2. termín zkoušky - MIN101 - podzim 2021 - 26. 1. 2022 Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.) 1. (5 bodů) V prostoru IR3 uvažujeme krychli ABCDEFGH o jednotkové velikosti hrany, tj. A = [0,0,0], B= [1,0,0], C = [1,1,0], D = [0,1,0],£ = [0,0,1], F = [1,0,1], G = [1,1,1] a, H = [0,1,1]. Na hraně BF označíme v jedné třetině bod X = [1, 0, |] a na hraně CG v polovině bod F = [1,1, |]. Označme dále p rovinu procházející body A, X a Y. a) Napište obecnou rovnici roviny p. b) Určete souřednice bodu Z, který je průsečíkem hrany DH a roviny p. c) Určete vzdálenost vrcholu E od roviny p. d) Porovnejte velikost úhlu LAXY a velikost úhlu ZAZF. e) Určete objem pětistěnu AXYZE. 2. (5 bodů) Řešte lineární diferenční rovnici xn = 6xn_i — 8xn + 3n — 16 s počátečními podmínkami x^ — —1 a X2 — 8. 3. (5 bodů) Mějme kvadratickou formu / : IR3 —y IR danou předpisem f(xi,X2, X3) = x\ — 6X1X3 + + 4x2X3 + 10Xg. a) Určete matici A této kvadratické formy ve standardní bázi. b) Najděte nějakou polární bázi (3 kvadratické formy / a napište matici B této formy v bázi (3. c) Rozhodněte, zdaje kvadratická forma / pozitivně či negativně definitní či semidefinitní nebo indefinitní (nebo ani jedno z předchozího). 4. (5 bodů) Uvažme následující příklad jako Markovův proces. V obci Liptákov jsou tři společenské podniky: hospoda Na Mýtince, hostinec U Sirotků a vinárna U Pavouka. Místní statistik Jára zjistil následující údaje. Obyvatel Liptákova, který tráví večer Na Mýtince, s pravděpodobností 1/4 bude následující večer opět Na Mýtince, s pravděpodobností 1/4 přejde k Pavoukovi a s pravděpodobností 1/2 stráví večer doma. Kdo tráví večer U Sirotků, bude s pravděpodobností 1/2 následující večer Na Mýtince a s pravděpodobností 1/2 přejde k Pavoukovi. Návštěvník vinárny U Pavouka bude s pravděpodobností 1/4 následující večer Na Mýtince, s pravděpodobností 1/4 U Sirotků, s pravděpodobností 1/4 opět U Pavouka a s pravděpodobností 1/4 zůstane doma. Kdo tráví večer doma, bude s pravděpodobností 1/4 trávit následující večer Na Mýtince, s pravděpodobností 1/4 bude U Sirotků, s pravděpodobností 1/4 bude U Pavouka a konečně s pravděpodobností 1/4 zůstane doma. a) Jednou večer, po mnohaletém pobytu v Liptákově, si chce Jára zahrát šachy se svým sousedem Padevědem. S jakou pravděpodobností ho najde U Sirotků a s jakou pravděpodobností bude jeho soused doma? b) Rozhodněte, zda je matice tohoto Markovova procesu primitivní. Řešení a bodování: [5 bodů] Bodování: každá část za 1 bod. a) Rovina obsahuje vektory AX = X — J4=(l,0,|)a AY = Y — A = (1,1, |). Určíme v, normálový vektor roviny p, který je kolmý k těmto dvěma vektorům. Vektor v se spočítá z příslušné homogenní soustavy lineárních rovnic nebo se „uhodne" následujícím způsobem: volíme třetí souřadnici 3 a první souřadnici —1, aby byl vektor v kolmý k AX, a následně položíme druhou souřadnici v rovnu — ^, aby byl vektor v kolmý k vektoru AY. Dostáváme tedy vektor v = (— 1, — ^, 3) a dále budeme pracovat s jeho minus dvojnásobkem (2,1, —6). Obecná rovnice p je tedy 2x + y — 6z = 0, kde na pravé straně volíme konstantu 0, aby v rovině p ležel bod A. b) Bod Z leží na přímce procházející body D a H, a proto má souřadnice [0,1, a], kde třetí souřadnici a zatím neznáme. Zároveň musí splňovat rovnici roviny p. Tedy 2 ■ 0 + 1 ■ 1 — 6 ■ a = 0, a proto a = |. Vidíme tedy, že Z = [0,1, |]. Jiné řešení: Uvažme dvě rovnoběžné roviny dané stěnami BCGF a ADHE. Průnik těchto rovin a roviny p tvoři proto dvojici rovnoběžek. Vektory XY a AZ jsou tedy navzájem svými násobky. Navíc oba tyto vektory spojují rovnoběžné stěny ABFE a DCGH, a mají tudíž stejnou velikost. Vidíme tedy, žeAZ = XY = Y-X=[í,í, i] — [1, 0, §] = (0,1,±). Proto Z = A + AZ = [0,0,0] + (0,1,±) = [0,1, jr]. Z této úvahy také plyne, že ětyřúhelník AXYZ je rovnoběžník. c) Určíme projekci vektoru z = AĚ = (0,0,1) do podprostoru Z(p)1- = ({(2,1,-6)}). Označme tuto projekci pz = a(2,1, —6). Vektor z — pz má být kolmý k vektoru (2,1, —6). Spočítáme skalární součin vektorů z — pz a (2,1, —6): ((2,1, -6), (0, 0,1) - a(2,1 - 6)) = ((2,1, -6), (0, 0,1)) - a((2,1, -6), (2,1, -6)) £(-2, -1, 6). Velikost tohoto vektoru £ • V22 + 1 + 62 Odtud a = vzdálenost a Pz -6-41a = 0. S^E je hledaná d) Odchylka a vektorů XA = (—1, 0, — |) a XY = Y—X = [1,1, ±]-[l, 0, |] = (0,1, ±) se určí obvyklým vzorcem: cos a = ((-1,0,-i), (0,1, i)) 18 f-1,0,- ,1, ✓ 10 3 ✓37 6 -1 /37Ô (0, —1, —i) a ZY = (1, 0, i). Zkoumané úhly mají Stejně vyjde podobný výpočet pro vektory Z A tedy stejnou velikost. Jiné řešení: Z druhého řešení části b) víme, že ětyřúhelník AXYZ je rovnoběžník. Uhly u protějších vrcholů mají tedy stejnou velikost. e) Pětistěn je tvořen dvěma stejně velkými čtyřstěny AXYE a AY ZE. Objem čtyřstěnu AXYE určíme pomocí determinantu vytvořeného z vektorů AX = (1, 0, |), AY = (1,1, i) a AĚ = (0, 0,1). Objem je proto ' 1 0 1 1 0 0 Objem pětistěnu je tedy |. [5 bodů] Charakteristický polynom A2 = 6A — 8 má kořeny 4 a 2, tedy obecné řešení zhomogenizované rovnice je xn = A ■ 4™ + B ■ 2™, A, B G M, [lb]. Partikulární řešení zadané nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru xn = an + b, a, b G M. Dosazením dostaneme an + b = 6(a(n - 1) + b) - 8(a(n - 2) + b) + 3n - 16, z čehož dopočítáme a = 1 a b = —2. Tedy obecné řešení zadané rovnice je xn = A-4n + B -2n + n-2, [2b]. Počáteční podmínky x\ = — 1 a x^ = 8 znamenají Xl = 4A + 2B - l = -1 a x2 = Í6A + 4B = 8. Řešením této soustavy je A = 1 a B = —2. Výsledek tedy je xn 4 2 n+l -2, [2b]. [5 bodů] a) Je to matice b) Úpravou na čtverec dostaneme A [0.5b]. f(xi,x2,x3) = (xi - 3x3)2 +4(x2 + \x3)2, [1.5b], tj. yi = x\ — 3aľ3, i)2 = X2 + \x3 a y3 = x3 jsou souřadnice v polární bázi /3 s maticí přechodu (Íd)/3,e =01 '1 0 -3^ i ,0 0 1 [0.5b] Tato matice matice má inverzi (id)£j/3 = ((id),3,, [lb]. Báze j3 je tvořena sloupci předchozí matice, tj. P= ((1,0,0), (0,1,0), (3,-i, 1)), [0.5b] [0.5b]. c) Z matice B vidíme, že kvadratická forma / je pozitivně semidefinitní, [0.5b]. [5 bodů] a) [4.5 bodu] Uvažujeme-li pořadí stavů: Na Mýtince, U Sirotků, U Pavouka, doma; jedná se o Mar-kovův proces se (stochastickou) maticí B /1/4 1/2 1/4 l/4\ 0 0 1/4 1/4 1/4 1/2 1/4 1/4 \l/2 0 1/4 1/4/ [1.5b]. Je třeba najít vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu 1, [0.5b za úvahu]. Hledáme tedy řešení homogenní soustavy rovnic s maticí B-Ea /-3/4 1/2 1/4 1/4 \ 0 -1 1/4 1/4 1/4 1/2 -3/4 1/4 \ 1/2 0 1/4 -3/4/ /l 2 -3 1 \ 0 4-1-1 0 0 1-1 \0 0 0 OJ kde £4 je jednotková matice 4x4. Její řešení je (až na násobek) vektor v = (2,1,2,2), [lb]. My ale potřebujeme pravděpodobnostní vektor, což je w = 2+i+2+2v = H^' ^' ^' ^) = (f > 7> f > f )> [0-5b]. Padevěda tedy Jára najde s pravděpodobností j U Sirotků, [0.5b], a s pravděpodobností | u něho doma, [0,5b]. b) [0.5 bodu] Matice B2 je pozitivní, tady matice B je primitivní.