\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=170mm
\hoffset=-14mm

%\hoffset -24mm
%\voffset -20mm
%\textwidth 170mm
%\textheight 230mm

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

%\usepackage{czech}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xcolor}

\newcommand{\mezera}{}%\vskip .3cm}
\newcommand{\hvezda}{${}^\ast$}%\
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\newcounter{prik}[section]
\renewcommand{\theprik}{\thesection.\arabic{prik}}
\newcommand{\prpisemka}[2]{#1. {\it #2}}
\newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}
\newcommand{\prikladhvezda}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik${}^\ast$:} #1}

                         \newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

\newcommand{\cviceni}[2]{{\section{#1}} Cvičení konaná #2 2023. \\ \vskip 0.2cm}   

\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R} 
\def\C{\mathbb C}      
             
\newcommand{\ondra}[1]{{\color{red} #1}}   
\newcommand{\josef}[1]{{\color{blue} #1}}   
          

                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%  PREPINANI VERZI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}

%\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{}

% Priprava
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{[{\it Řešení: #1}]}
%\newcommand{\vysledek}[1]{\\ \noindent [{\it Řešení: #1}]}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Zadani 
\newcommand{\vysledekbez}[1]{}\newcommand{\vysledek}[1]{}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Reseni
%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\hlavicka}{
\newpage
\begin{center}
{\large M1130 --- Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení}
\end{center} 
 }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
%\begin{center}
%{\huge MB101, MB201 --- Domácí úlohy z přednášky}
%\end{center}
%\begin{center}
%{\large Kompletní sbírka všech příkladů zadaných na přednáškách jako domácí úlohy.}
%\end{center}
%
%Aktuální verze sbírky ze dne \today .
%\mezera

\hlavicka

Aktuální verze sbírky ze dne \today .




\setcounter{section}{7}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% SECTION   8
%\end{document}
%\setcounter{section}{7}
\cviceni{Exponenciální a logarimické funkce}{6. a 7.~11.}

\priklad {Albert popletl pořadí kvantifikátorů v definici spojitosti. Podle Alberta je funkce $f:\R\to \R$ spojitá v $x_0$, jestliže platí
$$\exists \delta>0\  \forall \epsilon>0\ \forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta) \quad |f(x)-f(x_0)|<\epsilon.$$
Napište negaci tohoto definičního výroku a zjistěte, zda jsou následující funkce podle Alberta spojité v bodě $x_0=3$:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x$,
\item $f(x)=-1$ pro $x<0$ a $f(x)=2$ pro $x\ge 0$.
\end{enumerate}
Najděte všechny funkce, které jsou podle Alberta v bodě $x_0=3$ spojité.
  }

\priklad{Mocniny a exponenciální funkce $a^x$. 
\begin{enumerate}
\item[1.] Pro $a>0$ a $n\in \Z$  definujte $a^n$. 
\item[2.] Je-li $a>1$ reálné číslo a $n<m$ celá čísla, pak $a^n<a^m$. Dokažte.
\item[3.] Pro $a>0$ reálné a $x=\frac{p}{q}$, $p\in\Z$, $q\in\N$  definujte $a^x$.
\item[4.$^*$] Pro $a>0$ reálné a $x,y$ racionální, dokažte, že $a^xa^y=a^{x+y}$ a ${(a^x)}^y=a^{xy}$.
\item[5.] Pro $a>1$ a $x\in\mathbb R$ definujeme 
$a^x=\operatorname{sup}\{a^y\in \R;\ y\in \mathbb Q, y\le x\}$.  Udělejte totéž pro $a\in (0,1)$.
\item[6.$^*$] Dokažte, že  funkce $a^x$ je rostoucí pro $a>1$ a klesající pro $a\in (0,1)$. 
\item[7.$^*$] Pro $a>0$ reálné a $x,y$ reálná, dokažte, že $a^xa^y=a^{x+y}$ a ${(a^x)}^y=a^{xy}$.
\item[8.] Nakreslete graf exponenciální funkce pro různá $a$.
\end{enumerate}}

\vysledek{Většina podpříkladů je značně náročná. Rozhodně příklad přesahuje požadavky k~ukončení tohoto předmětu, a proto nebude tento typ příkladu v písemkách.}

\priklad{Logaritmická funkce $\log_a x$.
\begin{enumerate}
\item Definujte inverzní funkci k funkci $f$.
\item Definujte $\log_a x$ jako inverzní funkci k exponenciální funkci $a^x$.
\item Jak je to s monotonií logaritmické funkce? Nakreslete grafy logaritmické funkce pro různé základy.
\end{enumerate}
} 

\priklad{Z vlastností exponenciálních funkcí dokažte tyto vlastnosti logaritmických funkcí:
\begin{enumerate}
\item $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$.
\item $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$.
\item $ \log_a(x^y)=y\log_a x$.
\item $\log_a x=\frac{\log_b x}{\log _b a}$.
\item $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$.
\item $b^{\log_a c}=c^{\log_a b}$.
\item $\log_{a^y} x^y =\log_a x$.
\end{enumerate}
Doplňte vždy chybějící předpoklady na použité parametry $a,b,c,x,y$. 
}

\vysledek{1) Předpoklady: $a\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $x,y\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Označme $k,\ell \in \mathbb R$ taková, že $a^k=x, a^\ell=y$. Potom
$\log_a(xy)=\log_a( a^k\cdot a^\ell)=\log_a(a^{k+\ell})=k+\ell=\log_a x+\log_a y$.
Jde tedy o přímý důsledek prvního vztahu z 8.1.-7).
2)  Předpoklady: $a\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $x,y\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Označme $k,\ell \in \mathbb R$ taková, že $a^k=x, a^\ell=y$. Potom
$\log_a\frac{x}{y}=\log_a(\frac{a^k}{a^\ell})
=\log_a(a^{k-\ell})=k-\ell=\log_a x-\log_a y$.
3) Předpoklady: $a\in (0,1)\cup (1,\infty)$, $x\in (0,\infty)$  $y\in \mathbb R$. 
Důkaz: Označme $k\in \mathbb R$ taková, že $a^k=x$. Potom
$\log_a(x^y)=\log_a((a^k)^y)=\log_a(a^{yk})=yk=y \log_a x$.
Jde tedy o přímý důsledek druhého vztahu z 8.1.-7).
4)  Předpoklady: $a,b\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $x\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Označme $k,\ell \in \mathbb R$ taková, že $a^k=x, b^\ell=a$. Potom
$\log_b x =\log_b(a^k)=\log_b((b^\ell)^k)=\log_b (b^{k\ell})=k\cdot \ell=\log_a x  \cdot \log_b a$. Podělením $\log_b a=\ell \not=0$ (uvědomte si, že  $\log_b a=0$ by znamenalo $a=1$) dostáváme požadované.
5)  Předpoklady: $a,b\in (0,1)\cup (1,\infty)$. 
Důkaz: Stačí v předchozím zvolit $x=b$.
6) Předpoklady: $a\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $b,c\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Označme $k,\ell \in \mathbb R$ taková, že $a^k=b, a^\ell=c$. Potom
$b^{\log_a c}=b^\ell=(a^k)^\ell=(a^\ell)^k=c^k=c^{\log_a b}$.
7) Předpoklady: $a,y\in (0,1)\cup (1,\infty)$ a $x\in (0,\infty)$. 
Důkaz: Podle 4)
$\log_{a^y} x^y= \frac{\log_a x^y}{\log_a a^y}$, což se s využitím 3) dále rovná
$\frac{y \cdot \log_a x}{y}=\log_a x$.
} 

\priklad{Určete 
\begin{enumerate}
\item $49^{1-\frac{1}{2}\log_7 25}$.
\item $\log \big(\log\sqrt{\sqrt[5] {10}}\big)$.
\item $81^\frac{1}{\log_5 3}$.
\item $\log_2\frac{2}{3} + \log_4\frac{9}{4}$.
\item $3^{2\log_3 2+\log_3 5}$.
\item $\frac{1}{\log_2 3}+\frac{1}{\log_4 9}-\frac{1}{\log_8 3}$.
\item $36^{\log_6 5} + 10^{1-\log_{10} 2}-3^{\log_9 36}$.
\end{enumerate}}

\vysledek{1) $\frac{49}{25}$. 2) $-1$. 3) $625$. 4) $0$. 5) $20$. 6) $-\log_3 2$. 7) $24$.}


\end{document}




