Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 26. října 2023.
7   Výroky s kvantifikátory, počítání s odmocninami
Cvičení konaná 30.10. a 31.10. 2023.
Příklad 7.1: Pomocí kvantifikátorů pro všechny V a existuje 3 a výroků s logickými spojkami napište
1. definici lineární nezávislosti vektorů ui,U2,... ,Uk v reálném vektorovém prostoru U,
2. definici spojitosti funkce JiM-yMv bodě x0. Napište negace těchto definičních výroků.
Příklad 7.2: Z definice dokažte: Vektory ui,U2,... ,Uk jsou lineárně nezávislé v reálném vektorovém prostoru U, právě když pro každý vektor v E U existuje nejvýše jedna fc-tice (<2i, a2, . . ., a*:) G Mfc takovová, že
d\U\ + <32M2 + ' ' ' + 0>>kuk = ^-
Příklad 7.3: Z předchozího dokažte: Vektory u1}u2,... ,Uk tvoří bázi reálného vektorového prostoru U, právě když
Vv G U   3!(ai,a2, • • •       G Mfc :    a^u^ + a2u2 H-----\-akuk = v.
Symbol 3! znamená "existuje právě jedna".
Příklad 7.4: Pomocí definice spojistosti a její negace rozhodněte o spojitosti či nespojistosti následujících funkcí
1. funkce f(x) = x v bodě x0 = 3,
2. funkce f(x) = 1 pro x > 0. /(0) = 0, /(rr) = — 1 pro x < 0 v bodě xq = 0,
3. funkce f(x) = sin ^ for x ^ 0 and /(0) = 0 v bodě rr0 = 0 ,
4. funkce /(rr) = x sin ^ for x ý 0 and /(0) = 0 v bodě xq = 0 .
Příklad 7.5:   Řešte v IR rovnice:
1. v7^ + 1 — 1 = \/x — \fx + 8,
2. ^/3lrT4 +V^4 = 2V^,
3. y/3x + 2 = V5x + 3 + 2^/2x + 1.
Příklad 7.6:   Řešte v IR nerovnice:
1. 3 > x + 3- VI -x2,
2. VřT3 - Vř^T > V2a; - 1,
3. l>x + V4 - x2.
4. V2a; + 1 - \/2x -l>y/x + A-y/x + 2
5. VřT2 - Vř^T > V2a; - 3.