Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 26. října 2023.
5   Písemka, funkce s absolutní hodnotou
Cvičení konaná 16. a 17.10. 2023.
Příklad 5.1:   Uvažujme funkci / : IR —y IR danou předpisem
f(x) = \2x - 3| - \x + 2| + 110 - 3a;| - 1.
1. Nakreslete graf funkce / : R -)> R na intervalu [—5, 5].
2. Najděte obor hodnot funkce /.
3. Určete maximální intervaly, na kterých je funkce / monotónní.
4. Určete, pro která x E IR platí f(x) < 2.
Řešeni: 2) H(f) = [—|,oo). 3) Klesající na intervalu (—oo, y]; rostoucí na intervalu [f,oo).4) {xER;f(x)<2} = (!,!).
Příklad 5.2:   Řešte v IR rovnice
1. \x + 1| - \x\ + 3|x - 1| - 2\x - 2| = \x + 2|,
2       |a2-4a|+3   _ -y
x2 + \x—b\
3. |x2 - Ax - 5| - 3 = x2 + |rr - 4|.
Äesem: 1) x E (-oo,-2] U [2,oo). 2) x E {-2/3,1/2,2}. 3) x E {-4,1/2,2}.
Příklad 5.3:   Uvažujme dvě funkce /, g : IR —y IR dané předpisy
/(x) = | |rr + 1| + \x — 1| | ,       g (x) = | |rr + 1| — |rr — 1| | .
1. Načrtněte grafy funkcí f a. g.
2. Najděte obor hodnot těchto funkcí.
3. Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce / rostoucí, resp. klesající.
4. Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce g rostoucí, resp. klesající.
5. Určete všechna řešení nerovnice g(x) < f(x), tj.
|rr + 1| — \x — 1|    <    |rr + l| + |rr — 1|.
Řešeni: 1) Pro x G (—00, —1] je f {x) = —2x, pro x G [—1,1] je f {x) = 2, pro x G [l,oo) je f (x) = 2x. Pro x G (—00, —1] je g(x) = 2, pro x E [—1,1] je g{x) = \2x\, pro x G [1, 00) je f (x) = 2. 2)H(f) = [2,oo), H (g) = [0,2]. 3) Maximálni interval, kde je funkce f klesající je (—00,— 1]. Maximálni interval, kde je funkce f rostoucí je [l,oo). 4) Maximálni interval, kde je funkce g klesající je [—1,0]. Maximálni interval, kde je funkce f rostoucí je [0,1]. 5) Nerovnost platí pro všechna x G M kromě čísel —1,1 (pro něž platí /(—1) = g{—1) = 2 = /(l) = g(l)).
Příklad 5.4*:   Určete všechna iGl, pro která platí
1
x
x + 1
> 1.
Řešení: x G R\ {-1}