\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=170mm
\hoffset=-14mm
\voffset -20mm
\textheight 230mm

%\hoffset -24mm
%\voffset -20mm
%\textwidth 170mm
%\textheight 230mm

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

%\usepackage{czech}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xcolor}

\newcommand{\mezera}{}%\vskip .3cm}
\newcommand{\hvezda}{${}^\ast$}%\
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\newcounter{prik}[section]
\renewcommand{\theprik}{\thesection.\arabic{prik}}
\newcommand{\prpisemka}[2]{#1. {\it #2}}
\newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}
\newcommand{\prikladhvezda}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik${}^\ast$:} #1}

                         \newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

\newcommand{\cviceni}[2]{{\section{#1}} Cvičení konaná #2 2023. \\ \vskip 0.2cm}   

\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R} 
\def\C{\mathbb C}      
             
\newcommand{\ondra}[1]{{\color{red} #1}}   
\newcommand{\josef}[1]{{\color{blue} #1}}   
          

                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%  PREPINANI VERZI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}

%\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{}

% Priprava
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{[{\it Řešení: #1}]}
%\newcommand{\vysledek}[1]{\\ \noindent [{\it Řešení: #1}]}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Zadani 
\newcommand{\vysledekbez}[1]{}\newcommand{\vysledek}[1]{}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Reseni
%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\hlavicka}{
\newpage
\begin{center}
{\large M1130 --- Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení}
\end{center} 
 }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
%\begin{center}
%{\huge MB101, MB201 --- Domácí úlohy z přednášky}
%\end{center}
%\begin{center}
%{\large Kompletní sbírka všech příkladů zadaných na přednáškách jako domácí úlohy.}
%\end{center}
%
%Aktuální verze sbírky ze dne \today .
%\mezera

\hlavicka

Aktuální verze sbírky ze dne \today .




\setcounter{section}{6}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% SECTION 7
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{document}
\cviceni{Výroky s kvantifikátory, počítání s odmocninami}{30.10. a 31.10.}

\priklad{Pomocí kvantifikátorů pro všechny $\forall$ a existuje $\exists$ a výroků s logickými spojkami napište 
\begin{enumerate}
\item definici lineární nezávislosti vektorů $u_1,u_2,\dots,u_k$ v reálném vektorovém prostoru $U$,
\item definici spojitosti funkce $f: \R\to \R$ v bodě $x_0$. 
\end{enumerate}
Napište negace těchto definičních výroků.
}

\priklad{ Z definice dokažte: Vektory  $u_1,u_2,\dots,u_k$ jsou lineárně nezávislé v reálném vektorovém prostoru $U$,  právě když 
pro každý vektor $v\in U$ existuje nejvýše jedna $k$-tice $(a_1,a_2,\dots,a_k)\in \R^k$ takovová, že
$$a_1u_1+a_2u_2+\dots+a_ku_k=v.$$
}

\priklad{ Z předchozího dokažte: Vektory  $u_1,u_2,\dots,u_k$ tvoří bázi reálného vektorového prostoru $U$,  právě když
$$\forall v\in U \quad \exists! (a_1,a_2,\dots,a_k)\in \R^k: \quad a_1u_1+a_2u_2+\dots+a_ku_k=v.$$
Symbol $\exists!$ znamená "existuje právě jedna".
}

\priklad{Pomocí definice spojistosti a její negace rozhodněte o spojitosti či nespojistosti následujících funkcí 
\begin{enumerate}
\item funkce $f(x)=x$ v bodě $x_0=3$,
\item funkce $f(x)=1$ pro $x>0$. $f(0)=0$, $f(x)=-1$ pro $x<0$ v bodě $x_0=0$,
\item  funkce $f(x)=\sin\frac{1}{x}$ for $x\ne 0$ and $f(0)=0$ v bodě $x_0=0$ ,
\item funkce $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$  for $x\ne 0$ and $f(0)=0$ v bodě $x_0=0$ .
\end{enumerate}  
}

\priklad{Řešte v $\R$ rovnice:
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$,
\item $\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}$,
\item $\sqrt{3x+2}=\sqrt{5x+3}+2\sqrt{2x+1}$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{a) $8$, b) $4$, c) $-1/2$.}

\priklad{Řešte v $\R$ nerovnice:
\begin{enumerate}
\item $3>x+3\cdot\sqrt{1-x^2}$,
\item $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2x-1}$,
\item $1\ge x + \sqrt{4-x^2}$.
\item $\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1} > \sqrt{x+4} -\sqrt{x+2}$
\item $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2x-3}$. 
\end{enumerate}
}

\end{document}

\vysledek{1) $[-1,0)\cup (3/5,1]$. 2) $[1,3/2)$. 3) $[-2,\frac12 (1-\sqrt{7})]$. 4) 
$[\frac12,3)$. 5. $x\in [3/2,2)$.}

\priklad{Označme $x_1,x_2$ řešení rovnice $3x^2+8x+4=0$.
Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo:
\begin{enumerate}
\item $x_1^2+x_2^2$,
\item $x_1^3+x_2^3$,
\item $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$,
\item $x_1-x_2$,
\item $x_1^2x_2+x_1x_2^2$,
\item $x_1^2-x_2^2$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $\frac{40}{9}$. 2) $-\frac{224}{27}$. 3) $-2$. 4) $\frac{4}{3}$ nebo 
$-\frac{4}{3}$. 5) $-\frac{32}{9}$. 6) $\frac{32}{9}$ nebo $-\frac{32}{9}$.}

\priklad{Označme $x_1,x_2,x_3$ řešení rovnice $x^3+3x^2-7x-6=0$.
Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo:
\begin{enumerate}
\item[1.]  $x_1^2+x_2^2+x_3^2$,
\item[2.$^*$] $x_1^3+x_2^3+x_3^3$,
\item[3.] $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$,
\item[4.] $(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2$,
\item[5.] $x_1^2x^2_2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) $23$. 2) $-72$. 3) $-\frac76$. 4) $60$. 5) $85$. }


\prikladhvezda{Nechť polynom $x^3+ax^2+bx+c$ má tři kladné kořeny.
Dokažte, že $a^3\leq 27c$.}

\vysledek{Součet kořenů $-a$ i součin $-c$ jsou kladná čísla. 
Podle AG nerovnosti z příkladu~\ref{priklad212} platí $-a/3 \ge \sqrt[3]{-c}$.
Umocněním na třetí a pronásobením $-1$ dostaneme požadovanou nerovnost.}

\medskip


%Původní příklad 6.6. byl odsunut na neurčito, rozhodně nebude v druhém semestrálním testu.


\end{document}


\priklad{Udejte příklad funkce s vhodným definičním oborem, která má předepsané vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item perioda $3\pi$, obor hodnot $[1,2]$,
\item perioda $1$, obor hodnot $\mathbb R$,
\item perioda $2$, obor hodnot $[0,1]\cup (2,3)$, rostoucí na intervalu $(0,2)$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) Např. funkce $f(x)=\frac12\cdot (\sin(\frac23 x)+3)$.
2)  Např. funkce $f(x)=\tg(\pi x)$. 3) Např. funkce $f$ daná předpisem: 
pro libovolné $k\in\mathbb Z$ pro $x\in [2k,2k+1]$ klademe 
$f(x)=x-2k$, pro $x\in (2k+1,2k+2)$ klademe $f(x)=x+1-2k$. }


\priklad{Udejte příklad funkce s definičním oborem obsahující interval $I$, pro niž je obor hodnot na intervalu
$I$ roven $(0,\infty)$, tzn. $f(I)=(0,\infty)$.
\begin{enumerate}
\item $I=(n,\infty)$, pro pevně zvolené $n\in \mathbb N$,
\item $I=(-\infty,n)$, pro pevně zvolené $n\in \mathbb N$,
\item $I=(0,n)$, pro pevně zvolené $n\in \mathbb N$,
\item $I=(a,b)$, pro pevně zvolená $a,b\in \mathbb R$ splňující $a<b$,
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) Např. funkce $f(x)=x-n$.
2) Např. funkce $f(x)=n-x$. 
3) Např. funkce $f(x)=\tg(\frac{x}{n}\cdot \frac{\pi}{2})$.
4) Např. funkce $f(x)=\tg(\frac{x-a}{b-a}\cdot \frac{\pi}{2} )$.
}

\priklad{Udejte příklad funkce s definičním oborem $\mathbb R$ takové, že pro libovolné kladné reálné číslo  $\varepsilon$ je obor hodnot na intervalu $(0,\varepsilon)$ roven 
$I$, tzn. $f(0,\varepsilon)=I$.
\begin{enumerate}
\item $I=[-1,1]$,
\item $I=(-1,1)$,
\item $I=[0,1]$,
\item $I=(0,1)$,
\item $I=(0,\infty)$.
\end{enumerate}
}

\vysledek{1) Např. funkce $f(x)=\sin \frac 1 x $ (pro $x\not =0$ a $f(0)=0$). 2)  Např. funkce $f(x)=\sin \frac 1 x $ pro $x\not=\frac{1}{2k\pi}$, $k\in \mathbb Z$, kde se pro hodnoty $x=\frac{1}{2k\pi}$ (a $x=0$) dodefinuje $f(x)=0$.
3) Např. funkce $f(x)= |\sin \frac 1 x| $ (pro $x\not =0$ a $f(0)=0$).
4)  Např. funkce $f(x)=|\sin \frac 1 x| $ pro $x\not=\frac{1}{k\pi}$, $k\in \mathbb Z$, kde se pro hodnoty $x=\frac{1}{k\pi}$ (a $x=0$) dodefinuje $f(x)=1/2$.
5) Např. funkce $f(x)=|\tg \frac 1 x|$, s vhodným dodefinováním v bodech, kde není dle tohoto předpisu funkce definována nebo nabývá hodnoty 0. (Tj. předpis  $f(x)=|\tg \frac 1 x|$ se použije pro $x\not = 
\frac{2}{k\pi}$ a $x\not =0$. V ostatních případech klademe $f(x)=1$.)     
}

\priklad{Řešte v $\mathbb R$ rovnice nejdříve graficky a poté i algebraickým výpočtem:
\begin{enumerate}
\item $\sin x=\sin 2x$,
\item $\sin 3x + \cos 3x=0$,
\item $\sin 2x=\cos 3x$.
\end{enumerate}
}

\napoveda{2) V druhé části úkolu 
lze nahradit $\cos$ pomocí $\sin$ dle vztahu \ref{pr91}-6), a potom použít \ref{pr93}-2).
3) Převeďte $\cos 3x$ na levou stranu a použijte stejný postup jako v 2) s využitím \ref{pr93}-3). 
}

\vysledek{
Řešením je vždy sjednocení $\bigcup_{k\in\mathbb Z} M_k$ množin $M_k$. 
Jednotlivé množiny $M_k$  jsou množiny řešení dané rovnosti na intervalu
$[2k\pi, (2k+2)\pi]$, resp. $[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi]$. \\
1) $M_k=\{2k\pi, \pi+2k\pi, \frac{\pi}{3}+2k\pi,
\frac{5\pi}{3}+2k\pi\}$,\\
2) $M_k=\{\frac{3\pi}{12}+2k\pi, \frac{7\pi}{12}+2k\pi, \frac{11\pi}{12}+2k\pi,
\frac{15\pi}{12}+2k\pi, \frac{19\pi}{12}+2k\pi, \frac{23\pi}{12}+2k\pi\}$,\\
3) $M_k=\{\frac{3\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{10}+2k\pi, \frac{5\pi}{10}+2k\pi,
\frac{9\pi}{10}+2k\pi, \frac{13\pi}{10}+2k\pi, \frac{17\pi}{10}+2k\pi\}$.}


\priklad{Řešte v $\mathbb R$ následující rovnice. Vždy určete počet řešení v intervalu $[0,2\pi)$.
\begin{enumerate}
\item $\sin 2x=\sqrt{2} \cos x$,
\item $2\sin^2 x + 7 \cos x-5=0$,
\item $2\cos x\cos  2x=\cos x$,
\item $\sqrt{3}\cos x + \sin x= 2$,
\item $\sin 3x +\sin x=\sin 2x$,
\item $\sin 5 x\cos 3x=\sin 6x\cos 2x$,
\item $\sin 2x +\cos 2x=\sin x+\cos x$.
\end{enumerate}
}
\napoveda{1) Použijte \ref{pr93}-1). 2) Nahraďte $\sin^2x$ (pomocí goniometrické jedničky) výrazem $1-\cos^2 x$ a řešte kvadratickou rovnici  v proměnné $y=\cos x$. 3) Po převedení na levou stranu, lze $\cos x$ vytknout. 
4) Podělte 2 a použijte \ref{pr92} zprava doleva. 
5) Použijte \ref{pr93}-2) na levou stranu. 
6) Použijte \ref{pr93}-2) zprava doleva. 7) Použijte \ref{pr91}-6) a 
\ref{pr93}-2).}

\vysledek{Ve všech případech se řešení periodicky opakují podobně jako v předchozím případě.
Lze je tedy i podobným způsobem zapsat. My zde uvedeme pouze výčet 
řešení v intervalu $[0,2\pi)$.\\
1) $\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{2}$.\\
2) $\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$.\\
3) $\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$.\\
4) $\frac{\pi}{6}$.\\
5) $0, \frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.\\
6) $0, \frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, 
\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$.\\
7) $0, \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, \frac{9\pi}{6}$.}


\priklad{Řešte graficky v $\mathbb R$ následující nerovnice.
\begin{enumerate}
\item $\sin x>\frac12$,
\item $\sin x < \cos x$,
\item $\tg x \le -\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
}
\vysledek{Řešením je vždy sjednocení $\bigcup_{k\in\mathbb Z} I_k$.
Jednotlivé množiny $I_k$  jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu
$[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi]$, resp. $[(k-\frac12)\pi, (k+\frac12)\pi]$.\\
1) $I_k=(\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi)$. \\
2) $I_k=(-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \frac{\pi}{4} + 2k\pi)$. \\
3) $I_k=(-\frac{\pi}{2} + k\pi, -\frac{\pi}{3} + k\pi)$.}


\priklad{Řešte v $\mathbb R$ následující nerovnice. 
\begin{enumerate}
\item $\sin 3x<\sin x$,
\item $2 \cos^2 x+5\cos x+2\ge 0$,
\item $\sin x +\cos x < \frac{1}{\cos x}$,
\item $\sin 2x +\sin x \le 0$,
\item $1-\cos x \le \tg x-\sin x$,
\item $\sin x +\sin 2x +\sin 3x < 0$,
\item $\sin 3x  > 4 \sin x\cos 2x$.
\end{enumerate}
}

\napoveda{ 
1) Použijte \ref{pr93}-3). 
2) Použijte substituci $y=\cos x$ a řešte kvadratickou nerovnici.
3) Pronásobte $\cos x$ a použijte \ref{pr91}-1). Potom lze dělit $\sin x$, ovšem pozor na znaménka při násobení a dělení.
4) Použijte \ref{pr93}-2). 
5) Pravá strana je součin levé strany a $\tg x$. 
6) Sečtěte (dle \ref{pr93}-2)) $\sin x +\sin 3x$. 
7) Vyjádřit obě strany pomocí $\sin x $ 
(za použití \ref{pr92}, resp. \ref{pr93}-1), 
s přihlédnutím k \ref{pr91}-1).}

\vysledek{Řešením je vždy sjednocení $\bigcup_{k\in\mathbb Z} I_k$ množin $I_k$. 
Jednotlivé množiny $I_k$  jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu
$[2k\pi, (2k+2)\pi]$, resp. $[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi]$. \\
1) $I_k=(\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{3\pi}{4} + 2k\pi) \cup
(\frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \frac{6\pi}{4} + 2k\pi) \cup (\frac{7\pi}{4} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, \\
2) $I_k=[-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi]$,\\
3) $I_k=(\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi) \cup
(\pi + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, \\
4) $I_k=[\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \pi + 2k\pi] \cup
[\frac{4\pi}{3} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi]$, \\
5) $I_k=(\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi) \cup
(\frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi) \cup \{2k\pi\}$, \\
6) $I_k=(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi) \cup
(\pi + 2k\pi, \frac{4\pi}{3} + 2k\pi) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, \\
7) $I_k=(\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi) \cup
(\pi + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi) \cup (\frac{11\pi}{6} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$.
}

\priklad{
Určete, která $x \in \mathbb{R}$ splňují následující nerovnosti. 

{\bf a)}  $\sin{x} < \frac{1}{\cos x}$ , 

\noindent
{\bf b)} $0 < \sin{x} < \frac{\sqrt{3}}{4\cos x}$.}

\vysledek{
a) Zjevně $\cos x\not=0$. Pokud $\cos x <0$, potom je nerovnost 
ekvivalentní s nerovností $\sin x \cos x >1$. Taková nerovnost neplatí
pro žádné $x\in\mathbb R$, protože $|\sin x| \le 1$ i $|\cos x|\le 1$, tzn.
$|\sin x \cos x| \le 1$.
Pokud $\cos x >0$, potom dostaneme ekvivalentní nerovnost
$\sin x \cos x <1$. Tato nerovnost naopak platí pro libovolné $x$ (splňující uvažovaný předpoklad $\cos x >0$), díky stejným nerovnostem 
$|\sin x| \le 1$ i $|\cos x|\le 1$, v kterých nemůže nastat rovnost 
současně. 
Nerovnost tedy platí pro všechna $x\in\mathbb R$ taková, že 
$\cos x >0$, tj. 
$$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z} (-\frac{\pi}{2} +2k\pi,
\frac{\pi}{2} +2k\pi).$$
(Poznamenejme, že v obou případech lze k argumentaci 
použít také vztah $\sin x \cos x =\frac12 \sin 2x$.) 

b) Z nerovnosti $0 < \frac{\sqrt{3}}{4\cos x}$ vidíme, že musí platit
$\cos x >0$. Vzhledem k nerovnosti $0<\sin x$, tak dostáváme nutnou podmínku
$x\in (2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$ pro $k\in \mathbb Z$.
Pro tato $x$ (tj. taková, že $\cos x >0$ i $\sin x >0$)
je nerovnost $\sin{x} < \frac{\sqrt{3}}{4\cos x}$
ekvivalentní nerovnosti 
$2\sin x\cos x <\frac{\sqrt{3}}{2}$, tj. 
$\sin 2x<\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Označme nyní $z=2x$ a vyřešme nerovnost 
$\sin z<\frac{\sqrt{3}}{2}$ na příslušném intervalu.
Vzhledem k předpokladu $x\in (2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$ platí 
$z\in (4k\pi, \pi + 4k\pi)$.   
Proto jsou řešením nerovnosti $\sin z<\frac{\sqrt{3}}{2}$ právě
$z\in (4k\pi, \frac{\pi}{3}+4k\pi) \cup (\frac{2\pi}{3}+4k\pi,\pi+4k\pi)$.
Odtud $x\in (2k\pi , \frac{\pi}{6}+2k\pi) \cup (\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$, kde $k\in\mathbb Z$.
Množina všech $x$, pro něž platí zadané nerovnosti, je 
$$ \bigcup_{k\in\mathbb Z} \left(
(2k\pi , \frac{\pi}{6}+2k\pi) \cup (\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)\right) .$$}

\end{document}

