Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 22. listopadu 2023.
11   Oprava 2. písemky, goniometrické funkce
Cvičení konaná 27. a 28. 11. 2023.
Příklad 11.1:   Odvoďte základní vztahy:
1. sin2 x + cos2 x = 1,
2. sin(—x) = — sinx,   cos(—x) = cosx,   tg(—x) = — tgx,
3. sin(x + 27r) = sinx,   cos(x + 27r) = cosx,   tg(x + 7r) = tgx,
4. sinx = sin(7r — x) = — sin(7r + x) = — sin(27r — x),
5. COS X = — COs(7T — x) = — COs(7T + x) = COs(27T — x),     tg X = — tg(7T — x).
6. cosx = sin(x + f) = sin(| — x),   sinx = cos(| — x).
Příklad 11.2*: Předpokládejme, že platí e%x = cosx + i sinx, kde x je libovolné reálné číslo. Dále předpokládejme, že pro umocňování reálného čísla e na komplexní čísla platí obvyklé vlastnosti pro umocňování. Odvoďte součtové vzorce
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,    cos(x + y) = cos x cos y — sin x sin y .
Součtových vzorců využijte k odvození vzorců (e) a (f) z předchozího příkladu.
Příklad 11.3:   Odvoďte dále vztahy:
1. sin2x = 2 sinx cosx,   cos 2x = cos2 x — sin2 x,
2. sin x + sin y = 2 sin      cos     ?   cos ^ + cos V = 2 cos      cos ?
3. sinx — siny = 2 sin      cos     ,   cosx — cosy = —2 sin sin
Nápověda: V částech 2. a 3. napište x = a + (3 a y = a — (3 a použijte součtové vzorce.
Příklad 11.4: Za předpokladu, že výrazy dávají smysl, dokažte následující rovnosti. Popište, pro které hodnoty tyto rovnosti platí.
z. igix     í/; — 1+tgxtgy,
3. tga;-tg(| + x) = -1.
Nápověda: 1) Ve vztahu tg(x + y) = použijte součtové vzorce pro ú\\(x + y) a cos(x-\-y).
2) Ve vztahu tg{x — y) = ^^1^ použijte součtové vzorce pro sin(x — y) a cos(x — y). 3) Ve
x)
cos(^+x)
výrazu tg (| + x) = ^(1+^) použijte vzorce pro sin(^ + x) a cos(| + x).
Příklad 11.5:   Odvoďte následující vztahy (a promyslete, pro které hodnoty i 6l platí):
i    •     _  2 tg f
1.  SIM — 1+tg2 x ,
o l-tg2 f
2. cos x =    ^ r.
3. tgx
i+tg2 f'
2 tg f
Nápověda: Ve všech případech na pravé straně použijte tg f = -^f- a následně upravte složený zlomek.
Příklad 11.6:    a) Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokažte:
4 cotg 2x
sin 2x to
cotg2:r — tg2x
b) Určete, pro která reálná čísla x mají výrazy smysl.
Příklad 11.7:   Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokažte:
1. sina+COSI = 1 + tg x + tg2 x + tg3 x,
cosa x '       O '      O O 7
2. ±±Š£2x =t  (ZE +rr)
cos 2x o v 4   1     / ?
o    tg 3a _        3—tg2 x
tgx   ~ 1-3 tg'2 z'
^    1—cos 2x+suí2x _       tsi X
1+cos 2z+sin 2x        ° '
5. cos6 a: — sin6 x = i (3 + cos2 2a:) cos 2rr,
6. sinrr cos(í/ — x) + cosrr sin(í/ — x) = siny.
Nápověda: 1) Na pravé straně použijte tgx = upravte na společný jmenovatel a použijte
vztah sin2x + cos2x = 1.2) Použijte součtový vzorec pro tg(x + |); upravte složený zlomek a pak porovnejte s levou stranou. 3) Použijte součtový vzorec pro tg(3rr) = tg(rr + 2x), pak znova pro tg(2rr) = tg(x + x) a upravte složený zlomek. 4) Použijte vzorce pro sin(2x) a cos(2x) a také sin2 x + cos2 x = 1; výsledný zlomek pak zjednodušte. 5) Použijte vztah a6 — b6 = (a2 — b2)(a2 + ab + 62)(a2 — ab + b2). Přitom zde a2 + b2 = 1 a 1 — a2b2 = 1 — | sin2 2x. 6) Použijte součtové vzorce.
Příklad 11.8:   Vypočtěte bez kalkulačky:
1. cos 15°,
2. tg 75°,
3. tg 20° + tg 40° + y/3 tg 20° tg 40°,
4. sin 160° cos 110° + sin 250° cos 340° + tg 110° tg 340°,
5. sin 7^ sin 77; - sin ^ sin ^ + sin ^ sin f£.
10      10 5       5 10 10
Nápověda: 1) 15 = 45 — 30. ^ 75 = 45 + 30. 3,) použijte vztah 11.4-1 pro argumenty 20° a 40°. 4) použijte vztahy z přikladu 11.1 na posunutí argumentů do základního intervalu. Potom součtový vzorec na součet prvních dvou členů a vzorec z 11.4-3 na třetí sčítanec. 5) použijte poslední vzorec z 11.3-3 v opačném směru.
Příklad 11.9*:   Dokažte, že pro vnitřní úhly a,/5,7 trojúhelníka platí:
cos a + cos p + cos 7=1+4 sin — sin — sin —.
' ' 2      2 2
Příklad 11.10:   Řešte v IR následující rovnice. Vždy určete počet řešení v intervalu [0,27r).
1. sin 2x = 72 cos X,
2. 2 sin2 x + 7 cos x — 5 = 0,
3. 2 cos x cos 2x = cos x,
4. v^3 cosrr + siní = 2,
5. sin 3x + sin rr = sin 2x,
6. sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2rr,
7. sin 2rr + cos 2rr = sin rr + cos x.
Nápověda: 1) Použijte 11.3-1). 2) Nahraďte sin2 x (pomoci goniometrické jedničky) výrazem 1 — cos2 x a řešte kvadratickou rovnici v proměnné y = cos x. 3) Po převedeni na levou stranu, lze cosrr vytknout. 4) Podělte 2 a použijte 11.2 zprava doleva. 5) Použijte 11.3-2) na levou stranu. 6) Použijte 11.3-2) zprava doleva. 7) Použijte 11.1-6) a 11.3-2).
Příklad 11.11:   Řešte graficky v IR následující nerovnice.
1. sinrr > |,
2. sinrr < cosrr,
3. tgrr < — \/3.
Příklad 11.12:   Řešte v IR následující nerovnice.
1. sin3rr < sinrr,
2. 2 cos2 x + 5 cos x + 2 > 0,
3. sin x + cos x < ,
COS x '
4. sin2rr + sin x < 0,
5. 1 — cosrr < tg x — sin x,
6. sin x + sin 2rr + sin 3rr < 0,
7. sin 3rr > 4 sin x cos 2rr.
Nápověda: 1) Použijte 11.3-3). 2) Použijte substituci y = cosx a řešte kvadratickou nerovnici. 3) Pronásobte cosx a použijte 11.1-1). Potom lze dělit sinrr, ovšem pozor na znaménka při násobeni a děleni. 4) Použijte 11.3-2). 5) Pravá strana je součin levé strany a tgrr. 6) Sečtěte (dle 11.3-2)) sinrr + sin3rr. 7) Vyjádřit obě strany pomoci sin x (za použiti 11.2, resp. 11.3-1), s přihlédnutím k 11.1-1).