1. termín zkoušky - MIN101 - podzim 2021 - 6. 1. 2021 Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.) 1. (5 bodů) V prostoru IR3 jsou dány body A, B, C a O, A = [2,1,0], B =[3,3,2], C = [1,-3,0], O =[0,0,0]. Dále uvažme přímku p procházející body A a B a rovinu p, která prochází body A, B a C. a) Určete vzdálenost bodu C od přímky p. b) Určete obsah trojúhelníku ABC. c) Určete rovnici (tj. implicitní popis) roviny p. d) Určete objem čtyřstěnu ABCO. e) Určete parametrický popis roviny a, která je rovnoběžná s přímkou p a obsahuje osu z. 2. (5 bodů) V prostoru IR3 určete bod A E p a bod B E q tak, že přímka procházející body A a B je kolmá k přímkám p, q: p: [3,5,2] +r(l, 0,1), q : [4, -2,1] + s(4,2, 2). 3. (5 bodů) Mějme kvadratickou formu / : IR3 —y IR danou předpisem f(xi,X2, X3) = x\ + 1x\ — x\ — 2x1X3 + 2x2X3. a) Určete matici A této kvadratické formy ve standardní bázi. b) Najděte nějakou polární bázi (3 kvadratické formy / a napište matici B této formy v bázi (3. c) Rozhodněte, zdaje kvadratická forma / pozitivně či negativně definitní či semidefinitní nebo indefinitní (nebo ani jedno z předchozího). 4. (5 bodů) Uvažujme následující příklad jako Leslieho model růstu. Pan Kočka chová myši. Má je rozdělené do tří skupin podle věku: v první skupině jsou nej mladší myši ve věku do 1 měsíce, v druhé skupině má myši ve věku 1-2 měsíce a ve třetí skupině má myši ve věku 2-3 měsíce. Myši starší než tři měsíce prodává farmaceutické firmě na testování kosmetiky. Pan Kočka dlouhodobým pozorováním porodnosti a úmrtnosti zjistil následující údaje. Během každého měsíce zemře polovina ve skupině nejmladších myší, ale myši ve věkové skupině 1-2 měsíce jsou odolnější a všechny přežijí. Dále myši v nejmladší skupině mají porodnost | (vzhledem k počtu myší v této skupině), ve věkové skupině 1-2 měsíce mají pětinásobnou porodnost (vzhledem k počtu myší v této skupině) a ve věkové skupině 2-3 měsíce mají dvojnásobnou porodnost (vzhledem k počtu myší v této skupině). a) Dokažte, že se chov rozšiřuje a určete k jakému poměru se blíží počty myší v jednotlivých věkových skupinách. (Napovězme, že všechny kořeny charakteristického polynomu jsou racionální.) Dále rozhodněte, zda je matice Leslieho modelu primitivní. b) Pan Kočka plánuje, že by některé myši z věkové skupiny do 1 měsíce na konci každého měsíce prodával jako domácí mazlíčky. Jakou část by jich měl prodat, aby jeho chov byl stabilizovaný? Řešení a bodování: [5 bodů] Bodování: a+b dohromady 2 body; c,d,e každá část 1 bod. a) Parametrický popis přímky p je A + rAŘ = [2,1,0] + r(1,2, 2). Potřebujeme najít bod i? G p takový, že ÚŘ _L AÉ: pak je hledaná vzdálenost p od C rovna délce \\CŘ\\. Jelikož bod R je tvaru R = [2 + r, 1 + 2r, 2r], máme = (1 + r, 4 + 2r, 2r). Podmínka kolmosti znamená 0 = ((1 + r, 4 + 2r, 2r), (1, 2, 2)) = (1 + r) + 2(4 + 2r) + 2 • 2r = 9r + 9, tj. r = -1. Tedy \\CR\\ = ||(0,2,-2)|| = V4 + 4 = 2-\/2, což je hledaná vzdálenost, [0,5 bodu za určení parametrického popisu přímky p + 0,5 bodu za postup + 0,5 bodu za správný výsledek]. b) Platí \\A~É\\ = ||(1, 2, 2)|| = y/í + 4 + 4 = 3. Bereme-li úsečku AB jako základnu trojúhelníku ABC, pak jeho výška je 2y/2 podle části a). Obsah tedy je 3'22y/^ = 3-v/2, [0,5 bodu]. c) Zaměření roviny p je určeno vektory AÉ = (1, 2, 2) a A(3 = (—1, —4, 0). Normálový vektor n roviny p splňuje (n,A~É) = 0 a (n, AČ) = 0. Vztah (n, (—1, —4,0)) = 0 říká, že n = (4, —l,a) pro nějaké a G M (až na násobek). Z druhého vztahu (n, (1, 2, 2)) = ((4, —1, a), (1, 2, 2)) = 0 dopočítáme a = — 1. Rovnice roviny p je tedy 4x — y — z + b = 0, kde dosazením souřadnic např. bodu A = [2,1, 0] G p dostaneme 4-2—1-1 — 1-0 + 6 = 0, tj. b = —7. Rovina p má tedy rovnici 4x — y — z — 7 = 0, [0,5 bodu za postup + 0,5 bodu za správný výsledek]. d) Hledaný objem V je určený vztahem V= i|det I OÉ | | = i|det f3 3 2 ] | = ^1 det íi \ 6 \ , on/ 3 V1 ~3 .1 -3 0 = ||2.(-3)-l.l| = |) [0,5 bodu za postup + 0,5 bodu za správný výsledek]. e) Platí O G u, přičemž zaměření této roviny je určené vektorem AÉ = (1,2,2) a dále směrovým vektorem osy z, tj. (0, 0,1). Hledaný parametrický popis tedy je [0, 0, 0] + í(l, 2, 2) + s(0, 0,1), [0,5 bodu]. 2. [5 bodů] Označme v = (a, b, c) směrový vektor v = AĚ . Vektor v je kolmý na vektory (1, 0,1) a (4, 2, 2), [0.5b]. Podmínky v _L (1, 0,1) a i> _L (4, 2, 2) jsou ekvivalentní rovnicím a + c = 0 a 4a + 2b + 2c = 0, tedy v = í(l, —1, —1) pro vhodné t G R, [1.5b]. Platí A = [3,5,2] + r(1,0^ (neboť A G p) a B = [4, -2,1] + s(4, 2, 2) (neboť B G g). Jelikož S = A + ŕ(l, -1, -1) (neboť u = AB), dostáváme [3, 5, 2] + r(l, 0,1) + í(l, -1, -1) = [4, -2,1] + a(4, 2, 2), což znamená r(l, 0,1) + í(l, -1, -1) - s(4, 2, 2) = (1, -7, -1), [lb]. Maticový zápis této soustavy rovnic je a její řešení je r = 6, t = 3 a s = 2, [lb]. Tedy A = [3,5,2] + 6(1,0,1) = [9,5,8], [0.5b] a B [4,-2,1]+2(4, 2, 2) = [12, 2, 5], [0.5b]. [5 bodů] a) Je to matice A = I 0 2 1 I, [0.5b]. b) Úpravou na čtverec dostaneme f(xi,x2,x3) = (xi - x3)2 + 2(x2 + \x3)2 - \x\, [1.5b], tj. yi = x\ — X3, i)2 = X2 + \x3 a ys = x3 jsou souřadnice v polární bázi f3 s maticí přechodu /i o -ŕ (id)/3,e =01 ||, [0.5b] \0 0 1 Tato matice matice má inverzi (id)Cíf3 = ((id)^)-1 = I 0 1 -\ I , [lb]. Báze j3 je tvořena sloupci předchozí matice, tj. /? = ((1,0,0), (0,1,0), (1,-\, 1)), [0.5b] £=02 0 , [0.5b]. \o 0 -\) c) Z matice B vidíme, že kvadratická forma / je indefinitní, [0.5b]. 4. [5 bodů] a) Uvažujeme-li skupiny myší v pořadí (0-1 měsíc, 1-2 měsíce, 2-3 měsíce), má tento Leslieho model matici L = [1 bod]. Charakteristický polynom je det(L — A.E3), kde E% je jednotková matice 3x3. Laplacovým rozvojem podle 3. řádku dostaneme N =-<•*(*iA í)-"kt(iix -V = -i(2,\3-A2-5A-2), [0.5 bodu]. Dominantní vlastní číslo je 2, [0.5 bodu]. (To lze najít Homérovým schématem, kandidáti na kladný racionální kořen jsou pouze 1, 2 a |.) Potřebujeme najít vlastní vektor matice L příslušný vlastnímu číslu 2, což je vektor (8, 2,1), [0.5 bodu]. Struktura chovu se tedy blíží rozdělení 5^(8,2,1) = (8/11,2/11,1/11), [0.5 bodu]. Matice L je primitivní, neboť všechny hodnoty na prvním řádku i těsně pod diagonálou jsou nenulové; alternativně se lehce ukáže, že matice L3 je pozitivní, [0.5b]. Tedy jakákoliv počáteční věková struktura chovu konverguje k poměru (8/11, 2/11,1/11). b) Na konci roku žije | z myší ve skupině do 1 měsíce a označíme a část z nich, která bude rozdána. Tím dostaneme Leslieho model s maticí Jelikož matice Ľ má mít vlastní číslo 1, musí být det(Ľ — £3) = 0, [1 bod]. Odtud se spočítá a = |, [0.5 bodu]. (Je tedy třeba rozdat | z počtu myší v nejmladší věkové kategorii žijících na konci měsíce neboli | z celkového počtu myší na začátku měsíce.)