Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 3. listopadu 2023.
7   Výroky s kvantifikátory, počítání s odmocninami
Cvičení konaná 30.10. a 31.10. 2023.
Příklad 7.1: Pomocí kvantifikátorů pro všechny V a existuje 3 a výroků s logickými spojkami napište
1. definici lineární nezávislosti vektorů u1}u2,... ,Uk v reálném vektorovém prostoru U,
2. definici spojitosti funkce JiM-yMv bodě x0. Napište negace těchto definičních výroků.
Příklad 7.2: Z definice dokažte: Vektory ui,v,2,... ,Uk jsou lineárně nezávislé v reálném vektorovém prostoru U, právě když pro každý vektor v E U existuje nejvýše jedna fc-tice (<2i, a2, . . ., a*:) G Mfc takovová, že
a\U\ + a2u2 + • • • + a>kuk = v-
Příklad 7.3: Z předchozího dokažte: Vektory Ui,u2,... ,Uk tvoří bázi reálného vektorového prostoru U, právě když
\/v E U   3!(a1; a2,..., a^) E IRfc :    0!«! + a2u2 + • • • + a^u^ = v.
Symbol 3! znamená "existuje právě jedna".
Příklad 7.4: Pomocí definice spojistosti a její negace rozhodněte o spojitosti či nespojistosti následujících funkcí
1. funkce f(x) = x v bodě xq = 3,
2. funkce f(x) = 1 pro x > 0. /(0) = 0, /(rr) = — 1 pro x < 0 v bodě rro = 0,
3. funkce f(x) = sin ^ for x ^ 0 and /(0) = 0 v bodě rr0 = 0 ,
4. funkce /(rr) = x sin ^ for x ^ 0 and /(0) = 0 v bodě x0 = 0 .
Příklad 7.5:   Řešte v IR rovnice:
1. \/rr + 1 — 1 = \/x — \fx + 8,
2. V3:r + 4 + V^4 = 2y/x,
3. V3x + 2 = ^5x + 3 + 2V2x + 1. Řešeni: a) 8, b) A, c) -1/2.
Příklad 7.6:   Řešte v IR nerovnice:
1. 3 > x + 3- VI -x2,
2. VřT3 - Vř^T > V2a; - 1,
3. l>x + V4 - x2.
4. V2a; + 1 - \/2x -l>y/x + A-y/x + 2
5. VřT2 - Vř^T > V2a; - 3.
Řešení: 1) [-1,0) U (3/5,1].     [1,3/2). 5; [—2, |(1 - VŤ)]. 4) [|,3). 5. x E [3/2,2).