1 Můžeme vyčíslovat i limity, kde 𝑥 jde k nějakému jinému číslu než nule či nekonečnu. Prostě
stačí vhodně 𝑥 nahradit jinou proměnnou tak, aby ta jiná proměnná šla už do nuly. Vyzkoušejte si to
na následujících příkladech:
1. lim𝑥→4
√2𝑥 + 1 − 3
√𝑥 − 2
; 2. lim𝑥→𝑎
ln 𝑥 − ln 𝑎
𝑥 − 𝑎
; 3. lim𝑥→𝑎
√𝑥 − √𝑎 + √𝑥 − 𝑎
√ 𝑥2 − 𝑎2
; 4. lim𝑥→1
(
𝑚
1 − 𝑥 𝑚 −
𝑛
1 − 𝑥 𝑛 ).
2 Rozložte v nekonečnou řadu kolem 𝑥 = 0 následující funkce:
1.
1
2 − 𝑥 − 𝑥2 ; 2.
1
1 − 𝑥2 ; 3.
1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)2 ; 4.
1
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
.
Komplexní Taylor
3 Napište řadu pro e𝔦𝑥
(zde 𝔦2
= −1 je imaginární jednotka). Oddělte reálnou a imaginární část.
Přesvědčte se, že reálnou část tvoří řada pro cos 𝑥 a imaginární zas řada pro sin 𝑥. Tím dokažte vzorec
e𝔦𝑥
= cos 𝑥 + 𝔦 sin 𝑥.
4 V rozvoji 1
1−𝑧 položte 𝑧 = 𝑎e𝔦𝜑
. Oddělte reálnou a imaginární část. Tím zjistěte rozvoj:
1.
1 − 𝑎 cos 𝜑
1 − 2𝑎 cos 𝜑 + 𝑎2 v nekonečnou řadu kosinů; 2.
𝑎 sin 𝜑
1 − 2𝑎 cos 𝜑 + 𝑎2 v nekonečnou řadu sinů.
Takovým řadám z kosinů a sinů násobků úhlu 𝜑 se říká Fourierovy řady.
5 Každé komplexní číslo 𝑧 můžeme zapsat ve tvaru 𝑧 = 𝑟e𝔦𝜑
, kde 𝑟 = |𝑧| je velikost a 𝜑 = arg 𝑧
je argument čísla 𝑧. Logaritmujte tento výraz a vysvětlete, proč platí ln 𝑧 = ln |𝑧| + 𝔦 arg 𝑧.
6 Nakreslete si do komplexní roviny číslo 1 + 𝔦𝑡, kde 𝑡 je reálné, a ukažte, že jeho argument je
roven arc tg 𝑡. Z toho odvoďte, že
arc tg 𝑡 = arg(1 + 𝔦𝑡) = 𝕴𝖒 ln(1 + 𝔦𝑡).
Rozviňte logaritmus v nekonečnou řadu a vemte imaginární část. Obdržíte rozvoj pro arc tg 𝑡.
7 Do rozvoje 𝑧+ 𝑧2
+⋯+ 𝑧 𝑘
=
∞
∑
𝑛=𝑘
𝑧 𝑛
= 𝑧−𝑧 𝑘+1
1−𝑧 dosaďte 𝑧 = e𝔦𝜑
. Oddělte reálnou a imaginární
část. Obdržíte tak výrazy pro součty sin 𝜑 + sin 2𝜑 + ⋯ + sin 𝑘𝜑 a podobně i s kosiny.
8 1. Ověřte, že platí 1 + e𝔦𝜑
= e𝔦𝜑/2
(e𝔦𝜑/2
+ e−𝔦𝜑/2
) = e𝔦𝜑/2
⋅ 2 cos
𝜑
2 .
2. Ukažte, že při −𝜋 < 𝜑 < 𝜋 platí arg(1 + e𝔦𝜑
) =
𝜑
2 .
3. Napište rozvoj ln(1 + e𝔦𝜑
) v nekonečnou řadu. Vzavše imaginární část, dokažte
𝜑
2
= sin 𝜑 −
sin 2𝜑
2
+
sin 3𝜑
3
− ⋯ (−𝜋 < 𝜑 < 𝜋).
To je rozklad „zubu“ (periodické funkce, která vypadá jako zuby pily) ve Fourierovu řadu.
4. Zopakujte totéž pro výraz 1 − e𝔦𝜑
. Rozložte 1
2 ln 1+e𝔦𝜑
1−e𝔦𝜑 a vezměte imaginární část. Tím zjistěte, že
platí
4
𝜋
[sin 𝜑 +
sin 3𝜑
3
+
sin 5𝜑
5
+ ⋯] = 1 (0 < 𝜑 < 𝜋).
Pokud se podíváme, jak se to bude chovat v záporných úhlech, zjistíme, že vpravo je funkce lichá. Dostali
jsme tedy Fourierovu řadu „schodu“ sgn 𝜑, který se periodicky po 2𝜋 opakuje.