Obsah
1 Prekalkulus 3
1.1 Reálná čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Funkce a jejich základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Diferenční a sumační počet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Elementární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Spojité funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 51
2.1 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Derivace vyšších řádů, diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Obecné věty o derivaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Taylorův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5 Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 Rovinné křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 Integrální počet funkcí jedné proměnné 77
3.1 Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Vlastnosti Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Integrál jako funkce horní meze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5 Nevlastní integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7 Numerická integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Nekonečné řady 111
4.1 Pojem řady a jejího součtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Řady s nezápornými členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4 Dvojné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5 Součin řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.6 Posloupnosti a řady funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.7 Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.8 Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.9 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
1
5 Metrické prostory 147
5.1 Pojem metriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Podmnožiny metrického prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 Konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4 Úplné a kompaktní prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5 Zobrazení metrických prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6 Fourierovy řady a integrální transformace 163
6.1 Hilbertův prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2 Prostor L2
(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.3 Fourierovy řady vzhledem k trigonometrickému systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.4 Fourierova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.5 Fourierův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.6 Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7 Diferenciální počet funkcí více proměnných 189
7.1 Spojitost a limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.2 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.3 Diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.4 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.5 Průběh funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.6 Implicitní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.7 Diferencovatelná zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.8 Diferencovatelné variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.9 Vázané extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.10 Vektorové funkce, skalární a vektorová pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.11 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8 Integrální počet funkcí více proměnných 227
8.1 Jordanova míra v R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.2 Závislost míry na transformaci souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.3 Jordanova míra v Rk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.4 Riemannův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.5 Vlastnosti Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.6 Fubiniova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.7 Transformace integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.8 Aplikace Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.9 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
2
Kapitola 1
Prekalkulus
1.1 Reálná čísla
• Přirozená čísla: N = {1, 2, 3, ...} Dospějeme k nim při počítání prvků nějaké množiny. Lze na nich
definovat základní početní operace, uspořádání.
• Celá čísla: Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Doplnění množiny N tak, aby operace odčítání měla vždy
výsledek.
• Racionální čísla: Q = {m
n : m ∈ Z, n ∈ N} Doplnění množiny Z tak, aby operace dělení měla vždy
výsledek.
• Iracionální čísla: I Čísla, která není možno vyjádřit ve tvaru m
n , kde m ∈ Z, n ∈ N
Iracionální čísla potřebujeme. Např. log10 3 ∈ I.
D.: Sporem. Připusťme, že log10 3 = m
n . Pak
10
m
n = 3
10m
= 3n
2m
5m
= 3n
Dostali jsme dva různé rozklady jednoho čísla na prvočinitele. To je spor.
Nebo
√
2 ∈ I.
D.: Sporem. Připusťme, že
√
2 = m
n . Pak
2 = m2
n2
2n2
= m2
V rozkladu na prvočinitele čísla stojícího na levé straně rovnosti je 2 v liché mocnině, v rozkladu na
prvočinitele čísla stojícího na pravé straně rovnosti (tedy téhož čísla) je 2 v sudé mocnině. To je spor.
1.1.1 Definice
Buď M množina, na níž je definováno uspořádání ≤ . (Uspořádání je binární relace, která je
(i) reflexivní: (∀a ∈ M) (a ≤ a)
(ii) antisymetrická: (∀a, b ∈ M) (a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b)
(iii) transitivní: (∀a, b, c ∈ M) (a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c) )
Buď a ∈ M, A ⊆ M. Řekneme, že a je horní (resp. dolní) závora množiny A v množině M, jestliže x ≤ a
(resp. a ≤ x) pro každé x ∈ A. Řekneme, že množina A je ohraničená shora (resp. zdola), jestliže existuje její
horní (resp. dolní) závora. Řekneme, že množina A je ohraničená, je-li ohraničená shora i zdola.
3
1.1.2 Příklady
1. Množina A = {1, 1+ 1
2 , 1+ 1
2 + 1
3 , ...} je ohraničená zdola (dolní závora je např. 1) a není ohraničená shora:
Při označení an = 1 + 1
2 + 1
3 + ... + 1
n je
a1 = 1
a4 = 1 + 1
2 + 1
3 + 1
4 > 1 + 1
2 + 1
4 + 1
4 = 1 + 2
2
a8 = a4 + 1
5 + 1
6 + 1
7 + 1
8 > 1 + 2
2 + 4
8 = 1 + 3
2
...
Indukcí lze dokázat, že a2n > 1 + n
2 a číslo 1 + n
2 může být libovolně velké.
2. Množina B = {1, 1 + 1
4 , 1 + 1
4 + 1
9 , ...} je ohraničená shora, b ≤ π2
6 pro každé b ∈ B. (Bude dokázáno
později.)
1.1.3 Definice
Buď A ⊆ M, kde M je množina, na níž je definováno uspořádání ≤. Řekneme, že a ∈ A je maximum nebo
největší prvek (minimum nebo nejmenší prvek) a píšeme a = max A (a = min A), jestliže pro každé x ∈ A platí
x ≤ a (a ≤ x).
1.1.4 Definice
Buď M množina, na níž je definováno uspořádání ≤ a buď A ⊆ M. Řekneme, že a ∈ M je supremum množiny
A, jestliže je nejmenší horní závorou množiny A, t.j. jestliže platí
(s1) (∀x ∈ A) (x ≤ a),
(s2) ((∀x ∈ A) (x ≤ b)) ⇒ a ≤ b.
Píšeme a = sup A.
1.1.5 Definice
Buď M množina, na níž je definováno uspořádání ≤ a buď A ⊆ M. Řekneme, že a ∈ M je infimum množiny
A, jestliže je největší dolní závorou množiny A, t.j. jestliže platí
(i1) (∀x ∈ A) (a ≤ x),
(i2) ((∀x ∈ A) (b ≤ x)) ⇒ b ≤ a.
Píšeme a = inf A.
1.1.6 Poznámky
1. Podmínku (s2) v 1.1.4 lze nahradit podmínkou
(s2∗
) (p ∈ M, p < a) ⇒ (∃x ∈ A) (p < x).
(p < a je definováno jako p ≤ a a současně p = a; v dalším budeme používat i symboly ≥, >.)
D.: Nechť a ∈ M splňuje (s2) a nechť p ∈ M, p < a. Pak p není horní závora množiny A (jinak by podle
(s2) bylo a ≤ p). Odtud plyne, že existuje x ∈ A takové, že x > p, tedy platí (s2∗
).
Nechť a ∈ M splňuje (s2∗
) a buď b ∈ M horní závora množiny A. Kdyby b < a, pak by existovalo
x ∈ A takové, že b < x a tedy b by nebyla horní závora množiny A. Je tedy a ≤ b.
2. Analogicky lze dokázat, že podmínku (i2) v 1.1.5 lze nahradit podmínkou
(i2∗
) (p ∈ M, p > a) ⇒ (∃x ∈ A) (p > x).
3. Libovolná A ⊆ M má nejvýše jedno supremum a nejvýše jedno infimum.
4
D.: Nechť a = sup A, b = sup A. b je podle (s1) horní závora množiny A, tedy a ≤ b podle (s2).
Analogicky a je horní závora A, tedy b ≤ a. Z antisymetrie relace ≤ plyne a = b.
Analogicky se ukáže platnost tvrzení pro infimum.
4. Jestliže existuje max A (min A), pak existuje také sup A (inf A) a platí sup A = max A (inf A = min A).
D.: Nechť a = max A.
a splňuje (s1) přímo podle definice maxima 1.1.3
Nechť b je horní závora množiny A. Pak b ≥ x pro každé x ∈ A, zejména tedy b ≥ a ∈ A. Což
znamená, že platí (s2).
Tvrzení pro infimum a minimum se dokáže analogicky.
1.1.7 Definice
Množina reálných čísel je množina R, na níž jsou definovány dvě binárním operace + (sčítání), · (násobení) a
jedna binární relace < (menší než), které splňují podmínky
(R1) pro všechna a, b ∈ R platí a + b = b + a (komutativní zákon pro sčítání)
(R2) pro všechna a, b, c ∈ R platí (a + b) + c = a + (b + c) (asociativní zákon pro sčítání)
(R3) existuje prvek 0 ∈ R takový, že pro všechna a ∈ R platí a + 0 = a (existence neutrálního prvku vzhledem
ke sčítání)
(R4) ke každému a ∈ R existuje prvek −a ∈ R takový, že a + (−a) = 0 (existence opačného prvku)
(R5) pro všechna a, b ∈ R platí a · b = b · a (komutativní zákon pro násobení)
(R6) pro všechna a, b, c ∈ R platí (a · b) · c = a · (b · c) (asociativní zákon pro násobení)
(R7) existuje prvek 1 ∈ R, 1 = 0 takový, že pro všechna a ∈ R platí a · 1 = a (existence neutrálního prvku
vzhledem k násobení)
(R8) ke každému a ∈ R, a = 0 existuje prvek a−1
∈ R takový, že a · a−1
= 1 (existence inversního prvku)
(R9) pro všechna a, b, c ∈ R platí a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (distributivní zákon)
(R10) každé dva prvky z množiny R jsou srovnatelné, podrobněji: každá dvojice prvků a, b ∈ R splňuje právě
jeden ze vztahů a < b, a = b, b < a (zákon trichotomie)
(R11) jestliže pro a, b, c ∈ R platí a < b a b < c, pak také a < c (transitivita relace <)
(R12) jestliže pro a, b ∈ R platí a < b, pak pro každé c ∈ R je a + c < b + c (monotonie vzhledem ke sčítání)
(R13) jestliže pro a, b, c ∈ R platí a < b a 0 < c, pak a · c < b · c (monotonie vzhledem k násobení)
(R14) je-li M neprázdná shora (zdola) ohraničená podmnožina množiny R, pak existuje sup M ∈ R (inf M ∈ R)
1.1.8 Poznámky
1. (R1) – (R4) a (R5) – (R8) jsou axiomy komutativní grupy
(R1) – (R9) jsou axiomy pole
(R1) – (R13) jsou axiomy uspořádaného pole
(R1) – (R14) jsou axiomy spojitě uspořádaného pole
Existuje jediné (až na isomorfismus) uspořádané pole. Axiom (R14) se nazývá axiom spojitosti.
2. Přímka, na níž je zvolen počátek (obraz reálného čísla 0), jednotková délka a orientace (obraz čísla 1) se
nazývá číselná osa. Existuje prosté a vzájemně jednoznačné zobrazení množiny reálných čísel na číselnou
osu.
5
3. Druhá část axiomu (R14) (existence infima) je důsledkem první části a ostatních axiomů.
D.: Nejdříve ukážeme, že pro každé a ∈ R je −(−a) = a. Vyjdeme z (R4):
(−a) + (−(−a)) = 0 / přičteme a zleva
a + ((−a) + (−(−a))) = a + 0 / (R2), (R3)
(a + (−a)) + (−(−a)) = a / (R4)
0 + (−(−a)) = a / (R1), (R3)
−(−a) = a
Dále ukážeme, že jestliže a < b pak −b < −a:
a < b / +(−a) zprava
a + (−a) < b + (−a) / (R4)
0 < b + (−a) / +(−b) zleva
(−b) + 0 < (−b) + (b + (−a)) / (R3), (R2)
−b < ((−b) + b) + (−a) / (R1), (R4)
−b < 0 + (−a) / (R1), (R3)
−b < −a
Nechť nyní je ∅ = M ⊆ R zdola ohraničená, b její dolní závora. Položme M′
= {−x : x ∈ M}. Pak
pro každé x ∈ M platí b ≤ x a tedy podle druhého kroku důkazu je −x ≤ −b pro každé −x ∈ M′
. To
znamená, že M′
je shora ohraničená a podle první části (R14) existuje sup M′
= s ∈ R. Podle (R4)
je −s ∈ R. Ukážeme, že −s = inf M:
Buď x ∈ M libovolné. Pak podle (s1) je −x ≤ s a podle pomocných tvrzení na začátku důkazu je
−s ≤ x. Poněvadž x bylo libovolné, je podmínka (i1) splněna.
Buď c ∈ R takové, že c ≤ x pro každé x ∈ M. Pak −x ≤ −c pro každé −x ∈ M′
a podle (s2) je
s ≤ −c, tedy −(−c) ≤ −s. Podle prvního kroku důkazu je c ≤ −s, což znamená, že i podmínka (i2)
je splněna.
1.1.9 Příklad
Nechť M = {m
n : m, n ∈ N, m < n}. Ukažte, že sup M = 1, inf M = 0.
Ř.: Platnost podmínky (s1): m
n ≤ 1 pro m ≤ n.
Platnost podmínky (s2∗
): Buď p ∈ M, p < 1. Je-li p ≤ 0, pak např. pro 1
2 ∈ M platí p < 1
2 . Nechť
tedy p > 0. Položme n = 1 + [ 1
1−p ]. (Přitom [x] označuje celou část z čísla x, t.j. celé číslo z takové, že
x ≤ z < x + 1. Např. [π] = 3, [3
2 ] = 1, [−3.5] = −4 a p.) Pak
n > 1
1−p
n − np > 1
n − 1 > np
n−1
n > p
a zřejmě n−1
n ∈ M.
Platnost podmínky (i1): m
n > 0 pro všechna m, n ∈ N.
Platnost podmínky (i2∗
): Buď p ∈ M, p > 0. Je-li p ≥ 1, pak např. pro 1
2 ∈ M platí 1
2 < p. Nechť tedy
p < 1. Položme n = 1 + [1
p ]. Pak n > 1
p a tedy p > 1
n ∈ M.
1.1.10 Definice
Množinu R∗
= R ∪ {−∞, ∞} nazýváme rozšířená množina reálných čísel, symboly −∞, ∞ nazýváme nevlastní
reálná čísla (nevlastní body číselné osy). Klademe −∞ < a < ∞ pro každé a ∈ R.
Symboly −∞, ∞ nejsou čísla, nedefinujeme pro ně početní operace.
6
1.1.11 Definice
Buďte a, b ∈ R, a < b. Uzavřeným intervalem o krajních (koncových, hraničních) bodech a, b rozumíme množinu
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
otevřeným intervalem množinu
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
polouzavřenými intervaly zprava (resp. zleva) množiny
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b},
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.
Nekonečné intervaly definujeme jako množiny
[a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a},
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b},
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b},
(−∞, ∞) = R.
Je-li J interval jakéhokoliv typu a x0 ∈ J, x0 není krajní, řekneme, že x0 je vnitřní bod intervalu J.
1.1.12 Definice
Okolím (podrobněji (symetrickým) δ-okolím, δ > 0) bodu x0 ∈ R rozumíme interval (x0 − δ, x0 + δ).
Okolím bodu ∞ rozumíme interval (a, ∞), kde a ∈ R.
Okolím bodu −∞ rozumíme interval (−∞, a), kde a ∈ R.
δ-okolí bodu x0 ∈ R∗
budeme označovat symbolem Oδ(x0), stručně O(x0).
1.1.13 Věta
Okolí bodů z množiny R mají tyto vlastnosti:
(o1) Jsou-li O1(x0) a O2(x0) dvě okolí téhož bodu x0 ∈ R∗
, pak O1(x0) ∩ O2(x0) je okolím bodu x0.
(o2) Jsou-li x1, x2 ∈ R∗
, x1 = x2, pak existují O(x1) a O(x2) taková, že O(x1) ∩ O(x2) = ∅.
D.:
1. • x0 ∈ R, O1(x0) = (x0 − δ1, x0 + δ1), O2(x0) = (x0 − δ2, x0 + δ2). Položme δ = min{δ1, δ2}. Pak
O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) = O1(x0) ∩ O2(x0) je okolím bodu x0.
• x0 = ∞, O1(x0) = (a1, ∞), O2(x0) = (a2, ∞). Položme a = max{a1, a2}. Pak O(x0) = (a, ∞) =
O1(x0) ∩ O2(x0) je okolím bodu ∞.
• x0 = −∞. Platnost tvrzení ukážeme analogicky jako v předchozím případě.
2. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že x1 < x2.
• −∞ < x1 < x2 < ∞. Položme δ = 1
4 (x2−x1). Pak O(x1) = (x1−δ, x1+δ), O(x2) = (x2−δ, x2+δ)
jsou okolí bodů x1, x2 s požadovanou vlastností. (Volba δ = 1
4 (x2 − x1) samozřejmě není jediná
možná. Stačí volit δ = r(x2 − x1), kde r ≤ 1
2 .)
• −∞ < x1 < x2 = ∞. Nechť δ > 0 je libovolné a položme a = x1 + 2δ.
Pak O(x1) = (x1 − δ, x1 + δ), O(x2) = (a, ∞) mají požadovanou vlastnost.
• Analogicky ukážeme platnost tvrzení v ostatních případech.
7
1.1.14 Definice
Buď x0 ∈ R. Ryzím okolím bodu x0 rozumíme množinu O(x0) \ {x0}.
Okolí nevlastního bodu je vždy ryzí.
Ryzí okolí bodu x0 budeme označovat O′
(x0).
1.1.15 Definice
Buď x0 ∈ R, δ > 0. Pravým (resp. levým) δ-okolím bodu x0 rozumíme interval [x0, x0 + δ) ((x0 − δ, x0]). Ryzím
pravým (resp. levým) δ-okolím bodu x0 rozumíme otevřený interval (x0, x0 + δ) ((x0 − δ, x0)).
Pravé (resp. levé) δ-okolí bodu x0 budeme označovat Pδ(x0), stručně P(x0) (resp. Lδ(x0), stručně L(x0)).
Ryzí pravé (resp. levé) δ-okolí bodu x0 budeme označovat P′
δ(x0), stručně P′
(x0) (resp. L′
δ(x0), stručně L′
(x0)).
1.1.16 Poznámky
1. Také pravá a levá okolí, ryzí okolí mají vlastnosti (o1), (o2) z věty 1.1.13.
D.: Snadnou modifikací důkazu 1.1.13.
2. Buď J ⊆ R interval a buď x0 vnitřní bod intervalu J. Pak existuje O(x0) takové, že O(x0) ⊆ J.
D.: Nechť a, b ∈ R∗
jsou krajní body intervalu J.
• Jsou-li a, b ∈ R, položíme δ = 1
2 min{x0 − a, b − x0)}. Pak δ > 0 a (x0 − δ, x0 + δ) je požadované
okolí.
• Jsou-li a ∈ R a b = ∞, položíme δ = 1
2 (x0 − a). Pak δ > 0 a (x0 − δ, x0 + δ) je opět požadované
okolí.
• Analogicky ukážeme platnost tvrzení v ostatních případech.
1.1.17 Věta
1. Mezi dvěma libovolnými reálnými čísly x1, x2, x1 < x2 leží racionální i iracionální číslo.
2. V libovolném okolí libovolného čísla x0 ∈ R leží racionální i iracionální číslo.
(Stručně: Množina Q i množina I je hustá v množině R.)
D.:
1. • Položme n = [ 1
x2−x1
] + 1, m = [nx1] + 1. Pak m ∈ Z, n ∈ N a tedy q = m
n ∈ Q. Dále platí
m > nx1 m ≤ nx1 + 1 n > 1
x2−x1
x1 < m
n nx2 − nx1 > 1
nx2 > nx1 + 1
Odtud x1 < m
n ≤ nx1+1
n < nx2
n = x2, což znamená, že q je racionální číslo mezi čísly x1 a x2.
• Položme s = [
√
2
x2−x1
] + 1, r = [ s√
2
x1] + 1. Pak r ∈ Z, s ∈ N a w =
√
2 r
s ∈ I, neboť v opačném
případě by
√
2 ∈ Q, což by byl spor s tvrzením dokázaným v úvodu tohoto odstavce. Dále platí
r > s√
2
x1 r ≤ s√
2
x1 + 1 s >
√
2
x2−x1
x1 <
√
2 r
s
s√
2
x2 > s√
2
x1 + 1
Odtud x1 <
√
2 r
s ≤
√
2 ( s√
2
x1 + 1)
s
<
√
2 s√
2
x2
s
= x2, což znamená, že w je iracionální číslo mezi
čísly x1 a x2.
2. je důsledkem 1., neboť mezi čísly x0 − δ a x0 + δ leží racionální i iracionální číslo.
8
1.2 Funkce a jejich základní vlastnosti
1.2.1 Definice
Funkce f (podrobněji reálná funkce jedné reálné proměnné) je zobrazení z množiny R do množiny R.
Množina Dom f = {x ∈ R : (∃y ∈ R)((x, y) ∈ f)} se nazývá definiční obor funkce f. (Domain)
Množina ℑf = {y ∈ R : (∃x ∈ R)((x, y) ∈ f)} se nazývá obor hodnot funkce f. (Image)
Je-li f funkce, pak zobrazení f : Dom f → ℑf je surjekce (zobrazení na).
Je-li (x, y) ∈ f, píšeme y = f(x), x → y, x
f
→ y.
Prvky z Dom f se nazývají hodnoty nezávisle proměnné, argument.
Prvky z ℑf se nazývají hodnoty závisle proměnné, funkční hodnota.
Pokud není explicitně uvedeno jinak, definičním oborem rozumíme největší (vzhledem k množinové inklusi)
množinu, pro jejíž prvky lze funkční hodnotu vypočítat.
1.2.2 Definice
Grafem funkce f rozumíme množinu G = {(x, f(x)) : x ∈ Dom f}, kde (x, y) značí orthogonální kartézské
souřadnice bodu v rovině.
1.2.3 Příklad
1. f(x) = |x| = max{x, −x}, Dom f = R, ℑf = [0, ∞).
2. f(x) =
x
√
1 − x2
, Dom f = (−1, 1), neboť musí platit
1 − x2
> 0
1 > x2
1 > |x|
ℑf = R, neboť pro libovolné r ∈ R je
r = x√
1−x2
(1 − x2
)r2
= x2
r2
= (1 + r2
)x2
x1,2 = ± |r|
√
1+r2
Znaménko u x musí být stejné jako znaménko
u r, tedy x =
r
√
1 + r2
3. f(x) = [x], kde [x] je celá část z čísla x, to jest celé číslo takové, že [x] ≤ x < [x] + 1.
Dom f = R, ℑf = Z.
4. Dirichletova funkce χ(x) =
1, x ∈ Q
0, x ∈ I
.
Dom χ = R, ℑχ = {0, 1}.
1.2.4 Definice
Buďte f, g funkce, Dom f ∩ Dom g = ∅. Pak definujeme
součet funkcí f, g předpisem: (f + g)(x) = f(x) + g(x) pro x ∈ Dom f ∩ Dom g,
rozdíl funkcí f, g předpisem: (f − g)(x) = f(x) − g(x) pro x ∈ Dom f ∩ Dom g,
součin funkcí f, g předpisem: (fg)(x) = f(x)g(x) pro x ∈ Dom f ∩ Dom g,
podíl funkcí f, g předpisem:
f
g
(x) =
f(x)
g(x)
pro x ∈ Dom f ∩ (Dom g \ {x ∈ Dom g : g(x) = 0}),
absolutní hodnotu funkce f předpisem |f|(x) = |f(x)| = max{f(x), −f(x)} pro x ∈ Dom f.
9
1.2.5 Definice
Funkce f se nazývá ohraničená (shora ohraničená, zdola ohraničená), je-li množina ℑf ohraničená (shora ohraničená,
zdola ohraničená) podmnožina množiny R.
Funkce f je ohraničená právě tehdy, když existují a, b ∈ R taková, že a ≤ f(x) ≤ b pro každé x ∈ Dom f,
což nastane právě tehdy, když existuje h ∈ R takové, že |f(x)| ≤ h pro každé x ∈ Dom f. Analogická tvrzení
platí pro funkci ohraničenou shora nebo zdola.
1.2.6 Definice
Funkce f se nazývá sudá, jestliže x ∈ Dom f ⇒ −x ∈ Dom f, f(−x) = f(x).
Funkce f se nazývá lichá, jestliže x ∈ Dom f ⇒ −x ∈ Dom f, f(−x) = −f(x).
Příklady sudé funkce: x2n
, kde n ∈ N, |x|, cos x.
Příklady liché funkce: x2n+1
, kde n ∈ N, sin x, tg x.
Buď f sudá funkce, G její graf, (x, y) ∈ G. Pak (−x, y) ∈ G. Body (x, y) a (−x, y) jsou symetrické podle osy
y, graf sudé funkce je symetrický podle osy y.
Buď f lichá funkce, G její graf, (x, y) ∈ G. Pak (−x, −y) ∈ G. Body (x, y) a (−x, −y) jsou symetrické podle
počátku souřadného systému, graf liché funkce je symetrický podle počátku souřadného systému.
1.2.7 Věta
Má-li funkce f vlastnost: x ∈ Dom f ⇒ −x ∈ Dom f, pak ji lze vyjádřit jako součet funkce sudé a liché.
D.: f(x) = 1
2 (f(x) + f(−x)) + 1
2 (f(x) − f(−x))
g(x) = 1
2 (f(x) + f(−x)); g(−x) = 1
2 (f(−x) + f(x)) = g(x); g(x) je sudá,
h(x) = 1
2 (f(x) − f(−x)); h(−x) = 1
2 (f(−x) − f(x)) = −1
2 (f(x) − f(−x)) = −h(x); h(x) je lichá.
1.2.8 Definice
Buď p ∈ R, p > 0. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, jestliže
x ∈ Dom f ⇒ x + p ∈ Dom f, f(x + p) = f(x).
Příklady: sin x, cos x — perioda 2π,
tg x — perioda π,
sin x
2π — perioda 1,
konstatntní funkce f(x) = c ∈ R — periodou je jakékoliv p ∈ (0, ∞).
Buď f funkce periodická s periodou p > 0, n ∈ N. Pak f je periodická s periodou np.
D.: x ∈ Dom f ⇒ x + p ∈ Dom f ⇒ x + p + p = x + 2p ∈ Dom f ⇒ · · · ⇒ x + np ∈ Dom f.
f(x + np) = f(x + (n − 1)p + p) = f(x + (n − 1)p) = f(x + (n − 2)p + p) = f(x + (n − 2)p) = · · · = f(x).
Množina period periodické funkce f je nekonečná, tedy neprázdná a zdola ohraničená nulou. Podle 1.1.7
(R14) existuje p0 = inf{p : p je perioda funkce f}. Pokud p0 je periodou funkce f, nazýváme ji nejmenší nebo
základní periodou funkce f. Periodická funkce nemusí mít nejmenší periodu. Např. periodou Dirichletovy funkce
je každé kladné racionální číslo.
1.2.9 Definice
Funkce f se nazývá rostoucí v bodě x0 ∈ Dom f, jestliže existuje O(x0) takové, že O(x0) ⊆ Dom f a platí
x ∈ O(x0), x < x0 ⇒ f(x) < f(x0)
x ∈ O(x0), x > x0 ⇒ f(x) > f(x0),
10
stručně: jestliže pro x ∈ O(x0) \ {x0} platí (x − x0)(f(x) − f(x0)) > 0.
Funkce f se nazývá neklesající v bodě x0 ∈ Dom f, jestliže existuje O(x0) takové, že O(x0) ⊆ Dom f a platí
x ∈ O(x0), x < x0 ⇒ f(x) ≤ f(x0)
x ∈ O(x0), x > x0 ⇒ f(x) ≥ f(x0),
stručně: jestliže pro x ∈ O(x0) platí (x − x0)(f(x) − f(x0)) ≥ 0.
Analogicky definujeme funkci klesající a nerostoucí v bodě x0 ∈ Dom f.
Funkce, která je v bodě x0 ∈ Dom f nerostoucí nebo neklesající, se nazývá monotonní v bodě x0 ∈ Dom f.
Funkce, která je v bodě x0 ∈ Dom f rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotonní v bodě x0 ∈ Dom f.
Funkce rostoucí v bodě x0 ∈ Dom f nemusí být rostoucí v žádném jiném bodě z Dom f.
1.2.10 Definice
Řekneme, že funkce je rostoucí na intervalu J, jestliže J ⊆ Dom f a pro libovolná x1, x2 ∈ J platí x1 < x2 ⇒
f(x1) < f(x2).
Řekneme, že funkce je neklesající na intervalu J, jestliže J ⊆ Dom f a pro libovolná x1, x2 ∈ J platí x1 < x2 ⇒
f(x1) ≤ f(x2).
Analogicky definujeme funkci klesající a nerostoucí na intervalu J.
Funkce rostoucí nebo klesající na intervalu se nazývá ryze monotonní na intervalu, funkce nerostoucí nebo
neklesající na intervalu se nazývá monotonní na intervalu.
Monotonie v bodě — lokální vlastnost
Monotonie na intervalu — globální vlastnost
Slova „interval J “ v předchozí definici lze nahradit slovy „množina M ⊆ Dom f “.
1.2.11 Věta
Funkce f je rostoucí na otevřeném intervalu J ⊆ Dom f právě tehdy, když je rostoucí v každém bodě tohoto
intervalu.
D.: „⇒“ Nechť f je rostoucí na J a nechť x0 ∈ J. J je otevřený ⇒ x0 je vnitřní bod ⇒(podle 1.1.16.2) existuje
O(x0) ⊆ J. Tedy O(x0) ⊆ Dom f. Je-li x ∈ O(x0), x < x0, je f(x) < f(x0); je-li x ∈ O(x0), x > x0, je
f(x) > f(x0). Tedy f je rostoucí v bodě x0.
„⇐“ Nechť f je rostoucí v každém bodě intervalu J. Připusťme, že f není rostoucí na J. Existují tedy x1, x2 ∈ J,
že x1 < x2 a f(x1) ≥ f(x2). Označme M = {x ∈ [x1, x2] : f(x) > f(x1)}. Platí
a) M = ∅, neboť f rostoucí v x1 ⇒ ex. O(x1), že pro každé x > x1 je f(x) > f(x1).
b) M je shora ohraničená, neboť x2 je horní závora M.
Podle 1.1.7 (R14) existuje x0 = sup M ≤ x2.
– Předpokládejme x0 = x2. f je rostoucí v bodě x2 ⇒ existuje O(x2) = (x2 − δ, x2 + δ) ⊆ Dom f, že
pro x ∈ O(x2), x < x2 platí f(x) < f(x2).
Podle 1.1.6(s2∗
) existuje x ∈ M, x > x2 − δ. Poněvadž x ∈ M, je x ≤ x2. Jest x ∈ O(x2). Pokud
x < x2, pak f(x) < f(x2), pokud x = x2, pak f(x) = f(x2). Tedy f(x) ≤ f(x2).
Současně x ∈ M a tedy f(x) > f(x1) ≥ f(x2). Odtud f(x) > f(x2) — spor.
– Musí tedy být x0 < x2. Poněvadž f je rostoucí v x0, existuje O(x0), že pro každé x ∈ O(x0)\{x0} platí
(x−x0)(f(x)−f(x0)) > 0. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat O(x0) = (x0 −δ, x0 +δ) ⊆ [x1, x2].
Podle 1.1.6(s2∗
) existuje x ∈ M, x > x0 − δ takové, že x ≤ x0. x ∈ O(x0) a tedy f(x) ≤ f(x0).
Současně f(x) > f(x1), neboť x ∈ M. Odtud plyne
f(x1) < f(x0).
Zvolme x ∈ O(x0), x > x0. Pak f(x) > f(x0). Přitom x ∈ M, neboť x > x0 = sup M. Tedy
f(x) ≤ f(x1). Odtud plyne
f(x1) > f(x0).
To je spor.
11
1.2.12 Poznámky
1. Analogická věta platí pro neklesající, klesající a nerostoucí funkci.
2. Pro uzavřený interval věta neplatí:
Např. f(x) = sin(x), J = [−π
2 , π
2 ]. f je rostoucí na celém J, ale není rostoucí v krajních bodech.
3. Ve druhé části důkazu jsme nevyužili předpoklad, že interval J je otevřený. Platí tedy: Je-li funkce f
rostoucí v každém bodě libovolného intervalu J, pak je rostoucí na celém intervalu J.
1.2.13 Definice
Buďte f, ϕ funkce a nechť platí ℑϕ ⊆ Dom f. Pak
F = {(x, y) ∈ R2
: (∃u ∈ R)((x, u) ∈ ϕ, (u, y) ∈ f)}
se nazývá složená funkce.
Funkce ϕ se nazývá vnitřní složka funkce F, funkce f se nazývá vnější složka funkce F.
x → ϕ(x) = u → f(u) = f(ϕ(x))
Podmínka ℑϕ ⊆ Dom f je nutná a dostatečná pro existenci složené funkce. Není-li tato podmínka splněna,
lze jí někdy dosáhnout vhodným zúžením Dom ϕ.
1.2.14 Příklady
1. ϕ(x) = x2
, ℑϕ = [0, ∞)
f(u) = sin(u), Dom f = (−∞, ∞). Tedy ℑϕ ⊆ Dom f, F(x) = f(ϕ(x)) = sin x2
2. ϕ(x) = 1 − x2
, definujeme Dom f = [−1, 1]. Pak ℑϕ = [0, 1].
f(u) =
√
u, Dom f = [0, ∞). [0, 1] ⊆ [0, ∞), F(x) = f(ϕ(x)) =
√
1 − x2.
3. ϕ(x) = −x2
, ℑϕ = (−∞, 0]
f(x) = log u, Dom f = (0, ∞). Složená funkce neexistuje.
Proces skládání funkcí lze opakovat a vytvářet funkce vícenásobně složené. Např.:
y = log2
√
sin x: y = u2
u = log v
v =
√
w
w = sin x
1.2.15 Definice
Nechť f je funkce, která je bijekcí. Pak
f−1
= {(y, x) ∈ R2
: (x, y) ∈ f}
se nazývá inversní funkce k funkci f.
Z definice plyne: Dom f = ℑf−1
, ℑf = Dom f−1
, x = f−1
(y) ⇔ y = f(x).
Zobrazení f : Dom f → ℑf je surjekce. Aby toto zobrazení bylo bijekcí, musí být injekcí (prostým zobrazením),
t.j. x1, x2 ∈ Dom f, x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2).
1.2.16 Poznámky
1. Graf inversní funkce f−1
je symetrický s grafem funkce f podle osy prvního a třetího kvadrantu.
2. Je-li funkce f ryze monotonní, pak je prostá.
D.: Nechť pro určitost je f rostoucí a buďte x1, x2 ∈ Dom f, x1 = x2. Pokud x1 < x2 pak f(x1) < f(x2),
pokud x1 > x2 pak f(x1) > f(x2) a tedy f(x1) = f(x2).
12
1.2.17 Věta
Nechť funkce f je rostoucí (resp. klesající) na množině Dom f. Pak funkce f−1
je rostoucí (resp. klesající) na
množině ℑf.
D.: Nechť f je rostoucí na Dom f a buďte y1, y2 ∈ ℑf, y1 < y2.
Označme x1 = f−1
(y1), x2 = f−1
(y2), t.j. y1 = f(x1), y2 = f(x2).
Jest x1 = x2 podle 1.2.16.2. Kdyby x1 > x2, pak by y1 = f(x1) > f(x2) = y2, což by byl spor. Platí tedy
x1 = f−1
(y1) < f−1
y2 = x2.
1.3 Posloupnosti
1.3.1 Definice
Posloupnost je funkce f, pro niž Dom f = N. (t.j. f : N → R)
Označení: fn = f(n), častěji an, bn, . . .
{an}∞
n=1, stručně {an} — posloupnost
an — člen posloupnosti
Posloupnosti mohou mít vlastnosti: ohraničenost, monotonie, periodicita (s periodou p ∈ N) zavedené v 1.2.
Naopak pojmy inversní nebo složená posloupnost nemají smysl.
Platí: {an}∞
n=1 je rostoucí ⇔ (∀n ∈ N)(an < an+1)
{an}∞
n=1 je neklesající ⇔ (∀n ∈ N)(an ≤ an+1)
a podobně.
1.3.2 Definice
Řekneme, že posloupnost {an} má limitu a a píšeme lim
n→∞
an = a, nebo stručněji lim an = a, an → a, jestliže ke
každému ε ∈ R, ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí |an − a| < ε.
Posloupnost, která má limitu, se nazývá konvergentní.
1.3.3 Věta (o jednoznačnosti limity)
Libovolná posloupnost má nejvýše jednu limitu.
D.: Připusťme, že pro {an} platí lim an = a, lim an = b, a = b.
Nechť pro určitost a < b. Položme ε =
b − a
2
. Pak ε > 0.
Tedy existuje n1 ∈ N, že n ≥ n1 ⇒ |an − a| < ε
a existuje n2 ∈ N, že n ≥ n2 ⇒ |an − b| < ε
Položme n0 = max{n1, n2}. Pak pro n ≥ n0 platí a − ε < an < a + ε, b − ε < an < b + ε,
tedy b − ε < an < a + ε a poněvadž b − ε = b −
b − a
2
=
b + a
2
a + ε = a +
b − a
2
=
a + b
2
platí
b + a
2
<
b + a
2
, což je spor.
1.3.4 Věta
Konvergentní posloupnost je ohraničená.
D.: Nechť lim an = a a buď ε > 0. Existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 platí a − ε < an < a + ε.
Buď h = max{a1, a2, . . . , an0−1, a + ε}, d = min{a1, a2, . . . , an0−1, a − ε}.
Pak pro každé n ∈ N platí d ≤ an ≤ h.
13
1.3.5 Poznámky
1. Buďte {an}, {bn} konvergentní posloupnosti, lim an = a, lim bn = b. Jestliže existuje n0 ∈ N takové, že
pro každé n ≥ n0 platí an < bn, pak a ≤ b.
D.: Připusťme a > b a položme ε =
a − b
2
. Pak ε > 0 a existují
n1 ∈ N, že pro n ≥ n1 je a − ε < an < a + ε,
n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 je b − ε < bn < b + ε.
Pro n > n3 = max{n1, n2, n0} nyní je a − ε =
a + b
2
< an < bn < b + ε =
a + b
2
— spor.
Tvrzení zůstane v platnosti i za předpokladu an ≤ bn pro n ≥ n0.
2. Řekneme, že posloupnost {an} je skorostacionární, jestliže existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 je an = a.
Řekneme, že posloupnost {an} je stacionární, jestliže pro každé n ∈ N je an = a.
(Skoro)stacionární posloupnost je konvergentní a platí lim an = a.
3. Buď {an} konvergentní posloupnost, lim an = 0 a {bn} buď ohraničená posloupnost. Pak lim anbn = 0.
D.: {bn} je ohraničená ⇒ existuje h ∈ R, že |bn| < h pro každé n ∈ N.
Buď ε > 0 libovolné. K
ε
h
> 0 existuje n0 takové, že pro n ≥ n0 je |an| = |an − 0| <
ε
h
.
Pro n ≥ n0 platí |anbn| = |an||bn| <
ε
h
h = ε, tedy lim anbn = 0.
4. Jestliže posloupnost {an} je monotonní a neohraničená, pak lim
1
an
= 0.
D.: Buď {an} neklesající a ε > 0 libovolné.
Poněvadž je {an} neohraničená, existuje n0 ∈ N takové, že an0 >
1
ε
.
Poněvadž {an} je neklesající, pro každé n ≥ n0 platí an ≥ an0 >
1
ε
> 0.
Odtud plyne, že pro n ≥ n0 platí
1
an
− 0 =
1
an
=
1
an
< ε, tedy lim
1
an
= 0.
Pro nerostoucí posloupnost se důkaz provede analogicky.
1.3.6 Věta
Buďte {an}, {bn} konvergentní posloupnosti, lim an = a, lim bn = b. Pak
1. existuje lim |an| a platí lim |an| = |a|,
2. existuje lim(an + bn) a platí lim(an + bn) = a + b,
3. existuje lim anbn a platí lim anbn = ab,
4. existuje lim(an − bn) a platí lim(an − bn) = a − b,
5. pokud b = 0, pak existuje lim
an
bn
a platí lim
an
bn
=
a
b
.
D.:
1. Buď ε > 0 libovolné. Pak existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je |an − a| < ε.
Pro n ≥ n0 tedy platí ||an| − |a|| ≤ |an − a| < ε, což znamená lim |an| = a.
2. Buď ε > 0 libovolné. K
ε
2
> 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro n ≥ n1 je |an − a| <
ε
2
, a existuje
n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je |bn − b| <
ε
2
.
Pro n ≥ n0 = max{n1, n2} platí |(an+bn)−(a+b)| = |(an−a)+(bn−b)| ≤ |an−a|+|bn−b| <
ε
2
+
ε
2
= ε
a tedy lim(an + bn) = a + b.
14
3. Je-li a = 0, plyne tvrzení z 1.3.4 a z 1.3.5.3.
Nechť a = 0 a buď ε > 0 libovolné. Podle 1.3.4 existuje h ∈ R takové, že |bn| < h pro každé n ∈ N.
K
ε
2h
> 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro n ≥ n1 je |an − a| <
ε
2h
.
K
ε
2|a|
> 0 existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je |bn − b| <
ε
2|a|
.
Pro n ≥ n0 max{n1, n2} platí obě nerovnosti současně, tedy
|anbn − ab|= |anbn − abn + abn − ab| ≤ |anbn − abn| + |abn − ab| = |an − a||bn| + |a||bn − b| <
<
ε
2h
h + |a|
ε
2|a|
=
ε
2
+
ε
2
= ε.
4. Plyne z 2., 3. a 1.3.5.2.
5. Podle 1. je lim |bn| = |b| a podle předpokladu |b| > 0. Tedy k
|b|
2
> 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro
n ≥ n1 je ||bn| − |b|| <
|b|
2
, neboli |bn| > |b| −
|b|
2
=
|b|
2
. Odtud plyne, že pro n ≥ n1 je
1
|bn|
<
2
|b|
.
Buď ε > 0 libovolné. K
b2
ε
2
> 0 existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je |bn − b| <
b2
ε
2
.
Pro n ≥ n0 = max{n1, n2} je
1
bn
−
1
b
=
|b − bn|
|b||bn|
<
b2
ε
2
1
|b|
2
|b|
= ε a tedy lim
1
bn
=
1
b
.
Podle 3. je lim
an
bn
= lim an lim
1
bn
= a
1
b
=
a
b
.
Poznamenejme, že z 1.3.6.3 a z 1.3.5.2 plyne: Jsou-li c ∈ R, {an} konvergentní posloupnost s lim an = a,
pak existuje lim(can) = c lim an = ca.
1.3.7 Věta (o třech posloupnostech, o sevření)
Buďte {an}, {bn}, {cn} posloupnosti takové, že existuje n1 ∈ N, že pro n ≥ n1 je an ≤ bn ≤ cn. Jestliže
lim an = lim cn = a, pak také lim bn = a.
D.: Buď ε > 0 libovolné. K němu existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je |an − a| < ε, neboli an > a − ε.
Dále existuje n3 ∈ N takové, že pro n ≥ n3 je |cn − a| < ε, neboli cn < a + ε.
Pro n ≥ n0 = max{n1, n2, n3} platí a − ε < an ≤ bn ≤ cn < a + ε, neboli a − ε < bn < a + ε, což znamená
lim bn = a.
1.3.8 Příklad
Pro a ∈ R, a > 0 je lim
n→∞
n
√
a = 1.
D.:
• Pro a = 1 plyne tvrzení z 1.3.5.2.
• Buď a > 1. Pak n
√
a ≥ 1 pro každé n ∈ N, neboli n
√
a = 1 + αn, kde αn ≥ 0.
Dále a = (1 + αn)n
= 1 + nαn +
n
2
α2
n + · · · +
n
n − 1
αn−1
n + αn
n ≥ 1 + nαn.
Odtud αn ≤
a − 1
n
. Celkem 0 ≤ αn ≤
a − 1
n
. Podle 1.3.5.4 je lim
a − 1
n
= a lim
1
n
− lim
1
n
= 0 a tedy
podle 1.3.7 a 1.3.5.2 je lim αn = 0. Podle 1.3.5.2 a 1.3.6.2 je lim n
√
a = 1 + lim αn = 1.
• Buď 0 < a < 1. Pak b =
1
a
> 1 a tedy lim n
√
b = 1. Avšak podle 1.3.6.5 je 1 = lim n
√
b =
lim 1
lim n
√
a
=
1
lim n
√
a
, z čehož plyne lim n
√
a = 1.
15
1.3.9 Věta (o monotonních posloupnostech)
Je-li posloupnost {an}∞
n=1 neklesající a shora ohraničená, pak je konvergentní a platí lim an = sup{an : n ∈ N}.
Je-li posloupnost {an}∞
n=1 nerostoucí a zdola ohraničená, pak je konvergentní a platí lim an = inf{an : n ∈ N}.
Je-li monotonní posloupnost {an}∞
n=1 ohraničená, pak je konvergentní.
D.: Buď {an} neklesající a shora ohraničená posloupnost. Podle 1.1.7(R14) existuje a = sup{an : n ∈ N} ∈ R.
Buď ε > 0 libovolné. Pak a−ε < a a podle 1.1.6(s2∗
) existuje an0 ∈ {an} takové, že an0 > a−ε. Poněvadž
{an} je neklesající, je an > a − ε pro každé n ≥ n0. Tedy pro n ≥ n0 je a − ε < an ≤ a < a + ε, neboli
lim an = a.
Druhé tvrzení se dokáže analogicky, třetí je důsledkem prvního a druhého.
1.3.10 Příklad
Posloupnost 1 +
1
n
n ∞
n=1
je rostoucí a konvergentní.
(Značíme lim 1 +
1
n
n
= e, jest e = 2.71828182846 · · ·.)
D.: S využitím binomické věty a vztahu
l
n + 1
<
l
n
, neboli 1−
l
n + 1
> 1−
l
n
pro všechna n, l ∈ N dostaneme:
1 +
1
n + 1
n+1
=
n+1
k=0
n + 1
k
1
(n + 1)k
>
n
k=0
n + 1
k
1
(n + 1)k
=
=
n
k=0
(n + 1)n(n − 1) · · · (n − k + 2)
k!
1
(n + 1)k
=
=
n
k=0
n(n − 1) · · · (n − k + 2)
k!
1
(n + 1)k−1
=
=
n
k=0
1
k!
n
n + 1
n − 1
n + 1
· · ·
n − k + 2
n + 1
=
=
n
k=0
1
k!
1 −
1
n + 1
1 −
2
n + 1
· · · 1 −
k − 1
n + 1
>
>
n
k=0
1
k!
1 −
1
n
1 −
2
n
· · · 1 −
k − 1
n
=
=
n
k=0
1
k!
n − 1
n
n − 2
n
· · ·
n − k + 1
n
=
=
n
k=0
(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
k!
1
nk−1
=
=
n
k=0
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
k!
1
nk
=
n
k=0
n
k
1
nk
= 1 +
1
n
n
To znamená, že posloupnost 1 +
1
n
n ∞
n=1
je rostoucí.
Položme an = 1 +
1
n
n+1
. Pak an ≥ 0 a s využitím nerovnosti (1 + x)m
≥ 1 + mx pro x ≥ 0, m ∈ N
(viz. 1.3.8) dostaneme:
an
an+1
=
1 + 1
n
n+1
1 + 1
n+1
n+2 =
n
n + 1
n+1
n
n+2
n+1
n+2
=
n
n + 1
n2
+ 2n + 1
n2 + 2n
n+2
=
=
n
n + 1
1 +
1
n(n + 2)
n+2
≥
n
n + 1
1 +
n + 2
n(n + 2)
=
n
n + 1
n + 1
n
= 1.
16
Tedy an ≥ an+1, posloupnost {an} je nerostoucí, zdola ohraničená nulou. Podle 1.3.9 je konvergentní.
Dále podle 1.3.6.2 a 1.3.5.4 platí lim 1 +
1
n
= 1 a tedy podle 1.3.6.5 existuje
lim 1 +
1
n
n
= lim
1 +
1
n
n+1
1 +
1
n
=
lim 1 +
1
n
n+1
lim 1 +
1
n
= lim 1 +
1
n
n+1
.
1.3.11 Definice
Řekneme, že posloupnost {an} má nevlastní limitu ∞ a píšeme lim
n→∞
an = ∞ (stručněji lim an = ∞, an → ∞)
jestliže ke každému h ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an > h.
Řekneme, že posloupnost {an} má nevlastní limitu −∞ a píšeme lim
n→∞
an = −∞ (stručněji lim an = −∞,
an → −∞) jestliže ke každému h ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an < h.
Má-li posloupnost {an} nevlastní limitu, řekneme, že je určitě divergentní.
Nemá-li posloupnost {an} limitu ani nevlastní limitu, řekneme, že je oscilující.
Nahradíme-li v tvrzeních 1.3.3, 1.3.5.1, 1.3.7 slovo „limita“ slovem „nevlastní limita“, zůstanou tato tvrzení
v platnosti.
1.3.12 Poznámky
1. Buď {an} konvergentní posloupnost, lim an = 0. Jestliže existuje n1 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n1 je
an > 0 (resp. an < 0, resp. an = 0), pak lim
1
an
= ∞ (resp. lim
1
an
= −∞, resp. lim
1
|an|
= ∞).
D.: Buď h > 0 libovolné. Poněvadž lim an = 0, existuje n2 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n2 je |an| <
1
h
.
Pro n ≥ n0 = max{n1, n2} platí
1
an
=
1
|an|
> h, a tedy lim
1
an
= ∞.
Druhé tvrzení se dokáže analogicky, třetí je jejich důsledkem.
2. Nechť lim an = ∞, (resp. lim an = −∞) a nechť posloupnost {bn} je zdola (resp. shora) ohraničená. Pak
lim(an + bn) = ∞ (resp. lim(an + bn) = −∞).
D.: Existuje k ∈ R, že bn > k pro každé n ∈ N. Buď h ∈ R libovolné.
Poněvadž lim an = ∞, existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 je an > h − k. Tedy pro n ≥ n0
je an + bn > h − k + k = h, což znamená lim(an + bn) = ∞.
Druhé tvrzení se dokáže analogicky.
3. Nechť lim an = ∞ a nechť {bn} je posloupnost taková, že existují n1 ∈ N, δ > 0 taková, že pro n ≥ n1 je
bn > δ (resp. bn < −δ). Pak lim anbn = ∞ (resp. lim anbn = −∞).
Nechť lim an = −∞ a nechť {bn} je posloupnost taková, že existují n1 ∈ N, δ > 0 taková, že pro n ≥ n1
je bn > δ (resp. bn < −δ). Pak lim anbn = −∞ (resp. lim anbn = ∞).
D.: Buď h ∈ R libovolné. Existuje n2 ∈ N takové, že pro n ≥ n2 je an >
h
δ
.
Pro n ≥ n0 = max{n1, n2} platí anbn >
h
δ
δ = h, což znamená lim anbn = ∞.
Zbývající tvrzení se dokáží analogicky.
Předpoklad bn > δ pro n ≥ n1 nelze zeslabit na bn > 0 pro n ≥ n1. Například pro {an} = {n},
{bn} =
1
n2
je podle 1.3.5.4 lim anbn = lim
1
n
= 0.
4. Nechť lim |an| = ∞ a {bn} je ohraničená posloupnost. Pak lim
1
an
= 0 a lim
bn
an
= 0.
17
D.: Buď ε > 0 libovolné. Existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je |an| >
1
ε
, tedy
1
an
− 0 =
1
an
=
1
|an|
< ε.
Druhé tvrzení nyní plyne z 1.3.5.3.
5. Je-li posloupnost {an} neklesající (resp. nerostoucí) a není ohraničená shora (resp. zdola), pak je určitě
divergentní a lim an = ∞ (resp. lim an = −∞).
D.: Buď h ∈ R libovolné.
Poněvadž {an} není ohraničená shora, existuje n0 ∈ N takové, že an0 > h.
Poněvadž {an} je neklesající, pro n ≥ n0 je an ≥ an0 > h, tedy lim an = ∞.
Druhé tvrzení se dokáže analogicky.
1.3.13 Definice
Nechť {an}∞
n=1 je posloupnost a {nk}∞
k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Posloupnost {ank
}∞
k=1 se
nazývá vybraná z posloupnosti {an}∞
n=1.
Například {a2n} = {a2, a4, a6, . . . }, {an2 } = {a1, a4, a9, . . . }, {an}∞
n=m = {am, am+1, am+2, . . . } jsou posloupnosti
vybrané z {an}.
Poznámka: Snadno ověříme, že posloupnost {an} je rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, ohraničená
shora, ohraničená zdola, ohraničená, stacionární právě tehdy, když každá posloupnost {ank
} vybraná z posloupnosti
{an} má stejnou vlastnost.
1.3.14 Věta
lim
n→∞
an = a ∈ R∗
právě tehdy, když pro každou posloupnost {ank
}∞
k=1 vybranou z posloupnosti {an}∞
n=1 platí
lim
k→∞
ank
= a.
D.:
„⇒“ Nechť a ∈ R a buď ε > 0 libovolné. K ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že |an − a| < ε pro každé n ≥ n0.
Poněvadž {nk}∞
k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel, existuje k0 ∈ N takové, že nk0 ≥ n0 a
nk ≥ nk0 pro každé k ≥ k0. Tedy pro každé k ≥ k0 je |ank
− a| < ε, což znamená lim
k→∞
ank
= a. Pro
a = ∞ nebo a = −∞ dokážeme tvrzení analogicky.
„⇐“ je triviální. Je-li lim
k→∞
ank
= a pro každou {nk}∞
k=1, platí to zejména pro nk = k.
1.3.15 Definice
Číslo a ∈ R nazveme hromadným bodem posloupnosti {an}, jestliže ke každému n0 ∈ N a každému ε > 0 existuje
n ≥ n0 takové, že |an − a| < ε.
a je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje nekonečně mnoho indexů m ∈ N
takových, že |am − a| < ε pro každé ε > 0.
Například posloupnost {(−1)n
} = {−1, 1, −1, 1, −1, . . .} má dva hromadné body −1 a 1.
1.3.16 Věta
Číslo a ∈ R je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje posloupnost {ank
} vybraná
z posloupnosti {an}, která konverguje k číslu a.
18
D.: „⇒“ Nechť a je hromadným bodem posloupnosti {an}.
K ε1 = 1, n0 = 1 existuje n1 ∈ N, n1 ≥ 1 takové, že |an1 − a| < 1.
K ε2 = 1
2 a k n1 + 1 ∈ N existuje n2 ∈ N, n2 > n1 takové, že |an2 − a| < 1
2 .
K ε3 = 1
3 a k n2 + 1 ∈ N existuje n3 ∈ N, n3 > n2 takové, že |an3 − a| < 1
3 .
Tímto způsobem postupujeme dále. Výsledkem konstrukce je rostoucí posloupnost přirozených čísel {nk}
takových, že |ank
− a| < 1
k .
Poněvadž lim
k→∞
1
k = 0, ke každému ε > 0 existuje k0 ∈ N takové, že |1
k − 0| = 1
k < ε pro každé k ≥ k0.
Tedy pro k ≥ k0 platí |ank
− a| < 1
k < ε, což znamená lim
k→∞
ank
= a.
„⇐“ Jestliže existuje {ank
} taková, že lim
k→∞
ank
= a, pak ke každému ε > 0 existuje k0 ∈ N takové, že pro každé
k ≥ k0 — tedy pro nekonečně mnoho indexů k — platí |ank
− a| < ε, což znamená, že a je hromadným
bodem posloupnosti {an}.
Z 1.3.14 plyne: Je-li lim an = a ∈ R, pak a je jediným hromadným bodem posloupnosti {an}.
1.3.17 Lemma
Buď {an} posloupnost a M množina hromadných bodů této posloupnosti. Nechť M = ∅. Je-li M shora (resp.
zdola) ohraničená, pak existuje max M (resp. min M).
D.: Podle 1.1.7(R14) existuje a = sup M. Buď ε > 0 libovolné. Pak a − ε < a a podle 1.1.6(s2∗
) existuje
hromadný bod m ∈ M takový, že m > a − ε. Tedy ε1 = m − a + ε > 0.
Dále m − ε1 = m − (m − a + ε) = a − ε, m + ε1 = m + (m − a + ε) ≤ a + a − a + ε = a + ε, neboť
a = sup M ≥ m. Odtud plyne, že (m − ε1, m + ε1) ⊆ (a − ε, a + ε).
Podle definice hromadného bodu leží v (m − ε1, m + ε1) nekonečně mnoho členů posloupnosti {an}, tedy
i v (a − ε, a + ε) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti {an}, což znamená, že a je hromadný bod
posloupnosti {an}, a ∈ M a tedy podle 1.1.6.4 a = max M.
Druhá část tvrzení se dokáže analogicky.
1.3.18 Věta (Bolzano [1781 – 1848], Weierstrass [1815 – 1897])
Každá ohraničená posloupnost má alespoň jeden hromadný bod.
D.: Buď {an} ohraničená posloupnost, h ≤ an ≤ H pro každé n ∈ N.
Položme Mk = {an : n > k}. Mk = ∅, Mk je shora ohraničená (H je její horní závora). Existuje tedy
bk = sup Mk. Zřejmě bk ≥ h pro každé k ∈ N a poněvadž Mk ⊇ Mk+1, platí bk ≥ bk+1. Tedy posloupnost
{bk}∞
k=1 je nerostoucí a zdola ohraničená. Podle 1.3.9 je {bk}∞
k=1 konvergentní, lim
k→∞
bk = b.
Ukážeme, že b je hromadný bod posloupnosti {an}.
Buď ε > 0 libovolné. Existuje k0 ∈ N, že pro každé k ≥ k0 jest |bk − b| < ε, neboli bk < b + ε. Pro k ≥ k0
je také bk = sup{an : n ≥ k} ≥ ak. Celkem ak ≤ bk < b + ε.
Připusťme, že b není hromadný bod posloupnosti {an}. Pak v intervalu (b − ε, b + ε) leží pouze konečný
počet členů této posloupnosti. To vzhledem k poslední nerovnosti znamená, že existuje n0 ≥ k0 takové, že
pro k ≥ n0 je ak ≤ b − ε. Tedy i bk = sup{an : n ≥ k} ≤ b − ε.
Podle 1.3.5.1 je b = lim
k→∞
bk ≤ b − ε, což je spor.
1.3.19 Důsledky
1. Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat posloupnost konvergentní.
D.: plyne z 1.3.16.
2. Je-li množina hromadných bodů posloupnosti prázdná, je posloupnost neohraničená.
19
1.3.20 Definice
Buď {an}∞
n=1 posloupnost a M množina jejích hromadných bodů.
• Nechť M = ∅. Je-li posloupnost {an} ohraničená shora, klademe lim sup
n→∞
an = lim sup an = max M, je-li
{an} ohraničená zdola, klademe lim inf
n→∞
an = lim inf an = min M. Není-li {an} ohraničená shora, klademe
lim sup an = ∞, není-li {an} ohraničená zdola, klademe lim inf an = −∞.
• Nechť M = ∅. Je-li posloupnost {an} ohraničená shora, klademe lim sup an = lim inf an = −∞, je-li {an}
ohraničená zdola, klademe lim sup an = lim inf an = ∞. Není-li {an} ohraničená shora ani zdola, klademe
lim sup an = ∞, lim inf an = −∞.
Číslo lim sup an se nazývá limes superior posloupnosti {an}∞
n=1, číslo lim inf an se nazývá limes inferior posloupnosti
{an}∞
n=1.
Stručně: lim sup an je největší hromadný bod posloupnosti {an}, pokud je tato posloupnost ohraničená
shora,
lim inf an je nejmenší hromadný bod posloupnosti {an}, pokud je tato posloupnost ohraničená
zdola.
1.3.17 ukazuje, že definice je korektní.
Analogickou úvahou jako v důkazu věty 1.3.18 lze ukázat, že
lim sup
n→∞
= lim
k→∞
(sup{an : n > k}) ,
lim inf
n→∞
= lim
k→∞
(inf{an : n > k}) .
Zřejmě platí: lim inf an ≤ lim sup an. lim inf an = lim sup an právě tehdy, když existuje vlastní nebo nevlastní
limita lim an.
1.3.21 Definice
Posloupnost {an} se nazývá cauchyovská, jestliže ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé
n ≥ n0 a každé m ≥ n0 platí |am − an| < ε.
1.3.22 Věta (Cauchyovo – Bolzanovo kriterium konvergence)
Posloupnost {an}∞
n=1 je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská.
D.:
„⇒“ Nechť {an} je konvergentní, lim an = a. Buď ε > 0 libovolné.
K
ε
2
> 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 je |an − a| <
ε
2
a pro m ≥ n0 je |am − a| <
ε
2
.
Tedy pro n ≥ n0 a m ≥ n0 platí |am − an| = |am − a + a − an| ≤ |am − a| + |an − a| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
„⇐“ Nechť {an} je cauchyovská. K číslu 1 existuje ˜n takové, že pro n ≥ ˜n platí |an − a˜n| < 1, tedy
a˜n − 1 < an < a˜n + 1.
Položme h = min{a1, a2, . . . , a˜n−1, a˜n − 1}, H = max{a1, a2, . . . , a˜n−1, a˜n + 1}. Pak pro každé n ∈ N
je h ≤ an ≤ H, tedy {an} je ohraničená a podle 1.3.19.1 existuje vybraná posloupnost {ank
}∞
k=1
taková, že lim
k→∞
ank
= a ∈ R.
Buď ε > 0 libovolné. K
ε
2
existuje k0 ∈ N takové, že pro každé k ≥ k0 je |ank
− a| <
ε
2
.
Současně existuje n0 ∈ N takové, že pro m, n ≥ n0 je |am − an| <
ε
2
.
Buď n ≥ n0 libovolné. Zvolme k1 ≥ k0 takové, že nk1 ≥ n0. Pak
|an − a| = |an − ank1
+ ank1
− a| ≤ |an − ank1
| + |ank1
− a| <
ε
2
+
ε
2
= ε,
tedy lim an = a.
20
1.4 Diferenční a sumační počet
1.4.1 Definice
Buď {an}∞
n=1 posloupnost. Posloupnost {∆an}∞
n=1 jejíž členy jsou dány vztahem ∆an = an+1 − an nazýváme
(první) diference (vpřed) posloupnosti {an}∞
n=1.
Zřejmě platí: Posloupnost {an} je rostoucí (klesající) právě tehdy, když všechny členy posloupnosti {∆an}
jsou kladné (záporné).
1.4.2 Definice
Řekneme, že k ∈ N je uzel posloupnosti {an}, jestliže ak = 0 nebo akak−1 < 0.
1.4.3 Věta
Buď {an} posloupnost, k ∈ N. Jestliže ak > ak−1 a ak ≥ ak+1, pak k je uzel posloupnosti {∆an}; jestliže
ak < ak−1 a ak ≤ ak+1, pak k je uzel posloupnosti {∆an}.
D.: Nechť ak > ak−1, ak > ak+1. Pak ∆ak = ak+1 − ak < 0, ∆ak−1 = ak − ak−1 > 0, tedy (∆ak)(∆ak−1) < 0.
Nechť ak > ak−1, ak = ak+1. Pak ∆ak = ak+1 − ak = 0.
Analogicky lze ukázat platnost druhého tvrzení.
1.4.4 Věta
Buďte {an}, {bn} posloupnosti, c ∈ R. Pak platí
1. ∆(can) = c∆an,
2. ∆(an + bn) = ∆an + ∆bn,
3. ∆(an − bn) = ∆an − ∆bn,
4. ∆(anbn) = (∆an)bn+1 + an(∆bn) = (∆an)bn + an+1(∆bn),
5. Pokud bnbn+1 = 0, pak ∆
an
bn
=
(∆an)bn − an(∆bn)
bnbn+1
.
D.:
1. ∆(can) = can+1 − can = c(an+1 − an) = c∆an.
2. ∆(an + bn) = (an+1 + bn+1) − (an + bn) = (an+1 − an) + (bn+1 − bn) = ∆an + ∆bn.
3. Plyne z 1. a 2.
4. Platí
∆(anbn) = an+1bn+1 − anbn = an+1bn+1 − anbn+1 + anbn+1 − anbn =
= (an+1 − an)bn+1 + an(bn+1 − bn) = (∆an)bn + an+1(∆bn) ,
takže první vztah platí. Druhý plyne z prvního a z komutativity násobení.
5. ∆
1
bn
=
1
bn+1
−
1
bn
=
bn − bn+1
bnbn+1
= −
∆bn
bnbn+1
.
Podle 4. nyní je ∆
an
bn
=
∆an
bn+1
+ an∆
1
bn
=
∆an
bn+1
− an
∆bn
bnbn+1
=
(∆an)bn − an(∆bn)
bnbn+1
.
21
1.4.5 Definice
Buďte {an} posloupnost, m, k ∈ N, m ≤ k. Sumu členů posloupnosti {an} v mezích od m do k definujeme
vztahem
k
i=m
ai = am + am+1 + · · · + ak .
1.4.6 Věta
Buďte {an}, {bn} posloupnosti, c ∈ R, m, k ∈ N, m ≤ k. Pak
k
i=m
cai = c
k
i=m
ai ,
k
i=m
(ai ± bi) =
k
i=m
ai ±
k
i=m
bi .
D.: Plyne přímo z distributivního a asociativního zákona.
1.4.7 Věta
Buďte {an} posloupnost, m, k ∈ N, m ≤ k. Označme [an]k
n=m = ak − am. Pak platí
k
i=m
∆ai = [ai]k+1
i=m .
D.:
k
i=m
∆an = (am+1 − am) + (am+2 − am+1) + · · · + (ak − ak−1) + (ak+1 − ak) = ak+1 − am.
Věta ukazuje, že diference a sumace jsou v jistém smyslu inversní operátory.
1.4.8 Věta (Sumace “per partes”)
Buďte {an}, {bn} posloupnosti, m, k ∈ N, m ≤ k. Pak platí
k
i=m
ai∆bi = [anbn]k+1
n=m −
k
i=m
(∆ai)bi+1 .
D.: Podle 1.4.7 a 1.4.4.4 platí
[anbn]k+1
n=m =
k
i=m
∆(aibi) =
k
i=m
((∆ai)bi+1 + ai∆bi) =
k
i=m
(∆ai)bi+1 +
k
i=m
ai∆bi .
Příklad: Najděte součet 1 + 4 + 9 + · · · + n2
.
Ř.:
n
i=1
i2
=
n
i=1
i2
((i + 1) − i) =
n
i=1
i2
∆i = i3 n+1
i=1
−
n
i=1
∆i2
(i + 1) =
= (n + 1)3
− 1 −
n
i=1
(i + 1)2
− i2
(i + 1) = n3
+ 3n2
+ 3n −
n
i=1
(2i + 1)(i + 1) =
= n3
+ 3n2
+ 3n −
n
i=1
(2i2
+ 3i + 1) = n3
+ 3n2
+ 3n −
n
i=1
1 − 3
n
i=1
i − 2
n
i=1
i2
=
= n3
+ 3n2
+ 3n − n − 3
n(n + 1)
2
− 2
n
i=1
i2
=
2n3
+ 6n2
+ 4n − 3n2
− 3n
2
− 2
n
i=1
i2
.
22
Odtud
n
i=1
i2
=
2n3
+ 3n2
+ n
6
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
1.4.9 Věta (Sztolz [1842 – 1903])
1. Nechť {an}∞
n=1 je posloupnost taková, že lim
n→∞
an = 0 a {bn}∞
n=1 je ryze monotonní posloupnost taková,
že lim
n→∞
bn = 0. Jestliže lim
n→∞
∆an
∆bn
= c ∈ R∗
, pak také lim
n→∞
an
bn
= c.
2. Nechť {an} je posloupnost a {bn} je neohraničená rostoucí posloupnost. Jestliže lim
n→∞
∆an
∆bn
= c ∈ R∗
, pak
také lim
n→∞
an
bn
= c.
D.: 1. Nechť pro určitost je {bn}∞
n=1 klesající.
• c ∈ R. Buď ε > 0 libovolné. Existuje n0 ∈ N takové, že pro každé k ∈ N, k ≥ n0 platí
c − ε <
ak+1 − ak
bk+1 − bk
=
ak − ak+1
bk − bk+1
< c + ε,
a poněvadž bk+1 < bk, platí
(c − ε)(bk − bk+1) < ak − ak+1 < (c + ε)(bk − bk+1).
Tato nerovnost platí pro každé k ≥ n0, tedy pro každé m, n ∈ N, m > n > n0 platí:
(c − ε)(bn − bn+1) < an − an+1 < (c + ε)(bn − bn+1)
(c − ε)(bn+1 − bn+2) < an+1 − an+2 < (c + ε)(bn+1 − bn+2)
...
...
(c − ε)(bm−1 − bm) < am−1 − am < (c + ε)(bm−1 − bm).
Seštením těchto nerovností dostaneme
(c − ε)(bn − bm) < an − am < (c + ε)(bn − bm).
Podle 1.3.5.2 a 1.3.6 je lim
m→∞
(c − ε)(bn − bm) = (c − ε)(bn − lim
m→∞
bm) = (c − ε)bn.
Podobně lim
m→∞
(c + ε)(bn − bm) = (c + ε)bn, lim
m→∞
(an − am) = an. Tedy podle 1.3.5.1 je
(c − ε)bn ≤ an ≤ (c + ε)bn .
Poněvadž {bn}∞
n=1 je klesající a lim
n→∞
bn = 0, je bn > 0 pro každé n ∈ N a tedy
c − ε ≤
an
bn
≤ c + ε .
Tato nerovnost platí pro každé n > n0, což znamená, že lim
n→∞
an
bn
= c.
• c = ∞. Buď K ∈ R libovolné. Existuje n0 ∈ N takové, že pro každé k ∈ N, k ≥ n0 platí
ak+1 − ak
bk+1 − bk
=
ak − ak+1
bk − bk+1
> K .
Odtud pro každé m, n ∈ N, m > n > n0 dostaneme:
ak − ak+1 > K(bk − bk+1) /
m−1
k=n
an − am > K(bn − bm) / lim
m→∞
an ≥ Kbn /
1
bn
an
bn
≥ K ,
23
což znamená, že lim
n→∞
an
bn
= ∞.
• c = −∞. Analogicky jako předchozí případ.
Je-li {bn}∞
n=1 rostoucí, provedeme důkaz analogicky.
2. • Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Jsou-li α1, α2, . . . , αk reálná čísla a β1, β2, . . . , βk kladná reálná
čísla, m, M ∈ R taková, že pro každé i ∈ {1, 2, . . ., k} platí m <
αi
βi
< M, pak
m <
α1 + α2 + · · · + αk
β1 + β2 + · · · + βk
< M .
Důkaz provedem úplnou indukcí vzhledem ke k.
m <
α1
β1
< M je splněno triviálně.
Z indukčního předpokladu m <
α1 + α2 + · · · + αk−1
β1 + β2 + · · · + βk−1
< M, neboli
m(β1 + β2 + · · · + βk−1) < α1 + α2 + · · · + αk−1 < M(β1 + β2 + · · · + βk−1)
a z předpokladu tvrzení
mβk < αk < Mβk
dostaneme sečtením dokazovanou nerovnost.
• c ∈ R. Buď ε > 0 libovolné. Existuje n1 ∈ N takové, že pro n ≥ n1 platí
c −
ε
2
<
an+1 − an
bn+1 − bn
< c +
ε
2
.
Poněvadž {bn} je podle předpokladu neohraničená a rostoucí, lze bez újmy na obecnosti předpokládat
bn1 ≥ 0.
Položme α1 = an1+1 − an1 , α1 = an1+2 − an1+1, . . . , αk = an − an−1,
β1 = bn1+1 − bn1 , β1 = bn1+2 − bn1+1, . . . , βk = bn − bn−1 .
Podle pomocného tvrzení je c −
ε
2
<
an − an1
bn − bn1
< c +
ε
2
, neboli
an − an1
bn − bn1
− c <
ε
2
.
Dále platí
an
bn
− c =
an − an1
bn
+
an1
bn
− c =
an − an1
bn − bn1
bn − bn1
bn
+
an1
bn
− c =
=
an − an1
bn − bn1
− c
bn − bn1
bn
+
bn − bn1
bn
c +
an1
bn
− c =
=
an − an1
bn − bn1
− c
bn − bn1
bn
+
(bn − bn1 )c + an1 − cbn
bn
=
=
an − an1
bn − bn1
− c 1 −
bn1
bn
+
an1 − cbn1
bn
≤
≤
an − an1
bn − bn1
− c 1 −
bn1
bn
+
an1 − cbn1
bn
.
Poněvadž podle 1.3.12.5 a 1.3.12.4 je lim
n→∞
bn1
bn
= 0 a pro n > n1 je
bn1
bn
≥ 0, tak existuje
n2 ∈ N, n2 > n1 takové, že pro n ≥ n2 platí 0 ≤ 1 −
bn1
bn
≤ 1, neboli
1 −
bn1
bn
≤ 1 .
24
Poněvadž lim
n→∞
an1 − cbn1
bn
= 0, existuje n3 ∈ N takové, že pro n ≥ n3 platí
an1 − cbn1
bn
<
ε
2
.
Tedy pro n ≥ n0 = max{n1, n2, n3} platí
an
bn
− c <
ε
2
+
ε
2
= ε ,
což znamená, že lim
n→∞
an
bn
= c.
• c = ∞. Buďte h ∈ R, ε > 0 libovolná čísla.
Poněvadž lim
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
= ∞, existuje n1 ∈ N takové, že pro k ≥ n1 je
ak+1 − ak
bk+1 − bk
> 2(h + ε) ,
neboli vzhledem k tomu, že bk+1 − bk > 0
ak+1 − ak > 2(h + ε)(bk+1 − bk) .
Sečtením těchto nerovnic pro k od n1 do n − 1 dostaneme
an − an1 > 2(h + ε)(bn − bn1 )
an
bn
> 2(h + ε) 1 −
bn1
bn
+
an1
bn
.
Poněvadž podle 1.3.12.5 a 1.3.12.4 je lim
n→∞
bn1
bn
= 0 a lim
n→∞
an1
bn
= 0, existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2
platí
bn1
bn
<
1
2
, neboli 1 −
bn1
bn
>
1
2
a existuje n3 ∈ N, že pro n ≥ n3 platí
an1
bn
> −ε .
Tedy pro n ≥ n0 = max{n1, n2, n3} platí
an
bn
> 2(h + ε)
1
2
− ε = h ,
což znamená, že lim
n→∞
an
bn
= ∞.
• c = −∞. Analogicky jako předchozí případ.
Poznámky:
• Předpoklad o ryzí monotonii posloupnosti {bn}∞
n=1 v první části věty obecně nelze vynechat.
Je-li například an =
1
n
a bn =
(−1)n
n
, pak lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn = 0,
lim
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
= lim
n→∞
1
n+1 − 1
n
(−1)n+1( 1
n+1 + 1
n )
= lim
n→∞
(−1)n+1 n − n − 1
n + n + 1
= lim
n→∞
(−1)n
2n + 1
= 0 podle 1.3.12.4, avšak
an
bn
=
1
n
(−1)n
n
= (−1)n
a posloupnost {(−1)n
}∞
n=1 = {−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .} je oscilující.
25
• Jestliže neexistuje vlastní ani nevlastní lim
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
a ostatní předpoklady Sztolzovy věty jsou splněny,
nelze nic tvrdit o existenci lim
n→∞
an
bn
.
Je-li například an =
(−1)n
n2
, bn =
1
n
, pak lim
n→∞
an = 0, {bn} je klesající a lim
n→∞
bn = 0. Přitom
∆an
∆bn
=
(−1)n+1
(n + 1)2
−
(−1)n
n2
1
n + 1
−
1
n
=
(−1)n+1 n2
+ (n + 1)2
n2(n + 1)2
n − (n + 1)
n(n + 1)
= (−1)n 2n2
+ 2n + 1
n2 + n
a posloupnost (−1)n 2n2
+ 2n + 1
n2 + n
= −5
2 , 13
6 , −25
12 , 41
20 , −61
30 , 85
42 , . . . nemá limitu. Ale
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
(−1)n
n2
1
n
= lim
n→∞
(−1)n
n
= 0 .
Příklad: Rozhodněte, zda posloupnost
(n!)2
(2n)!
je konvergentní a pokud ano, určete její limitu.
Ř.: Označme an =
(n!)2
(2n)!
. Pak pro každé n ∈ N platí an ≥ 0 a
an+1
an
=
((n + 1)!)2
(2(n + 1))!
(2n)!
(n!)2
=
(n + 1)2
(2n + 2)(2n + 1)
=
n + 1
2(2n + 1)
=
n + 1
2 + 1
2
4(n + 1
2 )
=
1
4
+
1
8(n + 1
2 )
≤
≤
1
4
+
1
8(1 + 1
2 )
≤
1
4
+
1
12
=
5
12
< 1 ,
neboli an+1 < an. To znamená, že {an} je klesající, zdola ohraničená posloupnost a tedy podle 1.3.9
existuje a = lim
n→∞
an ∈ R.
Posloupnost {(2n)!} je rostoucí a neohraničená, tedy
a = lim
n→∞
(n!)2
(2n)!
= lim
n→∞
((n + 1)!)2
− (n!)2
(2n + 2)! − (2n)!
= lim
n→∞
(n!)2
((n + 1)2
− 1)
((2n)!)2((2n + 2)(2n + 1) − 1)
=
= lim
n→∞
(n!)2
(2n)!
lim
n→∞
n2
+ 2n
4n2 + 6n + 1
= a lim
n→∞
1 + 2
n
4 + 6
n + 1
n2
= a
1
4
,
neboli a = 1
4 a. Odtud a = 0.
1.5 Elementární funkce
A. Polynomy
1.5.1 Definice
Buďte n ∈ N ∪ {0}, a0, a1, . . . , an ∈ R, an = 0. Polynom (racionální funkce celistvá) je funkce tvaru
P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0.
Číslo n se nazývá stupeň polynomu, značíme n = st P.
Čísla a0, a1, . . . , an se nazývají koeficienty polynomu.
Je-li st P = 1, polynom se nazývá lineární.
Je-li st P = 2, polynom se nazývá kvadratický.
Je-li st P = 3, polynom se nazývá kubický.
26
Je-li st P = 4, polynom se nazývá bikvadratický.
Číslo 0 nazveme nulovým polynomem. Nepřiřazujeme mu stupeň.
Dom P = R, ℑP =



(−∞, ∞), st P je lichý
[a, ∞), st P je sudý, an > 0
(−∞, a], st P je sudý, an < 0
.
Komplexní čísla: C = {a + ib : a, b ∈ R}, kde i2
= −1
(a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2)
(a1 + ib1) · (a2 + ib2) = (a1a2 − b1b2) + i(a2b1 + a1b2)
Je-li α = a + ib ∈ C, β ∈ C pak
¯α = a − ib — číslo komplexně sdružené (konjugované)
|α| =
√
α¯α =
√
a2 + b2 — absolutní hodnota (modul) komplexního čísla
α + β = ¯α + ¯β
αβ = ¯α ¯β
αn = ¯αn
pro n ∈ N
α ∈ R ⇔ b = 0 ⇔ α = ¯α
Množina komplexních čísel s operacemi +, · splňuje (R1) – (R9) z 1.1.7. Tvoří tedy pole. Toto pole nelze
uspořádat.
1.5.2 Definice
Číslo α ∈ C se nazývá kořen (nulový bod) polynomu P, jestliže platí P(α) = 0.
Je-li α kořenem polynomu P, pak lineární polynom x − α nazveme kořenovým faktorem polynomu P.
1.5.3 Základní věta algebry
Každý polynom stupně n ≥ 1 s komplexními koeficienty má komplexní kořen.
Tato věta je známá od 17. století. První (chybný) pokus o důkaz publikoval d’Alembert roku 1746, větu
dokázal Gauss roku 1799.
1.5.4 Věta
Buď P(x) polynom, st P = n ≥ 1. Číslo α ∈ C je kořenem polynomu P právě tehdy, když existuje polynom Q,
st Q = n − 1 takový, že P(x) = (x − α)Q(x).
D.:
„⇒“ Nechť P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0, α je kořenem P. Pak
P(x) = P(x) − 0 = P(x) − P(α) =
= anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0 − (anαn
+ an−1αn−1
+ · · · + a1α + a0) =
= an(xn
− αn
) + an−1(xn−1
− αn−1
) + · · · + a1(x − α) + a0(1 − 1).
Pro každé k ∈ N platí (xk
− αk
) : (x − α) = xk−1
+ xk−2
α + xk−3
α2
+ · · · + xαk−2
+ αk−1
. Tedy
P(x) = an(x−α)(xn−1
+xn−2
α+· · ·+αn−1
)+an−1(x−α)(xn−2
+xn−3
α+· · ·+αn−2
)+· · ·+a1(x−α).
Označíme Q(x) = an(xn−1
+ xn−2
α + · · · + αn−1
) + an−1(xn−2
+ xn−3
α + · · · + αn−2
) + · · · + a1
a dostaneme tvrzení.
„⇐“ je zřejmé.
P(x), st P = n ≥ 1. Podle 1.5.3 má P kořen α1, a tedy P(x) = (x − α1)Q1(x).
Je-li st Q1 ≥ 1, pak Q1(x) = (x − α2)Q2(x), tedy P(x) = (x − α1)(x − α2)Q2(x).
Analogicky pokračujeme a po n krocích dostaneme P(x) = an(x − α1)(x − α2) · · · (x − αn).
Může se stát, že α1 = α2 = · · · = αk, k ≤ n. Pak (x − α1)(x − α2) · · · (x − αk) = (x − α1)k
. Celkem
P(x) = an(x − α1)k1
(x − α2)k2
· · · (x − αm)km
, přičemž k1, k2, . . . , km ∈ N, k1 + k2 + · · · + km = n.
27
1.5.5 Definice
Číslo α ∈ C se nazývá k-násobný kořen polynomu P(x), jestliže P(x) = (x − α)k
Q(x), kde Q(x) je polynom
nemající kořen α.
(1-násobný kořen se nazývá jednoduchý.)
1.5.6 Věta (o rozkladu polynomu na kořenové faktory)
Nechť P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0 je polynom, st P = n ≥ 1. Nechť α1, α2, . . . , αm jsou všechny
jeho navzájem různé kořeny, přičemž α1 je k1-násobný, α2 je k2-násobný,. . . , αm je km-násobný. Pak
P(x) = an(x − α1)k1
(x − α2)k2
· · · (x − αm)km
,
k1, k2, . . . , km ∈ N, k1 + k2 + · · · + km = n .
Důsledek: Polynom stupně n má právě n kořenů, jestliže k-násobný kořen počítáme k krát.
1.5.7 Příklad
P(x) = x5
+ x4
+ x3
− x2
− x − 1 = x3
(x2
+ x + 1) − (x2
+ x + 1) = (x3
− 1)(x2
+ x + 1) =
= (x − 1)(x2
+ x + 1)(x2
+ x + 1) = (x − 1) x − −1
2 + i
√
3
2
2
x − −1
2 − i
√
3
2
2
1.5.8 Věta
Nechť polynom P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0 má reálné koeficienty a komplexní kořen α. Pak má
také komplexně sdružený kořen ¯α a násobnosti kořenů α a ¯α jsou stejné.
D.: Pro x ∈ R je ¯x = x a tedy P(x) = ¯an ¯xn
+ ¯an−1 ¯xn−1
+ · · · + ¯a0 = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a0 = P(x).
Podle 1.5.6 je P(x) = an(x − α1)k1
(x − α2)k2
· · · (x − αm)km
a tedy
P(x) = an(x − ¯α1)k1
(x − ¯α2)k2
· · · (x − ¯αm)km
. Z rovnosti P(x) = P(x) plyne tvrzení.
Polynom s reálnými koeficienty se nazývá reálný polynom.
1.5.9 Věta (o rozkladu reálného polynomu v reálném oboru na ireducibilní poly-
nomy)
Buď P(x) = anxn
+an−1xn−1
+· · ·+a1x+a0 reálný polynom, st P = n ≥ 1. Nechť α1, α2, . . . , αm jsou všechny
jeho reálné kořeny, přičemž α1 je k1-násobný, . . . , αm je km-násobný. Nechť a1 ± ib1, a2 ± ib2, . . . , ar ± ibr jsou
všechny jeho imaginární kořeny, přičemž a1 ± ib1 je l1-násobný, . . . , ar ± ibr je lr násobný. Pak je
P(x) = an(x − α1)k1
(x − α2)k2
· · · (x − αm)km
[(x − a1)2
+ b2
1]l1
[(x − a2)2
+ b2
2]l2
· · · [(x − ar)2
+ br
2]lr
,
k1 + k2 + · · · + km + 2l1 + 2l2 + · · · + 2lr = n .
D.: Podle 1.5.6 a 1.5.8 v rozkladu polynomy P(x) vystupuje součin faktorů
(x − (aj + ibj))lj
(x − (aj − ibj))lj
= (x2
− (aj + ibj)x − (aj − ibj)x + (aj + ibj)(aj − ibj))lj
=
= (x2
− 2ajx + a2
j + b2
j + i(ajbj − ajbj))lj
= (x2
− 2ajx + a2
j + b2
j )lj
= [(x − aj)2
+ b2
j ]lj
.
Faktory (x−aj)2
+b2
j se někdy nahrazují kvadratickým polynomem x2
+pjx+qj se záporným diskriminantem
p2
j − 4qj.
1.5.10 Příklad
Viz též 1.5.7.
x5
+ x4
+ x3
− x2
− x − 1 = (x − 1) x − −1
2 + i
√
3
2
2
x − −1
2 − i
√
3
2
2
= (x − 1) x + 1
2
2
+ 3
4
2
nebo x5
+ x4
+ x3
− x2
− x − 1 = (x − 1)(x2
+ x + 1)2
.
28
B. Racionální funkce
1.5.11 Definice
Buďte P(x), Q(x) nenulové polynomy. Funkce R(x) =
P(x)
Q(x)
se nazývá racionální lomená funkce.
Je-li st P < st Q, funkce R se nazývá ryze lomená; je-li st P ≥ st Q, funkce R se nazývá neryze lomená.
Dom R = R \ {α1, α2, . . . , αk}, kde α1, α2, . . . , αk jsou všechny reálné kořeny polynomu Q(x).
Je-li R(x) neryze lomená, lze provést naznačené dělení. Výsledkem je polynom S(x) a zbytek — polynom
T (x), který je buď nulový nebo st T < st Q. Tedy R(x) = S(x) nebo R(x) = S(x) +
T (x)
Q(x)
. Odtud plyne, že
platí
1.5.12 Poznámka
Neryze lomená funkce je buď polynomem nebo ji lze vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené funkce.
1.5.13 Lemma
Buď R(x) =
P(x)
Q(x)
ryze lomená racionální funkce a nechť α je reálný k-násobný kořen polynomu Q(x), tj.
Q(x) = (x − α)k
Q1(x), Q1(α) = 0. Pak existují reálná čísla a1, a2, . . . , ak taková, že pro všechna x ∈ Dom R
platí
R(x) =
P(x)
(x − α)kQ1(x)
=
ak
(x − α)k
+
ak−1
(x − α)k−1
+ · · · +
a2
(x − α)2
+
a1
x − α
+
P1(x)
Q1(x)
,
kde P1(x) je buď nulový polynom, nebo st P1 < st Q1.
D.: Pro každé a ∈ R je
P(x)
(x − α)kQ1(x)
=
a
(x − α)k
+
P(x) − aQ1(x)
(x − α)kQ1(x)
.
Položme a = ak =
P(α)
Q1(α)
. Pak P(α) − akQ1(α) = 0.
Je-li P(x) − akQ1(x) nulový polynom, tvrzení platí.
Nechť P(x) − akQ1(x) není nulový. Pak α je jeho kořen a podle 1.5.4 je P(x) − αkQ1(x) = (x − α)Pk(x),
P(x)
(x − α)kQ1(x)
=
ak
(x − α)k
+
Pk(x)
(x − α)k−1Q1(x)
.
Stejný postup aplikujeme na racionální funkci
Pk(x)
(x − α)k−1Q1(x)
a po k krocích dostaneme tvrzení.
1.5.14 Lemma
Buď R(x) =
P(x)
Q(x)
ryze lomená racionální funkce a nechť α = a + ib je imaginární r-násobný kořen polynomu
Q(x), tj. Q(x) = [(x − a)2
+ b2
]r
Q1(x), Q1(a + ib) = 0. Pak existují reálná čísla m1, n1, m2, n2, . . . , mr, nr,
taková, že pro všechna x ∈ Dom R platí
R(x) =
P(x)
[(x − a)2 + b2]rQ1(x)
=
=
mrx + nr
[(x − a)2 + b2]r
+
mr−1x + nr−1
[(x − a)2 + b2]r−1
+ · · · +
m2x + n2
[(x − a)2 + b2]2
+
m1x + n1
(x − a)2 + b2
+
P1(x)
Q1(x)
,
kde P1(x) je buď nulový polynom, nebo st P1 < st Q1.
29
D.: Pro každá dvě m, n ∈ R je
P(x)
[(x − a)2 + b2]rQ1(x)
=
mx + n
[(x − a)2 + b2]r
+
P(x) − (mx + n)Q1(x)
[(x − a)2 + b2]rQ1(x)
.
Nechť
P(α)
Q1(α)
=
P(a + ib)
Q1(a + ib)
= p + iq. Položme m = mr =
q
b
, n = nr =
pb − qa
b
. Pak je
P(α) − (mrα + nr)Q1(α) = P(α) −
q
b
a + i
q
b
b + p −
qa
b
Q1(α) = P(α) − (p + iq)Q1(α) =
= P(α) −
P(α)
Q1(α)
Q1(α) = 0 .
Je-li P(x) − (mrx + nr)Q1(x) nulový polynom, tvrzení platí.
Nechť P(x)−(mrx+nr)Q1(x) není nulový. Pak je číslo α jeho kořenem. Podle 1.5.8 je také ¯α jeho kořenem
a P(x) − (mrx + nr)Q1(x) = (x − α)(x − ¯α)Pr(x) = [(x − a)2
+ b2
]Pr(x) ,
P(x)
[(x − a)2 + b2]rQ1(x)
=
mrx + nr
[(x − a)2 + b2]r
+
Pr(x)
[(x − a)2 + b2]r−1
.
Stejný postup aplikujeme na racionální funkci
Pr(x)
[(x − a)2 + b2]r−1
a po r krocích obdržíme tvrzení.
Zlomky tvaru
a
(x − α)k
,
mx + n
[(x − a)2 + b2]r − 1
nazýváme parciální zlomky.
Z 1.5.13 a 1.5.14 plyne
1.5.15 Věta (o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky)
Každou ryze lomenou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků. Každému reálnému k-násobnému
kořenu α jmenovatele odpovídá skupina zlomků
ak
(x − α)k
+
ak−1
(x − α)k−1
+ · · · +
a2
(x − α)2
+
a1
x − α
a každému imaginárnímu r-násobnému kořenu a + ib jmenovatele odpovídá skupina zlomků
mrx + nr
[(x − a)2 + b2]r
+
mr−1x + nr−1
[(x − a)2 + b2]r−1
+ · · · +
m2x + n2
[(x − a)2 + b2]2
+
m1x + n1
(x − a)2 + b2
.
1.5.16 Poznámka
Koeficienty v rozkladu racionální funkce lze vypočítat postupem naznačeným v důkazech pomocných vět 1.5.13
a 1.5.14. V praxi se však používá metoda neurčitých koeficientů:
Napíšeme formální tvar rozkladu se zatím neurčenými konstantami. Celou rovnost vynásobíme polynomem
Q(x). Tím obdržíme rovnost mezi polynomy platnou pro všechna x s výjimkou kořenů Q(x). Porovnáním
určitých koeficientů na levé straně a neurčitých koeficientů na pravé straně obdržíme rovnice pro neznámé
konstanty.
Do zmíněné rovnosti mezi polynomy lze též dosazovat konkrétní reálná nebo komplexní čísla. Výhodné je
například dosazování reálných kořenů jmenovatele Q(x).
Příklad: Rozložte na parciální zlomky funkci
3x2
− 5x + 8
x3 − 2x2 + x − 2
.
Ř.: Rozklad jmenovatele: x3
− 2x2
+ x − 2 = x2
(x − 2) + x − 2 = (x2
+ 1)(x − 2)
Formální tvar rozkladu:
3x2
− 5x + 8
x3 − 2x2 + x − 2
=
A
x − 2
+
Bx + C
x2 + 1
3x2
− 5x + 8 = A(x2
+ 1) + (Bx + C)(x − 2)
3x2
− 5x + 8 = (A + B)x2
+ (C − 2B)x + (A − 2C)
Dosadíme x = 2: 12 − 10 + 8 = A · 5 → A = 2
Koeficient u x0
: 8 = A − 2C → C =
A − 8
2
= −3
Koeficient u x2
: 3 = A + B → B = 3 − A = 1.
Celkem:
3x2
− 5x + 8
x3 − 2x2 + x − 2
=
2
x − 2
+
x − 3
x2 + 1
.
30
C. Funkce exponenciální a logaritmická
Jde o zavedení obecné mocniny ax
pro a ∈ R, a > 0, x ∈ R.
x = n ∈ N : an
= a · a · · · · · a
n krát
x =
1
n
∈ Q : a
1
n = n
√
a je číslo splňující a
1
n
n
= a;
x = 0 : a0
= 1; x =
m
n
∈ Q : a
m
n = n
√
am = ( n
√
a)
m
x = −n ∈ Z : a−n
=
1
an
Pro všechna x, y ∈ Q, a > 0 platí:
ax
· ay
= ax+y
ax
ay
= ax−y
(ax
)y
= axy
a > 1, x < y ⇒ ax
< ay
0 < a < 1, x < y ⇒ ax
> ay
Poznamenejme, že podle 1.1.17 ke každému x ∈ R existuje posloupnost racionálních čísel {xn} s lim xn = x.
1.5.17 Lemma
Buď a ∈ R, a > 0, x ∈ R. Je-li {xn} libovolná posloupnost racionálních čísel taková, že lim xn = x, pak existuje
lim axn
= α ∈ R. Při tom je α > 0 a α nezávisí na volbě posloupnosti {xn}.
D: • Nechť a > 1. Buď {xn} neklesající posloupnost racionálních čísel s limitou x.
Z x1 ≤ x2 ≤ x3 · · · plyne ax1
≤ ax2
≤ ax3
· · · a tedy {axn
} je neklesající.
Buď t ∈ Q, t ≥ x. Pak t ≥ xn pro každé n a tedy at
≥ axn
pro každé n, což znamená, že {axn
} je shora
ohraničená a tedy podle 1.3.4 existuje lim axn
= α ∈ R, α ≥ axn
> 0.
Buď {yn} libovolná posloupnost racionálních čísel s limitou x.
Položíme zn = yn − xn. Pak yn = zn + xn a podle 1.3.6 je lim zn = lim yn − lim xn = x − x = 0,
ayn
= azn+xn
= azn
axn
. Ukážeme, že lim azn
= 1:
Podle 1.3.8 je lim n
√
a = lim a
1
n = 1. Tedy lim a− 1
n = lim
1
an
= 1. Buď ε > 0 libovolné. Pak existuje
n1 ∈ N, že pro n ≥ n1 je 1 − ε < a
1
n < 1 + ε, a existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 je 1 − ε < a− 1
n < 1 + ε.
Tedy pro m = max{n1, n2} platí 1 − ε < a− 1
m < 1 < a
1
m < 1 + ε.
Poněvadž lim zn = 0, existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 je − 1
m < zn < 1
m a tedy
1 − ε < a− 1
m < azn
< a
1
m < 1 + ε, což znamená, že lim azn
= 1.
• Nechť a = 1. Tvrzení je triviální, neboť 1xn
= 1 pro každé xn ∈ Q.
• Nechť 0 < a < 1. Pak b = 1
a > 1. Je-li {xn} libovolná posloupnost racionálních čísel s limitou x, pak podle
první části důkazu existuje β = lim bxn
, přičemž β > 0 a β nezávisí na volbě posloupnosti {xn}. Podle
1.3.6.5 existuje lim axn
= lim
1
bxn
=
1
β
.
1.5.18 Definice
Buď a ∈ R, a > 0. Exponenciální funkce f(x) = ax
je definována pro každé x ∈ R předpisem ax
= lim axn
, kde
{xn} je libovolná posloupnost racionálních čísel s limitou x.
1.5.19 Věta
Nechť a ∈ R, a > 0, a = 1. Exponenciální funkce f(x) = ax
má vlastnosti:
1. Dom f = R, ℑf ⊆ (0, ∞).
31
2. Pro každá dvě x, y ∈ R platí: ax
ay
= ax+y
,
ax
ay
= ax−y
,
(ax
)y
= axy
.
3. Pro a > 1 je rostoucí, pro 0 < a < 1 je klesající.
D: 1. Plyne přímo z definice a z 1.5.17.
2. Tvrzení platí pro x, y ∈ Q. Nechť x, y ∈ R a {xn}, {yn} ⊆ Q takové, že xn → x, yn → y.
ax
ay
= lim axn
lim ayn
= lim axn
ayn
= lim axn+yn
= ax+y
, neboť lim(xn + yn) = x + y.
ax
ay
= ax−y
analogicky.
y = n ∈ N: (ax
)y
= (ax
)n
= ax
· ax
· · · · · ax
n krát
= ax+x+···+x
= anx
y = −n ∈ Z: (ax
)y
= (ax
)−n
=
1
(ax)n
=
1
anx
= a−nx
= axy
y =
m
n
∈ Q: (ax
)
m
n = n
(ax)m = n
√
axm
současně (axy
)n
= ax m
n = axm
⇒ n
√
axm = axy
,
takže axy
= (ax
)
m
n
= (ax
)
y
.
y ∈ I: zvolme {yn} ⊆ Q, yn → y. Pak (ax
)y
= lim(ax
)yn
= lim axyn
= axy
podle 1.5.20 (tuto poznámku totiž můžeme považovat v této chvíli již za dokázanou, neboť v jejím
důkazu je využit pouze první vztah z části 2., který je již dokázán), neboť lim xyn = x lim yn = xy.
3. Nechť a > 1, x, y ∈ R, x < y. Zvolme u, v ∈ Q, x ≤ u < v ≤ y. Platí au
< av
.
Buď {xn} neklesající posloupnost racionálních čísel s limitou x a buď {yn} nerostoucí posloupnost racionálních
čísel s limitou y. Pak
xn ≤ x ≤ u, což znamená, že axn
≤ au
a tedy lim axn
= ax
≤ u.
v ≤ y ≤ yn, což znamená, že ayn
≥ av
a tedy lim ayn
= ay
≥ v.
Z nerovnosti au
< av
plyne ax
< ay
.
Případ 0 < a < 1 analogicky.
Později (1.7.17) bude dokázáno, že ℑf = (0, ∞).
1.5.20 Poznámky
1. Je-li x =
m
p
∈ Q, definice 1.5.18 souhlasí s definicí a
m
p . (Stačí volit xn =
m
p
pro každé n ∈ N.)
2. Je-li {xn} libovolná posloupnost reálných čísel s lim xn = x, pak lim axn
= ax
.
D.: Pro každé n ∈ N zvolíme yn ∈ Q tak, aby xn − 1
n < yn ≤ xn (to lze podle 1.1.17).
Podle 1.3.7 je lim yn = x. Tedy lim ayn
= ax
a dále
lim axn
= lim ayn+xn−yn
= lim ayn
lim axn−yn
= ax
lim axn−yn
a analogicky jako v důkazu 1.5.17 ukážeme, že lim axn−yn
= 1.
Z exponenciálních funkcí má největší význam funkce f(x) = ex
, kde e = lim 1 +
1
n
n
. Někdy se označuje
ex
= exp x. Tuto funkci nazýváme přirozená exponenciální funkce.
1.5.21 Definice
Buď a ∈ R, a > 0, a = 1. Inversní funkce k funkci f(x) = ax
se nazývá logaritmická funkce. Značíme ji loga x.
32
1.5.22 Věta
Buď a ∈ R, a > 0, a = 1. Funkce f(x) = loga x má vlastnosti:
1. Dom f = (0, ∞), ℑf = (−∞, ∞).
2. Pro každá dvě x, y ∈ (0, ∞) platí: loga(xy) = loga x + loga y,
loga
x
y
= loga x − loga y,
pro x ∈ (0, ∞) a y ∈ R platí: loga xy
= y loga x.
3. Je rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1.
D: 1., 3. Plyne z 1.5.19 a obecných vlastností inversních funkcí.
2. Označme loga x = u, loga y = v. Pak au
= x, av
= y a
xy = au
av
= au+v
, tedy loga(xy) = u + v = loga x + loga y,
x
y
=
au
av
= au−v
, tedy loga
x
y
= u − v = loga x − loga y,
xy
= (au
)y
= auy
, tedy loga xy
= uy = y loga x.
1.5.23 Poznámka
Buďte a, b ∈ R, a > 0, b > 0, a = 1 = b. Pro každé x ∈ (0, ∞) platí logb x =
loga x
loga b
.
D.: y = logb x. Pak by
= x a tedy y loga b = loga by
= loga x. Odtud y =
loga x
loga b
.
Podobně jako u exponenciální funkce má největší význam logaritmická funkce loge x. Značí se ln x a nazývá
přirozená nebo přirozený logaritmus.
Libovolný logaritmus lze převést na přirozený: loga x =
ln x
ln a
.
Také obecnou exponenciální funkci lze převést na přirozenou, neboť pro a ∈ R, a > 0, x ∈ R platí
ex ln a
= eln a x
= ax
.
D. Mocninná funkce
1.5.24 Definice
Buď a ∈ R. Funkce f(x) = xa
definovaná vztahem xa
= ea ln x
se nazývá obecná mocninná funkce.
1.5.25 Věta
Buď a ∈ R. Mocninná funkce f(x) = xa
má vlastnosti:
1. Dom f = (0, ∞), ℑf = (0, ∞).
2. Pro každá dvě x, y ∈ (0, ∞) platí: (xy)a
= xa
ya
,
x
y
a
=
xa
ya
.
3. Je rostoucí pro a > 0 a klesající pro a < 0.
D: 1. Plyne z 1.5.19.1 a z 1.5.22.1.
33
2. (xy)a
= ea ln xy
= ea(ln x+ln y)
= ea ln x
ea ln y
= xa
ya
.
Druhý vztah analogicky.
3. Buď a > 0, 0 < x < y. Pak podle 1.5.22.3 je ln x < ln y a tedy a ln x < a ln y. Podle 1.5.19.3 je také
ea ln x
< ea ln y
, tj. xa
< ya
.
Pro a < 0 analogicky.
1.5.26 Poznámka
Mocninná funkce f(x) = xa
má v některých speciálních případech definiční obor širší než (0, ∞). Zejména:
Je-li a ∈ N ∪ {0}, pak Dom f = (−∞, ∞).
Je-li a ∈ Z, a < 0, pak Dom f = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
Je-li a =
m
n
∈ Q, m ∈ Z, n ∈ N, m, n nesoudělná a n liché, pak pro
a ≥ 0 je Dom f = (−∞, ∞),
a < 0 je Dom f = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
E. Funkce goniometrické a cyklometrické
Na jednotkovou kružnici se středem v počátku naneseme od bodu A = (1, 0) oblouk délky |x| v kladném
smyslu pro x ≥ 0 a v záporném smyslu pro x < 0. Obdržíme bod B, jehož první souřadnici označíme cos x a
druhou sin x. Dále klademe tg x =
sin x
cos x
, cotg x =
cos x
sin x
.
Tento popis není definicí, neboť se používá vágní pojem „délka oblouku“, který nebyl přesně zaveden. Goniometrické
funkce sin, cos, tg, cotg tedy nejsou zatím přesně definovány. Poněvadž jsou ale velice užitečné,
budeme je používat již před jejich přesným definováním.
Vlastnosti goniometrických funkcí:
1. Dom sin = Dom cos = R,
ℑ sin = ℑ cos = [−1, 1],
Dom tg = R \ {π
2 + kπ : k ∈ Z}, Dom cotg = R \ {kπ : k ∈ Z},
ℑ tg = ℑ cotg = R.
2. sin, cos jsou periodické se základní periodou 2π,
tg, cotg jsou periodické se základní periodou π.
3. sin je rostoucí na [−π
2 + 2kπ, π
2 + 2kπ], klesající na [π
2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ], k ∈ Z.
cos je rostoucí na [(2k − 1)π, 2kπ], klesající na [2kπ, (2k + 1)π], k ∈ Z.
tg je rostoucí na (−π
2 + kπ, π
2 + kπ), k ∈ Z.
cotg je klesající na (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z.
4. sin, cos, tg, cotg jsou liché, cos je sudá funkce
5. sin2
x + cos2
x = 1, tg x cotg x = 1, sin x = cos(x − π
2 ) = cos(π
2 − x), cos x = sin(x + π
2 ) = sin(π
2 − x)
pro všechna přípustná x.
6. Součtové vzorce: sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x,
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y,
tg(x + y) =
tg x + tg y
1 − tg x tg y
,
sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2
x − sin2
x,
| sin x
2 | =
1 − cos x
2
, | cos x
2 | =
1 + cos x
2
,
sin x + sin y = 2 sin x+y
2 cos x−y
2 , sin x − sin y = 2 cos x+y
2 sin x−y
2 ,
cos x + cos y = 2 cos x+y
2 cos x−y
2 , cos x − cos y = −2 sin x+y
2 sin x−y
2 ,
sin x cos y = 1
2 (sin(x + y) + sin(x − y)),
cos x cos y = 1
2 (cos(x + y) + cos(x − y)), sin x sin y = 1
2 (cos(x − y) − cos(x + y)).
34
7. Jsou-li A, B ∈ R, A = 0 pak A sin x + B cos x = P sin(x + q), kde P =
√
A2 + B2, tg q =
B
A
.
D.:
tg q =
sin q
cos q
=
B
A
=
B
√
A2 + B2
A
√
A2 + B2
,
−1 <
A
√
A2 + B2
< 1 , −1 <
B
√
A2 + B2
< 1,
cos q =
A
√
A2 + B2
, sin q =
B
√
A2 + B2
,
A sin x + B cos x = A2 + B2
A
√
A2 + B2
sin x +
B
√
A2 + B2
cos x =
= A2 + B2 (cos q sin x + sin q cos x) = A2 + B2 sin(x + q).
Funkce cyklometrické jsou funkce inversní k funkcím goniometrickým.
Ve všech případech je nutno zúžit definiční obor příslušné goniometrické funkce tak, aby funkce byla ryze
monotonní (tedy prostá). Je přirozené tento interval vzít „co nejblíže počátku“.
Pro
sin
cos
tg
cotg
vezmeme interval
[−π
2 , π
2 ]
[0, π]
(−π
2 , π
2 )
(0, π)
.
Funkce cyklometrické se nazývají arcus a značí se arcsin, arccos, arctg, arccotg.
Vlastnosti cyklometrických funkcí
1. Dom arcsin = Dom arccos = [−1, 1], ℑ arcsin = [−π
2 , π
2 ], ℑ arccos = [0, π]
Dom arctg = Dom arccotg = R, ℑ arctg = (−π
2 , π
2 ), ℑ arccotg = (0, π).
2. Pro každé x ∈ [−1, 1] platí arcsin x + arccosx = π
2 .
D.: y = arcsin x, x = sin y = cos(π
2 − y) ⇒ arccosx = π
2 − y; y ∈ [−π
2 , π
2 ] ⇒ π
2 − y ∈ [0, π].
3. Pro každé x ∈ R platí arctg x + arccotg x = π
2 .
D.: x ∈ R, y = arctg x ⇒ x = tg y =
sin y
cos y
=
cos(π
2 − y)
sin(π
2 − y)
= cotg(π
2 − y) ⇒ arccotg x = π
2 − y.
F. Dodatek
• Polární souřadnice r, ϕ.
Transformace kartézských souřadnic na polární:
r = x2 + y2
ϕ je řešením soustavy rovnic cos ϕ =
x
x2 + y2
, sin ϕ =
y
x2 + y2
,
tj. ϕ =



arctg y
x + 2kπ, x > 0
π
2 + kπ, x = 0
arctg y
x + (2k + 1)π, x < 0
Transformace polárních souřadnic na kartézské: x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
35
• Parametrické vyjádření
Buďte ϕ, ψ funkce, J ⊆ Dom ϕ ∩ Dom ψ interval.
x = ϕ(t),
y = ψ(t), t ∈ J
je tzv. parametrické vyjádření nějaké podmnožiny R2
.
1.6 Limita funkce
1.6.1 Definice
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ R∗
limitu a ∈ R∗
a píšeme lim
x→x0
f(x) = a, jestliže ke každému okolí O(a)
čísla a existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} čísla x0 takové, že pro každé x ∈ O(x0) \ {x0} je f(x) ∈ O(a).
Definice dostane konkrétní tvar podle toho, zda x0 ∈ R nebo x0 = ±∞ a a ∈ R nebo a = ±∞:
1. Vlastní limita ve vlastním bodě
• x0 ∈ R, a ∈ R : lim
x→x0
f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε)
2. Nevlastní limita ve vlastním bodě
• x0 ∈ R, a = ∞ : lim
x→x0
f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) > h)
• x0 ∈ R, a = −∞ : lim
x→x0
f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) < h)
3. Vlastní limita v nevlastním bodě
• x0 = ∞, a ∈ R : lim
x→∞
f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃h ∈ R)(∀x)(x > h ⇒ |f(x) − a| < ε)
• x0 = −∞, a ∈ R : lim
x→−∞
f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃h ∈ R)(∀x)(x < h ⇒ |f(x) − a| < ε)
4. Nevlastní limita v nevlastním bodě
• x0 = ∞, a = ∞ : lim
x→∞
f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃k ∈ R)(∀x)(x > k ⇒ f(x) > h)
• x0 = −∞, a = ∞ : lim
x→−∞
f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃k ∈ R)(∀x)(x < k ⇒ f(x) > h)
• x0 = ∞, a = −∞ : lim
x→∞
f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃k ∈ R)(∀x)(x > k ⇒ f(x) < h)
• x0 = −∞, a = −∞ : lim
x→−∞
f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃k ∈ R)(∀x)(x < k ⇒ f(x) < h)
1.6.2 Poznámky
1. V definici 1.6.1 se nevyskytuje žádný požadavek na f(x0). Existence a hodnota lim
x→x0
f(x) nezávisí na tom,
zda x0 ∈ Dom f, a pokud ano, tak nezávisí na hodnotě f(x0).
Existuje-li však lim
x→x0
f(x), musí být funkce f definována v nějakém ryzím okolí bodu x0.
2. Buďte f, g funkce, x0 ∈ R∗
a nechť existuje lim
x→x0
f(x) = a ∈ R∗
. Jestliže existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0}
bodu x0 takové, že pro každé x ∈ O(x0) \ {x0} je f(x) = g(x), pak existuje také lim
x→x0
g(x) a platí
lim
x→x0
g(x) = a.
3. Logickou negací definice 1.6.1 obdržíme výrok „neplatí lim
x→x0
f(x) = a“: Existuje okolí O(a) bodu a takové,
že v každém okolí O(x0) bodu x0 existuje číslo x takové, že f(x) ∈ O(a).
Jestliže neplatí lim
x→x0
f(x) = a, pak buď lim
x→x0
f(x) = b = a nebo lim
x→x0
f(x) neexistuje.
4. Existence a hodnota limity funkce f v bodě x0 je lokální vlastností této funkce.
36
1.6.3 Příklady
1. lim
x→0
x2
= 0.
D.: Buď ε > 0 libovolné. Položme δ =
√
ε. Je-li 0 < |x − 0| = |x| < δ =
√
ε, pak |x2
− 0| = |x2
| = |x|2
< ε.
2. lim
x→0
g(x) = 0 pro g =
x2
, x = 0
1, x = 0
.
D.: Stejně jako v 1.
3. lim
x→0
χ(x) neexistuje.
D.: Připusťme, že lim
x→0
χ(x) = a ∈ R.
Nechť a = 0. Položme ε =
|a|
2
> 0. Buď δ > 0 libovolné a x ∈ (−δ, δ) ∩ I. Pak
χ(x) = 0 ∈ a −
|a|
2
, a +
|a|
2
.
Je tedy a = 0. Položme ε = 1
2 > 0. Buď δ > 0 libovolné a x ∈ (−δ, δ)∩Q. Pak χ(x) = 1 ∈ (−1
2 , 1
2 ).
Nemůže tedy být lim
x→0
χ(x) = a ∈ R.
Připusťme, že lim
x→0
χ(x) = ∞. Avšak pro libovolné x ∈ R je χ(x) ∈ {0, 1}, tedy pro h > 1 nemůže být
χ(x) > h pro žádné x ∈ R.
Z podobných důvodů nemůže být lim
x→0
χ(x) = −∞.
1.6.4 Věta (Heineova podmínka [1821 – 1881])
Funkce f má v bodě x0 ∈ R∗
limitu a ∈ R∗
právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞
n=1 ⊆ Dom f
takovou, že lim
n→∞
xn = x0 a xn = x0 pro n ∈ N platí lim
n→∞
f(xn) = a.
D.:
„⇒“ Nechť lim
x→x0
f(x) = a ∈ R∗
a nechť {xn} je posloupnost splňující předpoklady.
Buď O(a) libovolné. Pak existuje ryzí O(x0) \ {x0} takové, že pro x ∈ O(x0) \ {x0} je f(x) ∈ O(a).
Poněvadž xn → x0, xn = x0, existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 jest xn ∈ O(x0) a tedy
f(xn) ∈ O(a), což znamená, že lim
n→∞
f(xn) = a.
„⇐“ Nechť platí tvrzení věty.
Zvolme libovolnou {xn}, xn → x0, xn = x0. Pak existuje lim
n→∞
f(xn) = a ∈ R∗
. Ukážeme, že
lim
x→x0
f(x) = a.
Připusťme, že existuje O(a) takové, že v každém ryzím okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 existuje x takové,
že f(x) ∈ O(a).
Je-li
x0 ∈ R
x0 = ∞
x0 = −∞
položíme
On(x0) = (x0 − 1
n , x0) ∪ (x0, x0 + 1
n )
On(x0) = (n, ∞)
On(x0) = (−∞, −n)
Pro libovolné n ∈ N existuje yn ∈ On(x0) takové, že f(yn) ∈ O(a). Z konstrukce On(x0) plyne, že
yn → x0, yn = x0 a tedy lim
n→∞
f(yn) = a. To ovšem není možné, neboť f(yn) ∈ O(a).
1.6.5 Poznámka
Nechť lim
x→∞
f(x) = a ∈ R∗
a nechť pro každé n ∈ N je an = f(n). Pak lim
n→∞
an = a.
D.: Buď O(a) libovolné. Pak existuje k ∈ R takové, že pro x > k je f(x) ∈ O(a).
Volme n0 = [k] + 1. Pak pro n ≥ n0 je an = f(n) ∈ O(a) a tedy lim
x→∞
f(x) = a.
37
Heineova podmínka umožňuje převádět vlastnosti limity a nevlastní limity posloupnosti na vlastnosti limity
funkce:
1.6.6 Věta (Cauchyovo – Bolzanovo kriterium pro existenci vlastní limity)
Funkce f má v bodě x0 ∈ R∗
limitu a ∈ R právě tehdy, když ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje ryzí okolí
O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé dva body x1, x2 ∈ O(x0) \ {x0} platí |f(x1) − f(x2)| < ε.
D.: 1.3.22 a 1.6.4
1.6.7 Věta (vlastnosti limity)
1. Každá funkce má v libovolném bodě x0 ∈ R∗
nejvýše jednu limitu.
(viz 1.3.3)
2. Má-li funkce f v bodě x0 ∈ R∗
vlastní limitu, pak existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je funkce f
ohraničená.
(viz 1.3.4)
Jestliže lim
x→x0
f(x) = a > 0 (resp. lim
x→x0
f(x) = a < 0), pak existuje ryzí okolí O′
(x0) bodu x0 takové, že
pro každé x ∈ O′
(x0) je f(x) > 0 (resp. f(x) < 0).
D.: Nechť lim
x→x0
f(x) = a > 0 a buď ε =
a
2
> 0. Existuje δ > 0 takové, že pro každé x ∈ (x0 − δ, x0) ∪
(x0, x0 + δ) je f(x) ∈ (a − ε, a + ε), zejména tedy f(x) > a − ε =
a
2
> 0. Platnost druhého tvrzení
ukážeme analogicky.
3. Nechť lim
x→x0
f(x) = 0, x0 ∈ R∗
a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je funkce g ohraničená. Pak je
lim
x→x0
f(x)g(x) = 0.
(viz 1.3.5.3)
4. Nechť x0 ∈ R∗
a lim
x→x0
f(x) = a ∈ R, lim
x→x0
g(x) = b ∈ R. Pak
• existuje lim
x→x0
|f(x)| a platí lim
x→x0
|f(x)| = |a|,
• existuje lim
x→x0
(f(x) + g(x)) a platí lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = a + b,
• existuje lim
x→x0
(f(x) − g(x)) a platí lim
x→x0
(f(x) − g(x)) = a − b,
• existuje lim
x→x0
f(x)g(x) a platí lim
x→x0
f(x)g(x) = ab,
• pokud b = 0 existuje lim
x→x0
f(x)
g(x)
a platí lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
a
b
.
(viz 1.3.6)
5. Nechť f, g, h jsou funkce, x0 ∈ R∗
a existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé
x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Jestliže lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
h(x) = a ∈ R∗
, pak lim
x→x0
g(x) = a.
(viz 1.3.7)
6. Nechť x0 ∈ R∗
, lim
x→x0
f(x) = 0 a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je f(x) = 0 (resp. f(x) > 0,
resp. f(x) < 0). Pak lim
x→x0
1
|f(x)|
= ∞ (resp. lim
x→x0
1
f(x)
= ∞, resp. lim
x→x0
1
f(x)
= −∞).
(viz 1.3.12.1)
7. Nechť x0 ∈ R∗
a lim
x→x0
|f(x)| = ∞. Pak lim
x→x0
1
f(x)
= 0.
(viz 1.3.12.4)
38
8. Nechť x0 ∈ R∗
, lim
x→x0
f(x) = ∞ (resp. lim
x→x0
f(x) = −∞) a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je
funkce g zdola (resp. shora) ohraničená. Pak lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = ∞ (resp. lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = −∞).
(viz 1.3.12.2)
9. Nechť x0 ∈ R∗
, lim
x→x0
f(x) = ∞ a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je g(x) ≥ δ > 0 (resp.
g(x) ≤ δ < 0). Pak lim
x→x0
f(x)g(x) = ∞ (resp. lim
x→x0
f(x)g(x) = −∞).
Nechť lim
x→x0
f(x) = −∞ a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je g(x) ≥ δ > 0 (resp. g(x) ≤ δ < 0).
Pak lim
x→x0
f(x)g(x) = −∞ (resp. lim
x→x0
f(x)g(x) = ∞).
(viz 1.3.12.3)
10. Funkce signum (znaménko) je pro každé x ∈ R definována předpisem sgn x =



1, x > 0
0, x = 0
−1, x < 0
.
Nechť x0 ∈ R∗
, lim
x→x0
f(x) = a = 0, lim
x→x0
g(x) = 0 a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je g(x) = 0
a sgn f(x) = sgn g(x) (resp. sgn f(x) = − sgn g(x)). Pak lim
x→x0
f(x)
g(x)
= ∞ (resp. lim
x→x0
f(x)
g(x)
= −∞).
(viz 1.3.12.1 a předchozí tvrzení)
11. Nechť x0 ∈ R∗
, lim
x→x0
f(x) = a, lim
x→x0
g(x) = b a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je f(x) < g(x).
Pak a ≤ b.
(viz 1.3.5.1)
1.6.8 Věta (o limitě složené funkce)
Nechť x0 ∈ R∗
, lim
x→x0
ϕ(x) = α ∈ R∗
a lim
y→α
f(y) = a ∈ R∗
. Nechť existuje ryzí okolí O1(x0) \ {x0} bodu x0,
v němž platí ϕ(x) = α. Pak lim
x→x0
f(ϕ(x)) = a. (Tj. lim
x→x0
f(ϕ(x)) = lim
y→ lim
x→x0
ϕ(x)
f(y) = a.)
D.: Buď O(a) libovolné okolí bodu a. K němu existuje ryzí okolí O(α) \ {α} takové, že pro y ∈ O(α) \ {α} je
f(y) ∈ O(a).
K O(α) existuje ryzí okolí O2(x0) \ {x0} takové, že pro x ∈ O2(x0) \ {x0} je ϕ(x) ∈ O(α).
Položme O(x0) = (O1(x0) \ {x0}) ∩ (O2(x0) \ {x0}). Pak pro x ∈ O(x0) je ϕ(x) ∈ O(α) a ϕ(x) = α, tj.
ϕ(x) ∈ O(α) \ {α}. Tedy f(ϕ(x)) ∈ O(a), neboli lim
x→x0
f(ϕ(x)) = a.
1.6.9 Příklady
1. Nechť f(x) = c ∈ R pro každé x ∈ R. Pak pro každé x0 ∈ R∗
jest lim
x→x0
f(x) = c.
D.: Buď ε > 0 libovolné, O(x0) \ {x0} libovolné ryzí okolí x0. Pro x ∈ O(x0) \ {x0} je
|f(x) − c| = |c − c| = 0 < ε.
2. Nechť f(x) = x pro každé x ∈ R. Pak pro každé x0 ∈ R jest lim
x→x0
x = x0 a dále lim
x→∞
x = ∞,
lim
x→−∞
x = −∞.
D.: Buď ε > 0 libovolné a δ = ε. Pak pro x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ) je |f(x) − x0| = |x − x0| < δ = ε.
Buď h ∈ R libovolné a k = h. Pak pro x > k je f(x) = x > k = h a pro x < k je f(x) = x < k = h.
3. Buď P(x) polynom. Pak pro libovolné x0 ∈ R jest lim
x→x0
P(x) = P(x0).
D.: S využitím předchozího výsledku a 1.6.7.4 jest
lim
x→x0
xn
= lim
x→x0
xxn−1
= lim
x→x0
x lim
x→x0
xn−1
= x0 lim
x→x0
xn−1
= x0 lim
x→x0
x lim
x→x0
xn−2
=
= x0x0 lim
x→x0
xn−2
= . . . = xn−1
0 lim
x→x0
x = xn
0 .
39
Tvrzení nyní plyne z 1.6.7.4.
4. Buď R(x) racionální lomená funkce a x0 ∈ Dom R. Pak lim
x→x0
R(x) = R(x0).
D.: plyne z 3. a 1.6.7.4.
5. f(x) =
x4
− 1
x3 − 1
.
Pro x = 1 platí
x4
− 1
x3 − 1
=
(x − 1)(x3
+ x2
+ x + 1)
(x − 1)(x2 + x + 1)
=
x3
+ x2
+ x + 1
x2 + x + 1
a tedy podle 1.6.2.4 a předchozího
výsledku je lim
x→1
x4
− 1
x3 − 1
= lim
x→1
x3
+ x2
+ x + 1
x2 + x + 1
= 4
3 .
6. Buď a > 0, f(x) = ax
. Pak pro libovolné x0 ∈ R je lim
x→x0
ax
= ax0
.
D.: plyne z 1.5.20.2 a 1.6.4.
7. Buď a > 0, f(x) = xa
, x0 ∈ Dom f. Pak lim
x→x0
xa
= xa
0.
D.: plyne z 1.5.24, předchozího tvrzení a 1.6.8.
8. Pro libovolné x0 ∈ R je lim
x→x0
sin x = sin x0, lim
x→x0
cos x = cos x0.
Plyne z geometrického názoru. (Funkce sin a cos nebyly přesně definovány.)
9. lim
x→0
sin x
x
= 1.
D.: Pro x ∈ (0, π
2 ) platí: 0 < sin x. Plocha kruhové výseče OAC je P0 = 1
2 x, plocha trojúhelníka OAC je
P1 = 1
2 sin x a plocha trojúhelníka OAB je P2 = 1
2 tg x. Jest P1 < P0 < P2, neboli
sin x < x < tg x
1 <
x
sin x
<
1
cos x
cos x <
sin x
x
< 1
Všechny funkce v poslední nerovnosti jsou sudé, to znamená, že tato nerovnost platí i pro x ∈ (−π
2 , 0).
Dále podle předchozího lim
x→0
cos x = cos 0 = 1. Tvrzení nyní plyne z 1.6.7.5.
10. lim
x→0
1 − cos x
x2
= lim
x→0
1 − cos x
x2
1 + cos x
1 + cos x
= lim
x→0
1 − cos2
x
x2(1 + cos x)
= lim
x→0
sin2
x
x2
1
1 + cos x
= 11
2 = 1
2
1.6.10 Poznámka
Předpoklad o existenci ryzího okolí O1(x0) \ {x0} bodu x0 nelze v 1.6.8 obecně vynechat.
Např. pro ϕ(x) = 0, f(y) =
0, y = 0
1, y = 0
platí
f(ϕ(x)) = 1 a tedy podle 1.6.9.1 pro libovolné x0 ∈ R∗
je lim
x→x0
f(ϕ(x)) = 1,
avšak lim
x→x0
ϕ(x) = 0, lim
y→0
f(y) = 0.
1.6.11 Definice
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ R limitu zprava (resp. zleva) rovnou a ∈ R∗
a píšeme lim
x→x0+
f(x) = a
(resp. lim
x→x0−
f(x) = a), jestliže ke každému okolí O(a) bodu a existuje pravé (resp. levé) ryzí okolí (x0, x0 + δ)
(resp. (x0 − δ, x0)) takové, že pro každé x ∈ (x0, x0 + δ) (resp. x ∈ (x0 − δ, x0)) platí f(x) ∈ O(a).
Limita zprava a limita zleva se souhrnně nazývají jednostranné limity.
40
• a ∈ R: lim
x→x0+
f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x − x0 < δ ⇒ |f(x) − a| < ε)
lim
x→x0−
f(x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x0 − x < δ ⇒ |f(x) − a| < ε)
• a = ∞: lim
x→x0+
f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x − x0 < δ ⇒ f(x) > h)
lim
x→x0−
f(x) = ∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x0 − x < δ ⇒ f(x) > h)
• a = −∞: lim
x→x0+
f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x − x0 < δ ⇒ f(x) < h)
lim
x→x0−
f(x) = −∞ ⇔ (∀h ∈ R)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x0 − x < δ ⇒ f(x) < h)
1.6.12 Věta
Funkce f má v bodě x0 ∈ R limitu a ∈ R∗
právě tehdy, když má v tomto bodě limitu zprava i zleva a platí
lim
x→x0+
f(x) = lim
x→x0−
f(x) = a.
D.: plyne přímo z definic limity a jednostranných limit a z faktu O(x0) \ {x0} = (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ).
1.6.13 Poznámka
I pro jednostranné limity platí analogie Heineovy podmínky 1.6.4:
lim
x→x0+
f(x) = a ⇔ pro každou {xn} takovou, že lim
n→∞
xn = x0, xn > x0 platí lim
n→∞
f(xn) = a,
lim
x→x0−
f(x) = a ⇔ pro každou {xn} takovou, že lim
n→∞
xn = x0, xn < x0 platí lim
n→∞
f(xn) = a.
V důsledku toho i pro jednostranné limity platí 1.6.6, 1.6.7 a 1.6.8.
1.6.14 Příklad
lim
x→0
ex
− 1
x
= 1.
Ř.:
• Podle 1.3.10 posloupnost 1 +
1
n
n
je rostoucí a její limita je e, takže podle 1.3.9 pro každé n ∈ N
1 +
1
n
n
< e .
• Vyšetříme lim
x→0+
ex
− 1
x
:
Buďte x ∈ (0, 1
2 ), n =
1
x
, tedy
1
n + 1
< x ≤
1
n
.
Podle 1.3.10 a prvního kroku řešení je
1 +
1
n + 1
n+1
< e < 1 +
1
n − 1
n
a tedy podle 1.5.19.3 je ex
≤ e
1
n < 1 +
1
n − 1
, ex
> e
1
n+1 > 1 +
1
n + 1
.
Poněvadž n ≤
1
x
, jest n + 1 ≤
1
x
+ 1 =
1 + x
x
, tedy
x
1 + x
≤
1
n + 1
.
Poněvadž n + 1 >
1
x
, jest n − 1 >
1
x
− 2 =
1 − 2x
x
, tedy
x
1 − 2x
>
1
n − 1
.
Celkem
1 +
x
1 + x
< ex
< 1 +
x
1 − 2x
x
1 + x
< ex
− 1 <
x
1 − 2x
1
1 + x
<
ex
− 1
x
<
1
1 − 2x
41
a podle 1.6.7.5 je lim
x→0+
ex
− 1
x
= 1.
• Vyšetříme lim
x→0−
ex
− 1
x
:
Buď x ∈ (−
1
2
, 0) Položíme y = −x. Pak y ∈ (0, 1
2 ) a s využitím předchozího kroku dostaneme
1 +
y
1 + y
< ey
< 1 +
y
1 − 2y
1 + 2y
1 + y
< ey
<
1 − y
1 − 2y
1 − 2y
1 − y
< e−y
<
1 + y
1 + 2y
1 + 2x
1 + x
< ex
<
1 − x
1 − 2x
x
1 + x
< ex
− 1 <
x
1 − 2x
1
1 + x
>
ex
− 1
x
>
1
1 − 2x
a podle 1.6.7.5 je lim
x→0−
ex
− 1
x
= 1.
Nyní lim
x→0
ex
− 1
x
= 1 podle 1.6.12.
1.6.15 Věta
Nechť funkce f je monotonní v nějakém levém (resp. pravém) ryzím okolí bodu x0 ∈ R∗
. Pak existuje lim
x→x0−
f(x)
(resp. lim
x→x0+
f(x)).
Podrobněji:
1. Nechť funkce f je neklesající v nějakém levém ryzím okolí L(x0) bodu x0 ∈ R ∪ {∞}. Je-li f shora
ohraničená v L(x0), je lim
x→x0−
f(x) = sup{f(x) : x ∈ L(x0)}, není-li f shora ohraničená v L(x0), je
lim
x→x0−
f(x) = ∞.
2. Nechť funkce f je nerostoucí v nějakém levém ryzím okolí L(x0) bodu x0 ∈ R ∪ {∞}. Je-li f zdola
ohraničená v L(x0), je lim
x→x0−
f(x) = inf{f(x) : x ∈ L(x0)}, není-li f zdola ohraničená v L(x0), je
lim
x→x0−
f(x) = −∞.
3. Nechť funkce f je neklesající v nějakém pravém ryzím okolí P(x0) bodu x0 ∈ R ∪ {−∞}. Je-li f zdola
ohraničená v P(x0), je lim
x→x0+
f(x) = inf{f(x) : x ∈ P(x0)}, není-li f zdola ohraničená v P(x0), je
lim
x→x0+
f(x) = −∞.
4. Nechť funkce f je nerostoucí v nějakém pravém ryzím okolí P(x0) bodu x0 ∈ R ∪ {−∞}. Je-li f shora
ohraničená v P(x0), je lim
x→x0+
f(x) = sup{f(x) : x ∈ P(x0)}, není-li f shora ohraničená v P(x0), je
lim
x→x0+
f(x) = ∞.
D.: Provedeme pouze pro tvrzení 1. Důkazy ostatních lze provést analogicky.
• Nechť x0 ∈ R a f je shora ohraničená v L(x0) = (x0 − α, x0).
Množina {f(x) : x ∈ L(x0)} je neprázdná a shora ohraničená, tedy podle 1.1.7 (R14) existuje
sup{f(x) : x ∈ L(x0)} = a ∈ R.
Buď ε > 0 libovolné. Podle 1.1.6 (s2∗
) existuje x1 ∈ L(x0) takové, že f(x1) > a − ε. Položíme
42
δ = x0 − x1. Pak je (x1, x0) = (x0 − δ, x0) ⊆ L(x0).
Poněvadž f je na L(x0) neklesající, pro každé x ∈ (x0 − δ, x0) platí f(x) ≥ f(x1) > a − ε.
Poněvadž a = sup{f(x) : x ∈ L(x0)}, pro x ∈ (x0 − δ, x0) platí f(x) ≤ a.
Celkem pro x ∈ (x0 − δ, x0) je a − ε < f(x) ≤ a, což znamená lim
x→x0−
f(x) = a.
• Nechť x0 = ∞ a f je shora ohraničená v L(x0) = (α, ∞). Zopakujeme úvahy z předchozího kroku
s tím rozdílem, že nedefinujeme δ. Dojdeme k tomu, že pro x ∈ (x1, ∞) je a − ε < f(x) ≤ a.
• Nechť x0 ∈ R a f není shora ohraničená v L(x0) = (x0 − α, x0).
Buď h ∈ R libovolné. Poněvadž f není shora ohraničená, v (x0 − α, x0), existuje x1 ∈ (x0 − α, x0)
takové, že f(x1) > h. Položíme δ = x0 − x1.
Poněvadž f je neklesající na (x0 − α, x0), pro každé x ∈ (x0 − δ, x0) platí f(x) ≥ f(x1) > h, což
znamená lim
x→x0−
f(x) = ∞.
• Nechť x0 = ∞ a f není shora ohraničená v L(x0) = (α, ∞). Zopakujeme úvahy z předchozího kroku
s tím rozdílem, že nedefinujeme δ. Pak pro x ∈ (x1, ∞) je f(x) > h.
Poznámka: (Oboustranná) limita nemusí existovat.
1.6.16 Definice
Řekneme, že a ∈ R je limitní bod funkce f pro x0 ∈ R∗
, jestliže existuje posloupnost{xn} taková, že xn = x0
pro každé n ∈ N, lim
n→∞
xn = x0 a lim
n→∞
f(xn) = a.
Označme Ω(f, x0) množinu limitních bodů funkce f pro x0 ∈ R∗
.
Je-li funkce f ohraničená shora v nějakém okolí bodu x0 ∈ R∗
a Ω(f, x0) = ∅, klademe
lim sup
x→x0
f(x) = sup Ω(f, x0).
Je-li funkce f ohraničená shora v nějakém okolí bodu x0 ∈ R∗
a Ω(f, x0) = ∅, klademe lim sup
x→x0
f(x) = −∞.
Není-li funkce f ohraničená shora v každém okolí bodu x0 ∈ R∗
, klademe lim sup
x→x0
f(x) = ∞.
Je-li funkce f ohraničená zdola v nějakém okolí bodu x0 ∈ R∗
a Ω(f, x0) = ∅, klademe lim inf
x→x0
f(x) = inf Ω(f, x0).
Je-li funkce f ohraničená zdola v nějakém okolí bodu x0 ∈ R∗
a Ω(f, x0) = ∅, klademe lim inf
x→x0
f(x) = ∞.
Není-li funkce f ohraničená zdola v každém okolí bodu x0 ∈ R∗
, klademe lim inf
x→x0
f(x) = −∞.
Snadno ověříme, že lim sup
x→x0
f(x) = lim
x→x0
(sup{f(ξ) : 0 < |x0 − ξ| < |x0 − x|})
lim inf
x→x0
f(x) = lim
x→x0
(inf{f(ξ) : 0 < |x0 − ξ| < |x0 − x|}).
Jestliže lim
x→x0
f(x) = a ∈ R∗
, pak a je limitním bodem funkce f pro x0 ∈ R∗
.
Zřejmým způsobem lze zavést pravé a levé limitní body a lim sup
x→x0+
f(x), lim sup
x→x0−
f(x), lim inf
x→x0+
f(x), lim inf
x→x0−
f(x).
Přímo z definice plyne
1.6.17 Věta
lim inf
x→x0
f(x) ≤ lim sup
x→x0
f(x). Rovnost nastane právě tehdy, když existuje vlastní nebo nevlastní lim
x→x0
f(x).
1.7 Spojité funkce
1.7.1 Definice
Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R, jestliže lim
x→x0
f(x) = f(x0). Řekneme, že funkce f je spojitá v
bodě x0 ∈ R zprava (resp. zleva), jestliže lim
x→x0+
f(x) = f(x0) (resp. lim
x→x0−
f(x) = f(x0)).
43
1.7.2 Poznámky
1. Z definice 1.7.1 bezprostředně plyne:
Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé
x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) platí |f(x) − f(x0)| < ε.
2. Je-li funkce f spojitá v bodě x0 ∈ R, pak je v nějakém okolí tohoto bodu ohraničená.
3. Spojitost je definována pouze v bodech z R. Nelze definovat spojitost v nevlastním bodě.
4. Spojitost funkce je lokální vlastností této funkce.
1.7.3 Terminologická poznámka
Není-li funkce f spojitá v bodě x0 ∈ R a je při tom definovaná na nějakém okolí (případně ryzím okolí) bodu
x0, mohou nastat možnosti:
A) lim
x→x0
f(x) neexistuje
A1) lim
x→x0+
f(x), lim
x→x0−
f(x) existují a jsou reálné různé — bod nespojitosti 1. druhu
(Např.: f(x) = [x], x0 = 1)
A2) Alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje — bod nespojitosti 2. druhu
(Např.: f(x) = sin 1
x , x0 = 0; χ(x), x0 libovolné)
A3) lim
x→x0+
f(x), lim
x→x0−
f(x) existují, jsou různé a alespoň jedna z nich je nevlastní
(Např.: f(x) = tg(x), x0 = π
2 )
B) lim
x→x0
f(x) = a ∈ R∗
, a = f(x0)
B1) lim
x→x0
f(x) je nevlastní
(Např.: f(x) = 1
x2 , x0 = 0)
B2) lim
x→x0
f(x) = a ∈ R a f(x0) = a nebo x0 ∈ Dom f — bod odstranitelné nespojitosti
Nespojitost lze odstranit změnou f(x0) nebo dodefinováním f(x0):
˜f(x) =
f(x), x ∈ Dom f \ {x0}
lim
x→x0
f(x), x = x0
.
(Např.: f(x) =
x2
, x = 0
1, x = 0
, x0 = 0, g(x) =
x − 1
x2 − 1
, x0 = 1
Nespojitost odstraníme definováním ˜f(0) = 0, ˜g(1) = 1
2 )
1.7.4 Věta
Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R právě tehdy, když je v tomto bodě spojitá zprava i zleva.
D.: plyne z 1.6.12.
1.7.5 Věta
Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞
n=1 takovou, že lim
n→∞
xn = x0
platí lim
n→∞
f(xn) = f(x0).
Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R zprava (resp. zleva) právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞
n=1
takovou, že xn ≥ x0 (resp. xn ≤ x0) a lim
n→∞
xn = x0 platí lim
n→∞
f(xn) = f(x0).
D.: plyne z 1.6.4 a 1.6.13.
44
1.7.6 Věta
Jsou-li funkce f a g spojité v bodě x0 ∈ R, pak jsou také funkce |f|, f + g, f − g, fg spojité v bodě x0. Je-li
navíc g(x0) = 0, je i funkce
f
g
spojitá v bodě x0.
D.: plyne z 1.6.7.4
1.7.7 Věta
Nechť funkce ϕ je spojitá v bodě x0 a funkce f je spojitá v bodě ϕ(x0). Pak je také funkce x → f(ϕ(x)) spojitá
v bodě x0.
D.: Buď ε > 0 libovolné. K němu existuje η > 0 takové, že pro y ∈ (ϕ(x0) − η, ϕ(x0) + η) platí
|f(y) − f(ϕ(x0))| < ε.
K η > 0 existuje δ > 0 takové, že pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) platí |ϕ(x) − ϕ(x0)| < η.
Tedy pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) je |f(ϕ(x)) − f(ϕ(x0))| < ε, což znamená lim
x→x0
f(ϕ(x)) = f(ϕ(x0)).
Tato věta není důledkem 1.6.8, neboť má jiné předpoklady.
1.7.8 Definice
Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu I ⊆ Dom f, jestliže platí
(i) f je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I.
(ii) Patří-li levý (resp. pravý) krajní bod intervalu I do tohoto intervalu, pak je v něm funkce f spojitá zprava
(resp. zleva).
Zejména: Funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b) právě tehdy, když je spojitá v každém bodě
tohoto intervalu.
Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] právě tehdy, když je spojitá v každém bodě
intervalu (a, b), v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.
Spojitost na intervalu je globální vlastnost.
1.7.9 Věta
Nechť funkce f je spojitá a ryze monotonní na intervalu I1 a zobrazuje tento interval na interval I2. Pak funkce
inversní f−1
je spojitá na intervalu I2.
D.: Nechť f je rostoucí na I1, y0 ∈ I2, y0 není levý koncový bod I2. Ukážeme, že f−1
je spojitá zleva v bodě
y0 = f(x0):
Buď ε > 0 libovolné takové, že x0 − ε ∈ I1. Pak f(x0 − ε) < f(x0). Označme δ = f(x0) − f(x0 − ε) > 0.
Buď y ∈ (y0 − δ, y0] libovolný. Poněvadž podle 1.2.17 je f−1
rostoucí, je f−1
(y0 − δ) < f−1
(y).
f−1
(y0 − δ) = f−1
(f(x0) − f(x0) + f(x0 − ε)) = x0 − ε, tedy x0 − ε = f−1
(y0) − ε < f−1
(y), neboli
f−1
(y0) − f−1
(y) < ε.
Ostatní možnosti rozebereme analogicky.
Z této věty, z 1.7.6, 1.7.7 a z 1.6.9 bezprostředně plyne
1.7.10 Důsledek
Elementární funkce jsou spojité na svém definičním oboru.
45
1.7.11 Věta (1. Weierstrassova [1815 – 1897])
Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu ohraničená.
D.: Sporem. Připusťme, že funkce f spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] není ohraničená shora.
Pak ke každému n ∈ N existuje xn ∈ [a, b] takové, že f(xn) > n. Takto definovaná posloupnost {xn}∞
n=1
je ohraničená (a ≤ xn ≤ b) a tedy podle 1.3.19.1 existuje posloupnost {xnk
}∞
k=1 z ní vybraná a taková, že
lim
k→∞
xnk
= x0.
Poněvadž a ≤ xnk
≤ b, podle 1.3.5.1 je a ≤ x0 ≤ b, neboli x0 ∈ [a, b].
Poněvadž f je spojitá (případně jednostranně spojitá), podle 1.7.5 je lim
k→∞
f(xnk
) = f(x0) ∈ R.
Současně ale f(xnk
) > nk, lim
k→∞
nk = ∞, a tedy podle 1.3.5.1 a poznámky za 1.3.11 je lim
k→∞
f(xnk
) = ∞.
To je spor.
Analogicky vyloučíme možnost, že by funkce f spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] nebyla ohraničená
zdola.
Poznámka: Oba předpoklady jsou podstatné.
1.7.12 Věta (2. Weierstrassova [1815 – 1897])
Funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na tomto intervalu své největší i nejmenší hodnoty.
D.: Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b]. Podle 1.7.11 je na tomto intervalu ohraničená a tedy existuje
m = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Ukážeme, že existuje x1 ∈ [a, b], že f(x1) = m.
Připusťme, že f(x) < m pro každé x ∈ [a, b]. Pak m−f(x) > 0 a tedy podle 1.7.6 je funkce x →
1
m − f(x)
spojitá. Podle 1.7.11 existuje K ∈ R, že
1
m − f(x)
< K pro každé x ∈ [a, b]. Bez újmy na obecnosti lze
předpokládat, že K > 0. Tedy f(x) < m −
1
K
. Podle 1.1.6 (s2∗
) existuje x0 ∈ [a, b], že f(x0) ≥ m −
1
K
,
neboli m − f(x0) ≤
1
K
, K ≤
1
m − f(x0)
, což je spor.
Analogicky ukážeme, že existuje x2 ∈ [a, b], že x2 = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}.
1.7.13 Věta (1. Bolzanova [1781 – 1848])
Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] a nechť platí f(a)f(b) < 0. Pak existuje c ∈ (a, b), že
f(c) = 0.
D.: Položme d =
b − a
2
. Pak d ∈ (a, b). Pokud f(d) = 0, je c = d.
Nechť f(d) = 0. Jestliže f(a)f(d) < 0, položme a1 = a, b1 = d; jestliže f(a)f(d) > 0, položme
a1 = d, b1 = b.
Jest b1 − a1 =
b − a
2
, f(a)f(b1) < 0, f(a1)f(b) < 0, a1 ≥ a, b1 ≤ b.
Dále položme d1 =
b1 − a1
2
. Pak d1 ∈ (a1, b1) ⊆ (a, b). Pokud f(d1) = 0, je c = d1.
Nechť f(d1) = 0. Jestliže f(a1)f(d1) < 0, položme a2 = a1, b2 = d1; jestliže f(a1)f(d1) > 0, položme
a2 = d1, b2 = b1.
Jest b2 − a2 =
b − a
22
, f(a)f(b2) < 0, f(a2)f(b) < 0, a2 ≥ a1, b2 ≤ b1.
Analogicky postupujeme dále. Buď po konečném počtu kroků nalezneme dk takové, že f(dk) = 0, nebo
dostaneme dvě posloupnosti {an}, {bn} takové, že bn − an =
b − a
2n
, f(a)f(bn) < 0, f(an)f(b) < 0.
V prvním případě je c = dk. Nechť nastane druhý případ.
{an} je neklesající, ohraničená shora číslem b a tedy podle 1.3.9 existuje c1 = lim
n→∞
an ≤ b. {bn} je
nerostoucí, ohraničená zdola číslem a a tedy existuje c2 = lim
n→∞
bn ≥ a.
Platí c1 − c2 = lim
n→∞
an − lim
n→∞
bn = lim
n→∞
(an − bn) = lim
n→∞
a − b
2n
= 0, tedy c1 = c2 = c ∈ [a, b].
46
Kdyby f(a)f(c) < 0 a f(c)f(b) < 0, pak by f(a)f(c)f(c)f(b) > 0, neboli f(a)f(b) > 0, což by byl spor.
Pokud f(a)f(c) ≥ 0, pak podle 1.3.5.1 je 0 ≤ f(a) lim f(bn) = lim f(a)f(bn) ≤ 0, tedy f(a)f(c) = 0, což
je možné jen tak, že f(c) = 0.
Pokud f(c)f(b) ≥ 0, pak 0 ≤ (lim f(an))f(b) = lim f(an)f(b) ≤ 0, tedy f(c)f(b) = 0, což je možné jen
tak, že f(c) = 0.
1.7.14 Důsledek (Speciální případ Brouwerovy [1881 – 1966] věty o pevném bodě)
Buď f spojitá funkce zobrazující uzavřený interval [a, b] do sebe. Pak existuje c ∈ [a, b] takové, že f(c) = c.
D.: Platí f(a) ≥ a, f(b) ≤ b. Pokud f(a) = a, položíme c = a, pokud f(b) = b, položíme c = b.
Nechť f(a) > a, f(b) < b. Definujme funkci g předpisem g(x) = x − f(x).
Funkce g je spojitá na [a, b], g(a) < 0, g(b) > 0, takže podle 1.7.13 existuje c ∈ (a, b) takové, že
g(c) = c − f(c) = 0.
1.7.15 Věta (2. Bolzanova [1781 – 1848])
Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]. Pak na tomto intervalu nabývá všech hodnot mezi svou
největší a nejmenší hodnotou.
D.: Buďte M = max{f(x) : x ∈ [a, b]}, m = min{f(x) : x ∈ [a, b]}, p ∈ R takové, že m < p < M.
Podle 1.7.12 existují x1 ∈ [a, b], x2 ∈ [a, b] takové, že f(x1) = M, f(x2) = n.
f(x1)− p > 0, f(x2)− p < 0, tedy (f(x1)− p)(f(x2)− p) < 0. Podle 1.7.13 existuje v uzavřeném intervalu
s krajními body x1 a x2 číslo c takové, že 0 = (f − p)(c) = f(c) − p, tedy f(c) = p.
1.7.16 Důsledek
Spojitým obrazem uzavřeného intervalu je buď jednoprvková množina nebo uzavřený interval.
1.7.17 Poznámka
Nyní můžeme dokázat tvrzení uvedené za 1.5.19: Je-li a ∈ R, a > 0, a = 1, f(x) = ax
, pak ℑf = (0, ∞).
D.: Nechť a > 1. Vzhledem k 1.5.19.1 stačí ukázat, že (0, ∞) ⊆ ℑf. Buď tedy y0 ∈ (0, ∞) libovolné.
Poněvadž lim
n→∞
an
= ∞, lim
n→∞
a−n
= 0, existují n1, n2 ∈ N, že a−n1
< y0 < an2
.
Funkce f(x) = ax
je podle 1.7.10 spojitá na (−∞, ∞), je tedy spojitá na uzavřeném intervalu [−n1, n2].
Podle 1.5.19.3 je
f(−n1) = a−n1
< y0 < an2
= f(n2)
a tedy podle 1.7.15 existuje x0 ∈ [−n1, n2] takové, že f(x0) = y0. To znamená, že y0 ∈ ℑf.
Platnost tvrzení dokážeme analogicky i v případě 0 < a < 1.
1.7.18 Definice
Řekneme, že funkce f je stejnoměrně spojitá na intervalu I ⊆ Dom f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0
takové, že pro každá dvě x1, x2 ∈ I taková, že |x1 − x2| < δ platí |f(x1) − f(x2)| < ε.
1.7.19 Poznámky
1. Stejnoměrně spojitá funkce na intervalu je na tomto intervalu spojitá.
Spojitá funkce na intervalu nemusí být na tomto intervalu spojitá stejnoměrně.
2. Stejnoměrná spojitost je globální vlastnost.
47
3. Nechť funkce f je stejnoměrně spojitá na otevřeném intervalu (a, b).
Podle 1.6.6 existují lim
x→a+
f(x) ∈ R, lim
x→b−
f(x) ∈ R. Funkce ˜f zadaná předpisem
˜f(x) =



lim
x→a+
f(x), x = a
f(x), x ∈ (a, b)
lim
x→b−
f(x), x = b
je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b].
(Funkci stejnoměrně spojitou na otevřeném intervalu lze spojitě prodloužit na krajní body tohoto inter-
valu.)
4. Funkce stejnoměrně spojitá na libovolném intervalu je na tomto intervalu ohraničená.
D.: Plyne z předchozího tvrzení a 1.7.12.
1.7.20 Věta (Heine [1821 – 1881] - Cantor [1845 – 1918])
Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]. Pak je na tomto intervalu spojitá stejnoměrně.
D.: Sporem: Připusťme, že f je spojitá na [a, b] nikoliv stejnoměrně. Existuje tedy ε0 > 0 takové, že ke
každému δ > 0 existuje dvojice bodů x, y ∈ [a, b], že |x − y| < δ a zároveň |f(x) − f(y)| ≥ ε0.
Zejména tedy pro δ =
1
n
existují xn, yn ∈ [a, b], že |xn − yn| <
1
n
a |f(xn) − f(yn)| ≥ ε0.
Posloupnost {xn} je ohraničená a tedy podle 1.3.19.2 existuje posloupnost {xnk
} vybraná z {xn} taková,
že lim
k→∞
xnk
= x0 ∈ [a, b].
Dále podle 1.3.5.1 lim
k→∞
|xnk
− ynk
| ≤ lim
k→∞
1
nk
= 0, tedy lim
k→∞
|xnk
− ynk
| = 0, což znamená lim
k→∞
ynk
= x0.
Poněvadž f je spojitá v x0, je lim
k→∞
f(xnk
) = f(x0) = lim
k→∞
f(ynk
). To je spor s |f(xnk
) − f(ynk
)| ≥ ε0.
1.8 Cvičení
Určete definiční obor funkcí
1) f(x) =
x2
− 5x + 6
x2 − 5x + 4
, 2) f(x) = log sin 2x.
Rozhodněte, zda funkce je sudá nebo lichá
3) f(x) = − 3
√
x, 4) f(x) =
√
x.
Najděte nejmenší periodu funkcí
5) f(x) = sin 1
3 x, 6) f(x) = tg ax.
Najděte intervaly, na nichž jsou ryze monotonní funkce
7) f(x) = x + |x|, 8) f(x) = 21/x
.
Najděte inversní funkci k funkci
9) f(x) = 23x−1
, 10) f(x) = x + [x].
Rozhodněte, zda je posloupnost {an} ohraničená
11) an = 1 − cosn π
n , 12) an =
nn
n!
.
Rozhodněte, zda je posloupnost {an} monotonní
13) an =
n2
+ 1
n + 1
, 14) an = log n − n.
Vypočítejte limitu posloupnosti {an}
15) an =
2n2
− n + 3
3n2 + n − 5
16) an =
3n+1
+ (−5)n−1
3n + (−5)n
,
17) an =
√
n2 + 3n + 2 −
√
n2 − n + 1, 18) an =
12
n3
+
32
n3
+ · · · +
(2n − 1)2
n3
,
19) an =
1
n2
+
1
(n + 1)2
+ · · · +
1
(2n)2
, 20) an =
1
√
n
+
1
√
n + 1
+ · · · +
1
√
2n
.
48
21) Zjistěte, zda posloupnost { 1
1! + 1
2! + · · · + 1
n! } je konvergentní.
22) Najděte limes superior a inferior posloupnosti (−1)n n
√
2 + 1 +
1
2n
2n
+ n
√
2 .
Polynomy rozložte v reálném oboru
23) x4
− x3
+ 2x2
− x + 1, 24) x6
+ 1.
Racionální funkce rozložte na parciální zlomky
25)
x4
+ 6x2
+ x − 2
x4 − 2x3
, 26)
x − 1
x4 + 3x2 + 2
.
27) jaký je vztah mezi grafy funkcí f(x) = ax
a g(x) =
1
a
x
, a > 0?
Určete definiční obor funkce f, zjednodušte její vyjádření a znázorněte ji graficky
28) f(x) = logx a, 29) f(x) = arcsin(sin x).
Vypočítejte
30) lim
x→1
x2
− 1
x3 − 1
, 31) lim
x→1
xm
− 1
xn − 1
,
32) lim
x→1
3
√
x − 1
√
x − 1
, 33) lim
x→0
3
√
1 + x − 3
√
1 − x
√
1 + x −
√
1 − x
,
34) lim
x→0
sin ax
sin bx
, 35) lim
x→0
1 − cos3
x
x sin 2x
,
36) lim
x→∞
√
x2 + x + 1 −
√
x2 − 4x + 1 , 37) lim
x→−∞
√
x2 + 5x + x ,
38) lim
x→1+
x + 1
x + 3
cotg πx
, 39) lim
x→π+
sin2
x
tg x/2
.
40) Vysvětlete význam podmínky (∃ε > 0)(∀δ > 0)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε).
Najděte body nespojitosti následujících funkcí a určete jejich typ
41) f(x) =
x3
− 1
x2 − 1
, 42) f(x) = sin π
x .
Výsledky: 1) (−∞, 1) ∪ [2, 3] ∪ (4, ∞) 2) {x ∈ R : kπ < x < (2k + 1)π
2 , k ∈ Z} 3) sudá 4) ani sudá,
ani lichá 5) 6π 6) π
a 7) na [0, ∞) rostoucí 8) na (−∞, 0) a na (0, ∞) klesající 9) f−1
(y) = 1
3 (1 + log2 y) 10)
f−1
(y) = y − k pro y ∈ [2k, 2k + 1), k ∈ Z 11) ano, 0 ≤ an ≤ 2 12) ohraničená zdola an > 0 13) rostoucí
14) klesající 15) 2
3 16) −1
5 17) 2 18) 4
3 19) 0 20) ∞ 21) ano; je rostoucí a shora ohraničená 22) 2 + e, −e 23)
(x2
+ 1) x − 1
2
2
+ 3
4 24) (x2
−
√
3 x + 1)(x2
+
√
3 x + 1)(x2
+ 1) 25) 1 + 1
x3 − 3
x + 5
x−2 26) x−1
x2+1 − x−1
x2+2 27)
souměrné kolem osy y 28) Dom f = (0, 1) ∪ (1, ∞), f(x) − ln a
ln x 29) Dom f = R, f je 2-π periodické rozšíření
funkce g(x) =
x, x ∈ [−π
2 , π
2 )
π − x, x ∈ [π
2 , 3π
2 )
30) 2
3 31) m
n 32) 2
3 33) 2
3 34) a
b 35) 3
4 36) 5
2 37) −∞ 38) 0 39) ∞ 40) f je
ohraničená v R \ {x0} 41) x = 1 odstranitelná, x = −1 typu A3 42) x = 0 druhého druhu
49
50
Kapitola 2
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
2.1 Derivace
2.1.1 Definice
Nechť f je funkce a x0 ∈ R. Existuje-li vlastní limita lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
, nazýváme ji derivace funkce f v bodě
x0 a označujeme ji f′
(x0).
Je-li tato limita nevlastní, řekneme, že funkce f má v bodě x0 nevlastní derivaci.
Neexistuje-li tato limita, řekneme, že funkce f nemá derivaci v bodě x0.
2.1.2 Poznámky
1. Má-li funkce f derivaci v bodě x0, pak je v tomto bodě a nějakém jeho okolí definována. (Existuje okolí
O(x0) bodu x0 takové, že O(x0) ⊆ Dom f.) (Viz 1.6.2.1)
2. Funkce f má v libovolném bodě x0 ∈ Dom f nejvýše jednu derivaci. (Viz 1.6.7.1)
3. Derivace je definována pouze v x0 ∈ R. Nelze definovat derivaci v ∞ nebo −∞.
4. Existence a hodnota derivace f′
(x0) je lokální vlastností funkce f v bodě x0.
5. Označíme-li x = x0 + h, lze v definici 2.1.1 psát lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
místo lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
6. Lze definovat i jednostranné derivace funkce f v bodě x0:
Derivace zleva f′
−(x0) = lim
x→x0−
f(x) − f(x0)
x − x0
= lim
h→0+
f(x0) − f(x0 − h)
h
Derivace zprava f′
+(x0) = lim
x→x0+
f(x) − f(x0)
x − x0
= lim
h→0+
f(x0 + h) − f(x0)
h
.
Funkce f má v bodě x0 derivaci právě tehdy, když v něm má derivaci zprava a derivaci zleva a platí
f′
+(x0) = f′
−(x0). (Viz 1.6.12)
7. Nechť (x, y) ∈ R2
: y = f(x) vyjadřuje křivku v rovině (s kartézskými souřadnicemi). Rovnice tečny
k této křivce v bodě (x0, f(x0)) = (x0, y0) je
y − y0 = f′
(x0)(x − x0) ,
rovnice normály v témže bodě je
y − y0 = −
1
f′(x0)
(x − x0) .
51
2.1.3 Věta
Má-li funkce f v bodě x0 ∈ Dom f derivaci, je v tomto bodě spojitá.
D.: Nechť f′
(x0) existuje. Pak
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
(f(x) − f(x0) + f(x0)) = lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
(x − x0) + f(x0) =
= f′
(x0) lim
x→x0
(x − x0) + f(x0) = f′
(x0) · 0 + f(x0) = f(x0) ,
a tvrzení plyne přímo z definice 1.7.1.
2.1.4 Poznámky
1. Opačné tvrzení neplatí. Funkce spojitá v bodě x0 nemusí mít v tomto bodě derivaci.
Například pro f(x) = |x| je f′
+(x0) = lim
x→0+
|x| − |0|
x − 0
= lim
x→0+
x
x
= 1 ,
f′
−(x0) = lim
x→0−
|x| − |0|
x − 0
= lim
x→0−
−x
x
= −1 .
2. Analogicky platí: Má-li funkce f v bodě x0 ∈ Dom f derivaci zprava (resp. zleva), pak je v tomto bodě
spojitá zprava (resp. zleva).
2.1.5 Věta
Nechť funkce f, g mají derivaci v bodě x0 ∈ Dom f ∩ Dom g. Pak platí:
1. Pro každé c ∈ R je (cf)′
(x0) = cf′
(x0).
2. (f + g)′
(x0) = f′
(x0) + g′
(x0), (f − g)′
(x0) = f′
(x0) − g′
(x0).
3. (fg)′
(x0) = f′
(x0)g(x0) + f(x0)g′
(x0).
4. Je-li g(x0) = 0, pak
f
g
′
(x0) =
f′
(x0)g(x0) − f(x0)g′
(x0)
g2(x0)
.
Analogická tvrzení platí i o jednostranných derivacích.
D.:
1. lim
x→x0
cf(x) − cf(x0)
x − x0
= c lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
= cf′
(x0).
2. lim
x→x0
f(x) ± g(x) − (f(x0) ± g(x0))
x − x0
= lim
x→x0
f(x) − f(x0) ± (g(x) − g(x0))
x − x0
= f′
(x0) ± g′
(x0).
3. lim
x→x0
f(x)g(x) − f(x0)g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
f(x)g(x) − f(x0)g(x) + f(x0)g(x) − f(x0)g(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
g(x) + f(x0)
g(x) − g(x0)
x − x0
= f′
(x0)g(x0) + f(x0)g′
(x0).
(Poslední rovnost platí, poněvadž podle 2.1.3 je lim
x→x0
g(x) = g(x0).)
4.
1
g
′
(x0) = lim
x→x0
1
g(x) − 1
g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
g(x0) − g(x)
x − x0
1
g(x)g(x0)
= −
g′
(x0)
g2(x0)
.
Dokazovaný vztah nyní plyne z předchozího.
Tvrzení věty lze stručně zapsat:
(cu)′
= cu′
, (u ± v)′
= u′
± v′
, (uv)′
= u′
v + uv′
,
u
v
′
=
u′
v − uv′
v2
.
52
Matematickou indukcí lze tvrzení zobecnit:
(c1f1 + c2f2 + · · · + cnfn)′
(x0) = c1f′
1(x0) + c2f′
2(x0) + · · · + cnf′
n(x0),
(f1f2f3 · · · fn−1fn)
′
(x0) = f′
1(x0)f2(x0)f3(x0) · · · fn−1(x0)fn(x0) +
+f1(x0)f′
2(x0)f3(x0) · · · fn−1(x0)fn(x0) + · · · +
+f1(x0)f2(x0)f3(x0) · · · fn−1(x0)f′
n(x0).
2.1.6 Věta (o derivaci složené funkce)
Nechť funkce f má derivaci v bodě u0 ∈ R a nechť funkce ϕ má derivaci v bodě x0 ∈ R takovém, že ϕ(x0) = u0.
Pak složená funkce F : x → f(ϕ(x)) má derivaci v bodě x0 a platí F′
(x0) = f′
(u0)ϕ′
(x0) = f′
(ϕ(x0))ϕ′
(x0).
D.:
F(x) − F(x0)
x − x0
=
f(ϕ(x)) − f(ϕ(x0))
ϕ(x) − ϕ(x0)
ϕ(x) − ϕ(x0)
x − x0
.
Jestliže existuje ryzí O(x0) takové, že ϕ(x) = ϕ(x0) pro každé x ∈ O(x0), pak podle 1.6.8 je
F′
(x0) = lim
x→x0
F(x) − F(x0)
x − x0
= lim
u→u0
f(u) − f(u0)
u − u0
lim
x→x0
ϕ(x) − ϕ(x0)
x − x0
= f′
(u0)ϕ′
(x0) .
Nechť v každém ryzím O(x0) \ {x0} existují body x takové, pro něž ϕ(x) = ϕ(x0). Ukážeme, že pak
ϕ′
(x0) = 0 a také F′
(x0) = 0, tedy že platí dokazovaný vztah.
Buď {xn} taková, že ϕ(xn) = ϕ(x0), xn = x0, xn → x0. Pak podle 1.6.4
ϕ′
(x0) = lim
x→x0
ϕ(x) − ϕ(x0)
x − x0
= lim
n→∞
ϕ(xn) − ϕ(x0)
xn − x0
= 0.
Buď nyní {xn} libovolná taková, že xn = x0, xn → x0. Označme
A = {n ∈ N : ϕ(xn) = ϕ(x0)} , B = {n ∈ N : ϕ(xn) = ϕ(x0)} .
Pro n ∈ A jest
F(xn) − F(x0)
xn − x0
=
f(ϕ(xn)) − f(ϕ(x0))
xn − x0
= 0.
Je-li B konečná, existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je n ∈ A, tedy pro n ≥ n0 je
F(xn) − F(x0)
xn − x0
= 0, což
znamená, že lim
n→∞
F(xn) − F(x0)
xn − x0
= 0.
Je-li B nekonečná, existuje vybraná posloupnost {xnk
}∞
k=1 ⊆ B. Dále
lim
k→∞
F(xnk
) − F(x0)
xnk
− x0
= lim
k→∞
f(ϕ(xnk
)) − f(ϕ(x0))
ϕ(xnk
) − ϕ(x0)
ϕ(xnk
) − ϕ(x0)
xnk
− x0
=
= f′
(ϕ(x0)) lim
k→∞
ϕ(xnk
) − ϕ(x0)
xnk
− x0
= 0,
neboť lim
k→∞
ϕ(xnk
) = ϕ(x0), jelikož ϕ je spojitá v x0. Z 1.6.4 plyne F′
(x0) = 0.
2.1.7 Věta (o derivaci inversní funkce)
Nechť funkce f je ryze monotonní a spojitá na intervalu J. Nechť y0 je vnitřní bod intervalu J a nechť funkce
f má v tomto bodě derivaci f′
(y0) = 0. Pak funkce f−1
inversní k funkci f má derivaci v bodě x0 = f(y0) a
platí (f−1
)′
(x0) =
1
f′(y0)
.
D.: Poněvadž f je ryze monotonní, pro x = x0 platí y = f−1
(x) = f−1
(x0) = y0. Tedy podle 1.6.8 platí:
lim
x→x0
f−1
(x) − f−1
(x0)
x − x0
= lim
x→x0
1
x − x0
f−1(x) − f−1(x0)
= lim
x→x0
1
f(f−1
(x)) − f(f−1
(x0))
f−1(x) − f−1(x0)
=
= lim
y→y0
1
f(y) − f(y0)
y − y0
=
1
f′(y0)
.
(Předposlední rovnost plyne ze spojitosti funkce f.)
53
2.1.8 Definice
Buď M ⊆ Dom f množina bodů, v nichž má funkce f derivaci. Pak zobrazení x0 → f′
(x0) je funkcí s definičním
oborem M. Tato funkce se nazývá derivace funkce f a označuje se f′
.
2.1.9 Přehled vzorců pro derivaci
(1) pro každé c ∈ R je c′
= 0 (11) (arcsin x)′
=
1
√
1 − x2
(2) (xa
)′
= axa−1
(12) (arccosx)′
= −
1
√
1 − x2
(3) (ex
)′
= ex
(13) (arctg x)′
=
1
1 + x2
(4) (ax
)′
= ax
ln a (14) (arccotg x)′
= −
1
1 + x2
(5) (ln x)′
=
1
x
(15) (cu)′
= cu′
(6) (loga x)′
=
1
x ln a
(16) (u ± v)′
= u′
± v′
(7) (sin x)′
= cos x (17) (uv)′
= u′
v + uv′
(8) (cos x)′
= − sin x (18)
u
v
′
=
u′
v − uv′
v2
(9) (tg x)′
=
1
cos2 x
(19) (uv
)
′
= uv
v′
ln u + v
u′
u
(10) (cotg x)′
= −
1
sin2
x
(20) (f(ϕ(x))′
= f′
(ϕ(x))ϕ′
(x)
D.:
(1) lim
x→x0
c − c
x − x0
= 0.
(3) lim
h→0
ex0+h
− ex0
h
= ex0
lim
h→0
eh
− 1
h
a vzorec plyne z 1.6.14.
(5) Podle 2.1.7 je (ln x)′
=
1
ey
=
1
eln x
=
1
x
.
(2) S využitím 2.1.6 dostaneme (xa
)′
= (ea ln x
)′
= ea ln x
(a ln x)′
= xa a
x
= axa−1
.
(4) (ax
)′
= (ex ln a
)′
= ex ln a
(x ln a)′
= ax
(x)′
ln a = ax
ln a.
(6) (loga x)′
=
ln x
ln a
′
=
1
ln a
(ln x)′
=
1
x ln a
.
(7) S využitím 1.6.9.9 dostaneme
lim
h→0
sin(x + h) − sin x
h
= lim
h→0
sin x cos h + cos x sin h − sin x
h
=
= sin x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cosx lim
h→0
sin h
h
= sin x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x.
Dále lim
h→0
cos h − 1
h
= lim
h→0
cos2
h − 1
h(cos h + 1)
= lim
h→0
− sin2
h
h(cos h + 1)
= − lim
h→0
sin h
h
lim
h→0
sin h
cos h + 1
= 1 · 0 = 0.
(8) (cos x)′
= (sin(x + π
2 ))′
= cos(x + π
2 ) · 1 = − sin x.
(9) (tg x)′
=
sin x
cos x
′
=
cos2
x + sin2
x
cos2 x
=
1
cos2 x
.
(10) (cotg x)′
=
cos x
sin x
′
=
− sin2
x − cos2
x
sin2
x
= −
1
sin2
x
.
54
(11) Podle 2.1.7 je (arcsin x)′
=
1
(sin y)′
=
1
cos y
=
1
1 − sin2
y
=
1
√
1 − x2
.
(12) Podle 2.1.7 je (arccosx)′
=
1
(cos y)′
= −
1
sin y
= −
1
1 − cos2 y
= −
1
√
1 − x2
.
(13) Podle 2.1.7 je (arctg x)′
=
1
(tg y)′
=
1
1
cos2 y
=
1
sin2 y+cos2 y
cos2 y
=
1
tg2
y + 1
=
1
x2 + 1
.
(14) Podle 2.1.7 je (arccotg x)′
=
1
(cotg y)′
=
1
− 1
sin2 y
=
1
− sin2 y−cos2 y
cos2 y
= −
1
x2 + 1
.
(15)-(18) 2.1.5
(19) (uv
)′
= ev ln u ′
= ev ln u
v′
ln u + v
u′
u
= uv
v′
ln u + v
u′
u
.
(20) 2.1.6
2.1.10 Příklady
1. y = arccos
ax2
+ 1
bx2 + 1
, a, b ∈ R, 0 < a < b.
y′
= −
1
1 −
ax2
+ 1
bx2 + 1
1
2
bx2
+ 1
ax2 + 1
2ax(bx2
+ 1) − 2bx(ax2
+ 1)
(bx2 + 1)2
=
= −
(bx2
+ 1)(abx3
+ ax − abx3
− bx)
√
bx2 − ax2
√
ax2 + 1 (bx2 + 1)2
= −
(a − b)x
|x|
√
b − a
√
ax2 + 1 (bx2 + 1)
=
= sgn x
√
b − a
√
ax2 + 1 (bx2 + 1)
.
2. y = x
√
x = x
1
x = e
1
x ln x
.
y′
= x
√
x −
1
x2
ln x +
1
x
·
1
x
=
x
√
x
x2
(1 − ln x)
3. Napište rovnici tečny a normály k hyperbole xy = 1 v bodě A = (1
2 , 2).
y =
1
x
, y′
= −
1
x2
, y′
(1
2 ) = −4.
tečna: y − 2 = −4(x − 1
2 )
2y − 4 = −8x + 4
4x + y − 4 = 0
normála: y − 2 = 1
4 (x − 1
2 )
8y − 16 = 2x − 1
2x − 8y + 15 = 0
4. y = 3
√
x, x0 = 0.
y′
= 1
3
1
3
√
x2
pro x = 0, lim
x→0
1
3
1
3
√
x2
= ∞, derivace v bodě 0 je nevlastní.
5. y =
3
√
x2, x0 = 0.
y′
= 2
3
1
3
√
x
, y′
+(0) = lim
x→0+
2
3
1
3
√
x
= +∞
y′
−(0) = lim
x→0−
2
3
1
3
√
x
= −∞
Funkce tedy nemá v bodě 0 derivaci ani nevlastní derivaci.
6. y = sgn x, x0 = 0
(sgn x)′
x=0 = lim
x→0
sgn x − sgn 0
x − 0
= lim
x→0
sgn x
x
= ∞
Pro nevlastní derivaci neplatí tvrzení věty 2.1.3. (Proto také nevlastní derivaci nepovažujeme za derivaci.)
55
2.2 Derivace vyšších řádů, diferenciál
2.2.1 Definice
Buď f funkce, která má derivaci na množině M1 ⊆ Dom f a buď x0 ∈ M1. Má-li funkce f′
derivaci v bodě x0,
nazýváme tuto derivaci druhou derivací funkce f v bodě x0 a značíme ji f′′
(x0).
Obecně: Buď f funkce, která má na množině Mn−1 ⊆ Dom f (n − 1)-tou derivaci f(n−1)
a buď x0 ∈ Mn−1.
Má-li funkce f(n−1)
derivaci v bodě x0, nazýváme tuto derivaci n-tou derivací funkce f v bodě x0 a značíme ji
f(n)
(x0).
2.2.2 Vzorce pro n-tou derivaci
(1) (xa
)
(n)
= a(a − 1) · · · (a − n + 1)xa−n
(2) (ex
)
(n)
= ex
(3) (ax
)
(n)
= ax
lnn
a (4) (ln x)(n)
= (−1)n−1 (n − 1)!
xn
(5) (sin x)(n)
= sin x + nπ
2 (6) (cos x)(n)
= cos x + nπ
2
(7) (uv)(n)
=
n
0
u(n)
v +
n
1
u(n−1)
v′
+ · · · +
n
n − 1
u′
v(n−1)
+
n
n
uv(n)
=
=
n
i=0
n
i
u(n−i)
v(i)
(Leibnizova formule)
D.: Ve všech případech matematickou indukcí. První krok indukce vždy bezprostředně plyne z 2.1.9. Ukážeme
indukční krok.
(1) (xa
)(n)
= (xa
)(n−1) ′
= a(a − 1) · · · (a − n + 2)xa−n+1 ′
= a(a − 1) · · · (a − n + 2) xa−n+1 ′
=
= a(a − 1) · · · (a − n + 2)(a − n + 1)xa−n
(2) (ex
)(n)
= (ex
)(n−1) ′
= (ex
)′
= ex
(3) (ax
)
(n)
= (ax
)(n−1) ′
= ax
lnn−1
a
′
= (ax
)′
lnn−1
a = (ax
ln a) lnn−1
a = ax
lnn
a
(4) (ln x)(n)
= (ln x)(n−1) ′
= (−1)n−2 (n − 2)!
xn−1
′
= (−1)n−2
(n − 2)!
(−n + 1)
xn
= (−1)n−1 (n − 1)!
xn
(5) (sin x)(n)
= (sin x)(n−1) ′
= sin x + (n − 1)π
2
′
= cos x + (n − 1)π
2 = sin x + nπ
2
(6) Analogicky jako (5)
(7) (uv)(n)
= (uv)(n−1) ′
=
n−1
i=0
n − 1
i
u(n−1−i)
v(i)
′
=
=
n−1
i=0
n − 1
i
u(n−i)
v(i)
+ u(n−1−i)
v(i+1)
=
=
n−1
i=0
n − 1
i
u(n−i)
v(i)
+
n
i=1
n − 1
i − 1
u(n−i)
v(i)
=
=
n − 1
0
u(n)
v +
n−1
i=1
n − 1
i
+
n − 1
i − 1
u(n−i)
v(i)
+
n − 1
n − 1
uv(n)
=
= u(n)
v +
n−1
i=1
n
i
u(n−i)
v(i)
+ uv(n)
=
n
i=0
n
i
u(n−i)
v(i)
2.2.3 Definice
Buď f funkce definovaná v nějakém okolí bodu x0 ∈ R. Řekneme, že tato funkce je diferencovatelná v bodě x0,
jestliže existuje δ ∈ R, δ > 0 takové, že (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ Dom f, a existuje funkce τ : (x0 − δ, x0 + δ) → R
56
taková, že lim
h→0
τ(h) = 0 a existuje a ∈ R takové, že pro h ∈ R, |h| < δ je f(x0 + h) − f(x0) = ah + hτ(h).
V tomto případě se lineární funkce h → ah nazývá diferenciál funkce f v bodě x0 a značí se df(x0).
2.2.4 Poznámky
1. Vyjádření f(x0 + h) − f(x0) = ah + hτ(h) je možné při libovolném a ∈ R. Stačí položit
τ(h) =
f(x0 + h) − f(x0) − ah
h
.
Podstatné je však volit a tak, aby lim
h→0
τ(h) = 0.
2. Rozdíl f(x0 +h)−f(x0) se nazývá přírůstek funkce f v bodě x0 při přírůstku h nezávisle proměnné a značí
se ∆f(x0)(h), stručně ∆f(x0).
Pro diferencovatelnou funkci platí ∆f(x0)(h) = df(x0)(h) + hτ(h).
2.2.5 Věta
Funkce f je diferencovatelná v bodě x0 ∈ R právě tehdy, když má v tomto bodě derivaci. V tomto případě
a = f′
(x0).
D.:
⇒: f′
(x0) = lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
= lim
h→0
(a + τ(h)) = a + lim
h→0
τ(h) = a.
⇐: Nechť f má derivaci v bodě x0. Položme a = f′
(x0), τ(h) =
f(x0 + h) − f(x0) − f′
(x0)h
h
. Pak
lim
h→0
τ(h) = lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
− f′
(x0) = f′
(x0) − f′
(x0) = 0.
Platí tedy df(x0)(h) = f′
(x0) · h,
df(x0)(h)
h
= f′
(x0); stručně
df(x0)
h
= f′
(x0)
Z tohoto vyjádření plyne geometrická interpretace diferenciálu: Diferenciál je přírůstek funkce naměřený na
tečně, tedy ∆f(x0) ≈ df(x0). Toho lze využít k přibližnému výpočtu funkčních hodnot.
Například: Výpočet
√
4.02. f(x) =
√
x, x0 = 4, h = 0.02, f(x0) =
√
4 = 2
f′
(x) =
1
2
√
x
, f′
(4) =
1
2
√
4
= 1
4 , df(4) = f′
(4) · h = 0.02
4 = 0.005
f(x0 +h) = f(x0)+∆f(x0) ≈ f(x0)+df(x0) = 2+0.005 = 2.005
(Přesná hodnota je 2.00499)
Je-li f(x) = x, pak f′
(x0) = 1 pro každé x0 ∈ R, df(x0)(h) = h, stručně dx = h. Lze tedy psát
df(x0) = f′
(x0)dx, neboli f′
(x0) =
df(x0)
dx
, stručně f′
=
df
dx
. Je-li y = f(x), lze psát y′
=
dy
dx
.
Za použití této symboliky dostanou názorný tvar vzorce pro
• derivaci složené funkce:
df
dx
=
df
dϕ
dϕ
dx
.
• derivaci inversní funkce:
df−1
dy
=
1
df
dx
=
dx
df
, neboli
dx
dy
=
1
dy
dx
.
2.2.6 Poznámka — zavedení diferenciálů vyšších řádů
Nechť funkce f má v bodě x0 n-tou derivaci f(n)
(x0), n ≥ 1. n-tý diferenciál (diferenciál n-tého řádu) definujeme
jako zobrazení dn
f(x0) : h → f(n)
(x0) · hn
, symbolicky dn
f(x0) = f(n)
(x0)dxn
.
Za použití této symboliky lze n-tou derivaci zapsat f(n)
(x) =
dn
f(x)
dxn
=
dn
y
dxn
.
57
2.3 Obecné věty o derivaci
2.3.1 Věta (Rolle [1652 – 1719])
Nechť funkce f splňuje předpoklady:
(i) je spojitá na [a, b],
(ii) v každém bodě intervalu (a, b) má vlastní nebo nevlastní derivaci,
(iii) f(a) = f(b).
Pak existuje c ∈ (a, b) takové, že platí f′
(c) = 0.
D.: Je-li f konstantní, lze podle 2.1.9.1 za c vzít libovolný bod z (a, b).
Nechť f není konstantní. Podle 1.7.12 existuje c ∈ (a, b) takové, že f(c) = max{f(x) : x ∈ [a, b]}.
Nechť nejprve f(c) > f(a) = f(b).
Podle (ii) existuje f′
(c) ∈ R∗
. Připusťme f′
(c) > 0, tedy lim
x→c
f(x) − f(c)
x − c
> 0.
Existuje ryzí okolí O(c) \ {c} takové, že pro x ∈ O(c) \ {c} je
f(x) − f(c)
x − c
> 0.
Zvolme x1 ∈ [a, b] ∩ (O(c) \ {c}), x1 > c. Pak x1 − c > 0, f(x1) − f(c) ≤ 0, tedy
f(x) − f(c)
x − c
≤ 0, což je
spor.
Analogicky vyloučíme možnost f′
(c) < 0. Je tedy f′
(c) = 0.
Pokud f(a) = f(b) = max{f(x) : x ∈ [a, b]}, položíme c = min{f(x) : x ∈ [a, b]} a provedeme analogické
úvahy.
Z důkazu plyne, že za c lze volit bod, v němž nabývá funkce f své extrémní hodnoty. Neplyne z něho, že
jiné body s vlastností f′
(c) = 0 neexistují.
Všechny tři předpoklady věty jsou podstatné.
2.3.2 Důsledek
Buď f funkce spojitá na intervalu J, která má na tomto intervalu n-tou derivaci. Má-li f na J n kořenů (t.j.
existují x0, x1, . . . , xn ∈ J, že f(x0) = f(x1) = · · · = f(xn) = 0), pak existuje c ∈ J takové, že f(n)
(c) = 0.
D.: Volme označení tak, že x0 < x1 < · · · < xn.
Na intervalech [xi, xi+1] ⊆ J, i = 0, 1, 2, . . ., n − 1 splňuje f předpoklady Rolleovy věty. Existují tedy
c1
i ∈ (xi, xi+1) ⊆ J, i = 0, 1, 2, . . ., n − 1 taková, že f′
(c1
i ) = 0.
Na intervalech [c1
i , c1
i+1] ⊆ J, i = 0, 1, 2, . . ., n − 2 splňuje f′
předpoklady Rolleovy věty. Existují tedy
c2
i ∈ (c1
i , c1
i+1) ⊆ J, i = 0, 1, 2, . . ., n − 2 taková, že f′′
(c2
i ) = 0.
Analogicky postupujeme dále.
V n − 1-ním kroku ukážeme, že existují cn−1
0 , cn−1
1 ∈ J taková, že f(n−1)
(cn−1
0 ) = f(n−1)
(cn−1
1 ) = 0.
Na intervalu [cn−1
0 , cn−1
1 ] splňuje tedy f(n−1)
předpoklady Rolleovy věty a tedy existuje
c ∈ (cn−1
0 , cn−1
1 ) ⊆ J takové, že f(n)
(c) = 0.
2.3.3 Věta (Lagrange [1736 – 1813], 1. věta o střední hodnotě, věta o přírůstku
funkce)
Nechť funkce f splňuje předpoklady:
(i) je spojitá na [a, b],
(ii) v každém bodě intervalu (a, b) má vlastní nebo nevlastní derivaci.
Pak existuje c ∈ (a, b) takové, že platí f′
(c) =
f(b) − f(a)
b − a
.
58
D.: Položme F(x) = (b − a)f(x) − (f(b) − f(a))x. Funkce F splňuje předpoklady 2.3.1:
(i): plyne z 1.7.6
(ii): plyne z 2.1.9(2) a 2.1.5.
(iii): F(a) = (b − a)f(a) − (f(b) − f(a))a = f(a)(b − a + a) − f(b)a = bf(a) − af(b)
F(b) = (b − a)f(b) − (f(b) − f(a))b = f(b)(b − a − b) + f(a)b = bf(a) − af(b)
Existuje tedy c ∈ (a, b), že F′
(c) = 0.
F′
(x) = (b− a)f′
(x)− (f(b)− f(a)), 0 = F′
(c) = (b− a)f′
(c)− (f(b)− f(a)), z čehož f′
(c) =
f(b) − f(a)
b − a
.
2.3.4 Důsledky
1. Splňuje-li funkce f na intervalu [a, b] předpoklady 2.3.3, pak pro libovolná x1, x2 ∈ [a, b], x1 = x2 existuje
ξ mezi x1 a x2 tak, že platí f′
(ξ) =
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
, neboli f(x2) − f(x1) = f′
(ξ)(x2 − x1).
f(x2) − f(x1) — přírůstek funkce f mezi body x1, x2. Odtud je odvozen jeden z názvů věty.
2. Nechť funkce f je spojitá na [a, b] a nechť pro každé x ∈ (a, b) je f′
(x) = 0. Pak je f konstatntní na [a, b].
D.: Buďte x1, x2 ∈ [a, b] libovolné. Pak podle předchozího f(x2) = f′
(ξ)(x2 − x1) + f(x1) = f(x1).
3. Nechť funkce f, g jsou spojité na [a, b]. Mají-li f, g vlastní nebo nevlastní derivaci na [a, b] a platí-li
f′
(x) = g′
(x) pro každé x ∈ (a, b), pak existuje c ∈ R taková konstanta, že f(x) = g(x) + c identicky na
[a, b].
D.: Položme h(x) = f(x) − g(x). Pak h′
(x) = f′
(x) − g′
(x) = 0 a podle předchozího h(x) = c.
2.3.5 Věta (Cauchy [1789 – 1857], 2. věta o střední hodnotě, věta o podílu přírůstků
funkce)
Nechť funkce f, g splňují předpoklady:
(i) jsou spojité na [a, b],
(ii) v každém bodě intervalu (a, b) existuje vlastní nebo nevlastní derivace f′
(x) a vlastní derivace g′
(x) = 0.
Pak existuje c ∈ (a, b) takové, že platí
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f′
(c)
g′(c)
.
D.: g splňuje předpoklady 2.3.3, existuje tedy d ∈ (a, b) takové, že
g(b) − g(a)
b − a
= g′
(d) = 0, z čehož plyne
g(b) − g(a) = 0, takže zlomek na levé straně tvrzení věty má smysl.
Položme F(x) = (g(b)− g(a))f(x)− (f(b)− f(a))g(x). Přímo ověříme, že tato funkce splňuje předpoklady
2.3.1. Existuje tedy c ∈ (a, b) takové, že F′
(c) = 0.
Tedy 0 = (g(b) − g(a))f′
(c) − (f(b) − f(a))g′
(c), z čehož plyne tvrzení.
x = g(t)
y = f(t)
t ∈ [a, b] — parametrické vyjádření nějaké křivky.
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
— směrnice sečny, vedené body A = (g(a), f(a)), B = (g(b), f(b)).
y = f(g−1
(x)), y′
=
f′
(g−1
(x))
g′(t)
=
f′
(t)
g′(t)
, tedy
f′
(c)
g′(c)
je směrnice tečny v bodě C = (g(c), f(c)).
Z důkazu Lagrangeovy věty je vidět, že Lagrangeova věta je důsledkem Rolleovy věty. Z důkazu Cauchyovy
věty je vidět, že Cauchyova věta je důsledkem současně Rolleovy a Lagrangeovy věty. Bezprostředně je ale vidět,
že Lagrangeova věta je důsledkem Cauchyovy věty a Rolleova věta je důsledkem Lagrangeovy věty. Všechny tři
věty jsou tedy ekvivalentní.
59
2.3.6 Věta (Johann Bernoulli [1667 – 1748], de l’Hospitalovo pravidlo [1696])
Nechť f, g jsou funkce, x0 ∈ R∗
a nechť lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0 nebo lim
x→x0
|g(x)| = ∞.
Existuje-li lim
x→x0
f′
(x)
g′(x)
∈ R∗
, existuje i lim
x→x0
f(x)
g(x)
a platí lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f′
(x)
g′(x)
.
Stejné tvrzení platí i pro jednostranné limity.
Je-li lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0 a funkce
f′
g′
je spojitá v bodě x0 ∈ R, důkaz je snadný:
lim
x→x0
f′
(x)
g′(x)
=
f′
(x0)
g′(x0)
=
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
lim
x→x0
g(x) − g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
f(x) − f(x0)
g(x) − g(x0)
= lim
x→x0
f(x) − 0
g(x) − 0
= lim
x→x0
f(x)
g(x)
.
Důkazy de l’Hospitalova pravidla v ostatních případech lze nalézt v literatuře.
Poznámka: Jestliže lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0 nebo lim
x→x0
|g(x)| = ∞ a lim
x→x0
f′
(x)
g′(x)
neexistuje, nelze z toho
usuzovat nic o existenci a hodnotě lim
x→x0
f(x)
g(x)
.
Například lim
x→∞
x − sin x
x − cos x
= lim
x→∞
1 − sin x
x
1 − cos x
x
=
1 − 0
1 − 0
= 1, ale lim
x→∞
(x − sin x)′
(x − cos x)′
= lim
x→∞
1 − cos x
1 + sin x
neexistuje.
2.3.7 Zobecnění:
Nechť n ∈ N a nechť pro k ∈ {1, 2, . . ., n − 1} platí lim
x→x0
f(k)
(x) = lim
x→x0
g(k)
(x) = 0 nebo lim
x→x0
|g(k)
(x)| = ∞.
Existuje-li lim
x→x0
f(n)
(x)
g(n)(x)
, existuje i lim
x→x0
f(x)
g(x)
a obě limity jsou shodné.
Jinými slovy: de l’Hospitalovo pravidlo lze používat opakovaně
2.3.8 Poznámka o neurčitých výrazech
Nechť f, g jsou funkce, x0 ∈ R∗
takové, že lim
x→x0
f(x) = a ∈ R∗
, lim
x→x0
g(x) = b ∈ R∗
.
1. a = b = 0, typ 0
0 : lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f′
(x)
g′(x)
.
2. a = ±∞, b = ±∞, typ ∞
∞ : lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f′
(x)
g′(x)
.
3. a = 0, b = ±∞, typ 0 · ∞: lim
x→x0
f(x)g(x) = lim
x→x0
f(x)
1
g(x)
= lim
x→x0
g(x)
1
f(x)
, což je některý z předchozích typů.
4. a = b = ±∞, typ ∞ − ∞: lim
x→x0
(f(x) − g(x)) = lim
x→x0
1
g(x) − 1
f(x)
1
f(x)g(x)
, což je typ 0
0 .
5. a = b = 0, typ 00
: f(x)g(x)
= eg(x) ln f(x)
, lim
x→x0
f(x)g(x)
= e
lim
x→x0
g(x) ln f(x)
, což je typ 0 · ∞.
6. a = ∞, b = 0, typ ∞0
: lim
x→x0
f(x)g(x)
= e
lim
x→x0
g(x) ln f(x)
, což je typ 0 · ∞.
7. a = 1, b = ∞, typ 1∞
: lim
x→x0
f(x)g(x)
= e
lim
x→x0
g(x) ln f(x)
, což je typ ∞ · 0.
60
2.4 Taylorův vzorec
2.4.1 Označení
Buďte f, g funkce, x0 ∈ R∗
.
Symbol f(x) = O(g(x)), x → x0, stručněji f = O(g), x → x0 značí: existuje okolí O(x0) ⊆ Dom f ∩ Dom g
bodu x0 a konstanta k ∈ R tak, že pro všechna x ∈ O(x0) platí |f(x)| ≤ k |g(x)|. Někdy se v takovém případě
říká, že funkce f je malá řádu g.
Symbol f(x) = o(g(x)), x → x0, stručněji f = o(g), x → x0 značí lim
x→x0
f(x)
g(x)
= 0. Někdy se v takovém
případě říká, že funkce f je nekonečně malá řádu g.
2.4.2 Definice
Buďte f, g spojité funkce, x0 ∈ Dom f ∩ Dom g, n ∈ N ∪ {0}. Řekneme, že funkce f, g mají v bodě x0 styk
řádu alespoň n, jestliže lim
x→x0
f(x) − g(x)
(x − x0)n
= 0.
Funkce f, g mají v bodě x0 styk řádu alespoň n, pokud f(x) − g(x) = o ((x − x0)n
) , x → x0.
Poznámka: Je-li rovinná křivka grafem funkce f, která má v x0 ∈ Dom f derivaci a funkce g je dána
předpisem g(x) = f(x0) + f′
(x0)(x − x0), pak funkce f a g mají v bodě x0 styk řádu alespoň 1. (Tečna ke grafu
funkce má s grafem funkce styk řádu alespoň 1.)
D.: lim
x→x0
f(x) − g(x)
x − x0
= lim
x→x0
f(x) − f(x0) − f′
(x0)(x − x0)
x − x0
= lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
− f′
(x0) = 0
2.4.3 Věta
Nechť n ∈ N a funkce f, g mají v bodě x0 ∈ Dom f ∩ Dom g spojitou n-tou derivaci. Funkce f a g mají v bodě
x0 styk řádu alespoň n právě tehdy, když platí
f(x0) = g(x0), f′
(x0) = g′
(x0), f′′
(x0) = g′′
(x0), · · · , f(n)
(x0) = g(n)
(x0).
D.: V obou částech důkazu budeme používat označení F(x) = f(x)−g(x), Gk(x) = (x−x0)k
pro k ∈ N∪{0}.
Poněvadž existuje F(n)
(x0), existují na jistém okolí bodu x0 i F(k)
pro k ∈ {0, 1, 2, · · · , n − 1} a jsou to
podle 2.1.3 funkce spojité v bodě x0.
Podle 2.2.2.1 je G
(l)
k (x) = k(k − 1) · · · (k − l + 1)(x − x0)k−l
. Všechny funkce G
(l)
k jsou v bodě x0 spojité a
platí G
(l)
k (x0) =
0, l = k
k!, l = k
.
⇐: Nechť F(x0) = F′
(x0) = F′′
(x0) = · · · = F(n)
(x0) = 0. Pak s využitím 2.3.7 platí
0 =
F(n)
(x0)
n!
=
F(n)
(x0)
G
(n)
n (x0)
= lim
x→x0
F(n)
(x)
G
(n)
n (x)
= lim
x→x0
F(x)
Gn(x)
= lim
x→x0
F(x)
(x − x0)n
.
⇒: Nechť lim
x→x0
F(x)
(x − x0)n
= 0.
Kdyby existovalo k ∈ {1, 2, . . ., n} takové, že F(x0) = F′
(x0) = F′′
(x0) = · · · = F(k−1)
(x0) = 0 a
F(k)
(x0) = 0, pak by s využitím 2.3.7 platilo
0 =
F(k)
(x0)
k!
=
F(k)
(x0)
G
(k)
k (x0)
= lim
x→x0
F(k)
(x)
G
(k)
k (x)
= lim
x→x0
F(x)
Gk(x)
= lim
x→x0
F(x)
(x − x0)k
=
= lim
x→x0
F(x)
(x − x0)n
(x − x0)n−k
= 0,
což by byl spor.
61
2.4.4 Definice
Buďf funkce, a ∈ Dom f. Nechť funkce f má v bodě a derivace až do n-té včetně. Polynom
Tn,f,a(x) = Tn(x) = f(a) +
f′
(a)
1!
(x − a) +
f′′
(a)
2!
(x − a)2
+ · · · +
f(n)
(a)
n!
(x − a)n
=
n
k=0
f(k)
(a)
k!
(x − a)k
se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě a (se středem a).
Je-li a = 0, nazývá se tento polynom Maclaurinův.
2.4.5 Věta
Pro Taylorův polynom platí
Tn(a) = f(a), T ′
n(a) = f′
(a), T ′′
n (a) = f′′
(a), · · · , T (n)
n (a) = f(n)
(a) .
D.: Tn(a) = f(a) +
f′
(a)
1!
(a − a) +
f′′
(a)
2!
(a − a)2
+ · · · +
f(n)
(a)
n!
(a − a)n
= f(a)
T ′
n(x) =
f′
(a)
1!
+
f′′
(a)
2!
2(x − a) + · · · +
f(n)
(a)
n!
n(x − a)n−1
; T ′
n(a) = f′
(a)
T ′′
n (x) =
f′′
(a)
2!
2 +
f′′′
(a)
3!
3 · 2 · (x − a) + · · · +
f(n)
(a)
n!
n(n − 1)(x − a)n−2
; T ′′
n (a) = f′′
(a)
...
T
(n)
n (x) =
f(n)
(a)
n!
n(n − 1) · · · 2; T
(n)
n (a) = f(n)
(a)
Z vět 2.4.3 a 2.4.5 bezprostředně plyne
2.4.6 Důsledek
Nechť funkce f má v bodě a ∈ Dom f n-tou derivaci a nechť Tn,f,a je Taylorův polynom stupně n funkce f
v bodě a. Pak funkce f a Tn,f,a mají v bodě x0 styk řádu alespoň n.
2.4.7 Příklad (Maclaurinovy polynomy některých elementárních funkcí
1. f(x) = ex
f(x) = f′
(x) = f′′
(x) = · · · = f(n)
(x) = ex
, tedy f(0) = f′
(0) = f′′
(0) = · · · = f(n)
(0) = 1
Tn(x) = 1 +
x
1!
+
x2
2!
+ · · · +
xn
n!
=
n
k=0
xk
k!
2. f(x) = sin x
f(0) = 0, f′
(0) = cos 0 = 1, f′′
(0) = − sin 0 = 0, f′′′
(0) = − cos 0 = −1, f′′′′
(0) = sin 0 = 0, . . . ,
f(2n−1)
(0) = (−1)n−1
, f2n
(0) = 0
T2n−1(x) = T2n(x) = x −
x3
3!
+
x5
5!
− · · · + (−1)n−1 x2n−1
(2n − 1)!
=
n
k=1
(−1)k−1 x2k−1
(2k − 1)!
3. f(x) = cos x
f(0) = 1, f′
(0) = − sin 0 = 0, f′′
(0) = − cos0 = −1, f′′′
(0) = sin 0 = 0, f′′′′
(0) = cos 0 = 1, . . . ,
f(2n)
(0) = (−1)n
, f2n+1
(0) = 0
T2n(x) = T2n+1(x) = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
− · · · + (−1)n x2n
(2n)!
=
n
k=0
(−1)k x2k
(2k)!
4. f(x) = ln(1 + x)
f(0) = 0,
Podle 2.2.2.4 je f(k)
(x) = (−1)k−1 (k − 1)!
(1 + x)k
, a tedy f(k)
(0) = (−1)k−1
(k − 1)!.
Tn(x) = x −
x2
2
+
x3
3
−
x4
4
+ · · · + (−1)n−1 xn
n
=
n
k=1
(−1)k−1 xk
k
62
5. f(x) = (1 + x)α
, α ∈ R
f(0) = 1,
Podle 2.2.2.1 je [(1 + x)α
](k)
= α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1)(1 + x)α−k
, a tedy
f(k)
(0) = α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1).
Definujme
α
k
=
α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1)
k!
. Pak
Tn(x) = 1 +
α
1
x +
α
2
x2
+
α
3
x3
+ · · · +
α
n
xn
=
n
k=0
α
k
xk
.
Pro α ∈ N, α ≤ n je Maclaurinův polynom rozepsáním výrazu (1 + x)α
podle binomické věty.
2.4.8 Věta (Brook Taylor [1685 – 1731])
Buď f funkce, a ∈ Dom f, n ∈ N. Nechť existuje okolí O(a) bodu a takové, že funkce f má (n + 1)-tou derivaci
v každém bodě z O(a). Buď x ∈ O(a). Pak v otevřeném intervalu s krajními body a a x existuje číslo c takové,
že platí
f(x) = f(a) +
f′
(a)
1!
(x − a) +
f′′
(a)
2!
(x − a)2
+ · · · +
f(n)
(a)
n!
(x − a)n
+
f(n+1)
(c)
(n + 1)!
(x − a)n+1
.
D.: Buď x0 > a, x0 ∈ O(a) libovolné.
Položíme K =
f(x0) − Tn(x0)
(x0 − a)n+1
, neboli f(x0) = Tn(x0) + K(x0 − a)n+1
.
Dále položíme F(x) = f(x) − Tn(x) − K(x − a)n+1
pro x ∈ [a, x0].
Funkce F má podle 2.1.3 a 2.1.5 na [a, x0] spojité derivace až do n-té, neboť f má na tomto intervalu
(n + 1)-tou derivaci a Tn(x), (x − a)n+1
mají derivace všech řádů.
Podle 2.4.5 platí F(a) = F′
(a) = F′′
(a) = · · · F(n)
(a) = 0.
Dále F(x0) = 0. Tedy F splňuje na [a, x0] předpoklady 2.3.1. odtud plyne, že existuje c1 ∈ (a, x0) že
F′
(c1) = 0.
To dále znamená, že funkce F′
splňuje na [a, c1] předpoklady 2.3.1, z čehož plyne, že existuje c2 ∈ (a, c1)
že F′′
(c2) = 0.
Tak pokračujeme dále. Nakonec ukážeme, že existuje cn, a < cn < x0 takové, že F(n)
(c) = 0.
Celkem tedy dostaneme, že funkce F(n)
splňuje na [a, cn] předpoklady 2.3.1, z čehož plyne, že existuje
c ∈ (a, cn) ⊆ (a, x0) že F(n+1)
(c) = 0.
Přitom F(n+1)
(c) = f(n+1)
(c) − 0 − K(n + 1)!, z čehož plyne K =
f(n+1)
(c)
(n + 1)!
.
Dokázali jsme tedy platnost vzorce pro x = x0 > a, x0 ∈ O(a). Poněvadž x0 > a byl libovolný, platí
vzorec na pravém okolí bodu a.
Jeho platnost na levém okolí bodu a dokážeme analogicky.
Poznámky
• Vzorec uvedený ve větě lze zapsat: f(x) = Tn(x) + Rn(x). Tento vzorec se nazývá Taylorův (pro a = 0
Maclaurinův); výraz Rn(x) se nazývá zbytek v Taylorově vzorci nebo Taylorův zbytek.
Výraz Rn(x) =
f(n+1)
(c)
(n + 1)!
(x − a)n+1
se nazývá Lagrangeův tvar (Taylorova) zbytku.
Existují i jiné tvary zbytku, vždy však platí Rn(x) = o ((x − a)n
) , x → a.
• Číslo c lze napsat ve tvaru c = a + Θ(x − a), kde Θ ∈ (0, 1).
• Je vidět, že Lagrangeova věta 2.3.3 je speciálním případem věty Taylorovy (pro n = 1).
Naopak, Taylorova věta byla dokázána jako důsledek věty Rolleovy 2.3.1
2.4.9 Příklad (Zbytky Maclaurinových polynomů některých elementárních funkcí)
Sr. 2.2.2
1. f(x) = ex
, Rn(x) =
eΘx
(n + 1)!
xn+1
63
2. f(x) = sin x, R2n−1(x) =
sin(Θx + nπ)
(2n)!
x2n
3. f(x) = cos x, R2n(x) =
cos(Θx + 2n+1
2 π)
(2n + 1)!
x2n+1
4. f(x) = ln(x + 1), Rn(x) = (−1)n xn+1
(n + 1)(1 + Θx)n+1
5. f(x) = (1 + x)α
, Rn(x) =
α
n + 1
(1 + Θx)α−n−1
xn+1
Taylorova věta slouží k přibližnému výpočtu funkčních hodnot
2.4.10 Příklad
Najděte Maclaurinův polynom, který na intervalu (−π
2 , π
2 ) aproximuje funkci f(x) = sin x s přesností 10−5
.
Ř.:
sin x = T2n−1(x) + R2n−1(x) =
n
k=1
(−1)k−1 x2k−1
(2k − 1)!
+
sin(Θx + nπ)
(2n)!
x2n
|R2n−1(x)| =
sin(Θx + nπ)
(2n)!
x2n
≤
|x2n
|
(2n)!
≤
(π
2 )2n
(2n)!
Snadno ověříme, že |R9(x)| ≤ 0.00002 a |R11| ≤ 0.0000005 < 10−5
. Tedy stačí vzít
T11(x) = x −
x3
6
+
x5
120
−
x7
5 040
+
x9
362 880
−
x11
39 916 800
.
2.5 Průběh funkce
2.5.1 Věta
Nechť funkce f má v bodě x0 ∈ Dom f vlastní nebo nevlastní derivaci. Je-li f′
(x) > 0 (resp. f′
(x) < 0), pak je
f v bodě x0 rostoucí (resp. klesající).
D.: Nechť lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
> 0. Pak existuje O(x0) takové, že
f(x) − f(x0)
x − x0
> 0 pro každé x ∈ O(x0).
Je-li x ∈ O(x0), x < x0, pak x − x0 < 0 a tedy f(x) − f(x0) < 0, tj. f(x) < f(x0).
Je-li x ∈ O(x0), x > x0, pak x − x0 > 0 a tedy f(x) − f(x0) > 0, tj. f(x) > f(x0).
Druhé tvrzení dokážeme analogicky.
2.5.2 Věta
Nechť funkce f je spojitá na intervalu J a má zde vlastní nebo nevlastní derivaci. f je rostoucí (resp. klesající) na
J právě tehdy, když f′
(x) ≥ 0 (resp. f′
(x) ≤ 0) na J, přičemž rovnost f′
(x) = 0 neplatí na žádném subintervalu
intervalu J.
D.: ⇒: Nechť f je rostoucí na J, x0 ∈ J libovolný. Pro x ∈ J, x > x0 je f(x) > f(x0) a pro x ∈ J, x < x0 je
f(x) < f(x0), tedy
f(x) − f(x0)
x − x0
> 0 pro x ∈ J. Odtud plyne, že f′
(x0) = lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
≥ 0.
Kdyby rovnost f′
(x0) = 0 platila na intervalu I ⊆ J, byla by podle 2.3.4.2 funkce f konstantní na I.
⇐: Buďte x1, x2 ∈ J, x1 < x2. Na [x1, x2] funkce f splňuje předpoklady 2.3.3 a tedy existuje ξ ∈ (x1, x2)
takové, že
f(x1) − f(x2)
x1 − x2
= f′
(ξ) ≥ 0, což znamená, že f(x1) ≤ f(x2).
f je tedy neklesající na J a poněvadž na žádném subintervalu není konstantní, je rostoucí.
Druhé tvrzení se dokáže analogicky.
64
2.5.3 Definice
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ Dom f lokální maximum (resp. minimum), jestliže existuje okolí O(x0)
bodu x0 takové, že pro každé x ∈ O(x0) ∩ Dom f bodu x0 platí f(x) ≤ f(x0) (resp. f(x) ≥ f(x0)).
Lokální maximum (resp. minimum) se nazývá ostré, jestliže existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že
pro každé x ∈ (O(x0) \ {x0}) ∩ Dom f platí f(x) < f(x0) (resp. f(x) > f(x0)).
Lokální maxima a minima souhrnně nazýváme lokální extrémy, případně ostré lokální extrémy.
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ M ⊆ Dom f absolutní maximum (resp. minimum), na množině M,
jestliže pro každé x ∈ M platí f(x) ≤ f(x0) (resp. f(x) ≥ f(x0)).
Absolutní maximum (resp. minimum) se nazývá ostré, jestliže příslušné nerovnosti jsou ostré.
Absolutní maxima a minima souhrnně nazýváme absolutní extrémy.
2.5.4 Poznámky
1. Má-li funkce v bodě x0 ∈ Dom f lokální extrém a existuje-li vlastní nebo nevlastní f′
(x0), pak f′
(x0) = 0.
(Plyne bezprostředně z 2.5.1.)
2. Body, v nichž f′
(x0) = 0 nazýváme stacionární body funkce f.
Bezprostředně z předchozího tvrzení vyplývá, že funkce může mít lokální extrém buď ve stacionárním
bodě a nebo v bodě, kde neexistuje vlastní ani nevlastní derivace.
3. Stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému.
Např. f(x) = x3
, f′
(0) = 0, f′
(x) = 3x2
> 0 pro x = 0. Tedy podle 2.5.2 je f rostoucí na R.
2.5.5 Věta
Nechť funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ Dom f. Existuje-li levé ryzí okolí L(x0) \ {x0} bodu x0, v němž je f
neklesající (resp. nerostoucí) a pravé ryzí okolí P(x0) \ {x0} bodu x0, v němž je f nerostoucí (resp. neklesající),
pak má funkce f v bodě x0 lokální maximum (resp. lokální minimum).
Existuje-li levé ryzí okolí L(x0)\{x0} bodu x0, v němž je f rostoucí (resp. klesající) a pravé ryzí okolí P(x0)\{x0}
bodu x0, v němž je f klesající (resp. rostoucí), pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum (resp. ostré
lokální minimum).
D.: Nechť f je v L(x0) \ {x0} neklesající a v P(x0) \ {x0} nerostoucí. Podle 1.6.15 je
lim
x→x0−
f(x) = sup{f(x) : x ∈ L(x0) \ {x0}}, lim
x→x0+
f(x) = sup{f(x) : x ∈ P(x0) \ {x0}}. Poněvadž f je
spojitá v x0, je f(x0) = lim
x→x0−
f(x) = lim
x→x0+
f(x) = sup{f(x) : x ∈ (P(x0) ∪ L(x0)) \ {x0}}.
Nechť f je v L(x0) \ {x0} rostoucí a v P(x0) \ {x0} klesající. Buď x ∈ L(x0) \ {x0} libovolný. Pro
x1 ∈ (x, x0) ⊆ L(x0) \ {x0} je f(x) < f(x1) ≤ f(x0) = sup{f(x) : x ∈ L(x0) \ {x0}}.
Podobně ukážeme, že pro x ∈ P(x0) \ {x0} je f(x0) > f(x).
Analogicky ukážeme platnost tvrzení v ostatních případech.
Obrácená věta neplatí. Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém, nemusí být v žádném ryzím jednostranném
okolí monotonní.
Předpoklad o spojitosti funkce f je podstatný.
2.5.6 Důsledky
1. Nechť funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ Dom f a existuje levé ryzí okolí L(x0)\{x0} bodu x0 a pravé ryzí okolí
P(x0)\{x0} bodu x0 taková, že funkce f má vlastní nebo nevlastní derivaci f′
(x) na (P(x0)∪L(x0))\{x0},
přičemž f′
(x) > 0 (resp. f′
(x) < 0) na L(x0) \ {x0} a f′
(x) < 0 (resp. f′
(x) > 0) na P(x0) \ {x0}. Pak
má f v bodě x0 ostré lokální maximum (resp. minimum).
D.: plyne z 2.5.5 a z 2.5.1
2. Nechť f′
(x0) = 0 a nechť funkce f má v bodě x0 vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. Je-li f′′
(x0) < 0,
má f v bodě x0 ostré lokální maximum, je-li f′′
(x0) > 0, má f v bodě x0 ostré lokální minimum.
65
D.: Je-li f′′
(x0) < 0, je f′
(x0) v bodě x0 podle 2.5.1 klesající. Existuje tedy ryzí levé okolí L(x0) \ {x0}
bodu x0 takové, že f′
(x) > 0 na L(x0)\ {x0} a existuje ryzí pravé okolí P(x0)\ {x0} bodu x0 takové,
že f′
(x) < 0 na P(x0) \ {x0}.
Analogicky ukážeme platnost druhého tvrzení.
2.5.7 Poznámka o absolutních extrémech
Nechť funkce f je spojitá na [a, b]. Podle 1.7.12 nabývá f na [a, b] své největší i nejmenší hodnoty, tedy svého
absolutního maxima a absolutního minima. Absolutních extrémů nabývá buď v bodech lokálních extrémů nebo
v krajních bodech intervalu [a, b].
2.5.8 Definice
Řekneme, že funkce f je konvexní (resp. konkávní) na intervalu J ⊆ Dom f, jestliže pro každé tři body
x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3 platí f(x2) ≤ f(x1) +
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
(x2 − x1)
(resp. f(x2) ≥ f(x1) +
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
(x2 − x1) ).
Řekneme, že funkce f je ryze konvexní (resp. ryze konkávní) na intervalu J ⊆ Dom f, jestliže pro každé tři body
x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3 platí f(x2) < f(x1) +
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
(x2 − x1)
(resp. f(x2) > f(x1) +
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
(x2 − x1) ).
2.5.9 Věta
Funkce f je konvexní na intervalu J ⊆ Dom f právě tehdy, když pro každé tři body x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3
je splněna některá z ekvivalentních podmínek
(∨1)
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
≤
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
,
(∨2)
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
≤
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
,
(∨3)
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
≤
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
.
Nerovnost v těchto podmínkách je ostrá právě tehdy, když funkce f je ryze konvexní na intervalu J.
Funkce f je konkávní na intervalu J ⊆ Dom f právě tehdy, když pro každé tři body x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3
je splněna některá z ekvivalentních podmínek
(∧1)
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
≥
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
,
(∧2)
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
≥
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
,
(∧3)
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
≥
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
.
Nerovnost v těchto podmínkách je ostrá právě tehdy, když funkce f je ryze konkávní na intervalu J.
D.: Podmínka (∨1) je zřejmě ekvivalentní s podmínkou v definici 2.5.8.
Upravíme podmínku (∨1):
(x3 − x1)(f(x2) − f(x1)) ≤ (x2 − x1)(f(x3) − f(x1))
x3f(x2) − x3f(x1) − x1f(x2) + x1f(x1) ≤ x2f(x3) − x2f(x1) − x1f(x3) + x1f(x1)
x2f(x1) + x3f(x2) + x1f(x3) ≤ x1f(x2) + x2f(x3) + x3f(x1)
66
Dále upravíme podmínku (∨2):
(x3 − x2)(f(x3) − f(x1)) ≤ (x3 − x1)(f(x3) − f(x2))
x3f(x3) − x3f(x1) − x2f(x3) + x2f(x1) ≤ x3f(x3) − x3f(x2) − x1f(x3) + x1f(x2)
x2f(x1) + x3f(x2) + x1f(x3) ≤ x1f(x2) + x2f(x3) + x3f(x1)
Odtud je vidět, že podmínky (∨1) a (∨2) jsou ekvivalentní. Stejně (prostým roznásobením) ukážeme
ekvivalenci podmínky (∨3) s podmínkami (∨1) a (∨2).
Tvrzení pro konkávní funkce dokážeme analogicky.
2.5.10 Věta
Nechť funkce f má na intervalu J ⊆ Dom f derivaci f′
. Je-li funkce f konvexní (resp. konkávní) na J, pak pro
každé dva různé vnitřní body x, x0 ∈ J platí f(x) ≥ f(x0)+f′
(x0)(x−x0) (resp. f(x) ≤ f(x0)+f′
(x0)(x−x0)).
Je-li funkce f ryze konvexní (resp. ryze konkávní) na J, pak pro každé dva různé vnitřní body x, x0 ∈ J platí
f(x) > f(x0) + f′
(x0)(x − x0) (resp. f(x) < f(x0) + f′
(x0)(x − x0)).
D.:
• Buď f konvexní funkce na J a x, x0 libovolné vnitřní body intervalu J.
Nechť nejprve x0 < x. Podle (∨1) pro libovolné ξ ∈ (x0, x) platí
f(ξ) − f(x0)
ξ − x0
≤
f(x) − f(x0)
x − x0
.
Limitním přechodem ξ → x0 dostaneme f′
(x0) ≤
f(x) − f(x0)
x − x0
, neboli f(x0)+f′
(x0)(x−x0) ≤ f(x).
Nechť nyní x < x0. Podle (∨2) pro libovolné ξ ∈ (x, x0) platí
f(x0) − f(x)
x0 − x
≤
f(x0) − f(ξ)
x0 − ξ
.
Limitním přechodem ξ → x0 dostaneme
f(x0) − f(x)
x0 − x
≤ f′
(x0), neboli f(x) ≥ f(x0)+f′
(x0)(x−x0).
• Je-li f ryze konvexní na J, pak podle již dokázaného pro každé dva vnitřní body x, x0 ∈ J platí
f(x) ≥ f(x0) + f′
(x0)(x − x0). Připusťme, že existují vnitřní body x1, x3 ∈ J, x1 < x3 takové, že
f(x3) = f(x1) + f′
(x1)(x3 − x1).
Podle (∨1) — s nodifikací pro ryze konvexní funkce — pro každé x2 ∈ (x1, x3) platí
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
<
f(x1) + f′
(x1)(x3 − x1) − f(x1)
x3 − x1
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
< f′
(x1)
f(x2) < f(x1) + f′
(x1)(x2 − x1) ,
což je spor s již dokázaným (při označení x = x2, x0 = x1).
Analogicky s využitím (∨2) vyloučíme možnost existence vnitřních bodů x1, x3 ∈ J takových, že
f(x1) = f(x3) + f′
(x3)(x1 − x3).
Tedy pro všechny vnitřní body x, x0 ∈ J platí f(x) > f(x0) + f′
(x0)(x − x0).
• Tvrzení o konkávní funkci dokážeme analogicky.
2.5.11 Věta
Nechť funkce f má na intervalu J ⊆ Dom f derivaci f′
. Funkce f je ryze konvexní (resp. konkávní) na intervalu
J právě tehdy, když f′
je na J rostoucí (resp. klesající).
D.: ⇒: Buďte x1, x2 ∈ J, x1 < x2 libovolné. Podle 2.5.10 je f(x2) > f(x1) + f′
(x1)(x2 − x1) a
f(x1) > f(x2) + f′
(x2)(x1 − x2), neboli
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
> f′
(x1) a
f(x1) − f(x2)
x1 − x2
< f′
(x2).
Odtud f′
(x1) < f′
(x2).
67
⇐: Sporem. Nechť f′
je rostoucí na J a připusťme, že f není ryze konvexní, tedy že existují
x1, x2, x3 ∈ J, x1 < x2 < x3 takové, že
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
≥
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
(sr. (∨3)).
Podle 2.3.3 existují ξ1 ∈ (x1, x2) a ξ2 ∈ (x2, x3), že
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
= f′
(ξ1) a
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
= f′
(ξ2).
Zřejmě ξ1 < ξ2 a poněvadž f′
je rostoucí, je f′
(ξ1) < f′
(ξ2), což je spor.
Tvrzení o konkávní funkci dokážeme analogicky.
Odtud a z 2.5.2 plyne
2.5.12 Důsledek
Nechť funkce f má na intervalu J spojitou první derivaci a vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. f je ryze
konvexní (resp. konkávní) na J právě tehdy, když f′′
(x) ≥ 0 (resp. f′′
(x) ≤ 0) na J, přičemž rovnost f′′
(x) = 0
neplatí na žádném subintervalu intervalu J.
2.5.13 Definice
Nechť f je funkce spojitá v x0 ∈ Dom f a nechť existuje vlastní nebo nevlastní derivace f′
(x0). Řekneme, že x0
je inflexním bodem funkce f, jestliže existuje levé ryzí okolí L(x0)\ {x0} bodu x0 a pravé ryzí okolí P(x0)\ {x0}
bodu x0 taková, že f je ryze konvexní na L(x0) \ {x0} a ryze konkávní na P(x0) \ {x0}, nebo naopak f je ryze
konvexní na P(x0) \ {x0} a ryze konkávní na L(x0) \ {x0}.
2.5.14 Poznámky
1. Je-li x0 inflexní bod funkce f a f′
je spojitá v bodě x0. Pak f′
má v bodě x0 ostrý lokální extrém.
(sr. 2.5.6.1, a 2.5.12).
2. Je-li x0 inflexní bod funkce f a existuje vlastní nebo nevlastní druhá derivace f′′
(x0), pak f′′
(x0) = 0
Opačné tvrzení neplatí. Z f′′
(x0) = 0 neplyne, že by x0 byl inflexní bod funkce f.
Například: f(x) = x4
, f′′
(x) = 12x2
, f′′
(0) = 0 a v bodě x0 = 0 není inflexní bod funkce f.
2.5.15 Definice
Řekneme, že přímka p : x = x0 je asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže funkce f má v x0 alespoň jednu
nevlastní jednostrannou limitu.
Řekneme, že přímka p : y = ax + b je asymptotou se směrnicí funkce f, jestliže funkce f je definována v okolí
∞ (resp. −∞) a platí lim
x→∞
(ax + b − f(x)) = 0 (resp. lim
x→−∞
(ax + b − f(x)) = 0).
Libovolná funkce může mít nejvýše dvě asymptoty se směrnicí, může však mít libovolný počet asymptot bez
směrnice.
2.5.16 Věta
Přímka y = ax + b je asymptotou se směrnicí funkce f právě tehdy, když lim
x→∞
f(x)
x
= a, lim
x→∞
(f(x) − ax) = b
lim
x→−∞
f(x)
x
= a, lim
x→−∞
(f(x) − ax) = b .
D.: ⇒: Pokud lim
x→±∞
(ax + b − f(x)) = 0 pak podle 1.6.7.7 a 1.6.7.4 také lim
x→±∞
ax + b − f(x)
x
= 0, tedy
0 = a − lim
x→±∞
f(x)
x
, neboli lim
x→±∞
f(x)
x
= a.
Dále z lim
x→±∞
(ax + b − f(x)) = 0 plyne 0 = lim
x→±∞
(ax − f(x)) + b a tedy lim
x→±∞
(f(x) − ax) = b.
⇐: Jestliže lim
x→±∞
(f(x) − ax) = b, pak lim
x→±∞
(ax + b − f(x)) = lim
x→±∞
(ax − f(x)) + b = −b + b = 0.
68
2.5.17 Postup při vyšetřování průběhu funkce
1. Určíme Dom f; pokud je to možné, tak nulové body funkce f a intervaly, na nichž je f kladná a záporná.
2. Vypočítáme f′
; určíme nulové body f′
(stacionární body); body, v nichž f′
není definována; body, v nichž
f′
je kladná a záporná (Tj. určíme intervaly monotonnosti a lokální extrémy.)
3. Vypočítáme f′′
; určíme nulové body f′′
; body, v nichž f′′
není definována; body , v nichž f′′
je kladná a
záporná (Tj. určíme intervaly konvexity a konkavity, inflexní body.)
4. Vypočítáme příslušné jednostranné limity v „hraničních bodech“ Dom f (Tj. najdeme všechny asymptoty
bez směrnice). Najdeme obě asymptoty se směrnicí (pokud existují).
5. Vypočítáme funkční hodnoty ve význačných bodech (stacionárních, inflexních), případně v několika dalších
bodech. V inflexních bodech může být užitečné vypočítat hodnotu derivace.
2.6 Rovinné křivky
2.6.1 Definice
Nechť I ⊆ R je interval, ϕ, ψ : I → R spojité funkce. Množina C = {(ϕ(t), ψ(t)) : t ∈ I} ⊆ R2
se nazývá
(rovinná) křivka, funkce ϕ, ψ se nazývají parametrizace křivky C.
Je-li I = [a, b], body A = (ϕ(a), ψ(a)), B = (ϕ(b), ψ(b)) se nazývají krajní body křivky C. Křivka C se nazývá
uzavřená, jestliže A = B.
• Jedna křivka může mít více parametrizací. Například
ϕ(t) = cos t
ψ(t) = sin t
, t ∈ [0, 2π],
˜ϕ(t) = cos 2t
˜ψ(t) = sin 2t
, t ∈ [0, π],
ˆϕ(t) = cos t
ˆψ(t) = − sin t
, t ∈ [0, 2π],
jsou tři různé parametrizace kružnice se středem (0, 0) a poloměrem 1.
• Je-li f spojitá funkce, Dom f je interval, pak graf funkce f je křivka s parametrizací
ϕ(t) = t
ψ(t) = f(t)
, t ∈ Dom f.
• Je-li C = {(ϕ(t), ψ(t)) : t ∈ I} křivka, t0 vnitřní bod intervalu I a funkce ϕ je na okolí bodu t0 ryze
monotonní (k tomu stačí, aby ϕ měla v bodě t0 spojitou derivaci a ϕ′
(t0) = 0), pak existuje interval
J ⊆ R, který obsahuje bod ϕ(t0) a existuje funkce f definovaná na J tak, že {(x, f(x)) : x ∈ J} ⊆ C.
D.: Nechť existuje okolí O(t0) bodu t0 takové, že ϕ je na O(t0) ryze monotonní. Na O(t0) existuje funkce
ϕ−1
inversní k funkci ϕ. Označme J = ϕ(O(t0)). Pro x = ϕ(t) ∈ J definujme f(x) = ψ(ϕ−1
(x)).
2.6.2 Poznámka o derivaci funkcí daných parametricky
• Nechť C = {(ϕ(t), ψ(t)) : t ∈ I} je křivka, ϕ, ψ mají spojitou derivaci na I a nechť ϕ′
(t) = 0 pro každé
t ∈ I. Pak existuje funkce f definovaná na intervalu J = {ϕ(t) : t ∈ I}, která má na tomto intervalu
derivaci, přičemž platí f′
(x) =
ψ′
(t)
ϕ′(t)
pro x = ϕ(t) ∈ J.
D.: Ze spojitosti ϕ′
a z podmínky ϕ′
(t) = 0 na I plyne, že ϕ′
(t) > 0 pro každé t ∈ I, nebo ϕ′
(t) < 0 pro
každé t ∈ I a tedy podle 2.5.2 je ϕ na I ryze monotonní. Podle 1.2.16.2 existuje funkce ϕ−1
inversní
k ϕ.
Definujme f(x) = ψ(ϕ−1
(x)) pro x = ϕ(t).
Podle 2.1.6 a 2.1.7 je f′
(x) = [ψ(ϕ−1
(x))]′
= ψ′
(ϕ−1
(x))
1
ϕ′(t)
=
ψ′
(t)
ϕ′(t)
.
• Nechť jsou splněny podmínky předchozího tvrzení a nechť funkce ϕ, ψ mají na I druhé derivace. Pak také
funkce f má na J druhou derivaci a platí f′′
(x) =
ϕ′
(t)ψ′′
(t) − ϕ′′
(t)ψ′
(t)
(ϕ′(t))3
pro x = ϕ(t) ∈ J.
69
D.: f′′
(x) = (f′
(x))′
=
ψ′
(ϕ−1
(x))
ϕ′(ϕ−1(x))
′
=
ϕ′
(ϕ−1
(x))ψ′′
(ϕ−1
(x)) − ϕ′′
(ϕ−1
(x))ψ′
(ϕ−1
(x))
(ϕ′(ϕ−1(x)))2
1
ϕ′(t)
.
• Analogicky lze postupovat při výpočtu vyšších derivací.
• S použitím „diferenciální symboliky“ lze předchozí tvrzení zapsat:
f′
(x) =
dy
dx
=
dψ(t)
dϕ(t)
=
ψ′
(t)dt
ϕ′(t)dt
=
ψ′
(t)
ϕ′(t)
=
dy
dt
dx
dt
,
f′′
(x) =
df′
(x)
dx
=
dψ′
(t)
ϕ′(t)
ϕ′(t)dt
=
ψ′′
(t)ϕ′
(t)−ψ′
(t)ϕ′′
(t)
(ϕ′(t))2 dt
ϕ′(t)dt
=
ψ′′
(t)ϕ′
(t) − ψ′
(t)ϕ′′
(t)
(ϕ′(t))3
=
d2
y
dt2
dx
dt − dy
dt
d2
x
dt2
(dx
dt )3
.
2.6.3 Definice
Řekneme, že křivka C je oblouk (jednoduchá křivka), jestliže existuje její parametrizace ϕ, ψ taková, že zobrazení
t → (ϕ(t), ψ(t)) je bijektivní.
Křivka se nazývá jordanovská (jednoduchá uzavřená), jestliže je uzavřená a existuje její parametrizace ϕ, ψ :
[a, b] → R taková, že platí implikace t1, t2 ∈ [a, b], 0 < |t1 − t2| < b − a ⇒ (ϕ(t1), ψ(t1)) = (ϕ(t2), ψ(t2)).
Jestliže křivka C není uzavřená a není obloukem, pak pro její libovolnou parametrizaci ϕ, ψ : I → R
existují t1, t2 ∈ I, t1 = t2 tak, že (ϕ(t1), ψ(t1)) = (ϕ(t2), ψ(t2)). Bod (ϕ(t1), ψ(t1)) = (ϕ(t2), ψ(t2)) se nazývá
vícenásobný bod (bod větvení) křivky C.
2.6.4 Definice
Buď C křivka, ϕ, ψ : I → R její parametrizace. Nechť t0 je vnitřní bod intervalu I a A = (ϕ(t0), ψ(t0)) není
vícenásobný bod křivky C a nechť existují derivace ϕ′
(t0), ψ′
(t0) a platí (ϕ′
(t0))2
+ (ψ′
(t0))2
= 0. Přímka τ
procházející bodem A, jejíž směrový vektor je (ϕ′
(t0), ψ′
(t0)) se nazývá tečna ke křivce C v bodě A.
2.6.5 Poznámka
Nechť křivka C je grafem funkce f, Dom f je interval a f má derivaci v bodě x0. Pak
ϕ(t) = t
ψ(t) = f(t)
, t ∈ Dom f je parametrizací C.
ϕ′
(t) = 1, ψ′
(t) = f′
(t). Tečna ke křivce C v bodě (x0, f(x0)) má parametrické rovnice
x = x0 + t
y = f(x0) + f′
(x0)t
.
Eliminací parametru t dostaneme obecnou rovnici tečny x − x0 =
y − f(x0)
f′(x0)
, neboli y − y0 = f′
(x0)(x − x0).
Tedy definice 2.6.4 souhlasí s tím, jak byla tečna ke grafu funkce zavedena v 2.1.2.7.
Příklad:
C :
x = ϕ(t) = a cos3
t
y = ψ(t) = a sin3
t
, t ∈ [0, 2π], a ∈ R, a > 0 je jordanovskou křivkou.
ϕ′
(t) = −3a cos2
t sin t, ψ′
(t) = 3a sin2
t cos t.
Tečna ke křivce C existuje v každém bodě (ϕ(t), ψ(t)) takovém, že
0 = (ϕ′
(t))2
+ (ψ′
(t))2
= 9a2
cos4
t sin2
t + 9a2
sin4
t cos2
t = 9a2
sin2
t cos2
t, tedy pro t ∈ {0, 1
2 π, π, 3
2 π}.
2.6.6 Definice
Nechť C je oblouk nebo jordanovská křivka. C se nazývá hladká, existuje-li její parametrizace ϕ, ψ : I → R
taková, že
(i) ϕ′
(t), ψ′
(t) existují pro každý vnitřní bod t ∈ I. Je-li C uzavřená, I = [a, b], existují
ϕ′
+(a), ϕ′
−(b), ψ′
+(a), ψ′
−(b) a platí ϕ′
+(a) = ϕ′
−(b), ψ′
+(a) = ψ′
−(b).
(ii) (ϕ′
(t))2
+ (ψ′
(t))2
= 0 pro každý vnitřní bod t ∈ I. Je-li C uzavřená, I = [a, b], navíc platí
(ϕ′
+(a))2
+ (ψ′
+(a))2
= 0 = (ϕ′
−(b))2
+ (ψ′
−(b))2
.
70
C se nazývá po částech hladká, existuje-li konečný počet hladkých křivek C1, C2, . . . , Cn takových, že C =
C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn.
Křivka je hladká, jestliže nemá vícenásobné body a existuje k ní tečna v každém bodě, který není krajní.
2.6.7 Definice
Buďte C1 = {(ϕ1(t), ψ1(t)) : t ∈ I1}, C2 = {(ϕ2(t), ψ2(t)) : t ∈ I2} křivky a nechť (x0, y0) = (ϕ1(t1), ψ1(t1)) =
(ϕ2(t2), ψ2(t2)) ∈ C1 ∩ C2 není ani krajní ani vícenásobný bod žádné z křivek C1, C2. Řekneme, že křivky C1 a
C2 mají v bodě (x0, y0) styk řádu alespoň n ∈ N ∪ {0}, jestliže
buď existují kladná čísla δ0, δ a funkce f1, f2 takové, že
(t1 − δ, t1 + δ) ⊆ I1, (t2 − δ, t2 + δ) ⊆ I2, (x0 − δ0, x0 + δ0) ⊆ Dom f1 ∩ Dom f2,
{(x, f1(x)) : x0 − δ0 < x < x0 + δ0} = {(ϕ1(t), ψ1(t)) : t1 − δ < t < t1 + δ},
{(x, f2(x)) : x0 − δ0 < x < x0 + δ0} = {(ϕ2(t), ψ2(t)) : t2 − δ < t < t2 + δ},
a funkce f1, f2 mají v bodě x0 styk řádu alespoň n,
nebo existují kladná čísla ε0, ε a funkce g1, g2 takové, že
(t1 − ε, t1 + ε) ⊆ I1, (t2 − ε, t2 + ε) ⊆ I2, (y0 − ε0, y0 + ε0) ⊆ Dom g1 ∩ Dom g2,
{(g1(y), y) : y0 − ε0 < y < y0 + ε0} = {(ϕ1(t), ψ1(t)) : t1 − ε < t < t1 + ε},
{(g2(y), y) : y0 − ε0 < y < y0 + ε0} = {(ϕ2(t), ψ2(t)) : t2 − ε < t < t2 + ε},
a funkce g1, g2 mají v bodě y0 styk řádu alespoň n
2.6.8 Definice
Nechť C je křivka, K je kružnice se středem (xS, yS) a poloměrem r a (x0, y0) ∈ C ∩ K.
Kružnice K se nazývá oskulační kružnice křivky C v bodě (x0, y0), jestliže křivky C, K mají v bodě (x0, y0) styk
řádu alespoň 2.
Střed oskulační kružnice se nazývá střed křivosti křivky C v bodě (x0, y0), poloměr oskulační kružnice se nazývá
poloměr křivosti křivky C v bodě (x0, y0), jeho převrácená hodnota
1
r
se nazývá křivost křivky C v bodě (x0, y0).
Množina všech středů křivosti křivky C ve všech jejích bodech se nazývá evoluta křivky C.
2.6.9 Věta
Buď C = {(ϕ(t), ψ(t)) : t ∈ I} hladká křivka, t0 vnitřní bod intervalu I a nechť funkce ϕ, ψ mají v bodě t0 druhé
derivace. Nechť (x0, y0) = (ϕ(t0), ψ(t0)) není vícenásobný bod křivky C a platí ϕ′
(t0)ψ′′
(t0) − ϕ′′
(t0)ψ′
(t0) = 0.
Pak má křivka C v bodě (x0, y0) jedinou oskulační kružnici o středu (xS, yS) a poloměru r, kde
xS = ϕ(t0) −
(ϕ′
(t0))2
+ (ψ′
(t0))2
ϕ′(t0)ψ′′(t0) − ϕ′′(t0)ψ′(t0)
ψ′
(t0) ,
yS = ψ(t0) +
(ϕ′
(t0))2
+ (ψ′
(t0))2
ϕ′(t0)ψ′′(t0) − ϕ′′(t0)ψ′(t0)
ϕ′
(t0) ,
r =
((ϕ′
(t0))2
+ (ψ′
(t0))2
)3/2
|ϕ′(t0)ψ′′(t0) − ϕ′′(t0)ψ′(t0)|
.
D.: Poznamenejme, že z existence druhé derivace funkce ϕ v bodě t0 plyne spojitost její první derivace v tomto
bodě.
Nechť nejprve ϕ′
(t0) = 0. Pak nastává první případ z definice 2.6.7.
Nechť K = {(xS + r cos t, yS + r sin t) : t ∈ [0, 2π]} je oskulační kružnice křivky C v bodě
(x0, y0) = (ϕ(t0), ψ(t0)) = (xS + r cos τ0, yS + r sin τ0).
Podle 2.4.3 je
ψ(ϕ−1
(x0)) = f(x0), ψ′
(ϕ−1
(x0)) = f′
(x0), ψ′′
(ϕ−1
(x0)) = f′′
(x0),
71
kde f je funkce definovaná v okolí bodu x0 a daná parametricky rovnicemi kružnice K. Podle 2.6.2 je
ψ′
(ϕ−1
(x0)) =
ψ′
(t0)
ϕ′(t0)
=
r cos τ0
−r sin τ0
= − cotg τ0 ,
ψ′′
(ϕ−1
(x0)) =
ϕ′
(t0)ψ′′
(t0) − ϕ′′
(t0)ψ′
(t0)
(ϕ′(t0))3
=
(−r sin τ0)(−r sin τ0) − (−r cos τ0)(r cos τ0)
−r3 sin3
τ0
=
= −
1
r sin3
τ0
.
Máme tedy soustavu čtyř rovnic pro čtyři neznámé τ0, xS, yS, r:
ϕ(t0) = xS + r cos τ0 ,
ψ(t0) = yS + r sin τ0 ,
ψ′
(t0)
ϕ′(t0)
= − cotg τ0 ,
ϕ′
(t0)ψ′′
(t0) − ϕ′′
(t0)ψ′
(t0)
(ϕ′(t0))3
= −
1
r sin3
τ0
,
která má jediné řešení dáné formulemi v tvrzení věty.
Nechť nyní ϕ′
(t0) = 0. Pak, poněvadž křivka C je hladká, ze vztahu (ϕ′
(t0))2
+ (ψ′
(t0))2
= 0 plyne
ψ′
(t0) = 0 a nastává druhý případ z definice 2.6.7. Tento případ vyšetříme analogicky.
2.6.10 Důsledek
Nechť funkce f má v bodě x0 druhou derivaci f′′
(x0) = 0. Pak graf funkce f má v bodě (x0, f(x0)) oskulační
kružnici, pro jejíž střed a poloměr platí
xS = x0 −
1 + (f′
(x0))2
f′′(x0)
f′
(x0) , yS = f(x0) +
1 + (f′
(x0))2
f′′(x0)
, r =
(1 + (f′
(x0))2
)3/2
|f′′(x0)|
.
Příklady:
1. Určete křivost paraboly y = x2
v jejím vrcholu.
Ř.: f(x) = x2
, f′
(x) = 2x, f′
(0) = 0, f′′
(x) = 2,
1
r
= 2.
2. Najděte evolutu elipsy
ϕ(t) = a cos t
ψ(t) = b sin t
, t ∈ [0, 2π].
Ř.: ϕ′
(t) = −a sin t, ϕ′′
(t) = −a cos t,
ψ′
(t) = b cost, ψ′′
(t) = −b sint,
(ϕ′
(t))2
+ (ψ′
(t))2
= a2
sin2
t + b2
cos2
t,
ϕ′
(t)ψ′′
(t) − ϕ′′
(t)ψ′
(t) = ab sin2
t + ab cos2
t = ab.
Parametrické rovnice evoluty:
x = a cos t −
a2
sin2
t + b2
cos2
t
ab
b cos t =
cos t
a
(a2
− a2
sin2
t − b2
cos2
t) =
a2
− b2
a
cos3
t
y = b sin t −
a2
sin2
t + b2
cos2
t
ab
a sin t =
sin t
b
(b2
− a2
sin2
t − b2
cos2
t) =
b2
− a2
b
sin3
t
72
2.7 Cvičení
Vypočítejte derivaci funkce
1) f(x) = (
√
x + 1)
1
√
x
− 1 , 2) f(x) = x x
√
x,
3) f(x) =
1 + x − x2
1 − x + x2
, 4) f(x) =
√
sin x,
5) f(x) = xex
(cos x + sin x), 6) f(x) =
1 − ex
1 + ex
,
7) f(x) = x2
log3 x, 8) f(x) = tg(sin x),
9) f(x) = ln
1 − sin x
1 + sin x
, 10) f(x) = x arcsin
x
x + 1
+ arctg
√
x −
√
x,
11) f(x) = ln
√
1 + x −
√
1 − x
√
1 + x +
√
1 − x
+ 2 arctg
1 − x
1 + x
, 12) f(x) = 3sin2
x
,
13) f(x) = xxx
, 14) f(x) = 1
2 arctg 4
√
1 + x4 + 1
4 ln
4
√
1 + x4 + 1
4
√
1 + x4 − 1
.
Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce
15) y =
8
4 + x2
v bodě (2, ?), 16) y = x2
v bodě (x0, ?).
17) Úhlem křivek rozumíme úhel tečen těchto křivek ve společném bodě. Určete úhel grafu funkce y = x2
a
křivky x2
+ y2
= 1.
18) Na grafu funkce y = x3
najděte bod, v němž je tečna rovnoběžná se sečnou spojující body (−1, ?) a (?, 8).
Vypočítejte limity
19) lim
x→ π
4
tg x − 1
sin 4x
, 20) lim
x→0+
ln x
ln sin x
,
21) lim
x→∞
x sin
a
x
, 22) lim
x→0
1
x
−
1
ex − 1
,
23) lim
x→0+
xxx
−1
, 24) lim
x→1
xx
− x
ln x − x + 1
,
25) lim
x→∞
6
√
x6 + x5 − 6
√
x6 − x5 , 26) lim
x→∞
x − x2
ln 1 +
1
x
.
Najděte Maclaurinův polynom stupně n dané funkce
27) f(x) =
x2
+ x + 1
x2 − x + 1
, n = 4, 28) f(x) =
√
1 − 2x + x3 − 3
√
1 − 3x + x3, n = 3,
29) f(x) =
3
√
sin x3, n = 7, 30) f(x) = tg x, n = 5.
Vyšetřete průběh funkce
31) f(x) =
x
3
√
x2 − 1
, 32) f(x) =
x3
2(x + 1)2
, 33) f(x) = xe− x2
2 , 34) f(x) = 3
√
1 − x3.
35) Najděte nejmenší a největší hodnotu součinu m-té a n-té mocniny kladných čísel, jejichž součet je a.
36) Jaký největší povrch může mít válec vepsaný kouli o poloměru R?
37) Jaký nejmenší objem může mít kužel opsaný kouli o poloměru R?
38) Na elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 najděte v prvním kvadrantu bod takový, že tečna k elipse vedená tímto bodem
vytvoří se souřadnými osami trojúhelník nejmenšího obsahu.
39) Jakou výseč je třeba vyříznout z kruhu o poloměru R, aby zbývající část bylo možno svinout do kornoutu
o maximálním objemu?
Výsledky: 1) −x+1
2x
3
√
x2 2) 7
8 8
√
x
3) 2−4x
(1+x−x2)2 4)
√
cos x cotg x
2 5) ex
(sin x + (2x + 1) cos x) 6) − ex
(1+ex)
√
1−e2x
7) x log3 ex2
8) cos x
(sin sin x)2 9) − 1
cos x 10) arcsin x
x+1 11)
√
1−x2
2x(1+x) 12) 3sin2
x
sin 2x ln 3 13) (2 ln x + 1)xxx
+1
14)
− 1
x 4
√
(1+x4)3
15) x + 2y − 4 = 0, 2x − y − 1 = 0 16) 2x0x − y − x2
0 = 0, x + 2x0y − x0 − 2x3
0 = 0 17) asi 70◦
37′
46′′
18) (−1, −1), (1, 1) 19) −1
2 20) 1 21) a 22) 1
2 23) 1 24) −2 25) 1
3 26) 1
2 27) 1 + 2x + 2x2
− 2x4
28) 1
2 x2
− 4
3 x3
29) x − 1
18 x7
30) x + 1
3 x3
+ 2
15 x5
31) Dom f = R \ {−1, 1}; lichá; nulový bod 0; rostoucí (−∞, −
√
3], [
√
3, ∞);
73
klesající [−
√
3, −1), (−1, 1), (1,
√
3]; lokální minimum f(
√
3) =
√
3
3
√
2
; lokální maximum f(−
√
3) = −
√
3
3
√
2
; konvexní
(−∞, −3), (−1, 0], (1, 3]; konkávní [−3, −1), [0, 1), [3, ∞); inflexní body f(3) = 3
2 , f(−3) = −3
2 ; asymptoty
x = 1, x = −1 32) Dom f = R \ {−1}; nulový bod 0; rostoucí (−∞, −3], (−1, ∞); klesající [−3, −1); lokální
maximum f(−3) = −27
8 ; konvexní [0, ∞); konkávní (−∞, −1), (−1, 0]; inflexní bod f(0) = 0; asymptoty
x = −1, x − 2y − 2 = 0 33) Dom f = R; lichá; nulový bod 0; rostoucí [−1, 1]; klesající (−∞, −1], [1, ∞]; lokální
minimum f(−1) = − 1√
e
; lokální maximum f(1) = 1√
e
; konvexní [−
√
3, 0], [
√
3, ∞); konkávní (−∞, −
√
3], [0,
√
3];
inflexní body f(−
√
3) = − 3
e3 , f(0) = 0, f(
√
3) = 3
e3 ; asymptota y = 0 34) Dom f = R; nulový bod 1; klesající
(−∞, ∞); konvexní (−∞, 0], [1, ∞); konkávní [0, 1]; inflexní body f(0) = 1, f(1) = 0; asymptota y = −x 35)
největší hodnota a
m+n
m+n
mm
nn
, nejmenší hodnota není 36) πR2
(1+
√
5) 37) 8
3 πR3
38) a√
2
, b√
2
, Pmin = ab
39) vyříznout úhel 2π 1 − 2
3 , Vmax = 2
√
3
27 πR3
74
Rovnice v kartézských Parametrické rovnice Rovnice v polárních
souřadnicích souřadnicích
Kružnice x2 + y2 = a2 x = a cos t r = a
y = a sin t
Elipsa
x2
a2
+
y2
b2
= 1 x = a cos t r =
p
1 + ε cos ϕ
, 0 < ε < 1
y = b sin t
Parabola y2 = 2px x =
1
2p
t2 r =
p
1 + cos ϕ
y = t
Hyperbola
x2
a2
−
y2
b2
= 1 x =
a
cos t
r =
p
1 + ε cos ϕ
, ε > 1
y = ±b tg t
Cassiniovy (x2 + y2)2 − 2e2(x2 − y2) = a4 − e4 r2 = e2 cos2 2ϕ ± e4 cos2 2ϕ + a4 − e4
křivky
Bernoulliova (x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2) x =
√
2 at
1 + t2
1 + t4
r = a 2 cos2 2ϕ,
lemniskáta y =
√
2 at
1 − t2
1 + t4
ϕ ∈ [− π
4
, π
4
] ∪ [ 3π
4
, 5π
4
]
Cykloida x + 2ay − y2 = a arccos
a − y
a
x = a(t − sin t)
x − 2ay − y2 = a 2π − arccos
a − y
a
y = a(1 − cos t)
Kardioida (x2 + y2 − a2)2 = 4a2((x − a)2 + y2) x = a(2 cos t − cos 2t) r = 2a(1 − cos ϕ)
(srdcovka) y = a(2 sin t − sin 2t)
Asteroida x2/3 + y2/3 = a2/3 x = a cos3 t
4
(hvězdice) y = a sin3 t
4
Archimedova
y
x
= tg
x2 + y2
a
r = aϕ, ϕ ≥ 0
spirála
Hyperbolická
y
x
= tg
a
x2 + y2
r =
a
ϕ
spirála
Logaritmická
y
x
= tg
1
k
ln
x2 + y2
a
r = aekϕ
spirála
Tabulka 2.1: Některé křivky
75
76
Kapitola 3
Integrální počet funkcí jedné proměnné
3.1 Primitivní funkce
3.1.1 Definice
Buďte f, F funkce definované na intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní k funkci (je neurčitým
integrálem z funkce) f na I, jestliže na tomto intervalu platí F′
= f. Označení: F(x) = f(x)dx.
3.1.2 Poznámky
1. Pokud některý z krajních bodů intervalu I do tohoto intervalu patří, je potřeba v tomto bodě uvažovat
příslušnou jednostrannou derivaci.
2. Primitivní funkce je podle 2.1.3 spojitá na I.
3. Primitivní funkce bývá někdy definována obecněji: F je primitivní k f na I, jestliže množina
{x ∈ I : F′
(x) = f(x)} je nejvýše spočetná. (F′
(x) = f(x) skoro všude na I.)
V tomto smyslu je například F(x) = |x| zobecněnou primitivní funkcí k f(x) = sgn x na I = (−∞, ∞).
3.1.3 Příklady
1.
x3
3
= x2
dx na (−∞, ∞).
2.
ln x =
1
x
dx na (0, ∞)
ln(−x) =
1
x
dx na (−∞, 0)
⇒ ln |x| =
1
x
dx na intervalu, který neobsahuje 0.
3.1.4 Věta (o existenci primitivní funkce)
Ke každé funkci spojité na intervalu I existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
D.: Bude proveden později (3.4.6).
3.1.5 Věta
Je-li F funkce primitivní k f na I a c ∈ R, pak F + c je rovněž primitivní k f na I.
Jsou-li F a G funkce primitivní k funkci f na intervalu I, pak existuje konstanta c ∈ R taková, že G(x) = F(x)+c
pro každé x ∈ I.
Je-li F funkce primitivná k f na I pak {F + c : c ∈ R} je množina všech funkcí primitivních k funkci f na I.
D.: (F(x) + c)′
= F′
(x) + 0 = f(x), druhé tvrzení plyne z 2.3.4.3, třetí je důsledkem prvních dvou.
77
3.1.6 Nejdůležitější neurčité integrály
xn
dx =
xn+1
n + 1
, n = −1 ex
dx = ex
dx
x
= ln |x| ax
dx =
ax
ln a
, a > 0, a = 1
dx
1 + x2
= arctg x = − arccotg x sin xdx = − cosx
dx
1 − x2
= 1
2 ln
1 + x
1 − x
cos xdx = sin x
dx
√
1 − x2
= arcsin x = − arccosx
dx
sin2
x
= − cotg x
dx
√
x2 ± 1
= ln |x +
√
x2 ± 1|
dx
cos2 x
= tg x
f′
(x)
f(x)
dx = ln |f(x)|.
Každý z uvedených vzorců platí na libovolném intervalu, na němž je funkce za znakem definována.
Platnost uvedených vzorců lze ověřit derivováním.
3.1.7 Věta
Nechť fi(x)dx = Fi(x) na intervalu I, ci ∈ R pro i ∈ {1, 2, . . ., n}. Pak
(c1f1(x) + c2f2(x) + · · · + cnfn(x))dx = c1F1(x) + c2F2(x) + · · · + cnFn(x) na I.
D.: Plyne přímo z 2.1.5.
Věta říká, že neurčitý integrál je lineární operátor na množině funkcí.
3.1.8 Věta
Nechť f(x)dx = F(x) na I. Pak f(ax + b)dx =
1
a
F(ax + b) na J = {x ∈ R : ax + b ∈ I}.
D.: Podle 2.1.6 je
1
a
F(ax + b)
′
=
1
a
F′
(ax + b)[ax + b]′
= F′
(ax + b) = f(ax + b).
3.1.9 Příklad
cos2
xdx =
1 + cos 2x
2
dx =
1
2
x +
sin 2x
2
=
x + sin x cos x
2
3.1.10 Věta (metoda “per partes”)
Nechť funkce u, v mají derivaci na intervalu I. Existuje-li na I primitivní funkce k jedné z funkcí u′
v, uv′
,
existuje i ke druhé z nich a platí u′
(x)v(x)dx + u(x)v′
(x)dx = u(x)v(x) na I.
D.: Nechť existuje primitivní funkce k u′
v. Podle 2.1.5 je (uv)′
= u′
v + uv′
, tedy uv′
= (uv)′
− u′
v.
(u(x)v(x))′
dx = u(x)v(x) na I, u′
(x)v(x)dx existuje a tedy podle 3.1.7
u(x)v′
(x)dx = u(x)v(x) − u′
(x)v(x)dx na I, což je vzorec z tvrzení věty.
3.1.11 Poznámky
1. Je-li alespoň jedna z derivací u′
, v′
spojitá na I, jsou předpoklady věty 3.1.10 splněny.
78
2. Vzorec uvedený v 3.1.10 ve tvaru
u(x)v′
(x)dx = u(x)v(x) − u′
(x)v(x)dx
dává metodu integrace v případě, kdy integrovaná funkce je součinem dvou funkcí, z nichž jedna je derivací
známé funkce.
3. Metodou „per partes“ jsou řešitelné zejména tyto typy integrálů:
• xn
eax
dx : u(x) = xn
, v′
= eax
• xn
cos axdx : u(x) = xn
, v′
= cosax
• xn
sin axdx : u(x) = xn
, v′
= sin ax
• xn
arctg axdx : u(x) = arctg ax, v′
= xn
• xn
arccotg axdx : u(x) = arccotg ax, v′
= xn
• xn
arccosaxdx : u(x) = arccosax, v′
= xn
• xn
arcsin axdx : u(x) = arcsin ax, v′
= xn
• xa
logn
b xdx : u(x) = logn
b x, v′
= xa
Příklad:
ln xdx = x ln x − dx = x ln x − x = x ln
x
e
u = ln x u′
=
1
x
v′
= 1 v = x
3.1.12 Věta (substituční metoda)
Nechť f je funkce definovaná na intervalu I a ϕ je prostá funkce, která má derivaci na intervalu J takovém, že
ϕ(J) = I. f(x)dx existuje na I právě tehdy, když na J existuje f(ϕ(t))ϕ′
(t)dt; v tomto případě platí:
F(x) = f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ′
(t)dt = F(ϕ(t)) , G(t) = f(ϕ(t))ϕ′
(t)dt = f(x)dx = G(ϕ−1
(x)) .
D.: Podle 2.1.6 pokud
d
dx
F(x) = f(x), pak
d
dt
F(ϕ(t)) = F′
(ϕ(t))ϕ′
(t) = f(ϕ(t))ϕ′
(t).
Podle 2.1.6 a 2.1.7 pokud
d
dt
G(t) = f(ϕ(t))ϕ′
(t), pak
d
dx
G(ϕ−1
(x)) = G′
(ϕ−1
(x))
1
ϕ′(t)
= f(ϕ(ϕ−1
(x)))ϕ′
(ϕ−1
(x))
1
ϕ′(ϕ−1(x))
= f(x).
Schéma použití věty je jednoduché:
f(ϕ(t))ϕ′
(t)dt = f(x)dx = F(x) = F(ϕ(t))
ϕ(t) = x
ϕ′
(t)dt = dx
nebo
f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ′
(t)dt = G(t) = G(ϕ−1
(x))
x = ϕ(t)
dx = ϕ′
(t)dt
3.1.13 Příklad
√
1 − x2 dx = 1 − sin2
t cos tdt = cos2
tdt =
t + sin t cost
2
=
arcsin x + x
√
1 − x2
2
x = sin t
dx = cos tdt
Předposlední rovnost platí podle 3.1.9.
f(x) =
√
1 − x2, I = [−1, 1], ϕ(t) = sin t, J = [−π
2 , π
2 ].
79
3.1.14 Integrace racionálních funkcí
V rozkladu racionální funkce na parciální zlomky (viz 1.5.15) se vyskytují zlomky tvaru
p
(x − α)m
a
cx + d
[(x − a)2 + b2]n
.
dx
(x − α)m
=
dt
tm
=



1
1 − m
1
tm−1
=
1
1 − m
1
(x − α)m−1
, m = 1
ln |t| = ln |x − α|, m = 1
x − α = t
dx = dt
cx + d
[(x − a)2 + b2]n
=
c
2
2(x − a)
[(x − a)2 + b2]n
+
ac + d
[(x − a)2 + b2]n
2(x − a)
[(x − a)2 + b2]n
dx =
dt
tn
=



1
1 − n
1
tn−1
=
1
1 − n
1
((x − a)2 + b2)n−1
, n = 1
ln |t| = ln |(x − a)2
+ b2
|, n = 1
(x − a)2
+ b2
= t
2(x − a)dx = dt
dx
[(x − a)2 + b2]n
=
bdt
(b2t2 + b2)n
=
1
b2n−1
dt
(t2 + 1)n
x − a = bt
dx = bdt
Označme Kn =
dt
(t2 + 1)n
. Pak
K1 =
dt
t2 + 1
= arctg t
Kn =
dt
(t2 + 1)n
=
t
(t2 + 1)n
+ 2n
t2
(t2 + 1)n+1
dt =
u =
1
(t2 + 1)n
u′
=
−2nt
(t2 + 1)n+1
v′
= 1 v = t
=
t
(t2 + 1)n
+ 2n
dt
(t2 + 1)n
−
dt
(t2 + 1)n+1
=
=
t
(t2 + 1)n
+ 2n(Kn − Kn+1)
Tedy Kn =
t
(t2 + 1)n
+ 2nKn − 2nKn+1. Odtud Kn+1 =
t
2n(t2 + 1)n
+
2n − 1
2n
Kn.
Neboli (píšeme-li n − 1 místo n)
Kn =
t
2(n − 1)(t2 + 1)n−1
+
2n − 3
2n − 2
Kn−1
3.1.15 Poznámka
Je-li R racionální funkce pak následující integrály lze transformovat na integrály z racionální funkce:
• R(u(x))u′
(x)dx, kde u je libovolná funkce — substituce u(x) = t
• R(eax
)dx — substituce eax
= t
80
3.1.16 Definice
Polynom ve dvou proměnných je funkce P : R2
→ R tvaru
P(x, y) = an,0xn
+an−1,1xn−1
y+an−2,2xn−2
y2
+· · ·+a0,nyn
+· · ·+a2,0x2
+a1,1xy+a0,2y2
+a1,0x+a0,1y+a0,0 .
Racionální funkce ve dvou proměnných je funkce R : R2
→ R tvaru
R(x, y) =
P(x, y)
Q(x, y)
,
kde P, Q jsou polynomy ve dvou proměnných.
3.1.17 Integrály, které lze transformovat na integrály z racionální funkce
Symbolem R(x, y) budeme značit racionální funkci ve dvou proměnných x, y.
1. R x, n ax + b
cx + d
dx — substituce
ax + b
cx + d
= tn
.
2. R x,
√
ax2 + bx + c dx (Eulerovy substituce)
a > 0 : ±
√
ax2 + bx + c = ±
√
a x + t
c > 0 : ±
√
ax2 + bx + c = xt ±
√
c
ax2
+ bx + c = a(x − α1)(x − α2) : ±
√
ax2 + bx + c = t(x − α1)
3. Binomické integrály xm
(a + bxn
)p
dx, kde m, n, p ∈ Q.
p ∈ Z : x = tN
, kde N je společný jmenovatel čísel m a n
m + 1
n
∈ Z : a + bxn
= tN
, kde N je jmenovatel zlomku p
m + 1
n
+ p ∈ Z :
a
xn
+ b = tN
, kde N je jmenovatel zlomku p
4. R(sin x, cos x)dx — substituce tg
x
2
= t
V některých případech lze volit jednodušší substituci:
R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) : sin x = t
R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) : cos x = t
R(− sin x, − cosx) = R(sin x, cos x) : tg x = t
3.1.18 Poznámka
Primitivní funkce k funkci elementární nemusí být elementární, může být tzv. vyšší funkcí. Vyššími funkcemi
jsou zejména
sin x
x
dx = Si(x) „integrálsinus“
cos x
x
dx = Ci(x) „integrálcosinus“
dx
ln x
= Li(x) „logaritmusintegrál“ e−x2
dx Gaussova funkce
sin x2
dx, cos x2
dx Fresnelovy integrály
Binomické integrály xm
(a + bxn
)p
dx, pokud žádné z čísel p,
m + 1
n
,
m + 1
n
+ p není celé.
Není známo obecné pravidlo, které by umožnilo rozhodnout, zda primitivní funkci neumíme vyjádřit jako
elementární v důsledku nevhodných integračních metod, nebo zda skutečně vyjadřuje vyšší funkci.
81
3.2 Určitý integrál
V celém tomto odstavci bude f ohraničená funkce definovaná na uzavřeném intervalu [a, b].
3.2.1 Definice
Dělením uzavřeného intervalu [a, b] rozumíme množinu D = {x0, x1, . . . , xn} takovou, že
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.
Čísla x0, x1, . . . , xn nazýváme dělící body, intervaly [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn] nazýváme dělící intervaly
dělení D.
Číslo ν(D) = max{xi − xi−1 : i = 1, 2, . . ., n} nazýváme norma dělení D.
Symbolem ϑ([a, b]) označíme množinu všech dělení intervalu [a, b].
Jsou-li D1 ∈ ϑ([a, b]), D2 ∈ ϑ([a, b]) taková, že D1 ⊆ D2 (tj. každý dělící bod D1 je současně dělícím bodem
D2), řekneme, že dělení D2 je zjemněním dělení D1.
3.2.2 Definice
Buďte D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]), mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Číslo
s(D, f) =
n
i=1
mi(xi − xi−1)
nazveme dolním součtem a číslo
S(D, f) =
n
i=1
Mi(xi − xi−1)
nazveme horním součtem příslušným k funkci f a dělení D.
(Poznamenejme, že existence čísel mi a Mi je zaručena ohraničeností funkce f.)
3.2.3 Tvrzení
1. Pro libovolné D ∈ ϑ([a, b]) platí s(D, f) ≤ S(D, f).
D.: plyne z toho, že mi ≤ Mi a xi − xi−1 > 0 pro i = 1, 2, . . ., n.
2. Je-li D2 ∈ ϑ([a, b]) zjemněním D1 ∈ ϑ([a, b]), pak s(D1, f) ≤ s(D2, f), S(D1, f) ≥ S(D2, f).
(Při zjemnění dělení se dolní součet nezmenší a horní součet nezvětší.)
D.: Nechť D2 má o jeden dělící bod více, než D1, tj.
D1 = {x0, x1, . . . , xk−1, xk, . . . , xn}, D2 = {x0, x1, . . . , xk−1, z, xk, . . . , xn}.
Označme mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, i = 1, 2, . . ., n
m′
k = inf{f(x) : x ∈ [xk−1, z]},
m′′
k = inf{f(x) : x ∈ [z, xk]}.
Pak zřejmě mk ≤ m′
k, mk ≤ m′′
k a tedy
mk(xk − xk−1) = mk(xk − z) + mk(z − xk−1) ≤ m′′
k(xk − z) + m′
k(z − xk−1).
Odtud plyne
s(D1, f) =
k−1
i=1
mi(xi − xi−1) + mk(xk − xk−1) +
n
i=k+1
mi(xi − xi−1) ≤
≤
k−1
i=1
mi(xi − xi−1) + m′′
k(xk − z) + m′
k(z − xk−1) +
n
i=k+1
mi(xi − xi−1) = s(D2, f) .
Analogicky ukážeme, že S(D1, f) ≥ S(D2, f).
Pokud D2 má o p dělících bodů více než D1, ukážeme platnost tvrzení p-násobným opakováním téže
úvahy.
82
3. Nechť m = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}, M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Pak pro každé D ∈ ϑ([a, b]) platí
m(b − a) ≤ s(D, f) ≤ S(D, f) ≤ M(b − a).
D.: plyne z 1. a 2., neboť {a, b} ∈ ϑ([a, b]) a každé jiné dělení je zjemněním {a, b}.
Množiny {s(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])} a {S(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])} jsou tedy ohraničené. Obě jsou zřejmě
neprázdné. To podle 1.1.7(R14) znamená, že následující definice je korektní.
3.2.4 Definice
Číslo
b
a
f(x)dx = sup{s(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])}
nazýváme dolní integrál funkce f na intervalu [a, b] a číslo
b
a
f(x)dx = inf{S(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])}
nazýváme horní integrál funkce f na intervalu [a, b].
3.2.5 Tvrzení
Nechť m = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}, M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Pak platí
m(b − a) ≤
b
a
f(x)dx ≤
b
a
f(x)dx ≤ M(b − a) .
D.: plyne z 3.2.3.3 a z definice 3.2.4.
3.2.6 Definice
Řekneme, že ohraničená funkce f je na intervalu [a, b] integrace schopna (integrovatelná, integrabilní) v Riemannově
smyslu, jestliže
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx .
V tomto případě definujeme její Riemannův integrál
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx .
Jestliže
b
a
f(x)dx <
b
a
f(x)dx ,
řekneme, že funkce f není na intervalu [a, b] integrace schopna v Riemannově smyslu.
83
3.2.7 Příklady
1. f(x) = c ∈ R pro x ∈ [a, b].
Pak m = M = c a tedy podle 3.2.5 je
c(b − a) ≤
b
a
f(x)dx ≤
b
a
f(x)dx ≤ c(b − a) ,
z čehož plyne
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx = c(b − a) .
2. f(x) = χ(x) na [0, 1].
D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([0, 1]), mi = 0, Mi = 1 pro každé i ∈ {1, 2, . . ., n}. Tedy
s(D, f) =
n
i=1
mi(xi − xi−1) =
n
i=1
0(xi − xi−1) = 0,
b
a
χ(x)dx = 0 ,
S(D, f) =
n
i=1
Mi(xi − xi−1) =
n
i=1
1(xi − xi−1) = xn − x0 = 1,
b
a
f(x)dx = 1
a χ(x) není integrabilní na [0, 1].
3.2.8 Definice
Nechť D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]), ξi ∈ [xi−1, xi]. Množina Ξ = {ξ1, ξ2, . . . , ξn} se nazývá výběr representantů
dělících intervalů dělení D.
Číslo
σ(D, f, Ξ) =
n
i=1
f(ξi)(xi − xi−1)
se nazývá integrální součet příslušný k funkci f, dělení D a výběru representantů Ξ.
Poněvadž mi ≤ f(ξi) ≤ Mi, platí s(D, f) ≤ σ(D, f, Ξ) ≤ S(D, f).
Posloupností v širším smyslu rozumíme zobrazení množiny N do libovolné množiny.
Lze tedy mluvit o posloupnosti dělení daného intervalu: N → ϑ([a, b]). Řekneme, že posloupnost dělení
{Dn}∞
n=1 ⊆ ϑ([a, b]) je nulová, jestliže lim
n→∞
ν(Dn) = 0.
Ke každému δ > 0 existuje D ∈ ϑ([a, b]) takové, že ν(D) < δ. (Stačí položit n =
b − a
δ
+ 1 a interval [a, b]
rozdělit na n stejně dlouhých dělících intervalů.)
3.2.9 Věta
Buď {Dn}∞
n=1 libovolná nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Pak platí
lim
n→∞
s(Dn, f) =
b
a
f(x)dx , lim
n→∞
S(Dn, f) =
b
a
f(x)dx .
Je-li navíc f integrabilní na [a, b] a Ξn je libovolný výběr representantů dělících intervalů dělení Dn, pak platí
lim
n→∞
s(Dn, f) = lim
n→∞
S(Dn, f) = lim
n→∞
σ(Dn, f, Ξn) =
b
a
f(x)dx .
84
D.: Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé D ∈ ϑ([a, b]),
ν(D) < δ platí
S(D, f) <
b
a
f(x)dx + ε .
Poněvadž f je ohraničená, existuje h ∈ R, h > 0, že |f(x)| ≤ h pro x ∈ [a, b].
Podle 3.2.4 a podle 1.1.6(s2∗
) existuje D1 = {y0, y1, . . . , yp} ∈ ϑ([a, b]), že
b
a
f(x)dx ≤ S(D1, f) <
b
a
f(x)dx +
ε
2
.
Položme δ =
ε
4hp
. Pak δ > 0. Buď D = {x1, x2, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) libovolné takové, že ν(D) < δ.
Dále položme D2 = D ∪ D1 = {z1, z2, . . . , zm} Podle 3.2.3.2 je S(D2, f) ≤ S(D, f).
Dělící intervaly [xi−1, xi] rozdělíme do dvou druhů:
intervaly 1. druhu, jestliže uvnitř něho neleží žádný dělící bod yj
intervaly 2. druhu v opačném případě
Každý dělící interval 1. druhu je rovněž dělícím intervalem dělení D2. Tento interval přispívá k S(D, f)
i k S(D2, f) týmž sčítancem Mi(xi − xi−1), tedy v rozdílu S(D, f) − D(D2, f) se neprojeví.
Uvnitř každého intervalu [xi−1, xi] 2. druhu leží alespoň jedno z čísel y1, y2, . . . , yp−1, což znamená,
že intervalů 2. druhu je nejvýše p − 1.
Interval druhého druhu přispívá k S(D, f) sčítancem Mi(xi − xi−1), který je v absolutní hodnotě
menší nebo roven hν(D) < hδ. Absolutní hodnota příspěvku všech intervalů 2. druhu k S(D, f) je
tedy < hδp.
V D2 je každý interval [xi−1, xi] 2. druhu rozdělen dělícími body xi−1 = zr < zr+1 < · · · < zs = xi.
Označme M′
k = sup{f(x) : x ∈ [zk−1, zk]}. Opět |M′
k| ≤ h a tedy absolutní hodnota příspěvku
intervalu [xi−1, xi] do součtu S(D2, f) jest
s
k=r+1
M′
k(zk − zk−1) ≤
s
k=r+1
h(zk − zk−1) = h(zs − zr) = h(xi − xi−1) < hν(D) < hδ .
Absolutní hodnota příspěvků všech intervalů 2. druhu k S(D2, f) je tedy < hδp.
Odtud plyne, že S(D, f) − S(D2, f) < 2hδp =
ε
2
, neboli S(D, f) < S(D2, f) +
ε
2
.
Podle 3.2.3.2 je S(D2, f) ≤ S(D1, f) a tedy
S(D, f) < S(D2, f) +
ε
2
≤ S(D1, f) +
ε
2
<
b
a
f(x)dx +
ε
2
+
ε
2
,
což je pomocné tvrzení.
Buď nyní ε ∈ R, ε > 0 libovolné. Podle pomocného tvrzení existuje δ ∈ R, δ > 0 takové, že pro každé
D ∈ ϑ([a, b]), ν(D) < δ platí
S(D, f) <
b
a
f(x)dx + ε .
Poněvadž
S(D, f) ≥
b
a
f(x)dx ,
platí
S(D, f) −
b
a
f(x)dx < ε .
85
Poněvadž posloupnost {Dn} je nulová, k δ > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 platí ν(Dn) < δ. To
znamená, že pro n ≥ n0 platí
S(Dn, f) −
b
a
f(x)dx < ε ,
neboli
lim
n→∞
S(Dn, f) =
b
a
f(x)dx .
Analogicky dokážeme
lim
n→∞
s(Dn, f) =
b
a
f(x)dx .
Je-li f integrabilní na [a, b], je
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx ,
takže
lim
n→∞
S(Dn, f) = lim
n→∞
s(Dn, f) =
b
a
f(x)dx .
Poslední tvrzení věty nyní plyne z nerovnosti s(D, f) ≤ σ(D, f, Ξ) ≤ S(D, f) a z 1.3.7.
3.2.10 Věta (Nutná a dostatečná podmínka integrability)
Funkce f je na [a, b] integrabilní právě tehdy, když ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje D ∈ ϑ([a, b]) takové, že
S(D, f) − s(D, f) < ε.
D.: ⇒: Nechť f je integrabilní. Buďte ε > 0 libovolné a {Dn}∞
n=1 ⊆ ϑ([a, b]) libovolná nulová. Podle 3.2.9
existuje n0 ∈ N, že
s(Dn0 , f) −
b
a
f(x)dx <
ε
2
, S(Dn0 , f) −
b
a
f(x)dx <
ε
2
.
Tedy pro Dn0 platí
S(Dn0 , f) − s(Dn0 , f) = |S(Dn0 , f) − s(Dn0 , f)| ≤
≤ S(Dn, f) −
b
a
f(x)dx +
b
a
f(x)dx − s(Dn, f) <
<
ε
2
+
ε
2
= ε .
⇐: Nechť je podmínka splněna. Buď ε > 0 a D ∈ ϑ([a, b]) takové dělení, že S(d, f) − s(D, f) < ε.
Protože
b
a
f(x)dx ≤ S(D, f),
b
a
f(x)dx ≥ s(D, f) ,
platí
b
a
f(x)dx −
b
a
f(x)dx < ε .
86
Poněvadž ε je libovolné, je možno poslední nerovnost splnit pouze tehdy, když
b
a
f(x)dx ≤
b
a
f(x)dx .
Poněvadž opačná nerovnost platí podle 3.2.5 vždy, jest
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx
a f je integrabilní.
3.2.11 Věta
Je-li funkce f monotonní na [a, b], pak je na tomto intervalu integrabilní.
D.: Nechť pro určitost je f na [a, b] neklesající.
Je-li f(a) = f(b), je f na [a, b] konstantní a podle 3.2.7.1 je integrabilní.
Nechť f(a) < f(b). Buď ε > 0 libovolné a D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) takové, že ν(D) <
ε
f(b) − f(a)
.
mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]} = f(xi−1), Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]} = f(xi), tedy
S(D, f) − s(D, f) =
n
i=1
f(xi)(xi − xi−1) −
n
i=1
f(xi−1)(xi − xi−1) =
=
n
i=1
(f(xi) − f(xi−1))(xi − xi−1) ≤
n
i=1
(f(xi) − f(xi−1))ν(D) =
= ν(D)(f(x1) − f(x0) + f(x2) − f(x1) + · · · + f(xn) − f(xn−1)) =
= ν(D)(f(xn) − f(x0)) = ν(D)(f(b) − f(a)) <
ε
f(b) − f(a)
(f(b) − f(a)) =
= ε .
Podle 3.2.10 je f integrabilní na [a, b].
3.2.12 Věta
Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak je na tomto intervalu integrabilní.
D.: Buď f spojitá a ε > 0 libovolné. Podle 1.7.20 je f na [a, b] spojitá stejnoměrně, tedy k
ε
b − a
> 0 existuje
δ > 0 takové, že pro x, y ∈ [a, b], |x − y| < δ je |f(x) − f(y)| <
ε
b − a
.
Buď D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]), ν(D) < δ,
mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]},
Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.
Podle 1.7.12 existují yi ∈ [xi−1, xi], zi ∈ [xi−1, xi] takové, že f(yi) = mi, f(zi) = Mi.
Dále |yi − zi| < δ a tedy f(zi) − f(yi) = Mi − mi <
ε
b − a
. Odtud
S(D, f) − s(D, f) =
n
i=1
f(zi)(xi − xi−1) −
n
i=1
f(yi)(xi − xi−1) =
n
i=1
(f(zi) − f(yi))(xi − xi−1) <
<
ε
b − a
n
i=1
(xi − xi−1) =
ε
b − a
(b − a) = ε
a podle 3.2.10 je f integrabilní na [a, b].
87
3.2.13 Definice
Množina M ⊆ R se nazývá nulová, jestliže ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje konečný počet otevřených intervalů
(a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn) takových, že
n
i=1
(bi − ai) < ε a M ⊆ (a1, b1) ∪ (a2, b2) ∪ · · · ∪ (an, bn).
Platí
• Každá konečná množina je nulová.
• Sjednocení konečně mnoha nulových množin je nulová množina.
• Množina členů konvergentní posloupnosti je nulová.
• Množina členů posloupnosti, která má konečný počet hromadných bodů, je nulová.
3.2.14 Věta
Je-li množina bodů nespojitosti funkce f na intervalu [a, b] nulová, pak je f integrabilní na [a, b].
D.: Bude proveden později (3.3.15).
Příklad: [a, b] = [0, 1], f(x) =



(−1)n
, x ∈
1
2n+1
,
1
2n
, n = 0, 1, 2, · · ·
0, x = 0
.
Množina bodů nespojitosti M =
1
2n
: n ∈ N tvoří konvergentní posloupnost. Je to tedy nulová množina, což
znamená, že f je integrabilní na [0, 1]. (Platí
b
a
f(x)dx = 1
3 .)
3.2.15 Věta (Leibnizova [1646 – 1716] – Newtonova [1642 – 1727] formule)
Nechť funkce f je integrabilní na [a, b] a nechť funkce F je spojitá na [a, b] a na (a, b) primitivní k f. Pak
b
a
f(x)dx = F(b) − F(a) .
D.: Buď D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]). F splňuje na [xi−1, xi] předpoklady 2.3.3. Existuje tedy ξi ∈
(xi−1, xi) takové, že F(xi) − F(xi−1) = F′
(ξi)(xi − xi−1) = f(ξi)(xi − xi−1).
Označme Ξ = {ξ1, ξ2, . . . ξn}. Pak
σ(D, f, Ξ) =
n
i=1
f(ξi)(xi − xi−1) =
n
i=1
(F(xi) − F(xi−1)) = F(b) − F(a) .
To znamená: Pro libovolné D ∈ ϑ([a, b]) existuje výběr representantů Ξ takový, že σ(D, f, Ξ) = F(b)−F(a).
Buď nyní {Dn}∞
n=1 libovolná nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Ke každému Dn existuje výběr
representantů Ξn takový, že σ(Dn, f, Ξn) = F(b) − F(a). Podle 3.2.9 je
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
σ(Dn, f, Ξn) = F(b) − F(a) .
Budeme používat označení [F(x)]b
a = F(b) − F(a).
88
3.2.16 Poznámka
Je-li funkce G spojitá na [a, b] a na (a, b) primitivní k f, pak podle 3.1.5 je G(x) = F(x) + c a tedy
[G(x)]b
a = [F(x) + c]b
a = (F(b) + c) − (F(a) + c) = F(b) − F(a) = [F(x)]b
a .
To znamená, že formule z věty 3.2.15 nezávisí na výběru primitivní funkce.
3.2.17 Příklad
1
0
x2
arctg xdx
x2
arctg x je na [0, 1] spojitá, tedy podle 3.2.12 integrabilní.
x3
3
arctg x +
1
6
ln(x2
+ 1) −
x2
6
je primitivní k x2
arctg x a na [0, 1] spojitá. Tedy
1
0
x2
arctg xdx =
x3
3
arctg x +
1
6
ln(x2
+ 1) −
x2
6
1
p
=
1
3
arctg 1 +
1
6
ln 2 −
1
6
−
1
6
ln 1 =
=
1
3
π
4
+
1
6
ln 2 −
1
6
=
1
12
(π − 2 + ln 2) .
3.2.18 Definice
Řekneme, že funkce f definovaná na (a, b) je na tomto intervalu integrace schopna (integrovatelná, integrabilní)
v Newtonově smyslu, jestliže existuje funkce F spojitá na [a, b] a primitivní k f na (a, b).
V tomto případě definujeme její Newtonův integrál
b
a
f(x)dx = F(b) − F(a) .
Věta 3.2.15 říká, že je-li funkce f integrabilní na [a, b] v Riemannově i v Newtonově smyslu, pak se její
Riemannův a Newtonův integrál rovnají.
3.2.19 Poznámky
1. Integrace „per partes“ pro určité integrály:
b
a
u(x)v′
(x)dx = [u(x)v(x)]b
a −
b
a
u′
(x)v(x)dx
2. Substituční metoda pro určité integrály:
b
a
f(ϕ(x))ϕ′
(x)dx =
ϕ(b)
ϕ(a)
f(t)dt
b
a
f(x)dx =
ϕ−1
(b)
ϕ−1(a)
f(ϕ(t))ϕ′
(t)dt
3.3 Vlastnosti Riemannova integrálu
V celém odstavci bude pojem „integrabilní funkce“ znamenat funkci integrace schopnou v Riemannově smyslu.
89
3.3.1 Věta
Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b], c, d ∈ R, c ≤ f(x) ≤ d pro každé x ∈ [a, b]. Pak
c(b − a) ≤
b
a
f(x)dx ≤ d(b − a) .
D.: Plyne z 3.2.5, neboť c ≤ inf{f(x) : x ∈ [a, b]}, d ≥ sup{f(x) : x ∈ [a, b]}.
3.3.2 Důsledky
1. Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Jestliže f(x) ≥ 0 pro každé x ∈ [a, b], pak
b
a
f(x)dx ≥ 0 .
2. Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Jestliže |f(x)| ≤ c pro každé x ∈ [a, b], pak
b
a
f(x)dx ≤ c(b − a) .
D.: Plyne z nerovnosti −c(b − a) ≤
b
a
f(x)dx ≤ c(b − a).
3.3.3 Věta (aditivita vzhledem k integrovaným funkcím)
Nechť f a g jsou funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Pak je i funkce f + g integrabilní na intervalu [a, b] a
platí
b
a
(f(x) + g(x))dx =
b
a
f(x)dx +
b
a
g(x)dx .
D.: Buď D = {x0, x1, x2, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) libovolné a označme
mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, ni = inf{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, pi = inf{f(x) + g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.
Na intervalu [xi−1, xi] platí mi + ni ≤ f(x) + g(x) a tedy mi + ni ≤ pi, což znamená, že
mi(xi − xi−1) + ni(xi − xi−1) ≤ pi(xi − xi−1).
Sečtením těchto nerovností pro i od 1 do n dostaneme s(D, f) + s(D, g) ≤ s(D, f + g).
Buď nyní {Dn}∞
n=0 libovolná nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Pak platí
s(Dn, f) + s(Dn, g) ≤ s(Dn, f + g) a limitním přechodem n → ∞ dostaneme podle 3.2.9, 1.3.5.1 a 1.3.6.2
b
a
f(x)dx +
b
a
g(x)dx ≤
b
a
(f(x) + g(x))dx .
Analogicky odvodíme
b
a
(f(x) + g(x))dx ≤
b
a
f(x)dx +
b
a
g(x)dx .
Z těchto nerovností plyne tvrzení.
90
3.3.4 Věta (homogenita vzhledem k integrovaným funkcím)
Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b] a c ∈ R. Pak funkce cf je integrabilní na intervalu [a, b] a platí
b
a
cf(x)dx = c
b
a
f(x)dx .
D.: Nechť D = {x0, x1, x2, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) libovolné a označme
mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]},
ni = inf{cf(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Ni = sup{cf(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.
Pro c = 0 je tvrzení zřejmé.
Nechť c > 0. Pak je ni = cmi, Ni = cMi a tedy s(D, cf) = cs(D, f), S(D, cf) = cS(D, f).
Pro libovolnou nulovou {Dn}∞
n=1 ⊆ ϑ([a, b]) platí:
b
a
cf(x)dx = lim
n→∞
s(Dn, cf) = c lim
n→∞
s(Dn, f) = c
b
a
f(x)dx ,
b
a
cf(x)dx = lim
n→∞
S(Dn, cf) = c lim
n→∞
S(Dn, f) = c
b
a
f(x)dx ,
z čehož plyne tvrzení.
Nechť c < 0. Pak ni = cMi, Ni = cmi a tedy s(D, cf) = cS(D, f), S(D, cf) = cs(D, f) a důkaz dokončíme
s využitím nulové posloupnosti {Dn}∞
n=1 ⊆ ϑ([a, b]).
3.3.5 Důsledek (linearita Riemannova integrálu)
Nechť f1, f2, . . . , fn jsou funkce integrabilní na intervalu [a, b] a c1, c2, . . . , cn ∈ R. Pak je funkce
c1f1 + c2f2 + · · · + cnfn integrabilní na intervalu [a, b] a platí
b
a
(c1f1(x) + c2f2(x) + · · · + cnfn(x))dx = c1
b
a
f1(x)dx + c2
b
a
f2(x)dx + · · · + cn
b
a
fn(x))dx .
3.3.6 Věta (monotonie vzhledem k integrovaným funkcím)
Nechť f a g jsou funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Jestliže pro každé x ∈ [a, b] platí f(x) ≤ g(x), pak
b
a
f(x)dx ≤
b
a
g(x)dx .
D.: Pro x ∈ [a, b] je g(x) − f(x) ≥ 0 a tedy podle 3.3.2.1 a 3.3.5 je
0 ≤
b
a
(g(x) − f(x))dx =
b
a
g(x)dx −
b
a
f(x)dx.
3.3.7 Věta
Nechť funkce f a g jsou integrabilní na intervalu [a, b]. Pak je také funkce fg integrabilní na intervalu [a, b].
D.: Nechť nejprve f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 pro x ∈ [a, b].
Poněvadž funkce f a g jsou integrabilní, jsou ohraničené a tedy existuje k ∈ R, k > 0 takové, že
f(x) ≤ k, g(x) ≤ k pro x ∈ [a, b].
Buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné. K číslu
ε
2k
> 0 existují podle 3.2.10 dělení D1, D2 intervalu [a, b] taková. že
S(D1, f) − s(D1, f) <
ε
2k
, S(D2, g) − s(D2, g) <
ε
2k
.
Položme D = {x0, x1, . . . , xn} = D1 ∪ D2.
Podle 3.2.3.2 platí s(D1, f) ≤ s(D, f), S(D1, f) ≥ S(D, f) a tedy
91
S(D, f) − s(D, f) ≤ S(D1, f) − s(D1, f) <
ε
2k
.
Obdobně: S(D, g) − s(D, g) <
ε
2k
.
Označme
mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]},
ni = inf{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Ni = sup{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]},
pi = inf{f(x)g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Pi = sup{f(x)g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.
Na intervalu [xi−1, xi] platí 0 ≤ mi ≤ f(x) ≤ Mi, 0 ≤ ni ≤ g(x) ≤ Ni a tedy mini ≤ f(x)g(x) ≤ MiNi.
Odtud dále plyne mini ≤ pi ≤ Pi ≤ MiNi, neboli Pi − pi ≤ MiNi − mini = Ni(Mi − mi) + mi(Ni − ni).
Poněvadž Ni ≤ k, mi ≤ k, platí Pi − pi ≤ k((Mi − mi) + (Ni − ni)). Poslední nerovnost vynásobíme
(xi − xi−1) a takto vzniklé nerovnosti sečteme pro i = 1, 2, . . . , n. Dostaneme:
S(D, fg) − s(D, fg) ≤ k(S(D, f) − s(D, f) + S(D, g) − s(D, g)) ≤ k
ε
2k
+
ε
2k
= ε .
Podle 3.2.10 je funkce fg integrabilní.
Nechť nyní jsou f, g libovolné. Opět existuje k ∈ R, že f(x) ≤ k, g(x) ≤ k pro x ∈ [a, b].
Podle 3.3.5 jsou funkce k − f(x) ≥ 0, k − g(x) ≥ 0 integrabilní a podle první části důkazu je integrabilní
i funkce h(x) = (k − f(x))(k − g(x)).
Poněvadž f(x)g(x) = h(x)+ kf(x)+ kg(x)− k2
, je funkce fg podle 3.3.5 integrabilní na intervalu [a, b].
3.3.8 Věta
Nechť funkce f a g jsou integrabilní na intervalu [a, b]. Je=li |g(x)| ≥ c > 0 pro x ∈ [a, b], pak je také funkce
f
g
integrabilní na intervalu [a, b].
D.: Nechť g(x) ≥ c > 0 pro x ∈ [a, b].
Buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné. K číslu c2
ε > 0 existuje podle 3.2.10 takové D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]),
že S(D, g) − s(D, g) < c2
ε.
Označme
mi = inf{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{g(x) : x ∈ [xi−1, xi]},
ni = inf
1
g(x)
: x ∈ [xi−1, xi] , Ni = sup
1
g(x)
x ∈ [xi−1, xi] .
Platí ni =
1
Mi
, Ni =
1
mi
, mi ≥ c, Mi ≥ c. Odtud dostaneme
Ni − ni =
1
mi
−
1
Mi
=
Mi − mi
miMi
≤
1
c2
(Mi − mi).
Tyto nerovnice vynásobíme (xi − xi−1) a sečteme pro i = 1, 2, . . . , n. Dostaneme
S D,
1
g
− s D,
1
g
≤
1
c2
(S(D, g) − s(D, g)) < ε.
Podle 3.2.10 je funkce
1
g
integrabilní na [a, b].
Je-li g(x) ≤ −c < 0 pro x ∈ [a, b], je podle první části důkazu funkce −
1
g
integrabilní na [a, b] a tedy podle
3.3.4 je také
1
g
integrabilní na [a, b].
Tvrzení věty je nyní důsledkem 3.3.7, neboť
f
g
= f
1
g
.
Poznámka: Předpoklad |g(x)| ≥ c > 0 nelze obecně nahradit slabším předpokladem |g(x)| > 0, neboť
v takovém případě funkce
f
g
nemusí být ohraničená.
Např.: [a, b] = [0, 1], f(x) = 1, g(x) =
x, x ∈ (0, 1]
1, x = 0
.
g je integrabilní na [0, 1] podle 3.2.14,
f(x)
g(x)
=



1
x
, x ∈ (0, 1]
1, x = 0
není ohraničená.
92
3.3.9 Věta
Je-li funkce f integrabilní na intervalu [a, b], pak také funkce |f| je integrabilní na intervalu [a, b] a platí
b
a
f(x)dx ≤
b
a
|f(x)|dx .
D.: Buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné. Existuje D = {x0, x1, . . . , xn} ∈ ϑ([a, b]) takové, že S(D, f) − s(D, f) < ε.
Označme
mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]},
ni = inf{|f(x)| : x ∈ [xi−1, xi]}, Ni = sup{|f(x)| : x ∈ [xi−1, xi]}.
Buďte x, y ∈ [xi−1, xi]. Pak |f(x)|−|f(y)| ≤ |f(x)−f(y)| ≤ Mi−mi. Odtud plyne, že pro pevně zvolené y je
|f(x)| ≤ |f(y)|+Mi−mi. Z vlastností suprema plyne Ni ≤ |f(y)|+Mi−mi, neboli |f(y)| ≥ Ni−(Mi−mi).
Z vlastností infima nyní plyne ni ≥ Ni − (Mi − mi), neboli Ni − ni ≤ Mi − mi.
Poslední nerovnice vynásobíme (xi − xi−1) a sečteme přes i = 1, 2, . . . , n.
Dostaneme S(D, |f|) − s(D, |f|) ≤ S(D, f) − s(D, f) < ε a podle 3.2.10 je funkce |f| integrabilní.
Dále pro x ∈ [a, b] platí f(x) ≤ |f(x)|, −f(x) ≤ |f(x)| a tedy podle 3.3.6
b
a
f(x)dx ≤
b
a
|f(x)|dx, −
b
a
f(x)dx ≤
b
a
|f(x)|dx,
což znamená
−
b
a
|f(x)|dx ≤
b
a
f(x)dx ≤
b
a
|f(x)|dx,
a to je nerovnost v tvrzení věty.
Poznámka: Obrácené tvrzení neplatí. Např. pro f(x) = χ(x) − 1
2 je |f(x)| = 1
2 , což je funkce integrabilní,
ale
1
0
f(x)dx = −
1
2
<
1
2
=
1
0
f(x)dx .
(Sr. 3.2.7)
3.3.10 Věta (1. věta o střední hodnotě integrálního počtu)
Nechť funkce f a g jsou integrabilní na intervalu [a, b], g(x) ≥ 0 pro x ∈ [a, b], m = inf{f(x) : x ∈ [a, b]},
M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Pak existuje µ ∈ [m, M] takové, že
b
a
f(x)g(x)dx = µ
b
a
g(x)dx .
D.: Poněvadž m ≤ f(x) ≤ M a g(x) ≥ 0, platí mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x) a tedy podle 3.3.6 a 3.3.4 je
m
b
a
g(x)dx ≤
b
a
f(x)g(x)dx ≤ M
b
a
g(x)dx .
Je-li
b
a
g(x)dx = 0, pak podle 3.3.6 a 3.3.4 je
0 = m
b
a
g(x)dx =
b
a
mg(x)dx ≤
b
a
f(x)g(x)dx ≤
b
a
Mg(x)dx = M
b
a
g(x)dx = 0
93
a tedy
b
a
f(x)g(x)dx = 0. Rovnost v tvrzení věty je splněna pro libovolné µ ∈ R.
Je-li
b
a
g(x)dx > 0, položíme
µ =
b
a
f(x)g(x)dx
b
a
g(x)dx
.
Pak
m =
m
b
a
g(x)dx
b
a
g(x)dx
≤
b
a
f(x)g(x)dx
b
a
g(x)dx
= µ =
b
a
f(x)g(x)dx
b
a
g(x)dx
≤
M
b
a
g(x)dx
b
a
g(x)dx
= M .
3.3.11 Důsledky
1. Nechť funkce f je navíc spojitá. Pak existuje c ∈ [a, b] takové, že
b
a
f(x)g(x)dx = f(c)
b
a
g(x)dx .
D.: plyne z 1.7.15.
2. Nechť m a M mají stejný význam jako v 3.3.10. Pak existuje µ ∈ [m, M] takové, že
b
a
f(x)dx = µ(b − a) .
D.: volbou g(x) = 1.
3. Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b]. Pak existuje c ∈ [a, b] takové, že
b
a
f(x)dx = f(c)(b − a) .
3.3.12 Věta (aditivita vzhledem k integračnímu oboru)
Nechť a, b, c ∈ R, a < b < c a f je ohraničená funkce definovaná na [a, c]. Pak platí
c
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx +
c
b
f(x)dx,
c
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx +
c
b
f(x)dx.
Je-li funkce f integrabilní na [a, b] i na [a, c], pak je integrabilní i na [a, c] a platí
c
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx +
c
b
f(x)dx.
D.: Nechť {D′
n} je nulová posloupnost dělení intervalu [a, b] a {D′′
n} je nulová posloupnost dělení intervalu
[b, c]. Pro každé n ∈ N položme Dn = D′
n ∪ D′′
n.
Pak je Dn ∈ ϑ([a, b]), ν(Dn) = max{ν(D′
n), ν(D′′
n)}. Tedy lim
n→∞
ν(Dn) = 0, neboli {Dn}∞
n=1 je nulová
94
posloupnost dělení intervalu [a, c].
Dále s(Dn, f) = s(D′
n, f)+s(D′′
n, f), S(Dn, f) = S(D′
n, f)+S(D′′
n, f), z čehož limitním přechodem n → ∞
s využitím 3.2.9 dostaneme první tvrzení.
Je-li funkce f integrabilní na intervalech [a, b] a [b, c], platí
c
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx +
c
b
f(x)dx =
c
a
f(x)dx ,
což je druhé tvrzení.
3.3.13 Poznámky
1. Druhé tvrzení věty 3.3.12 neplatí pro Newtonův integrál.
Např.: a = −1, b = 0, c = 1, f(x) = sgn x.
2. Větu 3.3.12 lze indukcí zobecnit na libovolný konečný počet intervalů:
Jsou-li a1, a2, . . . , an ∈ R taková, že a1 < a2 < · · · < an a funkce f je integrabilní na každém intervalu
[ai−1, ai], i = 2, 3 . . ., n, pak je f integrabilní i na intervalu [a1, an] a platí
an
a1
f(x)dx =
n
i=2
ai
ai−1
f(x)dx .
Analogické tvrzení platí pro horní a dolní integrál.
3.3.14 Věta (monotonie vzhledem k integračnímu oboru)
Nechť funkce f je integrabilní na intervalu [a, b] a nechť [c, d] ⊆ (a, b). Pak je f integrabilní i na intervalu [c, d].
D.: Nechť {D′
n}, resp. {D′′
n}, resp. {D′′′
n } je nulová posloupnost dělení intervalu [a, c], resp. [c, d], resp. [d, b].
Pro každé n ∈ N položme Dn = D′
n ∪ D′′
n ∪ D′′′
n .
Pak je {Dn}∞
n=1 nulová posloupnost dělení intervalu [a, b] a platí
s(Dn, f) = s(D′
n, f) + s(D′′
n) + s(D′′′
n ), S(Dn, f) = S(D′
n, f) + S(D′′
n) + S(D′′′
n ).
Odtud dostaneme limitním přechodem n → ∞ s využitím 3.2.9
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
d
c
f(x)dx +
b
d
f(x)dx,
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
d
c
f(x)dx +
b
d
f(x)dx .
Odečtením těchto rovností dostaneme
0 =


c
a
f(x)dx −
c
a
f(x)dx

 +


d
c
f(x)dx −
d
c
f(x)dx

 +



b
d
f(x)dx −
b
d
f(x)dx


 .
Poněvadž všechny sčítance jsou nezáporné, musí být nulové. Zejména
d
c
f(x)dx =
d
c
f(x)dx .
95
3.3.15 Důkaz věty 3.2.14
D.: Buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné.
Poněvadž funkce f je na intervalu [a, b] ohraničená, existuje k ∈ R, k > 0 takové, že −k ≤ f(x) ≤ k pro
každé x ∈ [a, b].
Buď M množina bodů nespojitosti funkce f. Poněvadž je tato množina nulová, existují
a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn ∈ R, a ≤ a1 < b1 < a2 < b2 < · · · < an < bn ≤ b
takové, že M ⊆ (a1, b1) ∪ (a2, b2) ∪ · · · ∪ (an, bn) a
n
i=1
(bi − ai) <
ε
2k
.
Předpokládejme, že a < a1, bn < b. (V opačném případě bychom provedli analogické úvahy.)
Na každém z intervalů [a, a1], [b1, a2], . . . , [bn−1, an], [bn, b] je funkce f spojitá a tedy podle 3.2.12
integrabilní.
Na každém intervalu (a1, b1), (a2, b2), · · · , (an, bn) podle 3.2.5 platí
−k(bi − ai) ≤
bi
ai
f(x)dx ≤
bi
ai
f(x)dx ≤ k(bi − ai), i = 1, 2, . . . , n .
Podle 3.3.13.2 je
b
a
f(x)dx =
a1
a
f(x)dx +
b
bn
f(x)dx +
n−1
i=1
ai+1
bi
f(x)dx +
n
i=1
bi
ai
f(x)dx ≥
≥
a1
a
f(x)dx +
b
bn
f(x)dx +
n−1
i=1
ai+1
bi
f(x)dx − k
n
i=1
(bi − ai) >
>
a1
a
f(x)dx +
b
bn
f(x)dx +
n−1
i=1
ai+1
bi
f(x)dx − k
ε
2k
=
=
a1
a
f(x)dx +
b
bn
f(x)dx +
n−1
i=1
ai+1
bi
f(x)dx −
ε
2
.
Analogicky ukážeme, že
b
a
f(x)dx <
a1
a
f(x)dx +
b
bn
f(x)dx +
n−1
i=1
ai+1
bi
f(x)dx +
ε
2
.
Odtud
0 ≤
b
a
f(x)dx −
b
a
f(x)dx < ε .
Poněvadž ε > 0 bylo libovolné, je
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx .
3.3.16 Věta
Nechť f, g jsou ohraničené funkce na intervalu [a, b] a nechť množina M = {x ∈ [a, b] : f(x) = g(x)} je nulová.
Je-li jedna z funkcí f, g integrabilní na [a, b], je integrabilní i druhá z nich a platí
b
a
f(x)dx =
b
a
g(x)dx .
96
D.: Nechť funkce f je integrabilní a buď ε ∈ R, ε > 0 libovolné.
Buď k ∈ R, k > 0 takové, že −k ≤ g(x) ≤ k pro x ∈ [a, b].
Poněvadž M je nulová, existují a ≤ a1 < b1 < a2 < b2 < · · · < an < bn ≤ b takové, že
M ⊆ (a1, b1) ∪ (a2, b2) ∪ · · · ∪ (an, bn),
n
i=1
(bi − ai) ≤
ε
2k
.
Podle 3.3.14 je funkce f na každém z intervalů [a, a1], [b1, a2], [b2, a3], . . . , [bn, b] integrabilní.
Na každém z těchto intervalů jsou funkce f, g shodné, tedy i g je na nich integrabilní a platí
a1
a
f(x)dx =
a1
a
g(x)dx,
a2
b1
f(x)dx =
a2
b1
g(x)dx, . . . ,
b
bn
f(x)dx =
b
bn
g(x)dx.
Na každém z intervalů [ai, bi] platí
−k(bi − ai) ≤
bi
ai
g(x)dx ≤
bi
ai
g(x)dx ≤ k(bi − ai) .
Analogicky jako v důkazu věty 3.2.14 ukážeme
b
a
g(x)dx >
a1
a
f(x)dx +
b
bn
f(x)dx +
n−1
i=1
ai+1
bi
f(x)dx −
ε
2
,
b
a
g(x)dx <
a1
a
f(x)dx +
b
bn
f(x)dx +
n−1
i=1
ai+1
bi
f(x)dx +
ε
2
,
z čehož opět vyplyne
b
a
g(x)dx =
b
a
g(x)dx.
V důsledku věty 3.3.16 není při úvahách o Riemannovu integrálu nutné předpokládat, že ohraničená funkce
je definovaná na celém intervalu [a, b]. Stačí, je-li definovaná na [a, b] s výjimkou nulové množiny. Zejména lze
tedy hovořit o funkci integrabilní na otevřeném intervalu (a, b).
3.4 Integrál jako funkce horní meze
3.4.1 Úmluva
Nechť a ∈ R a funkce f je definována v a (tj. a ∈ Dom f). Pak klademe
a
a
f(x)dx = 0.
Nechť a, b ∈ R, a > b a nechť funkce f je integrabilní na intervalu [b, a]. Pak klademe
b
a
f(x)dx = −
a
b
f(x)dx.
Snadno ověříme, že při této rozšířené definici zůstávají v platnosti všechna tvrzení předchozího odstavce.
Nechť funkce f je integrabilní na [a, b] a x ∈ [a, b]. Podle 3.3.14 je funkce f integrabilní na [a, x]. Funkci
F(x) =
x
a
f(t)dt definovanou na [a, b] nazýváme integrál jako funkce horní meze.
97
3.4.2 Věta
Nechť funkce f je integrabilní na [a, b]. Pak je funkce F(x) =
x
a
f(t)dt spojitá na [a, b].
D.: Buď x0 ∈ [a, b], ε > 0 libovolné.
Poněvadž f je integrabilní, je ohraničená a tedy existuje c ∈ R takové, že |f(x)| ≤ c pro x ∈ [a, b].
Položme δ =
ε
c
.
Buď x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ) libovolný. Pak
|F(x0) − F(x)| =
x0
a
f(t)dt −
x
a
f(t)dt =
x
x0
f(t)dt ≤ |x − x0|c < δc =
ε
c
c = ε.
(První nerovnost plyne z 3.3.2.2)
3.4.3 Věta
Nechť je funkce f integrabilní na [a, b] a spojitá v x0 ∈ [a, b]. Pak funkce F(x) =
x
a
f(t)dt má derivaci v x0 a
platí F′
(x0) = f(x0).
V případě x0 = a nebo x0 = b se jedná o příslušnou jednostrannou derivaci.
D.: Buď ε > 0 libovolné. Poněvadž f je spojitá v x0, k
ε
2
> 0 existuje δ > 0 takové, že pro
x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b] platí |f(x) − f(x0)| ≤
ε
2
.
Tedy pro x = x0, x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b] platí
F(x) − F(x0)
x − x0
− f(x0) =
1
x − x0


x
a
f(t)dt −
x0
a
f(t)dt

 −
f(x0)(x − x0)
x − x0
=
=
1
x − x0


x
x0
f(t)dt −
x
x0
f(x0)dt

 =
=
1
|x − x0|
x
x0
(f(t) − f(x0))dt ≤
≤
1
|x − x0|
x
x0
|f(t) − f(x0)|dt ≤
1
|x − x0|
x
x0
ε
2
dt =
=
1
|x − x0|
|x − x0|
ε
2
< ε .
Tedy lim
x→x0
F(x) − F(x0)
x − x0
= f(x0).
3.4.4 Důsledek
Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak F(x) =
x
a
f(x)dt má na [a, b] derivaci a platí F′
(x) = f(x).
Buď f integrabilní na [a, b], c ∈ [a, b] libovolný, pevně zvolený bod. Funkce f je na intervalu s krajními body
c, x ∈ [a, b] (tj. na intervalu [c, x] pro x > c nebo [x, c] pro x < c) podle 3.3.14 integrabilní. Lze tedy definovat
funkci F(x) =
x
c
f(t)dt.
98
3.4.5 Poznámka
Nechť f je funkce integrabilní na [a, b] a c ∈ [a, b]. Pak je funkce F(x) =
x
c
f(t)dt spojitá na [a, b].
Je-li funkce f spojitá v bodě x0 ∈ [a, b], má funkce F =
x
c
f(t)dt v tomto bodě derivaci a platí F′
(x0) = f(x0).
D.: Podle 3.4.1 a 3.3.12 je
x
c
f(t)dt =
x
a
f(t)dt −
c
a
f(t)dt.
c
a
f(t)dt je konstanta, tedy spojitá funkce mající nulovou derivaci. Tvrzení nyní plyne z 3.4.2 a z 3.4.3.
3.4.6 Věta (o existenci primitivní funkce)
K funkci f spojité na intervalu J existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
D.: Je-li interval J uzavřený, plyne tvrzení z 3.4.4.
Nechť J není uzavřený. Zvolme pevně c ∈ J a položme F(x) =
x
c
f(t)dt.
F je definována na celém J, neboť pro x ∈ J je funkce f spojitá na uzavřeném intervalu s krajními body
c a x a tedy podle 3.2.12 integrabilní.
Buď x0 ∈ J libovolný. Zvolme a, b ∈ J, a ≤ min{c, x0}, b ≥ max{c, x0}.
Pak c ∈ [a, b], x0 ∈ [a, b] a f je spojitá na [a, b]. Podle 3.4.5 tedy platí F′
(x0) = f(x0).
Poněvadž x0 ∈ J byl libovolný, platí F′
(x0) = f(x0) pro každé x ∈ J.
Je-li f integrabilní funkce na [a, b], lze analogicky uvažovat integrál jako funkci dolní meze G(x) =
b
x
f(t)dt,
nebo obecněji G(x) =
c
x
f(t)dt pro c ∈ [a, b].
3.4.7 Poznámka
Nechť funkce f je integrabilní na [a, b], c ∈ [a, b]. Pak je funkce G(x) =
c
x
f(t)dt spojitá na [a, b].
Je-li funkce f spojitá v bodě x0 ∈ [a, b], má funkce G v tomto bodě derivaci a platí G′
(x0) = −f(x0).
3.5 Nevlastní integrály
V dosavadních úvahách o
b
a
f(x)dx jsme předpokládali
(i) a, b ∈ R, tj. interval (a, b) má konečnou délku,
(ii) f je ohraničená na (a, b).
V tomto odstavci rozšíříme pojem integrálu na případy, kdy některý z těchto předpokladů není splněn. V takovém
případě mluvíme o nevlastních integrálech.
Nejdříve budeme uvažovat nesplnění prvního předpokladu.
3.5.1 Definice
Nechť a ∈ R a f je funkce definovaná na [a, ∞), která je integrabilní na každém intervalu [a, b], kde b > a, b ∈ R.
Položme F(t) =
t
a
f(x)dx.
Existuje-li vlastní limita lim
t→∞
F(t), řekneme, že nevlastní integrál
∞
a
f(x)dx konverguje a klademe
99
∞
a
f(x)dx = lim
t→∞
F(t).
Neexistuje-li vlastní limita lim
t→∞
F(t), řekneme, že nevlastní integrál
∞
a
f(x)dx diverguje.
Analogicky definujeme konvergenci nevlastního integrálu
a
−∞
f(x)dx, a ∈ R.
Je-li funkce f definována na R a integrabilní na každém uzavřeném intervalu, pak pravíme, že nevlastní integrál
∞
−∞
f(x)dx konverguje, jestliže pro nějaké a ∈ R konvergují nevlastní integrály
a
−∞
f(x)dx a
∞
a
f(x)dx a klademe
∞
−∞
f(x)dx =
a
−∞
f(x)dx +
∞
a
f(x)dx.
3.5.2 Příklady
1.
∞
1
dx
xk
, k ∈ R
k = 1 : F(t) =
t
1
dx
xk
=
1
−k + 1
1
xk−1
t
1
=
1
1 − k
1
tk−1
− 1 , lim
t→∞
F(t) =



1
k − 1
, k > 1
∞, k < 1
k = 1 : F(t) =
t
1
dx
x
= [ln x]t
1 = ln t − ln 1, lim
t→∞
F(t) = ∞
Tedy
∞
1
dx
xk
konverguje pro k > 1 a diverguje pro k ≤ 1.
2.
∞
0
e−kx
dx, k ∈ R
k = 0 : F(t) =
t
0
e−kx
dx = −
e−kx
k
t
0
=
1
k
−
e−kt
k
, lim
t→∞
F(t) =



1
k
, k > 0
∞, k < 0
k = 0 : F(t) =
t
0
dx = t, lim
t→∞
F(t) = ∞
Tedy
∞
0
e−kx
dx konverguje pro k > 0 a diverguje pro k ≤ 0.
3.
∞
−∞
dx
1 + x2
∞
0
dx
1 + x2
= lim
t→∞
t
0
dx
1 + x2
= lim
t→∞
[arctg x]t
0 = lim
t→∞
arctg t = π
2
0
−∞
dx
1 + x2
= lim
t→−∞
0
t
dx
1 + x2
= lim
t→−∞
[arctg x]0
t = lim
t→−∞
(− arctg t) = π
2
Tedy
∞
−∞
dx
1 + x2
= π.
4.
∞
0
cos xdx
F(t) =
t
0
cos xdx = [sin x]t
0 = sin t, lim
t→∞
F(t) neexistuje,
∞
0
cos xdx diverguje.
5.
∞
0
f(x)dx, kde f(x) =
n, x = n ∈ N
0, x ∈ N
F(t) =
t
0
f(x)dx = 0, tedy
∞
0
f(x)dx = 0.
Nevlastní integrál může konvergovat, i když je integrovaná funkce neohraničená.
100
V tvrzeních 3.5.3 – 3.5.8 budeme předpokládat, že všechny uvažované funkce jsou definovány na [a, ∞), a ∈ R
a integrabilní na [a, b] pro každé b > a.
Tato tvrzení se týkají integrálů typu
∞
a
f(x)dx. Po příslušné úpravě předpokladů však platí i pro integrály
typu
a
−∞
f(x)dx.
3.5.3 Věta (Cauchyovo – Bolzanovo kriterium)
Integrál
∞
a
f(x)dx konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje x0 ≥ a takové, že pro každá dvě
t1, t2 ∈ R, t1 > x0, t2 > x0 platí
t2
t1
f(x)dx < ε.
D.: Plyne z 1.6.6.
3.5.4 Věta (Srovnávací kriterium)
Nechť na intervalu [a, ∞) platí 0 ≤ f(x) ≤ g(x).
Konverguje-li
∞
a
g(x)dx, konverguje i
∞
a
f(x)dx.
Diverguje-li
∞
a
f(x)dx, diverguje i
∞
a
g(x)dx.
D.: Nechť
∞
a
g(x)dx konverguje. Podle 3.5.3 existuje x0 ≥ a takové, že pro každá t1, t2 ∈ R, t1 > x0, t2 > x0
platí
t2
t1
g(x)dx < ε.
Volme označení tak, že t1 < t2. Pak podle 3.3.2.1 je
t2
t1
g(x)dx ≥ 0,
t2
t1
f(x)dx ≥ 0.
Tedy
t2
t1
f(x)dx =
t2
t1
f(x)dx ≤
t2
t1
g(x)dx =
t2
t1
g(x)dx < ε. (První nerovnost plyne z 3.3.6)
Podle 3.5.3
∞
a
f(x)dx konverguje.
Nechť
∞
a
f(x)dx diverguje. Podle první části důkazu nemůže
∞
a
g(x)dx konvergovat.
3.5.5 Věta (limitní srovnávací kriterium)
Nechť funkce f, g jsou nezáporné na [a, b) a nechť existuje lim
x→∞
f(x)
g(x)
= c ∈ R∗
.
Je-li c < ∞ a konverguje-li
∞
a
g(x)dx, pak konverguje i
∞
a
f(x)dx.
Je-li c > 0 a diverguje-li
∞
a
g(x)dx, pak diverguje i
∞
a
f(x)dx.
D.: Nechť c < ∞ a
∞
a
g(x)dx konverguje.
Buď ε > 0 libovolné. Existuje x0 ∈ R, x0 ≥ a takové, že pro x ≥ x0 platí c − ε <
f(x)
g(x)
< c + ε, neboli
f(x) < (c + ε)g(x).
Z konvergence
∞
a
g(x)dx plyne konvergence
∞
x0
g(x)dx a tedy i konvergence
∞
x0
(c + ε)g(x)dx. Odtud podle
101
3.5.4 plyne konvergence
∞
x0
f(x)dx a tedy i konvergence
∞
a
f(x)dx.
Nechť c > 0 a
∞
a
g(x)dx diverguje.
lim
x→∞
g(x)
f(x)
=



1
c
, c < ∞
0, c = ∞
.
Kdyby
∞
a
f(x)dx konvergoval, pak by podle první části důkazu
∞
a
g(x)dx konvergoval.
3.5.6 Důsledky
1. Nechť funkce f, g jsou nezáporné na [a, b). Jestliže lim
x→∞
f(x)
g(x)
= c ∈ (0, ∞), pak oba nevlastní integrály
∞
a
f(x)dx a
∞
a
g(x)dx buď současně konvergují, nebo současně divergují.
2. Buď f nezáporná funkce na intervalu [a, ∞).
• Jestliže existuje k ∈ R, k > 1 takové, že lim
x→∞
xk
f(x) < ∞, pak
∞
a
f(x)dx konverguje.
• Jestliže existuje k ∈ R, k ≤ 1 takové, že lim
x→∞
xk
f(x) > 0, pak
∞
a
f(x)dx diverguje.
• Jestliže existuje k ∈ R, k > 0 takové, že lim
x→∞
ekx
f(x) < ∞, pak
∞
a
f(x)dx konverguje.
• Jestliže existuje k ∈ R, k ≤ 0 takové, že lim
x→∞
ekx
f(x) > 0, pak
∞
a
f(x)dx diverguje.
D.: 3.5.5, 3.5.2.1 a 3.5.2.2.
3.5.7 Věta (Nutná podmínka konvergence nevlastního integrálu)
Nechť
∞
a
f(x)dx konverguje a nechť existuje lim
x→∞
f(x) = c ∈ R∗
. Pak c = 0.
D.: Připusťme c > 0.
Podle definice limity existují x0 ≥ a a k > 0 takové, že pro x ≥ x0 je f(x) > k.
∞
x0
kdx = lim
t→∞
k(t − x0) = ∞. Podle 3.5.4 diverguje
∞
x0
f(x)dx a tedy i
∞
a
f(x)dx — spor.
Možnost c < 0 vyloučíme analogicky.
Poznámka: Předpoklad o existenci lim
x→∞
f(x) nelze obecně vynechat, jak ukazuje 3.5.2.5.
3.5.8 Věta
Konverguje-li
∞
a
|f(x)|dx, pak konverguje i
∞
a
f(x)dx.
D.: Buď ε > 0 libovolné. Podle 3.5.3 existují x0 ≥ a a t1, t2 > x0 takové, že
t2
t1
|f(x)|dx < ε. Volme t1 < t2.
Pak
t2
t1
f(x)dx ≤
t2
t1
|f(x)|dx =
t2
t1
|f(x)|dx < ε (první nerovnost platí podle 3.3.9).
Tvrzení nyní plyne z 3.5.3.
102
3.5.9 Definice
Nechť f je funkce definovaná na [a, ∞) a integrabilní na [a, b] pro každé b > a. Řekneme, že nevlastní integrál
∞
a
f(x)dx konverguje absolutně, jestliže konverguje
∞
a
|f(x)|dx.
Poznámky:
• Z 3.5.8 plyne, že konverguje-li
∞
a
f(x)dx absolutně, pak konverguje.
• Je-li f nezáporná funkce na [a, ∞) a integrál
∞
a
f(x)dx konverguje, pak konverguje absolutně.
Nyní budeme uvažovat nesplnění druhého z předpokladů uvedených na začátku odstavce.
3.5.10 Definice
Nechť a, b ∈ R, a < b a nechť funkce f je definována na [a, b). Řekneme, že b je singulární bod funkce f, jestliže
f není ohraničená na [a, b) a pro každé β ∈ (a, b) je integrabilní na [a, β].
3.5.11 Definice
Nechť f je funkce definovaná na [a, b) a nechť b je jejím singulárním bodem. Pro t ∈ [a, b) položme
F(t) =
t
a
f(x)dx.
Existuje-li vlastní lim
t→b−
F(t), řekneme, že nevlastní integrál
b
a
f(x)dx konverguje a klademe
b
a
f(x)dx = lim
t→b−
F(t).
Neexistuje-li vlastní lim
t→b−
F(t), řekneme, že nevlastní integrál
b
a
f(x)dx diverguje.
Analogicky definujeme singulární bod a pro funkci definovanou na intervalu (a, b] a konvergenci nebo divergenci
nevlastního integrálu
b
a
f(x)dx.
3.5.12 Příklad
1
0
dx
xk
, k ∈ R, k > 0
k = 1 : F(t) =
1
t
dx
xk
=
1
1 − k
1
xk−1
1
t
=
1
1 − k
1 −
1
tk−1
, lim
t→0+
F(t) =



1
1 − k
, k < 1
∞, k > 1
k = 1 : F(t) =
1
t
dx
x
= [ln x]t
1 = ln 1 − ln t = − ln t, lim
t→0+
F(t) = ∞
Tedy
1
0
dx
xk
konverguje pro k < 1 a diverguje pro k ≥ 1.
Pro nevlastní integrály typu
b
a
f(x)dx platí tvrzení analogická 3.5.3, 3.5.4, 3.5.5 a 3.5.8. Důkazy se provedou
shodným způsobem.
103
3.5.13 Věta (Cauchyovo – Bolzanovo kriterium)
Integrál
b
a
f(x)dx, kde b je singulární bod funkce f konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje
x0 ∈ [a, b) takové, že pro každá dvě t1, t2 ∈ (x0, b) platí
t2
t1
f(x)dx < ε.
3.5.14 Věta (Srovnávací kriterium)
Nechť b je singulárním bodem funkce f i funkce g a nechť na intervalu [a, b) platí 0 ≤ f(x) ≤ g(x).
Konverguje-li
b
a
g(x)dx, konverguje i
b
a
f(x)dx.
Diverguje-li
b
a
f(x)dx, diverguje i
b
a
g(x)dx.
3.5.15 Věta (limitní srovnávací kriterium)
Nechť b je singulárním bodem funkce f i funkce g, funkce f, g jsou nezáporné na [a, b) a nechť existuje
lim
x→b−
f(x)
g(x)
= c ∈ R∗
.
Je-li c < ∞ a konverguje-li
b
a
g(x)dx, pak konverguje i
b
a
f(x)dx.
Je-li c > 0 a diverguje-li
b
a
g(x)dx, pak diverguje i
b
a
f(x)dx.
3.5.16 Věta
Nechť b je singulárním bodem funkce f. Konverguje-li
b
a
|f(x)|dx, pak konverguje i
b
a
f(x)dx.
Analogická tvrzení platí i pro nevlastní integrály typu
b
a
f(x)dx, je-li a singulárním bodem funkce f.
3.6 Aplikace určitého integrálu
3.6.1 Průměrná hodnota (integrální průměr) veličiny y = f(x) na intervalu [a, b]
¯y =
1
b − a
b
a
f(x)dx
3.6.2 Plocha rovinného obrazce
1. Obrazec v kartézských souřadnicích určený nerovnostmi a ≤ x ≤ b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x).
S =
b
a
(f2(x) − f1(x))dx
2. Obrazec v kartézských souřadnicích ohraničený uzavřenou křivkou o parametrických rovnicích
x = x(t)
y = y(t)
, t ∈ [α, β]. Křivka je orientována kladně, tj. tak, že plocha leží nalevo od křivky.
S = −
β
α
y(t)x′
(t)dt =
β
α
x(t)y′
(t)dt =
1
2
β
α
(x(t)y′
(t) − x′
(t)y(t))dt
104
3. Plocha, kterou opisuje průvodič křivky, zadané v polárních souřadnicích rovnicí r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.
S =
1
2
β
α
(r(ϕ))2
dϕ
3.6.3 Délka rovinné křivky
1. Křivka zadána parametrickými rovnicemi
x = x(t)
y = y(t)
, t ∈ [α, β].
s =
β
α
(x′(t))2 + (y′(t))2 dt
2. Křivka je grafem funkce y = f(x) na intervalu [a, b].
s =
b
a
1 + (f′(x))2 dx
3. Křivka zadána v polárních souřadnicích rovnicí r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.
s =
β
α
(r(ϕ))2 + (r′(ϕ))2dϕ
3.6.4 Objem tělesa
1. Těleso ohraničené rovnoběžnými rovinami vzdálenými od sebe na vzdálenost a se známými plochami řezů
S(x) rovinami rovnoběžnými s podstavami ve vzdálenosti x.
V =
a
0
S(x)dx
2. Těleso vzniklé rotací podgrafu funkce f na intervalu [a, b] kolem osy x.
V = π
b
a
(f(x))2
dx
3. Těleso vzniklé rotací podgrafu funkce f na intervalu [a, b] kolem osy y.
V = 2π
b
a
xf(x)dx
3.6.5 Plocha pláště rotačního tělesa
1. Těleso vzniklé rotací křivky o parametrických rovnicích
x = x(t)
y = y(t)
, t ∈ [α, β].
S = 2π
β
α
|y(t)| (x′(t))2 + (y′(t))2 dt
2. Těleso vzniklé rotací grafu funkce y = f(x) na intervalu [a, b].
S = 2π
b
a
|f(x)| 1 + (f′(x))2 dx
105
3.7 Numerická integrace
3.7.1 Lemma
Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) druhou derivaci. Pak ke každému
x ∈ [a, b] existuje ξ ∈ (a, b) takové, že
f(x) = f(a) +
f(b) − f(a)
b − a
(x − a) −
f′′
(ξ)
2
(x − a)(b − x) .
D.: Označme P(x) = f(a)+
f(b) − f(a)
b − a
(x− a). Pak P je jineární polynom a platí P(a) = f(a), P(b) = f(b).
Tedy pro x = a nebo x = b platí formule v tvrzení při libovolném ξ ∈ (a, b).
Buď x0 ∈ (a, b) libovolný pevně zvolený bod a položme F(x) = f(x)−P(x)−
f(x0) − P(x0)
(x0 − a)(b − x0)
(x−a)(b−x).
Pak platí F(a) = F(b) = F(x0) = 0. Podle 2.3.1 existují ξ1 ∈ (a, x0) a ξ2 ∈ (x0, b) takové, že
F′
(ξ1) = F′
(ξ2) = 0. Dále opět podle 2.3.1 existuje ξ ∈ (ξ1, ξ2) takové, že F′′
(ξ) = 0.
Pro každé x ∈ (a, b) platí P′′
(x) = 0, [(x − a)(b − x)]′′
= −2, tedy 0 = F′′
(ξ) = f′′
(ξ) + 2
f(x0) − P(x0)
(x0 − a)(b − x0)
.
Odtud f(x0) = −
f′′
(ξ)
2
(x0 −a)(b−x0)+P(x0) a poněvadž x0 ∈ (a, b) bylo libovolné, je tvrzení dokázáno.
3.7.2 Lemma
Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) druhou derivaci takovou, že |f′′
(x)| ≤ M
pro každé x ∈ (a, b). Pak pro každé x ∈ [a, b] platí
f(a)+
f(b) − f(a)
b − a
(x−a)+
M
2
(x2
−(a+b)x+ab) ≤ f(x) ≤ f(a)+
f(b) − f(a)
b − a
(x−a)−
M
2
(x2
−(a+b)x+ab) .
D.: Podle 3.7.1 je pro každé x ∈ [a, b]
f(x) − f(a) −
f(b) − f(a)
b − a
(x − a) =
|f′′
(ξ(x))|
2
(x − a)(b − x) ≤
M
2
(−x2
+ (a + b)x − ab) ,
z čehož plyne tvrzení.
3.7.3 Věta (lichoběžníkové pravidlo)
Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) ohraničenou druhou derivaci a buď
n ∈ N. Označme
h =
b − a
n
,
xi = a + ih, i = 0, 1, 2, . . ., n ,
In(f, a, b) =
h
2
(f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · · + 2f(xn−1) + f(xn)) ,
M = sup{|f′′
(x)| : x ∈ (a, b)} .
Pak
In(f, a, b) −
b
a
f(x)dx ≤
M
12
(b − a)3
n2
.
106
D.: Pro každé i ∈ {0, 1, 2, . . ., n − 1} je
xi+1
xi
f(xi) +
f(xi+1) − f(xi)
xi+1 − xi
(x − xi) ±
M
2
(x2
− (xi + xi+1)x + xixi+1) dx =
=
xi+1
xi
f(xi) +
f(xi+1) − f(xi)
h
(x − xi) ±
M
2
(x2
− (xi + xi+1)x + xixi+1) dx =
= f(xi)(xi+1 − xi) +
f(xi+1) − f(xi)
h
(x − xi)2
2
xi+1
xi
±
M
2
x3
3
− (xi + xi+1)
x2
2
+ xixi+1x
xi+1
xi
=
= hf(xi) +
f(xi+1) − f(xi)
h
h2
2
±
M
2
x3
i+1 − x3
i
3
− (xi + xi+1)
x2
i+1 − x2
i
2
+ xixi+1(xi+1 − xi) =
=
h
2
(f(xi) + f(xi+1)) ±
M
2
h
x2
i+1 + xi+1xi + x2
i
3
−
x2
i+1 + 2xi+1xi + x2
i
2
+ xi+1xi =
=
h
2
(f(xi) + f(xi+1)) ±
M
12
h(2xi+1xi − x2
i+1 − x2
i ) =
h
2
(f(xi) + f(xi+1)) ∓
M
12
h3
.
Podle 3.7.2 a 3.3.6 platí
h
2
(f(xi) + f(xi+1)) −
M
12
h3
≤
xi+1
xi
f(x)dx ≤
h
2
(f(xi) + f(xi+1)) +
M
12
h3
.
Sečtením těchto nerovností pro n od 0 do n − 1 a s využitím 3.3.13.2 dostaneme
h
2
(f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · · + 2f(xn−1) + f(xn)) −
M
12
h3
n ≤
xn
x0
f(x)dx ≤
≤
h
2
(f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · · + 2f(xn−1) + f(xn)) +
M
12
h3
n ,
což je tvrzení.
Poněvadž lim
n→∞
M
12
(b − a)3
n2
= 0, je podle 1.3.7 lim
n→∞
In(f, a, b) =
b
a
f(x)dx.
3.7.4 Věta (Simpsonovo [1710 – 1761] pravidlo)
Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) ohraničenou čtvrtou derivaci a buď
m ∈ N sudé. Označme
h =
b − a
m
,
xi = a + ih, i = 0, 1, 2, . . ., m ,
Jm(f, a, b) =
h
3
(f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + · · · + 4f(xm−1) + f(xm)) ,
N = sup{|f(4)
(x)| : x ∈ (a, b)} .
Pak
Jm(f, a, b) −
b
a
f(x)dx ≤
N
180
(b − a)5
m4
.
Myšlenka důkazu: Na každém z intervalů [x2k, x2k+2] nahradíme funkci f kvadratickým polynomem
P(x) =
(x − x2k+1)(x − x2k+2)f(x2k)
(x2k − x2k+1)(x2k − x2k+2)
+
(x − x2k)(x − x2k+2)f(x2k+1)
(x2k+1 − x2k)(x2k+1 − x2k+2)
+
(x − x2k)(x − x2k+1)f(x2k+2)
(x2k+2 − x2k)(x2k+2 − x2k+1)
,
pro který platí f(x2k) = P(x2k), f(x2k+1) = P(x2k+1), f(x2k+2) = P(x2k+2).
107
3.8 Cvičení
Najděte primitivní funkci
1)
1 − x
x
2
dx, 2)
(1 − x)3
x 3
√
x
dx, 3)
x2
1 − x2
dx,
4)
√
1 + x2 +
√
1 − x2
√
1 − x4
dx, 5)
2x+1
− 5x−1
10x
dx, 6)
e3x
+ 1
ex + 1
dx,
7)
√
1 − sin 2x dx, 8) tg2
x dx, 9)
dx
(5x − 2)5
,
10)
dx
√
3x2 − 2
, 11)
dx
1 + cos x
, 12)
dx
1 + sin x
,
13)
x3
dx
x8 − 2
, 14)
dx
(1 + x)
√
x
, 15)
1
x2
sin
1
x
dx,
16) tg x dx, 17)
dx
ex + e−x
, 18)
dx
√
1 + e2x
,
19) xn
ln x dx, 20) x2
sin 2x dx, 21) sin x ln(tg x) dx,
22) arctg x dx, 23)
1 −
√
x + 1
1 + 3
√
x + 1
dx, 24)
dx
1 +
√
x +
√
1 + x
,
25)
dx
(1 − x)2
√
1 − x2
, 26)
dx
x3
√
x2 + 1
, 27)
dx
x +
√
x2 + x + 1
,
28) cos5
dx, 29) sin 5x cos x dx, 30)
dx
(2 + cos x) sin x
,
31)
dx
2 sin x − cos x + 5
, 32)
dx
(a sin x + b cosx)2
, 33)
x dx
1 +
3
√
x2
.
Rozhodněte o konvergenci nevlastních integrálů
34)
∞
0
x2
x4 − x2 + 1
dx, 35)
2
0
dx
ln x
, 36)
∞
2
lnk
x
x
dx.
Vypočítejte plochu obrazce ohraničeného danými křivkami (x, y jsou kartézské souřadnice, r, ϕ polární)
37) y = |log10 x| , y = 0, x = 1
10 , x = 10, 38) y = (x + 1)2
, x = sin πx, y = 0,
39)
x2
a2
+
y2
b2
= 1, 40) y2
= x2
(a2
− x2
),
41) x = 2t − t2
, y = 2t2
− t3
, 42) x =
a2
− b2
a
cos3
t, y =
a2
− b2
b
sin3
t,
43) r = a sin 3ϕ, 44) r =
p
1 − cos ϕ
, ϕ = π
4 , ϕ = π
2 ,
45) x2
+ y2 2
= 2a2
xy.
Vypočítejte délku křivky
46) y =
√
x3, 0 ≤ x ≤ 4, 47) y = ln(cos x), 0 ≤ x ≤ a < π
2 ,
48) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, 49) x =
a2
− b2
a
cos3
t, y =
a2
− b2
b
sin3
t,
50) r = a sin3 ϕ
3
, 51) r = aϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
Vypočítejte objem tělesa ohraničeného plochami
52)
x2
a2
+
y2
b2
= 1, z =
c
a
x, z = 0, 53)
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 1, z = ±c.
54) Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 2x − x2
, y = 0 kolem osy x a
objem tělesa vzniklého rotací téhož obrazce kolem osy y.
108
55) Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami o parametrických rovnicích x =
a sin3
t, y = b cos3
t kolem osy x a objem tělesa vzniklého rotací téhož obrazce kolem osy y.
56) Vypočítejte povrch tělesa vzniklého rotací asteroidy x2/3
+ y2/3
= a2/3
kolem osy x.
57) Vypočítejte
1
0
dx
1 + x
pomocí lichoběžníkového pravidla s n = 8 a odhadněte chybu. Výsledek porovnejte
s přesnou hodnotou.
Výsledky:
1) x − 1
x − ln x2
2) − 3
3
√
x
1 + 3
2 x − 3
5 x2
+ 1
8 x3
3) 1
2 ln 1+x
1−x − x 4) arcsin x + ln x +
√
1 + x2 5) 1
5 ln 2
1
2
x
−
2
ln 5
1
5
x
6) 1
2 e2x
−ex
+x 7) sgn x − π
4 (sin x−cos x) 8) tg x−x 9) 2
(30−75x)
√
5x−2
10) 1√
3
ln
√
3 x −
√
3x2 − 2 11)
tg x
2 12) tg x
2 − π
4 13)
√
2
16 ln x4
−
√
2
x4+
√
2
14) 2 arctg
√
x 15) cos 1
x 16) − ln | cos x| 17) arctg ex
18) ln
√
1 + e2x − 1 −x
19) xn+1
n+1 ln x − xn+1
(n+1)2 20) x sin x cos x − 2x2
−1
4 cos 2x 21) ln tg x
2 − cos x ln(tg x) 22) x arctg x − ln
√
1 + x2 23)
−6
7 t7
+6
5 t5
+3
2 t4
−2t3
−3t2
+6t+3 ln(t2
+1)−6 arctg t, kde t = 6
√
x + 1 24)
√
x−
x−
√
x(1+x)
2 −1
2 ln
√
x +
√
1 + x 25)
2−x
3(1−x)2
√
1 − x2 26)
√
x2+1
2x2 + 1
2 ln 1+
√
x2+1
|x| 27) 3
2+4t + 1
2 ln t4
|1+2t|3 , kde t = x +
√
x2 + x + 1 28) sin x − 2
3 sin3
x +
1
5 sin5
x 29) −1
8 cos 4x − 1
12 cos 6x 30) 1
6 ln (1−cos x)(2+cos x)2
(1+cos x)3 31) 1√
5
arctg
3 tg x
2 +1
√
5
32) − cos x
a(a sin x+b cos x) 33) 3
5 t5
−
2t3
+ 3t, kde t = 1 +
3
√
x2 34) konverguje 35) diverguje 36) konverguje pro k < −1, diverguje pro k ≥ −1 37)
99 ln 10−81
ln 100 38) π+2
3π 39) πab 40) 4
3 a3
41) 8
15 42) 3
8 π (a2
−b2
)2
ab 43) πa2
4 44) p2
6 3 + 4
√
2 45) a2
46) 8
27 10
√
10 − 1
47) ln tg π
4 + a
2 48) 8a 49) 4(a3
−b3
)
ab 50) 3πa
2 51) |a| π
√
1 + 4π2 + ln 2π +
√
1 + 4π2 52) 2
3 abc 53) 8
3 πabc 54)
16
15 π, 8
3 π 55) 32
105 πab2
, 32
105 πa2
b 56) 12
5 πa2
57) 0.6941, chyba≤ 0.003, přesná hodnota 0.6932
109
110
Kapitola 4
Nekonečné řady
4.1 Pojem řady a jejího součtu
4.1.1 Definice
Nechť {an}∞
n=1 je posloupnost reálných čísel. Položme
s1 = a1 ,
s2 = a1 + a2 ,
s3 = a1 + a2 + a3 ,
...
sn = a1 + a2 + · · · + an .
Posloupnost {sn}∞
n=1 se nazývá posloupnost částečných součtů nekonečné řady
∞
n=1
an.
Poznámka: Budeme uvažovat i nekonečné řady tvaru
∞
n=0
an,
∞
n=k
an a p.
Prvky posloupnosti {an}∞
n=1 se nazývají členy řady
∞
n=1
an.
4.1.2 Definice
Buď
∞
n=1
an nekonečná řada a {sn}∞
n=1 posloupnost jejích častečných součtů.
Jestliže existuje vlastní limita lim sn = s, řekneme, že řada
∞
n=1
an konverguje, číslo s nazýváme jejím součtem
a píšeme s =
∞
n=1
an.
Neexistuje-li vlastní limita lim sn, řekneme, že řada
∞
n=1
an diverguje. Je-li přitom lim sn = ±∞, řekneme, že
řada
∞
n=1
an určitě diverguje, neexistuje-li ani nevlastní lim sn, řekneme, že řada
∞
n=1
an osciluje.
4.1.3 Příklad — Geometrická řada
∞
n=1
aqn−1
= a + aq + aq2
+ aq3
+ · · ·
Členy řady: an = aqn−1
Částečné součty: sn = a1 + a2 + · · · + an = a + aq + · · · + aqn−1
= a(1 + q + · · · + qn−1
)
111
Platí:
sn+1 = a(1 + q + · · · + qn−1
+ qn
) = a + aq(1 + q + · · · + qn−1
) = a + qsn
sn+1 = an+1 + sn = aqn
+ sn
Odtud
aqn
+ sn = a + qsn
sn(1 − q) = a(1 − qn
)
sn = a
1 − qn
1 − q
Je-li |q| < 1, pak lim qn
= 0; je-li q > 1, pak lim qn
= ∞; je-li q ≤ −1, pak neexistuje vlastní ani nevlastní limita
posloupnosti {qn
}∞
n=1; je-li q = 1, nemá předchozí vyjádření smysl a je sn = na.
Celkem: Geometrická řada
∞
n=1
aqn−1
konverguje pro |q| < 1 a má součet
a
1 − q
, určitě diverguje pro q ≥ 1 a
osciluje pro q ≤ −1.
4.1.4 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium)
Řada
∞
n=1
an konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0 a
m ∈ N platí |an+1 + an+2 + · · · + an+m| < ε.
D.: Plyne bezprostředně z 1.3.22.
4.1.5 Věta (nutná podmínka konvergence)
Jestliže řada
∞
n=1
an konverguje, pak lim an = 0.
D.: Nechť
∞
n=1
an = lim sn = s. Pak lim an = lim(sn − sn−1) = lim sn − lim sn−1 = s − s = 0.
Poznámka: Tato podmínka není postačující — lim 1
n = 0 ale
∞
n=1
1
n určitě diverguje do +∞. Viz 1.1.2.1.
4.1.6 Definice
Buďte
∞
n=1
an nekonečná řada, n ∈ N libovolné pevně zvolené. Řada Rn =
∞
k=1
an+k = an+1 + an+2 + an+3 + · · ·
(utvořená vynecháním prvních n členů řady
∞
n=1
an) se nazývá n-tý zbytek řady
∞
n=1
an.
4.1.7 Věta
Konverguje-li řada
∞
n=1
an, konverguje i každý její zbytek a platí lim Rn = 0.
Konverguje-li alespoň jeden zbytek řady
∞
n=1
an, konverguje i tato řada.
D.: Nechť
∞
n=1
an konverguje. Označme {σk}∞
k=1 posloupnost částečných součtů zbytku Rn. Je σk = sn+k − sn.
Posloupnost {sn+k}∞
k=1 konverguje a tedy podle 1.3.6.4 konverguje i {σk}∞
k=1.
Dále lim
n→∞
Rn = lim
n→∞
( lim
k→∞
σk) = lim
n→∞
( lim
k→∞
(sn+k − sn)) = lim
n→∞
(s − sn) = s − s = 0.
Konverguje-li Rn, je Rn ∈ R a tedy
∞
k=1
ak =
n
k=1
ak + Rn, což jakožto součet dvou reálných čísel je reálné
číslo.
112
4.1.8 Věta (asociativní zákon)
Nechť řada
∞
n=1
an konverguje a nechť {nk}∞
k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Označme n0 = 0 a
položme
bk = ank−1+1 + ank−1+2 + · · · + ank
.
Pak řada
∞
k=1
bk konverguje a platí
∞
k=1
bk =
∞
n=1
an.
D.: Posloupnost částečných součtů řady
∞
k=1
bk je vybraná z posloupnosti částečných součtů řady
∞
n=1
an:
a1 + a2 + a3 + · · · =
= (a1 + a2 + · · · + an1 ) + (an1+1 + an1+2 + · · · + an2 ) + · · · + ank−1+1 + ank−1+2 + · · · + ank
+ · · · =
= b1 + b2 + · · · + bk + · · ·
Tvrzení nyní plyne z 1.3.14.
Poznámka: Předpoklad o konvergenci řady
∞
n=1
an je podstatný:
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · osciluje, posloupnost částečných součtů je 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + · · · = 0
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1
Řada 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =
∞
n=1
(−1)n+1
se nazývá Grandiho.
4.1.9 Věta (distributivní zákon)
Nechť řada
∞
n=1
an konverguje a nechť c ∈ R je libovolné číslo. Pak konverguje i řada
∞
n=1
can a platí
∞
n=1
can = c
∞
n=1
an .
D.: Označme sn částečné součty řady
∞
n=1
an
s′
n částečné součty řady
∞
n=1
can.
Pak s′
n = ca1 + ca2 + · · · + can = c(a1 + a2 + · · · + an) = csn. Tvrzení nyní plyne z poznámky za 1.3.6.
Poznámka: Komutativní zákon obecně neplatí.
4.1.10 Věta
Konvergují-li řady
∞
n=1
an,
∞
n=1
bn, pak konverguje i řada
∞
n=1
(an + bn) a platí
∞
n=1
(an + bn) =
∞
n=1
an +
∞
n=1
bn .
D.: Označme sn částečné součty řady
∞
n=1
an
s′
n částečné součty řady
∞
n=1
bn
Sn částečné součty řady
∞
n=1
(an + bn).
Pak Sn = (a1 + b1) + (a2 + b2) + · · · + (an + bn) = (a1 + a2 + · · · + an) + (b1 + b2 + · · · + bn) = sn + s′
n.
Tvrzení nyní plyne z 1.3.6.2
113
4.1.11 Věta
Nechť řady
∞
n=1
a1
n,
∞
n=1
a2
n, . . . ,
∞
n=1
ak
n konvergují a nechť c1, c2, . . . , ck jsou reálná čísla. Pak řada
∞
n=1
(c1a1
n + c2a2
n + · · · + ckak
n) konverguje a platí
∞
n=1
(c1a1
n + c2a2
n + · · · + ckak
n) = c1
∞
n=1
a1
n + c2
∞
n=1
a2
n + · · · + ck
∞
n=1
ak
n ,
neboli
∞
n=1
k
m=1
cmam
n =
k
m=1
cm
∞
n=1
am
n .
D.: Úplnou indukcí z 4.1.9 a 4.1.10.
Poznámka: Zejména pro c1 = c2 = · · · = ck = 1 dostaneme
∞
n=1
k
m=1
am
n =
k
m=1
∞
n=1
am
n .
Symbol k v poslední formuli nelze nahradit symbolem ∞.
4.1.12 Věta (Cauchyova o aritmetických průměrech)
Nechť {an}∞
n=1 je posloupnost taková, že lim
n→∞
an = a ∈ R∗
. Pak lim
n→∞
a1 + a2 + · · · + an
n
= a.
D.: Označme bn =
a1 + a2 + · · · + an
n
.
Připusťme lim sup
n→∞
bn > lim
n→∞
an. Zvolme čísla α, β ∈ R tak, že
lim
n→∞
an < α < β < lim sup
n→∞
bn .
Existuje n1 ∈ N, že pro každé n ≥ n1 je an < α. Pro n > n1 tedy platí
bn =
a1 + a2 + · · · + an
n
=
a1 + a2 + · · · + an1
n
+
an1+1 + an1+2 + · · · + an
n
<
<
a1 + a2 + · · · + an1
n
+
α(n − n1)
n
.
Pro n → ∞ konverguje pravá strana této nerovnosti k α. To znamená, že existuje n2 ∈ N takové, že pro
n ≥ n2 je bn ≤ α < β. Odtud plyne, že lim sup
n→∞
bn ≤ β, což je spor.
Platí tedy lim sup
n→∞
bn ≤ lim
n→∞
an.
Analogicky ukážeme, že lim
n→∞
an ≤ lim inf
n→∞
bn.
Celkem tedy je lim
n→∞
an ≤ lim inf
n→∞
bn ≤ lim sup
n→∞
bn ≤ lim
n→∞
an, z čehož vyplyne tvrzení.
4.1.13 Poznámka o sumaci divergentních řad
Oscilujícím řadám jsme dosud nepřiřazovali žádný symbol jako jejich součet. Někdy je ale užitečné i takovým
řadám nějaký „součet“ přiřadit. Taková zobecněná sumace musí splňovat jisté přirozené podmínky:
(i) Je-li an = a ve smyslu definice 4.1.2, musí být an = a v zobecněném smyslu.
(ii) Je-li an = a, bn = b v zobecněném smyslu a α, β jsou reálná čísla, pak (αan + βbn) = αa + βb
v zobecněném smyslu.
114
Sumace, která splňuje (i) a (ii), se nazývá regulární.
Cesàrova [1859 – 1906] metoda (metoda aritmetických průměrů): Nechť
∞
n=1
an je řada a {sn}∞
n=1
posloupnost jejích částečných součtů. Jestliže platí lim
n→∞
s1 + s2 + · · · + sn
n
= a, pak klademe
∞
n=1
an = a v Cesàrově
smyslu.
Z 4.1.12 plyne, že Cesàrova sumace je regulární.
4.2 Řady s nezápornými členy
∞
n=1
an, an ≥ 0 pro každé n ∈ N.
4.2.1 Věta
Řada
∞
n=1
s nezápornými členy buď konverguje nebo určitě diverguje k +∞. Konverguje právě tehdy, když
posloupnost jejích částečných součtů je ohraničená.
D.: sn+1 = sn + an+1 ≥ sn. Posloupnost částečných součtů je neklesající a tvrzení plyne z 1.3.4, 1.3.9 a
1.3.12.5.
Poznámka: Všechna následující tvrzení mohou být formulována se změněnými předpoklady. Místo „pro
každé n ∈ N“ lze psát „existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 “. (Sr. 4.1.7)
4.2.2 Věta (Integrální Cauchyovo - Maclaurinovo kriterium)
Nechť f je funkce definovaná na [1, ∞), která je zde nezáporná a nerostoucí. Nechť f(n) = an pro každé n ∈ N
Pak řada
∞
n=1
konverguje právě tehdy, když konverguje nevlastní integrál
∞
1
f(x)dx.
D.: Poněvadž je f na [1, ∞) monotonní, je podle 3.2.11 integrabilní na [1, b] pro každé b > 1.
Označme Jn =
n
1
f(x)dx.
Pro každé x ∈ [i, i + 1], i ∈ N platí ai = f(i) ≥ f(x) ≥ f(i + 1) = ai+1 a tedy
ai =
i+1
i
aidx ≥
i+1
i
f(x)dx ≥
i+1
i
ai+1dx = ai+1 .
Sečtením těchto nerovností pro i = 1, 2, . . ., n − 1 dostaneme
a1 + a2 + · · · + an−1 = sn−1 ≥
n
1
f(x)dx = Jn ≥ a2 + a3 + · · · + an = sn − a1 ,
neboli
sn − a1 ≤ Jn ≤ sn−1 .
Nechť
∞
1
f(x)dx konverguje. Pak podle 1.6.4 konverguje posloupnost {Jn} a tedy podle 1.3.4 je ohraničená.
Existuje K ∈ R, že Jn ≤ K pro každé n ∈ N. Celkem sn ≤ K + a1, je shora ohraničená a neklesající, tedy
konvergentní (podle 1.3.9) a podle 4.2.1 je i
∞
n=1
an konvergentní.
Nechť
∞
1
f(x)dx diverguje. Poněvadž f je nezáporná, je funkce F(t) =
t
1
f(x)dx neklesající a tedy
∞
1
f(x)dx = ∞. Odtud lim Jn = ∞ a také podle poznámky za 1.3.11 lim sn−1 = lim sn = ∞.
115
4.2.3 Příklad
∞
n=1
1
nk
konverguje pro k > 1 a diverguje pro k ≤ 1. (Viz 3.5.2.)
4.2.4 Věta (první srovnávací kriterium)
Nechť
∞
n=1
an,
∞
n=1
bn jsou řady s nezápornými členy a nechť pro všechna n ∈ N platí an ≤ bn. Pak platí:
Konverguje-li řada
∞
n=1
bn, konverguje i řada
∞
n=1
an; diverguje-li řada
∞
n=1
an, diverguje i řada
∞
n=1
bn.
D.: Označme sn částečné součty řady
∞
n=1
an
s′
n částečné součty řady
∞
n=1
bn.
Pak sn = a1 + a2 + · · · + an ≤ b1 + b2 + · · · + bn = s′
n.
Je-li lim s′
n = b < ∞, pak pro všechna n ∈ N platí sn ≤ s′
n ≤ b, neboť posloupnost {s′
n}∞
n=1 je neklesající.
Posloupnost {sn}∞
n=1 je také neklesající a je shora ohraničená, což podle 1.3.9 znamená, že je konvergentní.
Je-li lim sn = ∞, je podle poznámky za 1.3.11 také lim s′
n = ∞.
4.2.5 Definice
Buďte
∞
n=1
an a
∞
n=1
bn řady s nezápornými členy. Je-li an ≤ bn pro všechna n ∈ N, nazývá se řada
∞
n=1
bn
majorantou řady
∞
n=1
an, řada
∞
n=1
an se nazývá minorantou řady
∞
n=1
bn.
Větu 4.2.4 lze přeformulovat: S konvergentní řadou s nezápornými členy konverguje i každá její minoranta,
s divergentní řadou s nezápornými členy diverguje i každá její majoranta.
4.2.6 Věta (limitní srovnávací kriterium)
Nechť
∞
n=1
an je řada s nezápornými,
∞
n=1
bn řada s kladnými členy a nechť existuje lim
an
bn
= c ∈ R∗
. Pak platí:
Je-li c < ∞ a řada
∞
n=1
bn konverguje, pak konverguje i řada
∞
n=1
an.
Je-li c > 0 a řada
∞
n=1
bn diverguje, pak diverguje i řada
∞
n=1
an.
D.: Nechť c < ∞ a řada
∞
n=1
bn konverguje. Posloupnost
an
bn
∞
n=1
je podle 1.3.4 ohraničená, existuje tedy
K ∈ R, že pro všechna n ∈ N je
an
bn
≤ K, neboli an ≤ Kbn. Řada
∞
n=1
Kbn je podle 4.1.9 konvergentní,
takže podle 4.2.4 je konvergentní i řada
∞
n=1
an.
Nechť c > 0 a řada
∞
n=1
an diverguje. K ε ∈ (0, c) > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0 je
an
bn
> c − ε > 0. Položme k = min
a1
b1
,
a2
b2
, . . . ,
an0
bn0
, c − ε . Pak pro všechna n ∈ N je
an
bn
≥ k, neboli
an ≥ kbn. Kdyby řada
∞
n=1
bn konvergovala, pak by podle 4.1.9 a 4.2.4 konvergovala i řada
∞
n=1
an, což by
byl spor.
116
Důsledek: Buďte
∞
n=1
an a
∞
n=1
bn řady s kladnými členy. Jestliže existuje lim
an
bn
∈ (0, ∞), pak řady
∞
n=1
an,
∞
n=1
bn současně konvergují nebo divergují.
4.2.7 Věta (odmocninové (Cauchyovo) kriterium)
Nechť
∞
n=1
an je řada s nezápornými členy. Existuje-li takové q ∈ [0, 1), že pro všechna n ∈ N platí n
√
an ≤ q,
pak řada
∞
n=1
an konverguje. Platí-li pro nekonečně mnoho indexů n nerovnost n
√
an ≥ 1, pak řada
∞
n=1
an určitě
diverguje.
D.: Je-li n
√
an ≤ q, pak an ≤ qn
a první tvrzení plyne z 4.2.4 a 4.1.3.
Je-li n
√
an ≥ 1 pro nekonečně mnoho indexů n, pak an ≥ 1 pro nekonečně mnoho indexů n a nemůže být
lim an = 0. Druhé tvrzení tedy plyne z 4.1.5 a 4.2.1.
4.2.8 Věta (limitní odmocninové kriterium)
Nechť
∞
n=1
an je řada s nezápornými členy a nechť existuje lim n
√
an = c ∈ R∗
.
Je-li c < 1, pak řada
∞
n=1
an konverguje, je-li c > 1, pak řada
∞
n=1
an určitě diverguje.
D.: Nechť c < 1 a buď ε ∈ (0, 1 − c). Pak existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je n
√
an < c + ε < 1. První
tvrzení plyne z 4.2.7 a 4.1.7.
Nechť c > 1 a buď ε ∈ (0, c − 1). Pak existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je n
√
an > c − ε > 1. Druhé
tvrzení plyne z 4.2.7.
4.2.9 Věta (druhé srovnávací kriterium)
Buďte
∞
n=1
an a
∞
n=1
bn řady s kladnými členy a nechť pro všechna n ∈ N je
an+1
an
≤
bn+1
bn
. Pak platí:
Konverguje-li řada
∞
n=1
bn, konverguje i řada
∞
n=1
an; diverguje-li řada
∞
n=1
an, diverguje i řada
∞
n=1
bn.
D.: 0 <
a2
a1
≤
b2
b1
, 0 <
a3
a2
≤
b3
b2
, . . . , 0 <
an
an−1
≤
bn
bn−1
.
Vynásobením těchto nerovností dostaneme 0 <
an
a1
≤
bn
b1
, neboli an ≤
a1
b1
bn.
Konverguje-li řada
∞
n=1
bn, konverguje podle 4.1.9 i řada
∞
n=1
a1
b1
bn a tedy podle 4.2.4 konverguje řada
∞
n=1
an.
Nechť řada
∞
n=1
an diverguje. Kdyby řada
∞
n=1
bn konvergovala, pak by podle již dokázané části věty řada
∞
n=1
an konvergovala a to by byl spor.
4.2.10 Věta (podílové (d’Alembertovo [1717 – 1783]) kriterium)
Nechť
∞
n=1
an je řada s kladnými členy. Existuje-li takové q ∈ [0, 1), že pro všechna n ∈ N platí nerovnost
an+1
an
≤ q, pak řada
∞
n=1
an konverguje. Platí-li pro všechna n ∈ N nerovnost
an+1
an
≥ 1, pak řada
∞
n=1
an
diverguje.
117
D.:
an+1
an
≤ q =
qn+1
qn
a první tvrzení plyne z 4.2.9 a 4.1.3.
Je-li
an+1
an
≥ 1, pak an+1 ≥ an, posloupnost {an}∞
n=1 je kladná a neklesající, nemůže tedy být lim an = 0.
Druhé tvrzení plyne z 4.1.5.
4.2.11 Věta (limitní podílové kriterium)
Nechť
∞
n=1
an je řada s kladnými členy a nechť existuje lim
an+1
an
= c ∈ R∗
.
Je-li c < 1, pak řada
∞
n=1
an konverguje, je-li c > 1, pak řada
∞
n=1
an určitě diverguje.
D.: Nechť c < 1 a buď ε ∈ (0, 1 − c). Pak existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je
an+1
an
< c + ε < 1. První
tvrzení plyne z 4.2.10 a 4.1.7.
Nechť c > 1 a buď ε ∈ (0, c − 1). Pak existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je
an+1
an
> c − ε, tedy
an+1 > (c − ε)an > an, posloupnost {an}∞
n=1 je kladná a rostoucí, nemůže tedy být lim an = 0. Druhé
tvrzení plyne z 4.1.5.
4.2.12 Lemma
Buď {an} posloupnost kladných čísel. Jestliže lim
n→∞
an+1
an
= a ∈ R∗
, pak lim
n→∞
n
√
an = a.
D.: Ukážeme, že lim sup
n→∞
n
√
an ≤ lim
n→∞
an+1
an
= a.
Je-li a = ∞, je tvrzení triviální.
Nechť a < ∞ a zvolme b ∈ R, b > a. Existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je
an+1
an
< b. Tedy
an0+1
an0
< b,
an0+2
an0+1
< b, . . . ,
an
an−1
< b ,
z čehož vynásobením dostaneme
an
an0
< bn−n0
.
Odtud
n
√
an < n
√
an0 b
n−n0
n .
Ze spojitosti exponenciální funkce plyne
lim
n→∞
b
n−n0
n = lim
n→∞
b1−
n0
n = b .
Dále
lim
n→∞
n
√
an0 = lim
n→∞
e
1
n ln an0 = 1 .
Celkem tedy lim sup
n→∞
n
√
an ≤ b.
Poněvadž b > a bylo libovolné, je lim sup
n→∞
n
√
an ≤ a.
Analogicky ukážeme lim inf
n→∞
n
√
an ≥ lim
n→∞
an+1
an
= a, takže celkem a ≤ lim inf
n→∞
n
√
an ≤ lim sup
n→∞
n
√
an ≤ a.
Z lemma plyne: pokud lze dokázat konvergenci řady s nezápornými členy pomocí podílového kriteria, pak ji
lze dokázat i pomocí kriteria odmocninového. Podílové kriterium tedy není silnější, než odmocninové.
118
4.2.13 Další kriteria konvergence
Buď
∞
n=1
an řada s kladnými členy.
1. Logaritmické kriterium:
Nechť existuje lim
ln an
ln n
= c. Je-li c < −1, pak řada
∞
n=1
an konverguje, je-li c > −1, pak řada
∞
n=1
an
diverguje.
2. Raabeovo kriterium:
Nechť existuje lim n
an
an+1
− 1 = c. Je-li c > 1, pak řada
∞
n=1
an konverguje, je-li c < 1, pak řada
∞
n=1
an
diverguje.
3. Gaussovo [1777 – 1855] kriterium:
Nechť existuje ε > 0 a ohraničená posloupnost {Θn}∞
n=1 takové že
an
an+1
= λ +
µ
n
+
Θn
n1+ε
.
Je-li λ > 1, pak řada
∞
n=1
an konverguje.
Je-li λ < 1, pak řada
∞
n=1
an diverguje.
Je-li λ = 1 a µ > 1, pak řada
∞
n=1
an konverguje.
Je-li λ = 1 a µ ≤ 1, pak řada
∞
n=1
an diverguje.
4.3 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní
4.3.1 Věta
Buď {an}∞
n=1 posloupnost. Jestliže konverguje řada
∞
n=1
|an|, pak konverguje i řada
∞
n=1
an.
D.: Nechť
∞
n=1
|an| konverguje a buď ε > 0 libovolné.
Podle 4.1.4 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé m ∈ N a n ≥ n0 platí
| |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| | = |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| < ε a tedy
|an+1 + an+2 + · · · + an+m| ≤ |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| < ε, což podle 4.1.4 znamená, že
∞
n=1
an konverguje.
4.3.2 Definice
Buď {an}∞
n=1 posloupnost. Řekneme, že řada
∞
n=1
an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada
∞
n=1
|an|.
Řekneme, že řada
∞
n=1
an konverguje neabsolutně (relativně), jestliže konverguje, avšak řada
∞
n=1
|an| určitě di-
verguje.
4.3.3 Poznámky
1. Jestliže konverguje řada s nezápornými (nekladnými) členy, pak konverguje absolutně.
2. Poněvadž řada
∞
n=1
|an| má nezáporné členy, platí pro absolutní konvergenci analogická kriteria jako v 4.2.
119
3. Konverguje-li řada
∞
n=1
an neabsolutně, pak má podle 4.1.7 nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho
záporných členů.
4.3.4 Věta
Jestliže řada
∞
n=1
an konverguje absolutně, pak
∞
n=1
an ≤
∞
n=1
|an|.
D.: Označme sn posloupnost částečných součtů řady
∞
n=1
an a Sn posloupnost částečných součtů řady
∞
n=1
|an|.
Pak |sn| = |a1 + a2 + · · · + an| ≤ |a1| + |a2| + · · · + |an| = Sn. Podle 1.3.6.1 a 1.3.5.1 je
∞
n=1
an = lim
n→∞
sn = lim
n→∞
|sn| ≤ lim
n→∞
Sn =
∞
n=1
|an|.
4.3.5 Věta
Jestliže řada
∞
n=1
an konverguje absolutně a {cn}∞
n=1 je ohraničená posloupnost, pak řada
∞
n=1
cnan konverguje
absolutně.
D.: Existuje k ∈ R, že |cn| < k pro každé n ∈ N. Buď ε > 0 libovolné. Podle 4.1.4 existuje n0 ∈ N takové, že
pro každé n ≥ n0 a každé m ∈ N platí |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| <
ε
k
. Tedy také
|cn+1an+1| + |cn+2an+2| + · · · + |cn+man+m| = |cn+1| |an+1| + |cn+2| |an+2| + · · · + |cn+m| |an+m| <
< k|an+1| + k|an+2| + · · · + k|an+m| = k(|an+1| + |an+2| + · · · + |an+m|) < k
ε
k
= ε,
a tedy podle 4.1.4 řada
∞
n=1
cnan konverguje.
4.3.6 Definice
Řada
∞
n=1
an se nazývá alternující, jestliže platí anan+1 < 0 pro každé n ∈ N. (T.j. členy řady střídají znaménka.)
Je-li {an}∞
n=1 posloupnost kladných čísel, pak jsou řady
∞
n=1
(−1)n−1
an a
∞
n=1
(−1)n
an alternující.
4.3.7 Věta (Leibnizovo [1646 – 1716] kriterium)
Nechť {an}∞
n=1 je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Alternující řada
∞
n=1
(−1)n−1
an konverguje právě tehdy,
když lim
n→∞
an = 0.
D.: Nutnost plyne z 4.1.5.
Nechť lim
n→∞
an = 0.
Poněvadž {an} je nerostoucí posloupnost kladných čísel, pro každé k ∈ N platí ak − ak+1 ≥ 0.
Pro všechna n ∈ N a každé m ∈ N sudé platí
0 ≤ (an+1 − an+2) + (an+3 − an+4) + · · · + (an+m−1 − an+m) =
= an+1 − (an+2 − an+3) − · · · − (an+m−2 − an+m−1) − an+m ≤
≤ an+1 ,
a pro všechna n ∈ N a každé m ∈ N liché platí
0 ≤ (an+1 − an+2) + (an+3 − an+4) + · · · + (an+m−2 − an+m−1) + an+m =
= an+1 − (an+2 − an+3) − (an+4 − an+5) − · · · − (an+m−1 − an+m) ≤
≤ an+1 .
120
Tedy pro všechna n, m ∈ N platí
0 ≤ an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + · · · + (−1)m−1
an+m ≤ an+1 .
Buď ε > 0 libovolné. Poněvadž lim
n→∞
an = 0, existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an < ε.
Pro libovolné n ≥ n0 a každé m ∈ N tedy platí
|(−1)n
an+1 + (−1)n+1
an+2 + · · · + (−1)n+m−1
an+m| =
= |(−1)n
||an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + · · · + (−1)m−1
an+m| =
= an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + · · · + (−1)m−1
an+m ≤ an+1 < ε ,
což podle 4.1.4 znamená, že řada
∞
n=1
(−1)n−1
an konverguje.
4.3.8 Příklad
Leibnizova řada
∞
n=1
(−1)n−1
n
konverguje.
Poněvadž podle 1.1.2.1 řada
∞
n=1
1
n
diverguje, konverguje Leibnizova řada neabsolutně.
4.3.9 Poznámka
Předpoklad, že {an}∞
n=1 je nerostoucí posloupnost, nelze v 4.3.7 vynechat.
Například řada
∞
n=1
(−1)n 2 + (−1)n
n
= −1 +
3
2
−
1
3
+
3
4
−
1
5
+
3
6
− · · · −
1
2n + 1
+
3
2n + 2
− · · ·
diverguje. Kdyby tato řada konvergovala, pak by podle 4.1.8 konvergovala také řada
−1 +
3
2
+ −
1
3
+
3
4
+ −
1
5
+
3
6
+· · ·+ −
1
2n + 1
+
3
2n + 2
+· · · =
1
2
+
5
12
+
9
30
+· · ·+
4n + 1
4n2 + 6n + 2
+· · · ,
avšak podle 4.2.6 řada
n
n=0
4n+1
4n2+6n+2 diverguje, neboť
lim
n→∞
4n+1
4n2+6n+2
1
n
= lim
n→∞
4n2
+ n
4n2 + 6n + 2
= 1
a harmonická řada
∞
n=1
1
n podle 4.2.3 diverguje.
4.3.10 Další kriteria neabsolutní konvergence
1. Dirichletovo [1805 – 1859] kriterium
Nechť {cn}∞
n=1 je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel s lim
n→∞
cn = 0 a nechť posloupnost částečných
součtů řady
∞
n=1
an je ohraničená. Pak řada
∞
n=1
cnan konverguje.
2. Abelovo [1802 – 1829] kriterium
Nechť řada
∞
n=1
an konverguje a {cn}∞
n=1 je monotonní ohraničená posloupnost. Pak řada
∞
n=1
cnan kon-
verguje.
121
4.3.11 Definice
Nechť {λn}∞
n=1 je permutace množiny N (posloupnost přirozených čísel taková, že každé číslo se v ní vyskytuje
právě jednou) a nechť
∞
n=1
an je nekonečná řada. Pak řada
∞
n=1
aλn se nazývá přeřazením řady
∞
n=1
an. (Řada
∞
n=1
aλn vznikla z řady
∞
n=1
an přeřazením.)
Například: a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·
a2 + a1 + a4 + a3 + a6 + a5 + · · ·
a1 + a3 + a2 + a5 + a7 + a4 + a9 + a11 + a6 + · · ·
4.3.12 Definice
Řekneme, že pro konvergentní řadu
∞
n=1
an platí komutativní zákon, jestliže každá řada
∞
n=1
aλn vzniklá z této
řady přeřazením konverguje a má týž součet.
Řada, pro niž platí komutativní zákon, se nazývá bezpodmínečně konvergentní, řada, pro niž neplatí komutativní
zákon, se nazývá podmíněně konvergentní.
4.3.13 Věta
Pro absolutně konvergentní řadu
∞
n=1
an platí komutativní zákon, t.j. absolutně konvergentní řada je bezpodmínečně
konvergentní.
D.: Nechť
∞
n=1
|an| konverguje a buď ε > 0 libovolné.
Podle 4.1.4 existuje r ∈ N takové, že pro každé n ≥ r, m ∈ N platí |an+1| + |an+2| + · · · + |an+m| < ε.
Čísla 1, 2, . . . , r se vyskytují v permutaci {λn}∞
n=1 množiny N. Poněvadž jich je konečně mnoho, existuje
t ∈ N, že {1, 2, . . ., r} ⊆ {λn}t
n=1.
Pro libovolné n ≥ t a k ∈ N platí aλn+1 + aλn+2 + · · · + aλn+k
≤ |ar+1| + |ar+2| + · · · + |ar+m|, kde
r + m je největší z indexů λn+1, λn+2, . . . , λn+k. Tedy aλn+1 + aλn+2 + · · · + aλn+k
< ε a podle 4.1.4
řada
∞
n=1
aλn konverguje absolutně.
Označme sn částečné součty řady
∞
n=1
an a Sn částečné součty řady
∞
n=1
aλn . Pro n ≥ max{r, t} platí
|sn − Sn| = |a1 + a2 + · · · + ar + ar+1 + ar+2 + · · · + an − (aλ1 + aλ2 + · · · + aλn )| ≤
≤ |ar+1| + |ar+2| + · · · + |ar+m| < ε,
tedy lim
n→∞
(sn − Sn) = 0, což znamená lim
n→∞
sn = lim
n→∞
Sn.
4.3.14 Lemma
Nechť
∞
n=1
an je neabsolutně konvergentní řada. Pak řada sestavená z jejích kladných (resp. záporných) členů je
určitě divergentní k +∞ (resp. k −∞).
D.: Nechť
∞
n=1
pn je řada s kladnými členy sestavená z kladných členů řady
∞
n=1
an a
∞
n=1
(−qn) je řada s kladnými
členy sestavená ze záporných členů řady
∞
n=1
an.
Označme sn částečné součty řady
∞
n=1
an,
s+
n částečné součty řady
∞
n=1
pn, s−
n částečné součty řady
∞
n=1
(−qn).
Buďte k, l taková přirozená čísla, že sn = s+
k − s−
l . Přitom k + l = n a pro n → ∞ také k → ∞, l → ∞.
Kdyby lim
k→∞
s+
k ∈ R a lim
l→∞
s−
l ∈ R, pak by |a1| + |a2| + · · · + |an| = s+
k + s−
l , z čehož by vyplynulo, že řada
122
∞
n=1
an konverguje absolutně.
Kdyby lim
k→∞
s+
k = ∞ a lim
l→∞
s−
l ∈ R, pak by podle 1.3.12.2 a 1.3.4 platilo lim
l→∞
sn = ∞ a řada
∞
n=1
an by
divergovala.
Kdyby lim
k→∞
s+
k ∈ R a lim
l→∞
s−
l ∞, pak by platilo lim
l→∞
sn = −∞ a řada
∞
n=1
an by divergovala.
Podle 4.2.1 tedy je lim
k→∞
s+
k = lim
l→∞
s−
l = ∞.
4.3.15 Věta (Riemann [1826 – 1866])
Z libovolné neabsolutně konvergentní řady lze vhodným přeřazením obdržet řadu konvergentní k libovolnému
předem danému číslu, řadu určitě divergentní nebo řadu oscilující.
D.: Nechť
∞
n=1
an je neabsolutně konvergentní řada a nechť {pn}∞
n=1 je posloupnost jejích kladných členů,
{−qn}∞
n=1 je posloupnost jejích zápornných členů. Podle 4.3.14 jsou řady
∞
n=1
pn,
∞
n=1
qn určitě divergentní
k +∞.
Buď a ∈ R libovolné. Buď n1 ∈ N nejmenší číslo s vlastností
p1 + p2 + · · · + pn1 > a .
Buď m1 ∈ N nejmenší číslo s vlastností
p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 < a .
Dále buď n2 > n1 nejmenší číslo s vlastností
p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 > a
a m2 > m1 nejmenší číslo s vlastností
p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 − qm1+1 − qm1+2 − · · · − qm2 < a .
Atd.
Výsledkem je jistá řada vzniklá přeřazením řady
∞
n=1
an. Nechť {sn}∞
n=1 je její posloupnost částečných
součtů.
Je-li sn > a, pak sn − a <poslední kladný člen.
Je-li sn < a, pak sn − a >poslední záporný člen.
Tedy ql < sn − a < pk pro vhodná k, l.
Poněvadž
∞
n=1
an konverguje, je podle 4.1.5 lim
l→∞
ql = lim
k→∞
pk = 0 a tedy lim
n→∞
sn = a.
Dále ukážeme, že řadu
∞
n=1
an lze přeřadit tak, aby vzniklá řada divergovala k +∞.
Buď n1 ∈ N takové, že
p1 + p2 + · · · + pn1 > 1 .
Buď n2 ∈ N, n2 > n1 takové, že
p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 > 2 .
Buď n3 ∈ N, n3 > n2 takové, že
p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 − q2 + pn2+1 + pn2+2 + · · · + pn3 > 3 .
Atd.
Výsledkem je řada určitě divergující k +∞.
123
Analogicky lze ukázat, že řadu
∞
n=1
an lze přeřadit tak, aby vzniklá řada divergovala k −∞.
Nakonec řadu
∞
n=1
an přeřadíme tak, aby výsledkem byla řada oscilující.
Buď n1 ∈ N takové, že
p1 + p2 + · · · + pn1 > 1 .
Buď m1 ∈ N takové, že
p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 < −1 .
Buď n2 ∈ N, n2 > n1 takové, že
p1 + p2 + · · · + pn1 − q1 − q2 − · · · − qm1 + pn1+1 + pn1+2 + · · · + pn2 > 1 .
Atd.
Výsledkem je oscilující řada.
Z Riemannovy věty plyne, že neabsolutně konvergentní řada je podmíněně konvergentní.
4.4 Dvojné řady
4.4.1 Definice
Zobrazení f : N2
→ R se nazývá dvojná posloupnost.
Zápis: f(m, n) = fmn, nebo amn, bmn, . . .
{amn}∞
m,n=1, stručně {amn}
Čísla amn se nazývají členy této posloupnost. Lze je uspořádat do schématu (nekonečné matice):
a11 a12 a13 . . .
a21 a22 a23 . . .
a31 a32 a33 . . .
...
...
...
...
4.4.2 Poznámky
Snadno lze definovat ohraničenost dvojné posloupnosti: Existují konstanty k, K ∈ R že pro všechna m, n ∈ N je
k ≤ amn ≤ K.
Nelze definovat monotonnost dvojné posloupnosti. Lze definovat monotonnost vzhledem k jednomu indexu:
{amn}∞
m,n=1 je monotonní vzhledem k druhému indexu, je-li posloupnost {amn}∞
n=1 monotonní pro každé m ∈ N.
4.4.3 Definice
Řekneme, že dvojná posloupnost {amn}∞
m,n=1 má limitu a ∈ R, jestliže ke každému ε > 0 existují čísla m0, n0 ∈ N
taková, že pro každá dvě m, n ∈ N, m ≥ m0, n ≥ n0 platí |amn − a| < ε.
Píšeme lim
m,n→∞
amn = a, lim amn = a, amn → a.
Má-li posloupnost {amn} limitu a ∈ R, řekneme, že je konvergentní.
4.4.4 Poznámky
1. Analogicky lze definovat nevlastní limity dvojné posloupnosti.
2. Některé věty o limitách posloupnosti lze snadno přenést na dvojné posloupnosti. Zejména 1.3.3, 1.3.5.1–3,
1.3.6 a 1.3.7.
124
3. Konvergentní dvojná posloupnost nemusí být ohraničená.
Například
1 2 3 4 . . .
1 1 1 1 . . .
1 1 1 1 . . .
1 1 1 1 . . .
...
...
...
...
...
má limitu 1 a není ohraničená.
4.4.5 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium)
Dvojná posloupnost {amn} konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé
dvě dvojice (m, n), (p, q) ∈ N2
takové, že m ≥ n0, n ≥ n0, p ≥ n0, q ≥ n0 platí |amn − apq| < ε.
D.: „⇒“ Triviální (analogicky jako 1.3.22).
„⇐“ Položme bn = ann (diagonální posloupnost). {bn}∞
n=1 je cauchyovská, existuje tedy lim
n→∞
bn = a ∈ R.
Ukážeme, že také lim
m,n→∞
amn = a. Buď ε > 0 libovolné.
K
ε
2
> 0 existuje n1 ∈ N, že pro m ≥ n1, n ≥ n1, p ≥ n1, q ≥ n1 platí |amn − apq| <
ε
2
.
K
ε
2
> 0 existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 platí |bn − a| <
ε
2
.
Pro každé n ≥ n0 = max{n1, n2} platí
|amn − a| = |amn − ann + bn − a| ≤ |amn − ann| + |bn − a| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
4.4.6 Definice
Buď {amn}∞
m,n=1 dvojná posloupnost a položme
smn =
m
i=1
n
j=1
aij =
i ≤ m
j ≤ n
aij .
Dvojná posloupnost {smn} se nazývá posloupnost částečných součtů dvojné řady
∞
m,n=1
amn = amn.
Řekneme, že dvojná řada amn konverguje a má součet s, jestliže lim
m,n→∞
smn = s ∈ R. Řekneme, že tato
dvojná řada určitě diverguje k ∞ (k −∞), jestliže lim
m,n→∞
smn = ∞ ( lim
m,n→∞
smn = −∞).
4.4.7 Poznámky
Snadno lze dokázat následující tvrzení:
1. Nutná podmínka konvergence dvojné řady
∞
m,n=1
amn je lim
m,n→∞
amn = 0.
(amn = smn − sm−1 n − sm n−1 + sm−1 n−1)
2. Cauchyovo - Bolzanovo kriterium:
Dvojná řada
∞
m,n=1
amn konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro
každé dvě dvojice (m, n), (p, q) ∈ N2
takové, že m ≥ n0, n ≥ n0 platí
n ≤ i ≤ n + p
m ≤ j ≤ m + q
aij < ε .
125
3. Jestliže
∞
m,n=1
amn = a ∈ R,
∞
m,n=1
bmn = b ∈ R, c1, c2 ∈ R, pak
∞
m,n=1
(c1amn + c2bmn) = c1
∞
m,n=1
amn + c2
∞
m,n=1
bmn.
4. Nechť amn ≥ 0 pro všechna m, n ∈ N. Dvojná řada
∞
m,n=1
amn konverguje právě tehdy, když posloupnost
jejích částečných součtů je shora ohraničená.
5. Nechť pro všechna m, n ∈ N platí 0 ≤ amn ≤ bmn. Potom: konverguje-li řada
∞
m,n=1
bmn, pak konverguje
i řada
∞
m,n=1
amn; diverguje-li řada
∞
m,n=1
amn, pak diverguje i řada
∞
m,n=1
bmn.
6. Konverguje-li řada
∞
m,n=1
|amn|, pak konverguje i řada
∞
m,n=1
amn.
4.4.8 Definice
Řekneme, že dvojná řada
∞
m,n=1
amn konverguje absolutně, jestliže konverguje dvojná řada
∞
m,n=1
|amn|.
4.4.9 Věta (komutativní zákon pro dvojné řady)
Nechť dvojná řada
∞
m,n=1
amn konverguje absolutně a nechť N2
=
k∈I
Nk je disjunktní rozklad množiny N2
a
nechť každá množina Nk je vyjádřena ve tvaru konečné nebo spočetné posloupnosti.
Je-li množina Nk nekonečná, pak řada
(m,n)∈Nk
amn absolutně konverguje.
Označíme-li
(m,n)∈Nk
amn = zk, pak platí
k∈I
zk =
∞
m,n=1
amn. Přitom je-li množina I nekonečná, řada
k∈I
zk
konverguje absolutně.
Náznak důkazu:
Množinu N2
lze vyjádřit jako prostou posloupnost {(m1, n1), (m2, n2), . . . , (ml, nl), . . . }.
Označíme-li bl = aml,nl
, lze řadu
∞
l=1
bl považovat za přeřazení dvojné řady
∞
m,n=1
amn.
Podle 4.3.13 řada
∞
l=1
bl konverguje absolutně a platí
∞
l=1
bl =
∞
m,n=1
amn.
Zřejmě
(m,n)∈Nk
|amn| ≤
∞
m,n=1
|amn| a tedy podle 4.4.7.4 řada
(m,n)∈Nk
amn konverguje absolutně.
Řadu
k
zk =
k (m,n)∈Nk
amn lze považovat za přeřazení řady
∞
l=1
bl.
Podle 4.3.13 řada
k
zk konverguje absolutně a platí
k
zk =
l
bl.
(Podrobný důkaz viz např. Jarník, Diferenciální počet II, Věta 39)
4.4.10 Sumační metody dvojných řad
Konstrukce popsaná v předchozí větě se nazývá sumační metoda dvojné řady. Aplikovat sumační metodu na
dvojnou řadu amn znamená
— Množinu N2
vyjádřit jako sjednocení konečné nebo spočetné posloupnosti po dvou disjunktních množin
Nk.
— Každou množinu Nk uspořádat do konečné nebo spočetné posloupnosti.
126
— Utvořit součty (řady)
(m,n)∈Nk
amn = zk.
— Utvořit součet (řadu)
k
zk.
Jestliže dvojná řada amn konverguje absolutně, pak konverguje absolutně i každá takto vytvořená řada a
platí amn = zk.
Některé významné sumační metody:
• Sumace po čtvercích
N1 = {(1, 1)}
N2 = {(2, 1), (2, 2), (1, 2)}
N3 = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 3), (1, 3)}
...
Pak amn = a11 + (a21 + a22 + a12) + (a31 + a32 + a33 + a23 + a13) + · · ·
• Sumace po diagonálách
N1 = {(1, 1)}
N2 = {(2, 1), (1, 2)}
N3 = {(3, 1), (2, 2), (1, 3)}
...
Pak amn = a11 + (a21 + a12) + (a31 + a22 + a13) + · · ·
• Dvojnásobné řady
Nk = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), . . .} (k-tý řádek)
nebo
Nk = {(1, k), (2, k), (3, k), . . .} (k-tý sloupec)
Pak
∞
m,n=1
amn =
∞
m=1
∞
n=1
amn nebo
∞
m,n=1
amn =
∞
n=1
∞
m=1
amn
4.5 Součin řad
4.5.1 Definice
Buďte
∞
n=1
an,
∞
n=1
bn nekonečné řady. Jejich součinem rozumíme dvojnou řadu
∞
m,n=1
cmn, kde cmn = ambn.
4.5.2 Věta
Nechť řady
∞
n=1
an = a,
∞
n=1
bn = b konvergují absolutně. Pak jejich součin
∞
m,n=1
cmn konverguje rovněž absolutně
a platí
∞
m,n=1
cmn = ab.
D.: Označme s = |am|, t = |bn|,
ρm částečné součty řady |am|, σn částečné součty řady |bn|,
˜ρm částečné součty řady am, ˜σn částečné součty řady bn,
smn částečné součty dvojné řady |cmn| = |ambn|.
smn =
m
i=1
n
j=1
|aibj| =
m
i=1
|ai|
n
j=1
|bj| = ρmσn ≤ st a podle 4.4.7.4 |cmn| konverguje, tedy cmn
konverguje absolutně.
Na dvojnou řadu cmn lze aplikovat sumaci po čtvercích.
Dostaneme cmn = c11 + (c21 + c22 + c12) + (c31 + c32 + c33 + c23 + c13) + · · · .
Částečné součty této řady jsou
s1 = c11 = a1b1 = ˜ρ1 ˜σ1
s2 = c11 +(c21 +c22 +c12) = a1b1 +a2b1 +a2b2 +a1b2 = (a1 +a2)b1 +(a1 +a2)b2 = (a1 +a2)(b1 +b2) = ˜ρ2 ˜σ2
127
...
sn = ˜ρn ˜σn
Aplikací nějaké sumační metody dostaneme konkrétní tvary součinů řad.
Sumace po čtvercích ⇒ Dirichletův součin řad
∞
n=1
an
∞
n=1
bn = a1b1 + (a2b1 + a2b2 + a1b2) + (a3b1 + a3b2 + a3b3 + a2b3 + a1b3) + · · · =
=
∞
n=1
an
n−1
i=1
bi + anbn + bn
n−1
i=1
ai
Sumace po diagonálách ⇒ Cauchyův součin řad
∞
n=1
an
∞
n=1
bn = a1b1 + (a2b1 + a1b2) + (a3b1 + a2b2 + a1b3) + · · · =
∞
n=1
n
k=1
akbn−k+1
∞
n=0
an
∞
n=0
bn =
∞
n=0
n
k=0
akbn−k
4.5.3 Věta
Nechť
∞
n=1
an = a,
∞
n=1
bn = b jsou konvergentní řady a nechť
∞
n=1
cn je jejich Dirichletův součin. Pak
∞
n=1
cn
konverguje a platí
∞
n=1
cn = ab.
D.: Označíme-li ρn částečné součty řady
∞
n=1
an,
σn částečné součty řady
∞
n=1
bn,
sn částečné součty řady
∞
n=1
cn,
pak analogicky jako v důkazu věty 4.5.2 ukážeme, že sn = ρnσn, z čehož podle 1.3.6.3 vyplyne
lim
n→∞
sn = ab, tedy
∞
n=1
cn = ab.
Poznámka: Pro Cauchyův součin podobné tvrzení neplatí:
Položme an = bn =
(−1)n
√
n + 1
. Podle 4.3.7 řady
∞
n=0
an,
∞
n=0
bn konvergují.
Nechť
∞
n=0
cn je jejich Cauchyův součin, tedy
cn = (−1)n 1
√
1
√
n + 1
+
1
√
2
√
n
+
1
√
3
√
n − 1
+ · · · +
1
√
n + 1
√
1
,
|cn| =
1
√
1
√
n + 1
+
1
√
2
√
n
+
1
√
3
√
n − 1
+ · · · +
1
√
n + 1
√
1
≥
≥
1
√
n + 1
√
n + 1
+
1
√
n + 1
√
n + 1
+
1
√
n + 1
√
n + 1
+ · · · +
1
√
n + 1
√
n + 1
=
n + 1
n + 1
= 1 ,
takže nemůže platit lim
n→∞
cn = 0 a podle 4.1.5 řada
∞
n=0
cn nekonverguje.
128
4.5.4 Věta (Mertens [1840 – 1927])
Nechť řady
∞
n=0
an = a,
∞
n=0
bn = b konvergují a alespoň jedna z nich absolutně. Nechť
∞
n=0
cn je jejich Cauchyův
součin. Pak
∞
n=0
cn konverguje a platí
∞
n=0
cn = ab.
D.: Nechť an konverguje absolutně a označme ρn, resp. σn, resp. sn částečné součty řady an, resp. bn,
resp. cn. Pak
lim
n→∞
ρn = a,
lim
n→∞
σn = b,
sn = a0b0 + (a0b1 + a1b0) + (a0b2 + a1b1 + a2b0) + · · · + (a0bn + a1bn−1 + · · · + anb0) =
= a0(b0 + b1 + · · · + bn) + a1(b0 + b1 + · · · + bn−1) + · · · + anb0 =
= a0σn + a1σn−1 + · · · + anσ0
Označme βn = σn − b. Pak σn = b + βn a lim
n→∞
βn = 0. Tedy
sn = a0(b + βn) + a1(b + βn−1) + · · · + an(b + β0) = b(a0 + a1 + · · · + an) + a0βn + a1βn−1 + · · · + anβ0 .
Označme ωn = a0βn + a1βn−1 + · · · + anβ0 Pak sn = bρn + ωn. Nyní stačí ukázat, že lim
n→∞
ωn = 0, neboť
lim
n→∞
bρn = b lim
n→∞
ρn = ab.
Řada |an| konverguje, to znamená, že má ohraničené částečné součty, neboli existuje m ∈ R, m > 0, že
|a0| + |a1| + · · · + |an| ≤ m, n = 0, 1, 2, . . .
lim
n→∞
βn = 0, to znamená, že posloupnost {βn}∞
n=0 je ohraničená, neboli existuje k ∈ R, k > 0, že
|βn| < k, n = 0, 1, 2, . . .
Buď ε > 0 libovolné. Poněvadž lim
n→∞
βn = 0, k číslu
ε
2m
> 0 existuje n1 ∈ N, že pro každé n ≥ n1 platí
|βn| <
ε
2m
.
|an| konverguje, takže podle 4.1.4 k číslu
ε
2k
> 0 existuje n2 ∈ N, že pro každé n ≥ n2 a p ∈ N platí
|an+1| + |an+2| + · · · + |an+p| <
ε
2k
.
Buď n0 = max{n1, n2}. Pro libovolné n > 2n0 platí
|ωn| = |a0βn + a1βn−1 + · · · + anβ0| ≤
≤ |a0| |βn| + |a1| |βn−1| + · · · + |an0 | |βn−n0 | + |an0+1| |βn−n0−1| + · · · + |an| |β0| ≤
≤ (|a0| + |a1| + · · · + |an0 |)
ε
2m
+ (|an0+1| + |an0+2| + · · · + |an|)k ≤ m
ε
2m
+
ε
2k
k = ε ,
což znamená lim
n→∞
ωn = 0.
4.5.5 Věta (Cesàro [1859 – 1906])
Nechť
∞
n=0
an = a,
∞
n=0
bn = b jsou konvergentní řady a nechť
∞
n=0
cn je jejich Cauchyův součin. Je-li {sn}∞
n=0
posloupnost částečných součtů řady
∞
n=0
cn, pak lim
n→∞
s0 + s1 + · · · + sn
n + 1
= ab.
129
D.: Označme ρn, resp σn částečný součet řady
∞
n=0
an, resp.
∞
n=0
bn a dále αn = ρn − a, βn = σn − b. Pak
lim
n→∞
ρn = a, lim
n→∞
σn = b, lim
n→∞
αn = lim
n→∞
βn = 0, ρn = a + αn, σn = b + βn.
V důkazu věty 4.5.4 jsme ukázali, že sn = a0σn + a1σn−1 + · · · + anσ0. Odtud plyne
s0 + s1 + · · · + sn = a0σ0 + (a0σ1 + a1σ0) + · · · + (a0σn + a1σn−1 + · · · + anσ0) =
= (a0 + a1 + · · · + an)σ0 + (a0 + a1 + · · · + an−1)σ1 + · · · + a0σn =
= (a + αn)(b + β0) + (a + αn−1)(b + β1) + · · · + (a + α0)(b + βn) =
= (n + 1)ab + a(β0 + β1 + · · · + βn) + b(α0 + α1 + · · · + αn) +
+αnβ0 + αn−1β1 + · · · + α0βn .
Dále
s0 + s1 + · · · + sn
n + 1
= ab + a
β0 + β1 + · · · + βn
n + 1
+ b
α0 + α1 + · · · + αn
n + 1
+
αnβ0 + αn−1β1 + · · · + α0βn
n + 1
.
Podle 4.1.12 je lim
n→∞
β0 + β1 + · · · + βn
n + 1
= lim
n→∞
α0 + α1 + · · · + αn
n + 1
= 0.
K dokončení důkazu tedy stačí ukázat, že lim
n→∞
αnβ0 + αn−1β1 + · · · + α0βn
n + 1
= 0.
Posloupnosti {αn}, {βn} jsou podle 1.3.4 ohraničené, a tedy existuje k ∈ R, k > 0 takové, že
|αn| ≤ k, |βn| ≤ k pro každé n ∈ N.
Buď nyní ε > 0 libovolné.
K
ε
k
> 0 existuje n1 ∈ N, že pro n ≥ n1 je |αn| <
ε
k
a existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 je |βn| <
ε
k
.
Buď n0 = max{n1, n2}. Pro n > 2n0 platí
|α0βn + α1βn−1 + · · · + αn0 βn−n0 + αn0+1βn−n0−1 + · · · + αnβ0| ≤
(|α0| |βn| + |α1| |βn−1| + · · · + |αn0 | |βn−n0 |) + (|αn0+1| |βn−n0−1| + · · · + |αn| |β0|) <
k
ε
k
+ k
ε
k
+ · · · + k
ε
k
+
ε
k
k +
ε
k
k + · · · +
ε
k
k = (n + 1)ε .
To znamená, že pro n > n0 je
αnβ0 + αn−1β1 + · · · + α0βn
n + 1
< ε.
Z 4.1.12 a 4.5.5 bezprostředně plyne
4.5.6 Věta (Abel [1802 – 1829])
Buďte
∞
n=0
an = a,
∞
n=0
bn = b konvergentní řady a
∞
n=0
cn jejich Cauchyův součin. Jestliže
∞
n=0
cn konverguje,
pak
∞
n=0
cn = ab.
Poznámka: Porovnáním s 4.1.13 vidíme, že platí i obecnější tvrzení: Buďte
∞
n=0
an = a,
∞
n=0
bn = b konvergentní
řady. Jestliže jejich Cauchyův součin
∞
n=0
cn konverguje v Cesàrově smyslu, pak
∞
n=0
cn = ab v Cesàrově
smyslu.
4.6 Posloupnosti a řady funkcí
4.6.1 Definice
Nechť fn, n ∈ N a f jsou reálné funkce takové, že Dom f ⊆
∞
n=1
Dom fn.
Řekneme, že posloupnost funkci {fn}∞
n=1 bodově konverguje k funkci f na množině M ⊆
∞
n=1
Dom fn a píšeme
130
lim
n→∞
fn = f, jestliže pro každé x ∈ M číselná posloupnost {fn(x)} konverguje k f(x), neboli když pro každé
x ∈ M je lim
n→∞
fn(x) = f(x).
Množina x ∈
∞
n=1
Dom fn : {fn(x)} konverguje , se nazývá obor bodové konvergence posloupnosti funkcí {fn}.
Posloupnost funkcí {fn} bodově konverguje k funkci f na množině M, jestliže ke každému ε > 0 a každému
x ∈ M existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 je |fn(x) − f(x)| < ε.
Všimněme si, že číslo n0 závisí na ε i na x.
Má-li každá z funkcí posloupnosti {fn} nějakou vlastnost, limitní funkce f = lim
n→∞
fn tutéž vlastnost mít
může, ale nemusí.
— Jsou-li všechny funkce fn nezáporné (nekladné), je i funkce f nezáporná (nekladná).
— Jsou-li všechny funkce fn neklesající (nerostoucí), je i funkce f neklesající (nerostoucí).
— Jsou-li všechny funkce fn klesající (rostoucí), nemusí být funkce f klesající (rostoucí).
Např. fn(x) =
x
n
, f(x) = lim
n→∞
fn(x) = lim
n→∞
x
n
= 0
— Jsou-li všechny funkce fn ohraničené, nemusí být funkce f ohraničená.
Např. fn(x) =
n
nx + 1
na intervalu (0, ∞), f(x) = lim
n→∞
fn(x) =
1
x
— Jsou-li všechny funkce fn spojité, nemusí být funkce f spojitá.
Např. fn(x) = x2n
, x ∈ [−1, 1], f(x) = lim
n→∞
fn(x) =
0, x ∈ (−1, 1)
1, |x| = 1
4.6.2 Definice
Řekneme, že posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na množině M ⊆
∞
n=1
Dom fn k funkci f a píšeme
fn
→
→ f, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 a každé x ∈ M platí
|fn(x) − f(x)| < ε.
Všimněme si, že číslo n0 závisí pouze na ε.
Jestliže posloupnost funkcí {fn} konverguje na množině M k funkci f stejnoměrně, pak na této množině
konverguje k funkci f bodově. Opak obecně neplatí.
Je-li množina M uzavřeným intervalem [a, b] a každá z funkcí fn je spojitá, je stejnoměrná konvergence
těchto funkcí konvergencí posloupnosti v metrickém prostoru (C[a, b], ρC) (sr. 5.1.2.4). Podle 5.4.2.6 je tento
prostor úplný, což znamená, že stejnoměrná limita spojitých funkcí je funkcí spojitou.
4.6.3 Příklady
Nechť fn(x) =
2nx
1 + n2x2
.
• Posloupnost funkcí {fn} konverguje na intervalu [1, 2] stejnoměrně k funkci f(x) ≡ 0.
D.: Buď ε > 0 libovolné. Položme n0 =
2
ε
+ 1 . Pak n0 >
2
ε
,
2
n0
< ε.
Pro n ≥ n0 platí |fn(x) − f(x)| = |fn(x)| =
2nx
1 + n2x2
<
2nx
n2x2
=
2
nx
≤
2
n
≤
2
n0
< ε.
• Posloupnost funkcí {fn} konverguje na intervalu [0, 1] bodově k funkci f(x) ≡ 0, ale tato konvergence není
stejnoměrná.
131
D.: lim
n→∞
2nx
1 + n2x2
= lim
n→∞
2x
n
1
n2 + x2
= 0 pro libovolné x ∈ R.
fn( 1
n ) =
2n 1
n
1 + n2 1
n2
=
2
2
= 1 pro každé n ∈ N. Pro ε ∈ (0, 1) je tedy |fn( 1
n ) − f(x)| = |fn( 1
n )| = 1 > ε.
4.6.4 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium)
Posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na množině M ⊆
∞
n=1
Dom fn právě tehdy, když ke každému
ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0, m ≥ n0 a každé x ∈ M platí |fm(x) − fn(x)| < ε.
D.: „⇒“ analogie 1.3.22
„⇐“ Pro každé x ∈ M je číselná posloupnost {fn(x)} cauchyovská. Existuje tedy bodová lim
n→∞
fn = f.
Ukážeme, že fn
→
→ f.
Buď ε > 0 libovolné. Existuje n0 ∈ N, že pro n, m ≥ n0 a každé x ∈ M platí |fm(x) − fn(x)| <
ε
2
.
Odtud |fn(x) − f(x)| = lim
m→∞
|fn(x) − fm(x)| ≤
ε
2
< ε.
Poznámka: Posloupnost funkcí, která má vlastnost z 4.6.4, se nazývá stejnoměrně cauchyovská.
4.6.5 Věta
Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na množině M ⊆
∞
n=1
Dom fn k funkci f a nechť g je
funkce ohraničená na M. Pak gfn
→
→ gf na M.
D.: Existuje k ∈ R, že |g(x)| < k pro každé x ∈ M.
Buď ε > 0 libovolné. K
ε
k
> 0 existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 a x ∈ M platí |fn(x) − f(x)| <
ε
k
. Nyní pro
každé x ∈ M a n ≥ n0 platí |g(x)fn(x) − g(x)f(x)| = |g(x)||fn(x) − f(x)| < k
ε
k
= ε.
4.6.6 Věta
Buďte {fn}, {gn} posloupnosti funkcí a M ⊆
∞
n=1
Dom fn ∩
∞
n=1
Dom gn Jestliže fn
→
→ f, gn
→
→ g na M
pak fn + gn
→
→ f + g na M.
D.: Buď ε > 0 libovolné.
K
ε
2
> 0 existuje n1 ∈ N, že pro všechna x ∈ M a n ≥ n1 je |fn(x) − f(x)| <
ε
2
.
K
ε
2
> 0 existuje n2 ∈ N, že pro všechna x ∈ M a n ≥ n2 je |gn(x) − g(x)| <
ε
2
.
Tedy pro všechna x ∈ M a n ≥ n0 = max{n1, n2} platí
|fn(x) + gn(x) − f(x) − g(x)| ≤ |fn(x) − f(x)| + |gn(x) − g(x)| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
4.6.7 Důsledek
Nechť f1
n
→
→ f1
, f2
n
→
→ f2
, . . . , fk
n
→
→ fk
, c1, c2, . . . , ck ∈ R. Pak
c1f1
n + c2f2
n + · · · + ckfk
n =
k
i=1
cifi
n
→
→
k
i=1
cifi
.
132
4.6.8 Definice
Buď {fn} posloupnost funkcí, M ⊆
∞
n=1
Dom fn. Pro každé n ∈ N položme sn = f1 + f2 + · · · + fn. Posloupnost
funkcí {sn} se nazývá posloupnost částečných součtů řady funkcí
∞
n=1
fn.
Řekneme, že řada funkcí
∞
n=1
fn bodově konverguje na množině M a má zde součet s, jestliže {sn} bodově konverguje
k funkci s na M.
Množina x ∈
∞
n=1
Dom fn : fn(x) konverguje , se nazývá obor bodové konvergence řady funkcí
∞
n=1
fn.
Řekneme, že řada funkcí
∞
n=1
fn stejnoměrně konverguje na množině M a má zde součet s, jestliže {sn} stejnoměrně
konverguje k funkci s na M.
∞
n=1
fn = s bodově na M, jestliže pro každé x ∈ M je
∞
n=1
fn(x) = s(x).
Jestliže řada funkcí konverguje na nějaké množině stejnoměrně, pak na ní konverguje bodově. Opak obecně
neplatí.
4.6.9 Věta
Nechť řady funkcí
∞
n=1
f1
n = s1
,
∞
n=1
f2
n = s2
, . . . ,
∞
n=1
fk
n = sk
konvergují ke svým součtům stejnoměrně na
množině M ⊆
k
j=1
∞
n=1
Dom fj
n a c1, c2, . . . , ck ∈ R. Pak řada
∞
n=1
k
j=1
cjfj
n konverguje stejnoměrně k
k
j=1
cjsj
na M.
D.: Plyne z 4.6.7.
4.6.10 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium)
Řada funkcí
∞
n=1
fn konverguje stejnoměrně na množině M ⊆
∞
n=1
Dom fn právě tehdy, když ke každému ε > 0
existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0, m ∈ N a x ∈ M platí |fn+1(x) + fn+2(x) + · · · + fn+m(x)| < ε.
D.: Aplikací 4.6.4 na posloupnost částečných součtů.
4.6.11 Definice
Řekneme, že řada funkcí
∞
n=1
fn konverguje na množině M ⊆
∞
n=1
Dom fn absolutně, jestliže pro každé x ∈ M
konverguje (číselná) řada
∞
n=1
|fn(x)|.
4.6.12 Věta (srovnávací kriterium)
Buďte {fn}∞
n=1 a {gn}∞
n=1 posloupnosti funkcí, M ⊆
∞
n=1
Dom fn ∩
∞
n=1
Dom gn a nechť |fn(x)| ≤ gn(x)
pro všechna n ∈ N a x ∈ M. Jestliže řada funkcí
∞
n=1
gn konverguje stejnoměrně na M, pak řada funkcí
∞
n=1
fn
konverguje na M stejnoměrně a absolutně.
D.: Nejprve poznamenejme, že z podmínky |fn(x)| ≤ gn(x) plyne, že všechny funkce gn jsou nezáporné.
Absolutní bodová konvergence plyne z 4.2.4. Ukážeme, že konvergence je stejnoměrná.
Buď ε > 0 libovolné. Podle 4.6.10 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0, m ∈ N, x ∈ M platí
|gn+1(x) + gn+2(x) + · · · + gn+m(x)| = gn+1(x) + gn+2(x) + · · · + gn+m(x) < ε .
133
Tedy
|fn+1(x) + fn+2(x) + · · · + fn+m(x)| ≤ |fn+1(x)| + |fn+2(x)| + · · · + |fn+m(x)| ≤
≤ gn+1(x) + gn+2(x) + · · · + gn+m(x) < ε .
4.6.13 Důsledek (Weierstrassovo [1815 – 1897] kriterium)
Buď {fn}∞
n=1 posloupnosti funkcí, M ⊆
∞
n=1
Dom fn a nechť pro všechna n ∈ N a x ∈ M platí |fn(x)| ≤ an ∈ R.
Jestliže (číselná) řada
∞
n=1
an konverguje, pak řada funkcí
∞
n=1
fn konverguje absolutně a stejnoměrně na M.
4.6.14 Kriteria stejnoměrné konvergence
Buď {fn}∞
n=1 posloupnosti funkcí, M ⊆
∞
n=1
Dom fn.
{fn}∞
n=1 se nazývá nerostoucí (resp. neklesající) na M, jestliže pro každé x ∈ M je číselná posloupnost
{fn(x)}∞
n=1 nerostoucí (resp. neklesající). Je-li {fn}∞
n=1 nerostoucí nebo neklesající, nazývá se monotonní.
{fn}∞
n=1 se nazývá stejnoměrně ohraničená na M, jestliže existuje konstanta k ∈ R taková, že pro všechna
x ∈ M a všechna n ∈ N je |fn(x)| ≤ k.
1. Dirichletovo kriterium:
Nechť posloupnost funkcí {gn}∞
n=1 je monotonní na M, gn
→
→ 0 na M a posloupnost částečných součtů
řady funkcí
∞
n=1
fn je stejnoměrně ohraničená na M. Pak řada
∞
n=1
fngn stejnoměrně konverguje na M.
2. Důsledek Dirichletova kriteria:
Nechť číselná posloupnost {an}∞
n=1 je monotonní taková, že lim
n→∞
an = 0 a posloupnost částečných součtů
řady funkcí
∞
n=1
fn je stejnoměrně ohraničená M. Pak řada funkcí
∞
n=1
anfn stejnoměrně konverguje na M.
3. Abelovo kriterium:
Nechť posloupnost funkcí {gn}∞
n=1 je stejnoměrně ohraničená na M a nechť řada funkcí
∞
n=1
fn stejnoměrně
konverguje na M. Pak řada
∞
n=1
fngn stejnoměrně konverguje na M.
4.7 Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad
4.7.1 Věta
Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Je-li každá
z funkcí fn spojitá v bodě x0 ∈ J, pak je f spojitá v bodě x0.
D.: Buď ε > 0 libovolné.
Poněvadž fn
→
→ f na J, existuje n1 ∈ N, že pro n ≥ n1, x ∈ J platí |fn(x) − f(x)| <
ε
3
.
Poněvadž fn je spojitá v x0, existuje δ > 0, že pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ J platí |fn(x) − fn(x0)| <
ε
3
.
Poněvadž fn(x0) → f(x0), existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2 platí |fn(x0) − f(x0)| <
ε
3
.
Pro n ≥ max{n1, n2} a každé x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ J platí
|f(x) − f(x0)| = |f(x) − fn(x) + fn(x) − fn(x0) + fn(x0) − f(x0)| ≤
≤ |f(x) − fn(x)| + |fn(x) − fn(x0)| + |fn(x0) − f(x0)| <
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε .
134
4.7.2 Důsledek
Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Je-li každá
z funkcí fn spojitá na J, pak je f spojitá na J.
4.7.3 Věta (Moore [1882–1974] - Osgood [1864–1943])
Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť x0 ∈ J
nebo x0 je krajní bod intervalu J a nechť pro všechna n ∈ N existuje lim
x→x0
fn(x) = an ∈ R. (V případě, že x0 je
krajní bod intervalu J, jedná se o příslušnou jednostrannou limitu.) Pak existuje lim
n→∞
an ∈ R a lim
x→x0
f(x) ∈ R
a platí lim
n→∞
an = lim
x→x0
f(x), neboli
lim
n→∞
lim
x→x0
fn(x) = lim
x→x0
lim
n→∞
fn(x) .
D.: Buď ε > 0 libovolné.
Podle 4.6.4 existuje n1 ∈ N takové, že pro všechna m, n ≥ n0, x ∈ J platí |fm(x) − fn(x)| <
ε
2
.
Limitním přechodem pro x → x0 dostaneme |am − an| ≤
ε
2
< ε. Posloupnost {an} je tedy Cauchyovská a
podle 1.3.22 existuje lim
n→∞
an = a ∈ R.
Ukážeme, že lim
x→x0
f(x) = a:
fn
→
→ f na J ⇒ existuje n2 ∈ N, že pro n ≥ n2, x ∈ J je |fn(x) − f(x)| <
ε
3
.
lim
x→x0
fn(x) = an ⇒ existuje δ > 0, že pro x ∈ ((x0 − δ, x0 + δ) \ {x0}) ∩ J je |fn(x) − an| <
ε
3
.
lim
n→∞
an = a ⇒ existuje n3 ∈ N, že pro n ≥ n3 je |an − a| <
ε
3
.
Pro n ≥ max{n2, n3} platí |f(x) − a| = |f(x) − fn(x) + fn(x) − an + an − a| <
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
4.7.4 Věta
Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť všechny
funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu a x0 ∈ [a, b] je libovolný. Pak funkce f je integrabilní
na [a, b] a pro každé x ∈ [a, b] platí
x
x0
f(t)dt = lim
n→∞
x
x0
fn(t)dt, neboli
x
x0
lim
n→∞
fn(t) dt = lim
n→∞


x
x0
fn(t)dt

 ,
přičemž konvergence posloupnosti funkcí na pravé straně je stejnoměrná na intervalu [a, b].
D.: Nejdříve ukážeme, že f = lim
n→∞
fn je integrabilní. Buď ε > 0 libovolné.
Poněvadž fn
→
→ f, existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna x ∈ [a, b] platí |fn0 (x) − f(x)| <
ε
4(b − a)
.
Poněvadž funkce fn0 je integrabilní, podle 3.2.10 existuje dělení D = {x0, x1, . . . , xk} ∈ ϑ([a, b]) takové,
že S(D, fn0 ) − s(D, fn0 ) <
ε
2
.
Označme ˜mi = inf{fn0 (x) : x ∈ [xi−1, xi]}, ˜Mi = sup{fn0 (x) : x ∈ [xi−1, xi]},
mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.
135
Pak | ˜mi − mi| <
ε
4(b − a)
, | ˜Mi − Mi| <
ε
4(b − a)
, takže Mi − mi < ˜Mi − ˜mi +
ε
2(b − a)
. Dále
S(D, f) − s(D, f) =
k
i=1
Mi(xi − xi−1) −
k
i=1
mi(xi − xi−1) =
k
i=1
(Mi − mi)(xi − xi−1) ≤
≤
k
i=1
˜Mi − ˜mi +
ε
2(b − a)
(xi − xi−1) =
=
k
i=1
˜Mi − ˜mi (xi − xi−1) +
ε
2(b − a)
k
i=1
(xi − xi−1) =
= S(D, fn0 ) − s(D, fn0 ) +
ε
2
<
ε
2
+
ε
2
= ε ,
což podle 3.2.10 znamená, že funkce f je integrabilní.
Označme R[a, b] množinu všech Riemannovsky integrabilních (a tedy ohraničených) funkcí definovaných
na intervalu [a, b]. Pro ϕ, ψ ∈ R[a, b] položme
ρS(ϕ, ψ) = sup{|ϕ(x) − ψ(x)| : x ∈ [a, b]} .
Analogicky jako v 5.1.2.4 ověříme, že (R[a, b], ρS) je metrický prostor a snadno nahlédneme, že stejnoměrná
konvergence posloupnosti funkcí integrabilních na intervalu [a, b] je konvergencí posloupnosti v prostoru
(R[a, b], ρS). (Podle první části důkazu je prostor (R[a, b], ρS) úplný.)
Definujme zobrazení F : R[a, b] → C[a, b] předpisem
F(ϕ)(x) =
x
x0
ϕ(t)dt .
Pro ϕ, ψ ∈ R[a, b] platí:
ρC(F(ϕ), F(ψ)) = max {|F(ϕ)(x) − F(ψ)(x)| : x ∈ [a, b]} =
= max



x
x0
ϕ(t)dt −
x
x0
ψ(t)dt : x ∈ [a, b]



=
= max



x
x0
(ϕ(t) − ψ(t))dt : x ∈ [a, b]



≤
≤ max



x
x0
|ϕ(t) − ψ(t)|dt : x ∈ [a, b]



≤
≤ max



x
x0
sup{|ϕ(τ) − ψ(τ)| : τ ∈ [a, b]}dt : x ∈ [a, b]



=
= max {|(x − x0)| ρS(ϕ, ψ) : x ∈ [a, b]} = max {(b − x0), (x0 − a)} ρS(ϕ, ψ) .
Označíme-li tedy L = max{(b − x0), (x0 − a)}, je ρC(F(ϕ), F(ψ)) ≤ LρS(ϕ, ψ), což znamená, že F je
Lipschitzovské zobrazení a podle 5.5.10 spojité.
Podle 5.5.3 převádí spojité zobrazení metrických prostorů konvergentní posloupnost na konvergentní posloupnost
a platí
lim
n→∞
F(fn) = F lim
n→∞
fn ,
což je formule z tvrzení věty. Navíc konvergence posloupnosti v prostoru C[a, b] je stejnoměrnou konvergencí
posloupnosti funkcí.
136
4.7.5 Věta
Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť všechny
funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a platí
b
a
f(t)dt = lim
n→∞
b
a
fn(t)dt, neboli
b
a
lim
n→∞
fn(t) dt = lim
n→∞


b
a
fn(t)dt

 .
D.: plyne bezprostředně z 4.7.4 a z toho, že z konvergence stejnoměrné plyne bodová.
4.7.6 Věta
Buď {fn} posloupnost funkcí diferencovatelných na otevřeném intervalu J ⊆ Dom fn. Nechť existuje x0 ∈ J
takový bod, že (číselná) posloupnost {fn(x0)} konverguje. Jestliže posloupnost funkcí {f′
n} konverguje stejnoměrně
na J, pak posloupnost {fn} konverguje stejnoměrně na J k diferencovatelné funkci f, pro niž platí
f′
(x) = lim
n→∞
f′
n(x) pro každé x ∈ J, neboli
lim
n→∞
fn(x)
′
= lim
n→∞
f′
n(x) , tj.
d
dx
lim
n→∞
fn(x) = lim
n→∞
d
dx
fn(x) .
D.: Především poznamenejme, že vzhledem k 3.3.16 zůstává věta 4.7.4 v platnosti, zaměníme-li [a, b] za (a, b).
Podle 3.4.3 a 3.1.5 existuje posloupnost {cn} taková, že
fn(x) = cn +
x
x0
f′
n(t)dt .
Odtud plyne, že fn(x0) = cn a tedy podle předpokladu existuje c = lim
n→∞
cn. Podle předpokladu dále
existuje funkce g taková, že f′
n
→
→ g na J. Pro x ∈ J položme
f(x) = c +
x
x0
g(t)dt .
Funkce f je podle 3.4.3 diferencovatelná. Podle 4.7.4
x0
f′
n(t)dt →
→
x0
g(t)dt, takže
fn = cn +
x0
f′
n(t)dt →
→ c +
x0
g(t)dt = f a podle 3.4.3 pro každé x ∈ J je f′
(x) = g(x) = lim
n→∞
f′
n(x).
Poznámky:
1. Předpoklad o existenci x0 ∈ J takového, že existuje lim
n→∞
fn(x0) ∈ R nelze obecně vynechat.
Např.: fn(x) ≡ n, f′
n ≡ 0 →
→ 0, avšak {fn} nekonverguje.
2. Z předpokladu stejnoměrné konvergence posloupnosti diferencovatelných funkcí {fn} neplyne (ani bodová)
konvergence posloupnosti funkcí {f′
n}.
Např.: fn(x) =
1
n
sin nx, J = (−2π, 2π). Pak fn
→
→ 0, f′
n(x) = cos nx, f′
n(π) = cos nπ = (−1)n
.
Následující věty plynou z předchozích užitím posloupnosti částečných součtů řady funkcí.
4.7.7 Věta
Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Je-li každá z funkcí fn
spojitá na J, pak je f spojitá na J.
137
4.7.8 Věta
Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu J ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť x0 ∈ J nebo x0
je krajní bod intervalu J a nechť pro všechna n ∈ N existuje lim
x→x0
fn(x) = an ∈ R. (V případě, že x0 je krajní
bod intervalu J, jedná se o příslušnou jednostrannou limitu.) Pak řada an konverguje, existuje lim
x→x0
f(x) ∈ R
a platí an = lim
x→x0
f(x), neboli
lim
x→x0
fn(x) = lim
x→x0
fn(x) .
4.7.9 Věta
Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce
fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu a x0 ∈ [a, b] je libovolný. Pak funkce f je integrabilní na [a, b]
a pro každé x ∈ [a, b] platí
x
x0
f(t)dt =
x
x0
fn(t)dt, neboli
x
x0
fn(t) dt =


x
x0
fn(t)dt

 ,
přičemž konvergence řady funkcí na pravé straně je stejnoměrná na intervalu [a, b].
4.7.10 Věta
Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] ⊆ Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce
fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a platí
b
a
f(t)dt =
b
a
fn(t)dt, neboli
b
a
fn(t) dt =


b
a
fn(t)dt

 .
4.7.11 Věta
Buď fn řada funkcí diferencovatelných na otevřeném intervalu J ⊆ Dom fn. Nechť existuje x0 ∈ J takový
bod, že (číselná) řada fn(x0) konverguje. Jestliže řada funkcí f′
n konverguje stejnoměrně na J, pak řada
fn konverguje stejnoměrně na J k diferencovatelné funkci f, pro niž platí f′
(x) = f′
n(x) pro každé x ∈ J,
neboli
fn(x)
′
= f′
n(x) , tj.
d
dx
fn(x) =
d
dx
fn(x) .
4.8 Mocninné řady
4.8.1 Definice
Buď {an}∞
n=0 posloupnost reálných čísel, x0 ∈ R. Mocninná (potenční) řada se středem x0 a koeficienty an je
řada funkcí
∞
n=0
an(x − x0)n
.
Specielně pro x0 = 0 jde o řadu
∞
n=0
anxn
= a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
+ · · · .
Substituce y = x − x0 převede řadu
∞
n=0
an(x − x0)n
v řadu
∞
n=0
anyn
. Proto se v první části tohoto odstavce
(po 4.8.11) omezíme na mocninné řady tvaru
∞
n=0
anxn
.
138
Mocninná řada konverguje ve svém středu a má zde součet a0.
4.8.2 Definice
Buď
∞
n=0
anxn
mocninná řada. Jestliže tato řada konverguje pro každé x ∈ R, řekneme, že řada
∞
n=0
anxn
vždy
konverguje. Jestliže tato řada pro každé x = 0 diverguje, řekneme, že řada
∞
n=0
anxn
vždy diverguje.
Příklady:
1. Řada
∞
n=1
nn
xn
vždy diverguje.
Buď x1 ∈ R libovolné. Pro n ≥
2
|x1|
je |nn
xn
1 | ≥ 2n
→ ∞, a tedy nemůže být lim
n→∞
nn
xn
1 = 0. Podle 4.1.5
(číselná) řada
∞
n=1
nn
xn
1 diverguje.
2. Řada
∞
n=1
xn
n! vždy konverguje.
lim
n→∞
xn+1
(n+1)!
xn
n!
= lim
n→∞
|x|
n + 1
= 0, takže podle 4.2.11 číselná řada
∞
n=1
xn
n! řada absolutně konverguje.
4.8.3 Věta
Buď
∞
n=0
anxn
mocninná řada.
Jestliže existuje x0 ∈ R takové, že (číselná) řada
∞
n=0
anxn
0 konverguje, pak pro každé x ∈ R, |x| < |x0| řada
∞
n=0
anxn
konverguje absolutně.
Jestliže existuje x0 ∈ R takové, že (číselná) řada
∞
n=0
anxn
0 diverguje, pak pro každé x ∈ R, |x| > |x0| řada
∞
n=0
anxn
diverguje.
Jestliže mocninná řada
∞
n=0
anxn
ani vždy nekonverguje, ani vždy nediverguje, pak existuje r ∈ R takové, že
tato řada konverguje absolutně pro každé x ∈ R, |x| < r a diverguje pro každé x ∈ R, |x| > r.
D.: • Nechť
∞
n=0
anxn
0 konverguje. Buď x ∈ R, |x| < x0.
Poněvadž
∞
n=0
anxn
0 konverguje, podle 4.1.5 je lim
n→∞
|anxn
0 | = 0 a tedy podle 1.3.4 existuje k ∈ R, že
|anxn
0 | ≤ k pro každé n ∈ N.
Pro x ∈ R, |x| < |x0| platí |anxn
| = anxn
0
xn
xn
0
= |anxn
0 |
x
x0
n
< k
x
x0
n
.
Podle 4.1.3 řada
∞
n=0
k x
x0
n
konverguje a tedy podle 4.2.4 konverguje i řada
∞
n=0
|anxn
|, neboli
∞
n=0
anxn
konverguje absolutně.
• Nechť
∞
n=0
anxn
0 diverguje. Kdyby existovalo x1 ∈ R, |x1| > |x0| takové, že by
∞
n=0
anxn
1 konvergovala, pak
by podle již dokázané části konvergovala i řada
∞
n=0
anxn
0 .
• Označme M = x ∈ R : x ≥ 0,
∞
n=0
anxn
konverguje . Poněvadž
∞
n=0
anxn
vždy nediverguje, existuje
podle předchozího tvrzení horní závora množiny M. Podle 1.1.7 existuje r = sup M ∈ R.
139
Je-li x ∈ R, |x| > r, pak x ∈ M,
∞
n=0
anxn
diverguje.
Je-li x ∈ R, |x| < r, pak podle 1.1.6(s2∗
) existuje x0 ∈ M takové, že x0 > |x|. Podle prvního tvrzení řada
∞
n=0
anxn
konverguje absolutně.
4.8.4 Definice
Číslo r z 4.8.3 se nazývá poloměr konvergence mocninné řady
∞
n=0
anxn
, a otevřený interval (−r, r) se nazývá
konvergenční interval této řady.
Jestliže řada
∞
n=0
anxn
vždy konverguje, klademe r = ∞, jestliže tato řada vždy diverguje, klademe r = 0.
Příklad:
∞
n=1
xn
n
Pro x = 1 se jedná o řadu harmonickou, tedy podle 1.1.2.1 divergentní.
Pro x = −1 se jedná o řadu Leibnizovu, tedy podle 4.3.8 konvergentní.
V tomto případě je tedy r = 1, konvergenční interval je (−1, 1), obor konvergence je [−1, 1).
4.8.5 Věta (Cauchy [1789 –1857] - Hadamard [1865 – 1963])
Buď anxn
mocninná řada a r její poloměr konvergence. Pak
1
r
= lim sup
n→∞
n
|an| .
Přitom klademe r = 0 pro lim sup
n→∞
n
|an| = ∞ a r = ∞ pro lim sup
n→∞
n
|an| = 0.
D.:
• Nechť lim sup
n→∞
n
|an| = 0. Ukážeme, že anxn
vždy konverguje.
Buď x0 ∈ R, x0 = 0 libovolné. Pak
1
2|x0|
> 0 = lim sup
n→∞
n
|an|. Tedy existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0
platí
1
2|x0|
> n
|an|, tedy
1
2
n
1
|x0|n
> |an|. Odtud |an| |x0|n
<
1
2
n
. Řada
1
2
n
podle 4.1.3
konverguje a tedy podle 4.2.4 řada anxn
0 konverguje absolutně.
• Nechť lim sup
n→∞
n
|an| = ∞. Ukážeme, že anxn
vždy diverguje.
Buď x0 ∈ R, x0 = 0 libovolné. Pak pro nekonečně mnoho indexů n platí n
|an| >
1
|x0|
a tedy pro
nekonečně mnoho indexů n platí |an| |x0|n
> 1. To znamená, že nemůže být lim
n→∞
anxn
0 = 0 a tedy
podle 4.1.5 řada anxn
0 diverguje.
• Nechť 0 < a = lim sup
n→∞
n
|an|.
– Buď x0 ∈ R, 0 < |x0| <
1
a
. Ukážeme, že anxn
0 konverguje.
Zvolme b ∈ R, |x0| < b <
1
a
. Pak
1
b
> a a tedy existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 je n
|an| <
1
b
.
Odtud n
|an| |x0| <
|x0|
b
, |anxn
0 | <
1
bn
|x0|n
=
|x0|
b
n
. Poněvadž
|x0|
b
< 1, řada
|x|
b
n
podle 4.1.3 konverguje, a tedy podle 4.2.4 řada anxn
0 konverguje absolutně.
– Buď x0 ∈ R, |x0| >
1
a
. Ukážeme, že anxn
0 diverguje.
Pro nekonečně mnoho indexů n platí n
|an| >
1
|x0|
, |anxn
0 | > 1 a nemůže být lim
n→∞
|anxn
0 | = 0.
Podle 4.1.5 řada anxn
0 diverguje.
140
4.8.6 Důsledek
Buď {an} posloupnost kladných čísel. Jestliže existuje lim
n→∞
an+1
an
= a ∈ R∗
, pak mocninná řada anxn
má
poloměr konvergence r =
1
a
(přitom klademe r = 0 pro a = ∞ a r = ∞ pro a = 0).
D.: Plyne z 4.2.12.
4.8.7 Věta
Nechť mocninná řada anxn
má poloměr konvergence r > 0. Pak tato řada konverguje stejnoměrně na libovolném
uzavřeném intervalu [a, b] ⊆ (−r, r).
Konverguje-li řada anrn
, pak mocninná řada anxn
konverguje stejnoměrně na uzavřeném intervalu [a, r]
pro libovolné a ∈ (−r, r).
Konverguje-li řada an(−r)n
, pak mocninná řada anxn
konverguje stejnoměrně na uzavřeném intervalu
[−r, a] pro libovolné a ∈ (−r, r).
D.: Položme c = r −
1
2
(r − max{|a|, |b|}). Pak pro každé x0 ∈ [a, b] je |x0| < c, tedy |anxn
0 | < |ancn
|. Podle
4.8.3 řada |ancn
| konverguje a tedy podle 4.6.13 řada anxn
konverguje absolutně a stejnoměrně na
[a, b].
Nechť řada anrn
konverguje. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat r = 1. (V opačném případě
lze použít substituci x →
x
r
.)
(Číselná) řada an = an1n
konverguje.
Ukážeme, že řada funkcí anxn
konverguje stejnoměrně na [0, 1].
Buď ε > 0 libovolné. Podle 4.1.4 existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 a libovolné m ∈ N je
|an+1 + an+2 + · · · + an+m| <
ε
2
.
Buď x ∈ [0, 1). Pak
|an+1xn+1
+ an+2xn+2
+ · · · + an+mxn+m
| =
= |an+1(xn+1
− xn+2
+ xn+2
− xn+3
+ xn+3
− · · · − xn+m
+ xn+m
) +
+an+2(xn+2
− xn+3
+ xn+3
− · · · − xn+m
+ xn+m
) + · · · +
+an+m−1(xn+m−1
− xn+m
+ xn+m
) + an+mxn+m
| =
= |an+1(xn+1
− xn+2
) + (an+1 + an+2)(xn+2
− xn+3
) +
+(an+1 + an+2 + an+3)(xn+3
− xn+4
) + · · · + (an+1 + an+2 + · · · + an+m−1)(xn+m−1
− xn+m
) +
+(an+1 + an+2 + · · · + an+m)xn+m
| =
= |(1 − x)[an+1xn+1
+ (an+1 + an+2)xn+2
+ (an+1 + an+2 + an+3)xn+3
+ · · · +
+(an+1 + an+2 + · · · + an+m−1)xn+m−1
] + (an+1 + an+2 + · · · + an+m)xn+m
| ≤
≤ (1 − x)ε(xn+1
+ xn+2
+ xn+3
+ · · · + xn+m−1
) + εxn+m
=
= (1 − x)
ε
2
xn+1 1 − xn+m−1
1 − x
+
ε
2
xn+m
=
ε
2
(xn+1
− x2n+m
+ xn+m
) ≤ εxn+1
< ε .
Tedy pro každé x ∈ [0, 1] je |an+1xn+1
+ an+2xn+2
+ · · · + an+mxn+m
| < ε, což podle 4.6.10 znamená, že
řada funkcí anxn
konverguje stejnoměrně na [0, 1].
Třetí tvrzení lze dokázat analogicky.
4.8.8 Věta (Abel [1802 – 1829])
Nechť mocninná řada anxn
má poloměr konvergence r. Pak součet s této řady je funkce spojitá na intervalu
(−r, r).
Nechť 0 < r < ∞ a řada anrn
(resp. řada an(−r)n
) je konvergentní. Pak součet s řady anxn
je funkce
zleva spojitá v bodě r (resp. zprava spojitá v bodě −r).
D.: Věta plyne z 4.8.7, 4.7.7 a 4.7.8.
141
4.8.9 Poznámky
1. Nechť mocninná řada
∞
n=0
anxn
má poloměr konvergence r. Pak řada
∞
n=0
an
n + 1
xn+1
=
∞
n=1
an−1
n
xn
=
x
0
∞
n=0
antn
dt
má také poloměr konvergence r. (sr. 4.7.9)
D.: lim sup
n→∞
n |an|
n + 1
= lim sup
n→∞
n
1
n + 1
· lim sup
n→∞
n
|an| = 1 · r = r
2. Nechť mocninná řada
∞
n=0
anxn
má poloměr konvergence r. Pak řada
∞
n=0
(n + 1)an+1xn
=
∞
n=1
nanxn−1
=
∞
n=0
anxn
′
má také poloměr konvergence r. (sr. 4.7.11)
3. Nechť mocninná řada anxn
má poloměr konvergence r. Pak součet s(x) této řady má na (−r, r) derivace
všech řádů, přičemž k-tou derivaci obdržíme k-násobným derivováním této řady „člen po členu“ a vzniklá
mocninná řada má opět poloměr konvergence r.
4.8.10 Příklad
arctg(x) =
x
0
d
dt
arctg tdt =
x
0
dt
1 + t2
=
x
0
∞
n=0
(−1)n
t2n
dt =
=
∞
n=0
(−1)n
x
0
t2n
dt =
∞
n=0
(−1)n t2n+1
2n + 1
x
0
=
∞
n=0
(−1)n x2n+1
2n + 1
π
4
= arctg 1 =
∞
n=0
(−1)n 1
2n + 1
⇒ π = 4
∞
n=0
(−1)n 1
2n + 1
4
499999
n=0
(−1)n 1
2n + 1
= 3.141590653589793240462643383269502884197
(Podtržením jsou vyznačeny nesprávné cifry; jsou čtyři na prvních čtyřiceti desetinných místech.)
4.8.11 Definice
Buď f funkce, která má v bodě x0 ∈ R derivace všech řádů. Taylorovou řadou funkce f v bodě x0 rozumíme
mocninnou řadu
f(x0) +
f′
(x0)
1!
(x − x0) +
f′′
(x0)
2!
(x − x0)2
+
f′′′
(x0)
2!
(x − x0)3
+ · · · =
∞
n=0
f(n)
(x0)
n!
(x − x0)n
.
Specielně pro x0 = 0 mluvíme o Maclaurinově řadě.
4.8.12 Věta
Nechť funkce f má v bodě x0 ∈ R derivace všech řádů. Její Taylorova řada konverguje na nějakém intervalu J
obsahujícím bod x0 k funkci f právě tehdy, když pro posloupnost jejích Taylorových zbytků platí lim
n→∞
Rn = 0.
D.: Využijeme větu 2.4.8 a označení v ní používané. Pro posloupnost {sn} částečných součtů Taylorovy řady
platí sn(x) = Tn(x) = f(x) − Rn.
142
4.8.13 Věta
Nechť mocninná řada
∞
n=0
an(x − x0)n
má poloměr konvergence r. Pak je tato řada Taylorovou řadou svého
součtu f v konvergenčním intervalu (f(n)
(x0) = ann!).
D.: Analogicky jako 2.4.5.
4.8.14 Definice
Funkce f se nazývá analytická v bodě x0 ∈ R, jestliže existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že na něm lze f
vyjádřit jako součet mocninné řady. T.j. pro x ∈ O(x0) platí f(x) =
∞
n=0
an(x − x0)n
.
Funkce f se nazývá analytická na otevřeném intervalu J, je-li analytická v každém x ∈ J.
Je-li funkce f analytická, její vyjádření mocninou řadou (rozvoj do mocninné řady) je Taylorovou řadou.
Zejména analytická funkce f má derivace všech řádů.
Opačné tvrzení neplatí. Funkce, která má derivace všech řádů nemusí být analytická.
Příklad: Funkce f(x) =
e−1/|x|
, x = 0
0, x = 0
má v bodě 0 derivace všech řádů rovny 0, tedy její Maclaurinova
řada 0 + 0x + 0x2
+ 0x3
+ · · · má na intervalu (−∞, ∞) součet 0, a přitom f(x) > 0 pro x = 0, což znamená,
že funkce f není v bodě 0 analytická.
D.: Je-li x > 0, pak f(x) = e−1/x
, f′
(x) =
1
x2
e−1/x
,
f′′
(x) = −
2
x3
e−1/x
+
1
x4
e−1/x
= P2
1
x
e−1/x
, kde P2 je polynom,
f′′′
= P′
2
1
x
−
1
x2
e−1/x
+
1
x2
P2
1
x
e−1/x
= P3
1
x
e−1/x
, kde P3 je polynom, atd.
lim
x→0+
f(n)
(x) = lim
x→0+
Pn
1
x
e−1/x
= lim
t→∞
Pn(t)e−1/x
= 0.
Je-li x < 0, pak f(x) = e1/x
, f′
(x) = −
1
x2
e1/x
= Q1
1
x
e1/x
, kde Q1 je polynom,
f′′
(x) =
2
x3
e1/x
+
1
x4
e1/x
= Q2
1
x
e1/x
, kde Q2 je polynom, atd.
lim
x→0−
f(n)
(x) = lim
x→0−
Qn
1
x
e1/x
= lim
t→∞
Qn(−t)e−t
= 0.
Celkem tedy je f(n)
(0) = lim
x→0
f(n)
(x) = 0.
4.8.15 Maclaurinovy řady některých elementárních funkcí
1. ex
=
∞
n=0
xn
n!
, r = ∞
2. sin x =
∞
n=0
(−1)n x2n+1
(2n + 1)!
, r = ∞
3. cos x =
∞
n=0
(−1)n x2n
(2n)!
, r = ∞
4. ln(1 + x) =
∞
n=1
(−1)n+1 xn
n
, r = 1, x ∈ (−1, 1]
5. (1 + x)α
=
∞
n=0
α
n
xn
, r = 1, x ∈ (−1, 1)
6. arctg x =
∞
n=0
(−1)n x2n+1
2n + 1
, r = 1, x ∈ [−1, 1]
Sr. 2.4.7 a 4.8.10.
143
4.8.16 Aplikace mocninných řad
1. Výpočet funkčních hodnot
2. Výpočet limit
3. Výpočet derivací
4. Výpočet určitých i neurčitých integrálů
5. Sumace číselných řad
6. Výpočet obecného členu posloupnosti zadané rekurentně
7. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice
4.9 Cvičení
Najděte součty řad
1) 1
1·3 + 1
3·5 + 1
5·7 + 1
7·9 + . . . 2) 1
3 + 1
8 + 1
15 + 1
24 + 1
35 + 1
48 + . . .
3) 2
3 + 3
9 + 4
27 + 5
81 + 6
243 + . . . 4) 1 + q cos α + q2
cos 2α + q3
cos 3α + . . .
Rozhodněte o konvergenci řad
5)
∞
n=1
n 1
1000 6)
∞
n=1
1
1000n+1 7)
∞
n=1
1
n
√
n+1
8)
∞
n=1
n!
nn
9)
∞
n=1
3n
n!
nn 10)
∞
n=1
n−1
n+1
n(n−1)
11)
∞
n=1
n5
2n+3n 12)
∞
n=2
ln 1 + (−1)n
n
13) Dokažte, že řada převrácených hodnot členů aritmetické posloupnosti diverguje.
Rozhodněte o konvergenci a absolutní konvergenci řad
14)
∞
n=1
(−1)n
n
√
n
15)
∞
n=2
(−1)n
√
n+(−1)n 16)
∞
n=1
ln n2
+1
n2 cos πn2
n2+1
17) Ukažte, že druhá mocnina (chápaná jako Cauchyův součin) konvergentní řady
∞
n=1
(−1)n
√
n
je řada divergentní.
Najděte obory konvergence a absolutní konvergence řad funkcí
18)
∞
n=1
n
xn 19)
∞
n=1
xn
1−xn 20)
∞
n=1
(−1)n+1
x+n
21)
∞
n=1
1
nx 22)
∞
n=0
xn
1+x2n 23)
∞
n=1
x(x+n)
n
n
24)
∞
n=1
n·22n
3n xn
(1 − x) 25)
∞
n=0
n
n+1
x
2x+1
n
26)
∞
n=1
ln(1+xn
)
n2
Rozhodněte, zda uvedené řady konvergují na daném intervalu stejnoměrně
27)
∞
n=1
(−1)n
x+2n , (−2, 2) 28)
∞
n=1
(1 + 1
2 + 1
3 + · · · + 1
n )xn
, [−1
2 , 2
3 ] 29)
∞
n=0
x−1
xn , [1, 2]
Najděte poloměry konvergence mocninných řad
30)
∞
n=1
n!
an2 (a > 1) 31)
∞
n=0
xn
an+bn (a > 0, b > 0) 32)
∞
n=0
n
2n+1
n
x2n
Najděte obory konvergence mocninných řad
33)
∞
n=1
nxn
2n 34)
∞
n=0
(−1)n
2n+1 x2n+1
35)
∞
n=0
en
n+1 xn
Funkce rozviňte v Maclaurinovu řadu
36) x
1+x−2x2 37) 1
1−x−x2 38)
1− 1
2 x
1−x+x2
39) x
(1−x)(1−x2) 40) 1
(1−x2)
√
1−x2
41) x arctg x − ln
√
1 + x2
Najděte součet mocninné řady
42)
∞
n=0
n2
+1
2nn! xn
43)
∞
n=1
xn
n 44)
∞
n=1
(−1)n−1
n(2n−1) x2n
45)
∞
n=1
n2
xn−1
46)
∞
n=0
2n+1
n! x2n
47)
∞
n=1
n
n+1 xn
Najděte součet číselné řady
144
48) 1 − 1
4 + 1
7 − 1
10 + 1
13 − . . . 49)
∞
n=0
n+1
2nn!
50) 1 − 1
2 + 1·3
2·4 − 1·3·5
2·4·6 + 1·3·5·7
2·4·6·8 − . . . 51)
∞
n=0
n
(2n+1)!
S přesností alespoň 0.001 vypočítejte integrály
52)
0.2
0
sin x2
dx 53)
0.4
0
1−e−x
x dx 54)
0.1
0
dx√
1+x4
Vypočítejte limity
55) lim
x→0
cos x−e− x2
2
x4 56) lim
x→∞
((x3
− x2
+ x
2 )e
1
x −
√
x6 + 1) 57) lim
x→0
1−(cos x)sin x
x3
Výsledky: 1)1
2 2)3
4 3)5
4 4) 1−q cos α
1−2q cos α+q2 5)diverguje 6)diverguje 7)konverguje 8)konverguje 9)diverguje
10)konverguje 11)konverguje 12)konverguje 14)diverguje 15)konverguje relativně 16)konverguje absolutně
18)absolutně pro x ∈ (−∞, −1)∪(1, ∞) 19)absolutně pro x ∈ (−1, 1) 20)relativně pro x ∈ R\{−1, −2, −3, . . .}
21)absolutně pro x ∈ (1, ∞) 22)absolutně pro x ∈ R \ {−1, 1} 23)absolutně pro x ∈ (−1, 1), relativně pro
x < 1 24)absolutně pro x ∈ 1−
√
2
2 , 1
2 ∪ 1
2 , 1+
√
2
2 25)absolutně pro x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1
3 , ∞) 26)absolutně
pro x ∈ (−1, 1] 27)ano 28)ano 29)ne 30)∞ 31)max{a, b} 32)
√
2 33)(−2, 2) 34)[−1, 1] 35) −1
e , 1
e
36)1
3
∞
n=1
(1 − (−2)n
)xn
, |x| < 1
2 37) 1√
5
∞
n=0
√
5+1
2
n+1
+ (−1)n
√
5−1
2
n+1
xn
=
∞
n=0
anxn
, kde {an} je Fibonacciho
posloupnost 1,1,2,3,5,8,13,21,..., an = an−1 + an−2, |x| <
√
5−1
2 38)
∞
n=0
(cos nπ
3 )xn
, |x| < 1
39)1
2
∞
n=1
n + 1−(−1)n
2 xn
, |x| < 1 40)
∞
n=0
(2n+1)!!
(2n)!! x2n
, |x| < 1 41)
∞
n=1
(−1)n+1 x2n
2n(2n−1) , |x| ≤ 1
42) e
x
2 (1+ x
2 + x2
4 ) 43)ln 1
1−x , −1 ≤ x < 1 44) 2x arctg x−ln(1+x2
), |x| ≤ 1 45) 1+x
(1−x)3 , |x| < 1 46) ex2
(1+2x2
)
47)ln(1−x)
x + 1
1−x , |x| < 1 48)1
3 ln 2 +
√
3
9 π 49)3
2
√
e 50)
√
2
2 51) 1
2e 52) 0.001 53) 0.364 54) 0.1 55) − 1
12 56) 1
6
57) 1
2
145
146
Kapitola 5
Metrické prostory
5.1 Pojem metriky
5.1.1 Definice
Buď P = ∅ množina a ρ : P2
→ [0, ∞) zobrazení, které pro všechna x, y, z ∈ P splňuje
(M1) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y (axiom totožnosti)
(M2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (axiom symetrie)
(M3) ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) (trojúhelníková nerovnost)
Zobrazení ρ nazýváme metrika na P, prvky množiny P nazýváme body metrického prostoru (P, ρ), číslo ρ(x, y)
nazýváme vzdálenost bodů x, y.
5.1.2 Příklady
1. Diskrétní metrický prostor
P = ∅ libovolná množina, ρ(x, y) =
1, x = y
0, x = y
.
2. Metrika na R
P = R, ρ(x, y) = |x − y|.
3. Metriky na Rn
P = Rn
, x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn
ρ2(x, y) =
n
i=1
(xi − yi)2 euklidovská metrika
ρ1(x, y) =
n
i=1
|xi − yi| součtová metrika (taxíkářská metrika)
ρ∞(x, y) = max{|xi − yi| : i = 1, 2, . . . , n} maximální metrika
Axiomy (M1), (M2) jsou splněny triviálně. (M3) ověříme postupně:
ρ1: ρ1(x, y) + ρ1(y, z) =
n
i=1
|xi − yi| +
n
i=1
|yi − zi| =
n
i=1
(|xi − yi| + |yi − zi|) ≥
n
i=1
|xi − zi| = ρ1(x, z)
ρ∞: ρ∞(x, y) + ρ∞(y, z) = max{|xi − yi| : i = 1, 2, . . . , n} + max{|yi − zi| : i = 1, 2, . . . , n} ≥
≥ max{|xi − yi| + |yi − zi| : i = 1, 2, . . ., n} ≥ |xi − yi| + |yi − zi| ≥ |xi − zi| pro libovolné
i ∈ {1, 2, 3, . . ., n} a tedy ρ∞(x, y) + ρ∞(y, z) ≥ max{|xi − zi| : i = 1, 2, . . ., n} = ρ∞(x, z)
ρ2: Vyjdeme z nerovnosti
n
i=1
uivi ≤
n
i=1
u2
i
n
i=1
v2
i (Cauchy-Buňakovski-Schwarz)
ui = pi + qi, vi = qi :
n
i=1
(pi + qi)qi ≤
n
i=1
(pi + qi)2
n
i=1
q2
i
147
ui = pi, vi = pi + qi :
n
i=1
pi(pi + qi) ≤
n
i=1
p2
i
n
i=1
(pi + qi)2
Sečtením:
n
i=1
(pi + qi)2
≤
n
i=1
(pi + qi)2
n
i=1
p2
i +
n
i=1
q2
i
neboli
n
i=1
(pi + qi)2 ≤
n
i=1
p2
i +
n
i=1
q2
i (Minkowského nerovnost)
Píšeme-li v poslední nerovnosti xi − yi místo pi a yi − zi místo qi, dostaneme
n
i=1
(xi − zi)2 ≤
n
i=1
(xi − yi)2 +
n
i=1
(yi − zi)2, tedy
ρ2(x, z) ≤ ρ2(x, y) + ρ2(y, z).
4. Buď P = C[a, b] — množina funkcí spojitých na intervalu [a, b]
ρC(f, g) = max{|f(x) − g(x)| : x ∈ [a, b]} metrika stejnoměrné konvergence
ρI(f, g) =
b
a
|f(x) − g(x)|dx integrální metrika
1.7.12 ukazuje, že ρC je definována korektně. (M1) a (M2) jsou opět splněny triviálně.
Platnost (M3) pro ρC ověříme podobně jako v případě ρ∞ na Rn
.
Platnost (M3) pro ρI ověříme s využitím 3.3.6 a 3.3.3:
ρI(f, h) =
b
a
|f(x) − h(x)|dx =
b
a
|f(x) − g(x) + g(x) − h(x)|dx ≤
≤
b
a
(|f(x) − g(x)| + |g(x) − h(x)|)dx =
b
a
|f(x) − g(x)|dx +
b
a
|g(x) − h(x)|dx =
= ρI(f, g) + ρI(g, h) .
5. Buď P = ℓ∞ — množina ohraničených posloupností
ρ∞({an}, {bn}) = sup{|an − bn| : n ∈ N}
Platnost (M1), (M2) a (M3) ověříme stejně, jako v případě ρ∞ na Rn
.
5.1.3 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor. Pro a ∈ P, r ∈ R, r > 0 definujeme:
K[a, r] = {x ∈ P : ρ(x, a) ≤ r} — uzavřená koule se středem a a poloměrem r,
K(a, r) = {x ∈ P : ρ(x, a) < r} — otevřená koule se středem a a poloměrem r,
Speciálně: otevřená koule Oε(a) = O(a) = K(a, ε) se nazývá (epsilonové ) okolí bodu a.
Zřejmě platí: ε ≤ δ ⇒ Oε(a) ⊆ Oδ(a).
5.1.4 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor. Pro ∅ = A, B ⊆ P definujeme:
ρ(A, B) = inf{ρ(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} — vzdálenost množin A, B,
d(A) = sup{ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ A} — průměr množiny A.
Jestliže množina {ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ A} není ohraničená shora, klademe d(A) = ∞
Vzdálenost bodu x od množiny A definujeme: ρ(x, A) = ρ({x}, A).
5.1.5 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Řekneme, že množina A je ohraničená, jestliže d(A) < ∞.
Množina A je zřejmě ohraničená, jestliže existuje bod a a číslo r > 0, že A ⊆ K(a, r).
148
5.1.6 Poznámka
Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Pro x, y ∈ A definujeme ρA(x, y) = ρ(x, y). Zobrazení ρA je zřejmě metrika
na A.
5.1.7 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Metriku ρA zavedenou v 5.1.6 nazýváme metrikou indukovanou na množině
A metrikou ρ. Metrický prostor (A, ρA) nazýváme podprostorem metrického prostoru (P, ρ). Píšeme (A, ρA) ⊆
(P, ρ).
5.1.8 Věta
Buďte (P1, σ1), (P2, σ2) metrické prostory. Položme P = P1 × P2 a definujme zobrazení ρ : P2
→ [0, ∞)
předpisem
ρ ((x1, x2), (y1, y2)) = (σ1(x1, y1))
2
+ (σ2(x2, y2))
2
.
Pak ρ je metrika na P.
D.: Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Nechť (R, σ) je metrický prostor a a, b, c ∈ R. Pak existují α, β, γ ∈ R2
takové body, že
σ(a, b) = ρ2(α, β), σ(b, c) = ρ2(β, γ), σ(a, c) = ρ2(α, γ),
kde ρ2 je euklidovská metrika na R2
.
Pro stručnost označme r = σ(a, b), s = σ(a, c), t = σ(b, c). Nyní stačí volit
α = (0, 0), β = (r, 0), γ =
r2
+ s2
− t2
2r
,
(2rs − r2 − s2 + t2)(2rs + r2 + s2 − t2)
2r
.
(Jedná se o konstrukci trojúhelníka v rovině, známe-li délky stran.)
Nechť (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) ∈ P.
• Pro (x1, x2), (y1, y2) je ρ ((x1, x2), (y1, y2)) = 0 právě tehdy, když σ1(x1, y1) = 0 a σ2(x2, y2) = 0, což
podle (M1) nastane právě tehdy, když x1 = y1 a x2 = y2, tedy (x1, x2) = (y1, y2). ρ splňuje (M1).
• ρ ((x1, x2), (y1, y2)) = (σ1(x1, y1))
2
+ (σ2(x2, y2))
2
= (σ1(y1, x1))
2
+ (σ2(y2, x2))
2
=
= ρ ((y1, y2), (x1, x2)), takže ρ splňuje (M2).
• Podle pomocného tvrzení existují reálná čísla ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, η1, η2, η3, η4, ζ1, ζ2, ζ3, ζ4 taková, že
σ1(x1, y1) =
2
i=1
(ξi − ηi)2, σ1(x1, z1) =
2
i=1
(ξi − ζi)2, σ1(y1, z1) =
2
i=1
(ηi − ζi)2,
σ2(x2, y2) =
4
i=3
(ξi − ηi)2, σ2(x2, z2) =
4
i=3
(ξi − ζi)2, σ2(y2, z2) =
4
i=3
(ηi − ζi)2 .
Pak
ρ ((x1, x2), (y1, y2)) =
4
i=1
(ξi − ηi)2 = ρ2 ((ξ1, ξ2, ξ3, ξ4), (η1, η2, η3, η4)) ,
ρ ((y1, y2), (z1, z2)) =
4
i=1
(ηi − ζi)2 = ρ2 ((η1, η2, η3, η4), (ζ1, ζ2, ζ3, ζ4)) ,
ρ ((x1, x2), (z1, z2)) =
4
i=1
(ξi − ζi)2 = ρ2 ((ξ1, ξ2, ξ3, ξ4), (ζ1, ζ2, ζ3, ζ4)) ,
kde ρ2 je euklidovská metrika na R4
. Poněvadž ρ2 splňuje nerovnost (M3), splňuje ji také ρ.
149
5.1.9 Definice
Buďte (P1, σ1), (P2, σ2) metrické prostory, P = P1 ×P2 a ρ metrika definovaná v 5.1.8. Prostor (P, ρ) nazýváme
(kartézským) součinem prostorů (P1, σ1) a (P2, σ2).
5.1.10 Definice
Buďte (P1, ρ1), (P2, ρ2) metrické prostory. Zobrazení f : P1 → P2 se nazývá isometrické (izometrie), jestliže
ρ2(f(x), f(y)) = ρ1(x, y) pro všechny dvojice bodů (x, y) ∈ P2
.
Jestliže existuje izometrie f : P1 → P2, řekneme, že prostory (P1, ρ1), (P2, ρ2) jsou isometrické.
Například všechna shodná zobrazení známá z geometrie jsou izometriemi.
5.1.11 Poznámka
Isometrické zobrazení je prosté.
D.: Kdyby existovaly body x, y ∈ P1 takové, že f(x) = f(y), pak by podle (M1) platilo
0 = ρ2(f(x), f(y)) = ρ1(x, y) = 0, což by byl spor.
Tedy metrický prostor a jeho isometrický obraz lze považovat za dvě kopie téhož prostoru.
5.2 Podmnožiny metrického prostoru
5.2.1 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Bod a ∈ P se nazývá
– vnitřní bod množiny A, jestliže existuje ε > 0 takové, že Oε(a) ⊆ A,
– vnější bod množiny A, jestliže existuje ε > 0 takové, že Oε(a) ∩ A = ∅,
– hraniční bod množiny A, jestliže pro každé ε > 0 platí Oε(a) ∩ A = ∅, Oε(a) ∩ (P \ A) = ∅,
– bod uzávěru množiny A, jestliže ρ(a, A) = 0,
– hromadný bod množiny A, jestliže pro každé ε > 0 platí (Oε(a) ∩ A) \ {a} = ∅,
– izolovaný bod množiny A, jestliže existuje ε > 0 takové, že Oε(a) ∩ A = {a}.
Množina všech vnitřních bodů množiny A se nazývá vnitřek množiny A a značí se A◦
(někdy int A),
Množina všech hraničních bodů množiny A se nazývá hranice množiny A a značí se ∂A (někdy fr A),
Množina všech bodů uzávěru množiny A se nazývá uzávěr množiny A a značí se A (někdy cl A),
Množina všech hromadných bodů množiny A se nazývá derivace množiny A a značí se A′
.
Příklad P = R, ρ(x, y) = |x − y|
a) A = (0, 1) : A◦
= (0, 1), ∂A = {0, 1}, A = [0, 1], A′
= [0, 1]
b) A = [0, 1) ∩ Q : A◦
= ∅, ∂A = [0, 1], A = [0, 1], A′
= [0, 1]
b) A = [0, 1] ∪ {2} : A◦
= (0, 1), ∂A = {0, 1, 2}, A = [0, 1] ∪ {2}, A′
= [0, 1]
150
5.2.2 Věta
Buď (P, ρ) metrický prostor, A, B ⊆ P. Pak platí
1. ∅ = ∅, ∅◦
= ∅.
2. P = P, P◦
= P.
3. A◦
⊆ A ⊆ A.
4. A ⊆ B ⇒ A ⊆ B, A◦
⊆ B◦
.
5. A ∪ B = A ∪ B, A◦
∩ B◦
= (A ∩ B)◦
.
6. A = P \ (P \ A)◦
, A◦
= P \ P \ A.
7. A = A, (A◦
)◦
= A◦
.
D.: 1. – 4. je triviální
6. x ∈ P \ (P \ A)◦
⇔ x ∈ (P \ A)◦
⇔ (∀ε > 0)(∅ = Oε(x) ∩ (P \ (P \ A)) = Oε(x) ∩ A) ⇔
⇔ ρ(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A
x ∈ P \ P \ A ⇔ x ∈ P \ A ⇔ ε := ρ(x, P \ A) > 0 ⇔ (∀y ∈ P \ A)(ρ(x, y) ≥ ε) ⇔
⇔ Oε(x) ∩ (P \ A) = ∅ ⇔ Oε(x) ⊆ A ⇔ x ∈ A◦
5. x ∈ A◦
∩ B◦
⇒ x ∈ A◦
∧ x ∈ B◦
⇒ (∃ε1)(Oε1 (x) ⊆ A) ∧ (∃ε2)(Oε2 (x) ⊆ B) ⇒
⇒ Omin{ε1,ε2}(x) ⊆ A ∩ B ⇒ x ∈ (A ∩ B)◦
x ∈ (A ∩ B)◦
⇒ (∃ε > 0)(Oε(x) ⊆ A ∩ B) ⇒ (∃ε > 0)(Oε(x) ⊆ A ∧ Oε(x) ⊆ B) ⇒
⇒ x ∈ A◦
∧ x ∈ B◦
⇒ x ∈ A◦
∩ B◦
S využitím 6., již dokázané části a de Morganových pravidel dostaneme
A ∪ B = [P \ (P \ A)◦
] ∪ [P \ (P \ B)◦
] = P \ [(P \ A)◦
∩ (P \ B)◦
] = P \ [(P \ A) ∩ (P \ B)]
◦
=
= P \ [P \ (A ∪ B)]◦
= A ∪ B
7. Buď x ∈ A. Pak 0 = ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A} ≥ inf{ρ(x, y) : y ∈ A}, neboť podle 3. je A ⊆ A a tedy
{ρ(x, y) : y ∈ A} ⊇ {ρ(x, y) : y ∈ A}. Poněvadž ale inf{ρ(x, y) : y ∈ A} = ρ(x, A) ≥ 0, jest ρ(x, A) = 0 a
tedy x ∈ A, t.j. A ⊆ A. Opačná inkluze plyne z 3.
Druhou část tvrzení dokážeme analogicky.
5.2.3 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Množina A se nazývá otevřená, jestliže A = A◦
, množina A se nazývá
uzavřená, jestliže A = A.
Zejména podle 5.2.2.6 A◦
je otevřená množina, A je uzavřená množina.
5.2.4 Věta
Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Množina A je otevřená právě tehdy, když P \ A je uzavřená; množina A
je uzavřená právě tehdy, když P \ A je otevřená.
D.: Nechť A = A◦
. Podle 5.2.2.6 je A = P \ P \ A. Z toho plyne, že P \ A = P \ (P \ P \ A) = P \ A a tedy
P \ A je uzavřená.
Nechť P \ A = P \ A. Pak podle 5.2.2.6 je A◦
= P \ P \ A = P \ (P \ A) = A.
Platnost druhého tvrzení ukážeme analogicky.
151
5.2.5 Věta
Buď (P, ρ) metrický prostor a T soustava všech otevřených množin prostoru (P, ρ). Pak platí
(T1) P ∈ T , ∅ ∈ T ,
(T2) A ∈ T , B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T ,
(T3) (∀ι ∈ I)(Aι ∈ T ) ⇒
ι∈I
Aι ∈ T .
D.: (T1) Plyne z 5.2.2.1 a 5.2.2.2.
(T2) Je-li x ∈ A ∩ B, pak x ∈ A = A◦
, x ∈ B = B◦
a tedy existují ε1, ε2, že Oε1 (x) ⊆ A, Oε2 (x) ⊆ B.
Položíme-li ε = min{ε1, ε2}, pak Oε(x) ⊆ A ∩ B, tedy každý x ∈ A ∩ B je vnitřním bodem, což znamená,
že A ∩ B je otevřená.
(T3) Nechť x ∈
ι∈I
Aι. Pak existuje ι0 ∈ I, že x ∈ Aι0 . Poněvadž Aι0 je otevřená, existuje ε > 0 takové, že
Oε(x) ⊆ Aι0 ⊆
ι∈I
Aι.
5.2.6 Věta
Buď (P, ρ) metrický prostor a F soustava všech uzavřených množin prostoru (P, ρ). Pak platí
(i) P ∈ F, ∅ ∈ F,
(ii) A ∈ F, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F,
(iii) (∀ι ∈ I)(Aι ∈ F) ⇒
ι∈I
Aι ∈ F.
D.: Plyne z 5.2.4, 5.2.5 a z de Morganových pravidel.
5.2.7 Poznámky
Z 5.2.5 plyne, že průnik libovolného konečného systému otevřených množin je otevřená množina; z 5.2.6 plyne,
že sjednocení libovolného konečného systému uzavřených množin je uzavřená množina.
Průnik nekonečného systému otevřených množin nemusí být otevřená množina:
An = −
1
n
,
1
n
, n ∈ N.
∞
n=1
An = {0}, což není otevřená množina v R s metrikou ρ(x, y) = |x − y|.
Sjednocení nekonečného systému uzavřených množin nemusí být uzavřená množina:
An = −1 +
1
n
, 1 −
1
n
, n ∈ N.
∞
n=1
An = (−1, 1) .
5.2.8 Věta
Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Pak ∂A = A ∩ P \ A.
D.: x ∈ ∂A ⇔ (∀ε > 0)(Oε(x) ∩ A = ∅ = Oε(x) ∩ (P \ A)) ⇔ (∀ε > 0)(ρ(x, A) < ε ∧ ρ(x, P \ A) < ε) ⇔
⇔ ρ(x, A) = 0 ∧ ρ(x, P \ A) = 0 ⇔ x ∈ A ∩ P \ A .
5.2.9 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Množina A se nazývá hustá v prostoru (P, ρ), jestliže A = P.
152
5.2.10 Věta
Buď (P, ρ) metrický prostor, A ⊆ P. Množina A je hustá v P právě tehdy, když ke každému ε > 0 a každému
x ∈ P existuje a ∈ A, že ρ(x, a) < ε, t.j. a ∈ Oε(x). (Neboli když každý bod x ∈ P je hromadným bodem
množiny A.)
D.: „⇒“: Nechť A = P. Vezmeme ε > 0 a x ∈ P libovolná. S využitím vlastnosti 1.1.6(i2∗
) dostaneme
x ∈ P = A ⇒ ρ(x, A) = 0 ⇒ inf{ρ(x, a) : a ∈ A} = 0 ⇒ existuje a ∈ A, že ρ(x, a) < ε .
„⇐“: Jestliže existuje x ∈ P \ A, pak podle 5.2.4 a definice otevřené množiny existuje ε > 0, že Oε(x) ⊆ P \ A,
tedy ρ(x, a) ≥ ε pro každé a ∈ A. Podle 5.2.2.3 je A ⊆ A, což znamená, že ρ(x, a) ≥ ε pro každé a ∈ A.
5.3 Konvergence
5.3.1 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor a {xn}∞
n=1 posloupnost bodů z P (t.j. zobrazení N → P). Řekneme, že posloupnost
{xn}∞
n=1 konverguje k bodu x ∈ P (je konvergentní v P) a píšeme lim
n→∞
xn = x (stručně lim xn = x, xn → x),
jestliže lim
n→∞
ρ(xn, x) = 0.
5.3.2 Příklady
1. (P, ρ) diskrétní (viz 5.1.2.1)
xn → x ⇔ (∃n0 ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ xn = x)
2. (R2
, ρ1) (viz 5.1.2.3)
(xn, yn) → (x, y) ⇔ xn → x, yn → y v R s metrikou ρ(x, y) = |x − y|.
D.: (xn, yn) → (x, y) ⇔ 0 = lim(|xn − x| + |yn − y|) = lim |xn − x| + lim |yn − y|. Avšak podle 1.3.5.1
lim |xn − x| ≥ 0, lim |yn − y| ≥ 0, takže lim |xn − x| = 0, lim |yn − y| = 0.
Analogické tvrzení platí pro všechny metrické prostory z 5.1.2.3.
3. (C[a, b], ρC) (viz 5.1.2.4)
fn → f v tomto prostoru ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)(∀x ∈ [a, b])(|fn(x) − f(x)| < ε).
(Má-li posloupnost funkcí definovaných na intervalu [a, b] vlastnost uvedenou na pravé straně ekvivalence,
řekneme, že posloupnost funkcí {fn}∞
n=1 stejnoměrně konverguje na intervalu [a, b] k funkci f.)
D.: fn → f v (C[a, b], ρC) ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)(ρC (fn, f) < ε) ⇔
⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)(max{|fn(x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} < ε) ⇔
⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)(∀x ∈ [a, b])(|fn(x) − f(x)| < ε)
5.3.3 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor a {xn}∞
n=1 posloupnost bodů z P. Řekneme, že posloupnost {xn}∞
n=1 je ohraničená,
jestliže množina {xn : n ∈ N} je ohraničená ve smyslu definice 5.1.5.
5.3.4 Věta
Buď (P, ρ) metrický prostor. Pak platí
1. Každá posloupnost {xn} ⊆ P má nejvýše jednu limitu v P.
2. Posloupnost konvergentní v (P, ρ) je ohraničená v (P, ρ).
3. lim
n→∞
xn = x ∈ P právě tehdy, když pro každou posloupnost {xnk
} vybranou z {xn} platí lim
k→∞
xnk
= x.
D.: 1.3.3, 1.3.4, 1.3.14.
153
5.3.5 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor a {xn}∞
n=1 posloupnost bodů z P. Řekneme, že posloupnost {xn}∞
n=1 je cauchyovská,
jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N, že pro všechna m, n ≥ n0 je ρ(xm, xn) < ε.
5.3.6 Věta
Buď (P, ρ) metrický prostor a {xn}∞
n=1 posloupnost bodů z P. Je-li {xn}∞
n=1 konvergentní v (P, ρ), pak je
cauchyovská.
D.: Nechť xn → x a buď ε > 0 libovolné.
K
ε
2
> 0 existuje n0 ∈ N, že pro všechna n ≥ n0 je ρ(xn, x) <
ε
2
.
Pro libovolné m ≥ n0 a libovolné n ≥ n0 tedy s využitím trojúhelníkové nerovnosti platí ρ(xm, xn) ≤
ρ(xm, x) + ρ(xn, x) <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Obrácené tvrzení obecně neplatí: P = (0, 1), ρ(x, y) = |x − y|, {xn}∞
n=1 = { 1
n }∞
n=1 je cauchyovská, ale není
konvergentní; 0 ∈ P.
5.3.7 Věta
Buď (P, ρ) metrický prostor a A ⊆ P. Množina A je uzavřená v (P, ρ) právě tehdy, když pro každou konvergentní
posloupnost {xn} ⊆ A, xn → x platí x ∈ A.
D.: „⇒“ Nechť A = A, {xn} libovolná konvergentní, xn → x. Kdyby x ∈ A, pak by ε = ρ(x, A) > 0 a tedy pro
každé xn by platilo ρ(xn, x) > ε, což by bylo ve sporu s xn → x.
„⇐“ Nechť platí podmínka. Buď y ∈ A libovolný bod. Pak ρ(y, A) = 0. Podle 1.1.6(i2∗
) ke každému 1
n > 0
existuje xn ∈ A, že ρ(xn, y) < 1
n . To znamená, že pro takto vytvořenou posloupnost {xn} platí
lim ρ(xn, y) = 0, xn → y. Z podmínky plyne, že y ∈ A. Tedy A ⊆ A a podle 5.2.2.3 A = A.
5.3.8 Definice
Buď P množina a ρ, σ metriky na P. Řekneme, že ρ a σ jsou ekvivalentní metriky na P, jestliže pro každou
posloupnost {xn}∞
n=1 ⊆ P platí: xn → x v (P, ρ) právě tehdy když xn → x v (P, σ).
5.3.9 Příklady
1. P = Rn
. Metriky ρ1, ρ2, ρ∞ zavedené v 5.1.2.3 jsou ekvivalentní:
xk = (xk
1, xk
2, . . . , xk
n) ∈ Rn
, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
.
lim
k→∞
xk = x v (Rn
, ρ1) ⇔ (∀ε > 0)(∃k0 ∈ N)(∀k ≥ k0)(∀i ∈ {1, 2, . . ., n})(|xk
i − xi| < ε)
lim
k→∞
xk = x v (Rn
, ρ2) ⇔ (∀ε > 0)(∃k0 ∈ N)(∀k ≥ k0)(∀i ∈ {1, 2, . . ., n})(|xk
i − xi| < ε)
lim
k→∞
xk = x v (Rn
, ρ∞) ⇔ (∀ε > 0)(∃k0 ∈ N)(∀k ≥ k0)(∀i ∈ {1, 2, . . ., n})(|xk
i − xi| < ε)
2. P = C[a, b]. Metriky ρI a ρC (viz 5.1.2.3) nejsou ekvivalentní:
fn(x) =



0, x ∈ a,
(n + 1)a + (n − 1)b
2n
∪
(n − 1)a + (n + 1)b
2n
, b
2nx − (n + 1)a − (n − 1)b
b − a
, x ∈
(n + 1)a + (n − 1)b
2n
,
a + b
2
−2nx + (n − 1)a + (n + 1)b
b − a
, x ∈
a + b
2
,
(n − 1)a + (n + 1)b
2n
,
f ≡ 0
154
ρI(fn, f) =
b
a
fn(x)dx =
b − a
2n
→ 0
ρC(fn, f) = 1
5.3.10 Poznámka
Buďte ρ, σ ekvivalentní metriky na P. Z 5.3.7 plyne, že množina A ⊆ P je uzavřená v (P, ρ) právě tehdy, když
je uzavřená v (P, σ). Z 5.2.4 dále plyne, že množina A ⊆ P je otevřená v (P, ρ) právě tehdy, když je otevřená
v (P, σ).
5.3.11 Věta
Buďte ρ, σ metriky na množině P. Jestliže existují kladné konstanty a, b takové, že pro všechny dvojice bodů
(x, y) ∈ P2
je
aσ(x, y) ≤ ρ(x, y) ≤ bσ(x, y),
pak jsou metriky ρ a σ ekvivalentní.
D.: Nechť je podmínka splněna, x ∈ P, a nechť {xn}∞
n=1 ⊆ P je taková posloupnost, že lim
n→∞
σ(xn, x) = 0. Pak
aσ(xn, x) ≤ ρ(xn, x) ≤ bσ(xn, x) a z 1.3.7 plyne lim
n→∞
ρ(xn, x) = 0.
Důkaz se dokončí analogickou úvahou s využitím nerovnosti
1
b
ρ(x, y) ≤ σ(x, y) ≤
1
a
ρ(x, y), která je
ekvivalentní s nerovností v podmínce věty.
5.4 Úplné a kompaktní prostory
5.4.1 Definice
Metrický prostor (P, ρ) se nazývá úplný, jestliže v něm má každá cauchyovská posloupnost limitu.
5.4.2 Příklady
1. Prostor R s metrikou ρ(x, y) = |x − y| je podle 1.3.22 úplný.
2. Prostory (Rn
, ρ1), (Rn
, ρ2), (Rn
, ρ∞) (viz 5.1.2) jsou úplné:
Je-li posloupnost {xk
}∞
k=1 = {(xk
1, xk
2, . . . , xk
n)}∞
k=1 cauchyovská v prostoru (Rn
, ρ1), pak je zřejmě každá
z posloupností {xk
1}∞
k=1, {xk
2}∞
k=1, . . . , {xk
n}∞
k=1 cauchyovská v prostoru (R, ρ1). Pak podle 1.3.22 každá tato
posloupnost je konvergentní v (R, ρ1), lim
k→∞
xk
1 = x1, lim
k→∞
xk
2 = x2, . . . , lim
k→∞
xk
n = xn. Odtud vyplyne, že
i posloupnost {xk
}∞
k=1 je konvergentní v prostoru (Rn
, ρ1), lim
k→∞
xk
1 = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
.
Podle 5.3.9.1 jsou metriky ρ1, ρ2, ρ∞ ekvivalentní.
3. Diskrétní metrický prostor (P, ρ) (viz 5.1.2.1) je úplný.
Buď ε = 1
2 . ρ(xn, xm) < 1
2 právě tehdy, když xn = xm. Tedy je-li {xn}∞
n=1 cauchyovská, pak je od jistého
indexu počínaje stacionární a to podle 5.3.2.1 znamená, že je konvergentní.
4. Q s metrikou indukovanou ρ1 není úplný:
Např. {(1 + 1
n )n
}∞
n=1 konverguje v (R, ρ1) k e ∈ Q.
5. Prostor (C[a, b], ρI) (viz 5.1.2.4) není úplný:
[a, b] = [−1, 1]
fn(x) =



−1, x ∈ [−1, 1
n )
nx, x ∈ [− 1
n , 1
n ]
1, x ∈ ( 1
n , 1]
,
ρI(fn, fn+p) =
p
n2 + np
,
lim
n→∞
ρI(fn, fn+p) = 0, tedy {fn} je cauchyovská. Avšak jediná možná limita posloupnosti funkcí {fn} je
155
funkce f(x) =



−1, x ∈ [−1, 0)
0, x = 0
1, x ∈ (0, 1]
, což není spojitá funkce, f ∈ C[−1, 1] a tedy {fn} není v (C[−1, 1], ρI)
konvergentní.
6. Prostor (C[a, b], ρC) (viz 5.1.2.4) je úplný:
Buď {fn}∞
n=1 libovolná posloupnost funkcí cauchyovská v (C[a, b], ρC).
Buď ε > 0 libovolné číslo. K němu existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n, m ≥ n0 je ρC(fn, fm) < ε.
Buď x0 ∈ [a, b] libovolný bod. Pak pro n, m ≥ n0 je
|fn(x0) − fm(x0)| ≤ max{|fn(x) − fm(x)| : x ∈ [a, b]} = ρC(fn, fm) < ε,
což znamená, že číselná posloupnost {fn(x0)}∞
n=1 je cauchyovská a tedy podle 1.3.22 konvergentní.
Poněvadž x0 ∈ [a, b] byl libovolný bod, existuje lim
n→∞
fn(x) pro každé x ∈ [a, b].
Definujme funkci f : [a, b] → R předpisem: f(x) = lim
n→∞
fn(x).
Ukážeme, že sup{|fn(x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} → 0:
Poněvadž {fn} je cauchyovská, tak k
ε
2
> 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro všechna n, m ≥ n1 je
ρC(fn, fm) <
ε
2
. Pro každé x ∈ [a, b] a všechna n, m ≥ n1 je tedy |fn(x) − fm(x)| <
ε
2
, což podle 1.3.5.1
znamená, že pro každé x ∈ [a, b] a každé n ≥ n1 je lim
m→∞
|fn(x) − fm(x)| ≤
ε
2
. Tedy pro n ≥ n1 a každé
x ∈ [a, b] je |fn(x) − f(x)| = lim
m→∞
|fn(x) − fm(x)| ≤
ε
2
, takže pro n ≥ n1 je
sup{|fn(x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} ≤
ε
2
< ε.
Zbývá ukázat, že funkce f je spojitá.
Podle předchozího tvrzení k
ε
3
> 0 existuje n2 ∈ N, že sup{|fn2 (x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} <
ε
3
.
Buď x1 ∈ [a, b] libovolný bod. Poněvadž funkce fn2 je spojitá, k číslu
ε
3
> 0 existuje δ > 0, že pro všechna
x ∈ [a, b] taková, že |x1 − x| < δ je |fn2 (x1) − fn2 (x)| <
ε
3
. Pro x ∈ [a, b] takové, že |x1 − x| < δ tedy platí
|f(x1) − f(x)| = |f(x1) − fn2 (x1) + fn2 (x1) − fn2 (x) + fn2 (x) − f(x)| ≤
≤ |f(x1) − fn2 (x1)| + |fn2 (x1) − fn2 (x)| + |fn2 (x) − f(x)| ≤
≤ sup{|fn2 (x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} + |fn2 (x1) − fn2 (x)| + sup{|fn2 (x) − f(x)| : x ∈ [a, b]} <
<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε, což znamená, že funkce f je spojitá v bodě x1 ∈ [a, b]. Poněvadž tento bod byl libovolný,
je f spojitá na [a, b].
5.4.3 Věta
Je-li metrický prostor (P, ρ) úplný a množina A ⊆ P je uzavřená, pak metrický prostor (A, ρA), kde ρA je
metrika indukovaná metrikou ρ, je úplný.
D.: Buď {xn}∞
n=1 libovolná cauchyovská posloupnost. Poněvadž (P, ρ) je úplný, existuje lim
n→∞
xn = x ∈ P.
Podle 5.3.7 je x ∈ A.
5.4.4 Definice
Buď (P, ρ) metrický prostor. Řekneme, že metrický prostor (Q, σ) je úplným obalem metrického prostoru (P, ρ),
jestliže
(i) (Q, σ) je úplný prostor,
(ii) (P, ρ) ⊆ (Q, σ),
(iii) Množina P je hustá v (Q, σ).
Například (R, ρ1) je úplným obalem (Q, ρ1).
156
5.4.5 Věta
Ke každému metrickému prostoru (P, ρ) existuje jeho úplný obal. Tento úplný obal je určen jednoznačně v tomto
smyslu: Jsou-li (Q1, σ1) a (Q2, σ2) dva úplné obaly prostoru (P, ρ), pak (Q1, σ1) a (Q2, σ2) jsou isometrické.
Kroky důkazu:
1. Na množině všech cauchyovských posloupností z prostoru (P, ρ) definujeme relaci ∼ vztahem:
{xn} ∼ {yn} ⇔ ρ(xn, yn) → 0.
2. Ukážeme, že ∼ je ekvivalence.
3. Položíme Q = P| ∼ (rozklad množiny P podle ekvivalence ∼). Prvky množiny Q jsou třídy ekvivalence
∼. Označíme [{xn}] ∈ Q takovou třídu ekvivalence, že {xn} ∈ [{xn}].
4. Položíme σ([{xn}], [{yn}]) = lim
n→∞
ρ(xn, yn). Ukážeme, že σ nezáleží na výběru representantů a že σ je
metrikou na Q.
5. Ztotožníme [{x, x, . . . }] ∈ Q s x ∈ P. Pak je (P, ρ) ⊆ (Q, σ).
6. Ukážeme, že prostor (Q, σ) je úplný.
7. Ukážeme, že P = Q.
8. Ukážeme, že je-li (Q1, σ1) úplným obalem prostoru (P, ρ), pak (Q, σ) a (Q1, σ1) jsou isometrické.
5.4.6 Definice
Řekneme, že metrický prostor (P, ρ) je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti jeho bodů lze vybrat posloupnost
konvergentní.
Řekneme, že množina A ⊆ P je kompaktní, jestliže podprostor (A, ρA) je kompaktní.
5.4.7 Věta
Je-li A kompaktní množina v metrickém prostoru (P, ρ), pak je A uzavřená a ohraničená.
D.: Připusťme, že A = A, tedy že existuje x ∈ A \ A. Pak ρ(x, A) = 0 a podle definice infima existuje
{xn} ⊆ A, že ρ(xn, x) → 0, neboli xn → x. Pro každou vybranou posloupnost {xnk
} z posloupnosti {xn}
je podle 5.3.4.3 lim
k→∞
xnk
= x ∈ A, což je spor s kompaktností A.
Připusťme, že A není ohraničená. Buď x1 ∈ A libovolný bod. Existuje x2 ∈ A \ K(x1, 1). (Kdyby neexistoval,
byla by množina A ohraničená.) Dále existuje x3 ∈ A \ K(x1, ρ(x1, x2) + 1) atd. Posloupnost {xn}
i každá posloupnost z ní vybraná není cauchuovská, neboť ρ(xn, xm) ≥ 1 a tedy podle 5.3.6 nemůže být
konvergentní.
5.4.8 Věta
Množina A ⊆ Rn
je kompaktní v (Rn
, ρ1) právě tehdy, když je v tomto prostoru uzavřená a ohraničená.
D.: Nutnost podmínky plyne z 5.4.7. Dokážeme její dostatečnost.
Buď {xk
}∞
k=1 = {(xk
1, xk
2, . . . , xk
n)}∞
k=1 posloupnost bodů z A. Poněvadž A je ohraničená, je každá z číselných
posloupností {xk
i }∞
k=1, i = 1, 2, . . . , n ohraničená. Podle 1.3.19.1 lze z každé {xk
i }∞
k=1 vybrat
posloupnost {xkl
i }∞
l=1 konvergentní. Vybereme tedy z posloupnosti xk
1
∞
k=1
konvergentní posloupnost
{xκ1
1 }
∞
κ1=1 a označíme x0
1 = lim
κ1→∞
xκ1
1 . Potom z posloupnosti {xκ1
2 }
∞
κ1=1 vybereme konvergentní posloupnost
{xκ2
2 }
∞
κ2=1 a označíme x0
2 = lim
κ2→∞
xκ2
1 . Tak postupujeme dále, až z posloupnosti x
κn−1
n
∞
κn−1=1
vybereme
konvergentní posloupnost {xκn
n }
∞
κn=1, kterou budeme pro přehlednost značit xl
n
∞
l=1
, a označíme
x0
n = lim
l→∞
xl
n. Tímto postupem získáme posloupnost (xl
1, xl
2, . . . , xl
n)
∞
l=1
, která je vybraná z posloupnosti
(xk
1, xk
2 , . . . , xk
n)
∞
l=1
a platí lim
l→∞
(xl
1, xl
2, . . . , xl
n) = (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) = x0
. Poněvadž A je uzavřená,
je podle 5.3.7 x0
∈ A.
Z ekvivalence metrik ρ1, ρ2, ρ∞ (viz 5.3.9.1) plyne, že analogické tvrzení platí i pro (Rn
, ρ2) a (Rn
, ρ∞).
157
5.4.9 Věta
Je-li metrický prostor (P, ρ) kompaktní, pak je úplný.
D.: Buď {xn}∞
n=1 libovolná cauchyovská posloupnost v prostoru (P, ρ). Poněvadž (P, ρ) je kompaktní, existuje
posloupnost {xnk
}∞
k=1 vybraná z posloupnosti {xn}∞
n=1 taková, že lim
k→∞
xnk
= x ∈ P.
Ukážeme, že x = lim
n→∞
xn.
Buď ε > 0 libovolné číslo.
Poněvadž {xnk
}∞
k=1 konverguje k x, tak k
ε
2
> 0 existuje k0 ∈ N takové, že pro k ≥ k0 je ρ(xnk
, x) <
ε
2
.
Poněvadž {xn}∞
n=1 je cauchyovská, tak k
ε
2
> 0 existuje n1 ∈ N takové, že pro n ≥ n1 a m ≥ n1 platí
ρ(xn, xm) <
ε
2
.
Položme n0 = max{n1, nk0 } a nechť n ≥ n0 a k > k0 jsou libovolná čísla. Pak také nk > n0. S využitím
trojúhelníkové nerovnosti dostaneme
ρ(xn, x) ≤ ρ(xn, xnk
) + ρ(xnk
, x) <
ε
2
+
ε
2
= ε ,
což znamená, že x = lim
n→∞
xn.
5.5 Zobrazení metrických prostorů
5.5.1 Definice
Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q.
Řekneme, že zobrazení F je spojité v bodě x0 ∈ P, jestliže ke každému okolí V bodu F(x0) v (Q, σ) existuje
okolí U bodu x0 v (P, ρ) tak, že F(U) ⊆ V .
Řekneme, že zobrazení F je spojité na P, jestliže je spojité v každém bodě x ∈ P.
Zobrazení F je spojité v bodě x0, jestliže (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ P)(ρ(x, x0) < δ ⇒ σ(F(x), F(x0)) < ε).
5.5.2 Věta
Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory. Zobrazení F : P → Q je spojité na P právě tehdy, když ke každé
otevřené množině V ⊆ F(P) existuje otevřená množina U ⊆ P taková, že F(U) ⊆ V .
D.: ⇒: Nechť F je spojité, V ⊆ F(P) otevřená. Ke každému y0 ∈ V existuje x0 ∈ P takové, že F(x0) = y0.
Poněvadž V je otevřená, k libovolnému y0 ∈ V existuje εy0 > 0 takové, že Oεy0
(y0) ⊆ V . K εy0 existuje
δy0 > 0 takové, že F(Oδy0
(x0)) ⊆ Oεy0
. Množina U =
y0∈V
Oδy0
(x0) je podle 5.2.5(T3) otevřená a zřejmě
platí F(U) = V .
⇐: Buď x0 ∈ P libovolný bod, V okolí bodu F(x0). Existuje otevřená U ⊆ P taková, že F(U) ⊆ V . Poněvadž
U je otevřená, existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že O(x0) ⊆ U. Pak F(O(x0)) ⊆ F(U) ⊆ V a tedy F
je spojité v bodě x0.
5.5.3 Věta (Heineova podmínka)
Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory. Zobrazení F : P → Q je spojité v bodě x0 ∈ P právě tehdy, když pro
každou posloupnost {xn}∞
n=1 bodů z P takovou, že xn → x0 v (P, ρ) platí F(xn) → F(x0) v (Q, σ).
D.: ⇒: Nechť {xn} ⊆ P, xn → x0.
Buď Oε(F(x0)), ε > 0, libovolné okolí bodu F(x0) . Existuje δ > 0 takové, že F(Oδ(x0)) ⊆ Oε(F(x0)).
K δ > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ≥ n0 je ρ(xn, x0) < δ, neboli xn ∈ Oδ(x0).
Odtud plyne, že F(xn) ∈ Oε(F(x0)) pro všechna n ≥ n0, neboli σ(F(xn), F(x0)) < ε pro všechna n ≥ n0.
To ovšem znamená, že F(xn) → F(x0).
158
⇐: Nechť platí podmínka a připusťme, že F není spojité v bodě x0. Pak existuje okolí V = Oε(F(x0)) bodu
F(x0) takové, že v každém okolí U bodu x0 existuje x, že F(x) ∈ V . Zejména v okolí O 1
n
(x0) existuje bod
xn takový, že F(xn) ∈ V . Platí xn → x0 a tedy F(xn) → F(x0), což znamená, že existuje n0 ∈ N takové,
že σ(F(xn0 ), F(x0)) < ε, tedy F(xn0 ) ∈ Oε(F(x0)) = V , což je spor.
5.5.4 Věta
Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, A ⊆ P, F : P → Q spojité zobrazení. Je-li množina A kompaktní, pak
je i F(A) kompaktní.
D.: Nechť A je kompaktní a buď {yn} libovolná posloupnost bodů z F(A). Ke každému yn ∈ F(A) existuje
xn ∈ A takové, že F(xn) = yn. Poněvadž A je kompaktní, lze z posloupnosti {xn} vybrat posloupnost
konvergentní {xnk
}, lim
k→∞
xnk
= x0 ∈ A v (P, ρ). Označme y0 = F(x0). Pak y0 ∈ F(A) a podle 5.5.3
lim
k→∞
ynk
= lim
k→∞
F(xnk
) = F(x0) = y0 v (Q, σ). Našli jsme tedy posloupnost {ynk
} vybranou z {yn},
která konverguje k y0 ∈ F(A). To znamená, že F(A) je kompaktní množina.
5.5.5 Důsledek (Weierstrassovy věty)
Reálná funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu ohraničená a nabývá na něm své největší a
nejmenší hodnoty.
D.: Uzavřený interval [a, b] je podle 5.4.8 kompaktní v (R, ρ1) a tedy podle 5.5.4 je f([a, b]) kompaktní. Podle
5.4.8 je f([a, b]) ohraničená a uzavřená.
K 1
n > 0 existuje yn ∈ f([a, b]) takové, že sup f([a, b]) − 1
n < yn, yn → sup f([a, b]) a podle 5.3.7 je
sup f([a, b]) ∈ f([a, b]). Funkce f nabývá na [a, b] svého suprema, tedy své největší hodnoty.
Analogicky ukážeme, že funkce f nabývá na [a, b]) i své nejmenší hodnoty.
5.5.6 Věta
Buďte (P, ρ), (Q, σ), (R, τ) metrické prostory, F : P → Q, G : Q → R. Je-li zobrazení F spojité v bodě x0 ∈ P
a zobrazení G je spojité v bodě F(x0) ∈ Q, pak je složené zobrazení G ◦ F : P → R spojité v bodě x0. Je-li
zobrazení F spojité na P a zobrazení G je spojité na Q, pak je složené zobrazení G ◦ F : P → R spojité na P.
D.: K O(G(F(x0))) ⊆ R existuje O(F(x0)) ⊆ Q, že G(O(F(x0))) ⊆ O(G(F(x0))), poněvadž G je spojité
v F(x0).
K O(F(x0)) ⊆ Q existuje O(x0) ⊆ P, že F(O(x0)) ⊆ O(F(x0)), neboť F je spojité v x0.
Nyní G ◦ F(O(x0)) = G(F(O(x0))) ⊆ G(O(F(x0))) ⊆ O(G(F(x0))).
Druhé tvrzení je důsledkem prvního.
5.5.7 Definice
Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q. Řekneme, že zobrazení F je stejnoměrně spojité na P,
jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé dva body x, y ∈ P taková, že ρ(x, y) < δ platí
σ(F(x), F(y)) < ε.
Stejnoměrně spojité zobrazení je zřejmě spojité.
5.5.8 Věta (Heine - Cantor)
Buď (P, ρ) kompaktní metrický prostor, (Q, σ) metrický prostor, F : P → Q spojité zobrazení. Pak je F
stejnoměrně spojité.
D.: Nechť (P, ρ) je kompaktní a F : P → Q spojité.
Připusťme, že F není stejnoměrně spojité. Pak existuje ε0 > 0 takové, že ke každému δ > 0 existují
x, y ∈ P tak, že ρ(x, y) < δ a σ(F(x), F(y)) ≥ ε0.
K δ = 1
n existují xn, yn ∈ P, že ρ(xn, yn) < 1
n a σ(F(xn), F(yn)) ≥ ε0. Poněvadž P je kompaktní, lze
z posloupnosti {xn}∞
n=1 vybrat posloupnost {xnk
}∞
k=1 tak, že lim
k→∞
xnk
= x0 ∈ P.
159
Dále ρ(x0, ynk
) ≤ ρ(x0, xnk
) + ρ(xnk
, ynk
) → 0 pro k → ∞ a tedy také lim
k→∞
ynk
= x0.
Podle 5.5.3 platí σ(F(xnk
), F(ynk
)) ≤ σ(F(xnk
), F(x0)) + σ(F(x0), F(ynk
)) → 0 pro k → ∞, což je spor
s σ(F(x), F(y)) ≥ ε0.
5.5.9 Definice
Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q.
Řekneme, že zobrazení F je lipschitzovské, jestliže existuje konstanta L ∈ R, L > 0 taková, že pro všechny
x, y ∈ P je σ(F(x), F(y)) ≤ Lρ(x, y). Konstanta L se nazývá Lipschitzova konstanta.
Řekneme, že zobrazení F je kontrakce, je-li lipschitzovské s konstantou L < 1.
5.5.10 Věta
Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q. Je-li zobrazení F lipschitzovské, pak je stejnoměrně spojité
(a tedy také spojité).
D.: Nechť F je lipschitzovské s konstantou L. Buď ε > 0 libovolné. Položíme δ =
ε
L
.
Jsou-li x, y ∈ P libovolné body takové, že ρ(x, y) < δ, pak σ(F(x), F(y)) ≤ Lρ(x, y) < Lδ = L
ε
L
= ε.
5.5.11 Příklady
1. Buď f reálná funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na tomto intervalu ohraničenou první derivaci.
Pak f je lipschitzovská s konstantou L = sup{|f′
(x)| : x ∈ [a, b]}.
D.: Podle 2.3.4.1 ke každým x, y ∈ [a, b] existuje ξ z intervalu o krajních bodech x a y takové, že
f(x) − f(y) = f′
(ξ)(x − y).
Odtud |f(x) − f(y)| = |f′
(ξ)| |x − y| ≤ L|x − y|.
2. (C[a, b], ρC), (R, ρ1), F : C[a, b] → R definované předpisem F(f) =
b
a
f(x)dx.
• ρ1(F(f), F(g)) =
b
a
f(x)dx −
b
a
g(x)dx =
b
a
(f(x) − g(x))dx ≤
b
a
|f(x) − g(x)|dx ≤
≤
b
a
max{|f(ξ) − g(ξ)| : ξ ∈ [a, b]}dx = max{|f(ξ) − g(ξ)| : ξ ∈ [a, b]}
b
a
dx =
= (b − a)ρC(f, g)
(první nerovnost platí podle 3.3.9, druhá podle 3.3.6.)
Zobrazení F je tedy lipschitzovské s konstantou b − a, což podle 5.5.10 znamená, že je spojité.
• Z 5.5.3 plyne: Jestliže posloupnost funkcí {fn}∞
n=1 spojitých na intervalu [a, b] konverguje k funkci f
v prostoru (C[a, b], ρC) (stejnoměrně konverguje k funkci f, sr. 5.3.2.3), pak platí
b
a
f(x)dx =
b
a
lim
n→∞
fn(x)dx = lim
n→∞
b
a
fn(x)dx.
5.5.12 Definice
Buďte (P, ρ), (Q, σ) metrické prostory, F : P → Q a x0 ∈ P hromadný bod. Řekneme, že zobrazení F má
v bodě x0 ∈ P limitu y0 ∈ Q a píšeme lim
x→x0
F(x) = y0, jestliže ke každému okolí V bodu y0 v (Q, σ) existuje
okolí U bodu x0 v (P, ρ) tak, že F(U \ {x0}) ⊆ V .
Zřejmě platí:
• lim
x→x0
F(x) = y0 ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ P)(0 < ρ(x, x0) < δ ⇒ σ(F(x), F(x0)) < ε).
• Jestliže má zobrazení F v bodě x0 limitu F(x0), pak je v tomto bodě spojité.
• lim
x→x0
F(x) = y0 právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞
n=1 bodů z P takovou, že pro každé n ∈ N
je xn = x0 a xn → x0 v (P, ρ) platí F(xn) → y0 v (Q, σ).
160
5.5.13 Definice
Nechť P je množina a F : P → P. Bod x ∈ P se nazývá pevný bod zobrazení F, jestliže F(x) = x.
5.5.14 Věta (Banach [1892–1945], o kontrakci)
Buď (P, ρ) úplný metrický prostor, F : P → P kontrakce. Pak existuje jediný pevný bod zobrazení F. Tento
pevný bod je limitou posloupnosti {xn}∞
n=1, kde x1 ∈ P je libovolný bod a xn+1 = F(xn).
D.: • Nejdříve ukážeme, že posloupnost {xn}, xn+1 = F(xn) je cauchyovská:
Pro libovolné n ∈ N platí ρ(xn, xn+1) = ρ (F(xn−1), F(xn)) ≤ Lρ(xn−1, xn) = Lρ (F(xn−2), F(xn−1)) ≤
≤ L2
ρ(xn−2, xn−1) = · · · ≤ Ln−1
ρ(x1, x2).
Odtud a z (M3) plyne, že pro libovolná n, p ∈ N platí
ρ(xn, xn+p) ≤ ρ(xn, xn+1) + ρ(xn+1, xn+2) + · · · + ρ(xn+p−1, xn+p) ≤
≤ Ln−1
ρ(x1, x2) + Ln
ρ(x1, x2) + Ln+1
ρ(x1, x2) + · · · + Ln+p−2
ρ(x1, x2) =
= Ln−1
+ Ln
+ Ln+1
+ · · · + Ln+p−2
ρ(x1, x2) = 1 + L + L2
+ · · · + Lp−1
Ln−1
ρ(x1, x2) =
=
1 − Lp
1 − L
Ln−1
ρ(x1, x2) ≤ Ln−1 ρ(x1, x2)
1 − L
→ 0 pro n → ∞, neboť Ln−1
→ 0 pro n → ∞.
• Poněvadž (P, ρ) je úplný, existuje x0 = lim
n→∞
xn ∈ P.
• ρ(x0, F(x0)) ≤ ρ(x0, xn) + ρ(xn, F(x0)) = ρ(x0, xn) + ρ(F(xn−1), F(x0)) ≤
≤ ρ(x0, xn) + Lρ(xn−1, x0) → 0 pro n → ∞ neboť lim
n→∞
ρ(x0, xn) = lim
n→∞
ρ(xn−1, x0) = 0 pro n → ∞.
• Je-li y jiný pevný bod zobrazení F, pak ρ(y, x0) = ρ(F(y), F(x0)) ≤ Lρ(y, x0).
Odtud plyne, že (1 − L)ρ(y, x0) ≤ 0 a poněvadž O < L < 1, musí být ρ(y, x0) = 0.
5.5.15 Aplikace (Newtonova iterační metoda)
Nechť reálná funkce g má na uzavřeném intervalu I druhou derivaci a nenulovou první derivaci. Jestliže existuje
ε > 0 takové, že pro každé x ∈ I platí
|g(x)g′′
(x)|
(g′(x))
2 < 1 − ε, pak rovnice g(x) = 0 má na intervalu I jediný kořen
x0 a platí x0 = lim
n→∞
xn, kde posloupnost {xn}∞
n=1 je dána rekurentně:
x1 ∈ I je libovolné číslo, xn+1 = xn −
g(xn)
g′(xn)
.
D.: Uvažujme metrický prostor (I, ρ) s přirozenou metrikou ρ(x, y) = |x − y|. Tento prostor je podle 5.4.8
kompaktní.
Definujme funkci f : I → R předpisem f(x) = x−
g(x)
g′(x)
. Číslo x0 je kořenem rovnice g(x) = 0 právě tehdy,
když je pevným bodem zobrazení (funkce) f. Podle 2.3.3 platí ρ (f(x), f(y)) = |f(x)−f(y)| = |f′
(ξ)| |x−y|,
kde ξ je nějaké číslo mezi x a y. Označme L = sup{|f′
(ξ)| : ξ ∈ I}. Podle předpokladu
|f′
(ξ)| = 1 −
(g′
(ξ))
2
− g(ξ)g′′
(ξ)
(g′(ξ))
2 =
g(ξ)g′′
(ξ)
(g′(ξ))
2 < 1 − ε
pro každé ξ ∈ I. Funkce f je tedy kontrakcí a tvrzení plyne z 5.5.14.
5.6 Cvičení
1) Ověřte, že ρ(x, y) = ln(1+|x−y|) a σ(x, y) =
|x − y|
1 + |x − y|
jsou metriky na R. Jsou tyto metriky ekvivalentní?
2) Vypočítejte vzdálenost funkcí f(x) = ln(1 + x) a g(x) =
x
e − 1
v prostoru C[0, 1] s metrikami ρC a ρI.
3) Vypočítejte vzdálenost množiny M = (x, y) ∈ R : y ≥ |x|3 od bodu (1
2 , 0) v prostoru (R2
, ρ2)
161
4) Vypočítejte vzdálenost bodu (3, 2) od množiny M = (x, y) ∈ R2
: y + bx ≤ 0 , kde b ≥ 0, v prostoru
(R2
, ρ1).
5) Vypočítejte průměr množiny M = {f(x) = xn
: n ∈ N} v prostoru (C[0, 1], ρI).
6) Najděte vnitřek, uzávěr, hranici a derivaci množiny A = 1
n : n ∈ N ∪ [1, 2) ∪ ((2, 3) ∩ Q) v prostoru (R, ρ).
7) Rozhodněte, zda platí tvrzení: Jsou-li množiny A, B uzavřené a ρ(A, B) = 0, pak A ∩ B = ∅. Pokud ano,
dokažte; pokud ne, uveďte protipříklad.
8) Mohou existovat neprázdné podmnožiny A, B metrického prostoru takové, že A ⊆ B, A = B a A ∩ B = ∅?
Pokud ne, dokažte; pokud ano, udejte příklad.
9) Nechť F je zobrazení prostoru (C[a, b], ρC) do prostoru (R, ρ) dané předpisem F(f) = f
a + b
2
. Rozhodněte,
zda je toto zobrazení spojité. Je stejně definované zobrazení spojité na prostoru (C[a, b], ρI)?
10) Nechť A, B jsou neprázdné uzavřené a disjunktní množiny v prostoru (P, ρ). Najděte spojité zobrazení
F : P → R (R uvažujeme s přirozenou metrikou ρ) takové, že F(x) =
1, x ∈ A
0, x ∈ B
.
11) Rozhodněte, zda zobrazení F : [0, 1] → [0, 1] dané předpisem F(x) =
√
x je Lipschitzovské. Existuje pevný
bod tohoto zobrazení?
12) Najděte kořen rovnice cos x = x s přesností na čtyři desetinná místa.
Výsledky: 1) Ano 2) ln(e − 1) − e−2
e−1
.
= 0.1233, 2 ln 2 − 1−2e
2−2e
.
= 0.0953 3) 7
108 4) 2 + 3b pokud b < 1, 3 + 2
b ,
pokud b ≥ 1 5) 1
2 6) A◦
= (1, 2) ∪ (2, 3), A = 1
n : n ∈ N ∪ [1, 3], ∂A = 1
n : n ∈ N ∪ [2, 3], A′
= {0} ∪ [1, 3]
7) Ne. Např. v prostoru R2
, ρ2 jsou množiny A = {(x, 0) : x ≥ 1}, B = (x, 1
x ) : x ≥ 1 uzavřené a ρ(A, B) =
0. 8) Ano. Např. v prostoru (R, ρ) množiny A = [0, 1] ∩ I, B = [0, 2] ∩ Q. 9) Ano, ne 10) F(x) = ρ(x,B)
ρ(x,A)+ρ(x,B)
11) Ne. Dokonce dva: 0 a 1 12) 0.7391
162
Kapitola 6
Fourierovy řady a integrální transformace
6.1 Hilbertův prostor
6.1.1 Definice
Buď V reálný vektorový prostor a · · : V × V → R zobrazení, které pro všechna u, v, w ∈ V splňuje
podmínky:
(U1) u = 0 ⇒ u u > 0,
(U2) u v = v u ,
(U3) αu v = α u v ,
(U4) u + v w = u w + v w .
Zobrazení · · se nazývá skalární (nebo též vnitřní ) součin vektorů.
6.1.2 Poznámky
1. u = 0 ⇔ u u = 0
D.: Je-li u = 0 pak u = 0v pro libovolný vektor v ∈ V a tedy podle (U3) je
u u = 0v u = 0 v u = 0
Je-li u u = 0, podle (U1) nemůže být u = 0.
2. u αv = α u v
D.: u αv = αv u = α v u = α u v
První rovnost plyne z (U2), druhá z (U3) a třetí opět z (U2).
3. u v + w = u v + u w
D.: u v + w = v + w u = v u + w u = u v + u w
První rovnost plyne z (U2), druhá z (U4) a třetí opět z (U2).
6.1.3 Věta (Cauchyova [1789 – 1857] - Bunjakovského [1804 – 1889] - Schwarzova
[1843 – 1921] nerovnost)
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · . Pak pro všechna u, v ∈ V platí
u v ≤ u u v v ,
přičemž rovnost nastane právě tehdy, když vektory u, v jsou lineárně závislé.
163
D.: Nechť u v = 0. Pro každé α ∈ R podle (U1), 6.1.2.1 a pravidel pro počítání se skalárním součinem
platí
0 ≤ αu + v αu + v = α2
u u + 2α u v + v v ,
což znamená, že kvadratická rovnice s neznámou α
u u α2
+ 2 u v α + v v = 0 (6.1)
má nejvýše jeden reálný kořen, tedy 4 u v
2
− 4 u u v v ≤ 0, neboť koeficient u α2
je
kladný. Odtud plyne dokazovaná nerovnost.
Ukážeme, že jsou-li vektory u, v lineárně závislé, nastane ve Schwarzově nerovnosti rovnost. Nechť tedy
v = βu, pak
| u v | = |β u u | = β2 u u u u = u u βu βu =
= u u v v .
Nakonec ukážeme, že nastává-li ve Schwarzově nerovnosti rovnost, jsou vektory u, v lineárně závislé. Nechť
tedy u v
2
= u u v v .
Je-li u u = 0, má rovnice (6.1) kořen α = −
u v
u u
a pro takové α je αu + v αu + v = 0,
což podle 6.1.2.1 znamená, že αu + v = 0, neboli v = −αu.
Je-li u u = 0, je tvrzení triviální.
6.1.4 Věta
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · . Pro u ∈ V položme ||u|| = u u . Pak
pro všechna u, v ∈ V, α ∈ R platí
(N1) u = 0 ⇔ ||u|| > 0,
(N2) ||αu|| = |α| ||u||,
(N3) ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||.
D.: Jediné netriviální tvrzení je (N3). S využitím 6.1.3 dostaneme:
||u + v||2
= u + v u + v = u u + 2 u v + v v =
= ||u||2
+ 2| u v | + ||v||2
≤ ||u||2
+ 2 u u v v + ||v||2
= (||u|| + ||v||)2
.
Cauchyovu - Bunjakovského - Schwarzovu nerovnost lze zapsat:
u v ≤ ||u|| ||v|| nebo u v
2
≤ ||u||
2
||v||
2
.
6.1.5 Definice
Buď V reálný vektorový prostor a ||·|| : V → R zobrazení, které pro všechna u, v ∈ V, α ∈ R splňuje podmínky
(N1), (N2), (N3) z 6.1.4. Pak ||·|| se nazývá norma (na vektorovém prostoru V ).
6.1.6 Věta
Buď V reálný vektorový prostor s normou ||·||. Definujme zobrazení ρ : V × V → R předpisem ρ(u, v) = ||u − v||.
Pak ρ je metrika na V .
D.: Axiomy totožnosti a symetrie jsou zřejmé. Trojúhelníková nerovnost plyne z (N3):
ρ(u, w) = ||u − w|| = ||u − v + v − w|| ≤ ||u − v|| + ||v − w|| = ρ(u, v) + ρ(v, w).
Je-li V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , budeme V uvažovat současně s normou
zavedenou v 6.1.4 a s metrikou zavedenou v 6.1.6.
164
6.1.7 Věta
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , pak zobrazení · · : V × V → R je spojité.
D.: Na V × V zavedeme metriku ρ2 předpisem ρ2((u1, v1), (u2, v2)) = ||u1 − u2||
2
+ ||v1 − v2||
2
.
Pro všechny dvojice (u1, v1), (u2, v2) ∈ V × V platí
||u1 − u2|| ≤ ρ2((u1, v1), (u2, v2)), ||v1 − v2|| ≤ ρ2((u1, v1), (u2, v2)) .
Buď (u0, v0) ∈ V × V libovolná dvojice a ε > 0 libovolné číslo. Položme
δ =
(||u0|| + ||v0||)
2
+ 2ε − ||u0|| − ||v0||
2
.
Pak δ > 0 a δ2
+ (||u0|| + ||v0||) δ =
ε
2
.
Buď dále (u1, v1) ∈ V × V libovolná dvojice taková, že ρ2((u1, v1), (u0, v0)) < δ. Pak s využitím 6.1.3
dostaneme
| u1 v1 − u0 v0 | = | u1 − u0 v1 − v0 + u0 v1 − v0 + u1 − u0 v0 | ≤
≤ | u1 − u0 v1 − v0 | + | u0 v1 − v0 | + | u1 − u0 v0 | ≤
≤ ||u1 − u0|| ||v1 − v0|| + ||u0|| ||v1 − v0|| + ||v0|| ||u1 − u0|| ≤
≤ δ2
+ ||u0|| δ + ||v0|| δ =
ε
2
< ε ,
což znamená, že zobrazení · · je spojité v (u0, v0). Poněvadž (u0, v0) byla libovolná dvojice z V × V ,
je toto zobrazení spojité na V × V .
6.1.8 Důsledek
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · a {vn}∞
n1 posloupnost vektorů taková, že
lim
n→∞
vn = v. Pak lim
n→∞
||vn|| = ||v|| a pro libovolný vektor u ∈ V platí lim
n→∞
vn u = v u .
D.: Plyne z 5.5.3.
6.1.9 Definice
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · . Řekneme, že vektory u, v ∈ V jsou ortogonální
a píšeme u⊥v, jestliže u = 0 = v a u v = 0.
Řekneme, že množina S ⊆ V je ortogonální, jestliže pro každé dva různé vektory u, v ∈ S je u⊥v. Jestliže navíc
pro každý vektor u ∈ S platí ||u|| = 1, nazývá se množina S ortonormální.
Je-li množina S ortogonální, je množina
1
||u||
u : u ∈ S zřejmě ortonormální.
Označení: Je-li V vektorový prostor a S ⊆ V , pak podprostor generovaný množinou S (lineární obal množiny
S, množinu všech lineárních kombinací vektorů z S) označíme Lin(S).
Mohutnost množiny M označíme cardM.
6.1.10 Věta (Gramova [1850–1916] - Schmidtova [1876–1959] ortogonalizace)
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · a S ⊆ V konečná nebo spočetná lineárně
nezávislá množina. Pak existuje ortonormální množina R ⊆ V taková, že Lin(S) = Lin(R) a card S = card R.
165
D.: Nechť S = {u1, u2, . . . }. Definujme vektory x1, x2, . . . a u1, u2, . . . takto:
x1 = u1 v1 =
1
||x1||
x1
x2 = u2 − u2 v1 v1 v2 =
1
||x2||
x2
...
...
xk+1 = uk+1 −
k
i=1
uk+1 vi vi vk+1 =
1
||xk+1||
xk+1
...
...
Tento postup končí, je-li množina S konečná vyčerpáním všech jejích prvků. Jinak můžeme neomezeně
pokračovat. Položíme R = {v1, v2, . . . }. Zřejmě je card S = card R.
Úplnou indukcí ověříme, že vektor vn je lineární kombinací vektorů u1, u2, . . . , un a naopak, vektor un je
lineární kombinací vektorů v1, v2, . . . , vn. Tedy Lin(S) = Lin(R).
Je-li množina {x1, x2, . . . , xk} ortogonální, tak pro každé j ∈ {1, 2, . . ., k} platí
xk+1 xj = uk+1 −
k
i=1
uk+1 vi vi xj =
= uk+1 xj −
k
i=1
uk+1 vi vi xj =
= uk+1 xj −
k
i=1
uk+1 xi
1
||xi||
2 xi xj =
= uk+1 xj − uk+1 xj = 0 .
Tedy xk+1⊥xj pro každé j ∈ {1, 2, . . ., n}, což znamená, že množina {x1, x2, . . . , xk, xk+1} je ortogonální.
Z principu matematické indukce plyne, že množina {x1, x2, . . . } je ortogonální a tedy množina R je
ortonormální.
6.1.11 Poznámka
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · a {un}∞
n=1 posloupnost vektorů z V . Pro každé
n ∈ N položme sn =
n
i=1
ui. Řekneme, že nekonečná řada vektorů
∞
n=1
un konverguje k vektoru s a píšeme
∞
n=1
un = s, jestliže lim
n→∞
sn = s v prostoru s metrikou zavedenou v 6.1.4.
6.1.12 Věta
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , {un}∞
n=1 ortonormální posloupnost vektorů
z V a {γn}∞
n=1 posloupnost reálných čísel.
• Je-li prostor V úplný a číselná řada
∞
n=1
γ2
n konverguje, pak také řada vektorů
∞
n=1
γnun konverguje.
• Jestliže řada vektorů
∞
n=1
γnun konverguje k vektoru v ∈ V , pak číselná řada
∞
n=1
γ2
n konverguje a pro každé
n ∈ N platí γn = v un .
D.: Označme sn =
n
k=1
γkuk.
Nechť V je úplný a
∞
n=1
γ2
n konverguje. Buď ε > 0 libovolné. Podle 4.1.4 existuje n0 ∈ N takové, že pro
166
n ≥ n0, m ∈ N je
n+m
k=n+1
γ2
k < ε. Pro n ≥ n0, p ≥ n0, p > n je tedy
||sp − sn||
2
=
p
k=n+1
γkuk
2
=
p
k=n+1
γkuk
p
k=n+1
γkuk =
=
p
k=n+1
p
j=n+1
γkγj uk uj =
p
k=n+1
γ2
k < ε ,
což znamená, že posloupnost {sn}∞
n=1 je cauchyovská a protože je V úplný, je tato posloupnost konver-
gentní.
Nechť
∞
n=1
γnun = v ∈ V . Kdyby
∞
n=1
γ2
n = ∞, pak by z analogického výpočtu jako v předchozím kroku
vyplynulo, že posloupnost {sn}∞
n=1 by nebyla cauchyovská, což by byl spor s její předpokládanou konver-
gencí.
S využitím 6.1.8 dostaneme
v uk = lim
n→∞
n
i=1
γiui uk = lim
n→∞
n
i=1
γi ui uk = lim
n→∞
γk = γk .
6.1.13 Definice
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , {un}∞
n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V
a v ∈ V . Čísla γn = v un se nazývají Fourierovy koeficienty vektoru v vzhledem k ortonormální posloupnosti
{un}∞
n=1 a řada
∞
n=1
γnun se nazývá Fourierova řada vektoru v vzhledem k ortonormální posloupnosti {un}∞
n=1.
6.1.14 Věta
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , {un}∞
n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V ,
v ∈ V , {γn}∞
n=1 posloupnost Fourierových koeficientů vektoru v vzhledem k posloupnosti {un}∞
n=1 a {βn}∞
n=1
libovolná posloupnost reálných čísel. Pak pro každé n ∈ N platí nerovnost
v −
n
i=1
γiui ≤ v −
n
i=1
βiui
(mezi všemi lineárními kombinacemi vektorů u1, u2, . . . , un má od vektoru v nejmenší vzdálenost ta, jejíž koeficienty
jsou Fourierovými koeficienty vektoru v) a
v −
n
i=1
γiui
2
= ||v||2
−
n
i=1
γ2
i
(Besselova identita).
167
D.: Dokazovaná nerovnost i Besselova identita plynou z rovnosti
v −
n
i=1
βiui
2
= v −
n
i=1
βiui v −
n
i=1
βiui =
= ||v||2
−
n
i=1
βi ui v −
n
i=1
βi v ui +
n
i=1
n
j=1
βiβj ui uj =
= ||v||2
− 2
n
i=1
βiγi +
n
i=1
β2
i = ||v||2
+
n
i=1
(β2
i − 2βiγi) =
= ||v||
2
+
n
i=1
(βi − γi)2
− γ2
i = ||v||
2
−
n
i=1
γ2
i +
n
i=1
(βi − γi)2
.
6.1.15 Důsledek (Besselova [1784 – 1846] nerovnost)
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , {un}∞
n=1 ortonormální posloupnost vektorů
z V , v ∈ V , {γn}∞
n=1 posloupnost Fourierových koeficientů vektoru v vzhledem k posloupnosti {un}∞
n=1. Pak
platí
n
i=1
γ2
i ≤ ||v||
2
.
Z Besselovy nerovnosti a z 6.1.12 plyne, že v úplném prostoru Fourierova řada libovolného vektoru konverguje.
6.1.16 Věta
Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem · · , který je úplný, {un}∞
n=1 ortonormální posloupnost
vektorů z V a v ∈ V . Fourierova řada
∞
n=1
γnun vektoru v vzhledem k {un}∞
n=1 konverguje k vektoru v
právě tehdy, když platí
∞
n=1
γ2
n = ||v||2
(Parsevalova rovnost).
D.: Podle 6.1.8 a 6.1.14 platí
v −
∞
n=1
γnun
2
= lim
n→∞
v −
n
i=1
γiui
2
= lim
n→∞
||v||2
−
n
i=1
γ2
i = ||v||2
−
∞
n=1
γ2
n .
6.1.17 Definice
Reálný vektorový prostor, který je úplný a v němž existuje nekonečná ortonormální podmnožina se nazývá
Hilbertův prostor.
6.1.18 Příklad
Nechť ℓ2
je množina posloupností {αi}∞
i=1 takových, že řada
∞
i=1
α2
i konverguje.
Jsou-li {αi}∞
i=1, {βi}∞
i=1 ∈ ℓ2
pak řada
∞
i=1
αiβi konverguje absolutně.
168
D.: |αiβi| ≤ max{α2
i , β2
i }
k
i=1
max{α2
i , β2
i } ≤
k
i=1
α2
i +
k
i=1
β2
i ≤
∞
i=1
α2
i +
∞
i=1
β2
i < ∞.
Řada s nezápornými členy
∞
i=1
max{α2
i , β2
i } má ohraničenou posloupnost částečných součtů. Podle 4.2.1
tato řada konverguje, takže podle 4.2.4 konverguje i řada
∞
i=1
|αiβi|.
ℓ2
tvoří reálný vektorový prostor a lze snadno ověřit, že zobrazení · · : ℓ2
× ℓ2
→ R definované pro
u = {αi}∞
i=1 ∈ ℓ2
, v = {βi}∞
i=1 ∈ ℓ2
předpisem u v =
∞
i=1
αiβi je skalární součin.
Položme en = {δni}∞
i=1, kde δij =
0, i = j
1, i = j
. Pak zřejmě pro každé n ∈ N je en ∈ ℓ2
, ||en|| = 1,
en em = 0 pro n = m. Tedy {en}∞
n=1 je ortonormální posloupnost v ℓ2
.
Buď u = {αi}∞
i=1 ∈ ℓ2
libovolný vektor. Fourierovy koeficienty tohoto vektoru vzhledem k {en}∞
n=1 jsou
γn = u en =
∞
i=1
αiδni = αn .
Dále
lim
n→∞
u −
n
i=1
αiei
2
= lim
n→∞
u −
n
i=1
αiei u −
n
i=1
αiei =
= lim
n→∞

 u u − 2
n
i=1
αi u ei +
n
i=1
n
j=1
αiαj ei ej

 =
= lim
n→∞
∞
i=1
α2
i − 2
n
i=1
α2
i +
n
i=1
α2
i = lim
n→∞
∞
i=n+1
α2
i = 0 ,
takže Fourierova řada libovolného vektoru u ∈ ℓ2
konverguje k u.
6.2 Prostor L2
(a, b)
Nechť a, b ∈ R∗
, a < b.
Symbolem C2
(a, b) označíme množinu všech funkcí f spojitých na intervalu (a, b), pro něž
b
a
(f(x))2
dx < ∞.
Jsou-li a, b ∈ R a lim
x→a+
f(x) ∈ R, lim
x→b−
f(x) ∈ R, je nerovnost triviální. V opačném případě říká, že příslušný
nevlastní integrál konverguje.
6.2.1 Poznámky
1. Jsou-li f, g ∈ C2
(a, b), pak
b
a
|f(x)g(x)|dx < ∞ a −∞ <
b
a
f(x)g(x)dx < ∞.
D.: Nechť uvažované integrály jsou nevlastní. (V opačném případě by tvrzení bylo triviální.)
b
a
|f(x)g(x)|dx ≤
b
a
max{(f(x))2
, (g(x))2
}dx ≤
b
a
(f(x))2
dx +
b
a
(g(x))2
dx < ∞ .
Druhá nerovnost plyne z 3.5.8.
2. Jsou-li f, g ∈ C2
(a, b), pak také f + g ∈ C2
(a, b) a pro každé α ∈ R je αf ∈ C2
(a, b).
169
D.:
b
a
(f(x) + g(x))2
dx =
b
a
(f(x))2
dx + 2
b
a
f(x)g(x)dx +
b
a
(g(x))2
dx ≤
≤
b
a
(f(x))2
dx + 2
b
a
f(x)g(x)dx +
b
a
(g(x))2
dx ≤
≤
b
a
(f(x))2
dx + 2
b
a
|f(x)g(x)| dx +
b
a
(g(x))2
dx < ∞ ,
b
a
(αf(x))2
dx = α2
b
a
(f(x))2
dx < ∞ .
3. C2
(a, b) tvoří reálný vektorový prostor, nulovým vektorem je funkce f ≡ 0. (Budeme ji značit 0.)
D.: Plyne bezprostředně z předchozího tvrzení.
4. Zobrazení Φ : C2
(a, b) × C2
(a, b) → R dané předpisem Φ(f, g) =
b
a
f(x)g(x)dx je skalárním součinem.
D.: Nejprve poznamenejme, že zobrazení Φ je podle 1. definováno korektně.
Ověříme platnost podmínky (U1):
Nechť f = 0. Pak existuje x0 ∈ (a, b) takové, že f(x0) = 0 a ze spojitosti funkce f plyne existence
okolí O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ (a, b) bodu x0 takového, že (f(x0))2
≥ ε > 0 pro všechna x ∈ O(x0).
Podle 3.3.1 je
x0+δ
x0−δ
(f(x))2
dx ≥ 2εδ a tedy
Φ(f, f) =
b
a
(f(x))2
dx =
x0−δ
a
(f(x))2
dx +
x0+δ
x0−δ
(f(x))2
dx +
b
x0+δ
(f(x))2
dx ≥ 0 + 2εδ + 0 > 0.
Platnost podmínek (U2) – (U4) je zřejmá.
5. Jsou-li f, g ∈ C2
(a, b), pak
b
a
f(x)g(x)dx ≤
b
a
(f(x))2dx
b
a
(g(x))2dx .
D.: Plyne z předchozího tvrzení a z 6.1.3.
6.2.2 Definice
Buď f funkce definovaná na intervalu (a, b).
Řekneme, že funkce f je po částech spojitá, je-li množina jejich bodů nespojitosti konečná.
Řekneme, že funkce f je po částech monotonní, existují-li čísla x0, x1, . . . , xn ∈ R∗
taková, že
a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b a funkce f je monotonní na každém z intervalů (xi−1, xi), i = 1, 2, . . ., n.
Symbolem ˜L2
(a, b) označíme množinu všech po částech spojitých funkcí f definovaných na intervalu (a, b),
pro něž
b
a
(f(x))2
dx < ∞.
Pro každou funkci f ∈ ˜L2
(a, b) označíme symbolem N(f) množinu jejích bodů nespojitosti.
6.2.3 Poznámky
1. Na množině ˜L2
(a, b) definujme relaci ∼ předpisem: f ∼ g ⇔
b
a
(f(x) − g(x))2
dx = 0. Pak ∼ je relací
ekvivalence na množině ˜L2
(a, b).
170
D.: Reflexivita a symetrie jsou zřejmé.
Nechť f ∼ g, g ∼ h. Buďte x0, x1, . . . , xn ∈ R∗
taková, že a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b a
N(f) ∪ N(g) ∪ N(h) ⊆ {x0, x1, . . . , xn}. Pak každá z funkcí f, g, h je spojitá v každém intervalu
(xi−1, xi) a platí
xi
xi−1
(f(x) − g(x))2
dx =
xi
xi−1
(g(x) − h(x))2
dx = 0, i = 1, 2, . . ., n.
S využitím 6.2.1.5 dostaneme
0 ≤
b
a
(f(x) − h(x))2
dx =
b
a
(f(x) − g(x) + g(x) − h(x))2
dx =
=
b
a
(f(x) − g(x))2
dx + 2
b
a
(f(x) − g(x))(g(x) − h(x))dx +
b
a
(g(x) − h(x))2
dx =
= 0 + 2
n
i=1
xi
xi−1
(f(x) − g(x))(g(x) − h(x))dx + 0 ≤
≤ 2
n
n=1
xi
xi−1
(f(x) − g(x))(g(x) − h(x))dx ≤
≤ 2
n
n=1
xi
xi−1
(f(x) − g(x))2dx
xi
xi−1
(g(x) − h(x))2dx = 0 .
takže
b
a
(f(x) − h(x))2
dx = 0, což znamená f ∼ h.
2. Jsou-li f, g, f1, g1 ∈ ˜L2
(a, b) a platí f ∼ f1, g ∼ g1, pak −∞ <
b
a
f(x)g(x)dx =
b
a
f1(x)g1(x)dx < ∞.
D.: Buďte x0, x1, . . . , xn ∈ R∗
taková, že a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b a
N(f) ∪ N(g) ∪ N(f1) ∪ N(g1) ⊆ {x0, x1, . . . , xn}.
Pak
b
a
f(x)g(x)dx =
n
i=1
xi
xi−1
f(x)g(x)dx a f, g ∈ C2
(xi−1, xi) pro každé i = 1, 2, . . . , n. Z 6.2.1.1 tedy
plyne −∞ <
b
a
f(x)g(x)dx < ∞.
Dále podle 6.2.1.2 f, g1, f−f1, g−g1 ∈ C2
(xi−1, xi) a
xi
xi−1
(f(x)−f1(x))2
dx =
xi
xi−1
(g(x)−g1(x))2
dx = 0
pro každé i = 1, 2, . . ., n. S využitím 6.2.1.5 dostaneme
0 ≤
b
a
f(x)g(x)dx −
b
a
f1(x)g1(x)dx =
b
a
(f(x)g(x) − f1(x)g1(x))dx =
=
b
a
(f(x)g(x) − f(x)g1(x) + f(x)g1(x) − f1(x)g1(x))dx =
=
b
a
f(x)(g(x) − g1(x))dx +
b
a
(f(x) − f1(x))g1(x)dx ≤
≤
b
a
f(x)(g(x) − g1(x))dx +
b
a
(f(x) − f1(x))g1(x)dx =
171
=
n
i=1
xi
xi−1
f(x)(g(x) − g1(x))dx +
n
i=1
xi
xi−1
(f(x) − f1(x))g1(x)dx ≤
=
n
i=1
xi
xi−1
f(x)(g(x) − g1(x))dx +
n
i=1
xi
xi−1
(f(x) − f1(x))g1(x)dx ≤
≤
n
i=1
xi
xi−1
(f(x))2dx
xi
xi−1
(g(x) − g1(x))2dx+
+
n
i=1
xi
xi−1
(f(x) − f1(x))2dx
xi
xi−1
(g1(x))2dx = 0 .
Odtud plyne rovnost mezi integrály.
3. Jsou-li f1, g1, f2, g2 ∈ ˜L2
(a, b) takové, že f1 ∼ f2, g1 ∼ g2 a α ∈ R, pak f1 + g1 ∼ f2 + g2 a αf1 ∼ αf2.
D.: 0 =
b
a
(f1(x) − f2(x))2
dx =
b
a
((f1(x) − f2(x)) − 0)2
dx, takže f1 − f2 ∼ 0. Podle předchozího je
b
a
(f1(x) − f2(x))(g1(x) − g2(x))dx =
b
a
0(g1(x) − g2(x))dx = 0, tedy
b
a
((f1(x) + g1(x)) − (f2(x) + g2(x)))2
dx =
b
a
((f1(x) − f2(x)) + (g1(x) − g2(x)))2
dx =
=
b
a
(f1(x) − f2(x))2
dx + 2
b
a
(f1(x) − f2(x))(g1(x) − g2(x))dx +
b
a
(g1(x) − g2(x))2
dx = 0 .
Dále
b
a
(αf1(x) − αf2(x))2
dx = α2
b
a
(f1(x) − f2(x))2
dx = 0 .
Pro každé f ∈ ˜L2
(a, b) položme f = {h ∈ ˜L2
(a, b) : f ∼ h}. Neboli: množiny f jsou třídy rozkladu
množiny ˜L2
(a, b) podle ekvivalence ∼, f ∈ ˜L2
(a, b)/ ∼; f = g ⇔ f ∼ g.
Označme L2
(a, b) = ˜L2
(a, b)/ ∼ .
Dále pro f , g ∈ L2
(a, b), α ∈ R klademe
f + g = f1 + g1 (součet)
α f = αf (násobení skalárem)
přičemž f1 ∈ f , g1 ∈ g . Podle 6.2.3.3 součet ani násobení skalárem nezávisí na výběru representantů f1, g1.
Množina L2
(a, b) tvoří reálný vektorový prostor. Jeho nulovým prvkem 0 je třída obsahující funkci f ≡ 0.
Zobrazení · · : L2
(a, b) × L2
(a, b) → R definované pro f , g ∈ L2
(a, b) předpisem
f g =
b
a
f1(x)g1(x)dx ,
kde f1 ∈ f , g1 ∈ g , nezávisí podle 6.2.3.2 na výběru representantů f1, g1.
172
Nechť f1 ∈ f . Pak platí
f f =
b
a
(f1(x))2
dx ≥ 0 ,
f f = 0 ⇒
b
a
(f1(x))2
dx = 0 ⇒ f1 ∼ 0 ⇒ 0 ∈ f ⇒ f = 0 .
Je tedy splněna podmínka (U1) z 6.1.1. Platnost podmínek (U2) – (U4) je zřejmá. Zobrazení · · je skalárním
součinem na L2
(a, b).
V dalším budeme pro zjednodušení zápisu prvky množiny L2
(a, b) značit stejně jako funkce z množiny
˜L2
(a, b). (Třídy rozkladu ztotožňujeme s representanty.)
Vzdálenost dvou funkcí f, g v prostoru L2
(a, b) je
||f − g|| =
b
a
(f(x) − g(x))2dx
a nazývá se střední odchylka funkcí f, g.
Konvergence posloupnosti funkcí v prostoru L2
(a, b) se nazývá konvergence (posloupnosti funkcí) podle středu.
6.3 Fourierovy řady vzhledem k trigonometrickému systému
Uvažujme prostor L2
(−π, π) a posloupnost funkcí
{1, cosx, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cosnx, sin nx, . . . }.
Platí
1 1 =
π
−π
dx = 2π ,
cos nx cos nx =
π
−π
cos2
nxdx =
π
−π
1 + cos 2nx
2
dx =
1
2
x +
sin 2nx
4n
π
−π
= π ,
sin nx sin nx =
π
−π
sin2
nxdx =
π
−π
1 − cos 2nx
2
dx =
1
2
x −
sin 2nx
4n
π
−π
= π ,
1 cos nx =
π
−π
cos nxdx =
1
n
sin nx
π
−π
= 0 ,
1 sin nx =
π
−π
sin nxdx = −
1
n
cos nx
π
−π
= −
1
n
((−1)n
− (−1)n
) = 0 ,
sin nx cos mx =
π
−π
sin nx cos mxdx =
1
2
π
−π
(sin(n + m)x + sin(n − m)x)dx = 0 .
Odtud plyne, že uvažovaná posloupnost funkcí je ortogonální v prostoru L2
(−π, π) a tedy posloupnost funkcí
1
√
2π
,
1
√
π
cos x,
1
√
π
sin x,
1
√
π
cos 2x,
1
√
π
sin 2x, . . . ,
1
√
π
cos nx,
1
√
π
sin nx, . . .
173
je ortonormální posloupností funkcí v prostoru L2
(−π, π). Tato posloupnost se nazývá trigonometrický systém
funkcí.
Je-li f ∈ L2
(−π, π), pak Fourierova řada této funkce vzhledem ke zmíněné ortonormální posloupnosti je
α0
1
√
2π
+
∞
n=1
αn
cos nx
√
π
+ βn
sin nx
√
π
,
kde
α0 =
1
√
2π
π
−π
f(x)dx, αn =
1
√
π
π
−π
f(x) cos nxdx, βn =
1
√
π
π
−π
f(x) sin nxdx, n = 1, 2, 3, . . ..
Tuto řadu lze zapsat v přehlednějším tvaru
a0
2
+
∞
n=1
(an cos nx + bn sin nx) ,
kde
an =
1
π
π
−π
f(x) cos nxdx , n = 0, 1, 2, . . . bn =
1
π
π
−π
f(x) sin nxdx , n = 1, 2, . . . .
Z 6.1.16 a 4.3.13 plyne
6.3.1 Věta
Buď f ∈ L2
(−π, π). Fourierova řada funkce f vzhledem k trigonometrickému systému konverguje k funkci f
podle středu (v metrice prostoru L2
(−π, π)) právě tehdy, když
a2
0
2
+
∞
n=1
a2
n +
∞
n=1
b2
n = ||f||
2
.
Z 6.1.4 a 4.1.5 plyne
6.3.2 Věta
Nechť f ∈ L2
(−π, π) a a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . jsou Fourierovy koeficienty této funkce vzhledem k trigonometrickému
systému. Pak lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn = 0.
6.3.3 Věta (Dirichlet [1805 – 1859])
Nechť funkce f je ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní na intervalu [−π, π]. Pak její Fourierova
řada vzhledem k trigonometrickému systému bodově konverguje na intervalu [−π, π] k funkci ˜f, přičemž
˜f(x) =



f(x), x ∈ (−π, π), f je spojitá v x
1
2 lim
t→x−
f(t) + lim
t→x+
f(t) , x ∈ (−π, π), f není spojitá v x
1
2 lim
t→−π+
f(t) + lim
t→π−
f(t) , x ∈ {−π, π}
.
D.: Viz V. Novák, Nekonečné řady.
Poznamenejme jen, že podle 1.6.15 příslušné jednostranné limity existují.
174
Zřejmě ˜f ∼ f, t.j. ˜f = f v prostoru L2
(−π, π).
(Bodový) součet Fourierovy řady vzhledem k trigonometrickému systému je 2π-periodická funkce. Tedy
(bodový) součet Fourierovy řady je 2π-periodické rozšíření funkce, která je na intervalu (−π, π) ekvivalentní (ve
smyslu 6.2.3.1) funkci f.
Je-li f ∈ L∈
(−π, π) sudá funkce, pak bn = 0, n = 1, 2, . . . a Fourierova řada této funkce vzhledem k trigonometrickému
systému má tvar
a0
2
+
∞
n=1
an cos nx kde an =
2
π
π
0
f(x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . . .
Tato řada se nazývá kosinová (řada funkce f).
Je-li f ∈ L2
(−π, π) lichá funkce, pak an = 0, n = 0, 1, 2, . . . a Fourierova řada této funkce vzhledem
k trigonometrickému systému má tvar
∞
n=1
bn sin nx kde bn =
2
π
π
0
f(x) sin nxdx, n = 1, 2, . . . .
Tato řada se nazývá sinová (řada funkce f).
6.3.4 Příklad
Nechť f(x) = x pro x ∈ [−π, π]. Je to funkce lichá, proto an = 0, n = 0, 1, 2, . . ..
bn =
1
π
π
−π
x sin nxdx =
1
π

 −
1
n
x cos nx
π
−π
+
1
n
π
−π
cos nxdx

 =
=
1
π
−
1
n
π cos nπ −
1
n
π cos nπ) +
1
n2
[sin nx]
π
−π =
= −
2
n
cos nπ = −
2
n
(−1)n
= (−1)n+1 2
n
Tedy pro x ∈ (−π, π) je
x = 2
∞
n=1
(−1)n+1
n
sin nx .
Zejména pro x =
π
2
je
π
2
= 2
∞
n=1
(−1)n+1
n
sin
nπ
2
= 2(1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ · · · ) = 2
∞
n=0
(−1)n
2n + 1
,
tedy
π = 4
∞
n=0
(−1)n
2n + 1
.
6.3.5 Věta (Dirichlet [1805 – 1859] - Jordan [1838 – 1922])
Nechť funkce f je 2π-periodická, ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní na intervalu [−π, π]. Jeli
f spojitá na intervalu (a, b), pak Fourierova řada funkce f vzhledem k trigonometrickému systému konverguje
stejnoměrně k funkci f na každém uzavřeném podintervalu intervalu (a, b).
D.: Viz V. Novák, Nekoneěné řady.
Poznamenejme jen, že interval (a, b) nemá žádný vztah k intervalu [−π, π].
175
6.3.6 Příklad
f(x) = x2
pro x ∈ [−π, π]. S využitím výsledku 6.3.4 dostaneme
f(x) = 2
x
0
tdt = 2
x
0
2
∞
n=1
(−1)n+1
n
sin nt dt = 4
∞
n=1
(−1)n+1
n
x
0
sin ntdt =
= 4
∞
n=1
(−1)n+1
n
1
n
[− cosnt]x
0 = 4
∞
n=1
(−1)n+1
n2
(cos 0 − cos nx) =
= 4
∞
n=1
(−1)n+1
n2
(1 − cos nx) = 4
∞
n=1
(−1)n+1
n2
− 4
∞
n=1
(−1)n+1
n2
cos nx
(Výpočet je korektní, neboť řada
∞
n=1
(−1)n+1
n2
(1 − cos nx) konverguje absolutně.)
Současně platí
a0
2
= 4
∞
n=1
(−1)n+1
n2
=
1
2π
π
−π
f(x)dx =
1
2π
π
−π
x2
dx =
1
6π
[x3
]π
−π =
π2
3
.
Tedy pro x ∈ [−π, π] je
x2
=
π2
3
− 4
∞
n=1
(−1)n+1
n2
cos nx .
Zejména pro x = π je
π2
=
π2
3
− 4
∞
n=1
(−1)n+1
n2
cos nπ =
π2
3
− 4
∞
n=1
(−1)n+1
n2
(−1)n
=
π2
3
+ 4
∞
n=1
1
n2
,
z čehož
π2
= 6
∞
n=1
1
n2
.
Mimochodem také vyšlo
π2
= 12
∞
n=1
(−1)n+1
n2
.
6.3.7 Fourierovy řady funkcí z prostoru L2
(a, b)
Nechť f ∈ L2
(a, b) je ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní. Položme
g(t) = f
b − a
2π
t +
a + b
2
. Pak g je ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní funkce definovaná
na intervalu [−π, π] a platí f(x) = g
2x − a − b
b − a
π . Podle 6.3.3 je
g(t) ∼
α0
2
+
∞
n=1
(αn cos nt + βn sin nt) , kde
αn =
1
π
π
−π
g(t) cos ntdt , n = 0, 1, 2, . . . βn =
1
π
π
−π
g(t) sin nxdt , n = 1, 2, . . . .
176
Substitucí t =
2x − a − b
b − a
π, dt =
2π
b − a
dx a při označení ϕn =
2
b − a
nπ, ψn =
b + a
b − a
nπ dostaneme
cos nt = cos(ϕnx − ψ) = cos ϕnx cos ψn + sin ϕnx sin ψn ,
sin nt = sin(ϕnx − ψ) = sin ϕnx cos ψn − cos ϕnx sin ψn ,
αn =
2
b − a
b
a
g(ϕnx − ψ) cos(ϕnx − ψ)dx =
=
2
b − a

cos ψn
b
a
f(x) cos ϕnxdx + sin ψn
b
a
f(x) sin ϕnxdx

 ,
βn =
2
b − a
b
a
g(ϕnx − ψ) sin(ϕnx − ψ)dx =
=
2
b − a

cos ψn
b
a
f(x) sin ϕnxdx − sin ψn
b
a
f(x) cos ϕnxdx

 .
Označme
an =
2
b − a
b
a
f(x) cos
2nπ
b − a
xdx , n = 0, 1, 2, . . . ,
(6.2)
bn =
2
b − a
b
a
f(x) sin
2nπ
b − a
xdx , n = 1, 2, . . . .
Tedy
f(x) = g
2x − a − b
b − a
π ∼
a0
2
+
∞
n=1
[(an cos ψn + bn sin ψn)(cos ϕnx cos ψn + sin ϕnx sin ψn) +
+(bn cos ψn − an sin ψn)(sin ϕnx cos ψn − cos ϕnx sin ψn)] =
=
a0
2
+
∞
n=1
[(cos ϕnx cos2
ψn + sin ϕnx sin ψn cos ψn −
− sin ϕnx sin ψn cos ψn + cos ϕnx sin2
ψn)an +
(cos ϕnx sin ψn cos ψn + sin ϕnx sin2
ψn +
+ sin ϕnx cos2
ψn − cos ϕnx sin ψn cos ψn)bn] =
=
a0
2
+
∞
n=1
(an cos ϕnx + bn sin ϕnx) .
To znamená, že
f(x) ∼
a0
2
+
∞
n=1
an cos
2nπ
b − a
x + bn sin
2nπ
b − a
x , (6.3)
kde koeficienty an, bn jsou dány vztahy (6.2).
Pro bodovou a stejnoměrnou konvergenci řady (6.3) platí věty analogické 6.3.3 a 6.3.5.
Vzorec (6.3) můžeme ještě upravit. Položme
ωn =
2nπ
b − a
, An = a2
n + b2
n, ϕn = arctg
bn
an
.
177
Pak platí
an cos ωnx + bn sin ωnx = a2
n + b2
n
an
a2
n + b2
n
cos ωn +
bn
a2
n + b2
n
sin ωn =
= An (cos ϕn cos ωnx + sin ϕ sin ωnx) = An cos(ωnx − ϕn)
a formuli (6.3) můžeme přepsat na tvar
f(x) ∼
a0
2
+
∞
n=1
An cos(ωnx − ϕn).
Hodnoty ωn, An a ϕn se nazývají frekvence, amplituda a fáze n-tého členu Fourierovy řady funkce f. Rozložení
frekvencí, amplitud a fází se (zejména v elektrotechnické literatuře) nazývá frekvenční spektrum funkce f.
6.3.8 Příklad
Definujme funkci ( · ) zvanou vzdálenost k nejbližžšímu celému číslu předpisem (x) = min{x − [x], [x + 1] − x}.
Tato funkce má zřejmě periodu 1. Najdeme její Fourierovu řadu na intervalu [0, 1].
a0 = 2



1
2
0
xdx +
1
1
2
(1 − x)dx


 = 2
x2
2
1
2
0
−
(1 − x)2
2
1
1
2
= 2
1
8
+
1
8
=
1
2
,
an = 2



1
2
0
x cos 2nπxdx +
1
1
2
(1 − x) cos 2nπxdx


 =
= 2
x
2nπ
sin 2nπx +
1
4n2π2
cos 2nπx
1
2
0
+
1
2nπ
sin 2nπx −
x
2nπ
sin 2nπx −
1
4n2π2
cos 2nπx
1
1
2
=
= 2
1
4n2π2
cos nπ −
1
4n2π2
−
1
4n2π2
+
1
4n2π2
cos nπ =
1
n2π2
((−1)n
− 1) =



0, n sudé
−
2
n2π2
, n liché
bn = 2



1
2
0
x sin 2nπxdx +
1
1
2
(1 − x) sin 2nπxdx


 =
= 2
1
4n2π2
sin 2nπx −
x
2nπ
cos 2nπx
1
2
0
+
x
2nπ
cos 2nπx −
1
4n2π2
sin 2nπx −
1
2nπ
cos 2nπx
1
1
2
=
= 2 −
1
4nπ
cos nπ +
1
2nπ
−
1
2nπ
−
1
4nπ
cos nπ +
1
2nπ
cos nπ = 0
Celkem
(x) =
1
4
−
2
π2
∞
n=0
1
(2n + 1)2
cos 2(2n + 1)πx .
Zejména pro x = 0 dostaneme
0 =
1
4
−
2
π2
∞
n=0
1
(2n + 1)2
, tj. π2
= 8
∞
n=0
1
(2n + 1)2
.
178
6.3.9 Komplexní tvar Fourierovy řady
Fourierova řada funkce f ∈ L2
(−1
2 T, 1
2 T ) vzhledem k trigonometrickému systému je podle 6.3.7 dána formulí
f(x) ∼
1
2
a0 +
∞
k=1
ak cos
2kπ
T
x + bk sin
2kπ
T
x ,
kde
ak =
2
T
T
2
− T
2
f(x) cos
2kπ
T
xdx, k = 0, 1, 2, . . ., bk =
2
T
T
2
− T
2
f(x) sin
2kπ
T
xdx, k = 0, 1, 2, . . ..
Přitom je splněna Parsevalova rovnost (sr. 6.1.16, 6.3.1)
1
2
a2
0 +
n
k=1
a2
k + b2
k =
2
T
T
2
− T
2
f(x)
2
dx.
Položme nyní
c0 =
1
2
a0, ck =
1
2
(ak − ibk) , c−k =
1
2
(ak + ibk) , k = 1, 2, 3, . . ., (6.4)
neboli
a0 = 2c0, ak = ck + c−k, bk = i (ck − c−k) , k = 1, 2, 3, . . .. (6.5)
Fourierovu řadu při tomto označení můžeme přepsat do tvaru
f(x) ∼
1
2
(2c0) +
∞
k=1
(ck + c−k) cos
2kπ
T
x + i (ck − c−k) sin
2kπ
T
x =
= c0 +
∞
k=1
ckei 2kπ
T + c−ke−i 2kπ
T =
−1
k=−∞
ckei 2kπ
T + c0 +
−1
k=1
ckei 2kπ
T =
∞
k=−∞
ckei 2kπ
T .
Přitom
c0 =
1
2
2
T
T
2
− T
2
f(x)dx =
1
T
T
2
− T
2
f(x)e−i 2·0π
T dx,
ck =
1
2



2
T
T
2
− T
2
f(x) cos
2kπ
T
xdx − i
2
T
T
2
− T
2
f(x) sin
2kπ
T
xdx


 =
=
1
T
T
2
− T
2
f(x) cos
2kπ
T
x − i sin
2kπ
T
x dx =
1
T
T
2
− T
2
f(x)e−i 2kπ
T x
dx, k = 1, 2, 3, . . .,
c−k =
1
2



2
T
T
2
− T
2
f(x) cos
2kπ
T
xdx + i
2
T
T
2
− T
2
f(x) sin
2kπ
T
xdx


 =
1
T
T
2
− T
2
f(x)ei 2kπ
T x
dx, k = 1, 2, 3, . . ..
Ještě přepíšeme Parsevalovu rovnost. Ze vztahů (6.4) vidíme, že c−k = ck, |ck| = |c−k| a ze vztahů (6.5)
vypočítáme
a2
k + b2
k = c2
k + 2ckc−k + c2
−k − c2
k − 2ckc−k + c2
−k = 4ckc−k = 4ckck = 4 |ck|
2
.
179
Parsevalova rovnost tedy bude mít tvar
2
T
T
2
− T
2
f(x)
2
dx =
1
2
a2
0 +
∞
k=1
a2
k + b2
k = 2c2
0 + 4
∞
k=1
|ck|
2
= 2
∞
k=−∞
|ck|
2
.
Z provedených výpočtů vidíme, že Fourierovu řadu funkce f vzhledem k trigonometrickému systému můžeme
přepsat v komplexním tvaru
f(x) ∼
∞
k=−∞
ckei 2kπ
T , kde ck =
1
T
T
2
− T
2
f(x)e−i 2kπ
T x
dx, k ∈ Z; (6.6)
přitom nutná a dostatečná podmínka konvergence této řady je Parsevalova rovnost
∞
k=−∞
|ck|2
=
1
T
T
2
− T
2
f(x)
2
dx. (6.7)
6.4 Fourierova transformace
Druhou z relací (6.6) můžeme chápat jako definici zobrazení, které funkci z množiny L2
přiřadí komplexní
posloupnost {ck}
∞
k=−∞ s vlastností
∞
k=−∞
|ck|2
< ∞. Jinak řečeno, označme
S = {ck}
∞
k=−∞ ⊆ C :
∞
k=−∞
|ck|2
< ∞
a definujme zobrazení G : L2
→ S vztahem
G(f) =



1
T
T
2
− T
2
f(x)e−i 2kπ
T x
dx



∞
k=−∞
,
tj. při rozepsání do složek
G(f)k =
1
T
T
2
− T
2
f(x)e−i 2kπ
T x
dx, k = . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . ..
Naopak, první z relací (6.6) můžeme chápat tak, že posloupnosti {ck}∞
k=−∞ ∈ S přiřazuje funkci f ∈ L2
takovou,
že
f(x) ∼
∞
k=−∞
ckei 2kπ
T .
Máme tak definováno inversní zobrazení G−1
: S → L2
,
G−1
{ck}
∞
k=−∞ (x) ∼
∞
k=−∞
ckei 2kπ
T .
Integrál je podle 3.3.5 lineární funkcionál (lineární zobrazení, které funkci – vektoru – přiřadí číslo reálné nebo
komplexní – skalár). To znamená, že také zobrazení G je lineární.
180
Dostali jsme tak jedno-jednoznačnou korespondenci mezi funkcemi definovanými na intervalu −1
2 T, 1
2 T
symetrickém kolem počátku – nebo, což je totéž, mezi T -periodickými funkcemi – a komplexními posloupnostmi
{ck}∞
k=−∞. Tuto skutečnost můžeme vyjádřit také tak, že máme transformaci G vektorového prostoru
L2
reálných funkcí na vektorový prostor S komplexních posloupností a transformaci inversní.
Definujme nyní funkci g jako analogii zobrazení G předpisem
g(ξ) =
∞
−∞
f(x)e−iξx
dx = lim
T →∞
T
2
− T
2
f(x)e−iξx
dx. (6.8)
pokud tato limita existuje; takto definovaný integrál, nazývaný nevlastní integrál ve smyslu hlavní hodnoty,
nemusí být nevlastním integrálem ve smyslu definice 3.5.1. Funkce g je komplexní funkcí jedné reálné proměnné
ξ.
Položme dále
ξk =
2kπ
T
(6.9)
pro každé k ∈ Z. Pak D = {. . . , ξ−3, ξ−2, ξ−1, ξ0, ξ1, ξ2, ξ3, . . . } představuje dělení intervalu (−∞, ∞), pro jehož
normu platí
ν(D) = ξk+1 − ξk =
2π
T
a lim
T →∞
ν(D) = 0.
Porovnáním s relací (6.6), vidíme, že
ck =
1
T
g(ξk), k ∈ Z. (6.10)
Pro x z intervalu −1
2 T, 1
2 T můžeme proto psát
f(x) ∼
∞
k=−∞
1
T
g(ξk)eixξk
=
1
2π
∞
k=−∞
g(ξk)eixξk
(ξk+1 − ξk).
Poslední sumu můžeme chápat jako integrální součet příslušný ke komplexní funkci reálné proměnné definované
vztahem x → g(ξ)e−ixξ
, dělení D a výběru reprezentantů D; pojmy „dělení intervalu“ a „integrální součet“
jsou analogiemi pojmů zavedených v 3.2.1 a 3.2.8 pro ohraničený interval a omezenou reálnou funkci. Můžeme
očekávat, že bude platit
f(x) ∼
1
2π
∞
−∞
g(ξ)eixξ
dξ. (6.11)
Z rovností (6.7), (6.9) a (6.10) můžeme ještě odvodit
1
T
∞
−∞
f(x)
2
dx =
∞
k=−∞
|ck|2
=
∞
k=−∞
1
T 2
|g(ξk)|2
=
1
T
1
2π
∞
k=−∞
|g(ξk)|2
(ξk+1 − ξk)
a očekávat platnost rovnosti
∞
−∞
f(x)
2
dx =
1
2π
∞
−∞
g(ξ)
2
dξ. (6.12)
Komplexní funkce g jedné reálné proměnné ξ ∈ (−∞, ∞) je zavedená formulí (6.8) pomocí reálné funkce f
jedné reálné proměnné x ∈ (−∞, ∞). Tuto relaci můžeme interpretovat jako přiřazení komplexní funkce g funkci
reálné f, nebo jako transformaci funkce f na funkci g. Formule (6.11) pak vyjadřuje zpětnou transformaci. Zatím
se však jedná o vyjádření pouze formální, nevíme, zda uvedené nevlastní integrály mají skutečný význam, zda
v nějakém smyslu konvergují. Lze ovšem dokázat, že pokud je funkce f : R → R absolutně integrovatelná, tj.
∞
−∞
f(x) dx < ∞
181
(ve smyslu definice 3.5.1), pak příslušné integrály konvergují.
Zavedeme množiny funkcí
F =



f : R → R :
∞
−∞
f(x) dx < ∞



a G =



g : R → C :
∞
−∞
g(x)
2
dx < ∞



a zobrazení
F : F → G, f → F(f) = ˆf
definované vztahem
ˆf(ξ) =
∞
−∞
f(x)e−ixξ
dx. (6.13)
Na množinách F a G je přirozeně definován součet a vnější součin
(f + g)(x) = f(x) + g(x) pro f, g ∈ F a x ∈ R nebo f, g ∈ G a x ∈ C,
(αf)(x) = αf(x) pro f ∈ F, α, x ∈ R nebo f ∈ G, α, x ∈ C,
množina F je tedy vektorovým prostorem nad polem reálných čísel a množina G je vektorovým prostorem nad
polem komplexních čísel. Zobrazení F je podle 3.3.5 lineární.
Zobrazení F nazýváme Fourierovou transformací funkce f, komplexní funkci ˆf = F(f) nazýváme Fourierovým
obrazem funkce f. Vztah funkce a jejího Fourierova obrazu je podle (6.12) dána rovností
∞
−∞
f(x)
2
dx =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)
2
dξ,
kterou nazýváme Plancherelova.
Přísně vzato, zobrazení F není prosté. Například pro dvě různé funkce
f1(x) = 0 a f2(x) =
0, x = 0,
1, x = 0
platí F(f1) = 0 = F(f2), tedy jádro lineárního zobrazení F není jednoprvkové. Proto (podobně jako při
konstrukci prostorů L2
) definujeme ekvivalenci ∼ na množinách F a G vztahy
pro f1, f2 ∈ F klademe f1 ∼ f2, pokud
∞
−∞
f1(x) − f2(x) e−ixξ
dx = 0 pro všechna ξ ∈ R,
pro g1, g2 ∈ G klademe g1 ∼ g2, pokud
∞
−∞
g1(x) − g2(x)
2
eixξ
dξ = 0 pro všechna x ∈ R
a ekvivalentní funkce z množin F, G ztotožňujeme. Pak již zobrazení F je prosté a tedy invertovatelné.
Inversní Fourierova transformace F−1
: G → F je podle (6.11) definována vztahem
f(x) =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eixξ
dξ. (6.14)
6.4.1 Vlastnosti Fourierovy transformace
Uvažujme funkci f ∈ F, která je navíc diferencovatelná. Pak je tato funkce podle 2.1.3 spojitá a podle 3.5.7
platí
lim
x→−∞
f(x) = 0 = lim
x→∞
f(x).
182
Odtud s využitím 3.1.10 a skutečnosti, že funkce e−ixξ
= cos xξ + i sin xξ má reálnou i imaginární část ohraničenou,
dostaneme
f′(ξ) =
∞
−∞
f′
(x)e−ixξ
dx = f(x)e−ixξ ∞
x=−∞
+ iξ
∞
−∞
f(x)e−ixξ
dx = iξ ˆf(ξ).
To znamená, že Fourierova transformace převádí derivaci funkce na násobení jejího obrazu ryze imaginárním
číslem; jinak řečeno, převádí infinitesimální operaci na operaci algebraickou.
6.5 Fourierův integrál
Buď f spojitá funkce definovaná na intervalu (−∞, ∞) taková, že
∞
−∞
|f(t)|dt konverguje. Dále buď ℓ > 0.
Podle 6.3.7 pro každé x ∈ −
ℓ
2
,
ℓ
2
je
f(x) =
a0
2
+
∞
n=1
an cos
2nπ
ℓ
x + bn sin
2nπ
ℓ
x ,
kde
an =
2
ℓ
ℓ
2
− ℓ
2
f(t) cos
2nπ
ℓ
tdt, n = 0, 1, 2, . . . bn =
2
ℓ
ℓ
2
− ℓ
2
f(t) sin
2nπ
ℓ
tdt, n = 1, 2, . . . .
Tedy
f(x) =
1
ℓ
ℓ
2
− ℓ
2
f(t)dt +
∞
n=1
2
ℓ
ℓ
2
− ℓ
2
f(t) cos
2nπ
ℓ
t cos
2nπ
ℓ
x + sin
2nπ
ℓ
t sin
2nπ
ℓ
x dt =
=
1
ℓ
ℓ
2
− ℓ
2
f(t)dt +
1
π
ℓ
2
− ℓ
2
f(t)
∞
n=1
2π
ℓ
cos
2nπ
ℓ
(t − x) dt .
Abychom dostali vzorec platný pro každé x ∈ (−∞, ∞), provedeme limitní přechod ℓ → ∞.
Z konvergence nevlastního integrálu
∞
−∞
|f(t)|dt plyne lim
ℓ→∞
ℓ
2
− ℓ
2
f(t)dt < ∞ a tedy
lim
ℓ→∞
1
ℓ
ℓ
2
− ℓ
2
f(t)dt = 0 .
Výraz
m
n=1
2π
ℓ
cos
2nπ
ℓ
(t − x)
je integrální součet příslušný k funkci g(λ) = cos λ(t−x), dělení D = 0,
2π
ℓ
,
4π
ℓ
, . . . ,
2mπ
ℓ
intervalu 0,
2mπ
ℓ
a výběru representantů
2π
ℓ
,
4π
ℓ
, . . . ,
2mπ
ℓ
(sr. 3.2.8). Lze tedy očekávat, že za jistých předpokladů bude platit
lim
ℓ→∞
∞
n=1
2π
ℓ
cos
2nπ
ℓ
(t − x) =
∞
0
cos λ(t − x)dλ
183
a také
f(x) =
1
π
∞
0


∞
−∞
f(t) cos λ(t − x)dt

 dλ =
1
π
∞
0

cos λx
∞
−∞
f(t) cos λtdt + sin λx
∞
−∞
f(t) sin λtdt

 dλ .
6.5.1 Věta
Nechť funkce f je definována na intervalu (−∞, ∞) s případnou výjimkou izolované množiny bodů. Je-li splněna
alespoň jedna z podmínek
(i) integrál
∞
−∞
f(t)dt absolutně konverguje,
(ii) funkce f a její derivace jsou po částech spojité na každém konečném intervalu, přičemž případné body
nespojitosti jsou prvního druhu a navíc platí lim
x→−∞
f(x) = lim
x→∞
f(x) = 0,
pak pro každé x ∈ R platí
1
2
lim
t→x+
f(t) + lim
t→x−
f(t) =
∞
0
(a(λ) cos λx + b(λ) sin λx) dλ ,
kde
a(λ) =
1
π
∞
−∞
f(t) cos λtdt, b(λ) =
1
π
∞
−∞
f(t) sin λtdt.
D.: V. Jarník, Integrální počet II, str. 524 – 533. (Věta je tam dokázána s poněkud obecnějšími předpoklady.)
Zejména je-li f v bodě x spojitá, platí
f(x) =
∞
0
(a(λ) cos λx + b(λ) sin λx) dλ .
Je-li funkce f sudá, pak
a(λ) =
2
π
∞
0
f(t) cos λtdt, b(λ) ≡ 0 ,
Je-li funkce f lichá, pak
a(λ) ≡ 0, b(λ) =
2
π
∞
0
f(t) sin λtdt.
Příklad: Funkci f(x) = e−αx
, 0 < x < ∞, α > 0 vyjádřit Fourierovým integrálem
a) jako sudou funkci
a(λ) =
2
π
∞
0
e−αt
cos λtdt =
2
π
∞
0
e−αt
Re eiλt
dt =
2
π
Re
∞
0
e(iλ−α)t
dt =
=
2
π
Re
1
iλ − α
e(iλ−α)t
∞
0
=
2
π
Re
1
iλ − α
=
2
π
Re
α + iλ
α2 + λ2
=
2α
π(α2 + λ2)
e−αx
=
2α
π
∞
0
cos λx
α2 + λ2
dλ
184
b) jako lichou funkci
b(λ) =
2
π
∞
0
e−αt
sin λtdt =
2
π
∞
0
e−αt
Im eiλt
dt =
2λ
π(α2 + λ2)
e−αx
=
2
π
∞
0
λ sin λx
α2 + λ2
dλ
6.6 Laplaceova transformace
Buď M množina reálných funkcí definovaných na intervalu (0, ∞) takových, že integrál
∞
0
f(t)e−pt
dt konverguje
a lim
t→∞
f(t)e−pt
= 0 pro všechna p > 0. Laplaceova transformace L převádí reálnou funkci f ∈ M na reálnou
funkci Lf definovanou na intervalu (0, ∞) vztahem
Lf(p) =
∞
0
f(t)e−pt
dt.
Z uvedeného definičního vztahu plyne, že Laplaceův obraz funkce f ∈ M je funkcí ohraničenou a že Laplaceova
transformace je lineární, tj.
L(c1f1 + c2f2)(p) = c1Lf1(p) + c2Lf2(p).
Obrazy některých funkcí v Laplaceově transformaci jsou uvedeny v tabulce 6.1.
Vypočítáme Laplaceův obraz derivace funkce:
L (f′
) (p) =
∞
0
f′
(t)e−pt
dt = f(t)e−pt ∞
t=0
+ p
∞
0
f(t)e−pt
dt = − lim
t→0+
f(t) + pLf(p).
Při označení f(0+) = lim
t→0+
f(t) tedy platí
L (f′
) (p) = pLf(p) − f(0+). (6.15)
6.6.1 Ukázka užití Laplaceovy transformace – negativní zpětná vazba
Uvažujme dvě veličiny x a y závislé na čase, tj. x = x(t), y = y(t). Tyto veličiny na sebe působí tak, že růst
veličiny x je úměrný velikosti veličiny y, a noaopak, pokles veličiny y je úměrný velikosti veličiny x. Navíc
předpokládejme, že na počátku, tj. v čase t = 0, je první veličina nulová a druhá jednotková. Veličiny x a y
chceme vyjádřit nějakým předpisem.
Změna veličiny je její derivace, tedy růst veličiny x je roven x′
(t), pokles veličiny y je roven −y′
(t). Označme
koeficienty úměrnosti α a βů jsou to kladná reálná čísla. Hledáme tedy funkce x = x(t) a y = y(t), které vyhovují
relacím
x′
(t) = αy(t), −y′
(t) = βx(t), x(0) = 0, y(0) = 1. (6.16)
Pro zjednodušení zápisu označíme
X(p) = L(x)(p), Y (p) = L(x)(p).
Využijeme linearitu Laplaceovy transformace, vztah (6.15), třetí a čtvrtou rovnost (6.16) a napíšeme Laplaceovy
obrazy prvních dvou rovnic (6.16). Dostaneme
pX(p) = αY (p), − pY (p) − 1 = βX(p),
po úpravě
pX(p) − αY (p) = 0,
βX(p) + pY (p) = 1.
185
f(t) Lf(p) =
∞
0
f(t)e−pt
dt f(t) Lf(p) =
∞
0
f(t)e−pt
dt
1
1
p
t sin ωt
2ωp
(p2 + ω2)2
t
1
p2
t cos ωt
p2
− ω2
(p2 + ω2)2
tn
, n = 1, 2, . . .
n!
pn+1
eat
sin ωt
ω
(p − a)2 + ω2
ta
, a > −1
Γ(a + 1)
pa+1
eat
cos ωt
p − a
(p − a)2 + ω2
eat 1
p − a
sin2
ωt
2ω2
p(p2 + 4ω2)
teat 1
(p − a)2
cos2
ωt
p2
+ 2ω2
p(p2 + 4ω2)
tn
eat
, n = 1, 2, . . .
n!
(p − a)n+1
sinh at
a
p2 − a2
tν
eat
, ν > −1
Γ(ν + 1)
(p − a)ν+1
cosh at
p
p2 − a2
sin ωt
ω
p2 + ω2
t sinh at
2ap
(p2 − a2)2
cos ωt
p
p2 + ω2
t cosh at
p2
+ a2
(p2 − a2)2
Tabulka 6.1: „Operátorový slovník“ pro Laplaceovu transformaci
To je soustava dvou rovnic pro neznámé X(p) a Y (p), její řešení je
X(p) =
α
p2 + αβ
=
α
β
√
αβ
p2 + αβ
, Y (p) =
p
p2 + αβ
.
Z osmého a devátého řádku v prvním sloupci Tabulky 6.1 nyní vidíme, že
x(t) =
α
β
sin αβ t, y(t) = cos αβ t.
6.7 Cvičení
Rozviňte ve Fourierovu řadu na intervalu [−π, π] funkce
1) f(x) = x2
2) f(x) = |x| 3) f(x) = | sin x|
Rozviňte ve Fourierovu řadu funkce
4) f(x) = ex
, x ∈ [−h, h] 5) f(x) = x, x ∈ [a, a + 2l] 6) f(x) = x cos x, x ∈ [−π
2 , π
2 ]
Rozviňte ve Fourierovu řadu periodické funkce
7) f(x) = sgn(cos x) 8) f(x) = arcsin(sin x) 9) f(x) = x − [x]
Rozviňte ve Fourierovu řadu 2π-periodické funkce, jestliže
10) f(x) = x pro x ∈ [0, π) a f je sudá,
11) f(x) = x pro x ∈ [0, π) a f je lichá,
12) f(x) = π
4 pro x ∈ [0, π) a f je lichá,
13) f(x) = π2
8 − πx
4 pro x ∈ [0, π) a f je sudá,
a určete součty těchto řad.
Najděte součty řad
186
14)
∞
k=1
(−1)k−1
k2 15)
∞
k=1
1
k2
16)
∞
k=1
1
(2k−1)2 17) 1 − 1
3 + 1
5 − 1
7 + . . .
18) 1 + 1
5 − 1
7 − 1
11 + 1
13 + 1
17 − . . . 19) 1 − 1
5 + 1
7 − 1
11 + 1
13 + . . .
Výsledky: 1)π2
3 + 4
∞
k=1
(−1)k
k2 cos kx 2) π
2 − 4
π
∞
k=0
1
(2k+1)2 cos(2k + 1)x 3) 2
π − 4
π
∞
k=1
1
(2k−1)(2k+1) cos 2kx
4) 2 sinh h 1
2h +
∞
k=1
(−1)k
h2+(kπ)2 (h cos kπx
h − πk sin kπx
h 5) a + l + 2l
π
∞
k=1
1
k (sin kπa
l cos kπx
l − cos kπa
l sin kπx
l )
6) 16
π
∞
k=1
(−1)k+1
k
(4k2−1)2 sin 2kx 7) 4
π
∞
k=0
(−1)k
2k+1 cos(2k + 1)x 8) 4
π
∞
k=0
(−1)k
(2k+1)2 sin(2k + 1)x 9) 1
2 − 1
π
∞
k=1
sin 2πkx
k
10) π
2 − 4
π
∞
k=0
1
(2k+1)2 cos(2k + 1)x 11) 2
∞
k=1
(−1)k−1
k sin kx 12)
∞
k=0
sin(2k+1)x
2k+1 13)
∞
k=1
cos(2k−1)x
(2k−1)2 14) π2
12 15) π2
6
16) π2
8 17) π
4 18) π
3 19) π
2
√
3
187
188
Kapitola 7
Diferenciální počet funkcí více
proměnných
7.1 Spojitost a limita
7.1.1 Definice
Buď M ⊆ Rn
, M = ∅. Zobrazení f : M → R nazveme (reálnou) funkcí n (reálných) proměnných.
Množina M se nazývá definiční obor funkce f a značí se Dom f, množina f(M) se nazývá obor hodnot funkce f
a značí se ℑf.
Zápis: y = f(x), y = f(x1, x2, . . . , xn)
pro n = 2 : z = f(x, y)
pro n = 3 : u = f(x, y, z)
a p.
7.1.2 Definice
Buď f funkce n proměnných. Řekneme, že tato funkce je ohraničená, je-li množina ℑf ohraničená (jakožto
podmnožina R).
Na množině Rn
uvažujeme některou z ekvivalentních metrik ρ1, ρ2, ρ∞ (sr. 5.1.2.3 a 5.3.9.1). Na množině
Dom f potom je příslušná indukovaná metrika. Funkci n proměnných lze tedy považovat za zobrazení metrického
prostoru Dom f na metrický prostor ℑf. O funkci f řekneme, že je spojitá, stejnoměrně spojitá, lipschitzovská,
je-li toto zobrazení spojité, stejnoměrně spojité, lipschitzovské. Lze použít všechna tvrzení z 5.5.
Nebude-li řečeno jinak, budeme používat maximální metriku ρ∞. V tomto případě
Oε(x) = Oε(x1, x2, . . . , xn) = (x1 − ε, x1 + ε) × (x2 − ε, x2 + ε) × · · · × (xn − ε, xn + ε).
Abychom mohli i pro funkce n proměnných zavést pojem nevlastní limity, definujme okolí nevlastních bodů:
x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ (R∗
)n
, O(x) = (a1, b1) × (a2, b2) × · · · × (an, bn)
kde ai =



xi − ε, xi ∈ R
−∞, xi = −∞
c ∈ R, xi = ∞
, bi =



xi + ε, xi ∈ R
∞, xi = ∞
c ∈ R, xi = −∞
, i = 1, 2, . . . , n.
7.1.3 Definice
Buď f funkce n proměnných, x0 hromadný bod množiny Dom f. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 limitu a ∈ R∗
a píšeme lim
x→x0
f(x) = a, jestliže ke každému O(a) existuje O(x0) takové, že pro každé x ∈ (O(x0)∩Dom f)\{x0}
platí f(x) ∈ O(a).
189
7.1.4 Věta (Heineova podmínka)
Funkce f n proměnných má v bodě x0 limitu a právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn}∞
n=1 takovou, že
xn ∈ Dom f pro každé n ∈ N, xn = x0 a xn → x0 platí f(xn) → a.
D.: Analogicky důkazu 5.5.3. Věta již byla dokonce obecněji zformulována za 5.5.12
7.1.5 Věta
1. Funkce f má v bodě x0 nejvýše jednu limitu.
2. Má-li funkce f v bodě x0 limitu a ∈ R, pak existuje okolí O(x0) takové, že funkce f je na
(O(x0) ∩ Dom f) \ {x0} ohraničená.
3. Nechť lim
x→x0
f(x) = 0 a existuje okolí O(x0) takové, že funkce g je na (O(x0) ∩ Dom f) \ {x0} ohraničená.
Pak lim
x→x0
f(x)g(x) = 0.
4. Nechť lim
x→x0
f(x) = a ∈ R, lim
x→x0
g(x) = b ∈ R. Pak platí:
lim
x→x0
|f(x)| = |a|.
lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = a + b.
lim
x→x0
(f(x) − g(x)) = a − b.
lim
x→x0
(f(x)g(x)) = ab.
Je-li navíc b = 0, pak lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
a
b
.
5. Nechť existuje okolí O(x0) takové, že pro x ∈ (O(x0) ∩ Dom f ∩ Dom g ∩ Dom h) \ {x0} platí
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).
Jestliže lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
h(x) = a ∈ R∗
, pak lim
x→x0
g(x) = a.
D.: Analogický důkazu podobných tvrzení v 1.6.
7.1.6 Věta (výpočet limity funkce dvou proměnných)
Funkce z = f(x, y) má v bodě (x0, y0) limitu a ∈ R právě tehdy, když existuje ρ > 0 a funkce g : (0, ρ) → [0, ∞)
taková, že lim
r→0+
g(r) = 0 a
|f(x0 + r cos ϕ, y0 + r sin ϕ) − a| ≤ g(r)
pro každé r ∈ (0, ρ) a každé ϕ ∈ [0, 2π).
D.: Na R2
uvažujme euklidovskou metriku ρ2.
Buď ε > 0 libovolné. Poněvadž lim
r→0+
g(r) = 0, existuje δ > 0 takové, že pro r ∈ (0, δ) je g(r) < ε.
Tedy pro x ∈ Oδ((x0, y0)) \ {(x0, y0)} platí |f(x, y) − a| < ε.
Příklad: f(x, y) =
x2
+ (y − 1)2
y
x2 + (y − 1)2
, (x0, y0) = (0, 1).
f(r cos ϕ, 1 + r sin ϕ) =
r2
cos2
ϕ + (1 + r sin ϕ)r2
sin2
ϕ
r2 cos2 ϕ + r2 sin2
ϕ
=
r2
+ r3
sin3
ϕ
r2
= 1 + r sin3
ϕ
lim
r→0+
(1 + r sin3
ϕ) = 1, což ukazuje, že a by se mohlo rovnat 1.
|f(r cos ϕ, 1 + r sin ϕ) − 1| = |r sin3
ϕ|
Poněvadž lim
r→0+
|r sin3
ϕ| = 0, je lim
(x,y)→(x0,y0)
x2
+ (y − 1)2
y
x2 + (y − 1)2
= 1.
190
7.2 Derivace
7.2.1 Definice
Buď f funkce n proměnných, x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) ∈ Dom f.
Položme ϕ(x) = f(x0
1, x0
2, . . . , x0
i−1, x, x0
i+1, x0
i+2, . . . , x0
n). Má-li funkce (jedné proměnné) ϕ v bodě x0
i vlastní
derivaci, nazveme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle i-té proměnné v bodě x0
a značíme ji
∂f
∂xi
(x0
),
fxi (x0
), f′
xi
(x0
), f′
|i(x0
).
∂f
∂xi
(x0
) = lim
x→x0
f(x0
1, x0
2, . . . , x0
i−1, x, x0
i+1, x0
i+2, . . . , x0
n) − f(x0
1, x0
2, . . . , x0
i−1, x0
i , x0
i+1, x0
i+2, . . . , x0
n)
x − x0
i
.
Má-li funkce f parciální derivaci fxi ve všech bodech nějaké množiny M ⊆ Dom f, je tato parciální derivace
sama funkcí. Značíme ji
∂f
∂xi
, fxi , f′
xi
, f′
|i.
7.2.2 Poznámky
1. Z definice 7.2.1 plyne jednoduché pravidlo pro výpočet parciálních derivací:
x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, xi+2, . . . , xn považujeme za parametry a xi za proměnnou, podle níž derivujeme.
2. Funkce, která má v bodě x0
parciální derivace podle všech proměnných, nemusí být v tomto bodě spojitá.
Např. f(x, y) =
1, xy = 0
0, xy = 0
, fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0 a f není spojitá v (0, 0).
7.2.3 Věta
Nechť funkce f a g mají na otevřené množině M ⊆ Dom f ∩ Dom g parciální derivaci f′
|i, g′
|i. Pak jejich součet,
rozdíl a součin mají parciální derivaci podle i-té proměnné na M a platí:
(f ± g)′
|i(x) = f′
|i(x) ± g′
|i(x),
(fg)′
|i(x) = f′
|i(x)g(x) + f(x)g′
|i(x),
Ve všech bodech množiny M, v nichž g(x) = 0 navíc platí
f
g
′
|i
(x) =
f′
|i(x)g(x) − f(x)g′
|i(x)
(g(x))2
.
D.: Plyne z 2.1.5.
7.2.4 Věta (o střední hodnotě)
Nechť funkce f má parciální derivace ve všech bodech množiny [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an, bn] ⊆ Dom f podle
všech proměnných. Pak existují čísla ξ1 ∈ (a1, b1), ξ2 ∈ (a2, b2), . . . ξn ∈ (an, bn) taková, že
f(b1, b2, . . . , bn) − f(a1, a2, . . . , an) =
∞
i=1
f′
|i(b1, b2, . . . , bi−1, ξi, ai+1, ai+2, . . . , an)(bi − ai) .
Zejména pro n = 2: f(x1, y1) − f(x0, y0) = fx(ξ, y0)(x1 − x0) + fy(x1, η)(y1 − y0), kde ξ ∈ (x0, x1), η ∈ (y0, y1).
D.: Provedeme pro n = 2. S využitím 2.3.3 dostaneme:
f(x1, y1)− f(x0, y0) = f(x1, y1)− f(x1, y0)+ f(x1, y0)− f(x0, y0) = fy(x1, η)(y1 − y0)+ fx(ξ, y0)(x1 − x0).
7.2.5 Definice
Nechť funkce f má parciální derivaci podle i-té proměnné na otevřené množině M ⊆ Dom f, x0
∈ M. Existuje-li
parciální derivace funkce f′
|i podle j-té proměnné v bodě x0
, nazveme tuto derivaci druhou parciální derivací
funkce f podle i-té a j-té proměnné a značíme ji
∂2
f
∂xi∂xj
(x0
), fxixj (x0
), f′′
xixj
(x0
), f′′
|i,j(x0
). V případě, že i = j,
191
mluvíme o smíšené parciální derivaci.
Analogicky definujeme parciální derivace vyšších řádů v bodě x0.
Také parciální derivace vyšších řádů lze považovat za funkce.
7.2.6 Věta (Schwarz [1843 – 1921])
Nechť funkce f má parciální derivace fxixj , fxj xi spojité v bodě x0
. Pak jsou tyto derivace záměnné, tj.
fxixj (x0
) = fxj xi (x0
).
D.: Provedeme pro n = 2.
Položme F(h) =
f(x0 + h, y0 + h) − f(x0 + h, y0) − f(x0, y0 + h) + f(x0, y0)
h2
ϕ(y) = f(x0 + h, y) − f(x0, y), ψ(x) = f(x, y0 + h) − f(x, y0).
S využitím 2.3.3 dostaneme
F(h)=
1
h2
(ϕ(y0 + h) − ϕ(y0)) =
1
h2
ϕ′
(y0 + ϑ1h)h =
=
1
h
(fy(x0 + h, y0 + ϑ1h) − fy(x0, y0 + ϑ1h)) =
1
h
fyx(x0 + ϑ2h, y0 + ϑ1h)h =
= fyx(x0 + ϑ2h, y0 + ϑ1h), kde ϑ1, ϑ2 ∈ (0, 1).
Analogicky odvodíme
F(h) =
1
h2
(ψ(x0 + h) − ψ(x0)) = fxy(x0 + ϑ3h, y0 + ϑ4h), kde ϑ3, ϑ4 ∈ (0, 1).
Tedy fyx(x0 + ϑ2h, y0 + ϑ1h) = fxy(x0 + ϑ3h, y0 + ϑ4h) a ze spojitosti druhých parciálních derivací plyne
pro h → 0: fyx(x0, y0) = fxy(x0, y0).
7.2.7 Důsledek
Má-li funkce f na otevřené množině M ⊆ Dom f spojité parciální derivace až do řádu m, pak hodnota m-té
parciální derivace v libovolném bodě této množiny závisí pouze na tom, kolikrát se derivovalo podle i-té proměnné
(i = 1, 2, . . ., n), nikoliv na pořadí, v jakém se derivovalo.
7.2.8 Definice
Buď Vn n-rozměrný vektorový prostor nad R, f funkce n proměnných, x0
∈ Dom f, v ∈ Vn.
Položme ϕ(t) = f(x0
+ tv). Má-li funkce ϕ derivaci v bodě 0, nazveme tuto derivaci derivací funkce f ve směru
v v bodě x0
(směrovou derivací) a značíme ji f′
v(x0
), fv(x0
).
Má-li funkce f derivaci ve směru v ve všech bodech nějaké množiny M ⊆ Dom f, je tato směrová derivace
sama funkcí, značíme ji fv.
fv(x) = lim
t→0
f(x + tv) − f(x)
t
.
7.2.9 Poznámky
1. Je-li ei = (0, 0, . . ., 0,
i
1 , 0, 0, . . . , 0) (e1, e2, . . . , en je standardní báze Vn), pak fei
= f′
|i.
2. Pro směrové derivace platí:
(f ± g)v = fv ± gv,
(fg)v = fvg + fgv,
f
g v
=
fvg − fgv
g2
.
3. Existují-li směrové derivace fv(x0
) pro všechny v ∈ Vn, funkce f nemusí být spojitá v x0
.
Např. f(x, y) =
1, y = x2
, x > 0
0, jinak
má derivace v (0,0) v jakémkoliv směru, ale není v tomto bodě spojitá.
192
7.2.10 Věta (o střední hodnotě)
Nechť funkce f má derivaci ve směru v ve všech bodech úsečky {x : x = x0
+ tv, t ∈ [0, t0]}. Pak existuje
ϑ ∈ (0, 1), že platí
f(x0
+ t0v) − f(x0
) = t0fv(x0
+ ϑt0v) .
D.: Položme ϕ(t) = f(x0
+tv). Podle předpokladu pro každé t ∈ [0, t0] existuje ϕ′
(t). To podle 2.1.3 znamená,
že ϕ je spojitá na [0, t0]. Odtud dále podle 2.3.3 plyne ϕ(t0) − ϕ(0) = ϕ′
(ϑt0)t0, což je tvrzení.
7.2.11 Věta
Buď f funkce n proměnných, v ∈ Vn. Jestliže existuje fv(x), pak pro každé c ∈ R existuje fcv(x) a platí
fcv(x) = cfv(x).
D.: fcv(x) = lim
t→0
f(x + tcv) − f(x)
t
= lim
t→0
c
f(x + tcv) − f(x)
ct
= cfv(x).
7.2.12 Věta
Buď f funkce n proměnných, u ∈ Vn, v ∈ Vn, x0
∈ Dom f. Nechť fu existuje v x0
a je spojitá v nějakém okolí
O(x0
) a nechť fv(x0
) existuje. Pak existuje fu+v(x0
) a platí fu+v(x0
) = fu(x0
) + fv(x0
).
D.: Položme ϕ(t) = f(x0
+ t(u + v)). S využitím 7.2.10 dostaneme
ϕ(t) − ϕ(0)
t
=
f(x0
+ tu + tv) − f(x0
+ tv) + f(x0
+ tv) − f(x0
)
t
=
=
f(x0
+ tu + tv) − f(x0
+ tv)
t
+
f(x0
+ tv) − f(x0
)
t
=
=
tfu(x0
+ ϑtv)
t
+
f(x0
+ tv) − f(x0
)
t
→ fu(x0
) + fv(x0
) pro t → 0.
Poznámka: Předpoklad o spojitosti fu v nějakém okolí O(x0
) obecně nelze vynechat.
Např.: f(x, y) =



xy(x + y)
x2 + y2
, (x, y) = (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
, (x0
, y0
) = (0, 0), u = (1, 0), v = (0, 1).
fu(0, 0) = lim
t→0
t0(t + 0)
t3
= 0, fv(0, 0) = lim
t→0
0t(0 + t)
t3
= 0, fu(0, 0) + fv(0, 0) = 0,
fu+v(0, 0) = lim
t→0
tt(t + t)
t(t2 + t2)
= 1.
7.2.13 Definice
Buď f funkce n proměnných, x0
∈ Dom f a nechť má f v x0
derivaci ve směru každého vektoru v ∈ Vn a nechť
funkce ϕ : Vn → R daná předpisem ϕ(v) = fv(x0
) je lineární formou na Vn, což znamená, že existuje vektor
a ∈ Vn takový, že ϕ(v) = a · v, kde · značí skalární součin. Pak vektor a nazveme derivací (gradientem) funkce
f v bodě x0
a značíme a = f′
(x0
) = ∇f(x0
) = grad f(x0
).
Má-li funkce f derivaci ve všech bodech nějaké množiny M ⊆ Dom f, pak je tato derivace zobrazením
M → Vn (vektorovou funkcí). Značíme ji f′
, ∇f, grad f.
7.2.14 Poznámky
1. Nechť funkce f má derivaci ve směru každého vektoru v ∈ Vn která je spojitou funkcí na otevřené množině
M ⊆ Dom f. Pak podle 7.2.11 a 7.2.12 má f na M derivaci.
2. Nechť f′
(x0
) = a = (a1, a2, . . . , an), ϕ(v) = fv(x0
) = a · v, ei = (0, 0, . . . , 0,
i
1 , 0, 0, . . ., 0).
Pak ϕ(ei) = a · ei = ai.
Tedy ai = fei
(x0
) = f′
|i(x0
), f′
(x0
) = (f′
|1, f′
|2, . . . , f′
|n, ).
193
3. Funkce, která má v bodě x0 derivaci, nemusí být v tomto bodě spojitá. (Stejný příklad jako v 7.2.9.3)
4. Geometrický význam derivace:
Nechť f má derivaci v bodě x0
∈ Dom f. Pak pro libovolný vektor v ∈ Vn platí
fv(x0
) = f′
(x0
) · v = ||f′
(x0
)|| ||v|| cos α, kde α je úhel, který svírají vektory f′
(x0
), v.
Odtud plyne, že fv(x0
) je maximální pro cos α = 1, tj. pro α = 0, tedy v případě, že vektory f′
(x0
) a v
jsou rovnoběžné. To znamená, že směrová derivace je největší ve směry f′
(x0
).
Gradient — směr, ve kterém funkce nejrychleji roste.
7.3 Diferenciál
7.3.1 Definice
Nechť f je funkce n proměnných, x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) vnitřní bod Dom f. Řekneme, že funkce f je diferencovatelná
v bodě x0
, jestliže existují reálná čísla a1, a2, . . . , an taková, že platí
lim
(h1,h2,...,hn)→(0,0,...,0)
f(x0
1 + h1, x0
2 + h2, . . . , x0
n + hn) − f(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) − (a1h1 + a2h2 + · · · + anhn)
h2
1 + h2
2 + · · · + h2
n
= 0 .
Lineární funkce df(x0
) daná předpisem (h1, h2, . . . , hn) → (a1h1 + a2h2 + · · · + anhn) se nazývá (totální)
diferenciál funkce f v bodě x0
.
Ekvivalentní formulace: Funkce f je diferencovatelná v bodě x0
, jestliže existují reálná čísla a1, a2, . . . , an a
funkce n proměnných τ tak, že
f(x0
1 + h1, x0
2 + h2, . . . , x0
n + hn) − f(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) =
= (a1h1 + a2h2 + · · · + anhn) + h2
1 + h2
2 + · · · + h2
n τ(h1, h2, . . . , hn) ,
přičemž
lim
(h1,h2,...,hn)→(0,0,...,0)
τ(h1, h2, . . . , hn) = 0 .
Definice 7.3.1 je v souladu s definicí 2.2.3
h2
1 + h2
2 + · · · + h2
n je euklidovská vzdálenost bodu (h1, h2, . . . , hn) od počátku soustavy souřadnic. Místo
ní lze uvažovat vzdálenost v libovolné ekvivalentní metrice.
7.3.2 Věta
Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x0
, pak je v tomto bodě spojitá.
D.: f(x) − f(x0
) = f(x0
1 + (x1 − x0
1), x0
2 + (x2 − x0
2), . . . , x0
n + (xn − x0
n)) − f(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) =
=(a1(x1 − x0
1) + a2(x2 − x0
2) + · · · + an(xn − x0
n)+
+ (x1 − x0
1)2 + (x2 − x0
2)2 + · · · + (xn − x0
n)2 τ((x1 − x0
1), (x2 − x0
2), . . . , (xn − x0
n)),
z čehož plyne lim
x→x0
f(x) = f(x0
).
7.3.3 Věta
Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x0
, pak má v tomto bodě parciální derivace podle všech proměnných a
platí a1 = f′
|1(x0
), a2 = f′
|2(x0
), . . . , an = f′
|n(x0
), neboli df(x0
)(h1, h2, . . . , hn) =
n
i=1
f′
|i(x0
)hi.
D.: Z 7.3.1 a 7.2.1 plyne
0 = lim
h→0
f(x0
1, x0
2, . . . , x0
i−1, x0
i + h, x0
i+1, . . . , x0
n) − f(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) − aih
|h|
=
f′
|i(x0) − ai, h ≥ 0
ai − f′
|i(x0), h < 0
a tedy f′
|i(x0) = ai.
194
7.3.4 Věta
Má-li funkce n proměnných f v bodě x0
spojité parciální derivace podle všech proměnných, pak je v tomto
bodě diferencovatelná.
D.: Pro stručnost zápisu provedeme pro n = 2.
Ze spojitosti parciálních derivací plyne jejich existence v jistém okolí bodu (x0, y0).
S využitím 7.2.4 dostaneme:
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) − fx(x0, y0)h − fy(x0, y0)k
√
h2 + k2
=
= lim
(h,k)→(0,0)
fx(x0 + ϑ1h, y0)h + fy(x0 + h, y0 + ϑ2k)k − fx(x0, y0)h − fy(x0, y0)k
√
h2 + k2
=
= lim
(h,k)→(0,0)
(fx(x0 +ϑ1h, y0)−fx(x0, y0))
h
√
h2 + k2
+ lim
(h,k)→(0,0)
(fy(x0+h, y0+ϑ2k)−fy(x0, y0))
k
√
h2 + k2
=
= 0.
Poslední rovnost plyne z 7.1.5.3, neboť fx a fy jsou spojité a
h
√
h2 + k2
≤ 1,
k
√
h2 + k2
≤ 1.
7.3.5 Poznámky
1. Podobně jako za větou 2.2.5 lze zdůvodnit, že přírůstky h1, h2, . . . , hn nezávisle proměnných můžeme
označit dx1, dx2, . . . , dxn.
Diferenciál pak zapíšeme df(x0
) =
n
i=1
f′
|i(x0
)dxi =
∂f(x0
)
∂x1
dx1 +
∂f(x0
)
∂x2
dx2 + · · · +
∂f(x0
)
∂xn
dxn.
d =
∂
∂x1
dx1 +
∂
∂x2
dx2 + · · · +
∂
∂xn
dxn
Zejména: df(x, y) = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy
df = fxdx + fydy =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
d =
∂
∂x
dx +
∂
∂y
dy
2. Tečná rovina
Rovina z = ax + by + c v prostoru R3
se nazývá tečná rovina ke grafu funkce z = f(x, y) v bodě
T = (x0, y0, f(x0, y0)), jestliže
f(x0, y0) = ax0 + by0 + c ,
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) − ax − by − c
(x − x0)2 + (y − y0)2
= 0 .
Z těchto rovnic dostaneme:
0= lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) − f(x0, y0) + f(x0, y0) − ax − by − c
(x − x0)2 + (y − y0)2
=
= lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) − f(x0, y0) − a(x − x0) − b(x − y0)
(x − x0)2 + (y − y0)2
.
Podle 7.3.1 je tedy df(x, y)(x − x0, y − y0) = a(x − x0) + b(y − y0), takže podle 7.3.3
a = fx(x0, y0), b = fy(x0, y0).
Z první rovnice dostaneme c = f(x0, y0) − x0fx(x0, y0) − y0fy(x0, y0).
Rovnice tečné roviny tedy je z = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) + f(x0, y0).
Označíme-li z0 = f(x0, y0), je rovnice tečné roviny
z − z0 = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)) · (x − x0, y − y0),
neboli
z − z0 = f′
(x0, y0) · (x − x0, y − y0).
195
Obecně v (n + 1)-rozměrném prostoru je rovnice tečné nadroviny ke grafu funkce n proměnných y = f(x)
v bodě x0
y − f(x0
) = f′
(x0
) · (x − x0
).
3. Geometrický význam diferenciálu: přírůstek funkce měřený na tečné nadrovině.
f(x) ≈ f(x0
) + df(x0
)(x − x0
).
4. Příklad funkce dvou proměnných, která má v bodě (0, 0) derivaci, je v tomto bodě spojitá, ale k jejímu
grafu neexistuje v tomto bodě tečná rovina:
f(x, y) =



x, y = x2
, x > 0
2y
x
− x,
x2
2
< y < x2
, x > 0
2x −
y
x
, x2
< y < 2x2
, x > 0
0, jinak
Spojitost a existence derivace v daném bodě tedy ještě nezaručí diferencovatelnost funkce.
7.3.6 Definice
Řekneme, že funkce n proměnných f je třídy Cm
v bodě x0
∈ Dom f, existuje-li okolí O(x0
) bodu x0
takové, že
O(x0
) ⊆ Dom f a funkce f má na O(x0
) spojité všechny parciální derivace až do řádu m včetně.
Řekneme, že funkce n proměnných f je třídy Cm
na otevřené množině M ⊆ Dom f, je-li třídy Cm
v každém
bodě množiny M.
Řekneme, že funkce n proměnných f je třídy C∞
v bodě x0
∈ Dom f, je-li v tomto bodě třídy Cm
pro každé
m ∈ N.
Řekneme, že funkce n proměnných f je třídy C∞
na otevřené množině M ⊆ Dom f, je-li třídy C∞
v každém
bodě množiny M.
Z 7.3.4 plyne, že funkce třídy C1
v bodě x0
je v tomto bodě diferencovatelná.
7.3.7 Definice
Nechť funkce n proměnných f je třídy Cm
v bodě x0
. Diferenciál m-tého řádu funkce f v bodě x0
definujeme
vztahem
dm
f(x0
)(h1, h2, . . . , hn) =
i1+i2+···+in=m
m!
i1!i2! · · · in!
∂m
f(x0
)
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
hi1
1 hi2
2 · · · hin
n
dm
f(x0
) =
i1+i2+···+in=m
m!
i1!i2! · · · in!
∂m
f(x0
)
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
dxi1
1 dxi2
2 · · · dxin
n =
=
∂
∂x1
dx1 +
∂
∂x2
dx2 + · · · +
∂
∂xn
dxn
m
f(x0
)
dm
=
∂
∂x1
dx1 +
∂
∂x2
dx2 + · · · +
∂
∂xn
dxn
m
Zejména pro n = 2:
dm
f(x0, y0)(h, k) =
n
i=0
m
i
∂m
f(x0, y0)
∂xi∂ym−i
hi
km−i
dm
f(x0, y0) =
n
i=0
m
i
∂m
f(x0, y0)
∂xi∂ym−i
dxi
dym−i
=
∂
∂x
dx +
∂
∂y
dy
m
f(x0y0)
d2
f = fxxdx2
+ 2fxydxdy + fyydy2
d3
f = fxxxdx3
+ 3fxxydx2
dy + 3fxyydxdy2
+ fyyydy3
196
7.3.8 Definice
Buďte g1, g2, . . . , gn funkce n proměnných. Funkce n proměnných F se nazývá kmenová funkce diferenciálu
g1(x1, x2, . . . , xn)dx1 + g2(x1, x2, . . . , xn)dx2 + · · · + gn(x1, x2, . . . , xn)dxn
na otevřené množině M ⊆
n
i=1
Dom gi, jestliže na této množině platí
F′
|1(x) = g1(x), F′
|2(x) = g2(x), . . . , F′
|n(x) = gn(x), tj. dF =
n
i=1
gidxi.
7.3.9 Věta
Nechť g1, g2, . . . , gn jsou funkce n proměnných, které jsou třídy C1
na otevřené množině M ⊆
n
i=1
Dom gi.
Kmenová funkce diferenciálu g1dx1 + g2dx2 + · · · + gndxn existuje právě tehdy, když
∂gi
∂xj
=
∂gj
∂xi
pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n, i = j.
D.: Provedeme pro n = 2.
⇒: Nechť existuje kmenová funkce F, dF = g1dx + g2dy. Pak Fx = g1, Fy = g2.
Derivace Fxy = g1y, Fyx = g2x jsou spojité a tedy podle 7.2.6 záměnné. To znamená, že
∂g1
∂y
= Fxy = Fyx =
∂g2
∂x
.
⇐: Nechť
∂g1
∂y
=
∂g2
∂x
. Pro (x0, y0), (x, y) ∈ M takové, že {(x0 +t(x−x0), y0 +t(y−y0)) : t ∈ [0, 1]} ⊆ M
položme F(x, y) =
x
x0
g1(t, y)dt +
y
y0
g2(x0, t)dt. Pak podle 3.4.3
Fx(x, y) = g1(x, y).
Dále s využitím 2.3.3 dostaneme
∂
∂y
x
x0
g1(t, y)dt = lim
h→0
x
x0
g1(t, y + h)dt −
x
x0
g1(t, y)dt
h
=
= lim
h→0
x
x0
g1(t, y + h) − g1(t, y)
h
dt = lim
h→0
x
x0
g′
1|2(t, y + ϑh)dt =
= lim
h→0
x
x0
g′
2|1(t, y + ϑh)dt = lim
h→0
(g2(x, y + ϑh) − g2(x0, y + ϑh) =
= g2(x, y) − g2(x0, y)
Odtud Fy(x, y) = g2(x, y) − g2(x0, y) + g2(x0, y) = g2(x, y).
7.4 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec
7.4.1 Věta (řetězové pravidlo)
Nechť f je funkce m proměnných a g1, g2, . . . , gm jsou funkce n proměnných, které mají spojité parciální derivace
prvního řádu v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n). Označme u0
1 = g1(x0
), u0
2 = g2(x0
), . . . , u0
m = gm(x0
). Je-li
funkce z = f(u1, u2, . . . , um) diferencovatelná v bodě (u0
1, u0
2, . . . , u0
n), pak má složená funkce n proměnných
197
z = F(x1, x2, . . . , xn) = f(g1(x1, x2, . . . , xn), g2(x1, x2, . . . , xn), . . . , gn(x1, x2, . . . , xn)) parciální derivace prvního
řádu v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) a platí
F′
|i(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) =
m
j=1
f′
|j(u0
1, u0
2, . . . , u0
n)g′
j|i(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) =
m
j=1
∂f
∂uj
(u0
1, u0
2, . . . , u0
n)
∂gj
∂xi
(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) ,
stručně
∂z
∂xi
=
∂z
∂u1
∂u1
∂xi
+
∂z
∂u2
∂u2
∂xi
+ · · · +
∂z
∂um
∂um
∂xi
,
nebo
zxi = zu1 u1xi + zu2 u2xi + · · · + zun unxi .
D.: Provedeme pro m = n = 2, u = u(x, y), v = v(x, y), u0 = u(x0, y0), v0 = v(x0, y0),
z = F(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)).
∂F
∂x
(x0, y0) = lim
h→0
F(x0 + h, y0) − F(x0, y0)
h
= lim
h→0
f(u(x0 + h, y0), v(x0 + h, y0)) − f(u(x0, y0), v(x0, y0))
h
.
Poněvadž f je diferencovatelná v (u0, v0), existuje podle 7.3.1 a 7.3.3 funkce τ = τ(h, k) taková, že
lim
(h,k)→(0,0)
τ(h, k) = 0 a
f(u(x0 + h, y0), v(x0 + h, y0)) − f(u0, v0) =
= fu(u0, v0)(u(x0 + h, y0) − u0) + fv(u0, v0)(v(x0 + h, y0) − v0)+
+ (u(x0 + h, y0) − u0)2 + (v(x0 + h, y0) − v0)2 τ(u(x0 + h, y0) − u0, v(x0 + h, y0) − v0) .
Označme α(h) = (u(x0 + h, y0) − u0)2 + (v(x0 + h, y0) − v0)2 τ(u(x0 + h, y0) − u0, v(x0 + h, y0) − v0).
Pak
∂F
∂x
(x0, y0) = lim
h→0
1
h
(fu(u0, v0)(u(x0 + h, y0) − u0) + fv(u0, v0)(v(x0 + h, y0) − v0) + α(h)) =
= fu(u0, v0)ux(x0, y0) + fv(u0, v0)vx(x0, y0) + lim
h→0
α(h)
h
.
Ukážeme, že lim
h→0
α(h)
h
= 0: Podle 2.3.6
lim
h→0
(u(x0 + h, y0) − u0)2
+ (v(x0 + h, y0) − v0)2
h2
=
= lim
h→0
2(u(x0 + h, y0) − u0)ux(x0 + h, y0) + 2(v(x0 + h, y0) − v0)vx(x0 + h, y0)
2h
=
= (ux(x0, y0))2
+ (vx(x0, y0))2
,
tedy funkce
(u(x0 + h, y0) − u0)2 + (v(x0 + h, y0) − v0)2
h
je ohraničená a tvrzení plyne z 7.1.5.3.
Dokázali jsme tedy
∂F
∂x
(x0, y0) = fu(u0, v0)ux(x0, y0) + fv(u0, v0)vx(x0, y0) .
Analogicky dokážeme
∂F
∂y
(x0, y0) = fu(u0, v0)uy(x0, y0) + fv(u0, v0)vy(x0, y0) .
198
7.4.2 Poznámky
1. Vzorce ve větě 7.4.1 lze zapsat maticově:
∂z
∂x1
,
∂z
∂x2
, . . . ,
∂z
∂xn
=
∂z
∂u1
,
∂z
∂u2
, . . . ,
∂z
∂um












∂u1
∂x1
,
∂u1
∂x2
, . . . ,
∂u1
∂xn
∂u2
∂x1
,
∂u2
∂x2
, . . . ,
∂u2
∂xn
...
...
...
...
∂um
∂x1
,
∂um
∂x2
, . . . ,
∂um
∂xn












2. Pomocí řetězového pravidla lze počítat i druhé parciální derivace:
Nechť funkce u = u(x, y), v = v(x, y) mají druhé parciální derivace v bodě (x0, y0). Označme
u0 = u(x0, y0), v0 = v(x0, y0). Je-li funkce z = f(u, v) třídy C2
v bodě (u0, v0), pak složená funkce
z = F(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) má druhé parciální derivace v bodě (x0, y0) a v něm platí
Fxx = fuuu2
x + 2fuvuxvx + fvvv2
x + fuuxx + fvvxx
Fxy = fuuuxuy + fuv(uxvy + uyvx) + fvvvxvy + fuuxy + fvvxy
Fyy = fuuu2
y + 2fuvuyvy + fvvv2
y + fuuyy + fvvyy
D.: Odvodíme první formuli. Ostatní lze odvodit analogicky.
Fxx = (zx)x = (zuux + zvvx)x = (zu)xux + zuuxx + (zv)xvx + zvvxx =
= (zuuux + zuvvx)ux + (zvuux + zvvvx)vx + zuuxx + zvvxx =
= zuuu2
x + zuvuxvx + zvuuxvx + zvvv2
x + zuuxx + zvvxx .
Odtud již plyne dokazovaná formule, neboť podle 7.3.6 a 7.2.6 je zuv = zvu = fuv.
3. Předchozí vzorce si lze pamatovat pomocí formální mocniny nebo součinu. Např.:
∂
∂u
∂u
∂x
+
∂
∂v
∂v
∂x
2
=
∂2
∂u2
∂u
∂x
2
+ 2
∂2
∂u∂v
∂u
∂x
∂v
∂x
+
∂2
∂v2
∂v
∂x
2
,
což jsou první tři členy prvního vzorce.
4. Analogicky lze počítat i derivace vyšších řádů.
7.4.3 Věta (Taylor)
Nechť funkce n proměnných f je v bodě x0 = (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) třídy Cm+1
, tj, existuje okolí O(x0
) bodu x0
takové, že f má na něm spojité parciální derivace až do řádu m + 1 včetně. Buď x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ O(x0
).
Pak existuje ϑ ∈ (0, 1) takové, že platí
f(x1, x2, . . . , xn) = f(x0
1, x0
2, . . . , x0
n)+
+
1
1!
(fx1 (x0
1, x0
2, . . . , x0
n)(x1 − x0
1) + fx2 (x0
1, x0
2, . . . , x0
n)(x2 − x0
2) + · · · + fxn (x0
1, x0
2, . . . , x0
n)(xn − x0
n)) + · · · +
+
1
m! i1+i2+···+in=m
m!
i1!i2! · · · in!
∂m
f(x0
1, x0
2, . . . , x0
n)
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
(x1 − x0
1)i1
(x2 − x0
2)i2
· · · (xn − x0
n)in
+
+
1
(m + 1)! i1+···+in=m+1
(m + 1)!
i1!i2! · · · in!
∂m
f(x0
1 + ϑ(x1 − x0
1), . . . , x0
n + ϑ(xn − x0
n))
∂xi1
1 · · · ∂xin
n
(x1 − x0
1)i1
· · · (xn − x0
n)in
.
D.: Položme F(t) = f(x0
1 + t(x1 − x0
1), x0
2 + t(x2 − x0
2), . . . , x0
n + t(xn − x0
n)). Tvrzení nyní plyne z 2.4.8, 7.4.1
a 7.4.2.4
199
Vzorec v předchozí větě se nazývá Taylorův.
Polynom n proměnných
Tm(x1, x2, . . . , xn) = f(x0
1, x0
2, . . . , x0
n)+
+
1
1!
(fx1 (x0
1, x0
2, . . . , x0
n)(x1 − x0
1) + fx2 (x0
1, x0
2, . . . , x0
n)(x2 − x0
2) + · · · + fxn (x0
1, x0
2, . . . , x0
n)(xn − x0
n)) + · · · +
+
1
m! i1+i2+···+in=m
m!
i1!i2! · · · in!
∂m
f(x0
1, x0
2, . . . , x0
n)
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
(x1 − x0
1)i1
(x2 − x0
2)i2
· · · (xn − x0
n)in
+
se nazývá Taylorův polynom m-tého stupně funkce f se středem x0
a výraz
Rm(x1, x2, . . . , xn) =
=
1
(m + 1)! i1+···+in=m+1
(m + 1)!
i1!i2! · · · in!
∂m
f(x0
1 + ϑ(x1 − x0
1), . . . , x0
n + ϑ(xn − x0
n))
∂xi1
1 · · · ∂xin
n
(x1 − x0
1)i1
· · · (xn − x0
n)in
se nazývá zbytek v Taylorově vzorci.
Taylorův vzorec lze stručněji zapsat pomocí diferenciálů:
Tm(x) = f(x0
) +
1
1!
df(x0
)(x1 − x0
1, . . . , xn − x0
n) +
1
2!
d2
f(x0
)(x1 − x0
1, . . . , xn − x0
n) + · · · +
+
1
m!
dm
f(x0
)(x1 − x0
1, . . . , xn − x0
n)
Rm(x) =
1
(m + 1)!
dm+1
f(x0
)(x0
1 + ϑ(x1 − x0
1), . . . , x0
n + ϑ(xn − x0
n))
7.5 Průběh funkce více proměnných
7.5.1 Definice
Řekneme, že funkce f nabývá v bodě x∗
lokálního maxima (resp. minima), jestliže existuje okolí O(x∗
) bodu x∗
takové, že O(x∗
) ⊆ Dom f a pro každé x ∈ O(x∗
) platí f(x) ≤ f(x∗
) (resp. f(x) ≥ f(x∗
)).
Jsou-li tyto nerovnosti pro x = x∗
ostré, mluvíme o ostrém lokálním maximu (resp. minimu).
(Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrnně (ostré) lokální extrémy.
7.5.2 Příklad
1. f(x, y) = x2 + y2 má v bodě (x∗
, y∗
) ostré lokální minimum, neboť f(x, y) > 0 = f(0, 0) pro každý
(x, y) ∈ R2
\ {(0, 0)}.
2. f(x, y) =
1, (x, y) = (0, 0)
0, jinak
má v bodě (x∗
, y∗
) ostré lokální maximum.
V bodě ostrého lokálního extrému funkce nemusí být diferencovatelná ani spojitá.
7.5.3 Definice
Řekneme, že x∗
∈ Rn
je stacionárním bodem funkce f, jestliže f má v tomto bodě parciální derivace podle všech
proměnných a platí
f′
|1(x∗
) = f′
|2(x∗
) = · · · = f′
|n(x∗
) = 0 .
200
7.5.4 Věta
Nechť funkce f má v bodě x∗
∈ Rn
lokální extrém a nechť v tomto bodě existují všechny parciální derivace
funkce f. Pak x∗
je stacionárním bodem funkce f.
D.: Kdyby f′
|i(x∗
) > 0, pak by podle 2.5.2 existovalo ε > 0, že
f(x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
i−1, x∗
i − ε, x∗
i+1, . . . , x∗
n) < f(x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
i−1, x∗
i , x∗
i+1, . . . , x∗
n)
f(x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
i−1, x∗
i + ε, x∗
i+1, . . . , x∗
n) > f(x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
i−1, x∗
i , x∗
i+1, . . . , x∗
n)
a tedy by v x∗
nemohl být lokální extrém.
Podobně vyloučíme možnost f′
|i(x∗
) < 0.
Poznámka: Stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. f(x, y) = x2
−y2
, (x∗
, y∗
) = (0, 0).
7.5.5 Definice
Je-li x∗
∈ Rn
stacionárním bodem funkce f a f přitom nenabývá v x∗
lokálního extrému, řekneme, že x∗
je
sedlový bod (sedlo) funkce f.
7.5.6 Několik pojmů z lineární algebry
• Nechť A = (aij) je symetrická matice, h = (h1, h2, . . . , hn)T
∈ Vn, Φ(h) = hT
Ah =
n
i,j=1
aijhihj kvadratická
forma.
Řekneme, že matice A je
negativně semidefinitní
negativně definitní
positivně semidefinitní
positivně definitní
platí-li pro každý nenulový h ∈ Vn
Φ(h) ≤ 0
Φ(h) < 0
Φ(h) ≥ 0
Φ(h) > 0
.
Řekneme, že matice A je indefinitní, existují-li vektory h, k ∈ Vn, že Φ(h) < 0, Φ(k) > 0.
• Platí:
– Symetrická matice A je positivně (resp. negativně) definitní právě tehdy, když všechna vlastní čísla
matice A jsou kladná (resp. záporná).
Symetrická matice A je positivně (resp. negativně) semidefinitní právě tehdy, když všechna vlastní
čísla matice A jsou nezáporná (resp. nekladná).
– Symetrická matice A je positivně definitní právě tehdy, když všechny hlavní minory matice A, tj.
determinanty
a11 ,
a11 a12
a21 a22
,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
, . . . , det A
jsou kladné.
Symetrická matice A je negativně definitní právě tehdy, když hlavní minory matice A střídají znaménka
počínaje záporným.
7.5.7 Věta
Nechť x∗
∈ Rn
je stacionární bod funkce f a nechť f je třídy C2
v bodě x∗
. Položme A = (aij) = (f′
|ij(x∗
)).
Je-li matice A v positivně (resp. negativně) definitní, má funkce f v bodě x∗
ostré lokální minimum (resp.
maximum).
Je-li matice A indefinitní, funkce f nemá v bodě x∗
lokální extrém.
D.: Nechť A je positivně definitní.
Buď h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Vn libovolný, ale pevně zvolený vektor. Položme Fh(x) =
n
i,j=1
f′
|ij(x)hihj.
Poněvadž funkce f je třídy C2
v bodě x∗
, je funkce Fh spojitá v bodě x∗
a poněvadž (f′
|ij(x∗
)) je positivně
201
definitní, existuje okolí O(x∗
) bodu x∗
takové, že pro každé x ∈ O(x∗
) je Fh(x) > 0.
Poněvadž h byl libovolný vektor, tak pro všechny x, ˆx ∈ O(x∗
) platí Fx−x∗ (ˆx) > 0.
Nyní podle 7.4.3 je pro x ∈ O(x∗
)
f(x) = f(x∗
) +
1
2
n
i,j=1
f′
|ij(x∗
+ ϑ(x − x∗
))(xi − x∗
i )(xj − x∗
j ) = f(x∗
) +
1
2
Fx−x∗ (x∗
+ ϑ(x − x∗
)) ,
kde ϑ ∈ [0, 1]. Tedy x∗
+ ϑ(x − x∗
) ∈ O(x∗
) (uvažujeme euklidovskou metriku) a f(x) > f(x∗
), což
znamená, že funkce f nabývá v bodě x∗
svého ostrého lokálního minima.
Tvrzení pro maximum se dokáže analogicky.
Nechť A je nyní indefinitní. Pak existují vektory h = (h1, h2, . . . , hn), k = (k1, k2, . . . , kn) ∈ Vn takové,
že
n
i,j=1
f′
|ij(x∗
)hihj < 0 a
n
i,j=1
f′
|ij(x∗
)kikj > 0. Poněvadž f je třídy C2
v bodě x∗
, existuje okolí O1(x∗
)
bodu x∗
takové, že pro všechna x ∈ O1(x∗
) je
n
i,j=1
f′
|ij(x)hihj < 0 a
n
i,j=1
f′
|ij(x)kikj > 0.
Buď O2(x∗
) libovolné okolí bodu x∗
, δh, δk taková kladná čísla, že x1 = x∗
+ δhh ∈ O1(x∗
) ∩ O2(x∗
) a
x2 = x∗
+ δkk ∈ O1(x∗
) ∩ O2(x∗
).
S využitím 7.4.3 dostaneme
f(x1) = f(x∗
) +
1
2
n
i,j=1
f′
|ij(x∗
+ ϑδhh)δ2
hhihj < f(x∗
) ,
f(x2) = f(x∗
) +
1
2
n
i,j=1
f′
|ij(x∗
+ ϑδkk)δ2
kkikj > f(x∗
) ,
takže v bodě x∗
není lokální extrém funkce f.
Je-li matice (f′
|ij(x∗
)) positivně nebo negativně semidefinitní, nelze o kvalitě stacionárního bodu rozhodnout.
7.5.8 Důsledek
Nechť funkce dvou proměnných f je třídy C2
ve svém stacionárním bodě (x∗
, y∗
). Jestliže
D(x∗
, y∗
) = fxx(x∗
, y∗
)fyy(x∗
, y∗
) − (fxy(x∗
, y∗
))2
> 0 ,
pak má funkce f v bodě (x∗
, y∗
) ostrý lokální extrém a to minimum, pokud fxx(x∗
, y∗
) > 0 a maximum, pokud
fxx(x∗
, y∗
) < 0.
Jestliže D(x∗
, y∗
) < 0, pak v bodě (x∗
, y∗
) lokální extrém nenastává.
D.: První tvrzení bezprostředně plyne z 7.5.7 a z tvrzení o minorech v 7.5.6.
Nechť D(x∗
, y∗
) < 0. Uvažujme kvadratickou formu
Φ(h1, h2) = fxx(x∗
, y∗
)h2
1 + 2fxy(x∗
, y∗
)h1h2 + fyy(x∗
, y∗
)h2
2 =
= h2
2 fxx(x∗
, y∗
)
h1
h2
2
+ 2fxy(x∗
, y∗
)
h1
h2
+ fyy(x∗
, y∗
) .
Poněvadž D(x∗
, y∗
) < 0 má kvadratický polynom P(λ) = fxx(x∗
, y∗
)λ2
+ 2fxy(x∗
, y∗
)λ + fyy(x∗
, y∗
) dva
reálné různé kořeny, což znamená, že nabývá kladných i záporných hodnot. Existují tedy vektory (˜h1, ˜h2)
a (ˆh1, ˆh2) takové, že Φ(˜h1, ˜h2) > 0 a Φ(ˆh1, ˆh2) < 0. To znamená, že forma Φ je indefinitní.
7.5.9 Definice
Buď f funkce n proměnných, M ⊆ Dom f. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě x∗
∈ M globálního minima
(resp. maxima) na množině M, jestliže f(x) ≥ f(x∗
) (resp. f(x) ≤ f(x∗
)) pro každé x ∈ M. Jsou-li nerovnosti
ostré pro každé x = x∗
, mluvíme o ostrých globálních minimech (resp. maximech) na M.
(Ostrá) globální maxima a minima nazýváme souhrnně (ostré) globální extrémy funkce f na množině M.
Místo slova „globální“ se někdy používá slovo „absolutní“.
202
7.5.10 Poznámka
Je-li bod globálního extrému x∗
na množině M vnitřním bodem této množiny, pak je x∗
bodem lokálního
extrému.
Funkce f tedy může mít globální extrém na množině M v bodě lokálního extrému funkce f nebo v hraničním
bodě množiny M, pokud tento bod do množiny M patří.
7.5.11 Poznámka
Nechť funkce f je třídy C2
v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n).
Grafem funkce g : (x1, x2, . . . , xn) → f(x0
) + f′
|1(x0
)(x1 − x0
1) + f′
|2(x0
)(x1 − x0
2) + · · · + f′
|n(x0
)(xn − x0
n) je
podle 7.3.5.2 tečná nadrovina ke grafu funkce f v bodě x0
.
Nechť A = (aij) = (f′
|ij(x0
)).
Stejným způsobem jako v důkazu věty 7.5.7 lze dokázat:
Je-li matice A positivně definitní, pak existuje okolí O(x0
) bodu x0
takové, že pro všechna x ∈ O(x0
) je
f(x) > g(x). Body grafu funkce f v okolí bodu x0
leží nad tečnou nadrovinou, funkce je v bodě x0
konvexní.
Je-li matice A negativně definitní, pak existuje okolí O(x0
) bodu x0
takové, že pro všechna x ∈ O(x0
) je
f(x) < g(x). Body grafu funkce f v okolí bodu x0
leží pod tečnou nadrovinou, funkce je v bodě x0
konkávní.
7.6 Implicitní funkce
7.6.1 Definice
Nechť F je funkce dvou proměnných, (x0, y0) ∈ R2
je takový bod, že F(x0, y0) = 0 a δ > 0 je reálné číslo.
Řekneme, že funkce y = f(x) je na (x0 − δ, x0 + δ) zadána implicitně rovnicí F(x, y) = 0, jestliže pro
x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) je F(x, f(x)) = 0.
7.6.2 Věta
Nechť F je funkce dvou proměnných a jsou splněny předpoklady:
• existuje (x0, y0) ∈ Dom F, že F(x0, y0) = 0,
• existuje a ∈ R, a > 0, že F je spojitá na množině R = (x0 − a, x0 + a) × (y0 − a, y0 + a) ∩ Dom F,
• F má spojitou parciální derivaci podle y v bodě (x0, y0) a platí
∂F(x0, y0)
∂y
= 0.
Pak existuje kladné číslo δ a jediná spojitá funkce y = f(x), která je na (x0 −δ, x0 +δ) zadána implicitně rovnicí
F(x, y) = 0.
D.: Na R2
uvažujme metriku ρ∞ a položme d = Fy(x0, y0). Podle předpokladu je d = 0.
Poněvadž Fy je spojitá v bodě (x0, y0), k
|d|
2
> 0 existuje ε > 0 takové, že pro
(x, y) ∈ Oε(x0, y0) = (x0 − ε, x0 + ε) × (y0 − ε, y0 + ε) je |Fy(x, y) − d| <
|d|
2
,
neboli pro (x, y) ∈ Oε(x0, y0) je
1 −
Fy(x, y)
d
<
1
2
. (7.1)
Buď Q = {g ∈ C[x0 − ε, x0 − ε] : g(x0) = y0, |g(x) − y0| < ε pro x ∈ [x0 − ε, x0 − ε]}. Pro g ∈ Q tedy
platí g(x0) = y0, F(x0, g(x0)) = F(x0, y0) = 0, g i F jsou spojité a tedy k ε existuje δ1 > 0 takové, že pro
x ∈ [x0 − δ1, x0 + δ1] je
g(x) −
F(x, g(x))
d
− y0 < ε . (7.2)
Položme δ = min{ε, δ1} a P = Q∩C[x0 − δ, x0 + δ]. Množina P tedy obsahuje funkce z Q, jejichž definiční
obor je zúžen na [x0 − δ, x0 + δ].
Definujme zobrazení T : P → C[x0 − δ, x0 + δ] předpisem: T (g)(x) = g(x) −
F(x, g(x))
d
. Je-li funkce f
203
pevným bodem zobrazení T (sr. 5.5.13), pak f(x) = f(x) −
F(x, g(x))
d
pro x ∈ [x0 − δ, x0 + δ], neboli
F(x, f(x)) = 0 pro x ∈ [x0 − δ, x0 + δ], tj. f je spojitá funkce, která je na (x0 − δ, x0 + δ) implicitně zadána
rovnicí F(x, y) = 0.
Existenci jediné funkce f této vlastnosti dokážeme pomocí Banachovy věty o kontrakci 5.5.14.
Na P uvažujme metriku stejnoměrné konvergence ρC (viz 5.1.2.4). Pak
T (g)(x0) = g(x0) −
F(x0, g(x0))
d
= y0 pro g ∈ Q.
|T (g)(x) − y0| < ε podle (7.2) pro x ∈ [x0 − δ, x0 + δ], tedy T (g) ∈ P.
S využitím 2.3.4.1 dostaneme
ρC(T (g), T (h)) = max
x0−δ≤x≤x0+δ
|T (g)(x) − T (h)(x)| =
= max
x0−δ≤x≤x0+δ
g(x) −
F(x, g(x))
d
− h(x) +
F(x, h(x))
d
=
= max
x0−δ≤x≤x0+δ
g(x) − h(x) −
Fy(x, ξ)(g(x) − h(x))
d
=
= max
x0−δ≤x≤x0+δ
|g(x) − h(x)| 1 −
Fy(x, ξ)
d
.
Přitom ξ leží mezi hodnotami g(x) a h(x), g, h ∈ P, tedy ξ ∈ Oε(y0), takže podle (7.1) je
ρC(T (g), T (h)) ≤
1
2
max
x0−δ≤x≤x0+δ
|g(x) − h(x)| =
1
2
ρC(g, h) ,
což znamená, že T je kontrakce na P.
7.6.3 Poznámka
Jsou-li splněny předpoklady věty 7.6.2, existuje jediná spojitá funkce f daná implicitně rovnicí F(x, y) = 0.
Kromě ní může existovat více nespojitých funkcí g, pro něž F(x, g(x)) = 0.
Např.: F(x, y) = y(y − 1), (x0, y0) = (0, 0)
f(x) ≡ 0, g1(x) =
0, x ≤ 0
1, x > 0
, g2(x) = χ(x), . . .
7.6.4 Věta
Nechť jsou splněny předpoklady věty 7.6.2 a nechť navíc má F na R spojité parciální derivace. Pak funkce
y = f(x), která je v okolí bodu (x0, y0) implicitně zadána rovnicí F(x, y) = 0 má v bodě x0 derivaci a platí
f′
(x0) = −
Fx(x0, y0)
Fy(x0, y0)
.
D.: F(x, f(x)) = 0 na okolí bodu x0. Derivováním tohoto vztahu podle x (sr. 7.4.1) dostaneme
Fx(x, f(x)) + Fy(x, f(x))f′
(x) = 0.
Dosazením x0 za x a snadnou úpravou dostaneme dokazovaný vztah.
7.6.5 Poznámka
Nechť jsou splněny předpoklady věty 7.6.2 a nechť navíc má F na R spojité druhé parciální derivace. Pak funkce
y = f(x), která je v okolí bodu (x0, y0) implicitně zadána rovnicí F(x, y) = 0 má v bodě x0 druhou derivaci.
Lze ji vypočítat postupem analogickým postupu při důkazu věty 7.6.4.
Analogicky lze postupovat při výpočtu derivací vyšších řádů.
7.6.6 Definice
Nechť F je funkce tří proměnných, (x0, y0, z0) ∈ R3
je takový bod, že F(x0, y0, z0) = 0 a δ > 0 je reálné číslo.
Řekneme, že funkce z = f(x, y) je na (x0 − δ, x0 + δ) × (y0 − δ, y0 + δ) zadána implicitně rovnicí F(x, y, z) = 0,
jestliže pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), y ∈ (y0 − δ, y0 + δ) je F(x, y, f(x, y)) = 0.
204
7.6.7 Věta
Nechť F je funkce tří proměnných a jsou splněny předpoklady:
• existuje (x0, y0, z0) ∈ Dom F, že F(x0, y0, z0) = 0,
• existuje a ∈ R, a > 0, že F je spojitá na množině
R = (x0 − a, x0 + a) × (y0 − a, y0 + a) × (z0 − a, z0 + a) ∩ Dom F,
• F má spojitou parciální derivaci podle z v bodě (x0, y0, z0) a platí
∂F(x0, y0, z0)
∂z
= 0.
Pak existuje kladné číslo δ a jediná spojitá funkce z = f(x, y), která je na (x0 − δ, x0 + δ) × (y0 − δ, y0 + δ)
zadána implicitně rovnicí F(x, y, z) = 0.
D.: Modifikovaný důkaz věty 7.6.2
7.6.8 Věta
Nechť jsou splněny předpoklady věty 7.6.7 a nechť navíc má F na R spojité parciální derivace. Pak funkce
z = f(x, y), která je v okolí bodu (x0, y0, z0) implicitně zadána rovnicí F(x, y, z) = 0 má v bodě (x0, y0)
parciální derivace a platí
fx(x0, y0) = −
Fx(x0, y0, z0)
Fz(x0, y0, z0)
, fy(x0, y0) = −
Fy(x0, y0, z0)
Fz(x0, y0, z0)
.
D.: Přímým výpočtem jako u 7.6.4
7.6.9 Poznámky
1. Má-li funkce F na R spojité druhé parciální derivace, pak má i funkce z = f(x, y) v bodě (x0, y0) druhé
parciální derivace. Lze je vypočítat analogickým postupem.
Analogicky lze postupovat při výpočtu derivací vyšších řádů.
2. Analogicky lze definovat implicitně zadanou funkci n proměnných, dokázat její jednoznačnou existenci a
počítat její derivace.
7.7 Diferencovatelná zobrazení
Zobrazení F : Rn
→ Rm
(x1, x2, . . . , xn) → (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn))
Zobrazení F je určeno m funkcemi n proměnných f1, f2, . . . , fm. Tyto funkce nazýváme složky nebo souřadnicové
funkce zobrazení F, píšeme F = (f1, f2, . . . , fm).
Dom F = Dom f1 × Dom f2 × · · · × Dom fn.
7.7.1 Poznámka
Zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
je spojité v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) ∈ Rn
právě tehdy, když
všechny funkce f1, f2, . . . , fm jsou spojité v tomto bodě.
D.: ⇒: Buď ε > 0 libovolné. K němu existuje δ > 0 takové, že pro každé
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Oδ(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) = (x0
1 − δ, x0
1 + δ) × (x0
2 − δ, x0
2 + δ) × · · · × (x0
n − δ, x0
n + δ)
platí
F(x1, x2, . . . , xn) ∈ Oε(f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn)) =
= (f1(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) − ε, f1(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) + ε) ×
×(f2(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) − ε, f2(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) + ε)×, . . . , ×
×(fm(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) − ε, fm(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) + ε) .
205
Jinými slovy: k ε > 0 existuje δ > 0, že pro (x1, x2, . . . , xn) ∈ Oδ(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) je
fj(x1, x2, . . . , xn) ∈ (fj(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) − ε, fj(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) + ε) ,
tedy fj je spojitá funkce. To platí pro každé j ∈ {1, 2, . . ., m}.
⇐: K ε > 0 existuje δj > 0, že pro (x1, x2, . . . , xn) ∈ Oδj (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) je
fj(x1, x2, . . . , xn) ∈ (fj(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) − ε, fj(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) + ε) , j = 1, 2, . . ., m .
Položíme δ = min{δ1, δ2, . . . , δm}. Pak pro (x1, x2, . . . , xn) ∈ Oδ(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) je
F(x1, x2, . . . , xn) ∈ Oε(F(x0
1, x0
2, . . . , x0
n)) .
7.7.2 Definice
Řekneme, že zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
je diferencovatelné v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n), jestliže
každá z funkcí f1, f2, . . . , fm je diferencovatelná v tomto bodě.
Zobrazení dF(x0
) : Rn
→ Rm
dané předpisem
(h1, h2, . . . , hn) → (df1(x0
)(h1, h2, . . . , hn), df2(x0
)(h1, h2, . . . , hn), . . . , dfm(x0
)(h1, h2, . . . , hn))
se nazývá diferenciál zobrazení F v bodě (x0
1, x0
2, . . . , x0
n).
Zobrazení F se nazývá diferencovatelné, je-li diferencovatelné v každém bodě z Dom f.
7.7.3 Poznámky
1. Diferenciál zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) je lineární zobrazení
určené maticí A = (aij) =
∂fi
∂xj
(x0
) = (f′
i|j(x0
)).
D.:





h1
h2
...
hn





→








df1(x0
)(h1, h2, . . . , hn)
df2(x0
)(h1, h2, . . . , hn)
...
dfm(x0
)(h1, h2, . . . , hn)








=













n
k=1
∂f1
∂xk
(x0
)hk
n
k=1
∂f2
∂xk
(x0
)hk
...
n
k=1
∂fm
∂xk
(x0
)hk













= A ·





h1
h2
...
hn





2. Je-li f : Rn
→ R funkce n proměnných diferencovatelná v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n), pak se podle 7.3.5.3
v okolí bodu x0
„její přírůstek chová jako lineární funkce df(x0
)“, f(x) = f(x0
) ≈ df(x0
)(x − x0
).
Je-li tedy F(f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
zobrazení diferencovatelné v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n), pak pro x
z okolí bodu x0
platí
F(x) − F(x0
) =










f1(x) − f1(x0
)
f2(x) − f2(x0
)
...
fm(x) − fm(x0
)










≈










df1(x0
)(x − x0
)
df2(x0
)(x − x0
)
...
dfm(x0
)(x − x0
)










=













n
k=1
∂f1
∂xk
(x0
)(xk − x0
k)
n
k=1
∂f2
∂xk
(x0
)(xk − x0
k)
...
n
k=1
∂fm
∂xk
(x0
)(xk − x0
k)













=
=
∂fi(x0
)
∂xj
· (x − x0
) = dF(x0
)(x − x0
) .
206
7.7.4 Definice
Nechť zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
je diferencovatelné v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n). Matice
F′
(x0
) = (f′
i|j(x0
)) =













∂f1
∂x1
(x0
)
∂f1
∂x2
(x0
) . . .
∂f1
∂xn
(x0
)
∂f2
∂x1
(x0
)
∂f2
∂x2
(x0
) . . .
∂f2
∂xn
(x0
)
...
...
...
...
∂fm
∂x1
(x0
)
∂fm
∂x2
(x0
) . . .
∂fm
∂xn
(x0
)













se nazývá Jacobiho matice zobrazení F v bodě x0
(derivace zobrazení F v bodě x0
).
Je-li n = m pak se determinant Jacobiho matice zobrazení F v bodě x0
nazývá Jacobián (Jacobiho determinant)
zobrazení F v bodě x0
. Označuje se
J(F(x0
)),
D(f1, f2, . . . , fn)
D(x1, x2, . . . , xn)
(x0
),
∂(f1, f2, . . . , fn)
∂(x1, x2, . . . , xn)
(x0
) .
7.7.5 Poznámka
Je-li F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
diferencovatelné zobrazení, pak zobrazení x → F′
(x) je zobrazením Dom F
do množiny matic typu m × n. Značíme ho F′
.
Je-li F = (f1, f2, . . . , fn) : Rn
→ Rn
diferencovatelné zobrazení, pak zobrazení x → J(F(x)) je funkcí n
proměnných.
7.7.6 Věta (o derivaci složeného zobrazení)
Nechť F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
, G = (g1, g2, . . . , gp) : Rm
→ Rp
jsou diferencovatelná zobrazení. Pak
složené zobrazení H = (h1, h2, . . . , hn) = G ◦ F : Rn
→ Rp
je také diferencovatelné a pro jeho Jacobiho matici
platí
H′
(x1, x2, . . . , xn) = G′
(F(x1, x2, . . . , xn)) · F′
(x1, x2, . . . , xn) .
Je-li n = m = p, pak při označení (y1, y2, . . . , ym) = F(x1, x2, . . . , xn) pro Jacobiány zobrazení F, G, H platí
J(H(x1, x2, . . . , xn)) = J(G(y1, y2, . . . , ym))J(F(x1, x2, . . . , xn)) .
D.: hi(x1, x2, . . . , xn) = gi(f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn)).
Podle 7.4.1 je
∂hi
∂xj
(x1, x2, . . . , xn) =
=
p
k=1
g′
i|k(f1((x1, x2, . . . , xn), f2((x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn))f′
k|j(x1, x2, . . . , xn)
pro i = 1, 2, . . ., p, j = 1, 2, . . . , n.
Druhé tvrzení plyne z věty o determinantu součinu matic.
7.7.7 Věta (o lokální inversi)
Nechť zobrazení F : Rn
→ Rn
je diferencovatelné v bodě (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) a F(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) = (y0
1, y0
2, . . . , y0
n).
Je-li Jacobiho matice F′
(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) regulární (tj. det F′
(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) = J(F(x0
1, x0
2, . . . , x0
n)) = 0), pak
existuje okolí O(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) bodu (x0
1, x0
2, . . . , x0
n), v němž je zobrazení F prosté, tedy existuje inversní
zobrazení F−1
: F(O(x0
1, x0
2, . . . , x0
n)) → Rn
. Inversní zobrazení F−1
je diferencovatelné v bodě (y0
1, y0
2, . . . , y0
n)
a pro jeho Jacobiho matici platí
(F−1
)′
(y0
1, y0
2, . . . , y0
n) = (F′
(x0
1, x0
2, . . . , x0
n))−1
.
207
Náznak důkazu: Pokud F(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) = 0 tak na O(x0
1, x0
2, . . . , x0
n) platí
F(x1, x2, . . . , xn) ≈ dF(x0
1, x0
2, . . . , x0
n)(x1 − x0
1, x2 − x0
2, . . . , xn − x0
n) .
Lineární zobrazení na pravé straně přibližné rovnosti je prosté právě tehdy, když jeho matice, tj. Jacobiho
matice zobrazení F, je regulární.
Jacobiho matice identického zobrazení F−1
◦ F, F−1
◦ F(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn) je jednotková
matice E.
Podle 7.7.6 platí E = (F−1
)′
(F(x0
1, x0
2, . . . , x0
n)) · F′
(x0
1, x0
2, . . . , x0
n), z čehož bezprostředně plyne dokazovaný
vztah.
7.7.8 Definice
Řekneme, že zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
je třídy Ck
, k ∈ N ∪ {∞} v bodě x0
= (x0
1, x0
2, . . . , x0
n),
jestliže každá z funkcí f1, f2, . . . , fm je třídy Ck
v bodě x0
.
Řekneme, že zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
je třídy Ck
, k ∈ N ∪ {∞}, jestliže je třídy Ck
v každém
bodě Dom F.
Poznámka: Je-li zobrazení F třídy Ck
, pak Dom F je otevřená množina.
7.7.9 Poznámka
Řekneme, že matice A o n sloupcích a m řádcích je regulární (v zobecněném smyslu), jestliže její hodnost je
rovna min{m, n}, tj. má-li maximální hodnost.
Tedy je-li m = n, det A = 0 (jak je obvyklé v lineární algebře)
n > m, řádky matice A jsou lineárně nezávislé
n < m, sloupce matice A jsou lineárně nezávislé
Je-li n < m a matice A je regulární, pak lineární zobrazení Φ : Vn → Vm, Φ(v) = A · v je prosté. Kdyby totiž
existovaly vektory u, v ∈ Vn takové, že u = v a Φ(u) = Φ(v), pak by





0
0
...
0





= Φ(u) − Φ(v) = Φ(u − v) = A · (u − v) .
Jinými slovy, existovala by lineární kombinace sloupců matice A s koeficienty, které by nebyly všechny nulové,
rovnající se nulovému vektoru, což by znamenalo, že sloupce matice A nejsou lineárně nezávislé a to by byl spor.
7.7.10 Definice
Buď F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn
→ Rm
zobrazení. Řekneme, že zobrazení F je regulární, jestliže je třídy C1
a pro
každé x ∈ Dom F je matice F′
(x) regulární.
Poznámka: Je-li zobrazení F : Rn
→ Rm
regulární a n < m, pak ke každému bodu x ∈ Dom F existuje
okolí O(x) ⊆ Dom F takové, že F je na O(x) prosté.
Zdůvodnění plyne z 7.7.3.2 a z 7.7.9.
7.7.11 Věta (o implicitním zobrazení)
Nechť F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn+m
→ Rm
je zobrazení, které splňuje předpoklady
• existuje bod (x0
, y0
) = (x0
1, x0
2, . . . , x0
n, y0
1, y0
2, . . . , y0
m) ∈ Dom F takový, že F(x0
, y0
) = 0,
• existuje okolí Oa(x0
, y0
) bodu (x0
1, x0
2, . . . , x0
n, y0
1, y0
2, . . . , y0
m) takové, že F je spojité na Oa(x0
, y0
)∩Dom F,
208
• všechny prvky matice
Fy(x, y) =













∂f1
∂y1
(x, y)
∂f1
∂y2
(x, y) . . .
∂f1
∂ym
(x, y)
∂f2
∂y1
(x, y)
∂f2
∂y2
(x, y) . . .
∂f2
∂ym
(x, y)
...
...
...
...
∂fm
∂y1
(x, y)
∂fm
∂y2
(x, y) . . .
∂fm
∂ym
(x, y)













jsou spojité v bodě (x0
, y0
) a platí det Fy(x0
, y0
) = 0.
Pak existuje okolí Oδ(x0
) bodu (x0
1, x0
2, . . . , x0
n) v Rn
a jediné spojité zobrazení G : Oδ(x0
) → Rm
takové, že
pro každé x ∈ Oδ(x0
) je F(x, G(x)) = 0.
Jsou-li navíc v bodě (x0
, y0
) spojité všechny prvky matice
Fx(x, y) =













∂f1
∂x1
(x, y)
∂f1
∂x2
(x, y) . . .
∂f1
∂xn
(x, y)
∂f2
∂x1
(x, y)
∂f2
∂x2
(x, y) . . .
∂f2
∂xn
(x, y)
...
...
...
...
∂fm
∂x1
(x, y)
∂fm
∂x2
(x, y) . . .
∂fm
∂xn
(x, y)













,
pak je zobrazení G diferencovatelné v bodě x0
a pro jeho Jacobiho matici platí
G′
(x0
) = −(Fy(x0
, y0
))−1
· Fx(x0
, y0
) .
Náznak důkazu: První tvrzení v podstatě říká, že za uvedených předpokladů lze z rovnice F(x, y) = 0
vypočítat y = G(x).
Je-li F diferencovatelné v bodě (x0
, y0
), pak podle 7.7.3.2 je
0 = F(x, y) ≈ dF(x0
)(x − x0
, y − y0
) =
=













n
k=1
∂f1
∂xk
(x0
, y0
)(xk − x0
k) +
m
j=1
∂f1
∂yj
(x0
, y0
)(yj − y0
j )
n
k=1
∂f2
∂xk
(x0
, y0
)(xk − x0
k) +
m
j=1
∂f2
∂yj
(x0
, y0
)(yj − y0
j )
...
n
k=1
∂fm
∂xk
(x0
, y0
)(xk − x0
k) +
m
j=1
∂fm
∂yj
(x0
, y0
)(yj − y0
j )













=
= Fx(x0
, y0
) · (x − x0
) + Fy(x0
, y0
) · (y − y0
) .
Z předpokladu det Fy(x0
, y0
) = 0 plyne existence (Fy(x0
, y0
))−1
a z přibližné rovnosti
0 ≈ Fx(x0
, y0
) · (x − x0
) + Fy(x0
, y0
)(y − y0
) plyne přibližná rovnost
y − y0
≈ −(Fy(x0
, y0
))−1
· (Fx(x0
, y0
) · (x − x0
)) = (−(Fy(x0
, y0
))−1
· Fx(x0
, y0
)) · (x − x0
) ,
neboli
y ≈ y0
+ (−(Fy(x0
, y0
))−1
· Fx(x0
, y0
)) · (x − x0
) .
209
Takže y lze z rovnice F(x, y) přibližně vypočítat.
Současně
y = G(x) ≈ y0
+ dG(x0
)(x − x0
) = G′
(x0
) · (x − x0
) ,
takže Jacobiho matice zobrazení G v bodě x0
je dána vzorcem z druhého tvrzení věty.
Přesný důkaz lze provést precizací uvedené myšlenky pomocí příslušných limitních přechodů.
Jiná metoda důkazu spočívá ve „vícerozměrné modifikaci“ důkazu věty 7.6.2.
7.8 Diferencovatelné variety
7.8.1 Definice
Buďte m, n ∈ N, 1 ≤ m ≤ n. Řekneme, že množina M ⊆ Rn
je m-rozměrná nadplocha v n-rozměrném prostoru,
jestliže ke každému y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ M existuje jeho okolí O(y) v Rn
, otevřená množina Uy ⊆ Rm
a prosté
spojité zobrazení Fy : Uy → Rn
tak, že y ∈ Fy(Uy) = O(y) ∩ M.
Je-li každé ze zobrazení Fy, y ∈ M navíc regulární, řekneme, že M je m-rozměrná (diferencovatelná) varieta
v n-rozměrném prostoru.
Je-li každé z regulárních zobrazení Fy, y ∈ M navíc třídy Ck
, řekneme, že M je m-rozměrná varieta třídy Ck
v n-rozměrném prostoru.
• n-rozměrné nadplochy (variety) v n-rozměrném prostoru jsou otevřené množiny.
• Jednorozměrné nadplochy se nazývají křivky, dvourozměrné nadplochy se nazývají plochy.
• Jednorozměrné variety se nazývají hladké křivky, dvourozměrné variety se nazývají hladké plochy.
Poznamenejme, že hladká jordanovská křivka definovaná v 2.6.6 a hladký oblouk {(ϕ(t), ψ(t) : t ∈ I}, kde I
je otevřený interval jsou hladkými křivkami v právě uvedeném smyslu. Definice 2.6.6 je však poněkud obecnější,
zahrnuje i oblouky s jedním nebo oběma krajními body.
7.8.2 Věta
Buďte g1, g2, . . . , gk diferencovatelné funkce n proměnných, n > k. Položme
M = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Dom g1 ∩ Dom g2 ∩ · · · ∩ Dom gk :
g1(x1, x2, . . . , xn) = g2(x1, x2, . . . , xn) = · · · = gk(x1, x2, . . . , xn) = 0}.
Jestliže v každém bodě x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ M je hodnost matice











∂g1
∂x1
(x)
∂g1
∂x2
(x) . . .
∂g1
∂xn
(x)
∂g2
∂x1
(x)
∂g2
∂x2
(x) . . .
∂g2
∂xn
(x)
...
...
...
...
∂gk
∂x1
(x)
∂gk
∂x2
(x) . . .
∂gk
∂xn
(x)











rovna k, pak množina M je (n − k)-rozměrnou diferencovatelnou varietou.
D.: Buď (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) ∈ M. Poněvadž matice











∂g1
∂x1
(ˆx)
∂g1
∂x2
(ˆx) . . .
∂g1
∂xn
(ˆx)
∂g2
∂x1
(ˆx)
∂g2
∂x2
(ˆx) . . .
∂g2
∂xn
(ˆx)
...
...
...
...
∂gk
∂x1
(ˆx)
∂gk
∂x2
(ˆx) . . .
∂gk
∂xn
(ˆx)











210
je regulární, existují vesměs různé indexy j1, j2, . . . , jk ∈ {1, 2, . . ., n} takové, že matice











∂g1
∂xj1
(ˆx)
∂g1
∂xj2
(ˆx) . . .
∂g1
∂xjk
(ˆx)
∂g2
∂xj1
(ˆx)
∂g2
∂xj2
(ˆx) . . .
∂g2
∂xjk
(ˆx)
...
...
...
...
∂gk
∂xj1
(ˆx)
∂gk
∂xj2
(ˆx) . . .
∂gk
∂xjk
(ˆx)











je regulární. Označíme-li i1, i2, . . . , in−k vesměs různé indexy z {1, 2, . . ., n} \ {j1, j2, . . . , jk},
x = (xi1 , xi2 , . . . , xin−k
), y = (xj1 , xj2 , . . . , xjk
), pak jsou splněny předpoklady 7.7.11. Existuje tedy otevřená
množina U(ˆx1,ˆx2,...,ˆxn) = O(ˆx) ⊆ Rn−k
a zobrazení ϕ(ˆx1,ˆx2,...,ˆxn) : O(ˆx) → O(ˆy) ⊆ Rk
takové, že pro
každé x ∈ O(x) je (x, ϕ(ˆx1,ˆx2,...,ˆxn)(x)) ∈ M. Položíme F(ˆx1,ˆx2,...,ˆxn)(x) = (x, ϕ(ˆx1,ˆx2,...,ˆxn)(x)).
Stejnou konstrukci lze provést v každém bodě z M.
Řekneme, že varieta M z věty 7.8.2 je zadána rovnicemi gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . , k.
7.8.3 Heuristická úvaha
Buď g diferencovatelná funkce dvou proměnných. Pak M = {(x, y) ∈ R2
: g(x, y) = 0} je jednorozměrná
diferencovatelná varieta (hladká křivka). Buď (ˆx, ˆy) ∈ M takový, že
∂g
∂y
= 0. Pak podle 7.6.2 existuje funkce
y = y(x) taková, že v okolí ˆx její graf splývá s M. Tečna ke grafu funkce y(x) v bodě (ˆx, ˆy) je dána rovnicí
y − ˆy = y′
(ˆx)(x − ˆx) .
Přitom y′
(ˆx) = −
gx(ˆx, ˆy)
gy(ˆx, ˆy)
, takže obecná rovnice tečny je
gx(ˆx, ˆy)x + gy(ˆx, ˆy)y − gx(ˆx, ˆy)ˆx − gy(ˆx, ˆy)ˆy = 0 .
Normálový vektor ke grafu funkce y(x) v bodě (ˆx, ˆy) tedy je (gx(ˆx, ˆy), gy(ˆx, ˆy)) = gradg(ˆx, ˆy) = g′
(ˆx, ˆy). Tečný
vektor ke křivce M v bodě (ˆx, ˆy) je tedy kolmý k vektoru gradg(ˆx, ˆy).
7.8.4 Pojmy z lineární algebry
Nechť Vn je n-rozměrný unitární prostor (vektorový prostor se skalárním součinem) a v1, v2, . . . , vm ∈ Vn.
Označme Lin(v1, v2, . . . , vm) podprostor prostoru Vn generovaný vektory v1, v2, . . . , vm (lineární obal množiny
vektorů {v1, v2, . . . , vm}).
Je-li W ⊆ Vn vektorový podprostor, označme W⊥
jeho ortogonální doplněk (vektorový podprostor, jehož každý
prvek je kolmý k libovolnému prvku z W), tzn. je=li u ∈ W a v ∈ W⊥
, pak u · v = 0.
7.8.5 Definice
Nechť funkce g1, g2, . . . , gk splňují předpoklady 7.8.2, M je diferencovatelná varieta zadaná rovnicemi
gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . , k a nechť (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) ∈ M. Vektorový prostor
NM (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) = Lin(g′
1(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn), g′
2(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn), . . . , g′
k(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn))
nazýváme normálový prostor k M v bodě (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn).
Vektorový prostor
TM (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) = (NM (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn))⊥
nazýváme tečný prostor k M v bodě (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn).
211
7.8.6 Věta
Buď M diferencovatelná varieta zadaná rovnicemi gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . ., k a nechť
ˆx = (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) ∈ M je pevně zvolený bod, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ M je libovolný.
Pak existuje vektor h ∈ TM (ˆx), α ∈ R a zobrazení Φ : R → Rn
takové, že x − ˆx = αh + Φ(α) a lim
τ→0
Φ(τ)
τ
= o
(nulový vektor).
D.: Libovolný vektor r ∈ Vn lze vyjádřit ve tvaru r = p + q, kde p ∈ TM (ˆx), q ∈ TM (ˆx)⊥
= NM (ˆx).
Tedy také x − ˆx = u + w, kde u = (u1, u2, . . . , un) ∈ TM (ˆx), w = (w1, w2, . . . , wn) ∈ NM (ˆx).
Položme α = ||x − ˆx|| a pro α = 0 položme h = (h1, h2, . . . , hn) =
u
α
, tedy u = αh.
Dále označme Φ(α) = (ϕ1(α), ϕ2(α), . . . , ϕn(α)) = (w1, w2, . . . , wn).
Je-li α = 0, pak x = ˆx, u = w = o a tedy Φ(0) = o.
Nechť vektory vj
= (vj
1, vj
2, . . . , vj
n), j = 1, 2, . . ., n − k tvoří bázi tečného prostoru TM (ˆx). Poněvadž
ˆx = x−u−w = x−αh−Φ(α) ∈ M a Φ(α)⊥vj
pro každé j = 1, 2, . . . , n−k, musí ϕ1(α), ϕ2(α), . . . , ϕn(α)
splňovat systém rovnic
gi(x1 − αh1 − ϕ1(α), x2 − αh2 − ϕ2(α), . . . , xn − αhn − ϕn(α)) = 0, i = 1, 2, . . . , k
vj
1ϕ1(α) + vj
2ϕ2(α) + · · · + vj
nϕn(α) = 0, j = 1, 2, . . . , n − k
(7.3)
Levou stranu tohoto systému lze považovat za zobrazení G : Rn+1
→ Rn
, jímž zobrazujeme (n + 1)-tice
čísel (α, ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn).
Budeme aplikovat větu o implicitním zobrazení 7.7.11 a používat označení v ní zavedené.
GΦ(α, ϕ1, . . . , ϕn) =
=






























−
∂g1
∂x1
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕn) . . . −
∂g1
∂xn
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕ)
−
∂g2
∂x1
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕn) . . . −
∂g2
∂xn
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕ)
...
...
...
−
∂gk
∂x1
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕn) . . . −
∂gk
∂xn
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕ)
v1
1 . . . v1
n
v2
1 . . . v2
n
...
...
...
vn−k
1 . . . vn−k
n






























.
Prvních k řádků této matice je lineárně nezávislých podle 7.8.2, posledních n − k řádků je také lineárně
nezávislých, neboť vektory v1
, v2
, . . . , vn−k
tvoří bázi vektorového podprostoru. Libovolný z posledních
n − k řádků je lineárně nezávislý na libovolné lineární kombinaci prvních k řádků, neboť je to vektor
ortogonální k libovolnému z nich. Podobně libovolný z prvních k řádků je lineárně nezávislý na libovolné
lineární kombinaci posledních n − k řádků. Matice GΦ je tedy regulární, jsou splněny předpoklady věty
7.7.11, takže ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn lze ze soustavy rovnic (7.3) vyjádřit jako funkce proměnné α.
Máme tedy definováno zobrazení Φ : R → Rn
takové, že Φ(0) = o.
Dále platí
Gα(α, ϕ1, . . . , ϕn) =
212
=






























−h1
∂g1
∂x1
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕn) − . . . − hn
∂g1
∂xn
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕ)
−h1
∂g2
∂x1
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕn) − . . . − hn
∂g2
∂xn
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕ)
...
−h1
∂gk
∂x1
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕn) − . . . − hn
∂gk
∂xn
(x1 − αh1 − ϕ1, . . . , xn − αhn − ϕ)
0
0
...
0






























,
takže
Gα(0, ϕ1, . . . , ϕn) = −h · g′
1(ˆx), −h · g′
2(ˆx), . . . , −h · g′
k(ˆx), 0, 0, . . . , 0
T
= o ,
neboť vektory h a g′
i(ˆx) jsou kolmé pro jakékoliv i ∈ {1, 2, . . ., k}.
Odtud podle 7.7.11 plyne, že ϕ′
1(0) = ϕ′
2(0) = · · · = ϕ′
n(0) = 0 a dále podle 2.3.6
lim
τ→0
ϕj(τ)
τ
= 0, j = 1, 2, . . ., n.
7.9 Vázané extrémy
7.9.1 Definice
Buď f : Rn
→ R, M ⊆ Dom f. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě ˆx = (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) ∈ M lokálního maxima
(resp. minima) vzhledem k množině M, jestliže existuje okolí O(ˆx) bodu x takové, že pro každé x ∈ O(ˆx) ∩ M
platí f(x) ≤ f(ˆx) (resp. f(x) ≥ f(ˆx)).
Jsou-li nerovnosti pro x = ˆx ostré, mluvíme o ostrém lokálním maximu (resp. minimu) vzhledem k množině M.
(Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrnně (ostré) lokální extrémy vzhledem k množině M.
Nechť f, g1, g2, . . . , gm jsou funkce n proměnných třídy C1
, m < n. Úlohu: najít lokální extrémy funkce f
vzhledem k diferencovatelné varietě zadané rovnicemi gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, n = 1, 2, . . . , m, tj.
f(x1, x2, . . . , xn) → extrém
g1(x1, x2, . . . , xn) = 0
g2(x1, x2, . . . , xn) = 0
...
gm(x1, x2, . . . , xn) = 0
(7.4)
nazýváme konečnědimenzionální hladkou extremální úlohou s omezeními typu rovnosti. Stručně úlohou na vázaný
(podmíněný) extrém.
7.9.2 Definice
Funkci L : Rn+m+1
→ R danou předpisem
L(x1, x2, . . . , xn, λ0, λ1, . . . , λm) = λ0f(x1, x2, . . . , xn) +
m
k=1
λkgk(x1, x2, . . . , xn)
nazýváme Lagrangeovou funkcí úlohy (7.4), čísla λ0, λ1, . . . , λm nazýváme Lagrangeovy multiplikátory.
213
7.9.3 Věta (Lagrange 1797)
Je-li ˆx = (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) řešením úlohy (7.4), pak existují Lagrangeovy multiplikátory λ0, λ1, . . . , λm, z nichž
alespoň jeden je nenulový tak, že
∂
∂x1
L(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn, λ0, λ1, . . . , λm) = · · · =
∂
∂xn
L(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn, λ0, λ1, . . . , λm) = 0 . (7.5)
D.: Nechť ˆx je bodem lokálního minima úlohy (7.4).
∂
∂xj
L(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn, λ0, λ1, . . . , λm) = λ0
∂
∂xj
f(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) +
m
k=1
λk
∂
∂xj
gk(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn),
j = 1, 2, . . . , n
Podmínka (7.5) má tedy ve vektorovém zápisu tvar
λ0f′
(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) +
m
k=1
λkg′
k(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) = o .
Připusťme, že vektory f′
(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn), g′
1(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn), g′
2(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn), . . . , g′
m(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) jsou
lineárně nezávislé.
Uvažujme zobrazení F : Rn
→ Rm+1
dané předpisem F(x) =







f(x) − f(ˆx)
g1(x)
g2(x)
...
gm(x)







.
Podle našeho předpokladu je hodnost matice
















∂
∂x1
f(ˆx)
∂
∂x2
f(ˆx) . . .
∂
∂xn
f(ˆx)
∂
∂x1
g1(ˆx)
∂
∂x2
g1(ˆx) . . .
∂
∂xn
g1(ˆx)
∂
∂x1
g2(ˆx)
∂
∂x2
g2(ˆx) . . .
∂
∂xn
g2(ˆx)
...
...
...
...
∂
∂x1
gm(ˆx)
∂
∂x2
gm(ˆx) . . .
∂
∂xn
gm(ˆx)
















rovna m + 1. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že proměnné jsou očíslovány tak, že
det
















∂
∂x1
f(ˆx)
∂
∂x2
f(ˆx) . . .
∂
∂xm+1
f(ˆx)
∂
∂x1
g1(ˆx)
∂
∂x2
g1(ˆx) . . .
∂
∂xm+1
g1(ˆx)
∂
∂x1
g2(ˆx)
∂
∂x2
g2(ˆx) . . .
∂
∂xm+1
g2(ˆx)
...
...
...
...
∂
∂x1
gm(ˆx)
∂
∂x2
gm(ˆx) . . .
∂
∂xm+1
gm(ˆx)
















= 0 .
To znamená, že zobrazení G : Rm+1
→ Rm+1
dané předpisem
G(x1, x2, . . . , xm+1) =









f(x1, x2, . . . , xm, xm+1, ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn) − f(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn)
g1(x1, x2, . . . , xm, xm+1, ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn)
g2(x1, x2, . . . , xm, xm+1, ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn)
...
gm(x1, x2, . . . , xm, xm+1, ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn)









214
splňuje předpoklady 7.7.7. Odtud plyne, že ke každému dostatečně malému ε > 0 existují
x1(ε), x2(ε), . . . , xm+1(ε) takové, že
f(x1(ε), x2(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn) − f(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) = −ε
g1(x1ε), x2(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn) = 0
g2(x1ε), x2(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn) = 0
...
gm(x1ε), x2(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn) = 0 .
Našli jsme tedy bod (x1(ε), x2(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn) ∈ O(ˆx) ∩ M takový že
f(x1(ε), x2(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, ˆxm+3, . . . , ˆxn) = f(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) − ε < f(ˆx), což znamená, že ˆx není
bodem lokálního minima úlohy (7.4) a to je spor.
Vektory f′
(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn), g′
1(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn), g′
2(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn), . . . , g′
m(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) jsou tedy lineárně
závislé, z čehož plyne tvrzení věty.
Pro lokální minimum se důkaz provede analogicky.
7.9.4 Poznámky
1. Věta 7.9.3 poskytuje návod na vyhledání bodu „podezřelého z toho“, že v něm může mít úloha (7.4)
lokální extrém: Řešíme soustavu n + m rovnic
λ0
∂
∂xi
f(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) +
m
k=1
λk
∂
∂xi
gk(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, 2, . . . , n
gj(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) = 0, j = 1, 2, . . ., m
(7.6)
pro n + m + 1 neznámých ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn, λ0, λ1, . . . , λm. Má-li tato soustava řešení takové, že λl = 0 pro
nějaké l ∈ {0, 1, . . ., m}, pak (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) je bod, v němž úloha (7.4) může mít lokální extrém.
Soustava rovnic (7.6) je pro Lagrangeovy multiplikátory λ0, λ1, . . . , λm lineární. To znamená, že multiplikátory
jsou určeny jednoznačně až na nenulovou multiplikativní konstantu. Stačí tedy položit λl = 1 a
řešit n + m rovnic pro n + m neznámých.
2. λ0 nemusí být nenulový.
Uvažujme například úlohu najít lokální extrém funkce f(x, y) = x za podmínky g(x, y) = x2
+ y2
= 0.
Pak (ˆx, ˆy) = (0, 0) je řešením této úlohy (neboť je to jediný bod vyhovující podmínce).
Kdyby λ0 = 1, pak by L(x, y, 1, λ) = x + λ(x2
+ y2
) a systém rovnic (7.5) by měl tvar
1 + 2λˆx = 0,
2λˆy = 0.
Z první rovnice dostaneme λ = 0, potom ˆx = −
1
2λ
a ze druhé rovnice ˆy = 0. Pak ale ˆx2
+ ˆy2
=
1
4λ2
= 0.
3. Jsou-li vektory g′
1(ˆx), g′
2(ˆx), . . . , g′
m(ˆx) lineárně nezávislé, pak λ0 = 0 a tedy lze položit λ0 = 1.
(Toto tvrzení plyne z důkazu věty 7.9.3)
4. Geometrický význam podmínky (7.5) pro případ n = 2, m = 1 a rovnicí g(x, y) = 0 je určena hladká
křivka:
Podle předchozí poznámky je λ0 = 0 a tedy f′
(ˆx, ˆy) = −
λ1
λ0
g′
(ˆx, ˆy), což znamená, že vektory f′
(ˆx, ˆy) (směr
nejrychlejšího růstu funkce f v bodě (ˆx, ˆy)) a g′
(ˆx, ˆy) (směr normály ke křivce dané rovnicí g(x, y) = 0
v bodě (ˆx, ˆy)) jsou rovnoběžné.
7.9.5 Věta
Nechť (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) ∈ M, ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn, λ0 = 1, λ1, . . . , λm splňují (7.5) a nechť funkce f, g1, g2, . . . , gm jsou
třídy C2
v bodě (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn). Označme L′′
=
∂
∂xi∂xj
L(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn, 1, λ1, . . . , λm) . (L′′
je čtvercová
215
matice řádu n.)
Jestliže pro každý vektor h ∈ Tm(ˆx) platí hT
· L′′
· h > 0 (resp. hT
· L′′
· h < 0), pak v bodě (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn)
nabývá funkce f lokálního minima (resp. maxima) vzhledem k množině M.
Jestliže existují vektory h, k ∈ Tm(ˆx) takové, že hT
· L′′
· h < 0 < kT
· L′′
· k, pak v bodě (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) funkce
f lokálního extrému vzhledem k množině M nenabývá.
Náznak důkazu: Podle 7.8.6 lze vektor x − ˆx pro libovolný bod x ∈ m vyjádřit ve tvaru x − ˆx = αh + Φ(α),
kde h je jednotkový vektor z Tm(ˆx) a lim
α→0
Φ(α)
α
= 0.
Pro každý bod x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ M je f(x1, x2, . . . , xn) = L(x1, x2, . . . , xn, 1, λ1, λ2, . . . , λm).
Funkci L(x1, x2, . . . , xn, 1, λ1, λ2, . . . , λm) budeme považovat za funkci n proměnných x1, x2, . . . , xn. Poněvadž
platí (7.5), je dL(x, 1, λ1, . . . , λm) = 0 a tedy s využitím 7.4.3 pro x ∈ M platí:
f(x) = L(x, 1, λ1, . . . , λm) = L(ˆx, 1, λ1, . . . , λm) +
1
2!
d2
L(x + ϑ(x − ˆx), 1, λ1, . . . , λm)(x − ˆx) =
= f(ˆx) +
1
2!
d2
L(x + ϑ(x − ˆx), 1, λ1, . . . , λm)(αh + Φ(α)) =
= f(ˆx) +
α2
2!
d2
L(x + ϑ(x − ˆx), 1, λ1, . . . , λm)(h) +
1
2!
d2
L(x + ϑ(x − ˆx), 1, λ1, . . . , λm)(Φ(α)) .
Tedy
f(x) − f(ˆx) =
α2
2!
d2
L(x + ϑ(x − ˆx), 1, λ1, . . . , λm)(h) +
1
2!
d2
L(x + ϑ(x − ˆx), 1, λ1, . . . , λm)(Φ(α)) .
Druhý sčítanec na pravé straně je v absolutní hodnotě malý pro malé α, znaménko prvního sčítance je
pro x dostatečně blízké ˆx stejné, jako znaménko výrazu hT
· L′′
· h.
7.9.6 Poznámka
Z vět 7.9.3 a 7.9.5 plyne návod na řešení úlohy (7.4) v případě, že vektory g′
1(x), g′
2(x), . . . , g′
m(x) jsou lineárně
nezávislé pro jakékoliv x ∈ Rn
:
(i) Vytvoříme Lagrangeovu funkci
L(x1, x2, . . . , xn, 1, λ1, . . . , λm) = f(x1, x2, . . . , xn) +
m
k=1
λkgk(x1, x2, . . . , xn) .
(ii) Najdeme ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn, λ1, . . . , λm jako řešení soustavy rovnic
∂
∂xj
L(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn, 1, λ1, . . . , λm) = 0, j = 1, 2, . . . , n
gk(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) = 0, k = 1, 2, . . ., m
(iii) Ze systému lineárních rovnic
∂gk(ˆx)
∂x1
h1 +
∂gk(ˆx)
∂x2
h2 + · · · +
∂gk(ˆx)
∂xn
hn = 0, k = 1, 2, . . . , m
vypočteme m z proměnných h1, h2, . . . , hn v závislosti na n − m zbývajících.
(iv) Vypočítáme druhý diferenciál Lagrangeovy funkce
d2
L(ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn, 1, λ1, λ2, . . . , λn)(h1, h2, . . . , hn) ,
přičemž (h1, h2, . . . , hn) je vektor vypočítaný v předchozím kroku a určíme jeho znaménko. Je-li kladné,
nastává v bodě (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn) lokální minimum úlohy (7.4), je-li záporné, pak maximum.
216
7.10 Vektorové funkce, skalární a vektorová pole
7.10.1 Poznámky o vektorech v R3
1. Označení:
a, b, . . . — vektory, o — nulový vektor
a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), . . . — složky vektorů
α = |a| = a2
1 + a2
2 + a2
3, β = |b|, . . . — velikost vektorů
a0 =
1
α
a, . . . — jednotkový vektor stejné orientace, jako vektor a
ı, , k — báze vektorového prostoru R3
(a = a1ı + a2 + a3k)
Pokud nebude hrozit nedorozumění, nebudeme rozlišovat mezi vektorem a jeho umístěním, tj. mezi prvkem
vektorového prostoru a prvkem zaměření afinního prostoru.
Úhlem vektorů rozumíme orientovaný dutý úhel, která tyto vektory svírají.
ϕ = ab — úhel vektorů a, b v tomto pořadí.
2. Skalární součin vektorů a, b:
a · b = αβ cos ab = αβ cos ϕ
a·b = αβ cos ϕ = α(β cos ϕ) = β(α cos ϕ): Skalární součin vektorů a, b je součin velikosti jednoho z vektorů
a velikosti kolmého průmětu druhého z vektorů do směru prvního.
Pro libovolné vektory a, b, c platí:
(i) a · b = 0 ⇔ a = o nebo b = o nebo a⊥b
(ii) a · a = α2
cos 0 = α2
, α =
√
a · a, a0 · a0 = 1
(iii) cos ϕ =
a · b
αβ
= a0 · b0
(iv) a · b = b · a, s(a · b) = (sa) · b = a · (sb) pro libovolný skalár s
(v) a · (b + c) = a · b + a · c
Je-li ı, , k ortonormální báze, tj. ı · ı =  ·  = k · k = 1, ı ·  = ı · k =  · k = 0 (a tak tomu bude v tomto
odstavci vždy), pak
a · b = (a1ı + a2 + a3k) · (b1ı + b2 + b3k) =
= a1b1ı · ı + a1b2ı ·  + a1b3ı · k + a2b1 · ı + a2b2 ·  +
+a2b3 · k + a3b1k · ı + a3b2k ·  + a3b3k · k =
= a1b1 + a2b2 + a3b3
3. Pravotočivý systém tří vektorů:
Systém vektorů a, b, c v tomto pořadí je pravotočivý, jestliže ab ∈ (0, π), bc ∈ (0, π).
4. Vektorový součin vektorů a, b:
a× b = v, kde |v| = αβ sin ab, a·v = b·v = 0 a systém vektorů a, b, v je pravotočivý. (Je to vektor kolmý
k rovině určené vektory a, b, jehož velikost je číselně rovna ploše rovnoběžníku určeného vektory a, b a
orientovaný podle pravidla pravé ruky.)
Pro libovolné vektory a, b, c platí:
(i) |a × b| = αβ sin ϕ = α(β sin ϕ) = αβ′
, (ϕ = ab).
Je-li tedy b′
kolmý průmět vektoru b do roviny kolmé k vektoru a, je a × b = a × b′
(ii) a × b = −b × a
(iii) s(a × b) = (sa) × b = a × (sb) pro libovolný skalár s
217
(iv) a × (b + c) = a × b + a × c
D.: geometricky.
a kolmý k rovině papíru, b′
, c′
kolmé průměty vektorů b, c.
Označme ϕ1 = c′b′, ϕ2 = b′(a × c), ϕ3 = (a × c)(a × b)
(a × b + a × c) · (b′
+ c′
) = (a × b) · b′
+ (a × c) · b′
+ (a × b) · c′
+ (a × c) · c′
=
= 0 + αγ′
β′
cos(−ϕ2) + αβ′
γ′
cos(ϕ1 + ϕ2 + ϕ3) + 0 =
= αβ′
γ′
(cos ϕ2 + cos(π − ϕ2)) = αβ′
γ′
(cos ϕ2 − cos ϕ2) = 0
a tedy (a × b + a × c)⊥(b′
+ c′
), což znamená a × (b′
+ c′
)0
= (a × b + a × c)0
.
Dále rovnoběžník určený vektory c′
a b′
je podobný rovnoběžníku určenému vektory a×c a a×b
a poněvadž |a × b| = αβ′
, |a × c| = αγ′
, platí
|a × b + a × c| = α|b′
+ c′
| = |a × (b′
+ c′
)|.
Tedy a × (b′
+ c′
) = a × b + a × c a vzhledem k (i) je tvrzení dokázáno.
(v) a × b = 0 ⇔ a = 0 nebo b = 0 nebo a b (tj. a = κb pro nějaký skalár κ)
(vi) Je-li ortonormální báze ı, , k navíc pravotočivá (tj. ı ×  = k,  × k = ı, k × ı = ) pak
a × b = (a1ı + a2 + a3k) × (b1ı + b2 + b3k) =
= a1b1 ı × ı + a2b1  × ı + a3b1 k × ı + a1b2 ı ×  + a2b2  ×  + a3b2 k ×  +
+a1b3 ı × k + a2b3  × k + a3b3 k × k =
= −a2b1 k + a3b1  + a1b2 k − a3b2 ı − a1b3  + a2b3 ı =
= (a2b3 − a3b2)ı − (a1b3 − a3b1) + (a1b2 − a2b1)k =
=
a2 a3
b2 b3
ı −
a1 a3
b1 b3
 +
a1 a2
b1 b2
k
Vektorový součin lze tedy symbolicky zapsat a × b =
ı  k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
5. Ještě jedna interpretace vektorového součinu:
Nechť nějaké těleso rotuje kolem pevné osy s úhlovou rychlostí ω. Zavedeme vektor ω tak, aby byl rovnoběžný
s osou rotace, měl velikost ω a byl orientován tak, že položíme-li na osu rotace pravou ruku s prsty
ve směru rotace, bude ω směřovat na stranu palce.
Na ose rotace zvolíme vztažný bod O a polohu libovolného bodu tělesa popíšeme směrovým vektorem r.
Nechť r = b + a, kde b leží v ose rotace a a je na něj kolmý.
Velikost rychlosti bodu určeného polohovým vektorem r je |v| = ω|a|. Vektor v je kolmý k vektoru ω i k vektoru
a a systém vektorů ω, a, v je pravotočivý. Lze tedy psát v = ω×a = ω×(r−b) = ω×r−ω×b = ω×r,
neboť b ω.
6. Smíšený součin vektorů a, b, c:
[abc] = a · (b × c).
Označme ϕ = bc, ϑ = a(b × c). Pak |b × c| = βγ sin ϕ,
a · (b × c) = αβγ sin ϕ cos ϑ = (α cos ϑ)(βγ sin ϕ),
tedy |[abc]| je objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a, b, c.
Úhel ϑ může být větší než pravý. V tom případě by vektor a směřoval na opačnou stranu, než na obrázku,
systém vektorů a, b, c by nebyl pravotočivý.
Platí:
(i) Jestliže [abc] = a · (b × c) > 0 pak je systém vektorů a, b, c pravotočivý.
(ii) a · (b × c) = (a × b) · c.
218
D.: Podle 4.(vi) je
a · (b × c) = a1
b2 b3
c2 c3
− a2
b1 b3
c1 c3
+ a3
b1 b2
c1 c2
=
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
(a × b) · c =
a2 a3
b2 b3
c1 −
a1 a3
b1 b3
c2 +
a1 a2
b1 b2
c3 =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
7.10.2 Definice
Zobrazení f : R → R3
, f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) = f1(t)ı + f2(t) + f3(t)k nazýváme vektorovou funkcí.
Reálnou funkci jedné reálné proměnné budeme někdy nazývat skalární funkce.
Poznámky: f je spojitá v t0 právě tehdy, když f1, f2, f3 jsou spojité v t0
lim
t→t0
f(t) = a právě tehdy, když lim
t→t0
f1(t) = a1, lim
t→t0
f2(t) = a2, lim
t→t0
f3(t) = a3.
Derivace:
df
dt
(t0) = f ′
(t0) = lim
t→t0
f(t) − f(t0)
t − t0
= f′
1(t0)ı + f′
2(t0) + f′
3(t0)k.
Má-li vektorová funkce f derivaci v bodě t0 je v t0 spojitá.
7.10.3 Věta
Buďte f, g vektorové funkce mající derivaci, ϕ skalární funkce mající derivaci. Pak
1.
d(f ± g)
dt
=
df
dt
±
dg
dt
2.
d(ϕf)
dt
=
dϕ
dt
f + ϕ
df
dt
3.
d(f · g)
dt
=
df
dt
· g + f ·
dg
dt
4.
d(f × g)
dt
=
df
dt
× g + f ×
dg
dt
D.: 1. a 2. jsou přímé důsledky 2.1.5.
3.
d
dt
(f · g) =
d
dt
(f1g1 + f2g2 + f3g3) = f′
1g1 + f1g′
1 + f′
2g2 + f2g′
2 + f′
3g3 + f3g′
3 =
df
dt
· g + f ·
dg
dt
4.
d
dt
(f × g) =
d
dt
(f2g3 − f3g2)ı − (f1g3 − f3g1) + (f1g2 − f2g1)k =
= (f′
2g3 + f2g′
3 − f′
3g2 − f3g′
2)ı − (f′
1g3 + f1g′
3 − f′
3g1 − f3g′
1) + (f′
1g2 + f1g′
2 − f′
2g1 − f2g′
1)k =
= (f′
2g3 − f′
3g2)ı − (f′
1g3 − f′
3g1) + (f′
1g2 − f2g′
1)k + (f2g′
3 − f′
3g2)ı − (f1g′
3 − f3g′
1) + (f1g′
2 − f2g′
1)k =
= f ′
× g + f × g ′
219
7.10.4 Věta
Buď f nekonstantní jednotková funkce, tj. f(t) · f(t) = 1 pro každé t ∈ Dom f, která má v každém t ∈ Dom f
derivaci. Pak vektory f(t) a f ′
(t) jsou kolmé pro každé t ∈ Dom f.
D.:
f · f = 1 /
d
dt
df
dt
· f + f ·
df
dt
= 0
2
df
dt
· f = 0 z čehož plyne tvrzení.
Podle 7.10.3.2 je
df
dt
=
d(ϕf0)
dt
=
dϕ
dt
f0 + ϕ
df0
dt
a podle 7.10.4 je f0⊥
df0
dt
. Dostali jsme tedy rozklad
derivace vektorové funkce na složku rovnoběžnou s touto funkcí a na složku na ni kolmou.
7.10.5 Poznámka
Graf spojité vektorové funkce r je křivka v prostoru R3
. Má-li funkce r v bodě t0 derivaci různou od o, pak
přímka o parametrické rovnici
p(t) = r(t0) + (t − t0)r ′
(t0)
je tečnou ke křivce r = r(t) v bodě r(t0):
lim
t→t0
r(t) − p(t)
t − t0
= lim
t→t0
r(t) − r(t0) − (t − t0)r ′
(t0)
t − t0
= r ′
(t0) − r ′
(t0) = 0 .
7.10.6 Definice
Funkci f : R3
→ R nazýváme skalární pole, zobrazení g : R3
→ R3
nazýváme vektorové pole.
r = (x, y, z) — polohový vektor bodu (x, y, z)
f(x, y, z) = f(r), g(x, y, z) = g(r)
Složky vektorového pole jsou skalární pole.
7.10.7 Diferenciální operátory
Hamiltonův operátor (symbolický vektor) ∇ =
∂
∂x
ı +
∂
∂y
 +
∂
∂z
k. (čte se „nabla“)
Je-li f skalární pole, definujeme jeho gradient: grad f = ∇f =
∂f
∂x
ı +
∂f
∂y
 +
∂f
∂z
k.
Gradient skalárního pole je vektorovým polem.
Je-li f vektorové pole, definujeme jeho
divergenci: div g = ∇ · g = (
∂
∂x
ı +
∂
∂y
 +
∂
∂z
k) · (g1ı + g2 + g3k) =
∂g1
∂x
+
∂g2
∂y
+
∂g3
∂z
rotaci: rot g = ∇ × g =
ı  k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
g1 g2 g3
=
∂g3
∂y
−
∂g2
∂z
ı −
∂g3
∂x
−
∂g1
∂z
 +
∂g2
∂x
−
∂g1
∂y
k
gradient: gradg = ∇g =








∂g1
∂x
∂g1
∂y
∂g1
∂z
∂g2
∂x
∂g2
∂y
∂g2
∂z
∂g3
∂x
∂g3
∂y
∂g3
∂z








220
Divergence vektorového pole je skalární pole, rotace vektorového pole je vektorové pole.
Laplaceův operátor ∆ = ∇ · ∇ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
přiřadí skalárnímu poli skalární pole, vektorovému poli
vektorové pole.
7.10.8 Věta
Nechť ϕ, ψ jsou skalární a u, v vektorová pole. Pak platí
1. grad(ϕψ) = ψ gradϕ + ϕ grad ψ.
D.: grad(ϕψ) =
∂
∂x
(ϕψ)ı +
∂
∂y
(ϕψ) +
∂
∂z
(ϕψ)k = ψ
∂ϕ
∂x
ı + ϕ
∂ψ
∂x
ı + ψ
∂ϕ
∂y
 + ϕ
∂ψ
∂y
 + ψ
∂ϕ
∂z
k + ϕ
∂ψ
∂z
k
2. div(ϕv) = gradϕ · v + ϕ div v
D.: div(ϕv) =
∂ϕv1
∂x
+
∂ϕv2
∂y
+
∂ϕv3
∂y
=
∂ϕ
∂x
v1 + ϕ
∂v1
∂x
+
∂ϕ
∂y
v2 + ϕ
∂v2
∂y
+
∂ϕ
∂z
v3 + ϕ
∂v3
∂z
3. div(u × v) = v · rot u − u · rot v
D.: div(u × v) =
∂
∂x
(u2v3 − u3v2) −
∂
∂y
(u1v3 − u3v1) +
∂
∂z
(u1v2 − u2v1) =
=
∂u2
∂x
v3 +
∂v3
∂x
u2 −
∂u3
∂x
v2 −
∂v2
∂x
u3 −
∂u1
∂y
v3 −
∂v3
∂y
u1 +
∂u3
∂y
v1 +
∂v1
∂y
u3+
+
∂u1
∂z
v2 +
∂v2
∂z
u1 −
∂u2
∂z
v1 −
∂v1
∂z
u2 =
= v1
∂u3
∂y
−
∂u2
∂z
+ v2
∂u1
∂z
−
∂u3
∂x
+ v3
∂u2
∂x
−
∂u1
∂y
+
+u1
∂v2
∂z
−
∂v3
∂y
+ u2
∂v3
∂x
−
∂v1
∂z
+ u3
∂v1
∂y
−
∂v2
∂x
4. grad(u · v) = v · gradu + u · grad v. Přitom · na pravé straně rovnosti značí maticové násobení, vektory
považujeme za řádkové.
D.: grad(u · v) = grad(u1v1 + u2v2 + u3v3) = grad
3
i=1
uivi =
=
3
i=1
∂ui
∂x
vi + ui
∂vi
∂x
,
3
i=1
∂ui
∂y
vi + ui
∂vi
∂y
,
3
i=1
∂ui
∂z
vi + ui
∂vi
∂z
=
=
3
i=1
vi
∂ui
∂x
,
3
i=1
vi
∂ui
∂y
,
3
i=1
vi
∂ui
∂z
+
3
i=1
ui
∂vi
∂x
,
3
i=1
ui
∂vi
∂y
,
3
i=1
ui
∂vi
∂z
=
= (v1, v2, v3) ·








∂u1
∂x
∂u1
∂y
∂u1
∂z
∂u2
∂x
∂u2
∂y
∂u2
∂z
∂u3
∂x
∂u3
∂y
∂u3
∂z








+ (u1, u2, u3) ·








∂v1
∂x
∂v1
∂y
∂v1
∂z
∂v2
∂x
∂v2
∂y
∂v2
∂z
∂v3
∂x
∂v3
∂y
∂v3
∂z








7.10.9 Definice
Vektorová čára vektorového pole g = g(r) je křivka v R3
taková, že vektor g(r) je tečným vektorem k této křivce
v bodě určeném polohovým vektorem r.
Je-li vektorové pole modelem proudění kapaliny, vektorové čáry se nazývají proudnice. Je-li vektorové pole
modelem silového pole (gravitačního, elektromagnetického, ...), vektorové čáry se nazývají siločáry.
221
Má-li vektorová čára pole g parametrické rovnice r = r(t) = x(t)ı + y(t) + z(t)k, pak podle 7.10.5 je
dx
dt
= g1,
dy
dt
= g2,
dz
dt
= g3, neboli
dx
g1
=
dy
g2
=
dz
g3
.
Tato rovnice se nazývá diferenciální rovnice vektorové čáry.
Naopak, jestliže diferenciály složek vektoru r = r(t) splňují předchozí rovnici, pak
g2dx − g1dy = 0, g3dy − g2dz = 0, g3dx − g1dz = 0 .
Odtud
o = (g3dy − g2dz)ı − (g3dx − g1dz) + (g2dx − g1dy)k =
ı  k
dx dy dz
g1 g2 g3
= dr × g ,
tedy vektory dr a g jsou rovnoběžné.
7.10.10 Definice
Buď g = g(r) vektorové pole. Existuje-li skalární pole f = f(r) takové, že g = − gradf, pak se g nazývá
potenciálové pole a f se nazývá potenciál vektorového pole g.
7.10.11 Věta
Vektorové pole g = g(r) je potenciálové s potenciálem třídy C2
právě tehdy, když rot g = o v každém bodě
Dom g.
D.: Nechť g je potenciálové pole a f je jeho potenciál. Pak
g1 = −
∂f
∂x
, g2 = −
∂f
∂y
, g3 = −
∂f
∂z
a tedy
∂g1
∂y
=
∂g2
∂x
,
∂g1
∂z
=
∂g3
∂x
,
∂g2
∂z
=
∂g3
∂y
.
Odtud rot g =
∂g3
∂y
−
∂g2
∂z
ı −
∂g3
∂x
−
∂g1
∂z
 +
∂g2
∂x
−
∂g1
∂y
k = o.
Opačná implikace plyne z 7.3.9.
7.10.12 Poznámka (ospravedlnění pojmu rotace)
Nechť tuhé těleso rotuje kolem pevné osy procházející počátkem soustavy souřadnic úhlovou rychlostí ω. (sr.
7.10.1.5)
Rychlost každého bodu tělesa o polohovém vektoru r = xı + y + zk je v = ω × r, neboli
v1 = ω2z − ω3y, v2 = ω3x − ω1z, v3 = ω1y − ω2x .
Úhlová rychlost ω nezávisí na r a tedy
∂v2
∂z
= −ω1,
∂v3
∂y
= ω1, → ω1 =
1
2
∂v3
∂y
−
∂v2
∂z
∂v1
∂z
= ω2,
∂v3
∂x
= −ω2, → ω2 =
1
2
∂v1
∂z
−
∂v3
∂x
∂v1
∂y
= −ω3,
∂v2
∂x
= ω3, → ω3 =
1
2
∂v2
∂x
−
∂v1
∂y
Odtud plyne, že
ω =
1
2
∂v3
∂y
−
∂v2
∂z
ı −
∂v3
∂x
−
∂v1
∂z
 +
∂v2
∂x
−
∂v1
∂y
k =
1
2
rot v .
222
Úhlová rychlost rotace (ve významu „otáčení“) tuhého tělesa je rovna polovině rotace (ve významu „diferenciální
operátor“) rychlosti jeho bodů.
Představíme-li si vektorové pole jako proudící kapalinu a je-li alespoň v jednom bodě rotace tohoto pole
nenulová, lze si okolí tohoto bodu představit jako tuhé těleso, které rotuje. Neboli že v kapalině je vír.
Proto pole g, které má (alespoň v jisté oblasti) nenulovou rotaci, se nazývá vírové. Potenciálové pole se někdy
nazývá nevírové.
7.11 Cvičení
Zjistěte, zda existuje limita funkce y = f(x, y) v daném bodě (x0, y0); pokud ano, vypočítejte ji.
1) f(x, y) =
x2
y2
x2y2 − (x − y)2
, (0, 0), 2) f(x, y) =
x3
y3
x2 + y2
, (0, 0),
3) f(x, y) =
x2
+ y(y − 1)2
x2 + (y − 1)2
, (0, 1), 4) f(x, y) =
1
xy
tg
xy
1 + xy
, (0, ∞),
5) f(x, y) = sin
πx
2x + y
, (∞, ∞), 6) f(x, y) = logx(x + y), (1, 0).
Vypočítejte parciální derivace prvního a druhého řádu funkcí
7) f(x, y) = xy +
x
y
, 8) f(x, y) = ln(x + y2
), 9) f(x, y) = arctg
x + y
1 − xy
,
10) f(x, y) = xy
, 11) f(x, y, z) =
1
x2 + y2 + z2
, 12) f(x, y, z) =
x
y
z
.
13) Ukažte, že funkce f(x, y) = ln (x − a)2 + (y − b)2 (resp. f(x, y, z) = 1/ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 )
splňuje Laplaceovu rovnici fxx + fyy = 0 (resp. fxx + fyy + fzz = 0).
14) Najděte derivaci funkce f(x, y) = x2
−xy +y2
ve směru jednotkového vektoru, který svírá úhel α s kladným
směrem osy x, v bodě (1, 1). Pro jaké α je tato derivace největší, nejmenší, rovna nule?
15) Vypočítejte směrovou derivaci funkce f(x, y) = 1 −
x2
a2
−
y2
b2
v bodě
a
√
2
,
b
√
2
, ve směru jednotkového
vektoru vnitřní normály ke křivce
x2
a2
+
y2
b2
= 1 v bodě
a
√
2
,
b
√
2
.
16) Vypočítejte úhel mezi gradienty funkce f(x, y, z) = x2
+ y2
− z2
v bodech (ε, 0, 0), (0, ε, 0).
17) Najděte příklad funkce z = f(x, y), která je v bodě (0, 0) spojitá, má v něm derivaci, ale nemá diferenciál.
Vypočítejte první diferenciál dané funkce v daném bodě
18) f(x, y) = arctg
x + y
1 − xy
, (
√
3, 1), 19) f(x, y, z) = xyz
, (e, 1, 0).
20) Najděte rovnici tečné roviny k elipsoidu x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1 v bodě (x1, y1, z1).
Zjistěte, zda následující výrazy jsou diferenciály nějaké kmenové funkce. Pokud ano, určete ji.
21)
dx
1 + x2
+
dy
1 + y2
, 22)
ydx − xdy
2x2 + 2xy + y2
,
23) (3x2
− 3yz + 2)dx + (3y2
− 3xz + ln y + 1)dy + (3z2
− 3xy + 1)dz.
Najděte první a druhé parciální derivace složených funkcí
24) u(x, y) = f
y
x
, 25) u(x, y) = f xy,
x
y
, 26) u(x, y, z) = f
x
y
,
y
z
.
Ukažte, že funkce u splňuje danou rovnici (ϕ, ψ jsou libovolné funkce).
27) yux − xuy = 0, u(x, y) = ϕ(x2
+ y2
), 28) xux + αyuy + βzuz = nu, u(x, y, z) = xn
ϕ
y
xα
,
z
xβ
,
29) uxx − 2uxy + uyy = 0, u(x, y) = xϕ(x + y) + yψ(x + y).
Postupným derivováním eliminujte z výrazů funkce ϕ, ψ.
30) u(x, y) = x + ϕ(xy), 31) u(x, y, z) = ϕ(x − y, y − z), 32) u(x, y) = ϕ(x)ψ(y).
Diferenciální rovnice transformujte do nových proměnných ξ, η.
33) x2
uxx − y2
uyy = 0, ξ =
y
x
, η = xy.
34) y2
uxx + x2
uyy − 2xyuxy = xux + yuy, ξ = x2 + y2, η = arctg
y
x
.
35) (1 + x2
)uxx + (1 + y2
)uyy + xux + yuy = 0, ξ = ln y + 1 + y2 , η = ln x +
√
1 + x2 .
Určete Taylorův polynom 2. stupně s daným středem následujících funkcí
223
36) f(x, y) = arctg
1 + x + y
1 − x + y
, (0, 0), 37) f(x, y) = xy
, (1, 1),
38) f(x, y, z) =
x3
+ y3
+ z3
3
− xyz, (1, 1, 1).
Najděte stacionární body daných funkcí a určete jejich druh
39) f(x, y) = x2
− y2
+ 2y − 1, 40) f(x, y) = x2
+ y2
− 2xy + 2x − 2y + 1,
41) f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy, 42) f(x, y, z) = x3
+ y2
+
z2
2
− 3xz − 2y + 2z,
43) f(x, y, z) = xy2
z3
(1 − x − 2y − 3z), 44) f(x, y, z) = sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z).
45) dokažte, že rovnice x4
− xy + y4
= 1 vyjadřuje v okolí bodu (0, 1) jistou funkci y = y(x). Zjistěte, zda je
tato funkce v bodě 0 konvexní nebo konkávní.
46) Vyšetřete průběh funkce y = y(x) dané implicitně rovnicí x2
+ y2 2
= x2
− y2
.
Vypočítejte druhý diferenciál funkce z = z(x, y), dané implicitně, v obecném bodě
47)
x
z
= ln
z
y
+ 1, 48) xyz = x + y + z.
Najděte lokální extrémy funkce z = z(x, y) dané implicitně rovnicí
49) x2
+ y2
+ z2
− xz − yz + 2x + 2y + 2z = 2, 50) x2
+ y2
+ z2
= a2
.
51) Napište rovnici tečny ke kružnici, která je průnikem roviny x + y + z = 0 se sférou x2
+ y2
+ z2
= 1, v bodě
√
6
6
,
√
6
6
, −
√
6
3
.
52) Najděte extrémní vzdálenosti počátku souřadnic od bodů křivky dané rovnicí 5x2
+ 6xy + 5y2
= 8.
53) Buďte ϕ, ψ skalární pole. Vypočítejte div (ϕ grad ψ).
54) Buď v vektorové pole. Vypočítejte grad div v.
Výsledky: 1) neexistuje 2) 0 3) 1 4) neexistuje 5) neexistuje 6) neexistuje 7) fx = y + 1
y , fy = x − x
y2 ,
fxx = 0, fyy = 2x
y3 , fxy = 1 − 1
y2 8) fx = 1
x+y2 , fy = 2y
x+y2 , fxx = −1
(x+y2)2 , fyy = 2x−2y2
(x+y2)2 , fxy = −2y
(x+y2)2
9) fx = 1
x2+1 , fy = 1
y2+1 , fxx = −2x
(x2+1)2 , fyy = −2y
(y2+1)2 , fxy = 0 10) fx = yxy−1
, fy = xy
ln x,
fxx = (y2
− y)xy−2
, fyy = xy
(ln x)2
, fxy = xy−1
(1 + y ln x) 11) fx = −x√
(x2+y2+z2)3
, fy = −y√
(x2+y2+z2)3
,
fz = −z√
(x2+y2+z2)3
, fxx = 2x2
−y2
−z2
√
(x2+y2+z2)5
, fyy = −x2
+2y2
−z2
√
(x2+y2+z2)5
, fzz = −x2
−y2
+2z2
√
(x2+y2+z2)5
,
fxy = 3xy√
(x2+y2+z2)5
, fxz = 3xz√
(x2+y2+z2)5
, fyz = 3yz√
(x2+y2+z2)5
12) fx = z
x
x
y
z
, fy = −z
y
x
y
z
, fz = x
y
z
ln x
y ,
fxx = z2
−z
x2
x
y
z
, fyy = z2
+z
y2
x
y
z
, fzz = x
y
z
ln x
y
2
, fxy = − z2
xy
x
y
z
, fxz =
1+z ln x
y
x
x
y
z
,
fyz = −
1+z ln x
y
y
x
y
z
14) cos α + sin α, π
4 , 5π
4 , 3π
4 nebo 7π
4 15)
√
2(a2+b2)
ab 16) π
2
17) f(x, y) =



2x2
− y, x > 0, y ∈ [x2
, 2x2
)
2y − x2
, x > 0, y ∈ x2
2 , x2
0, jinak
18) dx
4 + dy
2 19) dx 20) xx1
a2 + yy1
b2 + zz1
c2 = 1 21) arctg x+y
1−xy
22) − arctg x+y
x 23) x3
+ y3
+ z3
− 3xyz + 2x + z + y ln y 24) ux = − y
x2 f′ y
x , uy = 1
x f′ y
x ,
uxx = y
x3 2f′ y
x + y
x f′′ y
x , uyy = 1
x2 f′′ y
x , uxy = − 1
x2 f′ y
x + y
x f′′ y
x 25) ux = yf′
|1 + 1
y f′
|2,
uy = xf′
|1 − x
y2 f′
|2, uxx = y2
f′′
|11 + 2f′′
|12 + 1
y2 f′′
|22, uyy = x2
f′′
|11 − 2x2
y2 f′′
|12 + x2
y4 f′′
|22 + 2x
y3 f′
|2,
uxy = xyf′′
|11 − x
y3 f′′
|22 + f′
|1 − 1
y2 f′
|2 26) ux = 1
y f′
|1, uy = − x
y2 f′
|1 + 1
z f′
|2, uz = − y
z2 f′
|2, uxx = 1
y2 f′′
|11,
uyy = x2
y4 f′′
|11 − 2x
y2z f′′
|12 + 1
z2 f′′
|22 + x
y3 f′
|1, uzz = y2
z4 f′′
|22 + 2y
z3 f′
|2, uxy = − x
y3 f′′
|11 + 1
yz f′′
|12 − 1
y2 f′
|1, uxz = − 1
z2 f′′
|12,
uyz = x
yz2 f′′
|12 − y
z3 f′′
|22 − 1
z2 f′
|2 30) xux − yuy = x 31) ux + uy + uz = 0 32) uuxy = uxuy 33) uξη = 1
2η uξ
34) uηη = 0 35) uξξ + uηη = 0 36) π
4 + x − xy 37) 1 − y + xy
38) (x − 1)2
+ (y − 1)2
+ (z − 1)2
− (x − 1)(y − 1) − (x − 1)(z − 1) − (y − 1)(z − 1) 39) (0, 1) sedlo
40) na přímce y = x+1 (neostré) lokální minimum 41) (1, 1) ostré lokální minimum, (0, 0) sedlo 42) (2, 1, 4) ostré
lokální minimum, (1, 1, 1) sedlo 43) 1
7 , 1
7 , 1
7 ostré lokální maximum, 0, y, 1
3 (2y − 1) , (x, 0, y), (x, y, 0) nejsou
ostré lokální extrémy 44) 2k+1
2 π, 2k+1
2 π, 2k+1
2 π ostré lokální maximum, (kπ, kπ, kπ) ostré lokální minimum
45) konkávní 46) Bernoulliho lemniskáta 47) −z2
(ydx−xdy)2
y2(x+z)3 48) 2
(1−xy)2 y(yz − 1)dx2
+ 2zdxdy + x(xz − 1)dy2
49) zmin = z −3 −
√
6, −3 −
√
6 = −4 − 2
√
6, zmax = z −3 +
√
6, −3 +
√
6 = −4 + 2
√
6
50) zmin = z(0, 0) = −a, zmax = z(0, 0) = a. 51) x =
√
6
6 + t, y =
√
6
6 − t, z = −
√
6
3 52) Nejmenší vzdálenost 1
224
je od bodů
√
2
2 ,
√
2
2 , −
√
2
2 , −
√
2
2 ; největší vzdálenost 2 je od bodů (
√
2, −
√
2), (−
√
2,
√
2) 53) ∇ϕ · ∇ψ + ϕ∆ψ
54) rot rot v + ∆v
225
226
Kapitola 8
Integrální počet funkcí více proměnných
Pojem míry podmnožiny prostoru Rk
sjednocuje a zobecňuje pojem obsahu rovinných obrazců a objemu prostorových
těles. Např. obsah rovinného obrazce je mírou v R2
. Pro A ⊆ Rn
označme m(A) míru množiny A.
Míru lze formálně chápat jako zobrazení m z množiny podmnožin Rk
do množiny nezáporných reálných čísel.
Míra by měla splňovat následující přirozené podmínky:
(i) Jsou-li množiny A, B shodné, pak m(A) = m(B).
(ii) Je-li A ⊆ B, pak m(A) ≤ m(B).
(iii) Je-li A ∩ B = ∅, pak m(A ∪ B) = m(A) + m(B).
Obecnou míru v prostoru Rn
jako první zkonstruoval Camille Jordan (1838–1922). Pro názornost podrobně
ukážeme konstrukci Jordanovy míry v R2
.
8.1 Jordanova míra v R2
8.1.1 Definice
Nechť n, j, k ∈ Z, n ≥ 0. Čtverec řádu n definujeme jako množinu
Wn
j,k = (x, y) ∈ R2
:
j
2n
≤ x <
j + 1
2n
,
k
2n
≤ y <
k + 1
2n
.
Množinu všech čtverců řádu n nazveme síť řádu n a síť řádu 0 nazveme základní síť.
Konečné sjednocení čtverců řádu n nazveme elementární množina řádu n.
Reálné číslo
m Wn
j,k = m (Wn
) =
1
2n
2
=
1
4n
nazveme mírou čtverce řádu n. Dále klademe m(∅) = 0.
Je-li M =
(j,k)∈I
Wn
j,k elementární množina řádu n, pak klademe
m(M) = m


(j,k)∈I
Wn
j,k

 =
(j,k)∈I
m Wn
j,k ,
tj. míra elementární množiny řádu n je součtem měr všech čtverců, které ji tvoří.
Poznámky:
Pokud nebude záležet na umístění čtverce, tedy na dolních indexech j, k, budeme je často vynechávat.
Poněvadž každý čtverec řádu n je sjednocením čtyř čtverců řádu n + 1, platí m(Wn
) = 4m(Wn+1
).
Snadno ověříme, že míra elementárních množin splňuje podmínky (i)–(iii) z úvodu kapitoly.
227
8.1.2 Definice
Buď A ⊆ R2
ohraničená množina.
Jádro řádu n množiny A značené Kn(A) definujeme jako největší (vzhledem k množinové inkluzi) elementární
množinu řádu n, která je obsažena ve vnitřku množiny A, tj.
Kn(A) = {Wn
: Wn
⊆ A◦
} .
Obal řádu n množiny A značený Cn(A) definujeme jako nejmenší (vzhledem k množinové inkluzi) elementární
množinu řádu n, jejíž vnitřek obsahuje uzávěr množiny A, tj.
Cn(A) = Wn
: A ∩ Wn
= ∅ .
Neexistuje-li čtverec řádu n, který by byl částí A◦
, klademe Kn(A) = ∅. Je-li A = ∅, klademe Cn(A) = ∅.
Poznámky: Z definice bezprostředně plynou inkluze
Kn(A) ⊆ A◦
⊆ A ⊆ A ⊆ Cn(A).
Dále zřejmě platí: Ke každé ohraničené množině A ⊆ R2
lze sestrojit posloupnosti měr
{m (Kn(A))}
∞
n=0 a {m (Cn(A))}
∞
n=0 .
8.1.3 Věta
Buď A ⊆ R2
ohraničená množina. Pak platí m (Cn(∂A)) = m (Cn(A)) − m (Kn(A)).
D.: Čtverce, které tvoří elementární množinu Cn(A) můžeme rozdělit do dvou disjunktních skupin: ty, které
obsahují hraniční body množiny A a ty, které je neobsahují. Čtverce z první skupiny tvoří elementární
množinu Cn(∂A) a čtverce z druhé skupiny tvoří elementární množinu Kn(A). Z vlastnosti (iii) míry
elementárních množin nyní plyne m (Kn(A)) + m (Cn(∂A)) = m (Cn(A)), a tedy i dokazovaná rovnost.
8.1.4 Věta
Buď A ⊆ R2
ohraničená množina. Pak pro každé n ∈ N ∪ {0} platí
m (Kn(A)) ≤ m (Kn+1(A)) , m (Cn(A)) ≥ m (Cn+1(A)) .
D.: Nerovnosti plynou ze zřejmých inkluzí Kn(A) ⊆ Kn+1(A), Cn(A) ⊇ Cn+1(A).
8.1.5 Důsledek
Posloupnosti měr {m (Kn(A))}
∞
n=0 a {m (Cn(A))}
∞
n=0 mají (vlastní) limitu.
D.: Plyne z věty o monotonních posloupnostech 1.3.9, neboť {m (Kn(A))}
∞
n=0 je neklesající a shora ohraničená
hodnotou m (K0(A)); {m (Cn(A))}∞
n=0 je nerostoucí a zdola ohraničená hodnotou 0.
Toto tvrzení nás opravňuje k následující definici:
8.1.6 Definice
Buď A ⊆ R2
ohraničená množina. Číslo
m∗(A) = lim
n→∞
m (Kn(A))
se nazývá vnitřní Jordanova míra množiny A a číslo
m∗
(A) = lim
n→∞
m (Cn(A))
se nazývá vnější Jordanova míra množiny A. Jestliže m∗(A) = m∗
(A), pak řekneme, že množina A je Jordanovsky
měřitelná a číslo m(A) = m∗(A) = m∗
(A) se nazývá Jordanova míra množiny A.
Poznamenejme, že vždy platí 0 ≤ m∗(A) ≤ m∗
(A).
228
8.1.7 Příklad
Položme A = (x, y) ∈ Q2
: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 . Pak A◦
= ∅ a tedy také Kn(A) = ∅ pro libovolné n ∈ N. To
znamená, že m∗(A) = 0. Dále A = [0, 1] × [0, 1] = W0
0,0 a tedy
m (C0(A)) = 1 + 8 · 1 = 1 +
2 · 4
20
,
m (C1(A)) = 1 + 12 ·
1
4
= 1 +
3 · 4
22
,
m (C2(A)) = 1 + 20 ·
1
16
= 1 +
5 · 4
24
,
...
m (Cn(A)) = 1 + (4 · 2n
+ 4) ·
1
2n
2
= 1 +
(2n
+ 1)4
22n
= 1 + 4
1
2n
+
1
22n
.
Tedy m∗
(A) = lim
n→∞
1 + 4
1
2n
+
1
22n
= 1. Poněvadž m∗(A) = 0 < 1 = m∗
(A), není množina A měřitelná.
8.1.8 Věta
Je-li m∗
(A) = 0, pak množina A je měřitelná a platí m(A) = 0.
D.: Plyne bezprostředně z poznámky za definicí 8.1.6.
8.1.9 Věta
Buďte A, B ⊆ R2
ohraničené množiny. Pak platí
1. Je-li A ⊆ B pak m∗(A) ≤ m∗(B) a m∗
(A) ≤ m∗
(B).
2. m∗
(A ∪ B) ≤ m∗
(A) + m∗
(B).
3. Je-li A ∩ B = ∅ pak m∗(A) + m∗(B) ≤ m∗(A ∪ B).
D.: První tvrzení plyne z 5.2.2.4, druhé z 5.2.2.5 a třetí z faktu, že Kn(A) ∪ Kn(B) ⊆ Kn(A ∪ B).
8.1.10 Věta
Buďte A, B ⊆ R2
měřitelné množiny. Pak platí
1. Je-li A ⊆ B pak m(A) ≤ m(B).
2. Je-li A ∩ B = ∅ pak množina A ∪ B je měřitelná a platí m(A ∪ B) = m(A) + m(B).
D.: První tvrzení plyne z 8.1.9.1. Je-li A ∩ B = ∅ pak s využitím 8.1.9.3 a 8.1.9.2 dostaneme
m∗(A) + m∗(B) ≤ m∗(A ∪ B) ≤ m∗
(A ∪ B) ≤ m∗
(A) + m∗
(B),
tedy
m(A) + m(B) = m(A ∪ B) = m(A ∪ B) = m(A) + m(B).
Jordanova míra tedy má vlastnosti (ii) a (iii) z úvodu kapitoly.
229
8.1.11 Věta
Konečná množina A ⊆ R2
je měřitelná a platí m(A) = 0.
D.: Nechť A = {a} je jednoprvková množina. Bod a je prvkem nejvýše čtyř čtverců řádu n, tedy
m∗
(A) = lim
n→∞
4
1
4n
= 0. Podle 8.1.8 je A měřitelná a m(A) = 0. Důkaz nyní dokončíme indukcí.
Poznámka: Opačné tvrzení samozřejmě neplatí; z m(A) = 0 neplyne, že by množina A byla konečná.
Př.: A = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}, m∗
(A) = lim
n→∞
(2 · 2n
+ 4)
1
4n
= lim
n→∞
1
2n−1
+
1
4n−1
= 0 a tedy m(A) = 0.
8.1.12 Věta
Ohraničená množina A ⊆ R2
je měřitelná právě tehdy, když m(∂A) = 0.
D.: Podle 8.1.3 platí m∗
(∂A) = m∗
(A) − m∗(A). Odtud plyne tvrzení.
8.1.13 Věta
Jsou-li množiny A, B měřitelné, pak také množiny A ∪ B, A ∩ B, A \ B jsou měřitelné.
D.: Podle 8.1.12 je m(∂A) = m(∂B) = 0.
Poněvadž ∂(A ∪ B) ⊆ ∂A ∪ ∂B, s využitím 8.1.9.1 a 8.1.9.2 dostaneme
0 ≤ m∗
(∂(A ∪ B)) ≤ m∗
(∂A ∪ ∂B) ≤ m∗
(∂A) + m∗
(∂B) = 0.
Podobně, poněvadž ∂(A ∩ B) ⊆ ∂A ∪ ∂B, dostaneme m∗
(∂(A ∩ B)) = 0.
Dále ∂(A \ B) = ∂ A ∩ R2
\ B ⊆ ∂A ∪ ∂ R2
\ B = ∂A ∪ ∂B, takže opět m∗
(∂(A \ B)) = 0.
8.1.14 Věta
Jsou-li A, B měřitelné množiny, pro něž m(A ∩ B) = 0, pak m(A ∪ B) = m(A) + m(B).
D.: Poněvadž A ∪ B = A ∪ (B \ A) a A ∩ (B \ A) = ∅, z 8.1.10 plyne m(A ∪ B) = m(A) + m(B \ A).
Dále B = (B \ A) ∪ (A ∩ B) a (B \ A) ∩ (A ∩ B) = ∅, takže m(B) = m(B \ A) + m(A ∩ B).
Odečtením těchto rovnic dostaneme
m(A ∪ B) = m(A) + m(B) − m(A ∩ B),
z čehož plyne tvrzení.
Z této věty také plyne vlastnost (iii) z úvodu kapitoly.
8.1.15 Věta (míra obdélníku)
Buďte a1, b1, a2, b2 reálná čísla taková, že a1 ≤ b1, a2 ≤ b2. Obdélník
Q = (x, y) ∈ R2
: a1 ≤ x ≤ b1, a2 ≤ y ≤ b2
je měřitelnou množinou a m(Q) = (b1 − a1)(b2 − a2).
D.: Připomeňme, že [x] označuje celou část čísla x. Platí
m (Kn(Q)) ≥



b1 − a1
1
2n
− 1


 ·



b2 − a2
1
2n
− 1


 ·
1
4n
≥ (2n
(b1 − a1) − 2) (2n
(b2 − a2) − 2)
1
4n
=
= (b1 − a1) −
1
2n−1
(b2 − a2) −
1
2n−1
= (b1 − a1)(b2 − a2) −
1
2n−1
(b1 + b2 − a1 − a2) +
1
4n−1
,
230
m (Cn(Q)) ≤



b1 − a1
1
2n
+ 2






b2 − a2
1
2n
+ 2



1
4n
≤ (b1 − a1)(b2 − a2) +
1
2n−1
(b1 + b2 − a1 − a2) +
1
4n−1
.
Tedy
m∗(Q) ≥ (b1 − a1)(b2 − a2) ≥ m∗
(Q),
avšak m∗(Q) ≤ m∗
(Q), z čehož plyne m∗(Q) = m∗
(Q) = (b1 − a1)(b2 − a2).
8.1.16 Lemma
Buď A ⊆ R2
ohraničená množina, F : A → R2
lipschitzovské zobrazení (tj. existuje nezáporná konstanta L
taková, že pro každé dva body (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2
platí ρ (F(x1, y1), F(x2, y2)) ≤ Lρ ((x1, y1), (x2, y2)) kde ρ
je euklidovská metrika nebo metrika s euklidovskou ekvivalentní). Pak m∗
(F(A)) ≤ 4L2
m∗
(A).
D.: Buď ln počet čtverců řádu n tvořících obal množiny A. Míra čtverce řádu n je
1
4n
. Tedy m (Cn(A)) = ln
1
4n
;
odtud ln = 4n
m (Cn(A)).
Euklidovská vzdálenost každých dvou bodů (x1, y1), (x2, y2) ležících ve čtverci řádu n je nejvýše rovna
úhlopříčce tohoto čtverce, tj. ρ ((x1, y1), (x2, y2)) ≤
√
2
2n
. Pro vzdálenost jejich obrazů platí
ρ (F(x1, y1), F(x2, y2)) ≤ Lρ ((x1, y1), (x2, y2)) ≤
L
√
2
2n
<
L
2n−1
.
Část množiny A, která leží ve čtverci řádu n se zobrazí do kruhu o průměru
L
2n−1
, tedy do čtverce Kn se
stranami délky
L
2n−1
a rovnoběžnými se souřadnými osami. Podle 8.1.15 je míra tohoto čtverce rovna
m(Kn) =
L2
22n−2
=
L2
4n−1
.
Množina K = F (Cn(A)) je sjednocením všech čtverců Kn. Podle 8.1.9.2 je
m∗
(K) ≤ lnm(Kn) = 4n
m (Cn(A))
L2
4n−1
= 4L2
m (Cn(A)) .
Dále, poněvadž F(A) ⊆ F (Cn(A)) = K, podle 8.1.9.1 je m∗
(F(A)) ≤ 4L2
m (Cn(A)). Odtud limitním
přechodem n → ∞ dostaneme tvrzení věty.
8.1.17 Důsledky
1. Má-li množina A ⊆ R2
míru 0 a zobrazení F : A → R2
je lipschitzovské, pak m (F(A)) = 0.
2. Buď f funkce definovaná na uzavřeném intervalu [a, b], která je lipschitzovská s konstantou l. Pak graf
této funkce má míru 0, tj. m {(x, y) ∈ R2
: a ≤ x ≤ b, y = f(x)} = 0.
D.: Označme A = (x, 0) ∈ R2
: a ≤ x ≤ b a definujme zobrazení F : A → R2
předpisem F(x, 0) =
(x, f(x)). Pak pro libovolná x1, x2 ∈ [a, b] platí
ρ (F(x1, 0), F(x2, 0)) = ρ ((x1, f(x1)), (x2, f(x2))) = (x2 − x1)2 + (f(x2) − f(x1))2 ≤
≤ (x2 − x1)2 + l2(x2 − x1)2 = 1 + l2 (x2 − x1)2 + 02 = 1 + l2 ρ ((x1, 0), (x2, 0)) .
Zobrazení F je tedy lipschitzovské s konstantou
√
1 + l2 . Podle 8.1.16 pro míru grafu funkce f platí
m (F(A)) ≤ 4(1 + l2
)m∗
(A).
Dále platí
m∗
(A) ≤ m (Cn(A)) ≤ 2 [2n
(b − a) + 2]
1
4n
<
b − a
2n−1
.
Poněvadž poslední výraz má pro pro n → ∞ limitu 0, je m∗
(A) = 0. Tím je důkaz úplný.
231
Obrazec v rovině je nějaká podmnožina R2
, jejíž hranice je rovinná křivku. Tuto křivku lze obvykle rozdělit
na konečně mnoho částí, z nichž každou lze vyjádřit jako graf nějaké funkce jedné proměnné x nebo y. Je-li
každá z takových funkcí lipschitzovská, je míra hranice obrazce podle posledního tvrzení nulová a to podle 8.1.12
znamená, že takový obrazec je měřitelnou množinou.
8.2 Závislost míry na transformaci souřadnic
8.2.1 Věta
Buď A ⊆ R2
měřitelná množina, F : R2
→ R2
isometrické zobrazení. Pak je množina F(A) měřitelná a platí
m (F(A)) = m(A).
D.: Poněvadž F je isometrické, tj. ρ (F(x1, y1), F(x2, y2)) = ρ ((x1, y1), (x2, y2)), je toto zobrazení také lipschitzovské
s konstantou 1 a zejména je tedy spojité.
Ze spojitosti zobrazení F plyne F(∂A) = ∂F(A) a z měřitelnosti množiny A plyne m(∂A) = 0. Podle
8.1.17.1 je tedy také m (∂F(A)) = 0, což podle 8.1.12 znamená, že množina F(A) je měřitelná. Analogicky
ukážeme, že pro čtverec Wn
řádu n je množina F(Wn
) měřitelná. (Pozn.: Množina F(Wn
) je zase čtverec
o straně délky 2−n
, ale jeho strany obecně nejsou rovnoběžné s osami, takže jeho míru nelze vypočítat
podle 8.1.15.)
Je-li m(A) = 0, je m (F(A)) = 0 podle 8.1.17.
Nechť m(A) > 0. Položme κF =
m (F(Wn
))
m (Wn)
.
Číslo κF nezávisí na n, neboť podle 8.1.14 je
m (F(Wn
))
m (Wn)
=
4m F(Wn+1
)
4m (Wn+1)
. Počet množin F(Wn
) tvořících
množinu F (Kn(A)) je stejný jako počet čtverců Wn
tvořících množinu Kn(A), neboť zobrazení F
je podle 5.1.11 prosté. Tedy
m (F (Kn(A)))
m (Kn(A))
= κF . Podobnou úvahou dostaneme
m (F (Cn(A)))
m (Cn(A))
= κF .
Odtud
m (F (Kn(A))) = κF m (Kn(A)) ≤ κF m∗(A) = κF m∗
(A) ≤ κF m (Cn(A)) = m (F (Cn(A))) .
Limitním přechodem n → ∞ dostaneme
κF m(A) = lim
n→∞
m (F(Kn(A))) ≤ lim
n→∞
m (F(Cn(A))) = κF m(A),
tedy lim
n→∞
m (F(Kn(A))) = lim
n→∞
m (F(Cn(A))). Poněvadž F (Kn(A)) ⊆ F(A) ⊆ F (Cn(A)), dále platí
m (F (Kn(A))) ≤ m (F(A)) ≤ m (F (Cn(A))) ,
takže z předchozí rovnosti a a z věty o třech posloupnostech 1.3.7 dostaneme m (F(A)) = κF m(A). Tento
vztah platí pro libovolnou měřitelnou množinu A, zejména tedy pro jednotkový kruh. Avšak isometrické
zobrazení převádí jednotkový kruh na jednotkový kruh. Z toho plyne, že κF = 1.
Z věty zejména plyne, že Jordanova míra splňuje požadavek (i) z úvodu kapitoly.
8.2.2 Lemma
Jordanova míra rovnoběžníku P o straně a a výšce v na ni spuštěné je m(P) = av.
D.: Nejprve poznamenejme, že hranice rovnoběžníku je tvořena čtyřmi úsečkami, což jsou podle 8.1.17 množiny
Jordanovy míry 0, takže podle 8.1.12 je rovnoběžník měřitelnou množinou.
Označme α jeden vnitřní úhel rovnoběžníku a dále κ = tg α. Rotace a posunutí jsou isometrická zobrazení.
Podle 8.2.1 tedy stačí určit míru rovnoběžníku P s vrcholy (0, 0), (a, 0), (vκ, v), (vκ + a, v).
Buď n ∈ N. Do uvažovaného rovnoběžníku lze vepsat soustavu obdélníků
(i + 1)
v
nκ
, i
v
nκ
+ a × i
v
n
, (i + 1)
v
n
, i = 0, 1, . . . , (n − 1)
232
a lze mu opsat soustavu obdélníků
i
v
nκ
, (i + 1)
v
nκ
+ a × i
v
n
, (i + 1)
v
n
, i = 0, 1, . . ., (n − 1).
Podle 8.1.15 je míra každého vepsaného obdélníku
v
n
a −
v
nκ
a míra každého opsaného obdélníku je
v
n
a +
v
nκ
.
Označme Un sjednocení všech opsaných obdélníků a Vn sjednocení všech vepsaných obdélníků. Množiny
Un a Vn jsou měřitelné a platí Un ⊆ P ⊆ Vn,
m(Un) = n
v
n
a −
v
nκ
= v a −
v
nκ
, m(Vn) = v a +
v
nκ
.
Podle 8.1.10.1 je
av −
v2
nκ
≤ m(P) ≤ av +
v2
nκ
pro každé n ∈ N a tedy m(P) = av.
8.2.3 Lemma
Míra rovnoběžníku P určeného vektory u = (x1, x2) a v = (x2, y2) je rovna absolutní hodnotě determinantu
x1 x2
y1 y2
.
D.: Podle 8.2.2 je Jordanova míra rovnoběžníku dána formulí známou ze střední školy. Označíme-li tedy α
úhel vektorů u a v, můžeme psát
m(P) = |u| · |v| · | sin α|.
Označme dále γ úhel vektorů (0, 1) a u, β úhel vektorů (0, 1) a v. Pak je
sin γ =
y1
|u|
, cos γ =
x1
|u|
, sin β =
y2
|v|
, cos β =
x2
|v|
,
a tedy
|sin α| = |sin(β − γ)| = |sin β cos γ − sin γ cos β| =
y2
|u|
x1
|v|
−
y1
|u|
x2
|u|
=
1
|u| · |v|
|x1y2 − x2y1| ,
což je dokazované tvrzení.
8.2.4 Věta (o závislosti míry množiny na lineární transformaci)
Buď L : R2
→ R2
regulární lineární zobrazení s maticí (ℓij) (tj. D = det (ℓij) = 0). Je-li A ⊆ R2
měřitelná
množina, pak je i L(A) měřitelná množina a platí
m (L(A)) = |det (ℓij)| m(A) = |ℓ11ℓ22 − ℓ12ℓ22| m(A).
D.: Označme (u1, u2) = L(x, y), tedy u1 = ℓ11x + ℓ12y, u2 = ℓ21x + ℓ22y.
Poněvadž zobrazení L je lineární, transformuje systém rovnoběžných, stejně vzdálených přímek na jiný
systém rovnoběžných stejně vzdálených přímek. To znamená, že zobrazení L transformuje síť čtverců řádu
n na soustavu shodných rovnoběžníků. Určíme m L Wn
0,0 .
Čtverec Wn
0,0 je určen vektory
1
2n
(1, 0),
1
2n
(0, 1), rovnoběžník L Wn
0,0 je určen vektory u = (u1, u2),
v = (v1, v2), kde u1 =
1
2n
ℓ11, u2 =
1
2n
ℓ21, v1 =
1
2n
ℓ12, v2 =
1
2n
ℓ22. Tedy podle 8.2.3 je
m L Wn
0,0 =
1
2n
ℓ11
1
2n
ℓ12
1
2n
ℓ21
1
2n
ℓ22
=
1
22n
|det(ℓij)| = |det(ℓij)| · m (Wn
) .
233
Nechť jádro Kn(A) množiny A se skládá z k čtverců řádu n, tj. Kn(A) =
(p,q)∈I
Wn
p,q, kde I je nějaká
k-prvková množina dvojic celých čísel. Pak platí
m∗ (L(A)) ≥ m∗ (L (Kn(A))) = m∗

L


(p,q)∈I
Wn
p,q



 ,
neboť z inkluze Kn(A) ⊆ A plyne stejná inkluze pro obrazy množin, tj. L (Kn(A)) ⊆ L(A) a nerovnost tedy
vyplývá z 8.1.9.1. Dále snadno ověříme, že
(p,q)∈I
L Wn
p,q ⊆ L
(p,q)∈I
Wn
p,q . Každá z množin L Wn
p,q
je měřitelná a tyto množiny mají společnou nejvýše hranici, tedy množinu Jordanovy míry 0. Z předchozí
inkluze a z 8.1.10.2 dostaneme
m∗ (L(A)) ≥ m∗

L


(p,q)∈I
Wn
p,q



 ≥ m∗


(p,q)∈I
L Wn
p,q

 =
(p,q)∈I
m L Wn
p,q =
=
(p,q)∈I
|det(ℓij)| m Wn
p,q = |det(ℓij)|
(p,q)∈I
m Wn
p,q = |det(ℓij)| m (Kn(A)) .
Celkem tedy m∗ (L(A)) ≥ |det(ℓij)| m (Kn(A)). Analogicky ověříme platnost nerovnosti
m∗
(L(A)) ≤ |det(ℓij)| m (Cn(A)). Platí tedy nerovnosti
|det(ℓij)| m (Kn(A)) ≤ m∗ (L(A)) ≤ m∗
(L(A)) ≤ |det(ℓij)| m (Cn(A)) ,
ze které limitním přechodem n → ∞ a s využitím 1.3.7 dostaneme tvrzení.
8.3 Jordanova míra v Rk
Jordanovu míru v Rk
, k = 1, 2, 3, . . ., lze konstruovat stejně jako míru v R2
. Místo čtverců řádu n se uvažují
k-rozměrné krychle řádu n
Wn
m1,...,mk
= (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk
:
m1
2n
≤ x1 ≤
m1 + 1
2n
,
m2
2n
≤ x2 ≤
m2 + 1
2n
, . . . ,
mk
2n
≤ xk ≤
mk + 1
2n
.
Jejich Jordanovu míru definujeme vztahem m (Wn
) =
1
2kn
.
Krychle řádu n obsahuje 2k
krychlí řádu n + 1.
Všechny věty z předchozích dvou odstavců po příslušné úpravě předpokladů zůstávají v platnosti.
Tentýž geometrický útvar může mít různou míru v prostorech různé dimenze. Např. jednotková úsečka
• v prostoru R1
= R je krychlí řádu 0 a její míra je tedy 1;
• v prostoru R2
je podle poznámky za 8.1.11 její míra 0.
Všechny známé plochy obrazců a objemy těles vyjadřují příslušnou Jordanovu míru.
Míru m na prostoru Rk
se nazývá aditivní, má-li následující vlastnost: Jsou-li množiny A1, A2, . . . , Am
měřitelné a po dvou disjunktní, pak i množina A =
m
i=1
A1 je měřitelná a platí
m(A) =
m
i=1
m(Ai).
Jordanova míra je podle 8.1.10.2 aditivní.
234
8.4 Riemannův integrál
8.4.1 Definice
Buďte i1, i2, . . . , ik ∈ Z. Množinu
Cn
i1,i2,...,ik
= (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk
:
i1
2n
≤ x1 <
i1 + 1
2n
, . . . ,
ik
2n
≤ x1 <
ik + 1
2n
nazýváme krychlová množina řádu n.
Krychlová množina řádu n se liší od krychle řádu n tím, že není uzavřená. Krychlové množiny pokrývají
celý prostor Rk
a jsou po dvou disjunktní, tj. každý bod x ∈ Rk
je prvkem právě jedné z nich.
Každá krychlová množina řádu n je měřitelná a její míra je m (Cn
) =
1
2kn
, sr. 8.1.12, 8.1.13.
8.4.2 Definice
Buď A ⊆ Rk
měřitelná množina a buďte Cn
1 , Cn
2 , . . . , Cn
m všechny krychlové množiny řádu n takové, že Dn
1 =
Cn
1 ∩A = ∅, . . . , Dn
m = Cn
m ∩A = ∅. Systém množin Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} nazveme pokrytím řádu n množiny
A.
Každá z množin Dn
j je podle 8.1.13 měřitelná, neboť je průnikem dvou měřitelných množin. Míra množiny
A je podle 8.1.14 rovna
m(A) =
m
j=1
m Dn
j .
Jsou-li p, q ∈ N, p < q, je pokrytí Sq zjemněním pokrytí Sp v tom smyslu, že ke každé množině Dq
∈ Sq
existuje množina Dp
∈ Sp tak, že Dq
⊆ Dp
.
8.4.3 Definice
Buď A ⊆ Rk
měřitelná množina, f : A → R ohraničená funkce a Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} pokrytí řádu n
množiny A. Označme
αj = inf f(x) : x ∈ Dn
j , βj = sup f(x) : x ∈ Dn
j .
Pak číslo
sn(A, f) =
m
j=1
αjm Dn
j resp. Sn(A, f) =
m
j=1
βjm Dn
j
nazýváme dolní, resp. horní, součet řádu n příslušný k množině A a funkci f.
Poněvadž αj ≤ βj, j = 1, 2, . . ., m, platí sn(A, f) ≤ Sn(A, f).
8.4.4 Věta
Posloupnost {sn(A, f)}
∞
n=1 je neklesající, posloupnost {Sn(A, f)}
∞
n=1 je nerostoucí.
D.: Nechť Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m}, Sn+1 = Dn+1
1 , Dn+1
2 , . . . , Dn+1
l .
Ke každému k ∈ {1, 2, . . ., m} vybereme z pokrytí Sn+1 ty prvky, které jsou podmnožinou množiny Dn
k .
Označíme je Dn+1
k1
, Dn+1
k2
, . . . , Dn+1
kh
, tj. Dn
k =
h
j=1
Dn+1
kj
. Pak
αk = inf {f(x) : x ∈ Dn
k } ≤ inf f(x) : x ∈ Dn+1
kj
pro každé j ∈ {1, 2, . . ., h}, neboť Dn+1
kj
⊆ Dn
k . Označme ˜αkj = inf f(x) : x ∈ Dn+1
kj
. Platí
αkm (Dm
k ) = αk
h
j=1
m Dn+1
kj
≤
h
j=1
˜αkj m Dn+1
kj
.
Sečtením těchto rovnic pro k = 1, 2, . . . , m dostaneme sn(A, f) ≤ sn+1(A, f), což je první tvrzení. Druhé
dokážeme analogicky.
235
8.4.5 Věta
Pro všechna p, q ∈ N platí sp(A, f) ≤ Sq(A, f).
D.: Je-li p ≤ q, pak sp(A, f) ≤ sq(A, f) ≤ Sq(A, f), je-li p > q, pak Sq(A, f) ≥ Sp(A, f) ≥ sp(A, f).
8.4.6 Důsledek
Pro všechna p, q ∈ N platí s1(A, f) ≤ sp(A, f) ≤ Sq(A, f) ≤ S1(A, f).
Tvrzení 8.4.4 a 8.4.6 říkají, že posloupnosti {sn(A, f)}∞
n=1, {Sn(A, f)}∞
n=1 jsou monotonní a ohraničené. Tato
skutečnost spolu s 1.3.9 nás opravňuje k následující definici.
8.4.7 Definice
Buď A ⊆ Rk
měřitelná množina, f : A → R ohraničená funkce. Definujme dolní, resp. horní, integrál z funkce
f přes množinu A jako
A
f(x)dx = lim
n→∞
sn(A, f), resp.
A
f(x)dx = lim
n→∞
Sn(A, f).
Je-li
A
f(x)dx =
A
f(x)dx, řekneme, že funkce f je na množině A integrovatelná (integrabilní) v Riemannově
smyslu. Společnou hodnotu horního a dolního integrálu nazýváme Riemannovým integrálem z funkce f přes
množinu A. Značíme jej
A
f(x)dx; podrobněji · · ·
A
f(x1, x2, . . . , xk)dx1dx2 · · · dxk nebo v případě k = 2
A
f(x, y)dxdy.
8.4.8 Poznámka
Uvedená definice je v souladu s definicí 3.2.6.
D.: Nechť k = 1, A = [a, b].
Nechť funkce f je integrovatelná podle definice 8.4.7. Položme
Dn = [a, b] ∩
i
2n
: i ∈ Z ∪ {a, b} .
Pak Dn je dělením uzavřeného intervalu [a, b], Dn ∈ ϑ([a, b]) a {Dn}
∞
n=1 je nulová posloupnost dělení
intervalu [a, b]. Podle 3.2.9 tedy platí
lim
n→∞
s(Dn, f) =
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
S(Dn, f).
Avšak s(Dn, f) = sn([a, b], f), S(Dn, f) = Sn([a, b], f), jak vidíme porovnáním definic 3.2.2 a 8.4.3, tedy
lim
n→∞
sn([a, b], f) = lim
n→∞
Sn([a, b], f),
což znamená, že funkce f je integrovatelná i podle definice 8.4.7.
Nechť je nyní funkce f integrovatelná podle definice 8.4.7. Poněvadž
{sn([a, b], f) : n ∈ N} ⊆ {s(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])} ,
platí
[a,b]
f(x)dx = lim
n→∞
sn([a, b], f) = sup {sn([a, b], f) : n ∈ N} ≤
≤ sup {s(D, f) : D ∈ ϑ([a, b])} =
b
a
f(x)dx.
236
Analogicky ukážeme platnost nerovnosti
b
a
f(x)dx ≤
[a,b]
f(x)d(x),
takže celkem máme
[a,b]
f(x)d(x) ≤
b
a
f(x)dx ≤
b
a
f(x)dx ≤
[a,b]
f(x)d(x).
Odtud plyne
b
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx, takže funkce f je integrovatelná i podle definice 3.2.6.
8.4.9 Příklady
1. Funkce konstantní na měřitelné množině A ⊆ Rk
, tj. f(x) = α pro x ∈ A, je integrovatelná na A a platí
A
f(x)dx = αm(A).
D.: Je-li Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} pokrytí řádu n množiny A, pak
A
αdx = lim
n→∞
sn(A, f) = lim
n→∞
n
j=1
αm Dn
j = α lim
n→∞
n
j=1
m Dn
j = αm(A).
Analogicky
A
αdx = αm(A).
2. Buď k = 2, A = [0, 1] × [0, 1], f : A → R, f(x, y) =
1, x ∈ Q, y ∈ Q
0, jinak
. Pak funkce f není integrovatelná,
neboť
sn(A, f) =
4n
j=1
0 ·
1
4n
= 0, Sn(A, f) =
4n
j=1
1 ·
1
4n
= 1.
8.5 Vlastnosti Riemannova integrálu
Všechny funkce uvažované v tomto odstavci jsou funkcemi k proměnných, tj. Rk
→ R. Množinami rozumíme
podmnožiny prostoru Rk
.
8.5.1 Věta (aditivita integrálu vzhledem k integrovaným funkcím)
Jsou-li funkce f a g integrovatelné na množině A, pak také funkce f + g je integrovatelná na A a platí
A
(f(x) + g(x)) dx =
A
f(x)dx +
A
g(x)dx.
D.: Buď Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} pokrytí řádu n množininy A. Označme
uj = inf f(x) : x ∈ Dn
j , vj = inf g(x) : x ∈ Dn
j , wj = inf f(x) + g(x) : x ∈ Dn
j .
Pak je uj + vj ≤ f(x) + g(x) pro každé x ∈ Dn
j , tedy uj + vj ≤ wj. Odtud dostaneme
ujm Dn
j + vjm Dn
j ≤ wjm Dn
j .
Sečtením těchto rovností pro j = 1, 2, . . . , m dostaneme sn(A, f) + sn(A, g) ≤ sn(A, f + g) a tedy podle
1.3.5.1 je
A
f(x)dx +
A
g(x)dx ≤
A
(f(x) + g(x)) dx.
237
Analogicky ukážeme, že
A
f(x)dx +
A
g(x)dx ≤
A
(f(x) + g(x)) dx.
Celkem máme
A
f(x)dx +
A
g(x)dx =
A
f(x)dx +
A
g(x)dx ≤
A
(f(x) + g(x)) dx ≤
≤
A
(f(x) + g(x)) dx ≤
A
f(x)dx +
A
g(x)dx =
A
f(x)dx +
A
g(x)dx
8.5.2 Věta (homogenita integrálu vzhledem k integrovaným funkcím)
Je-li funkce f integrovatelná na množině A ⊆ Rk
a c ∈ R je konstanta, pak také funkce cf je integrovatelná na
A a platí
A
cf(x)dx = c
A
f(x)dx.
D.: Buď Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} pokrytí řádu n množininy A. Označme
uj = inf f(x) : x ∈ Dn
j , vj = inf cf(x) : x ∈ Dn
j ,
Uj = sup f(x) : x ∈ Dn
j , Vj = sup cf(x) : x ∈ Dn
j .
Nechť nejprve c ≥ 0. Pak cuj = vj, cUj = Vj, takže sn(A, cf) = csn(A, f), Sn(A, cf) = cSn(A, f). Odtud
plyne
A
cf(x)dx = c
A
f(x)dx = c
A
f(x)dx,
A
cf(x)dx = c
A
f(x)dx = c
A
f(x)dx.
Pokud c < 0, pak cuj = Vj, cUj = vj, takže sn(A, cf) = cSn(A, f), Sn(A, cf) = csn(A, f). Odtud plyne
A
cf(x)dx = c
A
f(x)dx = c
A
f(x)dx,
A
cf(x)dx = c
A
f(x)dx = c
A
f(x)dx.
8.5.3 Důsledek (linearita integrálu)
Buďte c1, c2, . . . , cm ∈ R konstanty a f1, f2, . . . , fm funkce integrovatelné na měřitelné množině A. Pak je i funkce
c1f1 + c2f2 + · · · + cmfm integrovatelná na množině A a platí
A
(c1f1(x) + c2f2(x) + · · · + cmfm(x)) dx = c1
A
f1(x)dx + c2
A
f2(x)dx + · · · + cm
A
fm(x)dx.
D.: Úplnou indukcí s využitím 8.5.1 a 8.5.2.
8.5.4 Věta (monotonie integrálu vzhledem k integrovaným funkcím)
Jsou-li funkce f, g integrovatelné na měřitelné množině A a platí-li f(x) ≤ g(x) pro každé x ∈ A, pak
A
f(x)dx ≤
A
g(x)dx.
D.: Podle 8.5.3 je funkce g − f integrovatelná na množině A. Poněvadž g(x) − f(x) ≥ 0 pro každé x ∈ A, je
každý dolní součet sn(A, g − f) ≥ 0. Odtud plyne
0 ≤ lim
n→∞
sn(A, g − f) =
A
(g(x) − f(x)) dx =
A
g(x)dx −
A
f(x)dx.
238
8.5.5 Věta
Je-li funkce f integrovatelná na měřitelné množině A, pak je i funkce |f| integrovatelná na množině A a platí
A
f(x)dx ≤
A
|f(x)| dx.
D.: Buď Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} pokrytí řádu n množiny A. Položme
uj = inf f(x) : x ∈ Dn
j , Uj = sup f(x) : x ∈ Dn
j ,
vj = inf |f(x)| : x ∈ Dn
j , Vj = sup |f(x)| : x ∈ Dn
j .
Buďte x1, x2 ∈ Dn
j . Pak je
|f(x1) − f(x2)| ≤ Uj − uj,
|f(x1)| = |f(x1) − f(x2) + f(x2)| ≤ |f(x1) − f(x2)| + |f(x2)| ≤ Uj − uj + |f(x2)| .
Nechť x2 je zvoleno libovolně ale pevně. Poslední nerovnost platí pro každé x1 ∈ Dn
j a tedy
Vj ≤ Uj − uj + |f(x2)| .
Poslední nerovnost platí pro každé x2 ∈ Dn
j a tedy platí Vj ≤ Uj − uj + vj, neboli Vj − vj ≤ Uj − uj.
Odtud plyne
0 ≤ Sn (A, |f|) − sn (A, |f|) =
m
j=1
Vjm Dn
j −
m
j=1
vjm Dn
j =
m
j=1
(Vj − vj) m Dn
j ≤
≤
m
j=1
(Uj − uj) m Dn
j = Sn (A, f) − sn (A, f) → 0
pro n → ∞ a tedy funkce |f| je integrovatelná.
Z nerovnosti −|f| ≤ f ≤ |f| a z věty 8.5.5 plyne
−
A
|f(x)| dx ≤
A
f(x)dx ≤
A
|f(x)| dx,
což je dokazovaná nerovnost.
8.5.6 Věta
Jsou-li unkce f, g integrovatelné na měřitelné množině A, pak je i funkce fg integrovatelná na množině A.
D.: Nechť nejprve jsou obě funkce nezáporné na množině A. Buď Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} pokrytí řádu n
množiny A. Označme
uj = inf f(x) : x ∈ Dn
j , Uj = sup f(x) : x ∈ Dn
j ,
vj = inf g(x) : x ∈ Dn
j , Vj = sup g(x) : x ∈ Dn
j ,
wj = inf f(x)g(x) : x ∈ Dn
j , Wj = sup f(x)g(x) : x ∈ Dn
j ,
Pak je ujvj ≤ wj ≤ Wj ≤ UjVj. Odtud
Wj − wj ≤ UjVj − ujvj = UjVj − Vjuj + ujVj − ujvj = Vj(Uj − uj) + uj(Vj − vj).
Poněvadž funkce f, g jsou ohraničené na množině A, existuje α > 0 tak, že |f(x)| < α, |g(x)| < α pro
x ∈ A. Tedy Wj − wj < α(Uj − uj) + α(Vj − vj) = α (Uj − uj + Vj − vj).
Odtud plyne 0 ≤ Sn(A, fg)−sn(A, fg) ≤ α (Sn(A, f) − sn(A, f) + Sn(A, g) − sn(A, g)) . Pravá strana pro
n → ∞ konverguje k 0, z čehož vyplyne tvrzení.
Vynechejme nyní předpoklad, že funkce f, g jsou na množině A nezáporné. Poněvadž jsou omezené, existuje
číslo β > 0 takové, že funkce β − f, β − g jsou nezáporné. Tyto funkce jsou podle 8.5.3 integrovatelné a
tedy podle již dokázaného tvrzení, příkladu 8.4.9.1 a důsledku 8.5.3 také funkce
(β − f)(β − g) − β2
− β(f + g) = fg
je integrovatelná.
239
8.5.7 Věta (o střední hodnotě)
Buďte f, g funkce integrovatelné na měřitelné množině A takové, že α ≤ f(x) ≤ β, 0 ≤ g(x) pro x ∈ A. Pak
existuje konstanta µ, α ≤ µ ≤ β taková, že
A
f(x)g(x)dx = µ
A
g(x)dx.
D.: Pro x ∈ A platí: αg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ βg(x).
Podle 8.5.6 je funkce fg integrovatelná na množině A; podle 8.5.4 platí:
α
A
g(x)dx ≤
A
f(x)g(x)dx ≤ β
A
g(x)dx.
Je-li
A
g(x)dx = 0, pak také
A
f(x)g(x)dx = 0 a za µ lze vzít libovolné číslo. Je-li
A
g(x)dx > 0, položíme
µ = A
f(x)g(x)dx
A
g(x)dx
.
8.5.8 Věta (monotonie integrálu vzhledem k integračnímu oboru)
Je-li funkce f integrovatelná na množině A, pak je integrovatelná na každé měřitelné podmnožině B ⊆ A.
D.: Buď Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} pokrytí řádu n množiny A. Pak
{Dn
1 ∩ B, Dn
2 ∩ B, . . . , Dn
m ∩ B} je pokrytí řádu n množiny B a
{Dn
1 ∩ (A \ B), Dn
2 ∩ (A \ B), . . . , Dn
m ∩ (A \ B)} je pokrytí řádu n množiny A \ B.
Pro příslušné horní a dolní součty platí
sn(A, f) ≤ sn(B, f) + sn(A \ B, f), Sn(A, f) ≥ Sn(B, f) + Sn(A \ B, f).
Limitním přechodem n → ∞ dostaneme
B
f(x)dx +
A\B
f(x)dx ≥
A
f(x)dx ≥
B
f(x)dx +
A\B
f(x)dx,
neboli
0 ≥
B
f(x)dx −
B
f(x)dx ≥
A\B
f(x)dx −
A\B
f(x)dx ≥ 0,
což je možné jen tak, že
B
f(x)dx =
B
f(x)dx,
A\B
f(x)dx =
A\B
f(x)dx.
8.5.9 Věta (aditivita integrálu vzhledem k integračnímu oboru)
Buďte A, B disjunktní měřitelné množiny, f funkce integrovatelná na množině A i na množině B. Pak je funkce
f integrovatelná také na množině A ∪ B a platí
A∪B
f(x)dx =
A
f(x)dx +
B
f(x)dx.
D.: Poněvadž obě množiny A i B jsou měřitelné, je podle 8.1.14 také množina A ∪ B měřitelná.
Poněvadž funkce f je ohraničená na množině A i na množině B, je ohraničená i na sjednocení množin
A ∪ B. Označme α = sup {|f(x)| : x ∈ A ∪ B}.
240
Buď Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} pokrytí řádu n množiny A ∪ B. Dále nechť jsou
Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
p všechny prvky pokrytí Sn takové, že jsou současně prvky pokrytí řádu n množiny A,
Dn
p+1, Dn
p+2, . . . , Dn
q všechny prvky pokrytí Sn takové, že jsou současně prvky pokrytí řádu n množiny B,
Dn
q+1, Dn
q+2, . . . , Dn
m ostatní prvky pokrytí Sn.
Každá z množin Dn
q+1, Dn
q+2, . . . , Dn
m má neprázdný průnik jak s množinou A tak i s množinou B, každá
z nich obsahuje některé hraniční body společné množinám A a B.
Buď H množina všech hraničních bodů společných množinám A a B. Množina H je průnikem hranic dvou
měřitelných množin, tedy podle 8.1.12 průnikem dvou množin nulové míry, takže podle 8.1.13 a 8.1.10.1
je sama měřitelná a její míra je m(H) = 0.
Poněvadž Dn
q+1 ∪ Dn
q+2 ∪ · · · ∪ Dn
m ⊆ C(H), platí také
lim
n→∞
m Dn
q+1 ∪ Dn
q+2 ∪ · · · ∪ Dn
m = lim
n→∞
m
i=q+1
m (Dn
i ) = 0.
Nyní platí
|Sn(A ∪ B, f) − (Sn(A, f) + Sn(B, f))| =
m
i=q+1
sup {f(x) : x ∈ Dm
i } m (Dm
i ) ≤
≤
m
i=q+1
|sup {f(x) : x ∈ Dm
i }| m (Dm
i ) ≤ α
m
i=q+1
m (Dm
i ) → 0
pro n → ∞. To znamená, že
A∪B
f(x)dx =
A
f(x)dx +
B
f(x)dx.
Analogicky lze ukázat, že
A∪B
f(x)dx =
A
f(x)dx +
B
f(x)dx.
8.5.10 Věta
Buď f funkce ohraničená na množině A míry nula. Pak je funkce f na množině A integrovatelná a platí
A
f(x)dx = 0.
D.: Buď |f(x)| ≤ α pro x ∈ A, Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} pokrytí řádu n množiny A. Pak je
− α
m
j=1
m Dn
j ≤
m
j=1
m Dn
j inf f(x) : x ∈ Dn
j = sn(A, f) ≤
≤ Sn(A, f) =
m
j=1
m Dn
j sup f(x) : x ∈ Dn
j ≤ α
m
j=1
m Dn
j ,
a poněvadž lim
n→∞
m
j=1
m Dn
j = m(A) = 0, máme tvrzení věty.
8.5.11 Důsledek
Buďte A, B měřitelné množiny takové, že jejich průnik je měřitelný a platí m(A ∩ B) = 0. Je-li funkce f
integrovatelná na množině A i na množině B, pak je integrovatelná také na množině A ∪ B a platí
A∪B
f(x)dx =
A
f(x)dx +
B
f(x)dx.
D.: Plyne z 8.5.9 a 8.5.10, neboť A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A), přičemž sjednocení na pravé straně je
disjunktní.
241
8.5.12 Věta
Je-li ohraničená funkce f spojitá na měřitelné množině A, pak je na množině A integrovatelná.
D.: Je-li m(A) = 0, tvrzení plyne z 8.5.10.
Nechť m(A) > 0 a buď α > 0 takové číslo, že |f(x)| < α pro x ∈ A. Dále buď ε ∈ (0, 4αm(A)) libovolné
číslo.
Poněvadž m(A) = lim
n→∞
m (Kn(A)), existuje jádro B = Kn0 (A) takové, že m(B) > m(A) −
ε
4α
, tedy
m(A \ B) = m(A) − m(B) < m(A) − m(A) +
ε
4α
=
ε
4α
.
Množina B je uzavřená a ohraničená, tedy podle 5.4.8 kompaktní. Podle 5.5.8 je funkce f na množině
B spojitá stejnoměrně. To znamená, že ke zvolenému kladnému číslu ε existuje číslo δ takové, že pro
libovolné body x1, x2 ∈ B, ρ(x1, x2) < δ (ρ označuje některou metriku ekvivalentní s euklidovskou) platí
|f(x1) − f(x2)| ≤
ε
2m(B)
. (8.1)
Buď n1 ∈ N takové číslo, že pro n > n1 je průměr krychle Wn
řádu n menší než δ. Pak předchozí nerovnost
platí na libovolné krychli Wn
⊆ B pro libovolné n > n1.
Označme B0 množinu, kterou dostaneme z jádra množiny B, když v něm každou krychli Wn
nahradíme
krychlovou množinou Cn
, B0 =
m
j=1
Cn
j . Označme dále
uj = inf f(x) : x ∈ Cn
j , Uj = sup f(x) : x ∈ Cn
j .
Z nerovnosti (8.1) plyne, že Uj − uj ≤
ε
2m(B)
, a tedy pro n > n1 platí
0 ≤ Sn(B0, f) − sn(B0, f) =
m
j=1
(Uj − uj)m(Cn
j ) ≤
ε
2m(B)
m
j=1
m(Cn
j ) =
ε
2
,
neboť m(B) = m(B0) =
m
j=1
m Cn
j . Celkem pro n > max {n0, n1} dostáváme
0 ≤ Sn(A, f) − sn(A, f) = Sn(B0, f) + Sn(A \ B0, f) − sn(B0, f) − sn(A \ B0, f) ≤
≤
ε
2
+ 2αm(A \ B0) <
ε
2
+ 2α
ε
4α
= ε,
což znamená, že funkce f je na množině A integrovatelná.
8.5.13 Definice
Řekneme, že funkce f : A → R má skoro všude na množině A vlastnost V, jestliže existuje podmnožina B ⊆ A
taková, že m(B) = 0 a funkce f má vlastnost V ve všech bodech množiny A \ B.
Příklad: Funkce
f(x, y) =
n, 1
n+1 < x2
+ y2
≤ 1
n , n ∈ N
0, x2
+ y2
> 1
je spojitá skoro všude na R2
. Přitom je nespojitá v každém bodě každé z kružnic (x, y) : x2
+ y2
= 1
n , n ∈ N
a v bodě (0, 0) dokonce není definována.
8.5.14 Věta
Je-li funkce f ohraničená na měřitelné množině A a skoro všude na množině A je f(x) = 0, pak je funkce f na
množině A integrovatelná a platí
A
f(x)dx = 0.
242
D.: Buď B = {x ∈ A : f(x) = 0}. Podle předpokladu je m(B) = 0 a tedy podle 8.5.10 je
B
f(x)dx = 0.
Na množině A \ B, která je podle 8.1.13 měřitelná, je f(x) = 0 a tedy podle 8.4.9 je
A\B
f(x)dx = 0.
Podle 8.5.9 nyní je
A
f(x)dx =
B
f(x)dx +
A\B
f(x)dx = 0.
8.5.15 Věta
Nechť nezáporná funkce f je integrovatelná na měřitelné množině A a platí
A
f(x)dx = 0. Pak f(x)dx = 0
skoro všude na množině A.
D.: Buď B = {x ∈ A : f(x) > 0} a připusťme, že m(B) > 0. Kdyby pro každé přirozené číslo n a každou
krychli Wn
řádu n platilo, že Wn
∩ Rk
\ B◦
= ∅, pak by jádro Kn(B) řádu n množiny B bylo prázdné
pro každé n ∈ N a platilo by m∗(B) = 0. To by byl spor s předpokladem m(B) > 0. Existuje tedy číslo
n1 a krychle Wn1
m řádu n1 tak, že Wn1
m ⊆ Kn1 (B).
Množina Wn1
m je podle 5.4.8 kompaktní a tedy podle 5.5.4 existuje αm = min {f(x) : x ∈ Wn1
m }. Je
αm > 0, neboť v opačném případě by Wn1
m ∩ Rk \ B = ∅, což by bylo ve sporu s inkluzí Wn1
m ⊆ B◦
. Nyní
podle 8.5.4, 8.5.8 a 8.5.11 platí
0 =
A
f(x)dx =
W
n1
m
f(x)dx +
A\W
n1
m
f(x)dx ≥ αmm (Wn1
m ) = αm
1
2kn1
> 0,
což je spor.
Poznámka: Analogické tvrzení platí i pro nekladnou funkci.
8.5.16 Věta
Je-li funkce f integrovatelná na měřitelné množině A a funkce g je ohraničená na A a skoro všude na A platí
f(x) = g(x). Pak funkce g je integrovatelná na množině A a platí
A
g(x)dx =
A
f(x)dx.
D.: Buď B ⊆ A taková, že m(B) = 0 a f(x) = g(x) pro x ∈ B. Pak s využitím 8.5.9 a 8.5.10 dostaneme
A
g(x)dx =
B
g(x)dx +
A\B
g(x)dx = 0 +
A\B
f(x)dx =
B
f(x)dx +
A\B
f(x)dx =
A
f(x)dx.
8.5.17 Věta
Je-li funkce f ohraničená na měřitelné množině A a skoro všude na A spojitá, pak je funkce f na množině A
integrovatelná.
D.: Označme B množinu bodů nespojitosti funkce f. Podle předpokladu je B měřitelná a podle 8.1.14 je
m(A \ B) = m(A) − m(B) = m(A).
Funkce f je na množině A \ B podle 8.5.12 integrovatelná a na množině B je integrovatelná podle 8.5.10.
Podle 8.5.9 je tedy f integrovatelná na množině A = (A \ B) ∪ B.
8.6 Fubiniova věta
Buďte p, q ∈ N, p + q = k. Prostor Rk
lze chápat jako součin prostorů Rp
× Rq
. Je-li z ∈ Rk
, pak z = (x, y) =
(x1, x2, . . . , xp, y1, y2, . . . , yq), x ∈ Rp
, y ∈ Rq
.
243
8.6.1 Definice
Buď A ⊆ Rk
. Definujeme množiny
Ax = {y ∈ Rq
: (x, y) ∈ A} — řez množinou A pro konstantní x,
A⊥
x = {x ∈ Rp
: existuje y ∈ Rq
, že (x, y) ∈ A} — průmět množiny A do prostoru Rp
.
Označení: mp(B), resp. mq(C) — míra množiny B ⊆ Rp
, resp. C ⊆ Rq
, v prostoru Rq
, resp. Rq
.
Pro A ⊆ Rk
je m(A) = mk(A).
8.6.2 Věta (Guido Fubini, 1879–1943)
Buď A ⊆ Rk
měřitelná množina, f : A → R funkce integrovatelná na množině A. Buďte p, q ∈ N, p + q = k.
Označme z = (x, y) = (x1, x2, . . . , xp, y1, y2, . . . , yq). Pak platí
A
f(z)dz =
A⊥
x



Ax
f(x, y)dy


 dx =
A⊥
x


Ax
f(x, y)dy

 dx.
D.: Buď nejprve A množina, která je sjednocením konečného počtu krychlových množin nultého řádu.
Pokrytím Cn je pro každé n ∈ N konečný počet krychlových množin řádu n. Každou krychlovou množinu
Zn
i,j, i ∈ I, j ∈ J řádu n v Rk
lze považovat za kartézský součin Zn
i,j = Xn
i × Y n
j krychlových množin Xn
i
řádu n v Rp
a Y n
j řádu n v Rq
. Přitom
1
2kn
= m Zn
i,j = m (Xn
i ) m Y n
j =
1
2pn
1
2qn
. Zvolme ξ ∈ A⊥
x ,
kde x ∈ Rq
a uvažujme funkci f(ξ, ·) : Aξ → R danou předpisem y → f(ξ, y). Položme
F(x) =
Ax
f(x, y)dy , G(x) =
Ax
f(x, y)dy.
Pak je
F(ξ) ≥ sn (Aξ, f(ξ, ·)) =
j∈J
inf f(ξ, y) : y ∈ Y n
j mq Y n
j .
Poněvadž pro ξ ∈ Xn
i platí inf f(ξ, y) : y ∈ Y n
j ≥ inf f(x, y) : (x, y) ∈ Zn
i,j , platí také nerovnost
F(ξ) ≥
j∈J
inf f(x, y) : (x, y) ∈ Zn
i,j m(Y n
j ).
Odtud plyne
inf {F(ξ) : ξ ∈ Xn
i } ≥
j∈J
inf f(x, y) : (x, y) ∈ Zn
i,j mq Y n
j ,
takže
sn A⊥
x , F ≥
i∈I


j∈J
inf f(x, y) : (x, y) ∈ Zn
i,j mq Y n
j

 mq (Xn
i ) =
=
(i,j)∈I×J
inf f(x, y) : (x, y) ∈ Zn
i,j m Zn
i,j = sn(A, f).
Odtud limitním přechodem pro n → ∞ dostaneme nerovnost
A⊥
x
F(x)dx ≥
A
f(z)dz.
244
Analogickým způsobem dokážeme nerovnost
A⊥
x
G(x)dx ≤
A
f(z)dz.
Poněvadž F(x) ≤ G(x) pro každé x ∈ A⊥
x , platí pro tato x nerovnosti
A⊥
x
G(x)dx ≥
A⊥
x
F(x)dx ≥
A
f(z)dz ≥
A⊥
x
G(x)dx ≥
A⊥
x
F(x)dx,
z nichž plyne integrovatelnost funkcí F, G i dokazovaná rovnost.
Buď nyní A ⊆ Rk
libovolná měřitelná množina a W množina popsaná v první části důkazu a obsahující
množinu A. Definujme funkci g předpisem
g(x, y) =
f(x, y), (x, y) ∈ A,
0, (x, y) ∈ W \ A
.
Podle 8.1.13 je i W \ A měřitelná množina a podle předchozí části důkazu, podle 8.5.10 a 8.5.9 je funkce
g integrovatelná na množině A i na množině W \ A. Proto platí
A
f(z)dz =
A
g(z)dz +
W\A
g(z)dz =
W
g(z)dz =
W⊥
x



Wx
g(x, y)dy


 dx =
W⊥
x


Wx
g(x, y)dy

 dx.
Dále je
W⊥
x



Wx
g(x, y)dy


 dx =
A⊥
x ∪(W⊥
x \A⊥
x )



Wx
g(x, y)dy


 dx =
A⊥
x



Wx
g(x, y)dy


 dx,
neboť pro každé x ∈ W⊥
x \ A⊥
x je g(x, y) = 0 a tedy podle 8.5.14 je i
Wx
g(x, y)dy = 0 pro tato x.
Pokračujme v úpravách
A⊥
x



Wx
g(x, y)dy


 dx =
A⊥
x



Ax∪(Wx\Ax)
g(x, y)dy


 dx =
A⊥
x



Ax
f(x, ydy


 dx.
Tím je dokázáno
A
f(z)dz =
A⊥
x



Ax
f(x, y)dy


 dx.
Analogicky dokážeme
A
f(z)dz =
A⊥
x


Ax
f(x, y)dy

 dx.
8.6.3 Poznámky
1. Z toho, že funkce f je integrovatelná na množině A ⊆ Rk
, neplyne, že tato funkce je integrovatelná v Rq
na každé podmnožině množiny Ax. Z věty 8.6.2 však plyne, že rozdíl horního a dolního integrálu je tak
malý, že integrál z něho přes množinu A⊥
x je nulový.
2. Ve větě 8.6.2 není podstatné to, že se za x bere (x1, x2, . . . , xp), tj. prvních p souřadnic. Stejně bychom
mohli volit libovolných p přirozených čísel 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ip ≤ k a položit x = (xi1 , xi2 , . . . , xip ).
245
8.6.4 Důsledky
1. Buďte ϕ, ψ funkce spojité na intervalu [a, b], ϕ(x) < ψ(x) pro každé x ∈ (a, b). Nechť
A = (x, y) ∈ R2
: a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)
je měřitelná množina. Buď f : A → R funkce spojitá. Pak je
A
f(x, y)dxdy =
b
a



ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y)dy


 dx.
D.: Ax = [ϕ(x), ψ(x)], A⊥
x = [a, b]. Funkce f(x, ·) je na množině Ax ohraničená a spojitá, tedy podle
8.5.17 je integrovatelná.
2. Buďte ϕ, ψ funkce spojité na intervalu [a, b], ϕ(x) < ψ(x) pro každé x ∈ (a, b). Nechť množina A =
(x, y) ∈ R2
: a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x) je měřitelná v R2
. Dále buďte Φ, Ψ funkce spojité na množině
A takové, že Φ(x, y) < Ψ(x, y) pro každé (x, y) ∈ A. Nechť množina
B = (x, y, z) ∈ R3
: (x, y) ∈ A, Φ(x, y) ≤ z ≤ Ψ(x, y) =
= (x, y, z) ∈ R3
: a ≤ x ≤ y, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x), Φ(x, y) ≤ z ≤ Ψ(x, y)
je měřitelná v R3
. Buď f funkce spojitá na množině B. Pak je
B
f(x, y, z)dxdydz =
b
a



ψ(x)
ϕ(x)



Ψ(x,y)
Φ(x,y)
f(x, y, z)dz


 dy


 dx.
D.:
B
f(x, y, z)dxdydz =
B⊥
xy



Bxy
f(x, y, z)dz


dxdy =
B⊥
xy



Ψ(x,y)
Φ(x,y)
f(x, y, z)dz


dxdy =
=
b
a



ψ(x)
ϕ(x)



Ψ(x,y)
Φ(x,y)
f(x, y, z)dz


dy


 dx.
8.7 Transformace integrálu
8.7.1 Heuristická úvaha
Buď A ⊆ Rk
měřitelná množina, Sn = {Dn
1 , Dn
2 , . . . , Dn
m} její pokrytí řádu n. Označme pro stručnost jednu
libovolnou množinu z Sn symbolem D a buď u0 ∈ D. Dále nechť G : Rk
→ Rk
je diferencovatelné zobrazení
takové, že G(u0) = x0.
Definujme lineární zobrazení ˜G : Rk
→ Rk
předpisem ˜G(u) = x0 + G′
(u0)(u − u0), kde G′
značí Jacobiho
matici zobrazení G (sr. 7.7.4). Pak ˜G je nejlepší lineární aproximací zobrazení G (sr. 7.7.3). Je-li tedy množina
D malá, budou se na ní zobrazení G a ˜G lišit málo, G(u) ≈ ˜G(u) pro u ∈ D a tedy také bude
m (G(D)) ≈ m ˜G(D) .
Podle 8.2.4 je m ˜G(D) = |det G′
(u0)| m(D) = |J (G(u0))| m(D), kde J (G(u0)) je Jacobián zobrazení G
v bodě u0.
246
Buď f : G(A) → R spojitá funkce. Na malé množině G(D) lze tuto funkci považovat za přibližně konstatntní,
f(x) ≈ f(x0) pro x ∈ G(D); na malé množině D lze považovat za přibližně konstantní funkci f ◦ G |J(G)|,
f(G(u)) |J(G(u))| ≈ f(G(u0)) |J(G(u0))| pro u ∈ D. Platí tedy přibližné rovnosti
G(D)
f (x) dx ≈ f (x0) m (G(D)) ≈ f (G(u0)) |J (G(u0))| m(D) ≈
D
f (G(u)) |J (G(u))| du.
Je-li zobrazení G na množině A prosté, tj. když platí J (G(u)) = 0 pro u ∈ A (podle 7.7.7), pak
G(A) = G (Dn
1 ) ∪ G (Dn
2 ) ∪ · · · ∪ G (Dn
m)
a toto sjednocení je disjunktní. Tedy podle 8.5.9 a předchozí přibližné rovnosti platí
G(A)
f (x) dx =
n
i=1
G(Dn
i )
f (x) dx ≈
n
i=1
G(Dn
i )
f (G(u)) |J (G(u0))| du =
A
f (G(u)) |J (G(u0))| du.
8.7.2 Věta (o transformaci integrálu)
Buď A ⊆ Rk
měřitelná množina, G : A → Rk
diferencovatelné zobrazení, f funkce integrovatelná na množině
G(A). Nechť existuje množina P ⊆ A taková, že m(P) = 0 a že pro zobrazení G platí:
1) G je prosté na množině M \ P,
2) J (G(u)) = 0 na množině M \ P.
Pak je funkce f ◦ G integrovatelná na množině A a platí
G(A)
f (x) dx =
A
f (G(u)) |J (G(u))| du.
D.: Viz např. M. Ráb: Riemannův integrál v En
, str. 70–74
nebo D. Krupka, J. Musilová: Integrální počet na euklidovských prostorech a diferencovatelných varietách,
str. 75–79.
8.7.3 Transformace integrálu v R2
do polárních souřadnic
Zobrazení G : R2
→ R2
je dáno předpisem
x
y
= G(r, ϕ) =
r cos ϕ
r sin ϕ
, stručněji
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
.
J (G(r, ϕ)) =
cos ϕ −r sin ϕ
sin ϕ r cos ϕ
= r cos2
ϕ + r sin2
ϕ = r = 0 pro r = 0.
8.7.4 Transformace integrálu v R3
do cylindrických (válcových) souřadnic
Zobrazení G : R3
→ R3
je dáno předpisem


x
y
z

 = G(r, ϕ, z) =


r cos ϕ
r sin ϕ
z

 , stručněji
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z = z
.
J (G(r, ϕ, z)) =
cos ϕ −r sin ϕ 0
sin ϕ r cos ϕ 0
0 0 1
= r = 0 pro r = 0.
247
8.7.5 Transformace integrálu v R3
do sférických (kulových) souřadnic
Zobrazení G : R3
→ R3
je dáno předpisem


x
y
z

 = G(r, ϕ, ϑ) =


r cos ϕ cos ϑ
r sin ϕ cos ϑ
r sin ϑ

 , stručněji
x = r cos ϕ cos ϑ
y = r sin ϕ cos ϑ
z = r sin ϑ
.
J (G(r, ϕ, ϑ)) =
cos ϕ cos ϑ −r sin ϕ cos ϑ −r cos ϕ sin ϑ
sin ϕ cos ϑ r cos ϕ cos ϑ −r sin ϕ sin ϑ
sin ϑ 0 r cos ϑ
=
= sin ϑ
−r sin ϕ cos ϑ −r cos ϕ sin ϑ
r cos ϕ cos ϑ −r sin ϕ sin ϑ
+ r cos ϑ
cos ϕ cos ϑ −r sin ϕ cos ϑ
sin ϕ cos ϑ r cos ϕ cos ϑ
=
= r2
sin2
ϑ cosϑ sin2
ϕ + cos2
ϕ + r2
cos3
ϑ cos2
ϑ + sin2
ϑ = r2
cos ϑ sin2
ϑ + cos2
ϑ = r2
cos ϑ = 0
pro r = 0 a ϑ = (2m + 1)π
2 , m ∈ Z.
8.8 Aplikace Riemannova integrálu
8.8.1 Míra množiny — plocha obrazce, objem tělesa
m(A) =
A
dx
8.8.2 Aplikace v mechanice
Buď A ⊆ Rk
kompaktní měřitelná množina, ρ : A → R spojitá funkce. Fyzikálně lze A chápat jako těleso mající
v bodě x hustotu ρ(x). V mechanice mají základní význam pojmy:
• Hmotnost m tělesa A
m =
A
ρ(x)dx.
V rovině:
• statické momenty Mx, My rovinného tělesa vzhledem k osám x a y
Mx =
A
yρ(x)dx a My =
A
xρ(x)dx,
• momenty setrvačnosti Jx, Jy rovinného tělesa vzhledem k osám x a y
Jx =
A
y2
ρ(x)dx a Jy =
A
x2
ρ(x)dx,
• těžiště T = (x0, y0) rovinného tělesa
x0 =
My
m
, y0 =
Mx
m
.
V prostoru
• statické momenty tělesa vzhledem k souřadným osám
Myz =
A
xρ(x, y, z)dxdydz, Mzx =
A
yρ(x, y, z)dxdydz, Mxy =
A
zρ(x, y, z)dxdydz,
248
• momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k souřadným osám
Jx =
A
(y2
+ z2
)ρ(x, y, z)dxdydz, Jy =
A
(x2
+ z2
)ρ(x, y, z)dxdydz,
Jz =
A
(x2
+ y2
)ρ(x, y, z)dxdydz,
• těžiště T = (x0, y0, z0) tělesa
x0 =
Myz
m
, y0 =
Mzx
m
, z0 =
Mxy
m
.
8.9 Cvičení
1) Zaměňte pořadí integrace:
1
0


1−y
−
√
1−y2
f(x, y)dx

 dy.
2) Dvojný integrál
x2+y2≤x
f y
x dxdy vyjádřete pomocí integrálu jednoduchého.
3) Vypočítejte
A
f(x, y)dxdy, jestliže A = {(x, y) ∈ R2
: a ≤ x ≤ A, b ≤ y ≤ B}, f(x, y) = Fxy(x, y).
4)
A
dxdy
√
4 − x
, A = {(x, y) ∈ R2
: (x − 2)2
+ (y − 2)2
≤ 4}.
5)
A
(x2
+ y2
)dxdy, A je vnitřek kružnice x2
+ y2
= 2ax.
6)
a
0
√
a2−x2
0
x2 + y2 dy dx, a > 0.
7)
x2≤y≤4
[y − x2]dxdy; [a] je celá část čísla a.
8) Vypočítejte míru množiny A = {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
< 1, x + y < 1}.
9) Vypočítejte souřadnice těžiště homogenního rovinného tělesa ohraničeného čarami
y2
= 4x + 4, y2
= −2x + 4.
10) Určete moment setrvačnosti vzhledem k ose x homogenního rovinného tělesa ohraničeného čarami
x + y = 2, x = 2, y = 2.
11) Zaměňte pořadí integrace:
1
−1


√
1−x2
−
√
1−x2


1
√
x2+y2
f(x, y, z)dz

dy

 dx.
12) Trojnásobný integrál
1
0
1
0
x+y
0
f(z)dz dy dx nahraďte integrálem jednoduchým.
13)
A
dxdydz
(1+x+y+z)3 , A = {(x, y, z) ∈ R3
: x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}.
14)
A
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 dxdydz, A = {(x, y, z) ∈ R3
: x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 < 1}.
15)
A
zdxdydz, A = {(x, y, z) ∈ R3
: z ≥ 0, z ≤ v, z2
≥
v2
R2
(x2
+ y2
)}.
249
16)
A
z2
dxdydz, A = {(x, y, z) ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
≤ R2
, x2
+ y2
+ z2
≤ 2Rz}.
17)
A
(x + y + z)2
dxdydz, A = {(x, y, z) ∈ R3
: x2
+ y2
≤ 2az, x2
+ y2
+ z2
≤ 3a2
}.
18) Vypočítejte objem tělesa Ω = {(x, y, z) ∈ R3
: x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1, x2
+ y2
≤ 1
2 }.
19) Jak mnoho kapaliny zůstane v nádobě válcového tvaru výšky v, jejíž základna má poloměr r, nakloníme-li
ji tak, že hladina kapaliny prochází středem základny?
20) Vypočítejte souřadnice těžiště části elipsoidu x2
+
y
2
2
+
z
3
3
≤ 1 ležící v prvním oktantu.
Výsledky: 1)
0
−1
√
1−x2
0
f(x, y)dy dx +
1
0
1−x
0
f(x, y)dy dx 2) 1
2
π/2
−π/2
cos2
ϕ f(tg ϕ)dϕ
3) F(A, B) + F(a, b) − F(a, B) − F(A, b) 4) 32
3 5) 3πa4
2 6) πa3
6 7) 16
3 (1 +
√
3) − 4
√
2
8) 1
4 (3π + 2) 9) 2
5 , 0 10) 4
11)
1
−1
1
|x|
√
z2−x2
−
√
z2−x2
f(x, y, z)dy dz dx =
1
0


z
−z


√
z2−y2
−
√
z2−y2
f(x, y, z)dx

 dy

 dz
12)
1
0
1 − z2
2 f(z)dz + 1
2
2
1
(2 − z)2
f(z)dz 13) 1
2 ln 2 − 5
8 14) 4
5 πabc 15) π
4 R2
v2
16) 59
480 πR5
17) πa5
5 18
√
3 − 97
6 18) π
8 −
√
2
6 19) 2
3 r2
v 20) 3
8 , 3
4 , 9
8
250