Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 3. listopadu 2023.
8   Exponenciální a logarimické funkce
Cvičení konaná 6. a 7. 11. 2023.
Příklad 8.1: Albert popletl pořadí kvantifikátorů v definici spojitosti. Podle Alberta je funkce / : IR —> IR spojitá v xq, jestliže platí
35 > 0 Ve > 0 \/x G (x0 - ó,x0 + 5)   \f(x) - f(x0)\ < e.
Napište negaci tohoto definičního výroku a zjistěte, zda jsou následující funkce podle Alberta spojité v bodě xq = 3:
1. f(x) = x,
2. f(x) = —1 pro x < 0 a f(x) = 2 pro x > 0.
Najděte všechny funkce, které jsou podle Alberta v bodě xq = 3 spojité.
Příklad 8.2:   Mocniny a exponenciální funkce ax.
1. Pro a>0aneZ definujte an.
2. Je-li a > 1 reálné číslo a n < m celá čísla, pak an < am. Dokažte.
3. Pro a > 0 reálné a rr = |, p G Z, gGN definujte a"1.
4.* Pro a > 0 reálné & x,y racionální, dokažte, že axay = ax+y a (ax)v = axy.
5. Pro a > 1 & x E R definujeme ď = supja^ G IR; y G Q,y < rr}. Udělejte totéž pro a G (0,1).
6. * Dokažte, že funkce ď je rostoucí pro a > 1 a klesající pro a G (0,1).
7. * Pro a > 0 reálné a x,y reálná, dokažte, že axay = ax+y a (ax)v = axy. 8. Nakreslete graf exponenciální funkce pro různá a.
Příklad 8.3:   Logaritmická funkce \ogax.
1. Definujte inverzní funkci k funkci /.
2. Definujte logarr jako inverzní funkci k exponenciální funkci ď.
3. Jak je to s monotonií logaritmické funkce? Nakreslete grafy logaritmické funkce pro různé základy.
Příklad 8.4:   Z vlastností exponenciálních funkcí dokažte tyto vlastnosti logaritmických funkcí:
1- logjxy) = loga x + logn y.
2- log« % = log« X ~ log« V-
3. \oga(x*) = y\ogax.
5. log. b = ;-.
toa log;, a
6. 6loSac = clogab.
7. \ogaV xV = \oga x.
Doplňte vždy chybějící předpoklady na použité parametry a, b, c, x, y.
Příklad 8.5: Určete
1. 491-élosv25_
2. log (log Vv^To).
3. 81^.
4. log2| + log4|.
5. 32 log3 2+log3 5 _
6    -J— + -i___1—
u-   log23 ^ log49 log83-
7. 36log65 + 101_logl°2 — 3loS936.