1 Ukažte, že platí:
1. (𝑥)′
= 1; 2. (𝑥2
)′
= 2𝑥; 3. (𝑥3
)′
= 3𝑥2
;
4. Indukcí ukažte, že (𝑥 𝑛
)′
= 𝑛𝑥 𝑛−1
pro 𝑛 ≥ 1 přirozené. Nápověda: Používejte pořád dokola pravidlo
součinu.
2 Ve skutečnosti ovšem vztah (𝑥 𝛼
) = 𝛼𝑥 𝛼−1
platí pro jakékoli reálné 𝛼. S pomocí tohoto vztahu
derivujte: 1. 1
𝑥; 2. √𝑥 ; 3. 1
3√ 𝑥2
.
3 Na tabuli jsme ukázali, že sin(d𝑥) = d𝑥. Na základě toho zjistěte:
1. derivaci sinu v nule; 2. derivaci kosinu v nule (nápověda: cos 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥
2).
Pak použijte součtové vzorce a zjistěte derivaci funkcí sin 𝑥 a cos 𝑥.
4 Derivujte tg 𝑥 jako součin sin 𝑥 ⋅ 1
cos 𝑥. Na druhý činitel použijte řetězové pravidlo. Ukažte, že
výsledek lze zapsat buď ve tvaru 1
cos2 𝑥, nebo ve tvaru 1 + tg2
𝑥.
5 Pomocí věty o inversní funkci a předchozích dvou úloh derivujte funkce:
1. arc sin 𝑥; 2. arc cos 𝑥; 3. arc tg 𝑥.
6 Z přednášky znáte slavnou limitu lim𝑢→∞
(1 + 1
𝑢)
𝑢
= e. Dosazením 1/𝑢 = d𝑥 a logaritmováním
zjistěte, že ln(1 + d𝑥) = d𝑥. Z toho zjistěte derivaci ln 𝑥 a pomocí věty o inversní funkci i derivaci e 𝑥
.
1 Ukažte, že platí:
1. (𝑥)′
= 1; 2. (𝑥2
)′
= 2𝑥; 3. (𝑥3
)′
= 3𝑥2
;
4. Indukcí ukažte, že (𝑥 𝑛
)′
= 𝑛𝑥 𝑛−1
pro 𝑛 ≥ 1 přirozené. Nápověda: Používejte pořád dokola pravidlo
součinu.
2 Ve skutečnosti ovšem vztah (𝑥 𝛼
) = 𝛼𝑥 𝛼−1
platí pro jakékoli reálné 𝛼. S pomocí tohoto vztahu
derivujte: 1. 1
𝑥; 2. √𝑥 ; 3. 1
3√ 𝑥2
.
3 Na tabuli jsme ukázali, že sin(d𝑥) = d𝑥. Na základě toho zjistěte:
1. derivaci sinu v nule; 2. derivaci kosinu v nule (nápověda: cos 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥
2).
Pak použijte součtové vzorce a zjistěte derivaci funkcí sin 𝑥 a cos 𝑥.
4 Derivujte tg 𝑥 jako součin sin 𝑥 ⋅ 1
cos 𝑥. Na druhý činitel použijte řetězové pravidlo. Ukažte, že
výsledek lze zapsat buď ve tvaru 1
cos2 𝑥, nebo ve tvaru 1 + tg2
𝑥.
5 Pomocí věty o inversní funkci a předchozích dvou úloh derivujte funkce:
1. arc sin 𝑥; 2. arc cos 𝑥; 3. arc tg 𝑥.
6 Z přednášky znáte slavnou limitu lim𝑢→∞
(1 + 1
𝑢)
𝑢
= e. Dosazením 1/𝑢 = d𝑥 a logaritmováním
zjistěte, že ln(1 + d𝑥) = d𝑥. Z toho zjistěte derivaci ln 𝑥 a pomocí věty o inversní funkci i derivaci e 𝑥
.