Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 22. září 2023.
2   Vyhodnocení vstupního testu
Cvičení konaná 25. a 26. 9. 2023.
Příklad 2.1:   Nechť T = [r, s] je těžiště AABC, kde A = [2,-1], B = [-1,3] a C = [5,7]. Určete hodnoty ras. Řešeni: r = 2, s = 3.
Příklad 2.2:   Nechť S = 72 cm2 je povrch krychle vepsané do kulové plochy o poloměru r. Určete hodnotu r. Řešeni: k = 15.
Příklad 2.3: Nechť M je množina všech reálných čísel, která splňují nerovnici |2x+l| < x+3. Určete množinu M.
Řešeni: M = ( —|,2).
Příklad 2.4: Komplexní číslo z je řešením rovnice z + |^| = 5 + (2 + i)2. Určete komplexní číslo z2.
Řešeni: z2 = -7 + 2Ai.
Příklad 2.5: Čísla a,b <E R, a < b, jsou řešením rovnice x2logx+3,b = lOO-^/řč- Určete číslo fc = a&2.
Řešení: k =
Příklad 2.6: Nechť číslo c je součtem všech řešení rovnice cos x + sin a; = y/2 v intervalu [0, 27r]. Určete hodnotu c.
Řešeni: c=\ (jediné řešeni v daném intervalu).
Příklad 2.7:   Určete počet všech lichých pěticiferných přirozených čísel, která neobsahují ve svém zápisu cifru 9. Řešeni: 8 • 93 • 4.
Příklad 2.8:   Nechť c = a2 + b2, kde a a b jsou délky poloos kuželosečky k o rovnici k 3x2 + 5y2 + Qx — 20y + 8 = 0. Určete hodnotu c. Řešeni: c = 8.
Příklad 2.9: Definujte, co je to aritmetický průměr n-tice reálných čísel a±, a2,..., cin a co je medián těchto čísel. Na příkladech čtyř čísel ukažte, že někdy je medián menší než aritmetický průměr a jindy je tomu naopak.
Řešeni: Průměr: ai+tt2H ha". Za dodatečného předpokladu cii < a2 < • • • < an je medián roven cin+i pro liché (nepárne) n, resp. | • (as pro sudé (párne) n. Pro čvteřici 1,1,1,5
je medián 1 a průměr 2. Pro čvteřici 1,5,5,5 je medián 5 a průměr ^.
Příklad 2.10: Pro n-tici kladných reálných čísel se definují kromě aritmetického průměru i jiné průměry. Nejznámější je geometrický a harmonický průměr:
G (cti, a2, ■ ■ ■, &n) = \Jcii • ci2.....an,
H(ai, a2,..., an) = j_    j_ -—"~r-
Dokažte, že pro každá dvě kladná reálná čísla aľ,a2 platí A(cii,a2) > G(cii,a2) > H(cii,a2). Pro která a±, a2 nastane rovnost? (A značí aritmetický průměr čísel v závorce.)
Řešeni: V platné nerovnosti (a± — a2)2 > 0 přičteme (kladné číslo) 4ciia2 k oběma stranám a dostaneme (cii + a2)2 >4ciia2. Po odmocněni (opět se využije, že jsou obě ai i a2 kladná čísla) a podělení dvěma dostaneme nerovnost A(cii,a2) > G(cii,a2). Pokud v této nerovnosti dosadíme cii = -j^ a a2 = -j^, potom po podělení oběma stranami dostaneme G(bi,b2) > H(bi,b2). Z postupu je jasné, že pro cii ^ a2 lze psát nerovnosti ostré. Rovnost tedy nastává právě pro dvojice cii = ci2, kdy A(a±, a2) = G(cii, a2) = H(cii, a2) = a±.
Příklad 2.11*:   Jaká je průměrná rychlost auta, které jede n stejně dlouhých úseků postupně rychlostmi Vi,v2,..., vnl Řešení: H(vi,v2,..., vn)
Příklad 2.12*: Nerovnosti z příkladu 2.10 platí nejen pro dvojice, ale pro všechny n-tice kladných reálných čísel. Dokažte, že z nerovnosti A > G plyne nerovnost G > H. Zkuste dokázat nerovnost A > G.
Řešení: To, že z nerovnosti A > G plyne nerovnost G > H lze ukázat stejně jako v řešení příkladu 2.10. Elementárně lze nerovnost A > G dokazovat indukcí, kde pro n = 2 jsme již provedli v příkladě 2.10. Indukční krok je poměrně jednoduchý pro n = 2k, kdy se sečtou nerovnosti A(cii,a2) > G(a1,a2) = h, A(a3,a4) > G(a3,a4) = b2, A(an-1,an) > G(an-1,an) = bk, a potom se použije nerovnost A(bi, b2,..., bk) > G(bi,..., bn). Z nerovnosti pro n = 2k (kde jsme využili indukční předpoklad pro 2 a k), lze volbou a2k = A(a±,..., a2k-i) dokázat nerovnost pro 2k — 1. (Poznamenejme, že s jistými znalostmi z matematické analýzy lze dostat nerovnost také takto: ex je konvexní funkce na intervalu (0,oo); proto platí (Jensenova) nerovnost e"^lH   hXn'> < \(eXx + • • - + eXn), kde levá strana lze psát jako \/eXl.....eXn. Po substutuci
eXi = cii dostnaneme požadovanou nerovnost.)