1
sin𝜑
cos 𝜑
tg𝜑
𝜑
1 Funkcesin a cos definujeme obrázkem jednotkové kružnice. Úhel 𝜑 se
počítá od kladné vodorovné poloosy proti směru hodin. Z obrázku vykoukejte
následující:
1. Čemu se rovná sin2
𝜑 + cos2
𝜑? Záleží to nějak na 𝜑?
2. Proč jsou funkce sin a cos periodické po 2𝜋? Tedy: proč sin(𝜑 + 2𝜋) = sin 𝜑
a cos(𝜑 + 2𝜋) = cos 𝜑?
3. Nakreslete podobný obrázek pro úhly 3𝜋/4 a −2𝜋/3. Jaká budou znaménka
sinu a kosinu v těchto úhlech?
4. Co se stane se sinem, když úhel zvýšíme (nebo snížíme) o 𝜋? A co s kosinem?
5. Pro jaké úhly jsou tyto funkce definované? Jakých všech možných hodnot mohou nabývat, když do
nich dosazujeme všechny možné úhly?
2 Definujeme též funkci tangens: tg 𝑥 = sin 𝑥
cos 𝑥, a kotangens: ctg 𝑥 = cos 𝑥
sin 𝑥. Vysvětlete, proč se
délka vyznačená v obrázku jako tg 𝜑 opravdu rovná tangentě úhlů 𝜑 podle této definice. (Zkuste použít
podobnost trojúhelníků.)
3 Mají tangens a kotangens vždy smysl, nebo někdy nejsou definované? Jakých všech hodnot
mohou nabývat? A jak je to s jejich periodicitou?
4 Jaké jsou hodnoty funkcí sin, cos, tg a ctg pro úhly 0, 𝜋/2, 𝜋 a 3𝜋/2? Snadno to vykoukáte
z obrázku s jednotkovou kružnicí.
5 Nakreslete si čtverec o straně 1 a rozdělte ho jednou úhlopříčkou na dva trojúhelníky. Jaká je
délka té úhlopříčky? Vypočtěte pomocí ní sin, cos, tg a ctg úhlu 𝜋/4. (Může se Vám hodit vzít jeden ten
trojúhelník, trochu ho zmenšit, aby měl přeponu 1, a nějak ho napasovat do obrázku s kružnicí.)
6 Nakreslete si rovnostranný trojúhelník o straně 1 a jednou výškou ho rozdělte na dva trojúhelníky.
Jaká je délka té výšky? Vypočtěte pomocí ní hodnoty funkcí sin, cos, tg a ctg pro úhly 𝜋
6 a 𝜋
3 .
7 Přesvědčte se o tom, že 1
cos2 𝑥 = 1 + tg2
𝑥. Uměli byste vyjádřit i sin2
𝑥 jen pomocí tangent 𝑥?
A jak by to všechno vypadalo, kdybyste měli místo tangent použít kotangenty?
8 Vyšli jste ráno z domu pod asimutem 60° (to je úhel mezi směrem Vaší chůze a směrem k severu
měřený po směru hodin, tedy „opačně“). Šli jste rovnou za nosem jeden kilometr; pak jste se otočili
přímo směrem na sever a pokračovali půl kilometru. Nakonec jste se otočili o 135° doleva a šli jste zase
přímým směrem dva kilometry. Jak daleko od domu budete? A pod jakým asimutem máte dům hledat?
(Zkuste si nakreslit obrázek. Udělejte prosím výpočet na papíře, ale nakonec klidně zadejte Vaše
výsledky do kalkulačky, ať máte číselnou představu.)
9 Pomocí obrázku vpravo zjistěte, jak se dá vyjádřit sin(𝛼 + 𝛽)
a cos(𝛼 + 𝛽) pouze pomocí sin 𝛼, cos 𝛼, sin 𝛽 a cos 𝛽. Pokud nevíte, jak
začít, zkuste nejdřív doplnit všechny úhly, pak postupně doplňujte strany
(začněte v tom trojúhelníku, kde je strana o délce 1) a pak zjistěte, jaké
délky na obrázku jsou rovny sin(𝛼 + 𝛽) a cos(𝛼 + 𝛽).
10 Použijte předchozí vzorce na vyjádření sin 2𝑥 a cos 2𝑥.
11 Ze cvičení 1 víte, kolik je cos2 𝑥
2 + sin2 𝑥
2, a z předchozího zase
znáte cos2 𝑥
2 − sin2 𝑥
2. Sečtením a odečtením zkuste vyjádřit cos2 𝑥
2 a sin2 𝑥
2 pomocí sinů a kosinů 𝑥.
Dostanete takzvané vzorce pro poloviční argument. Zkuste taky spočítat tg2 𝑥
2 a ctg2 𝑥
2.
12 Když už znáte vztahy pro sin(𝑥 + 𝑦) a cos(𝑥 + 𝑦), dokázali byste z nich spočítat i tg(𝑥 + 𝑦)?
Vyjádřete ho jen pomocí tg 𝑥 a tg 𝑦.
13 Nakonec si zkuste odvodit i vzorce pro součet sinů a kosinů. Napište si pod sebe sin(𝑥 + 𝑦)
a sin(𝑥 − 𝑦), sečtěte a odečtěte. Pak udělejte totéž i s kosiny. Z výsledků byste měli už snadno vykoumat,
čemu se rovnají součty sin 𝑎 ± sin 𝑏 a cos 𝑎 ± cos 𝑏 a rovněž součiny sin 𝑎 sin 𝑏, cos 𝑎 cos 𝑏, sin 𝑎 cos 𝑏.