Počty s goniometrickými funkcemi
Užitím součtových vzorců a goniometrické jedničky dokažte následující rovnosti: i. sin4 x + cos4 x = i — \ sin2 2X;     2. sin x(i + tgx) + cos x(i + ctg x) = + sin 3X    cos 3X 1 — tg^f" — x)
sin x     cos x
= 2;
= sin 2X;     5. cos x — sin x = cos 2x(i — ^ sin2 2x);
1 + tg2(f + x)
.lir      \ . lit      \     ■              cosx + sinx t 6.4 sin a sin T — ^ sin T + ^ = sin 3^:     7.-:-= tg 2X + 77^:.
_ v í / v í / COS X — Sm ^ O LOS zx
Využijte vzorce pro součet „sin ± sin" a „cos ± cos" a dokažte následující rovnosti:
1. cos x + sin x = V^cos^ — f);     2. cos x — sin x = V^sin^ — |);
cos b + cos
-u-
cos b — cos a
a+b
ctg — ctg—; 4-^
sin ,2 + sin b    tg ——
sin a — sin b tcr
L& 2
^g
Pomocí vzorců pro poloviční úhel dokažte následující:
2. % ^ ^1^- *^        SÍTI 2^C , - -.2 / • •     j \2 2 ^2—h
— ;     2. (cos a + cos 0) + (sin a + sin 0) =4 cos ;
2     2 sin x + sin 2X 3. (cos a — cos fr)2 + (sin a — sin fr)2 = 4 sin
Řešte rovnice:
• 2 á—£
2 '
4. COS^ g + cos^ ^- + cos^ ^- + cos^ V = 2*
1.2sin2x + 7cosx = 5;     2. sin x + cos x = -=í;     3.2 sin x = vTtg*;     4. sin x + VT cos x = v^1;
5. COSX + COS 2X + COS 3X = O;      6. tg3 x + tg2 X = tgX + I.
Vlastnosti trojúhelníků
V této úloze zjistíme pár zajímavých vztahů pro trojúhelníky, s = a+^+c je zde polovina
;2,    2 2
_á!       2. Pomocí vzorců pro poloviční
zbc
cos f =J^atgf =
obvodu.     i. Z kosinové věty odvoďte, že platí cos a =
úhel ukažte, že platí sin § = ^/('~^~c) , — 2 - v   fo   -&2-| •
3. Pro plochu platí S = \bc sin a. Rozepište sin a = sm(i ■ f) pomocí vztahu pro dvojitý úhel, dosaďte podle předchozího bodu a obdržíte tíeronův vzorec S = yjs(s — a)(s — b)(s — c)'.
4. Vyjádřete součin cos f cos j cos \ pomocí vztahů z bodu 2 a po použití Heronova vzorce odvoďte následující zbytečný, ale pěkný vztah pro plochu trojúhelníka: S = a^^_c cos f cos § cos \ •
6    1. Ukažte, že výšku na stranu c lze spočítat takto: vc = bsina = asinfi. Napište podobné
výrazy pro vaa.vb. 2. Z rovnosti pro vc odvoďte, že a
sin
a sin/3
Z další podobné rovnosti odvoďte zbytek sinové věty.
3. Z rovnosti pro vc odvoďte, že a = ;^rga^ =       Díky tomu dokažte tangentovou větu      = tg
tg-
Pomocí kosinové věty odvoďte tento vztah pro délku těžnice na stranu c:tc = a +-^c —accosfi.
Pomocí další kosinové věty pro celý trojúhelník se pak zbavte členu s kosinem a zjistěte, že platí tc = = ^2a2 + 2b2 — c2atd.