\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=170mm
\hoffset=-14mm

%\hoffset -24mm
%\voffset -20mm
%\textwidth 170mm
%\textheight 230mm

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

%\usepackage{czech}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xcolor}

\newcommand{\mezera}{}%\vskip .3cm}
\newcommand{\hvezda}{${}^\ast$}%\
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\newcounter{prik}[section]
\renewcommand{\theprik}{\thesection.\arabic{prik}}
\newcommand{\prpisemka}[2]{#1. {\it #2}}
\newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}
\newcommand{\prikladhvezda}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik${}^\ast$:} #1}

                         \newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

\newcommand{\cviceni}[2]{{\section{#1}} Cvičení konaná #2 2023. \\ \vskip 0.2cm}   

\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R} 
\def\C{\mathbb C}      
             
\newcommand{\ondra}[1]{{\color{red} #1}}   
\newcommand{\josef}[1]{{\color{blue} #1}}   
          

                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%  PREPINANI VERZI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}

%\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{}

% Priprava
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{[{\it Řešení: #1}]}
%\newcommand{\vysledek}[1]{\\ \noindent [{\it Řešení: #1}]}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Zadani 
\newcommand{\vysledekbez}[1]{}\newcommand{\vysledek}[1]{}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Reseni
%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\hlavicka}{
\newpage
\begin{center}
{\large M1130 --- Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení}
\end{center} 
 }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
%\begin{center}
%{\huge MB101, MB201 --- Domácí úlohy z přednášky}
%\end{center}
%\begin{center}
%{\large Kompletní sbírka všech příkladů zadaných na přednáškách jako domácí úlohy.}
%\end{center}
%
%Aktuální verze sbírky ze dne \today .
%\mezera

\hlavicka

Aktuální verze sbírky ze dne \today .




\setcounter{section}{3}
\cviceni{Monotonie a kvadratické funkce}{9. a 10.~10.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\priklad{\begin{enumerate}
\item
Definujte (formálně) pojem \uv{funkce $f$ je rostoucí na intervalu $I$}.
\item
Definujte formálně \uv{maximální interval, kde je funkce $f$ rostoucí}.
\item
U funkcí z příkladů 3.1, 3.2 a 3.4  zjistěte, na kterých maximálních intervalech jsou rostoucí, resp. klesající.
\item
Zformulujte precizně tvrzení, že složení rostoucích funkcí (na intervalu) je rostoucí funkce (na intervalu) a větu dokažte.
Zejména si uvědomte, jaké všechny předpoklady je třeba uvést. Přesněji:
pokud $g$ je rostoucí funkce na intervalu $I$, kde $I\subseteq D(g)$, a dále $f$
je rostoucí funkce na intervalu $J\subseteq D(f)$, potom ještě musíme něco předpokládat o množině $\{g(x) ; x\in I\}$,
abychom mohli dokázat, že $f\circ g$ je rostoucí na intevalu $I$.
\end{enumerate}}

\vysledek{
1) Funkce $f$ je rostoucí na intervalu $I$ jestliže 
$(\forall x_1,x_2\in I)(x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2))$. 
2) $I$ je maximální interval, kde je funkce $f$ rostoucí, jestliže
(i) funkce $f$ je rostoucí na $I$ a (ii) 
pro libovolný interval $J$ obsahující množinu $I$, na kterém je $f$ rostoucí, platí $J=I$.
3) Ad~\ref{priklad31}: \ref{priklad31}.1:  Rostoucí na celém definičním oboru $D(f)=\mathbb R$. 
\ref{priklad31}.2: Maximální interval, kde je funkce rostoucí, je 
$[-\tfrac13,\infty)$. Maximální interval, kde je funkce klesající, je $(-\infty,-\tfrac13]$.
\ref{priklad31}.3: Maximální intervaly, kde je funkce klesající, jsou $(-\infty,1)$ a $(1,\infty)$.
\ref{priklad31}.4: Maximální interval, kde je funkce klesající, je $(-\infty,-1]$. Maximální interval, kde je funkce rostoucí, je 
$[-1,\infty)$. 
\ref{priklad31}.5: Rostoucí na celém definičním oboru $D(f)=(-2,\infty)$. 
\ref{priklad31}.6: Rostoucí na celém definičním oboru $D(f)=\mathbb R$. 
\ref{priklad31}.7: Maximální interval, kde je funkce klesající, je $(-\infty,-\tfrac12]$. Maximální interval, kde je funkce rostoucí, je 
$[-\tfrac12,\infty)$. 
\ref{priklad31}.8: Maximální intervaly, kde je funkce rostoucí, jsou 
$I_k=[(2k-1)\pi,2k\pi]$, kde $k$ je libovolné celé číslo.
Maximální intervaly, kde je funkce klesající, jsou 
$J_k=[2k\pi,(2k+1)\pi]$, kde $k$ je libovolné celé číslo.
\ref{priklad31}.9: Maximální intervaly, kde je funkce klesající, jsou 
$I_k=(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+k\pi)$, kde $k$ je libovolné celé číslo.
Ad~\ref{priklad32}: Funkce je sudá a stačí si tedy rozmyslet v kladné části definičního oboru. Maximální intervaly, kde je $f$ je klesající jsou $(1,\sqrt{11})$ a $(\sqrt{11},\infty)$,
Proto maximální intervaly, kde je $f$ rostoucí, jsou  
$(-\infty,-\sqrt{11})$ a $(-\sqrt{11},-1)$.
Ad~\ref{priklad34}: Intervaly zmíněné v řešení příkladu~\ref{priklad34} jsou maximální intervaly, kde je funkce monotónní. 4) Tvrzení: pokud $g$ je rostoucí funkce na intervalu $I$, kde $I\subseteq D(g)$, a dále $f$
je rostoucí funkce na intervalu $J\subseteq D(f)$ taková, že 
$H_I(g)=\{g(x) ; x\in I\}\subseteq J$, potom $f\circ g$ je rostoucí na intevalu $I$. Důkaz: pokud $x_1,x_2\in I$ takové, že $x_1<x_2$, potom (protože $g$ je rostoucí na $I$) $g(x_1)<g(x_2)$. Odtud (protože $g(x_1),g(x_2)\in J$ a $f$ je rostoucí na $J$) dostáváme
$f(g(x_1))<f(g(x_2))$.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\priklad{Nakreslete graf funkce 
$$f(x)=2\cos(3x+\frac{\pi}2)-1 .$$ 
Určete všechny maximální intervaly, na nichž je funkce klesající (resp. rostoucí).
Určete všechna $x\in \mathbb R$ splňující $f(x)=0$. Určete zejména, kolik je takových reálných čísel v intervalu $(0,2\pi)$.}

\vysledek{Maximální intervaly monotonie: pro každé $k\in\mathbb Z$ je $f$ klesající na intervalu 
$I_k=[ \tfrac23\pi k -\tfrac{\pi}{6}, \tfrac23\pi k + \tfrac{\pi}{6} ]$
a rostoucí na intervalu 
$J_k=[ \tfrac23\pi k +\tfrac{\pi}{6}, \tfrac23\pi k + \tfrac{\pi}{2} ]$.
Množina všech řešení rovnice $f(x)=0$ je
je $\{\tfrac23\pi k +\tfrac{11}{18}\pi ; k\in\mathbb Z\} \cup \{\tfrac23\pi k +\tfrac{7}{18}\pi ; k\in\mathbb Z\}$, 
6 řešení leží v intervalu $(0,2\pi)$, a to $\tfrac{7}{18}\pi$,  
$\tfrac{11}{18}\pi$, $\tfrac{19}{18}\pi$, $\tfrac{23}{18}\pi$, 
$\tfrac{31}{18}\pi$ a $\tfrac{35}{18}\pi$.}

\priklad{Mějme funkci $$f(x) = \frac{1}{|e^{2x-1}-1|}\, .$$ Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete, na kterých maximálních intervalech je tato funkce rostoucí nebo klesající.}

\vysledek{$D(f)=\mathbb R\setminus \{\frac12\}$, $H(f)=(0,\infty)$. 
Funkce je rostoucí na intervalu $(-\infty,\frac12)$ 
a klesající na intervalu $(\frac12,\infty)$. [Graf zhruba vypadá jako hyperbola, která má levou větev překlopenou do druhého kvadrantu a posunutou o 1 směrem nahoru, a  obě větve posunuté doprava, neboť funkce není definovaná v bodě $\frac12$ -- pro doplnění uveďme, že
$\lim_{x\rightarrow -\infty}=1$, $\lim_{x\rightarrow 1/2}=\infty$, 
$\lim_{x\rightarrow \infty}=0$.]} 




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\priklad{Nechť $f$ a $g$ jsou rostoucí funkce na intervalu $I$, tj. zejména $I\subseteq D(f)\cap D(g)$.
Rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající funkce $h$ daná následujícím předpisem:
\begin{enumerate}
\item $h(x)=f(x)+g(x)$,
\item $h(x)=f(x)-g(x)$,
\item $h(x)=f(x)\cdot g(x)$,
\item $h(x)=-g(x)$,
\item $h(x)=g(x)\cdot g(x)$,
\item $h(x)=|g(x)|$, 
\item $h(x)=\frac{1}{g(x)}$.
\end{enumerate}
V případech, kdy odpovídáte \uv{ano}, se pokuste o formální důkaz. V případech, kdy odpovídáte \uv{ne}, dejte protipříklad 
a navíc se pokuste (přidáním vhodných předpokladů pro funkce $f$ a $g$) zformulovat platné tvrzení.
}

\vysledek{1) Rostoucí. 2) Volbou $f(x)=x$, $g(x)=2x$ (případně naopak) vidíme, že $h$ není rostoucí, ani klesající. Nejde ani přirozeně opravit/doplnit. 3)  Volbou $f(x)=x$, $g(x)=x$ vidíme, že $h$ není rostoucí, ani klesající. Lze opravit: 
pokud $H(f)\subseteq (0,\infty), H(g)\subseteq (0,\infty)$, pak je $h$ rostoucí. 4) Klesající. 5) viz 3. 6) Volbou $g(x)=x$ vidíme, 
že $h$ není rostoucí, ani klesající. Rozumný předpoklad na doplnění $H(g)\subseteq (0,\infty)$, aby $h$ bylo rostoucí, tvrzení trivializuje, protože potom $g=h$. Podobně $H(g)\subseteq (-\infty,0)$ vede ke klesající funkci popsané předpisem v části 4. 7)  Volbou $g(x)=x$ vidíme, že $h$ není rostoucí, ani klesající. Lze opravit: 
pokud $H(g)\subseteq (0,\infty)$, pak je $h$ klesající.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\priklad{Nechť $g$ je rostoucí funkce na intervalu $I$, tj. zejména $I\subseteq D(g)$ a nechť $c\in\mathbb R$ je pevně zvolené reálné číslo.
Rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající funkce $h$ daná následujícím předpisem:
\begin{enumerate}
\item $h(x)=g(x)+c$,
\item $h(x)=c-g(x)$,
\item $h(x)=c \cdot g(x)$.
\end{enumerate}
Pozor, odpověď se může lišit v závislosti na paramatru $c$.}

\vysledek{1) Rostoucí. 2) Klesající. 3) Pro $c>0$ je $h$ rostoucí;
pro $c<0$ je $h$ klesající. (Pro $c=0$ je $h$ konstantní funkce.)}

%%%%%%%%
\priklad{
Udejte příklad rostoucích funkcí $f$ a $g$ s definičním oborem $\mathbb{R}$ takových, že funkce $h$,
daná předpisem $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, je klesající funkce na~celém definičním oboru $D(h)=\mathbb{R}$.}

\napoveda{Pokuste se nejdříve načrtnout grafy vašich funkcí $f$, $g$ a $h$. Poté se pokuste vymyslet nějaký vhodný předpis pro tyto funkce (jako složení elementárních funkcí).}

\vysledek{$f(x)=g(x)=\frac{-1}{2^{x}}$, $h(x)=\frac{1}{4^{x}}$.}

%%%%%%%
\priklad{
Nechť $f$ je rostoucí funkce na celém definičním oboru $D(f)=\mathbb{R}$ s oborem hodnot $H(f)=(0,\infty)$.
Uvažujme dále funkci $g$ danou předpisem $g(x)=x\cdot f(x)$. Dokažte, že funkce $g$ je rostoucí na intervalu $I=(0,\infty)$.

V důkazu identifikujte krok, kde se využije předpoklad $H(f)=(0,\infty)$, a dále krok, kde  se využije předpoklad, že $I$ obsahuje pouze kladná reálná čísla.

Ukažte, že oba tyto předpoklady jsou nutné. Zejména dejte příklad rostoucí funkce $f$ s definičním oborem $D(f)=\mathbb{R}$, takové, že $H(f)$ obsahuje $0$ nebo záporné číslo, pro niž funkce  $g(x)=x\cdot f(x)$ není rostoucí na intervalu $I=(0,\infty)$.
Poté zformulujte podobně tvrzení o existenci funkce $f$ v druhém případě a dejte vhodný příklad takové funkce.}

\vysledek{Pro libovolné $x_1,x_2 \in I$, splňující $x_1<x_2$ 
platí $f(x_1)<f(x_2)$. Protože $x_1>0$ dostáváme $x_1\cdot f(x_1)<x_1\cdot f(x_2)$. Z $x_1<x_2$ dostáváme také, vzhledem k předpokladu $f(x_2)>0$, nerovnost $x_1\cdot f(x_2)<x_2\cdot f(x_2)$. Tedy celkem $g(x_1)= x_1\cdot f(x_1)<x_1\cdot f(x_2)<x_2\cdot f(x_2)=g(x_2)$.

Protipříklady: (i) $f(x)=x-2$ (zde $H(f)$ obsahuje záporná čísla), přitom $g(0)=0$, $g(1)=-1$, (ii) $f(x)=2^x$ (zde $I=D(f)=\mathbb{R}$)), přitom $g(-2)=-\frac12=g(-1)$.}


%\cviceni{Kvadratické funkce}{12. a 13.~10}

%%%%%
\priklad{Pomocí úpravy na čtverec odvoďte ``vzoreček'' pro řešení obecné kvadratické rovnice
$$ax^2+bx+c=0,$$
kde $a,b,c\in\mathbb R$, $a\not= 0$.
Načrtněte graf kvadratické funkce $f(x)=ax^2+bx+c$ pro $a>0$ a pro  $a<0$. 
Určete, jaké maximum nebo minimum tato funkce nabývá a v kterém bodě.
}

\vysledek{$ax^2+bx+c=a(x^2+\tfrac{b}{a} x +\tfrac{c}{a})=a\left((x+\tfrac{b}{2a})^2-\tfrac{b^2}{4a^2}+\tfrac{c}{a}\right)=a\left((x+\tfrac{b}{2a})^2+\tfrac{4ac-b^2}{4a^2}\right)$. Odtud při označení 
$D=b^2-4ac$ dostaneme $x+\tfrac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{D}}{2a}$ a dále vzoreček $x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$. Parabola je otočená (\uv{otevřená}) nahoru pro kladná $a$, resp. dolů pro záporná $a$. \uv{Vrchol} paraboly je v bodě $[\tfrac{-b}{2a},\tfrac{4ac-b^2}{4a}]$, tj. minimum/maximum je $\tfrac{4ac-b^2}{4a}=c-\tfrac{b^2}{4a}$, kterého nabývá v bodě $\tfrac{-b}{2a}$.}

%%%%%%%
\priklad{Určete všechny hodnoty parametru $r\in\R$ tak, aby daná nerovnost platila pro všechna $x\in A$. 
(Kreslete si, jak musí vypadat grafy příslušných kvadratických funkcí.)
\begin{enumerate}
\item[a)] $(r+4)x^2-2rx+2r-6<0$, $A=\R$.
\item[b)] $rx^2-4x+3r+1>0$, $A=(0,\infty)$.
\item[c)] $(r-2)x^2+rx+1-r>0$, $A=(0,\infty)$.
\item[d)] $(x-3r)(x-r-3)<0$, $A=[1,3]$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{a) $r\in(-\infty,-6)$, b) $r\in (1,\infty)$, c) nemá řešení, d) $r\in (0,1/3)$.}

\priklad
{Určete všechny hodnoty parametru $r\in\mathbb R$ tak, aby nerovnost $(r-2)x^2+rx+3r+2>0$, platila pro všechna $x\in [3,5]$.} 

\vysledek{(i) V případě $r>2$ je grafem funkce  $f(x)=(r-2)x^2+rx+3r+2$
parabola \uv{otevřená nahoru} (funkce je konvexní) a vzhledem k tomu, že má všechny koeficienty (tj. $r-2$, $r$ a $3r+2$) kladné, tak nabývá funkce $f$ na intervalu $(0,\infty)$ kladných hodnot. Tím spíše platí  
nerovnost $(r-2)x^2+rx+3r+2>0$ pro všechna $x\in [3,5]$.  
(ii) V případě $r=2$ je funkce $f(x)=2x+8$ a nerovnost $2x+8>0$ opět platí dokonce pro všechna kladná reálná čísla. (iii)  V případě $r<2$ je grafem funkce  $f(x)=(r-2)x^2+rx+3r+2$
parabola \uv{otevřená dolů} (funkce je konkávní). Proto je podmínka
\uv{$\forall x\in [3,5] : f(x)>0$} ekvivalentní podmínce 
\uv{$f(3)>0 \wedge f(5)>0$}. Po dosazení dostanem požadavky $15r-16>0$ a $33r-48>0$
a tedy $r\in (\frac{16}{11},2)$ (protože řešíme případ (iii) a $\frac{16}{15}< \frac{48}{33}=\frac{16}{11}$). Celková odpověď (spojením všech tří možností výše)
 je: $r>\frac{16}{11}$.}



%%%%%%
\priklad{Určete všechny hodnoty parametru $r\in\R$ tak, aby nerovnost 
$$(rx-1)(x+r) <0$$
platila pro všechna $x\in A$. 
\begin{enumerate}
\item[a)] $A=(0,1)$.
\item[b)] $A=(-1,1)$.
\item[c)] $A=(-2,2)$.
\item[d)] $A=(0,\infty)$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{a) $r\in[0,1]$, b) $r=1$, c) nemá řešení, d) $r=0$.}

%%%%%%%
\priklad{Určete, kdy pro řešení $x_1\le x_2$ rovnice
$$2x^2-2(2a+1)x+a(a-1)=0$$
platí  $x_1<a<x_2$. 
}
\napoveda{Vyznačte na grafu příslušné kvadratické funkce její hodnotu v $a$.}

\vysledek{$a\in(-\infty,-3)\cup (0,\infty)$.}

%%%%%%%%%
\priklad{Určete, kdy pro řešení $x_1$ a $x_2$ rovnice
$$(a-2)x^2-2(a+3)x+4a=0$$
platí  $x_1>3$ a $x_2<2$. 
}

\vysledek{$a\in(2,5)$.}

%%%%%%%%%%
\priklad{Určete, pro která $a\in \R$ má následující polynom dvojnásobný kořen
$$(2a-5)x^2-2(a-1)x+3.$$
}
\vysledek{$a=4$.}

%%%%%%%%%%%%%%
\priklad{Najděte nejmenší celé číslo $k$, pro něž má rovnice
$$x^2-2(k+2)x+12+k^2=0$$
dvě různá reálná řešení.
}

\vysledek{$k=3$, diskriminant $D=16(k-2)$.}

%%%%%%%%%%%%%%5
\prikladhvezda{Nalezněte kvadratickou rovnici s celočíselnými koeficienty, jejímž jedním řešením je 
$$x_1=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt 5+\sqrt3} .$$}

\vysledek{$x_1=4-\sqrt{15}, x_2=4+\sqrt{15}$, rovnice $x^2-8x+1=0$.}

%%%%%%%%%%%%
\prikladhvezda{Označme $$a=\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}, \quad b=\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}\ .$$ Dokažte, že součin i rozdíl 
těchto dvou reálných čísel je celočíselný a určete jej. Zjednodušte algebraické výrazy pro čísla $a$ a $b$ tak, 
aby obsahovala kromě celých čísel a obvyklých operací již pouze druhé odmocniny.}

\napoveda{Napište si kvadratickou rovnici s dvojicí řešení $a$, $-b$.}

\vysledek{$ab=5$, $a-b=1$. Potom $a=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$, $b=\frac{\sqrt{21}-1}{2}$.}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{První vnitrosemestrální písemka}

Písemka na obsah kapitol 1, 3, 4 a 5.

\begin{center} sk. A (18.10) \end{center}

\vskip .2cm
\prpisemka{1}{Mějme funkci $f(x) = 3 \sin ( | x + \frac{\pi}{3} | )$. 
Určete její definiční obor, obor hodnot a načrtněte její graf. Rozhodněte, 
zda je funkce periodická. Určete dále všechny hodnoty 
$x$, pro které platí $f(x)=0$.}

\vysledek{$D(f)=\mathbb R$, $H(f)=[-3,3]$. Funkce není periodická. 
$f(x)=0$ platí právě pro čísla tvaru $-\frac{\pi}{3}+k \pi$, kde $k$ je libovolné celé číslo.}

\vskip .5cm
\prpisemka{2}{
Mějme funkci $f(x) = \sqrt{x^2-4}-2$. Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete, na kterých maximálních intervalech je tato funkce rostoucí nebo klesající. Dále uvažujme funkci $g= f\circ f$. Určete definiční obor a obor hodnot funkce $g$.}

\vysledek{
Definiční obor funkce $f$ je $(-\infty,-2]\cup [2,\infty)$, přitom je klesající na intervalu $(-\infty,-2]$  a  rostoucí na intervalu $[2,\infty)$. Oborem hodnot 
funkce $f$ je interval  $[-2,\infty)$.  Definiční obor $g$ je 
$(-\infty,-\sqrt{20}]\cup [\sqrt{20},\infty)\cup \{-2,2\}$. Obor hodnot funkce $g$ je stejný jako obor hodnot funkce $f$, tj. $[-2,\infty)$.} 

\vskip .5cm
\prpisemka{3}{Mějme funkci $f(x) = \frac{e^{x^3}}{- \ln x}$. 
Rozhodněte o monotonii této funkce na intervalu $(0,1)$.}

\napoveda{Příklad není určený na výpočet pomocí derivací (i takový postup vyžaduje ověřování platnosti jistých nerovností, takže je srovnatelně obtížný). Zadanou funkci $f(x)$ lze chápat jako součin dvou jednodušších funkcí na daném intervalu, který je také podstatný pro správnou odpověď.}

\vysledek{Pro $x_1 < x_2$ z intervalu $(0,1)$ platí $0 < e^{x_1^3} < e^{x_2^3}$, protože funkce $e^{x^3}$ je rostoucí na celém svém definičním oboru. Pro tato kladná čísla 
$x_1$ a $x_2$ dostaneme dále $\ln(x_1) < \ln(x_2) <0$, protože logaritmus je rostoucí na celém svém definičním oboru. Odtud plyne $0<-\ln(x_2) <-\ln(x_1)$, odkud dostaneme 
$0 < \frac{1}{-\ln(x_1)} <  \frac{1}{-\ln(x_2)}$. 
Vynásobením této nerovnosti s  $e^{x_1^3} < e^{x_2^3}$ dostaneme, že zadaná 
funkce $f(x)$ je na intervalu $(0,1)$ rostoucí.}

\vskip .5cm
\prpisemka{4}{
Určete všechny hodnoty parametru $r\in\mathbb R$ tak, aby nerovnost 
$(r-1)x^2+2rx+r >0$ platila pro všechna $x\in [-2,\infty)$.}

\vysledek{Takové $r$ neexistuje.

Zdůvodnění: (i) Pro $r<1$ je parabola \uv{otevřená dolů}
a tedy nemůže být od hodnoty $x=-2$ napravo celá nad osou $x$. (ii) Pro $r=1$ je uvažovaná nerovnost $2x+1 >0$, což neplatí např. pro $x=-1$. (iii) Pro $r>1$ je parabola \uv{otevřená nahoru}, tedy nerovnost bude platit právě tehdy, když (a) $f(-2)>0$ a současně (b) pokud pro vrchol $[x_0,f(x_0)]$ platí $x_0 \in [-2,\infty)$, 
potom $f(x_0)>0$. Podmínka (a) je ekvivalntní nerovnosti $4(r-1)-4r+r>0$, a tedy můžeme dále uvažovat případ $r>4$. Pro vyhodnocení podmínky (b) nejdříve určíme $x_0=\frac{-r}{r-1}=-1+\frac{-1}{r-1}$, která náleží skutečně intervalu  $[-2,\infty)$ (neboť uvažujeme pouze hodnoty $r>4$). Protože hodnota 
$f(x_0)= \frac{r^2}{r-1}-2 \frac{r^2}{r-1}+\frac{r(r-1)}{r-1}=\frac{-r}{r-1}$ je pro uvažovaná $r>4$ záporná, není možné podmínky (a) a (b) splnit současně. Tedy ani v jednom z případů (i) -- (iii) takové $r$ neexistuje. }

\vskip .5cm
\prpisemka{5}{Nechť $a,b,c$ jsou celá čísla taková, že čísla  $a+b$, $a+c$ a $b+c$ 
dávají stejný zbytek po dělení $3$. Dokažte, že číslo $a+b+c$ je dělitelné $3$.}

\vysledek{Označme $r$ zbytek po dělení $a+b$ (tj. i $a+c$ i $b+c$) číslem $3$. 
Pak $r\in\{0,1,2\}$ a existují $k,\ell,m\in\mathbb Z$ takové, že 
$a+b=3k+r$, $a+c=3l+r$, $b+c=3m+r$. Odtud $2(a+b+c)=a+b+a+c+b+c=3(k+l+m+r)$. Protože je číslo $2(a+b+c)$ dělitelné $3$ (a protože $2$ dělitelná prvočíslem $3$ není) dělí $3$ i číslo  $a+b+c$.}

\begin{center} sk. B (22.10) \end{center}

\vskip .2cm
\prpisemka{1}{Mějme funkci $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}\rule{0ex}{1.6ex}-1}$. 
Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete maximální intervaly monotonie. Dále uvažujme funkci  $g$ danou vztahem $g(x)= f(\frac{1}{x})$. Určete definiční obor a obor hodnot funkce $g$.}

\vysledek{$D(f)=[1,2)\cup (2,\infty)$, přitom $f$ je na obou intervalech 
$[1,2)$ a $(2,\infty)$ klesající. 
$H(f)=(-\infty,-1] \cup (0,\infty)$. Definiční obor funkce $g$ je sjednocení intervalů $(0,1/2)$ a $(1/2,1]$ a obor hodnot funkce g je $H(g)=H(f)=(-\infty,-1] \cup (0,\infty)$.}

\vskip .5cm
\prpisemka{2}{Mějme funkci $f(x) = \sin (\pi \sin x)$. 
Určete její definiční obor, obor hodnot, určete maximální interval monotonie $I_1$ obsahující $x=0$ a také najděte nějaký maximální interval $I_2$, kde je 
funkce $f(x)$ klesající. Dále určete všechna $x$ taková, že $f(x)=0$.}

\vysledek{Definiční obor $f$ je $D(f)=\mathbb R$, 
obor hodnot je $H(f)=[-1,1]$. Hledané maximální intervaly monotonie 
jsou $I_1=[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]$ a například  
$I_2=[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$. Množina všech řešení rovnice $f(x)=0$ je  
$\{ k\cdot \frac{\pi}2 \mid k\in\mathbb Z \}$.}


\vskip .5cm
\prpisemka{3}{Mějme funkci $f(x) = e^{|x-3|}(-x^2+6x-10)$. 
Rozhodněte o monotonii této funkce na intervalu $[0,3]$.}

\vysledek{Pišme $f(x)=g(x)h(x)$, kde $g(x)=e^{|x-3|}$ a $h(x)=-x^2+6x-10$. 
Pro $x_1 < x_2$ z intervalu $[0,3]$ platí $g(x_1)>g(x_2)>0$, protože funkce $g(x)$ je klesající na intervalu $[0,3]$. Pro tato čísla $x_1$ a $x_2$ dostaneme 
dále $h(x_1) < h(x_2) < 0$, protože $h(x)$ je funkce rostoucí a záporná na $[0,3]$, 
což je vidět z úpravy na čtverec. Odtud plyne $g(x_1)h(x_1) < g(x_2)h(x_2) < 0$, tj. zadaná funkce $f(x)$ je na intervalu $[0,3]$ rostoucí.}

\vskip .5cm
\prpisemka{4}{Určete všechny hodnoty parametru $r\in\mathbb R$ tak, aby nerovnost $(r+3)x^2-2rx+2>0$ platila pro všechna $x\in [0,2]$.}

\vysledek{(i) Pokud $r<-3$, pak je parabola \uv{otevřená dolů}
a nerovnost je ekvivalentní s dvojicí nerovností $f(0)>0$ a $f(2)$. Ty jsou triviálně splněny, a tak je nerovnost splněna. (ii) Pro $r=-3$ je uvažovaná nerovnost 
$6x+2 >0$, která pro $x\in [0,2]$ platí. (iii) Pro $r>-3$ je parabola \uv{otevřená nahoru}, tedy nerovnost bude platit právě tehdy, když (a) $f(0)>0$, $f(2)>0$ 
a současně (b) pokud pro vrchol $[x_0,f(x_0)]$ platí $x_0 \in [0,2]$, 
potom $f(x_0)>0$. Podmínka (a) je znovu triviálně splněna. 
Pro vyhodnocení podmínky (b) nejdříve určíme $x_0=\frac{r}{r+3}$.
Pokud $r<0$ pak $x_0\not\in [0,2]$ a podmínka je splněna. Pokud $r\ge 0$, pak 
$x_0\in [0,2]$, protože nerovnost $\frac{r}{r+3}<1$ se snadno dokáže.
To znamená, že pokud má požadovaná nerovnost v případě $r\ge 0$ platí právě tehdy, když 
 $f(\frac{r}{r+3})>0$. Přitom
$f(x_0)= \frac{r^2}{r+3}-2 \frac{r^2}{r+3}+2=\frac{-r^2+2r+6}{r+3}$.
Pro uvažovaná $r\ge 0$ dostáváme nerovnost $-r^2+2r+6 >0$, která platí právě pro 
$r\in (1-\sqrt{7},1+\sqrt{7})$. Vzhledem k p5edpokladu tak dostaneme, že v případě 
(iii) platí nerovnost právě pro $r\in (-3,1+\sqrt{7})$.

Když shrneme všechny případy dostaneme, že nerovnost platí 
právě pro $r < 1+\sqrt{7}$.}

\vskip .5cm
\prpisemka{5}{Nechť $a,b$ jsou celá čísla. Dokažte, že alespoň jedno z čísel 
$a+b$, $2ab$, $a-b$ je dělitelné $4$.}


\vysledek{Pokud $ab$ je sudé, je $2ab$ dělitelné $4$. Předpokládejme tedy dále, že 
$ab$ je liché, a pak jsou tedy i čísla $a,b$ lichá. 
Jestliže  čísla $a,b$  dávájí stejný zbytek $r \in \{1,3\}$ po dělení $4$, 
pak $a-b$ je dělitelné $4$. Jestliže  čísla $a,b$  dávájí po dělení $4$ různé zbytky 
$r_1\not = r_2$, kde $r_1,r_2\in \{1,3\}$, pak $a+b$ je dělitelné $4$. 
Ve všech případech tak dostaneme, že alespoň jedno z čísel 
$a+b$, $2ab$, $a-b$ je dělitelné $4$.}



%\end{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SECTION 6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{document}
%\newpage
\cviceni{Funkce s absolutní hodnotou, \\ 
racionální kořeny celočíselných polynomů}{19. a 20.10.}

\priklad{Uvažujme funkci $f:\R\to \R$ danou předpisem
$$f(x)=|2x-3|-|x+2|+|10-3x|-1 \, .$$
\begin{enumerate}
\item Nakreslete graf funkce $f:\R\to \R$ na intervalu $[-5,5]$. 
\item Najděte obor hodnot funkce $f$.
\item Určete maximální intervaly, na kterých je funkce $f$   
 monotónní. 
\item Určete, pro která $x\in\mathbb R$ platí $f(x)<2$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{2) $H(f)=[ -\frac83,\infty)$. 
3) Klesající na intervalu $(-\infty,\frac{10}3]$, rostoucí na intervalu  $[ \frac{10}3,\infty)$.
4) $\{x\in\mathbb R ; f(x)<2\}=(\frac43,\frac92)$.}

\priklad{Řešte v $\R$ rovnice
\begin{enumerate}
\item $|x+1|- |x|+3 |x-1|-2 |x-2|=|x+2|$,
\item $$\frac{|x^2-4x|+3}{x^2+|x-5|}=1$$
\item $|x^2-4x-5|-3 = x^2 + |x-4|$. 
\end{enumerate}}

\vysledek{1) $x\in (-\infty,-2]\cup [2,\infty)$. 2) $x\in\{-2/3, 1/2, 2\}$. 3) $x\in\{-4,1/2,2\}$. }

\priklad{
Uvažujme dvě funkce $f,g:\mathbb R\to \mathbb R$ dané předpisy
$$f(x)=\left|\phantom{{}^2}\! |x+1| + |x-1| \phantom{{}^2}\! \right|, \qquad 
g(x)=\left|\phantom{{}^2}\! |x+1| - |x-1| \phantom{{}^2}\! \right|.$$
\begin{enumerate}
\item Načrtněte grafy funkcí $f$ a $g$.
\item Najděte obor hodnot těchto funkcí.
\item Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce  $f$ rostoucí, resp. klesající.
\item Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce  $g$ rostoucí, resp. klesající.
\item Určete všechna řešení nerovnice $g(x)<f(x)$, tj. 
$$\left|\phantom{{}^2}\! |x+1| - |x-1| \phantom{{}^2}\! \right|\  < \
\left|\phantom{{}^2}\! |x+1| + |x-1| \phantom{{}^2}\! \right| .
$$
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) Pro $x\in(-\infty,-1]$ je $f(x)=-2x$, pro $x\in [-1,1]$ je 
$f(x)=2$, pro $x\in [1,\infty)$ je $f(x)=2x$. Pro 
 $x\in(-\infty,-1]$ je $g(x)=2$, pro $x\in [-1,1]$ je 
$g(x)=|2x|$, pro $x\in [1,\infty)$ je $f(x)=2$.
2)$H(f)=[2,\infty)$, $H(g)=[0,2]$. 3) 
Maximální interval, kde je funkce $f$ klesající je $(-\infty,-1]$.
Maximální interval, kde je funkce $f$ rostoucí je $[1,\infty)$.
4) Maximální interval, kde je funkce $g$ klesající je $[-1,0]$.
Maximální interval, kde je funkce $f$ rostoucí je $[0,1]$. 
5) Nerovnost platí pro všechna $x\in\mathbb R$ kromě čísel $-1,1$ (pro něž platí $f(-1)=g(-1)=2=f(1)=g(1)$).}


\prikladhvezda{Určete všechna $x\in\mathbb R$, pro která platí 
$$\left| x+ \frac{1}{x+1}\right| \ge 1 .$$}

\vysledek{$x\in \mathbb R\setminus \{-1\}$}


\priklad{Najděte nějaký polynom s celočíselnými koeficienty,
\begin{enumerate}
\item jehož kořeny jsou $0,1,-1/2$,
\item jehož jediný reálný kořen je $-1$, ale stupeň polynomu je větší než 1,
\item který má trojnásobný kořen $1$,
\item jehož kořeny jsou $\sqrt{2}$, $-1$ a případně další reálná čísla.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) Např. $x^3(x-1)(2x+1)$. 
2) Např. $(x+1)^3$ nebo $(x^2+1)(x+1)$. 
3) Např. $(x-1)^3$. 
4) Např. $(x^2-2)(x+1)$. 
}

\priklad{Dokažte kritérium pro racionální kořeny polynomů s celočíselnými koeficienty:
Pokud zlomek ve zkráceném tvaru $\frac p q $ je kořenem polynomu 
$f=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1 x+a_0$ s celočíselnými koeficienty, 
potom $p \mid a_0$ a $q\mid a_n$.
}

\vysledek{Z rovnosti $f(\frac p q )=0$ dostaneme pronásobením číslem $q^n$ rovnost $a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+ \dots + a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0$. Tedy 
$a_0q^n=-a_np^n-a_{n-1}p^{n-1}q-a_{n-2}p^{n-2}q^2- \dots - a_1pq^{n-1}$, kde všechny sčítance (všechny tyto sčítance jsou celá čísla) 
na pravé straně jsou dělitelné $p$, a proto $p$ dělí $a_0q^n$.
Protože $p$ a $q$ jsou nesoudělná čísla ($\frac p q$ je totiž zlomek ve zkráceném tvaru), dostáváme, že $p$ dělí $a_0$. 
%
Podobně se dokáže $q \mid a_n$ z rovnosti 
$a_np^n=-a_{n-1}p^{n-1}q-a_{n-2}p^{n-2}q^2- \dots - a_1pq^{n-1}-a_0q^n$. 
}


\priklad{Najděte všechny racionální kořeny polynomu:
\begin{enumerate}
\item $2x^3+x^2-4x-3$,
\item $27x^3+27x^2-4$,
\item $4x^4+7x^3+2x^2+7x-2$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{ 
1) Adepti podle kritéria: $\pm 1,\pm 3, \pm\frac12, \pm\frac32$. 
Vyjde dvojnásobný kořen $-1$, a jednoduchý kořen $\frac32$, tedy $2x^3+x^2-4x-3=(x+1)^2(2x-3)$.
2)  Adepti podle kritéria: $\frac p q $, kde $p\in \{1,2,4,-1,-2,-4\}$
a $q\in \{1,3,9,27\}$.  
Vyjde dvojnásobný kořen $-\frac 23$, a jednoduchý kořen $\frac13$, tedy
$27x^3+27x^2-4=(3x+2)^2(3x-1)$.
3)  Adepti podle kritéria: $\pm 1,\pm 2, \pm\frac12, \pm\frac14$. 
Vyjdou jednoduché kořeny $-2$ a $ \frac14$, což dává
$4x^4+7x^3+2x^2+7x-2=(4x-1)(x+2)(x^2+1)$ (a tedy další kořeny jsou komplexní čísla $i$ a $-i$).}


%ONDRA: V nasledujicim prikladu se resi kubicka rovnice, takze je potreba vedet predchozi.

\priklad{Určete všechny hodnoty parametru $a\in\R$ tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení.
$$x^2+ax+8=0,\quad x^2+x+a=0.$$
}

\vysledek{$a=-6$}

\priklad{Určete všechny hodnoty parametru $a\in\R$ tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení.
$$(1-2a)x^2-6ax-1=0,\quad ax^2-x+1=0.$$
}

\vysledek{$a=-3/4,\ 0,\ 2/9$}

\priklad{Určete všechny parametry $a \in \mathbb R$ takové, 
že má následující dvojice rovnic nějaké společné reálné řešení:
$$ax^2+x+a=0, \quad x^2+ax+a=0.$$}

\vysledek{$a=0$ a $a=-1/2$. Kdybychom nevyžadovali $x\in\mathbb{R}$, bylo by řešením i $a=1$.}



% Vyrazeno - dela se podrobne v algebre I.
%
%\priklad{Polynom $x^2+ax+b$ má kořeny $x_1,x_2$.
%Určete kvadratický polynom, který má kořeny:
%\begin{enumerate}
%\item[a)] $-x_1,-x_2$,
%\item[b)] $2x_1,2x_2$,
%\item[c)] $x_1+1,x_2+1$,
%\item[d)] $x_1^2,x_2^2$.
%\end{enumerate}
%}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% SECTION 7
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{document}
\cviceni{Příklady s odmocninami, Vietovy vztahy}{26.10. a 27.10.}

\vskip .4cm

\priklad{Řešte v $\R$ rovnice:
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$,
\item $\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}$,
\item $\sqrt{3x+2}=\sqrt{5x+3}+2\sqrt{2x+1}$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{a) $8$, b) $4$, c) $-1/2$.}

\priklad{Řešte v $\R$ nerovnice:
\begin{enumerate}
\item $3>x+3\cdot\sqrt{1-x^2}$,
\item $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2x-1}$,
\item $1\ge x + \sqrt{4-x^2}$.
\item $\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1} > \sqrt{x+4} -\sqrt{x+2}$
\item $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2x-3}$. 
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $[-1,0)\cup (3/5,1]$. 2) $[1,3/2)$. 3) $[-2,\frac12 (1-\sqrt{7})]$. 4) 
$[\frac12,3)$. 5. $x\in [3/2,2)$.}

\priklad{Označme $x_1,x_2$ řešení rovnice $3x^2+8x+4=0$.
Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo:
\begin{enumerate}
\item $x_1^2+x_2^2$,
\item $x_1^3+x_2^3$,
\item $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$,
\item $x_1-x_2$,
\item $x_1^2x_2+x_1x_2^2$,
\item $x_1^2-x_2^2$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $\frac{40}{9}$. 2) $-\frac{224}{27}$. 3) $-2$. 4) $\frac{4}{3}$ nebo 
$-\frac{4}{3}$. 5) $-\frac{32}{9}$. 6) $\frac{32}{9}$ nebo $-\frac{32}{9}$.}

\priklad{Označme $x_1,x_2,x_3$ řešení rovnice $x^3+3x^2-7x-6=0$.
Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo:
\begin{enumerate}
\item[1.]  $x_1^2+x_2^2+x_3^2$,
\item[2.$^*$] $x_1^3+x_2^3+x_3^3$,
\item[3.] $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$,
\item[4.] $(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2$,
\item[5.] $x_1^2x^2_2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $23$. 2) $-72$. 3) $-\frac76$. 4) $60$. 5) $85$. }


\prikladhvezda{Nechť polynom $x^3+ax^2+bx+c$ má tři kladné kořeny.
Dokažte, že $a^3\leq 27c$.}

\vysledek{Součet kořenů $-a$ i součin $-c$ jsou kladná čísla. 
Podle AG nerovnosti z příkladu~\ref{priklad212} platí $-a/3 \ge \sqrt[3]{-c}$.
Umocněním na třetí a pronásobením $-1$ dostaneme požadovanou nerovnost.}

\medskip


%Původní příklad 6.6. byl odsunut na neurčito, rozhodně nebude v druhém semestrálním testu.


%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% SECTION   8
%\end{document}
%\setcounter{section}{7}
\cviceni{Exponenciální a logarimické funkce}{2. a 3.~11.}

\priklad{Mocniny a exponenciální funkce $a^x$. 
\begin{enumerate}
\item[1.] Pro $a>0$ a $n\in \Z$  definujte $a^n$. 
\item[2.] Je-li $a>1$ reálné číslo a $n<m$ celá čísla, pak $a^n<a^m$. Dokažte.
\item[3.] Pro $a>0$ reálné a $x=\frac{p}{q}$, $p\in\Z$, $q\in\N$  definujte $a^x$.
\item[4.$^*$] Pro $a>0$ reálné a $x,y$ racionální, dokažte, že $a^xa^y=a^{x+y}$ a ${(a^x)}^y=a^{xy}$.
\item[5.] Pro $a>1$ a $x\in\mathbb R$ definujeme 
$a^x=\operatorname{sup}\{a^y\in \R;\ y\in \mathbb Q, y\le x\}$.  Udělejte totéž pro $a\in (0,1)$.
\item[6.$^*$] Dokažte, že  funkce $a^x$ je rostoucí pro $a>1$ a klesající pro $a\in (0,1)$. 
\item[7.$^*$] Pro $a>0$ reálné a $x,y$ reálná, dokažte, že $a^xa^y=a^{x+y}$ a ${(a^x)}^y=a^{xy}$.
\item[8.] Nakreslete graf exponenciální funkce pro různá $a$.
\end{enumerate}}

\vysledek{Většina podpříkladů je značně náročná. Rozhodně příklad přesahuje požadavky k~ukončení tohoto předmětu, a proto nebude tento typ příkladu v písemkách.}

\priklad{Logaritmická funkce $\log_a x$.
\begin{enumerate}
\item Definujte inverzní funkci k funkci $f$.
\item Definujte $\log_a x$ jako inverzní funkci k exponenciální funkci $a^x$.
\item Jak je to s monotonií logaritmické funkce? Nakreslete grafy logaritmické funkce pro různé základy.
\end{enumerate}
} 

\priklad{Z vlastností exponenciálních funkcí dokažte tyto vlastnosti logaritmických funkcí:
\begin{enumerate}
\item $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$.
\item $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$.
\item $ \log_a(x^y)=y\log_a x$.
\item $\log_a x=\frac{\log_b x}{\log _b a}$.
\item $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$.
\item $b^{\log_a c}=c^{\log_a b}$.
\item $\log_{a^y} x^y =\log_a x$.
\end{enumerate}
Doplňte vždy chybějící předpoklady na použité parametry $a,b,c,x,y$. 
}

\vysledek{1) Předpoklady: $a\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $x,y\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Označme $k,\ell \in \mathbb R$ taková, že $a^k=x, a^\ell=y$. Potom
$\log_a(xy)=\log_a( a^k\cdot a^\ell)=\log_a(a^{k+\ell})=k+\ell=\log_a x+\log_a y$.
Jde tedy o přímý důsledek prvního vztahu z 8.1.-7).
2)  Předpoklady: $a\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $x,y\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Označme $k,\ell \in \mathbb R$ taková, že $a^k=x, a^\ell=y$. Potom
$\log_a\frac{x}{y}=\log_a(\frac{a^k}{a^\ell})
=\log_a(a^{k-\ell})=k-\ell=\log_a x-\log_a y$.
3) Předpoklady: $a\in (0,1)\cup (1,\infty)$, $x\in (0,\infty)$  $y\in \mathbb R$. 
Důkaz: Označme $k\in \mathbb R$ taková, že $a^k=x$. Potom
$\log_a(x^y)=\log_a((a^k)^y)=\log_a(a^{yk})=yk=y \log_a x$.
Jde tedy o přímý důsledek druhého vztahu z 8.1.-7).
4)  Předpoklady: $a,b\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $x\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Označme $k,\ell \in \mathbb R$ taková, že $a^k=x, b^\ell=a$. Potom
$\log_b x =\log_b(a^k)=\log_b((b^\ell)^k)=\log_b (b^{k\ell})=k\cdot \ell=\log_a x  \cdot \log_b a$. Podělením $\log_b a=\ell \not=0$ (uvědomte si, že  $\log_b a=0$ by znamenalo $a=1$) dostáváme požadované.
5)  Předpoklady: $a,b\in (0,1)\cup (1,\infty)$. 
Důkaz: Stačí v předchozím zvolit $x=b$.
6) Předpoklady: $a\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $b,c\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Označme $k,\ell \in \mathbb R$ taková, že $a^k=b, a^\ell=c$. Potom
$b^{\log_a c}=b^\ell=(a^k)^\ell=(a^\ell)^k=c^k=c^{\log_a b}$.
7) Předpoklady: $a,y\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $x\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Podle 4)
$\log_{a^y} x^y= \frac{\log_a x^y}{\log_a a^y}$, což se s využitím 3) dále rovná
$\frac{y \cdot \log_a x}{y}=\log_a x$.
} 

\priklad{Určete 
\begin{enumerate}
\item $49^{1-\frac{1}{2}\log_7 25}$.
\item $\log \big(\log\sqrt{\sqrt[5] {10}}\big)$.
\item $81^\frac{1}{\log_5 3}$.
\item $\log_2\frac{2}{3} + \log_4\frac{9}{4}$.
\item $3^{2\log_3 2+\log_3 5}$.
\item $\frac{1}{\log_2 3}+\frac{1}{\log_4 9}-\frac{1}{\log_8 3}$.
\item $36^{\log_6 5} + 10^{1-\log_{10} 2}-3^{\log_9 36}$.
\end{enumerate}}

\vysledek{1) $\frac{49}{25}$. 2) $-1$. 3) $625$. 4) $0$. 5) $20$. 6) $-\log_3 2$. 7) $24$.}


%%%%%% SECTION 

%\end{document}

\cviceni{Exponenciální a logarimické funkce -- dokončení}{9. a 10.~11.}

\priklad{Pomocí čísel $a$, $b$, $c$ vyjádřete $x$:
\begin{enumerate}
\item $x=\log_{100} 40; \quad a=\log_2 5$.
\item $x=\log_6 16;\quad a=\log_{12} 27$.
\item $x=\log\frac{1}{300};\quad a=\log 2,\ b=\log 3,\ c=\log 5$.
\item $x=\log_{140} 63;\quad a=\log_2 3,\ b=\log_3 5,\ c=\log_7 2$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $\frac{a+3}{2+2a}$. 2) $\frac{4(3-a)}{3+a}$. 3) $-(2a+b+2c)$. 
4) $\frac{2ac+1}{abc+2c+1}$. }

\priklad{Řešte v $\R$ rovnice:
\begin{enumerate}
\item $4^x+2^{x+1}=24$.
\item $|x|^{x^2-2x}=1$.
\item $6\cdot 9^x-13\cdot 6^x+ 6\cdot 4^x=0$.
\item $\big(\frac{3}{5}\big)^x +\frac{7}{5}=2^x$.
\end{enumerate}}

\vysledek{1) $2$. 2) $-1$, $1$, $2$. 3) $1$, $-1$. 4) 1 (lze snadno ukázat, že má právě jedno řešení).}

\priklad{Řešte v $\R$ rovnice:
\begin{enumerate}
\item $\log 5 +\log (x+10)=1-\log (2x-1)+\log(21x-20)$.
\item $\log_{0,5x} x^2-14\log_{16x} x^3+40\log_{4x}\sqrt x=0$.
\item $15^{\log_5 3}\cdot x^{1+\log_5(9x)}=1$.
\item $\log\sqrt{1+x} +3\log\sqrt{1-x}=\log\sqrt{1-x^2}+2$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $3/2$, $10$. 2) $\sqrt{2} /2$, $1$, $4$. 3) $1/15$, $1/3$. 4) nemá řešení.}

\priklad{Řešte v $\R$ nerovnice:
\begin{enumerate}
\item $\frac{1}{3^x+5}\le \frac{1}{3^{x+1}-1}$.
\item $8^x+18^x-2\cdot 27^x>0$.
\item $\log_{(x-2)}(2x-3)>\log_{(x-2)}(24-6x)$.
\item $x^{\log_2 x}>2$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $(-1,1]$. 2) $(-\infty,0)$. 3) $(2,3)\cup (27/8,4)$. 4) $(0,1/2)\cup (2,\infty)$.}

\priklad{
a) Řešte v  $\mathbb R$ rovnici $\log_3 x^2 \cdot \log_9 x=3$. 

b) Využijte předchozí výsledek a vyřešte rovnici  
$\log_3 (|z| + 1)^2 \cdot \log_9 (|z| + 1) =3$. }

\vysledek{a) $x=3^{\sqrt{3}}$ nebo 
$x=3^{-\sqrt{3}}$. b) $z=3^{\sqrt{3}}-1$ a $z=-3^{\sqrt{3}} +1$.}


%\end{document}


\section*{Druhá vnitrosemestrální písemka}

Psaná dne 18.11.2021 na obsah kapitol 6-9.

\vskip .2cm
\prpisemka{1}{Řešte v $\mathbb{R}$ rovnici $4+2x-x^2 = |x-1| + |x+2|$. }

\vysledek{$x\in \{1-\sqrt{2},\sqrt{3}\}$.}

\vskip .5cm
\prpisemka{2}{Řešte v $\mathbb{R}$ nerovnici 
$\sqrt{2+x^2}-\sqrt{2-x^2}>1$.}

\vysledek{$x \in [-\sqrt{2},-\sqrt[4]{\frac74}) \cup (\sqrt[4]{\frac74},\sqrt{2}]$.}

\vskip .5cm
\prpisemka{3}{Řešte v $\mathbb{R}$ rovnici $8^x+2= 4^x+ 2^{x+1}$.} 

\vysledek{$ x \in \{0, \frac12 \}$.}

\vskip .5cm
\prpisemka{4}{Určete všechna řešení nerovnice 
$\log_{x+1} (2x+1) > 2+\log_{x+1}(\frac{3x-1}{x+1})$.}

\vysledek{ $ x \in (\frac13,\sqrt{\frac23})$.}

\vskip .5cm
\prpisemka{5}{Uvažujme funkci  
$f$ danou předpisem $f(x)=\log_2 x+ \log_4 x +\log_8 x$.
 
a) Určete definiční obor funkce a zdůvodněte, že funkce je na něm rostoucí.

b) Pro libovolné  $n\in \mathbb R$ vypočtěte $f(4^n)$. 
[Výsledek zapište jako polynom v proměnné $n\in \mathbb Z$.]

c) Využijte předchozí výsledek a vyřešte rovnici  
$2\log_2 x+ 2\log_4 x +2\log_8 x +11=0$. 

d) Podobně vyřešte nerovnici $ \log_2 x+ \log_4 x +\log_8 x < \log_{16} x^5$.}

\vysledek{
a) Jde o součet tří rostoucích funkcí, a proto je to rostoucí funkce na celém svém definičním oboru kladných reálných čísel.
b) $f(4^n)= \frac{11}{3} \cdot n$. c)  $x=\frac18$. d)  $x\in (0,1)$.}

%\newpage
\cviceni{Goniometrické funkce}{23. a 24.~11.}

\priklad{\label{pr91}
Odvoďte základní vztahy:
\begin{enumerate}
\item $\sin^2 x+\cos^2 x=1$,
\item $\sin(-x)=-\sin x $,\quad $\cos(-x)=\cos x $,\quad $\tg(-x)=-\tg x$,
\item $\sin(x+2\pi)=\sin x $,\quad $\cos(x+2\pi)=\cos x $,\quad $\tg(x+\pi)=\tg x$,
\item $\sin x= \sin(\pi-x)=-\sin(\pi+x)=-\sin(2\pi-x)$,
\item $\cos x = -\cos (\pi-x) =- \cos (\pi+x)=\cos (2\pi-x)$,\quad $\tg x= - \tg(\pi-x)$.
\item $\cos x= \sin (x+\frac{\pi}2)= \sin (\frac{\pi}2-x)$,\quad $\sin x= \cos(\frac{\pi}2-x)$.  
\end{enumerate}}

\prikladhvezda{\label{pr92}
Předpokládejme, že platí $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, kde $x$ je libovolné reálné číslo. 
Dále předpokládejme, že pro umocňování reálného čísla $e$ na komplexní čísla platí obvyklé vlastnosti pro umocňování. 
Odvoďte součtové vzorce
 $$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\quad \cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\, .$$

Součtových vzorců využijte k odvození vzorců (e) a (f) z předchozího příkladu.}

\priklad{\label{pr93}
Odvoďte dále vztahy:
\begin{enumerate}
\item $\sin 2x=2\sin x\cos x$,\quad $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$,
\item $\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$,\quad $\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$,
\item $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$,\quad $\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.
\end{enumerate}
}
\napoveda{V částech 2. a 3. 
napište $x=\alpha+\beta$ a $y=\alpha-\beta$ a použijte součtové vzorce.}

\priklad{\label{pr94}
Za předpokladu, že výrazy dávají smysl, dokažte následující rovnosti. Popište, pro které hodnoty tyto rovnosti platí.  
\begin{enumerate}
\item $\tg (x+y)=\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x\tg y}$,
\item $\tg (x-y)=\frac{\tg x-\tg y}{1+\tg x\tg y}$,
\item $ \tg x\cdot \tg \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-1.$
\end{enumerate}
}
\napoveda{1) Ve vztahu $\tg (x+y) = \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}$ použijte součtové vzorce pro $\sin(x+y)$ a $\cos(x+y)$.  
2) Ve vztahu $\tg (x-y) = \frac{\sin(x-y)}{\cos(x-y)}$ použijte součtové vzorce pro $\sin(x-y)$ a $\cos(x-y)$. 
3) Ve výrazu $\tg \left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \frac{\sin(\frac{\pi}{2}+x)}{\cos(\frac{\pi}{2}+x)}$ použijte vzorce
pro $sin(\frac{\pi}{2}+x)$ a $cos(\frac{\pi}{2}+x)$. }

\vysledek{1) 
Rovnost platí pokud 
$\{x,y,x+y\}\cap\{\frac{\pi}{2}+k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} =\emptyset$. 
2) Rovnost platí pokud 
$\{x,y,x-y\}\cap\{\frac{\pi}{2}+k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} =\emptyset$.
3) Rovnost platí pro $x \not = \frac{\pi k}{2}+k\pi$, 
$k \in \mathbb{Z}$.
}

\priklad{Odvoďte následující vztahy (a promyslete, pro které hodnoty $x\in\mathbb R$ platí):
\begin{enumerate}
\item $\sin x= \frac{2\tg \frac{x}2}{1+\tg^2\frac{x}2}$,
\item $\cos x= \frac{1-\tg^2\frac{x}2}{1+\tg^2\frac{x}2}$,
\item $\tg x= \frac{2\tg \frac{x}2}{1-\tg^2\frac{x}2}.$
\end{enumerate} }
\napoveda{Ve všech případech na pravé straně použijte $\tg \frac{x}{2} = \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}$ a následně upravte složený zlomek.}

\vysledek{Ve všech případech musí platit $x \not= (2k+1)\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. V případě 3. navíc $x \not= \frac{\pi}{2} + k\pi$, 
$k \in \mathbb{Z}$.}


\priklad{
{\bf a)} Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokažte:
$$\sin{2x}=\frac{4\operatorname{cotg} 2x}{{\operatorname{cotg}}^2 x -{\operatorname{tg}}^2 x}. $$ 
{\bf b)} Určete, pro která reálná čísla $x$ mají výrazy smysl.}

\vysledek{a)
Samozřejmě použijeme známé vztahy 
$\sin 2x=2\sin x \cos x$ a $\cos 2x=\cos^2 x- \sin^2 x$.
Připomeňme vzoreček $A^4-B^4=(A^2-B^2)(A^2+B^2)$, 
který pro $A=\cos x$ a $B=\sin x$ dává 
$\cos^4 x -\sin^4 x=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$, protože 
$\cos^2 x+\sin^2 x=1$ (pro libovolné $x$).
S~využitím těchto vztahů můžeme upravit 
pravou stranu takto:
$$\frac{4\operatorname{cotg} 2x}{{\operatorname{cotg}}^2 x -{\operatorname{tg}}^2 x}
=\frac{4 \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x}}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}-
\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}
= 
\frac{4 \cdot \frac{\cos 2x}{2 \sin x \cos x}}
{\frac{\cos^4 x-\sin^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x}}= 
2 \cdot \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x} \cdot 
\frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^4 x-\sin^4 x}.
$$
Zde lze pokrátit zlomek výrazem $\cos^4 x -\sin^4 x=\cos 2x$
a také $ \sin x \cos x$. Tím dostaneme výraz $2 \sin x\cos x$, 
který je roven $\sin 2x$, tj. pravé straně dokazované rovnosti. 

b) Předně pro $x$ musí být definovány hodnoty 
$\tg x$ a $\operatorname{cotg} x$. Tedy $x$ nesmí být tvaru 
$\frac{\pi}{2}+k \pi$, resp. $k \pi$, pro $k\in\mathbb Z$.
Tzn.  $x\not\in \{k \cdot \frac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb Z\}$.
Dále potřebujeme, aby $\operatorname{cotg}^2 x \not=\tg^2 x$,
tj. aby $\cos^4 x \not =\sin^4 x$. Tato podmínka je ekvivalentní
s podmínkou $|\cos x|\not=|\sin x|$, a tedy $x\not = \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2}$, pro $k\in\mathbb Z$. 
Celkem $x\not\in \{k \cdot \frac{\pi}{4}\mid k\in\mathbb Z\}
=\{k \cdot \frac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb Z\}\cup
\{\frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb Z\}
$.}


\priklad{Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokažte:
\begin{enumerate}
\item $\frac{\sin x+\cos x}{\cos^3 x}=1+\tg x+\tg^2x+\tg^3x$,
\item $\frac{1+\sin 2x}{\cos 2x}=\tg (\frac{\pi}{4}+x)$,
\item $\frac{\tg 3x}{\tg x}=\frac{3-\tg^2x}{1-3\tg^2x}$,
\item $\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}=\tg x$,
\item $\cos^6x-\sin^6x=\frac{1}{4}(3+\cos^22x)\cos 2x$,
\item $\sin x\cos (y-x)+\cos x\sin(y-x)=\sin y$.
\end{enumerate}
}
\napoveda{1) Na pravé straně použijte $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, upravte na společný jmenovatel a použijte vztah
$\sin^2 x + \cos^2x=1$. 
2) Použijte součtový vzorec pro $\tg (x+\frac{\pi}{4})$, upravte složený zlomek a pak porovnejte s levou stranou. 
3) Použijte součtový vzorec pro $\tg (3x) = \tg (x+2x)$, pak znova pro $\tg (2x) = \tg (x+x)$ a upravte složený zlomek.
4) Použijte vzorce pro $\sin(2x)$ a $\cos(2x)$ a  také $\sin^2 x + \cos^2x=1$; výsledný zlomek pak zjednodušte.
5) Použijte vztah $a^6-b^6 = (a^2-b^2)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$. 
Přitom zde $a^2+b^2=1$ a $1-a^2b^2=1-\frac14 \sin^2 2x$.  
6) Použijte součtové vzorce.}

\vysledek{1) Vztah má smysl pro $x \not= k\pi + \frac{\pi}{2}$, 
$k \in \mathbb{Z}$. 2) V jisté fázi se hodí rozšířit pravou stranu zlomkem $\frac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}$.
Vztah má smysl pro 
$x \not= \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
3) Vztah má smysl pro $x \not= \pm \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$ a $x \not= k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
4) Vztah má smysl pro $x \not= \frac{\pi}{2} + k\pi$ a $x \not= -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
5)  Vztah má smysl pro každé $x \in \mathbb{R}$.
6) Vztah má smysl pro každé $x \in \mathbb{R}$.
 }


\priklad{Vypočtěte bez kalkulačky:
\begin{enumerate}
\item $\cos 15^\circ$,
\item $\tg 75^\circ$,
\item $\tg 20^\circ+\tg 40^\circ+\sqrt{3}\tg 20^\circ\tg 40^\circ$,
\item $\sin 160^\circ\cos 110^\circ+\sin 250^\circ\cos 340^\circ+\tg 110^\circ\tg 340^\circ$,
\item $\sin\frac{3\pi}{10}\sin\frac{\pi}{10}-\sin\frac{3\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5}+\sin\frac{7\pi}{10}\sin\frac{3\pi}{10}$.
\end{enumerate}
}
\napoveda{1) $15=45-30$. 2) $75=45+30$. 3) použijte vztah \ref{pr94}-1  
pro argumenty $20^\circ$ a $40^\circ$. 
4) použijte vztahy z příkladu \ref{pr91} 
na posunutí argumentů do základního intervalu. Potom součtový vzorec na součet prvních dvou členů a vzorec z \ref{pr94}-3 na třetí sčítanec.
5) použijte poslední vzorec z \ref{pr93}-3 v opačném směru.}

\vysledek{ 1) $\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot (1+\sqrt{3})$. 
2) $2+\sqrt{3}$. 3) $\sqrt{3}$. 4) $0$. 5) $0$.}


\prikladhvezda{Dokažte, že pro vnitřní úhly $\alpha,\beta,\gamma$ trojúhelníka platí:
$$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}.$$
}

%\end{document}

\cviceni{Inverzní funkce (geometrických funkcí)}{30.11. a 1.~12.}

\priklad{Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce $f$ monotónní.
Na těchto intervalech určete inverzní funkci.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+x-6$,
\item $f(x)=\sqrt{x^2+4x-12}$.
\end{enumerate}
}
\vysledek{1) $I_1=(-\infty,-1/2]$ a $I_2=[-1/2,\infty)$; 
Pro $I_1$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=-\frac12-\sqrt{x+\frac{25}{4}}$, s definičním oborem 
$[-\frac{25}{4},\infty]$ a oborem hodnot $I_1$; 
Pro $I_2$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=-\frac12+\sqrt{x+\frac{25}{4}}$, s definičním oborem 
$[-\frac{25}{4},\infty]$ a oborem hodnot $I_2$. 
2)  $I_1=(-\infty,-6]$ a $I_2=[2,\infty)$; Pro $I_1$ je inverzní funkce 
$f^{-1}(x)=-2-\sqrt{x^2+16}$, s definičním oborem 
$[0,\infty]$ a oborem hodnot $I_1$; 
 Pro $I_2$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=-2+\sqrt{x^2+16}$, s definičním oborem 
$[0,\infty]$ a oborem hodnot $I_2$.}

\priklad{Funkce $\arcsin$ je inverzní funkce k funkci $\sin$ na intervalu $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$.
Napište předpis inverzní funkce k funkci $\sin$ na intervalu
\begin{enumerate}
\item $[2k\pi-\frac{\pi}{2};2k\pi+\frac{\pi}{2}]$,
\item $[(2k+1)\pi-\frac{\pi}{2};(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}]$
\end{enumerate}
pomocí funkce $\arcsin$.
\begin{enumerate}
\item[3] Navrhněte a řešte analogickou úlohu pro dvojice funkcí $\cos,\arccos$, resp. $\tg$, arctg.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $\arcsin x +2k\pi $. 2) $-\arcsin x +(2k+1) \pi $. }

\priklad{Najděte maximální interval obsahující 0, na němž je funkce $f$ monotónní.
Na~tomto intervalu určete inverzní funkci.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sin x\cdot\cos x$,
\item $f(x)=\sin x+\cos x$,
\item $f(x)=\sqrt{3}\cdot \sin x+\cos x$, 
%\item $f(x)=3^x-2^x$,
\item $f(x)=\log(\cos x)$,
\item $f(x)=\log(\log (x+10))$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $f(x)=\frac12\sin2x$, $I=[-\pi/4,\pi/4]$, $H(f)=[-1/2,1/2]$, 
tzn. $f^{-1} (x)= \frac12 \arcsin 2x$ s definičním oborem $[-1/2,1/2]$ a oborem hodnot $I$.\\ 
2) $f(x)=\sqrt{2} \cdot \cos (x-\pi/4)$, $I=[-\frac34 \pi,\frac14 \pi]$, $H(f)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, 
tzn. $f^{-1} (x)=-\arccos (\frac{-y}{\sqrt{2}})+\frac{\pi}{4}$ s definičním oborem 
$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ a oborem hodnot $I$. \\
3) $f(x)=2 \cdot \sin (x+\pi/6)$, $I=[-\frac23 \pi,\frac13 \pi]$, $H(f)=[-2,2]$, 
tzn. $f^{-1} (x)=\arcsin(\frac{y}{2})-\frac{\pi}{6}$ s definičním oborem 
$[-2,2]$ a oborem hodnot $I$.\\
4) Protože funkce $\cos $ (a tudíž i funkce $f$) 
nabývá v bodě $0$ svého maxima, existují dva maximální intervaly $I_1$ a $I_2$ obsahující bod $0$, kde 
je $f$ monotónní:
$I_1=(-\frac{\pi}{2},0]$ a $I_2=[0,\frac{\pi}{2})$. V obou případech je  $H(f)=(-\infty,0]$.
Pro $I_1$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=-\arccos (10^x)$, s definičním oborem $(-\infty,0]$
a oborem hodnot $I_1$; 
Pro $I_2$ je inverzní funkce $f^{-1}(x)=\arccos (10^x)$, s definičním oborem $(-\infty,0]$
a oborem hodnot $I_2$.\\ 
5) Definiční obor funkce $f$ je $(-9,\infty)$ a obor hodnot je $\mathbb R$. 
Funkce je na svém definičním oboru rostoucí. Tedy  $f^{-1} (x)=10^{10^x}-10$ má definiční obor 
$\mathbb R$ a obor hodnot $(-9,\infty)$.
}

\priklad{
Funkce $\arccos$ je inverzní funkce k funkci $\cos: [0,\pi] \to [-1,1]$. Pomocí této funkce vyjádřete funkci $g$, která je inverzní k funkci $f(x)=3\cos 2x-1$ uvažované na intervalu $[\frac{\pi}{2},\pi]$. (Definiční obor funkce $ g $ je tedy obor hodnot funkce $f$, pokud zúžíme definiční obor funkce $f$ na interval  
$[\frac{\pi}{2},\pi]$.) }

\vysledek{ Pro $x\in [\frac{\pi}{2},\pi]$ máme 
$f(x)=3\cos 2x-1 \in [-4,2]$. 
(Poznamenejme, že funkce je 
na intervalu $[\frac{\pi}{2},\pi]$ rostoucí, a tedy funkce $g$ je jako inverzní funkce k $f$ dobře definována.)
Proto $g: [-4,2] \rightarrow [\frac{\pi}{2},\pi]$.
Pro dané $y\in [-4,2]$ chceme ze vztahu 
$3\cos 2x-1=y$ vypočítat pro toto $y$ správnou hodnotu $x\in [\frac{\pi}{2},\pi]$.
Dostáváme $\cos 2x=\frac{y+1}{3}$, kde $\frac{y+1}{3}\in[-1,1]$.
Pokud nyní použijeme funkci $\arccos$, dostaneme 
hodnotu $a=2x=\arccos (\frac{y+1}{3}) \in [0,\pi]$.
My ale hledáme $b=2x\in  [\pi,2\pi]$ s vlastností
$\cos b=\cos a$. Takové $b$ zřejmě splňuje $b+a=2\pi$.
Tedy $2x=b=2\pi-a=2\pi - \arccos (\frac{y+1}{3})$.
Odtud $x= \pi - \frac12 \arccos (\frac{y+1}{3})$.
(Všimněme si, že $\frac12 \arccos (\frac{y+1}{3})\in 
[0,\frac{\pi}{2}]$, a proto $x\in [\frac{\pi}{2},\pi]$, jak bylo požadováno.) 
Závěr tedy je, že funkce 
$g: [-4,2] \rightarrow [\frac{\pi}{2},\pi]$
je dána předpisem $g(x)= \pi - \frac12 \arccos (\frac{x+1}{3})$.}



\priklad{Následující vztahy lze použít pro výpočet $\arccos x$ a $\arctan x$ při znalosti hodnoty $\arcsin x$. Dokažte tyto vztahy.
\begin{enumerate}
\item Pro libovolné 
$x\in [-1,1]$ platí $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.
\item Pro libovolné 
$x\in \mathbb R$ platí 
$\arctan x = \arcsin \left( \tfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) $.
\end{enumerate}}

\napoveda{1) Použijte vztah $\cos y =\sin(\frac{\pi}{2}-y)=x$ pro 
$y\in [0,\pi]$. 2) Umocněte na druhou $x=\tg y=\frac{\sin y}{\cos y}$
a nahraďte $\cos^2 y$ výrazem $1-\sin^2y$.  Následně rovnost upravte rovnost do tvaru $x^2=(x^2+1) \sin^2 y$, z níž lze hodnotu $y=\arctan x $ vypočítat pomocí funkce $\arcsin x$.}


%\end{document}
\cviceni{Rovnice a nerovnice s goniometrickými funkcemi}{7. a 8.~12.}

\priklad{Určete nejmenší periodu zadané funkce:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sin x +\cos x$,
\item $f(x)=\sin 3x$,
\item $f(x)=|\cos 2x|$,
\item $f(x)=\sin \frac{1}{x}$,
\item $f(x)=\sin x^2$,
\item $f(x)=\sin x +\tg x$.
\end{enumerate}
}
\vysledek{1) $2\pi$. 2) $\frac{2\pi}{3}$. 3) $\frac{\pi}{2}$. 
4) není periodická. 5) není periodická. 6) $2\pi$.}

\priklad{
Určete obor hodnot a nejmenší periodu následujících funkcí.

\noindent
{\bf a)} $f(x) = \sin(x) \sin(x+\pi)$, 

\noindent
{\bf b)} $g(x) = |\sin(x) \sin(x+\frac{\pi}{2})|$,


\noindent
{\bf c)} $h(x) = \sin(x) + \sin(x+\frac{\pi}{2}) + \sin(x+\pi) + \sin(x+\frac{3\pi}{2})$.}

\vysledek{ a) Protože $\sin(x+\pi)=-\sin x$, dostáváme
$f(x) = -\sin^2(x)$. Proto $H(f)= [-1,0]$ a nejmenší perioda funkce 
$f$ je $\pi$. 

b) Protože $\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos x$, dostáváme
$g(x) =|\sin x \cos x|=|\frac12 \sin 2x|$. Proto $H(g)= [0,\frac12 ]$.
Protože perioda funkce $\sin 2x$ je $\pi$, dostaneme díky absolutní hodnotě, že nejmenší perioda funkce $g$ je $\frac{\pi}{2}$. 

c) Protože $\sin(x+\pi)=-\sin x$, dostáváme také 
$\sin(x+\frac{3\pi}{2})=-\sin (x+\frac{\pi}{2})$.
Proto  $h(x) = \sin(x) + \sin(x+\frac{\pi}{2}) - \sin x - 
\sin(x+\frac{\pi}{2})=0$. Funkce $h$ je konstantní, přitom
$H(h)=\{0\}$. Nejmenší perioda funkce $h$
neexistuje, neboť je její periodou libovolné 
kladné reálné číslo.}

\priklad{U dané funkce určete, zda je sudá nebo lichá.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x\cdot \sin x$,
\item $f(x)=x\cdot \cos 2x$,
\item $f(x)=x+\sin x$,
\item $f(x)=\sin \frac{1}{x}$,
\item $f(x)=\cos x^2$,
\item $f(x)=\sin^2 x$,
\item $f(x)=|\sin x+\cos x|$,
\item $f(x)=\sin|x|$.
\end{enumerate}
}
\vysledek{1) sudá. 2) lichá. 3) lichá. 4) lichá. 
5) sudá. 6) sudá. 7) není ani sudá ani lichá. 8) sudá.}

\priklad{Udejte příklad funkce s vhodným definičním oborem, která má předepsané vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item perioda $3\pi$, obor hodnot $[1,2]$,
\item perioda $1$, obor hodnot $\mathbb R$,
\item perioda $2$, obor hodnot $[0,1]\cup (2,3)$, rostoucí na intervalu $(0,2)$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) Např. funkce $f(x)=\frac12\cdot (\sin(\frac23 x)+3)$.
2)  Např. funkce $f(x)=\tg(\pi x)$. 3) Např. funkce $f$ daná předpisem: 
pro libovolné $k\in\mathbb Z$ pro $x\in [2k,2k+1]$ klademe 
$f(x)=x-2k$, pro $x\in (2k+1,2k+2)$ klademe $f(x)=x+1-2k$. }


\priklad{Udejte příklad funkce s definičním oborem obsahující interval $I$, pro niž je obor hodnot na intervalu
$I$ roven $(0,\infty)$, tzn. $f(I)=(0,\infty)$.
\begin{enumerate}
\item $I=(n,\infty)$, pro pevně zvolené $n\in \mathbb N$,
\item $I=(-\infty,n)$, pro pevně zvolené $n\in \mathbb N$,
\item $I=(0,n)$, pro pevně zvolené $n\in \mathbb N$,
\item $I=(a,b)$, pro pevně zvolená $a,b\in \mathbb R$ splňující $a<b$,
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) Např. funkce $f(x)=x-n$.
2) Např. funkce $f(x)=n-x$. 
3) Např. funkce $f(x)=\tg(\frac{x}{n}\cdot \frac{\pi}{2})$.
4) Např. funkce $f(x)=\tg(\frac{x-a}{b-a}\cdot \frac{\pi}{2} )$.
}

\priklad{Udejte příklad funkce s definičním oborem $\mathbb R$ takové, že pro libovolné kladné reálné číslo  $\varepsilon$ je obor hodnot na intervalu $(0,\varepsilon)$ roven 
$I$, tzn. $f(0,\varepsilon)=I$.
\begin{enumerate}
\item $I=[-1,1]$,
\item $I=(-1,1)$,
\item $I=[0,1]$,
\item $I=(0,1)$,
\item $I=(0,\infty)$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) Např. funkce $f(x)=\sin \frac 1 x $ (pro $x\not =0$ a $f(0)=0$). 2)  Např. funkce $f(x)=\sin \frac 1 x $ pro $x\not=\frac{1}{2k\pi}$, $k\in \mathbb Z$, kde se pro hodnoty $x=\frac{1}{2k\pi}$ (a $x=0$) dodefinuje $f(x)=0$.
3) Např. funkce $f(x)= |\sin \frac 1 x| $ (pro $x\not =0$ a $f(0)=0$).
4)  Např. funkce $f(x)=|\sin \frac 1 x| $ pro $x\not=\frac{1}{k\pi}$, $k\in \mathbb Z$, kde se pro hodnoty $x=\frac{1}{k\pi}$ (a $x=0$) dodefinuje $f(x)=1/2$.
5) Např. funkce $f(x)=|\tg \frac 1 x|$, s vhodným dodefinováním v bodech, kde není dle tohoto předpisu funkce definována nebo nabývá hodnoty 0. (Tj. předpis  $f(x)=|\tg \frac 1 x|$ se použije pro $x\not = 
\frac{2}{k\pi}$ a $x\not =0$. V ostatních případech klademe $f(x)=1$.)     
}

\priklad{Řešte v $\mathbb R$ rovnice nejdříve graficky a poté i algebraickým výpočtem:
\begin{enumerate}
\item $\sin x=\sin 2x$,
\item $\sin 3x + \cos 3x=0$,
\item $\sin 2x=\cos 3x$.
\end{enumerate}
}

\napoveda{2) V druhé části úkolu 
lze nahradit $\cos$ pomocí $\sin$ dle vztahu \ref{pr91}-6), a potom použít \ref{pr93}-2).
3) Převeďte $\cos 3x$ na levou stranu a použijte stejný postup jako v 2) s využitím \ref{pr93}-3). 
}

\vysledek{
Řešením je vždy sjednocení $\bigcup_{k\in\mathbb Z} M_k$ množin $M_k$. 
Jednotlivé množiny $M_k$  jsou množiny řešení dané rovnosti na intervalu
$[2k\pi, (2k+2)\pi]$, resp. $[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi]$. \\
1) $M_k=\{2k\pi, \pi+2k\pi, \frac{\pi}{3}+2k\pi,
\frac{5\pi}{3}+2k\pi\}$,\\
2) $M_k=\{\frac{3\pi}{12}+2k\pi, \frac{7\pi}{12}+2k\pi, \frac{11\pi}{12}+2k\pi,
\frac{15\pi}{12}+2k\pi, \frac{19\pi}{12}+2k\pi, \frac{23\pi}{12}+2k\pi\}$,\\
3) $M_k=\{\frac{3\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{10}+2k\pi, \frac{5\pi}{10}+2k\pi,
\frac{9\pi}{10}+2k\pi, \frac{13\pi}{10}+2k\pi, \frac{17\pi}{10}+2k\pi\}$.}


\priklad{Řešte v $\mathbb R$ následující rovnice. Vždy určete počet řešení v intervalu $[0,2\pi)$.
\begin{enumerate}
\item $\sin 2x=\sqrt{2} \cos x$,
\item $2\sin^2 x + 7 \cos x-5=0$,
\item $2\cos x\cos  2x=\cos x$,
\item $\sqrt{3}\cos x + \sin x= 2$,
\item $\sin 3x +\sin x=\sin 2x$,
\item $\sin 5 x\cos 3x=\sin 6x\cos 2x$,
\item $\sin 2x +\cos 2x=\sin x+\cos x$.
\end{enumerate}
}
\napoveda{1) Použijte \ref{pr93}-1). 2) Nahraďte $\sin^2x$ (pomocí goniometrické jedničky) výrazem $1-\cos^2 x$ a řešte kvadratickou rovnici  v proměnné $y=\cos x$. 3) Po převedení na levou stranu, lze $\cos x$ vytknout. 
4) Podělte 2 a použijte \ref{pr92} zprava doleva. 
5) Použijte \ref{pr93}-2) na levou stranu. 
6) Použijte \ref{pr93}-2) zprava doleva. 7) Použijte \ref{pr91}-6) a 
\ref{pr93}-2).}

\vysledek{Ve všech případech se řešení periodicky opakují podobně jako v předchozím případě.
Lze je tedy i podobným způsobem zapsat. My zde uvedeme pouze výčet 
řešení v intervalu $[0,2\pi)$.\\
1) $\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{2}$.\\
2) $\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$.\\
3) $\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$.\\
4) $\frac{\pi}{6}$.\\
5) $0, \frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.\\
6) $0, \frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, 
\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$.\\
7) $0, \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, \frac{9\pi}{6}$.}


\priklad{Řešte graficky v $\mathbb R$ následující nerovnice.
\begin{enumerate}
\item $\sin x>\frac12$,
\item $\sin x < \cos x$,
\item $\tg x \le -\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
}
\vysledek{Řešením je vždy sjednocení $\bigcup_{k\in\mathbb Z} I_k$.
Jednotlivé množiny $I_k$  jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu
$[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi]$, resp. $[(k-\frac12)\pi, (k+\frac12)\pi]$.\\
1) $I_k=(\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi)$. \\
2) $I_k=(-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \frac{\pi}{4} + 2k\pi)$. \\
3) $I_k=(-\frac{\pi}{2} + k\pi, -\frac{\pi}{3} + k\pi)$.}


\priklad{Řešte v $\mathbb R$ následující nerovnice. 
\begin{enumerate}
\item $\sin 3x<\sin x$,
\item $2 \cos^2 x+5\cos x+2\ge 0$,
\item $\sin x +\cos x < \frac{1}{\cos x}$,
\item $\sin 2x +\sin x \le 0$,
\item $1-\cos x \le \tg x-\sin x$,
\item $\sin x +\sin 2x +\sin 3x < 0$,
\item $\sin 3x  > 4 \sin x\cos 2x$.
\end{enumerate}
}

\napoveda{ 
1) Použijte \ref{pr93}-3). 
2) Použijte substituci $y=\cos x$ a řešte kvadratickou nerovnici.
3) Pronásobte $\cos x$ a použijte \ref{pr91}-1). Potom lze dělit $\sin x$, ovšem pozor na znaménka při násobení a dělení.
4) Použijte \ref{pr93}-2). 
5) Pravá strana je součin levé strany a $\tg x$. 
6) Sečtěte (dle \ref{pr93}-2)) $\sin x +\sin 3x$. 
7) Vyjádřit obě strany pomocí $\sin x $ 
(za použití \ref{pr92}, resp. \ref{pr93}-1), 
s přihlédnutím k \ref{pr91}-1).}

\vysledek{Řešením je vždy sjednocení $\bigcup_{k\in\mathbb Z} I_k$ množin $I_k$. 
Jednotlivé množiny $I_k$  jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu
$[2k\pi, (2k+2)\pi]$, resp. $[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi]$. \\
1) $I_k=(\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{3\pi}{4} + 2k\pi) \cup
(\frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \frac{6\pi}{4} + 2k\pi) \cup (\frac{7\pi}{4} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, \\
2) $I_k=[-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi]$,\\
3) $I_k=(\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi) \cup
(\pi + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, \\
4) $I_k=[\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \pi + 2k\pi] \cup
[\frac{4\pi}{3} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi]$, \\
5) $I_k=(\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi) \cup
(\frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi) \cup \{2k\pi\}$, \\
6) $I_k=(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi) \cup
(\pi + 2k\pi, \frac{4\pi}{3} + 2k\pi) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, \\
7) $I_k=(\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi) \cup
(\pi + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi) \cup (\frac{11\pi}{6} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$.
}

\priklad{
Určete, která $x \in \mathbb{R}$ splňují následující nerovnosti. 

{\bf a)}  $\sin{x} < \frac{1}{\cos x}$ , 

\noindent
{\bf b)} $0 < \sin{x} < \frac{\sqrt{3}}{4\cos x}$.}

\vysledek{
a) Zjevně $\cos x\not=0$. Pokud $\cos x <0$, potom je nerovnost 
ekvivalentní s nerovností $\sin x \cos x >1$. Taková nerovnost neplatí
pro žádné $x\in\mathbb R$, protože $|\sin x| \le 1$ i $|\cos x|\le 1$, tzn.
$|\sin x \cos x| \le 1$.
Pokud $\cos x >0$, potom dostaneme ekvivalentní nerovnost
$\sin x \cos x <1$. Tato nerovnost naopak platí pro libovolné $x$ (splňující uvažovaný předpoklad $\cos x >0$), díky stejným nerovnostem 
$|\sin x| \le 1$ i $|\cos x|\le 1$, v kterých nemůže nastat rovnost 
současně. 
Nerovnost tedy platí pro všechna $x\in\mathbb R$ taková, že 
$\cos x >0$, tj. 
$$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z} (-\frac{\pi}{2} +2k\pi,
\frac{\pi}{2} +2k\pi).$$
(Poznamenejme, že v obou případech lze k argumentaci 
použít také vztah $\sin x \cos x =\frac12 \sin 2x$.) 

b) Z nerovnosti $0 < \frac{\sqrt{3}}{4\cos x}$ vidíme, že musí platit
$\cos x >0$. Vzhledem k nerovnosti $0<\sin x$, tak dostáváme nutnou podmínku
$x\in (2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$ pro $k\in \mathbb Z$.
Pro tato $x$ (tj. taková, že $\cos x >0$ i $\sin x >0$)
je nerovnost $\sin{x} < \frac{\sqrt{3}}{4\cos x}$
ekvivalentní nerovnosti 
$2\sin x\cos x <\frac{\sqrt{3}}{2}$, tj. 
$\sin 2x<\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Označme nyní $z=2x$ a vyřešme nerovnost 
$\sin z<\frac{\sqrt{3}}{2}$ na příslušném intervalu.
Vzhledem k předpokladu $x\in (2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$ platí 
$z\in (4k\pi, \pi + 4k\pi)$.   
Proto jsou řešením nerovnosti $\sin z<\frac{\sqrt{3}}{2}$ právě
$z\in (4k\pi, \frac{\pi}{3}+4k\pi) \cup (\frac{2\pi}{3}+4k\pi,\pi+4k\pi)$.
Odtud $x\in (2k\pi , \frac{\pi}{6}+2k\pi) \cup (\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$, kde $k\in\mathbb Z$.
Množina všech $x$, pro něž platí zadané nerovnosti, je 
$$ \bigcup_{k\in\mathbb Z} \left(
(2k\pi , \frac{\pi}{6}+2k\pi) \cup (\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)\right) .$$}




\end{document}

\cviceni{Poslední cvičení -- doplňkové téma}{14. a 15.~12.}

Obsah není součástí požadavků k ukončení předmětu, tj. nebude na písemkách.

\vskip .4cm

\priklad{\label{pr121}
\begin{enumerate}
\item Kolika způsoby lze vyjít $10$ schodů, pokud mohu dělat kroky po 1 nebo 2 schodech.
\item Kolika způsoby lze vyjít $10$ schodů, pokud mohu dělat kroky po 1, 2 nebo 3 schodech.
\end{enumerate}}

\priklad{
\begin{enumerate}
\item Určete, kolik je řetězců délky $n=10$ nad abecedou $\{a,b\}$, 
které neobsahují podřetězec $aa$.
\item Určete, kolik je řetězců délky $n=10$ nad abecedou $\{a,b,c\}$, 
které neobsahují podřetězec $aa$.
\item Určete, kolik je řetězců délky $n=10$ nad abecedou $\{a,b,c\}$, 
které neobsahují podřetězec $aaa$.
\end{enumerate}}

\priklad{Vyřešte příklad \ref{pr121}-1) obecně v případě 
vycházení $n$ schodů.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section*{Třetí vnitrosemestrální písemka}

Psaná dne 16. 12. 2021 na obsah kapitol 10, 11 a 12.

\vspace{2ex}


%\end{document}


\vskip 1cm

Příklady a témata u LEDu --- možná někdy 

\paragraph{{\color{violet} Příklady na NSD}}

\priklad{Nechť $a$ a $b$ jsou celá čísla. Pro největší společné dělitele dokažte:
\begin{enumerate}
\item Pokud obě čísla jsou lichá, pak $(a+b,a-b)=2(a,b)$.
\item Pokud je jedno z čísel $a$ a $b$ liché a druhé sudé, pak $(a+b,a-b)=(a,b)$.
\end{enumerate}}

\priklad{Nechť $a$, $b$ a $c$ jsou celá čísla. Pro největší společné dělitele dokažte:
\begin{enumerate}
\item Pokud jsou všechna čísla $a$, $b$ a $c$ lichá, pak $(a+b-c,a-b+c,-a+b+c)=(a,b,c)$.
\item Pokud je aspoň jedno z čísel $a$, $b$ a $c$ liché a aspoň jedno sudé, pak 
$(a+b,a+c,b+c)=(a,b,c)$.
\end{enumerate}}


\paragraph{{\color{violet} Příklady kombinující první cvičení s kuželosečkami}}

\priklad{Uvažme elipsu danou rovnicí 
$$
x^2+4y^2+8x-16y+16=0.
$$
\begin{enumerate}
\item Popište množinu bodů $(x,y)$ v rovině, které leží uvnitř elipsy a zároveň splňují  $x+1 \leq y \le x+2$.
\item Určete bod uvnitř elipsy, ve kterém funkce $x-y+2$ nabývá maxima.
\end{enumerate}
Poznamenejme, že pojem \uv{uvnitř} zahrnuje též hranici elipsy.}


\paragraph{{\color{violet} Příklady s funkcemi a kvantifikátory}}


\priklad{Uvažujme následující vlastnosti funkce $f$ s definičním oborem $D(f)$. 
\begin{enumerate}
\item $(\forall x\in D(f))(f(x)>x)$,
\item $(\exists x\in D(f))(f(x)=x)$,
\item $(\exists x \in D(f))(f(x)>x)$,
\item $(\forall x\in D(f))(\exists y\in D(f)) (f(x)< f(y))$,
\item $(\forall x\in D(f))(\exists y\in D(f)) (x<y \wedge  f(x)= f(y))$,
\item $(\forall x\in D(f))(\forall y\in D(f)) (x\le y \vee f(x)\le f(y))$.
\end{enumerate}
Rozhodněte, která z vlastností je splněna pro následující funkce.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sin x$,
\item $f(x)=\cos x$,
\item $f(x)=2^x$,
\item $f(x)=3^{-x}$,
\item $f(x)=\ln x$,
\item $f(x)=x^2+2x+3$,
\item $f(x)=x^3$,
\item $f(x)=\sqrt x$.
\end{enumerate}
}
\end{document}

----------------------------------------------------
1. Čtverec - celkem bodů: *0
a) Popis množiny (max 3 body): 
Z toho 
- obrázek a formální rámec odpovědi (max 1 bod):
- správné nerovnosti (dvě dvojice - max 2krát 1bod) 
b) Body s celočíselnými souřadnicemi (max 1 bod):  
----------------------------------------------------
2. Funkce - celkem bodů: *0
a) Definiční obor (max 1 bod):
b) Obor hodnot  (max 1 bod):
c) Graf (max 1 bod): 
d) Maximální intervaly monotonie (max 1 bod):
----------------------------------------------------
3. Kvadratická nerovnost -  celkem bodů: *0
Rozdělení případů a případ r=3 (max 1 bod):  
Případ r>3 (max 1 bod): 
Případ r<3 (max 2 body): 
----
Rozdělení případů a případ r=2 (max 1 bod):  
Případ r>2 (max 1 bod): 
Případ r<2 (max 2 body): 
----------------------------------------------------
4. Monotonie - celkem bodů: *0
a) Důkaz  (max 2 bod): 
b) Rozhodnutí  (max 2 bod):  ???? (viz mail)
----------------------------------------------------
5. Jednociferná čísla - celkem bodů: *0
----------------------------------------------------


--------------------------------------------------------------
1. Rovnice s absolutní hodnotou - celkem bodů: *0
-rozdělení na čtyři intervaly (max 1 bod):
-interval od minus nekonečna, jedno řešení (max 0.5 bodu):
-levý z prostředních dvou intervalů, dvě řešení (max 2 body):
-pravý z prostředních dvou intervalů, žádné řešení (max 1 bod):
-interval do plus nekonečna, žádné řešení (max 0.5 bodu):
-------------------------------------------------------------------
2. Kvadratická soustava - celkem bodů: *0
-postup (max 2 body):
-a=0 (max 1 bod):
-a=-1/2 (max 1 bod):
-objevení a vyloučení a=1 (max 1 bod):
---------------------------------------------------------
3. Nerovnice s odmocninami - celkem bodů: *0
-omezení daná nezáporností výrazu pod odmocninami (max 1 bod):
-postup - dvojí umocnění (max 2 body):
-vyřešení kvadratické nerovnice (max 1 bod):
-výsledek (max 1 bod):
---------------------------------------------------------------------
4. Logaritmy - celkem bodů: *0
a) -postup (max 2 body):
- 2 řešení (max 2 body):
b) (max 1 bod):
---------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------
1. Formule s goniometrickými funkcemi - celkem bodů: *0
a) (max 2.5 bodu; násl. vždy max 0.5)
- za použití vztahu pro sin2x:
- za další úpravy:
- za rozepsaní A^4-B^4:
- za goniometrickou 1:
- za dokončení
b) (max 2.5 bodu)
- za nenulovost cos 2x - liché násobky pi/4 (max 1 bod): 
- za def. obor tg x - liché násobky pi/2 (max 0.5 bodu): 
- za def. obor cotg x - násobky pi (max 0.5 bodu):
- souhrn - všechny násobky pi/4 (max 0.5 bodu):  
---------------------------------------------------------------
2. Nerovnost s goniometrickými funkcemi - celkem bodů: *0

---------------------------------------------------------------
3. Inverzní funkce - celkem bodů: *0
- def. obor g (max. 1 bod):
- obor hodnot g  (max. 0.5 bodu):
- spravne pouziti arccos (max. 2 body):
- doladeni formule (max. 1.5 bodu):
---------------------------------------------------------------
4. Nejmenší perioda - celkem bodů: *0
