1 Vypočtěte derivace následujících funkcí — měla by Vám stačit pravidla o derivaci součtu a součinu.
𝑎 a 𝑏 jsou reálné konstanty.
1.
1
𝑥
+
2
𝑥2 +
3
𝑥3 ; 2. (𝑥− 𝑎)(𝑥− 𝑏); 3.
𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥
2
; 4. 𝑥2√ 𝑥 − 𝑥
3
√ 𝑥2 ; 5. (1−√ 𝑥 )(1+ 𝑥);
6. −
𝑥
2
+
1 + 𝑥2
2
arc tg 𝑥; 7. (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)2
(𝑥 + 3)3
; 8. 𝑥2
e 𝑥
sin 𝑥;
2 Už víme, že (1
𝑥)′
= − 1
𝑥2 :
1. Pomocí řetězového pravidla spočtěte ( 1
𝑔(𝑥)
)
′
, kde 𝑔(𝑥) je libovolná funkce.
2. Spočtěte též (
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
. (Derivujte jako součin 𝑓(𝑥) ⋅ 1
𝑔(𝑥)
.)
3 Pomocí pravidla z minulého bodu derivujte následující funkce:
1. tg 𝑥; 2.
𝑥2
− 1
𝑥2 + 1
; 3.
𝑥 ln 𝑥
1 + ln 𝑥
; 4.
3
√1 + 𝑥
1 − 𝑥
; 5.
(1 − 𝑥) 𝑎
(1 + 𝑥) 𝑏
.
4 Pomocí věty o inversní funkci nalezněte derivace následujících funkcí:
1. √𝑥 ; 2. arc tg 𝑥 (nápověda: dokažte 1
cos2 𝑥 = 1 + tg2
𝑥); 3. 𝑊(𝑥), což je funkce inversní k 𝑥e 𝑥
.
5 Na tyto příklady už bude potřeba i řetězové pravidlo (derivace složené funkce):
1. ln cos 𝑥; 2. 2𝑥 − (1− 𝑥2
) ln
1 + 𝑥
1 − 𝑥
; 3. ln(ln(ln 𝑥)); 4.
𝑥2
4
−
𝑥
4
sin 2𝑥−
cos 2𝑥
8
; 5.
cos 𝑥
2 sin2
𝑥
;
6. tg4
𝑥 − 2 tg2
𝑥 − 4 ln cos 𝑥; 7. arc ctg√1 − 𝑥2 ; 8. 𝑥(arc sin 𝑥)2
+ 2√1 − 𝑥2 arc sin 𝑥 − 2𝑥;
9. esin 𝑥+cos 𝑥
; 10. 2tg 𝑥
; 11. e√𝑥
(√ 𝑥 − 1); 12. 𝑥(𝑎 𝑎
)
+ 𝑎(𝑥 𝑎
)
+ 𝑎(𝑎 𝑥
)
.
6 Zkuste také tyto ještě zákeřnější příklady:
1. e 𝑎𝑥 𝑎 sin 𝑏𝑥 − 𝑏 cos 𝑏𝑥
𝑎2 + 𝑏2 ; 2.
arc sin 𝑥
√1 − 𝑥2
+
1
2
ln
1 − 𝑥
1 + 𝑥
; 3.
1
2√ 𝑎𝑏
ln
√𝑎 + 𝑥√ 𝑏
√𝑎 − 𝑥√ 𝑏
;
4.
2
√ 𝑎2 − 𝑏2
arc tg (√ 𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏
tg
𝑥
2
); 5.
𝑥
2
√ 𝑥2 + 𝑎2 +
𝑎2
2
ln (𝑥 + √ 𝑥2 + 𝑎2 );
6.
arc cos 𝑥
𝑥
+
1
2
ln
1 − √1 − 𝑥2
1 + √1 − 𝑥2
; 7.
1
4√2
ln
𝑥2
+ 𝑥√2 + 1
𝑥2 − 𝑥√2 + 1
−
1
2√2
arc tg
𝑥√2
𝑥2 − 1
.
7 Někdy je zapotřebí funkci před derivováním trochu přepsat. V následujících příkladech se to
týká mocnin:
1. 𝑥 𝑥
. Tady přepište 𝑥 𝑥
= e 𝑥 ln 𝑥
a pak derivujte; 2. 𝑥(𝑥 𝑥
)
; 3. (sin 𝑥)cos 𝑥
; 4. (ln 𝑥)tg 𝑥
.
8 Samozřejmě můžeme derivovat i výrazy obsahující libovolnou funkci. Řekněme, že 𝑦 je nějaká
funkce 𝑥; pak můžeme například podle řetězového pravidla psát (𝑦2
)′
= 2𝑦⋅𝑦′
(𝑦2
se derivuje na 2𝑦 a 𝑦(𝑥)
je vnitřní funkce, která se derivuje na 𝑦′
). Podobně derivujte i následující výrazy:
1. 𝑥2
⋅ 𝑦; 2. 𝑦 sin 𝑦; 3. e 𝑦
/𝑦; 4. 𝑦3
+ 𝑦2
+ 𝑦.