Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 10. listopadu 2023.
8   Exponenciální a logarimické funkce
Cvičení konaná 6. a 7. 11. 2023.
Příklad 8.1:   Albert popletl pořadí kvantifikátorů v definici spojitosti. Podle Alberta je funkce / : IR —> IR spojitá v xq, jestliže platí
35 > 0 Ve > 0 \/x G (x0 - 5,x0 + 5)   \f(x) - f(x0)\ < e.
Napište negaci tohoto definičního výroku a zjistěte, zda jsou následující funkce podle Alberta spojité v bodě xq = 3:
1. f(x) = x,
2. f(x) = —1 pro x < 0 a f(x) = 2 pro x > 0.
Najděte všechny funkce, které jsou podle Alberta v bodě xq = 3 spojité.
Příklad 8.2:   Mocniny a exponenciální funkce ax.
1. Pro a > 0 a n G Z definujte an.
2. Je-li a > 1 reálné číslo a, n < m celá čísla, pak an < am. Dokažte.
3. Pro a > 0 reálné a rr = |, p G Z, gGN definujte cr.
4.* Pro a > 0 reálné &, x,y racionální, dokažte, že a^a^ = ax+y a (a:E)ž/ = a^.
5. Pro a > 1 a x E R definujeme ď = supja^ G R; y G Q,y < x}. Udělejte totéž pro a G (0,1).
6. * Dokažte, že funkce     je rostoucí pro a > 1 a klesající pro a G (0,1).
7. * Pro a > 0 reálné a x, y reálná, dokažte, že cŕa^ = ax+y a (a:E)ž/ = a^. 8. Nakreslete graf exponenciální funkce pro různá a.
Řešení: Většina podpříkladů je značně náročná. Rozhodně příklad přesahuje požadavky k ukončení tohoto předmětu, a proto nebude tento typ příkladu v písemkách.
Příklad 8.3:   Logaritmická funkce \ogax.
1. Definujte inverzní funkci k funkci /.
2. Definujte \ogax jako inverzní funkci k exponenciální funkci ď.
3. Jak je to s monotonií logaritmické funkce? Nakreslete grafy logaritmické funkce pro různé základy.
Příklad 8.4:   Z vlastností exponenciálních funkcí dokažte tyto vlastnosti logaritmických funkcí: 1- ioSa(xy) = ^gax + \ogay.
3. log^a*) =y\ogax. 4  log x = ]2Ět£
5. log. b = r^—.
6. blogaC = clogab.
7. \ogaV xy = \oga x.
Doplňte vždy chybějící předpoklady na použité parametry a, b, c, x, y.
Řešeni: 1) Předpoklady: a E (0,1)U(1, oo) a x,y E (0, oo). Důkaz: Označme k,£ ER taková, že ak = x,ae = y. Potom \oga(xy) = \oga(ak -ae) = \oga(ak+í) = k + £ = \oga x + loga y. Jde tedy o přímý důsledek prvního vztahu z 8.1.-7). 2) Předpoklady: a E (0,1) U (1, oo) a x, y E (0, oo). Důkaz: Označme k,£ G R taková, že ak = x,ae = y. Potom \oga ^ = loga(^j) = \oga(ak~e) = k — £ = \ogax — \ogay. 3) Předpoklady: a G (0,1) U (1, oo), x G (0, oo) y E R. Důkaz: Označme k E R taková, že ak = x. Potom \oga(xy) = \oga((ak)y) = \oga(ayk) = yk = y\ogax. Jde tedy o přímý důsledek druhého vztahu z 8.1.-7). 4) Předpoklady: a, b E (0,1) U (1, oo) a x G (0, oo). Důkaz: Označme k,£ G R taková, že ak = x, be = a. Potom log6:r = log6(afc) = \ogb((be)k) = \ogb(bke) = k ■ £ = \ogax ■ log6a. Podelením log6a = £ ^ 0 (uvědomte si, že log6a = 0 by znamenalo a = 1) dostáváme požadované. 5) Předpoklady: a,b E (0,1) U (l,oo). Důkaz: Stačí v předchozím zvolit x = b. 6) Předpoklady: a G (0,1) U (1, oo) a b, c E (0, oo). Důkaz: Označme k,£ E R taková, že ak = b,ae = c. Potom blog*c = b1 = (akf = (ae)k = ck = clo§>. 7) Předpoklady: a,y E (0,1) U (l,oo) a x E (0, oo). Důkaz: Podle 4) logay xy = )ogax\, což se s využitím 3) dále rovná y'loga x = \ogax.
Příklad 8.5: Určete
1. 491~!1°S7 25i
2. log (log v/^Ť0).
3. 81^.
4. log2| + log4f.
5#  32 log3 2+log3 5 ^
6  -^ + ^___L_
log23      log49 log83'
7. 36logs5 + 101_logl°2 — 3logs}36.
flesera:     §. -2J -1. 5; 625. ^ 0. 5J 20. 6) -log32. 7J 24.