Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 10. listopadu 2023.
9   Exponenciální a logarimické funkce — dokončení
Cvičení konaná 13. a 14. 11. 2023.
Příklad 9.1:   Pomocí čísel a, b, c vyjádřete x: 1. x = log100 40;    a = log2 5. 2- x = log6 16;    a = log12 27.
3. x = \og^;    a = log2, b = log3, c = log5.
4. x = log140 63;    a = log2 3,6 = log3 5, c = log7 2. i?eW: j; |±|. 2; 5; -(2a+ 6 +2c). 4) ^|L_.
Příklad 9.2:   Řešte v IR rovnice:
1. 4X + 2X+1 = 24.
2. I^2-2* = 1.
3. 6 • 9X - 13 • 6X + 6 • 4X = 0.
4. (ir+É=2*.
Řešeni: 1) 2. ^ — 1, 1, 2. 3) 1, —1. ^ i (lze snadno ukázat, že má právě jedno řešeni).
Příklad 9.3:   Řešte v IR rovnice:
1. log5 + \og(x + 10) = 1 - log(2x - 1) + log(21x - 20).
2- logo,5x ^2 - 14 logi6x ^3 + 40 log4s      = 0.
3. 15logs3 • ^i+iogsí^) = 1.
4. log y/1 + x + 3 log \/l — x = log \/l — X2 + 2.
Řešení: 1) 3/2, 10.     \/2/2; 1, 4. 5; 1/15, 1/3. ^ nemá řešení.
Příklad 9.4:   Řešte v R nerovnice:
1
<
3x+5 — 3X+1-1'
2. 8X + 18x - 2 • 27x > 0.
3- ^og(x_2)(2x - 3) > log(:c_2)(24 - 6x).
4. xlog2* > 2.
Řešení: 1) (-1,1]. -2; (-oo,0). 5; (2,3) U (27/8,4). ^ (0,1/2) U (2,oo).
Příklad 9.5:   a) Řešte v R rovnici log3 x2 ■ log9 x = 3.
b) Využijte předchozí výsledek a vyřešte rovnici log3(|,z| + l)2 • log9(|| + 1) = 3. Řešeni: a) x = 3^ nebo x = 3~A     z = 3^ - 1 02 = -3^ + 1.
Příprava na druhou vnitrosemestrální písemku
V písemce bude jedna úloha na výroky s kvantifikátory Další tři úlohy budou analogické úlohám z roku 2021.
1. Řešte v R rovnicí 4 + 2x — x2 = \x — 1| + \x + 2|. Řešení: x G {1 — \/2, \/3}'
2. Řešte v IR nerovnicí \/2 + x2 — y/2 — x2 > 1.
5. Uvažujme funkcí f danou předpisem f(x) = log2 x + log4 rr + log8 x.
a) Určete definiční obor funkce a zdůvodněte, že funkce je na něm rostoucí.
b) Pro libovolné ííéK vypočtěte /(4n). [Výsledek zapište jako polynom v proměnné n G z./
c) Využijte předchozí výsledek a vyřešte rovnicí 2 log2 x + 2 log4 rr + 2 log8 x + 11 =0. Podobně vyřešte nerovnici log2 rr + log4 rr + log8 x < log16 x5.
Řešení: a) Jde o součet tří rostoucích funkcí, a proto je to rostoucí funkce na celém svém definičním oboru kladných reálných čísel, b) /(4n) = y • n. c) x = |. d) x G (0,1).
3. Řešte v R rovnici 8X + 2 = Ax + 2X+1. Řešení: x G {0, |}.
4. Určete všechna řešení nerovnice \ogx+1{2x + 1) > 2 + \ogx+l(^-^).