\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=170mm
\hoffset=-14mm

%\hoffset -24mm
%\voffset -20mm
%\textwidth 170mm
%\textheight 230mm

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

%\usepackage{czech}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xcolor}

\newcommand{\mezera}{}%\vskip .3cm}
\newcommand{\hvezda}{${}^\ast$}%\
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\newcounter{prik}[section]
\renewcommand{\theprik}{\thesection.\arabic{prik}}
\newcommand{\prpisemka}[2]{#1. {\it #2}}
\newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}
\newcommand{\prikladhvezda}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik${}^\ast$:} #1}

                         \newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

\newcommand{\cviceni}[2]{{\section{#1}} Cvičení konaná #2 2023. \\ \vskip 0.2cm}   

\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R} 
\def\C{\mathbb C}      
             
\newcommand{\ondra}[1]{{\color{red} #1}}   
\newcommand{\josef}[1]{{\color{blue} #1}}   
          

                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%  PREPINANI VERZI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}

%\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{}

% Priprava
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{[{\it Řešení: #1}]}
%\newcommand{\vysledek}[1]{\\ \noindent [{\it Řešení: #1}]}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Zadani 
\newcommand{\vysledekbez}[1]{}\newcommand{\vysledek}[1]{}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Reseni
%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\hlavicka}{
\newpage
\begin{center}
{\large M1130 --- Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení}
\end{center} 
 }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
%\begin{center}
%{\huge MB101, MB201 --- Domácí úlohy z přednášky}
%\end{center}
%\begin{center}
%{\large Kompletní sbírka všech příkladů zadaných na přednáškách jako domácí úlohy.}
%\end{center}
%
%Aktuální verze sbírky ze dne \today .
%\mezera

\hlavicka

Aktuální verze sbírky ze dne \today .




\setcounter{section}{11}


\cviceni{Inverzní funkce (goniotrických funkcí)}{4. a 5.~12.}

\priklad{Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce $f$ monotónní.
Na těchto intervalech určete inverzní funkci.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+x-6$,
\item $f(x)=\sqrt{x^2+4x-12}$.
\end{enumerate}
}
\vysledek{1) $I_1=(-\infty,-1/2]$ a $I_2=[-1/2,\infty)$; 
Pro $I_1$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=-\frac12-\sqrt{x+\frac{25}{4}}$, s definičním oborem 
$[-\frac{25}{4},\infty]$ a oborem hodnot $I_1$; 
Pro $I_2$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=-\frac12+\sqrt{x+\frac{25}{4}}$, s definičním oborem 
$[-\frac{25}{4},\infty]$ a oborem hodnot $I_2$. 
2)  $I_1=(-\infty,-6]$ a $I_2=[2,\infty)$; Pro $I_1$ je inverzní funkce 
$f^{-1}(x)=-2-\sqrt{x^2+16}$, s definičním oborem 
$[0,\infty]$ a oborem hodnot $I_1$; 
 Pro $I_2$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=-2+\sqrt{x^2+16}$, s definičním oborem 
$[0,\infty]$ a oborem hodnot $I_2$.}

\priklad{Funkce $\arcsin$ je inverzní funkce k funkci $\sin$ na intervalu $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$.
Napište předpis inverzní funkce k funkci $\sin$ na intervalu
\begin{enumerate}
\item $[2k\pi-\frac{\pi}{2};2k\pi+\frac{\pi}{2}]$,
\item $[(2k+1)\pi-\frac{\pi}{2};(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}]$
\end{enumerate}
pomocí funkce $\arcsin$.
\begin{enumerate}
\item[3] Navrhněte a řešte analogickou úlohu pro dvojice funkcí $\cos,\arccos$, resp. $\tg$, arctg.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $\arcsin x +2k\pi $. 2) $-\arcsin x +(2k+1) \pi $. }

\priklad{Najděte maximální interval obsahující 0, na němž je funkce $f$ monotónní.
Na~tomto intervalu určete inverzní funkci.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sin x\cdot\cos x$,
\item $f(x)=\sin x+\cos x$,
\item $f(x)=\sqrt{3}\cdot \sin x+\cos x$, 
%\item $f(x)=3^x-2^x$,
\item $f(x)=\log(\cos x)$,
\item $f(x)=\log(\log (x+10))$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $f(x)=\frac12\sin2x$, $I=[-\pi/4,\pi/4]$, $H(f)=[-1/2,1/2]$, 
tzn. $f^{-1} (x)= \frac12 \arcsin 2x$ s definičním oborem $[-1/2,1/2]$ a oborem hodnot $I$.\\ 
2) $f(x)=\sqrt{2} \cdot \cos (x-\pi/4)$, $I=[-\frac34 \pi,\frac14 \pi]$, $H(f)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, 
tzn. $f^{-1} (x)=-\arccos (\frac{-y}{\sqrt{2}})+\frac{\pi}{4}$ s definičním oborem 
$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ a oborem hodnot $I$. \\
3) $f(x)=2 \cdot \sin (x+\pi/6)$, $I=[-\frac23 \pi,\frac13 \pi]$, $H(f)=[-2,2]$, 
tzn. $f^{-1} (x)=\arcsin(\frac{y}{2})-\frac{\pi}{6}$ s definičním oborem 
$[-2,2]$ a oborem hodnot $I$.\\
4) Protože funkce $\cos $ (a tudíž i funkce $f$) 
nabývá v bodě $0$ svého maxima, existují dva maximální intervaly $I_1$ a $I_2$ obsahující bod $0$, kde 
je $f$ monotónní:
$I_1=(-\frac{\pi}{2},0]$ a $I_2=[0,\frac{\pi}{2})$. V obou případech je  $H(f)=(-\infty,0]$.
Pro $I_1$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=-\arccos (10^x)$, s definičním oborem $(-\infty,0]$
a oborem hodnot $I_1$; 
Pro $I_2$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=\arccos (10^x)$, s definičním oborem $(-\infty,0]$
a oborem hodnot $I_2$.\\ 
5) Definiční obor funkce $f$ je $(-9,\infty)$ a obor hodnot je $\mathbb R$. 
Funkce je na svém definičním oboru rostoucí. Tedy  $f^{-1} (x)=10^{10^x}-10$ má definiční obor 
$\mathbb R$ a obor hodnot $(-9,\infty)$.
}

\priklad{
Funkce $\arccos$ je inverzní funkce k funkci $\cos: [0,\pi] \to [-1,1]$. Pomocí této funkce vyjádřete funkci $g$, která je inverzní k funkci $f(x)=3\cos 2x-1$ uvažované na intervalu $[\frac{\pi}{2},\pi]$. (Definiční obor funkce $ g $ je tedy obor hodnot funkce $f$, pokud zúžíme definiční obor funkce $f$ na interval  
$[\frac{\pi}{2},\pi]$.) }

\vysledek{ Pro $x\in [\frac{\pi}{2},\pi]$ máme 
$f(x)=3\cos 2x-1 \in [-4,2]$. 
(Poznamenejme, že funkce je 
na intervalu $[\frac{\pi}{2},\pi]$ rostoucí, a tedy funkce $g$ je jako inverzní funkce k $f$ dobře definována.)
Proto $g: [-4,2] \rightarrow [\frac{\pi}{2},\pi]$.
Pro dané $y\in [-4,2]$ chceme ze vztahu 
$3\cos 2x-1=y$ vypočítat pro toto $y$ správnou hodnotu $x\in [\frac{\pi}{2},\pi]$.
Dostáváme $\cos 2x=\frac{y+1}{3}$, kde $\frac{y+1}{3}\in[-1,1]$.
Pokud nyní použijeme funkci $\arccos$, dostaneme 
hodnotu $a=2x=\arccos (\frac{y+1}{3}) \in [0,\pi]$.
My ale hledáme $b=2x\in  [\pi,2\pi]$ s vlastností
$\cos b=\cos a$. Takové $b$ zřejmě splňuje $b+a=2\pi$.
Tedy $2x=b=2\pi-a=2\pi - \arccos (\frac{y+1}{3})$.
Odtud $x= \pi - \frac12 \arccos (\frac{y+1}{3})$.
(Všimněme si, že $\frac12 \arccos (\frac{y+1}{3})\in 
[0,\frac{\pi}{2}]$, a proto $x\in [\frac{\pi}{2},\pi]$, jak bylo požadováno.) 
Závěr tedy je, že funkce 
$g: [-4,2] \rightarrow [\frac{\pi}{2},\pi]$
je dána předpisem $g(x)= \pi - \frac12 \arccos (\frac{x+1}{3})$.}



\priklad{Následující vztahy lze použít pro výpočet $\arccos x$ a $\arctan x$ při znalosti hodnoty $\arcsin x$. Dokažte tyto vztahy.
\begin{enumerate}
\item Pro libovolné 
$x\in [-1,1]$ platí $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.
\item Pro libovolné 
$x\in \mathbb R$ platí 
$\arctan x = \arcsin \left( \tfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) $.
\end{enumerate}}

\napoveda{1) Použijte vztah $\cos y =\sin(\frac{\pi}{2}-y)=x$ pro 
$y\in [0,\pi]$. 2) Umocněte na druhou $x=\tg y=\frac{\sin y}{\cos y}$
a nahraďte $\cos^2 y$ výrazem $1-\sin^2y$.  Následně rovnost upravte rovnost do tvaru $x^2=(x^2+1) \sin^2 y$, z níž lze hodnotu $y=\arctan x $ vypočítat pomocí funkce $\arcsin x$.}


\priklad{Určete nejmenší periodu zadané funkce:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sin x +\cos x$,
\item $f(x)=\sin 3x$,
\item $f(x)=|\cos 2x|$,
\item $f(x)=\sin \frac{1}{x}$,
\item $f(x)=\sin x^2$,
\item $f(x)=\sin x +\tg x$.
\end{enumerate}
}
\vysledek{1) $2\pi$. 2) $\frac{2\pi}{3}$. 3) $\frac{\pi}{2}$. 
4) není periodická. 5) není periodická. 6) $2\pi$.}

\end{document}

