2. vnitrosemestrální písemka - MIN101 - podzim 2022 - 7. 12. 2022
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (5 bodů) Mějme matici A s parametry a,b,c G IR,
a) Určete parametry a, b, c tak, aby řádky této matice tvořily ortogonální bázi IR3.
b) Určete parametry a, b, c tak, aby matice A měla vlastní vektor w = (1, 0,2) a zároveň měla nulový determinant.
c) Rozhodněte, zda existují parametry a, b, c takové, že A = {ip)a,a pro nějakou bázi a, kde lineární zobrazení ip : IR3 —y IR3 je kolmá projekce na přímku procházející počátkem. Připomeňme, že (ip)a,a označuje matice lineárního zobrazení ip v bázi a.
2. (5 bodů) Nechť <p je lineární zobrazení prostoru IR3 do sebe, které je symetrií podle přímky p (tj. osová symetrie), přičemž přímka p prochází počátkem a má směrový vektor (3, 0,-1). Určete matici zobrazení <p ve standardní bázi.
Řešení a bodování:
[5 bodů]
a) [1 bod] Označme řádky matice v\ (první řádek), t>2 (druhý řádek) a t>3 (třetí řádek). Podmínka ortogonality znamená
(vi, v2) = 1 + 2a = 0,    (v±, v3) = c + 6 = 0,    (v2, v3) = c + 3a + b = 0.
i (,= 15
2' " 2
b) [2 body] Vektor w je vlastní, jestliže Aw = Xw, tj.
Tato soustava rovnic má řešení a = — ^, b = ^ a c = —6.
pro nějaké A G M. Tři složky poslední rovnosti jsou A = 1, l + 26 = 0ac + 2 = 2A. Tedy w je vlastní vektor pro vlastní číslo A = 1, což znamená b = — ^ ac=0 (pro libovolné a£l). Pro tyto hodnoty parametrů spočteme determinant
ll   2      0 \
det   1   a   -1/2    = a--.
\0   3      1   / 2
Tedy a = ^.
c) [2 body] Je-li A matice kolmé projekce na přímku, tak musí mít vlastní číslo 0 s geometrickou násobností 2, tj. matice A — 0 • E = A má hodnost 1. Ekvivalentně, matici A lze řádkovými elementárními úpravami převést na matici, kde jsou dva řádky nulové. Spočteme
A =
tedy druhý řádek je nulový pro volbu a = 2 a b = 0, nicméně třetí řádek je vždy nenulový. Parametry a, b, c tedy nelze zvolit tak, aby matice A měla hodnost 1. Proto nelze zvolit parametry tak, aby A byla maticí kolmé projekce na přímku v R3.
[5 bodů] Označme v\ = (3, 0, —1) směrový vektor přímky p a dále zvolíme dva vektory kolmé k v\\ např. f2 = (1, 0, 3) a v3 = (0,1,0), [lb za výběr vhodné báze]. V bázi a = (i>i, f2, f3) má zobrazení ip matici
/l    0 0
(<p)a,a =   o  -1 o \°   0 ~1/
[lb]. Použijeme vztah (f)c,c = (id)c,a ■ (f)a,a ■ (iď)a,e, [0.5b], kde pro matici (iď)£,a máme
[0.5b]. Matice {id)a^ se určí jako matice inverzní k matici (id)CtCC, [0.5b za úvahu], tj.
^ 0 10 u
(id)a,c = ((id)c,a)       =  \ JÔ 0
o 1
[0.5b]. Celkem dostaneme
= I o
[ib].