Lineární algebra III    7. 2. 2020	1.	2.	3.	4.	5.	6.	Celkem
Jméno:							
(6x1 bod) Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků (+1 bod za správnou odpověď, — 1 bod za špatnou odpověď, 0 bez odpovědi, výsledný počet bodů je maxjsoučet bodů, 0}):
(a) ano - ne Každý neprázdný polyedr má nějaký vrchol.
(b) ano - ne Platí
min{cx | Ax > b, x > 0} = max{yb | c > y A,y > 0}, pokud obě strany existují.
(c) ano - ne Pro antisymetrické tenzory a, (3 G A2U vždy platí a A (3 = (3 A a.
(d) ano - ne Na reálném vektorovém prostoru C existuje jediná orientace.
(e) ano - ne Každý nenulový kvaternion q ^ 0 má inverzi q~ľ.
<„ ano - ne SÄ — ,ar raatlee ^ *) ,e g  A2 _ ^ _ J.
(6x2 body) Stručně a jasně odpovězte. Svá tvrzení zdůvodněte.
(a) Na příkladu P: —l<x<0, y>0, x + y<l (namalujte si obrázek!) demonstrujte, jak lze popsat stěny polyedru P: Ax > b (všechny, ne jen maximální) pomocí podsystémů nerovnic systému Ax > b zadávajícího P.
(b) Zformulujte Farkasovo lemma pro polyedry (nehomogenní systémy nerovnic).
(c) Nechť a je báze prostoru U a nechť a* je duální báze prostoru U*. Vyjádřete souřadnice formy i] G U* v bázi a* pomocí prvků báze a. Své tvrzení dokažte.
(d) Lineární zobrazení ip: IR3 —> IR3 má vlastní čísla 2, 1, —1. Odvoďte, čemu se rovná stopa zobrazení ipA2: A2IR3 A2IR3.
(e) Definujte vektorový součin, nezapomeňte uvést všechny předpoklady. Kdy je vektorový součin dvou vektorů nulový?
(f) Najděte nějakou reálnou (nebo alespoň komplexní) matici A, pro kterou Smithův normální tvar matice (A — XE) je
'1 0
v0 A'
(8 bodů) Určete minimum lineární funkce 2x1+x2+x4:+x5 na polyedru PCK5 daném soustavou nerovnic
X\        — X2     + 3?3 + 3^5      > 3 Xi, X2, X3, X4,       > 0
— 2Xi     + X2 + X4 < 0
2x2    — x%   + X4 > 3
x4     + x5   < 3
(některé nerovnosti >, některé <) a všechny body této podmnožiny, ve kterých je minima dosaženo.
4. (3 body) Nechť V je vektorový prostor s bází a = (ei, 62,63) a duální bází (Z1,/2,/3). Tenzor í G T-pV má v bázi a souřadnice ť£ = k. Najděte jeho souřadnici t%2 v bázi (3 = (e~i, e~2, ěs), jestliže pro duální bázi (3* = (f1, f2, f3) platí
5. (3 body) Popište pomocí osy a úhlu složení S o R rotace R okolo vektoru (1, 0,-1) o úhel +90' s rotací S okolo vektoru (1, —2,1) o úhel +120°.
6. (4 body) Spočtěte Smithův normální tvar celočíselné matice
í2	1	-1	1\
4	2	1	6
6	2	1	-2
\4	1	2	1/
zadávající homomorfismus grup ip: Z4 —)• Z4. Poté rozložte Z4/imy? na součin cyklických grup, jejichž řády jsou mocniny prvočísel.