1 Vypočtěte si těchto pár součinů (𝑥 a 𝑦 jsou reálná čísla):
1. (1 − 3𝔦) ⋅ (−2 + 3𝔦), 2. (−4 + 𝔦) ⋅ (−1 + 2𝔦), 3. 𝔦(𝑥 + 𝔦𝑦), 4. 2(𝑥 + 𝔦𝑦), 5. (5 + 3𝔦)(4 − 3𝔦).
2 Dokažte nebo vyvraťte následující vztahy:
1. 𝕽𝖊(𝑧 + 𝑤) = 𝕽𝖊 𝑧 + 𝕽𝖊 𝑤; 2. 𝕽𝖊(𝑧𝑤) = 𝕽𝖊(𝑧) ⋅ 𝕽𝖊(𝑤); 3. 𝕽𝖊 𝑧
𝑤 = 𝕽𝖊 𝑧
𝕽𝖊 𝑤
.
Změní se něco, když místo 𝕽𝖊 budeme psát 𝕴𝖒?
3 Komplexní čísla se často kreslí do roviny: číslo 𝑥 + 𝔦𝑦 se
prostě nakreslí jako bod [𝑥; 𝑦] v kartézských souřadnicích tak, jak
je to na obrázku vpravo. Kde na tomto obrázku najdete |𝑧| a arg 𝑧?
Nakreslete je tam.
4 Odvoďte pro velikost a argument čísla 𝑧 = 𝑥 + 𝔦𝑦 tyto
vztahy: 1. |𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2 ; 2. tg arg 𝑧 =
𝑦
𝑥.
Nepovinně můžete odvodit i tyto: 3. cos arg 𝑧 = 𝑥
|𝑧|; 4. sin arg 𝑧 =
𝑦
|𝑧|.
5 Kolik je |e𝔦𝜑
| pro jakékoli reálné 𝜑? Jaký útvar vykreslí e𝔦𝜑
, když spojitě zvyšuju 𝜑 od 0 do 2𝜋?
6 Jestli se má e𝔦𝜑
chovat jako opravdová exponenciála, tak musí splňovat základní podmínku:
e𝔦𝜑
⋅ e𝔦𝜓
= e𝔦(𝜑+𝜓)
.
Ověřte to dosazením e𝔦𝜑
= cos 𝜑 + 𝔦 sin 𝜑 atd. za všechny exponenciály. Pak roznásobte závorky a použijte
součtové vzorce.
7 Jen s pomocí základní podmínky e𝔦𝜑
⋅ e𝔦𝜓
= e𝔦(𝜑+𝜓)
ukažte, že platí také:
1. e𝔦𝜑
⋅e−𝔦𝜑
= 1, z čehož vyplývá e−𝔦𝜑
= 1
e𝔦𝜑 ; 2. (e𝔦𝜑
) 𝑛
= e𝔦𝑛𝜑
, kde 𝑛 je přirozené; 3. e𝔦𝜑
e𝔦𝜓 = e𝔦(𝜑−𝜓)
.
8 Čemu se rovná výraz e2𝜋𝔦
? A čemu e2𝑘𝜋𝔦
, kde 𝑘 je jakékoli celé číslo? Umíte z toho vyvodit, že
exponenciála e 𝑧
je funkce s periodou 2𝜋𝔦?
9 Jestliže jste zvládli všechna tato cvičení, můžete si velmi snadno odvodit jakýkoli goniometrický
vzorec. Předvedu to na příkladě: jistě třeba platí e2𝔦𝜑
= (e𝔦𝜑
)2
. Dosadíme e𝔦𝑥
= cos 𝑥 + 𝔦 sin 𝑥
a máme
cos 2𝜑 + 𝔦 sin 2𝜑 = (cos 𝜑 + 𝔦 sin 𝜑)2
= cos2
𝜑 − sin2
𝜑 + 2𝔦 cos 𝜑 sin 𝜑.
Kdyžporovnátereálnéaimaginárníčásti,dostanetevztahyprocos 2𝜑asin 2𝜑.Zkustesipodobněrychle
odvodit vztahy pro: 1. cos 3𝜑 a sin 3𝜑 (použijte e3𝔦𝜑
= (e𝔦𝜑
)3
); 2. cos(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) a sin(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
(použijte e𝔦(𝑎+𝑏−𝑐)
= e𝔦𝑎
⋅ e𝔦𝑏
⋅ e−𝔦𝑐
); 3. sin(𝑎 − 2𝑏) a cos(𝑎 − 2𝑏) (tady na to přijdete sami, ne?).
10 Ukažte, že (𝑟e𝔦𝜑
)⋆
= 𝑟e−𝔦𝜑
: tedy komplexní sdružení nechává velikost být a u argumentu
změní znamení.
11 Dokažte nebo vyvraťte následující vztahy: (Půjde to snáz, když 𝑧 a 𝑤 zapíšete v polárním tvaru.)
1. (𝑧 + 𝑤)⋆
= 𝑧⋆
+ 𝑤⋆
; 2. (𝑧𝑤)⋆
= 𝑧⋆
+ 𝑤⋆
; 3. ( 𝑧
𝑤)
⋆
= 𝑧⋆
𝑤⋆ ; 4. (𝑧 𝑛
)⋆
= (𝑧⋆
) 𝑛
.
12 Už víme, že když 𝑧 = 𝑥 + 𝔦𝑦, tak 𝑧⋆
= 𝑥 − 𝔦𝑦. Odvoďte z toho vztahy
𝕽𝖊 𝑧 =
𝑧 + 𝑧⋆
2
, 𝕴𝖒 𝑧 =
𝑧 − 𝑧⋆
2𝔦
.
Pak položte 𝑧 = e𝔦𝜑
. Měli byste dostat takzvané Eulerovy vztahy:
cos 𝜑 =
e𝔦𝜑
+ e−𝔦𝜑
2
; sin 𝜑 =
e𝔦𝜑
− e−𝔦𝜑
2𝔦
.