Názorné derivování aneb jedeme autem
1 Jedeme autem po dálnici. Naši polohu 𝑥 určíme pomocí kilometru dálnice, kde právě jsme.
Právě jedeme rychlostí 𝑣 = 100 km/h a jsme v poloze 𝑥 = 75 km. Pomocí diferenciálu odpovězte na
následující otázky:
1. Kde (na kolikátém kilometru) budeme za dvě minuty? A kde jsme byli před minutou?
2. Delší dobu už máme pořád sešlápnutý plyn a díky tomu zrychlujeme. Derivace rychlosti podle času
je 𝑎 = 10 km h−1
min−1
. Jak rychle pojedeme za dvě minuty? A jak rychle jsme jeli před minutou?
3. Spotřeba bensinu je momentálně 𝑆 = 7 l/100 km. Také známe její derivaci podle rychlosti: d𝑆
d𝑣 =
= 0,1l/100 km
km/h . Jak velkou okamžitou spotřebu budeme mít za dvě minuty? A jak velká byla před minu-
tou?
4. Bensin stojí 40 Kč za litr. Určete rychlost utrácení peněz za bensin (Kč na 100 km a pak i Kč na hodinu)
za dvě minuty a před minutou.
5. Řekněme, že máme velkou rodinu, a proto jedou dvě auta. V jednom je bensin za 40 Kč za litr, v druhém
je levnější, který stál jen 30 Kč na litr. Určete rychlost utrácení peněz za bensin pro celou rodinu
za dvě minuty a před minutou.
6. Dítě v autě sleduje ukazatele kilometrů na dálnici i rychlost auta najednou. Jaká bude rychlost, až
auto ujede další kilometr? A jaká byla před dvěma kilometry? Určete fysikální rozměr (tj. jednotku) této
derivace. Dává Vám to smysl?
7.Cokdybysedítězaměřilospíšnatachometr?Najakémkilometrubudeme,ažbuderychlost112 km/h?
A na kterém jsme byli při 94 km/h? Jaké jsou jednotky teď?
8. Starší bratr tohoto dítěte se zajímá o fysiku, a tak ho zajímá kinetická energie auta 𝛦 = 1
2 𝑚𝑣2
. O kolik
procent bude vyšší oproti současné hodnotě, až budeme na 77. kilometru? A o kolik procent nižší
byla na 74.?
2 Přibližně vypočtěte pomocí diferenciálu:
1. √15 a √17 , víte-li, že derivace funkce √𝑥 v bodě 16 je rovna 1
8.
2. sin
4𝜋
18 a sin 5𝜋
18 , víte-li, že derivace funkce sin 𝑥 v bodě 𝜋
4 je rovna 1
√2 .
Zkuste si výsledky ověřit na kalkulačce
Obecná pravidla pro derivování
3 Ukažte, že derivace konstantní funkce je vždy 0.
4 Ukažte, že derivace je lineární. Tedy že pokud 𝛼 a 𝛽 jsou konstanty, platí d[𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)] =
= 𝛼d𝑓(𝑥) + 𝛽d𝑔(𝑥).
5 Řekněme, že máme funkci 𝑓(𝑢); její diferenciál je d𝑓 = 𝑓′
(𝑢) d𝑢. A teď si představme, že 𝑢 je
ještě funkcí 𝑥. Napište, jak bude vypadat diferenciál d𝑢. Pak ho dosaďte do prvního vztahu a zjistěte,
čemu se rovná
d𝑓
d𝑥. Výslednému vztahu se říká řetězové pravidlo.
6 Mějme funkce 𝑓(𝑥) a 𝑔(𝑥). Napište jejich diferenciály. Pak zjistěte, jak zapsat d(𝑓𝑔), tj. diferenciál
součinu. Výslednému vztahu se někdy říká Leibnizovo pravidlo.
7 Nakonecsidokážemetzv.větu o inversní funkci.Mějmenějakoufunkci 𝑓(𝑥)aoznačme 𝑓−1
(𝑥)
funkci k ní inversní. Pak určitě platí 𝑓−1
(𝑓(𝑥)) = 𝑥. Derivujte obě strany této rovnosti, vlevo využijte
řetězové pravidlo a vyjádřete derivaci inversní funkce (𝑓−1
)′
(𝑥).