Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 29. listopadu 2023.
12   Inverzní funkce (goniotrických funkcí)
Cvičení konaná 4. a 5. 12. 2023.
Příklad 12.1: Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce / monotónní. Na těchto intervalech určete inverzní funkci.
1. f(x) = x2 + x — 6,
2. f(x) = Vx2 + 4x- 12.
Příklad 12.2: Funkce arcsin je inverzní funkce k funkci sin na intervalu [—■§;■§]• Napište předpis inverzní funkce k funkci sin na intervalu
1. [2fc7r-f;2fc7r + f],
2. [(2k + 1)tt - f; (2fc + 1)tt + f ] pomocí funkce arcsin.
3 Navrhněte a řešte analogickou úlohu pro dvojice funkcí cos, arccos, resp. tg, arctg.
Příklad 12.3: Najděte maximální interval obsahující 0, na němž je funkce / monotónní. Na tomto intervalu určete inverzní funkci.
1. f(x)	= sinx ■ cosx,
2. f(x)	= sinx + cosx,
3. f(x)	= y/Š ■ sin x + cos x
4. f(x)	= log(cosrr),
5. f(x)	= log(log(x+ 10)).
Příklad 12.4: Funkce arccos je inverzní funkce k funkci cos : [0,7r] —> [—1,1]. Pomocí této funkce vyjádřete funkci g, která je inverzní k funkci f(x) = 3 cos 2x — 1 uvažované na intervalu [f,7r]. (Definiční obor funkce g je tedy obor hodnot funkce /, pokud zúžíme definiční obor funkce / na interval [|,7r].)
Příklad 12.5: Následující vztahy lze použít pro výpočet arccosrr a arctanrr při znalosti hodnoty arcsinrr. Dokažte tyto vztahy.
1. Pro libovolné rr € [—1,1] platí arcsinrr + arccosrr = |.
2. Pro libovolné a: G IR platí arctanrr = arcsin ^^/x2+1)•
Nápověda: 1) Použijte vztah cos y = sin(| — y) = x pro y G [0,7r]. 2) Umocněte na druhou x = tsy =       a nahraďte cos2 y výrazem 1 — sin2 y. Následně rovnost upravte rovnost do tvaru
° ,y       cos y ,y    ,y ° L
x'2 = (rr2 + 1) sin2í/; z níž lze hodnotu y = arctanrr vypočítat pomocí funkce arcsinrr. Příklad 12.6:   Určete nej menší periodu zadané funkce:
1. /(rr)	= sin x + cos rr
2. f(x)	= sin 3rr,
3. f(x)	=  cos 2rr ,
4. f(x)	= sin -, X 1
5. f(x)	= sin x2.
6. /(rr)	= sinrr + tgrr.