Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 17. listopadu 2023.
10   Goniometrické funkce
Cvičení konaná 20. a 21. 11. 2023.
Příklad 10.1:   Odvoďte základní vztahy:
1. sin2 x + cos2 x = 1,
2. sin(—x) = — sinx,   cos(—x) = cosx,   tg(—x) = — tgx,
3. sin(x + 27r) = sinx,   cos(x + 27r) = cosx,   tg(x + 7r) = tgx,
4. sinx = sin(7r — x) = — sm(ir + x) = — sin(27r — x),
5. COS X = — COs(7T — x) = — COs(7T + x) = COs(27T — x),     tg X = — tg(lT — x).
6. cosrr = sin(x + f) = sin(| — x),   sinx = cos(| — x).
Příklad 10.2*: Předpokládejme, že platí elx = cosx + isinx, kde x je libovolné reálné číslo. Dále předpokládejme, že pro umocňování reálného čísla e na komplexní čísla platí obvyklé vlastnosti pro umocňování. Odvoďte součtové vzorce
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin       cos(x + y) = cos rr cos y — sin rr sin y .
Součtových vzorců využijte k odvození vzorců (e) a (f) z předchozího příkladu.
Příklad 10.3:   Odvoďte dále vztahy:
1. sin2x = 2 sinx cosx,   cos 2x = cos2 x — sin2 x,
2. sin x + sin y = 2 sin      cos     ?   cos ^ + cos V = 2 cos      cos ?
3. sinx — siny = 2 sin      cos     ,   cosx — cosy = —2 sin sin
Nápověda: V částech 2. a 3. napište x = a + (3 a y = a — (3 a použijte součtové vzorce.
Příklad 10.4: Za předpokladu, že výrazy dávají smysl, dokažte následující rovnosti. Popište, pro které hodnoty tyto rovnosti platí.
1. tg(x + y) = **+t?v ,
toV <* 1        l+tg a: tg í/'
3. tga;-tg(! +rr) = -1.
Nápověda: 1) Ve vztahu tg(x + y) = ^.^.^ použijte součtové vzorce pro ún(x + y) a cos(x + y). 2) Ve vztahu tg(x — y) = ^"(a-^) Pou^fle součtové vzorce pro s'm(x — y) a cos(x — y). 3) Ve
výrazu tg (| + x) = ^"1 í^l použijte vzorce pro sin{^ + x) a cos(| + x)
Příklad 10.5:   Odvoďte následující vztahy (a promyslete, pro které hodnoty x G IR platí):
1 2tgf
2. cos x
3. tg x =
-    -o 2
Nápověda: Ve všech případech na pravé straně použijte tg | = a následné upravte složený zlomek.
l+tg2	2
1-tg2	x 2
" l+tg2	X 2
2tgf