
d𝑡 )
2
+ 𝑘𝑥2
= 2𝛦 = const.
2. Vyjádřete z rovnice d𝑥
d𝑡 . Pak separujte proměnné a integrací zjistěte 𝑥(𝑡).
3. Co by se stalo, kdybychom přidali tíhovou sílu? Přidejte k potenciální energii ještě člen 𝑚𝑔𝑥.
3 Připomeňte si, že určitý integrál vlastně sčítá plochy malinkých obdélníčků o výšce 𝑓(𝑥) a základně
d𝑥.
1. Vysvětlete, proč
1
∫
0
𝑥 d𝑥 = lim𝑛→∞
(
1
𝑛2 +
2
𝑛2 +
3
𝑛2 + ⋯ +
𝑛
𝑛2 ).
2. Podobným trikem spočtěte lim𝑛→∞
(
𝑛
𝑛2 + 12 +
𝑛
𝑛2 + 22 +
𝑛
𝑛2 + 32 + ⋯ +
𝑛
𝑛2 + 𝑛2 ).
3. Užijte navíc i „exp ln“ trik a spočtěte lim𝑛→∞
𝑛
√ 𝑛!
𝑛
.
4 Skok s padákem. Vyskočili jste z letadla a teď padáte. V okamžiku otevření padáku (𝑡 = 0)
jste padali rychlostí 𝑣0, Vaše hmotnost i s padákem je 𝛭. K zemi Vás táhne tíhová síla, proti ní účinkuje
odporová síla vzduchu ve tvaru 𝐹 = 1
2 𝐶𝑆𝜌𝑣2
, kde 𝐶 ≈ 1,2, 𝑆 je plocha padáku a 𝜌 hustota vzduchu.
1. Napište pohybovou rovnici tak, aby obsahovala kromě konstant jen 𝑣 a ̇𝑣.
2. Spočtěte mezní rychlost 𝑤 (tedy rychlost, při níž se obě síly vyrovnávají). Přepište pohybovou rovnici
tak, aby většina konstant zmizla a nahradila se mezní rychlostí 𝑤.
3. Separujte proměnné a integrací zjistěte závislost rychlosti na čase.
4. Jelikož je 𝑣 = d𝑥
d𝑡 , můžete výsledek integrovat ještě jednou a dostat závislost polohy na čase.
5 Přesvědčte se, že
𝑥
∫
0
d𝑡
1 + 𝑡2 = arc tg 𝑥 a
𝑥
∫
0
d𝑡
√1 − 𝑡2
= arc sin 𝑥. Pak pomocí binomického
rozvoje rozložte funkci pod integrálem v mocninnou řadu a integrujte člen po členu. Díky tomu
obdržíte Taylorovy rozvoje pro funkce arc tg 𝑥 a arc sin 𝑥.
6 Mějme elipsu o velké poloose 𝑎 a malé poloose 𝑏 = 𝑎(1 − 𝜖). Zapište integrálem délku elipsy.
Jelikož výsledný integrál nelze vůbec vyjádřit v elementárních funkcích (fakt, nesnažte se o to!), zkuste
si pomoci trikem: předpokládejte, že 𝜖 je velmi malé oproti jedné a rozviňte funkci pod integrálem
v mocninnou řadu v 𝜖. Ponechte si prvních pár členů (2–3). Integrujte a sledujte, jak první člen vydá
délku kružnice (𝜖 = 0) a další představují postupné malé opravy.
7 Definujme funkci Φ(𝑥) =
2
√𝜋
𝑥
∫
0
e−𝑡2
d𝑡. 1. Zjistěte její derivaci. 2. Vypočtěte Φ(0).
3. Dokažte, že jde o lichou funkci. 4. Pomocí per partes spočtěte integrál
𝑥
∫
0
Φ(𝑡) d𝑡. Vyjádřete ho
pouze pomocí elementárních funkcí a funkce Φ(𝑥).
8 Válka mravenců. Kteréhosi dne v lese 𝑎 černých mravenců potkalo 𝑏 rezavých mravenců,
svých nejzarputilejších nepřátel. Obě skupiny se na sebe vrhnou a začnou se navzájem ničit. Každý mravenec
za čas d𝑡 zničí 𝛼 d𝑡 svých nepřátel.
1. Doplňte správně do následujících rovnic to, jak se za čas d𝑡 změní počet obou skupin mravenců:
d𝑎 = d𝑡; d𝑏 = d𝑡.
2. Dělte obě rovnice mezi sebou. Separujte proměnné.
3. Integrací ukažte, že během celé bitvy musí platit 𝑎2
− 𝑏2
= const. Z toho ukažte, že pokud černých
mravenců bylo více, přežije jich na konci bitvy √ 𝑎2 − 𝑏2 .
4. Řekněme, že obě skupiny bojují různě dobře: jeden černý mravenec za čas d𝑡 zničí 𝛼 d𝑡 rezavých,
jeden rezavý zas 𝛽 d𝑡 černých. Jak se změní řešení úlohy?
9 1. Přesvědčte se, že
1
∫
0
𝑥 𝛼−1
d𝑥 = 1
𝛼. Pak vezměte následující řadu:
1 − 1
3 + 1
5 − 1
7 + 1
9 − 1
11 + ⋯
a zapište ji jako integrál od 0 do 1 z nějaké nekonečné mocninné řady v 𝑥. Řadu sečtěte a vyčíslete
integrál. Měli byste zjistit, že 1 − 1
3 + 1
5 − 1
7 + ⋯ = 𝜋
4.
2. Stejným způsobem zkuste vyčíslit 1
1 + 1
3 − 1
5 − 1
7 + ⋯ (ve jmenovatelích jsou vždy lichá čísla a pořád
se točí dva plusy a dva mínusy).