Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 22. září 2023.
2   Vyhodnocení vstupního testu
Cvičení konaná 25. a 26. 9. 2023.
Příklad 2.1: Nechť T = [r,s] je těžiště AABC, kde A = [2,-1], B = [-1,3] a C = [5,7]. Určete hodnoty ras.
Příklad 2.2: Nechť S* = 72 cm2 je povrch krychle vepsané do kulové plochy o poloměru r. Určete hodnotu r.
Příklad 2.3: Nechť M je množina všech reálných čísel, která splňují nerovnici |2rr+l| < x+3. Určete množinu M.
Příklad 2.4: Komplexní číslo z je řešením rovnice z + = 5 + (2 + i)2. Určete komplexní číslo z2.
Příklad 2.5: Čísla a, b G IR, a < b, jsou řešením rovnice x21ogx+3,5 = 100y/x. Určete číslo k = ab2.
Příklad 2.6: Nechť číslo c je součtem všech řešení rovnice cos x + sin x = y/2 v intervalu [0, 27r]. Určete hodnotu c.
Příklad 2.7: Určete počet všech lichých pěticiferných přirozených čísel, která neobsahují ve svém zápisu cifru 9.
Příklad 2.8: Nechť c = a2 + b2, kde a a b jsou délky poloos kuželosečky k o rovnici k : 3x2 + 5y2 + 6x — 20y + 8 = 0. Určete hodnotu c.
Příklad 2.9: Definujte, co je to aritmetický průměr n-tice reálných čísel a±, CL2,..., an a co je medián těchto čísel. Na příkladech čtyř čísel ukažte, že někdy je medián menší než aritmetický průměr a jindy je tomu naopak.
Příklad 2.10: Pro n-tici kladných reálných čísel se definují kromě aritmetického průměru i jiné průměry. Nejznámější je geometrický a harmonický průměr:
G (cti, 0-21 ■ ■ ■, cin) = \Jcii • ci2.....an,
H(ai, a2,..., an) = j_    j_ -—"~r-
Dokažte, že pro každá dvě kladná reálná čísla aľ,a2 platí A(a1}a2) > G(a1}a2) > H(cii,a2). Pro která a1? a2 nastane rovnost? (A značí aritmetický průměr čísel v závorce.)
Příklad 2.11*: Jaká je průměrná rychlost auta, které jede n stejně dlouhých úseků postupně rychlostmi vi, v2,..., vnl
Příklad 2.12*: Nerovnosti z příkladu 2.10 platí nejen pro dvojice, ale pro všechny n-tice kladných reálných čísel. Dokažte, že z nerovnosti A > G plyne nerovnost G > H. Zkuste dokázat nerovnost A > G.