Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 27. září 2023.
3   Reálné funkce a jejich grafy
Cvičení konaná 2. a 3. 10. 2023.
Zopakujte si, co je zobrazení množiny A do množiny B. O zobrazení do množiny reálných čísel R budeme mluvit jako o funkci.
Příklad 3.1: Určete definiční obor a obor hodnot zadaných funkcí. Dále načrtněte graf a rozhodněte, zda je funkce injektivní, surjektivní (zobrazení ze svého definičního oboru) a zda je rostoucí, resp. klesající.
1.		= 2x + 7,	
2.	/(*)	= |3rr + 1|	— a%
3.		_ i x-ľ	
4.	/(*)	= x2 + 2a: -	+ 3,
5.	/(*)	= logio(aH	h 2),
6.	/(*)	= 2X-3,	
7.	/(*)	= (x-l)2	+ (a- + 2)2
8.		= 3 cos x,	
9.	/(*)	= tan(—x)	
Příklad 3.2:   Funkce / je dána následujícím předpisem
Í{X) = loguOr* - 1) - 1 • Najděte její definiční obor jako podmnožinu reálných čísel. Najděte její obor hodnot.
Příklad 3.3:   Zkoumejte, jak se mění graf funkce y = f(x), když přejdeme k funkci:
1.	y =	2f(x).	
2.	y =	i •/(*),	
3.	y =	-/(*:	),
4.	y =	/(-*:	),
5.	y =	f(x +	3).
6.	y =	f(x-	2).
7.	y =	m-	- 4
8.	y =		h 6
9.	y =	f(3x)	
10.	y =	/(!)•	
Je-li původní funkce rostoucí na svém definičním oboru, co můžeme říci o nově vytvořených funkcích?
Příklad 3.4:   S využitím úlohy 3.3 rozložte následující funkce jako složení "jednodušších" funkcí.
1. f(x) = \3x-8\ +2,
2- 9(x) = ^ + 2,
3. h(x) = log10(2x + 3) — 5.
Nakreslete grafy těchto funkcí. Rozhodněte, zda jsou funkce rostoucí, resp. klesající, případně dejte příklad vhodných intervalů, na kterých je funkce rostoucí, resp. klesající.
Příklad 3.5:   Mějme funkci f(x) s definičním oborem D(f) = IR a oborem hodnot H(f) = (0,7r/2) a předpokládejme, že f(x) je klesající na celém definičním oboru.
a) Dokažte, že pak funkce cos(/(rr)) je rostoucí na celém definičním oboru.
b) Rozhodněte o chování funkce g(x) = c°s^x^2^ na intervalu (0,7r/2). Možné odpovědi jsou, že funkce g(x) je na tomto intervalu buď rostoucí nebo klesající nebo se takto chová jen na části daného intervalu nebo monotonie závisí na volbě funkce f(x). Odpověď je vždy třeba dokázat.