M1130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 10. října 2023. 4 Monotonie a kvadratické funkce Cvičení konaná 9. a 10. 10. 2023. Příklad 4.1: 1. Definujte (formálně) pojem „funkce / je rostoucí na intervalu J". 2. Definujte formálně „maximální interval, kde je funkce / rostoucí". 3. U funkcí z příkladů 3.1, 3.2 a 3.4 zjistěte, na kterých maximálních intervalech jsou rostoucí, resp. klesající. 4. Zformulujte precizně tvrzení, že složení rostoucích funkcí (na intervalu) je rostoucí funkce (na intervalu) a větu dokažte. Zejména si uvědomte, jaké všechny předpoklady je třeba uvést. Přesněji: pokud g je rostoucí funkce na intervalu J, kde I C D (g), a dále / je rostoucí funkce na intervalu J C D(f), potom ještě musíme něco předpokládat o množině {g(x); x G /}, abychom mohli dokázat, že f o g je rostoucí na intevalu I. Řešeni: 1) Funkce f je rostoucí na intervalu I jestliže (\/x1,x2 G I){xi < x2 ==>- f{xi) < f{x2)). 2) I je maximální interval, kde je funkce f rostoucí, jestliže (i) funkce f je rostoucí na I a (ii) pro libovolný interval J obsahující množinu I, na kterém je f rostoucí, platí J = I. 3) Ad 11: 11.1: Rostoucí na celém definičním oboru D(f) = IR. 11.2: Maximální interval, kde je funkce rostoucí, je [—|,oo). Maximální interval, kde je funkce klesající, je (—oo, — |], 11.3: Maximální intervaly, kde je funkce klesající, jsou (—oo, 1) a (l,oo). 11.^: Maximální interval, kde je funkce klesající, je (—oo, — 1]. Maximální interval, kde je funkce rostoucí, je [—l,oo). 11.5: Rostoucí na celém definičním oboru D(f) = (—2,oo). 11.6: Rostoucí na celém definičním oboru D(f) = IR. 11.7: Maximální interval, kde je funkce klesající, je (—oo, — |]. Maximální interval, kde je funkce rostoucí, je [—|,oo). 11.8: Maximální intervaly, kde je funkce rostoucí, jsou Jfc = [(2k — l)7r, 2/c7r], kde k je libovolné celé číslo. Maximální intervaly, kde je funkce klesající, jsou = [2kiT, (2k + 1)tv], kde k je libovolné celé číslo. 11.9: Maximální intervaly, kde je funkce klesající, jsou = (—| + kir, | + kir), kde k je libovolné celé číslo. Ad 11: Funkce je sudá a stačí si tedy rozmyslet v kladné části definičního oboru. Maximální intervaly, kde je f je klesající jsou (1,\/TT) a (vTT, oo), Proto maximální intervaly, kde je f rostoucí, jsou (—oo, — \/TT) a (—vTT, — 1). Ad 11: Intervaly zmíněné v řešení příkladu 11 jsou maximální intervaly, kde je funkce monotónní. 4) Tvrzení: pokud g je rostoucí funkce na intervalu I, kde I C D(g), a dále f je rostoucí funkce na intervalu J C D(f) taková, že Hi{g) = {g(x); x G /} C J, potom fog je rostoucí na intevalu J. Důkaz: pokud Xi,X2 G / takové, že x\ < X2, potom (protože g je rostoucí na I) g(xi) < g{x2). Odtud (protože g{xi),g{x2) G J a f je rostoucí na J) dostáváme f(g(xi)) < f^gix?)). Příklad 4.2: Nakreslete graf funkce f(x) = 2cos(3x + ^) - 1. Určete všechny maximální intervaly, na nichž je funkce klesající (resp. rostoucí). Určete všechna x G IR splňující f(x) = 0. Určete zejména, kolik je takových reálných čísel v intervalu (0, 2tt). Řešení: Maximální intervaly monotonie: pro každé k G Z je f klesající na intervalu I\. = l^nk— |, |7rA; + ^] a rostoucí na intervalu = [|7rA; + ^, |7rA; + |]. Množina všech řešení rovnice f(x) =0 je je {^nk + ^n; A; G Z} U {^nk + j^n; k G Z}; 6 řešení leží v intervalu (0, 2n), a to lln 19^ 23^ 31^ fl 35 18 > 18 ' 18 > 18 ' 18 18 Příklad 4.3: Mějme funkci f ^ = \e2x-i _ ]_| • Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete, na kterých maximálních intervalech je tato funkce rostoucí nebo klesající. Řešení: D(f) = IR\{|}, H(f) = (0,oo). Funkce je rostoucí na intervalu (—oo, |) a klesající na intervalu (|,oo). [Graf zhruba vypadá jako hyperbola, která má levou větev překlopenou do druhého kvadrantu a posunutou o 1 směrem nahoru, a obě větve posunuté doprava, neboť funkce není definovaná v bodě | - pro doplnění uveďme, že lim:E^_00 = 1, lim^i^ = oo, lim^oo = 0./ Příklad 4.4: Nechť f a g jsou rostoucí funkce na intervalu J, tj. zejména I C D(f) H D(g). Rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem: 1. h(x) = f(x) ~ ^g(x 2. h(x) = m - - g(x 3. h{x) = m ■ g(x), 4. h{x) = -g(x ), 5. h(x) = g(x) ■ g(x), 6. h(x) = \g(x)\ i 7. h{x) _ _j_ V případech, kdy odpovídáte „ano", se pokuste o formální důkaz. V případech, kdy odpovídáte „ne", dejte protipříklad a navíc se pokuste (přidáním vhodných předpokladů pro funkce / a g) zformulovat platné tvrzení. Řešeni: 1) Rostoucí. 2) Volbou f(x) = x, g(x) = 2x (připadne naopak) vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Nejde ani přirozeně opravit/doplnit. 3) Volbou f(x) = x, g{x) = x vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Lze opravit: pokud H(f) C (0, oo), H(g) C (0,oo); pak je h rostoucí. 4) Klesající. 5) viz 3. 6) Volbou g{x) = x vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Rozumný předpoklad na doplnění H(g) C (0, oo), aby h bylo rostoucí, tvrzení trivializuje, protože potom g = h. Podobně H(g) C (—oo,0) vede ke klesající funkci popsané předpisem v části ^. 7) Volbou g{x) = x vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Lze opravit: pokud H(g) C (0,oo), pak je h klesající. Příklad 4.5: Nechť g je rostoucí funkce na intervalu J, tj. zejména I C D (g) a nechť c G IR je pevně zvolené reálné číslo. Rozhodněte, zdaje rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem: 1. h(x) = g{x) + c, 2. h(x) = c — g (x), 3. h(x) = c ■ g (x). Pozor, odpověď se může lišit v závislosti na paramatru c. Řešení: 1) Rostoucí. 2) Klesající. 3) Pro O 0 je h rostoucí; pro c < 0 je h klesající. (Pro c = 0 je h konstantní funkce.) Příklad 4.6: Udejte příklad rostoucích funkcí f a g s definičním oborem IR takových, že funkce h, daná předpisem h(x) = f(x) ■ g(x), je klesající funkce na celém definičním oboru D(h) = R. Nápověda: Pokuste se nejdříve načrtnout grafy vašich funkcí f, g ah. Poté se pokuste vymyslet nějaký vhodný předpis pro tyto funkce (jako složení elementárních funkcí). Řešení: f(x)=g(x) = =k, h{x) = ±. Příklad 4.7: Nechť / je rostoucí funkce na celém definičním oboru D(f) = IR s oborem hodnot H(f) = (0, oo). Uvažujme dále funkci g danou předpisem g(x) = x ■ f (x). Dokažte, že funkce g je rostoucí na intervalu I = (0, oo). V důkazu identifikujte krok, kde se využije předpoklad H(f) = (0,oo), a dále krok, kde se využije předpoklad, že I obsahuje pouze kladná reálná čísla. Ukažte, že oba tyto předpoklady jsou nutné. Zejména dejte příklad rostoucí funkce / s definičním oborem D(f) = IR, takové, že H(f) obsahuje 0 nebo záporné číslo, pro niž funkce g(x) = x ■ f{x) není rostoucí na intervalu I = (0,oo). Poté zformulujte podobně tvrzení o existenci funkce / v druhém případě a dejte vhodný příklad takové funkce. Řešeni: Pro libovolné x±,x2 E /, splňující x i < X2 platí f (xi) < f{x2). Protože x\ > o dostáváme x\ ■ f(x\) < x\ ■ f{x2). Z x\ < X2 dostáváme také, vzhledem k předpokladu f{x2) > O, nerovnost xľ-f (x2) < x2- f{x2). Tedy celkem g(xľ) =x1-f(x1) 0 a pro a < 0. Určete, jaké maximum nebo minimum tato funkce nabývá a v kterém bodě. Řešení: ax2 + bx + c = a(x2 + \x + f) = a {{x + ±)2 - + f) = a ((x + ±)2 + ^) . Odtud při označení D = b2 — 4ac dostaneme x + J^ = ±-^p a dále vzoreček x = ~h%"f® ■ Parabola je otočená („otevřená11) nahoru pro kladná a, resp. dolů pro záporná a. „Vrchol" paraboly je v bodě [-^, 4ac4ab2], tj. minimum/maximum je 4ac4ab2 = c — kterého nabývá v bodě Příklad 4.9: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby daná nerovnost platila pro všechna x E A. (Kreslete si, jak musí vypadat grafy příslušných kvadratických funkcí.) a) (r + A)x2 - 2rx + 2r - 6 < 0, A = R. b) rx2 - Ax + 3r + 1 > 0, A = (0, 00). c) (r - 2)x2 + rx + 1 - r > 0, A = (0, 00). d) (x - 3r)(x - r - 3) < 0, A = [1, 3]. Řešení: a) r E (—00, —6), b) r E (1, 00), c) nemá řešení, d) r E (0,1/3). Příklad 4.10: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost (r — 2)x2 + r x + 3r + 2 > 0, platila pro všechna x E [3,5]. Řešení: (i) V případě r > 2 je grafem funkce f (x) = (r — 2)x2 + r x + 3r + 2 parabola „otevřená nahoru" (funkce je konvexní) a vzhledem k tomu, že má všechny koeficienty (tj. r — 2, r a 3r + 2) kladné, tak nabývá funkce f na intervalu (0, 00) kladných hodnot. Tím spíše platí nerovnost (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 > 0 pro všechna x E [3,5]. (ii) V případě r = 2 je funkce f (x) = 2x + 8 a nerovnost 2x + 8 > 0 opět platí dokonce pro všechna kladná reálná čísla, (iii) V případě r < 2 je grafem funkce f (x) = (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 parabola „otevřená dolů" (funkce je konkávni). Proto je podmínka „\/x E [3,5] : f (x) > 0" ekvivalentní podmínce ;,/(3) > 0 A /(5) > 0". Po dosazení dostanem požadavky 15r — 16 > 0 a 33r — 48 > 0 a tedy r E (^1,2) (protože řešíme případ (iii) a y| < || = j^). Celková odpověď (spojením všech tří možností výše) je: r > . Příklad 4.11: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost (rx - l)(x + r) < 0 platila pro všechna x G A. a) A = (0,1). b) A =(-1,1). c) A = (-2, 2). d) A= (0,oo). Řešeni: a) r E [0,1], b) r = 1, c) nemá řešení, d) r = 0. Příklad 4.12: Určete, kdy pro řešení x\ < X2 rovnice 2x2 - 2(2a + l)x + a(a - 1) = 0 platí x\ < a < x2. Nápověda: Vyznačte na grafu příslušné kvadratické funkce její hodnotu v a. Řešení: a G (—oo, —3) U (0, oo). Příklad 4.13: Určete, kdy pro řešení x\ a x2 rovnice (a - 2)x2 - 2(a + 3)x + 4a = 0 platí x\ > 3 a X2 < 2. Řešení: a G (2, 5). Příklad 4.14: Určete, pro která a G M má následující polynom dvojnásobný kořen (2a-5)x2 - 2{a- l)x + 3. Řešení: a = 4. Příklad 4.15: Najděte nejmenší celé číslo k, pro něž má rovnice x2 - 2(k + 2)x + 12 + k2 = 0 dvě různá reálná řešení. Řešení: k = 3, diskriminant D = lQ(k — 2). Příklad 4.16*: Nalezněte kvadratickou rovnici s celočíselnými koeficienty, jejímž jedním řešením je _ y/E- y/Š Řešení: X\ = 4 — y/TE, x2 = 4 + VTŠ, rovnice x2 — 8x + 1 =0. Příklad 4.17*: Označme a=V3\/21 + 8, 6=V3\/21-8. Dokažte, že součin i rozdíl těchto dvou reálných čísel je celočíselný a určete jej. Zjednodušte algebraické výrazy pro čísla a a b tak, aby obsahovala kromě celých čísel a obvyklých operací již pouze druhé odmocniny. Nápověda: Napište si kvadratickou rovnici s dvojicí řešeni a, —b. Řešení: ab = 5, a - b = 1. Potom a = ^±+1, b =