Matematická analýza 1
Spojitost
Petr Liška
Masarykova univerzita
2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 1 / 7
Spojitost funkce v bodě
Definice
Buď x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá, jestliže
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Podobně definujeme i jednostranné spojitosti – funkce f je v bodě x0
spojitá zprava, resp. spojitá zleva, jestliže
lim
x→x+
0
f(x) = f(x0), resp. lim
x→x−
0
f(x) = f(x0).
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R: |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − f(x0)| < ε.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 2 / 7
Věta
Jsou-li funkce f, g spojité v bodě x0, jsou také funkce f ± g, f · g spojité
v bodě x0. Je-li navíc g(x0) ̸= 0, je v x0 spojitá i funkce f
g .
Věta
Nechť lim
x→x0
φ(x) = α a funkce f je spojitá v bodě α. Pak platí, že
lim
x→x0
f (φ(x)) = f(α).
lim
x→x0
f(φ(x)) = f lim
x→x0
φ(x)
Věta
Je-li funkce u = φ(x) spojitá v x0 a y = f(u) spojitá v bodě u0 = φ(x0),
je funkce y = f (φ(x)) spojitá v bodě x0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 3 / 7
Věta
Následující funkce jsou spojité v každém bodě x ∈ R :
1. f(x) = c,
2. f(x) = x,
3. polynom,
4. racionální lomená funkce (v každém bodě, v kterém je definovaná),
5. sin x, cos x,
6. tg x, cotg x (všude, kde jsou definovány),
7. ax, (a > 0).
Funkce arcsin x, arccos x jsou spojité na [−1, 1], funkce arctg x,
arccotg x spojité na R.
Funkce loga x, a > 0, a ̸= 1, je spojitá na (0, +∞).
Funkce xs, s ∈ R, je spojitá na svém definičním oboru.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 4 / 7
Spojitost funkce na intervalu
Definice
Buď f funkce, I ⊆ D(f) interval. Řekneme, že f je spojitá na intervalu
I, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I a patří-li levý
(pravý) koncový bod do I, je v něm spojitá zprava (zleva).
Píšeme f ∈ C(I) a je-li I = [a, b], také f ∈ C[a, b].
Věta
Nechť f je ryze monotonní a spojitá funkce na intervalu I ⊆ D(f). Pak
inverzní funkce f−1 je spojitá a ryze monotonní na intervalu J = f(I).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 5 / 7
Vlastnosti spojitých funkcí
Věta (Weierstrassova věta)
Nechť f ∈ C[a, b]. Pak je f na tomto intervalu ohraničená a nabývá
v něm své největší i nejmenší hodnoty.
Věta (Bolzanova věta)
Nechť f ∈ C[a, b]. Pak f nabývá na tomto intervalu všech hodnot mezi
svou největší a nejmenší hodnotou.
Důsledek
Nechť f ∈ C[a, b] a f(a)f(b) < 0. Pak existuje bod ξ ∈ (a, b) takový, že
f(ξ) = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 6 / 7
Body nespojitosti
Nechť je f definovaná v okolí x0 a neplatí lim
x→x0
f(x) = f(x0). Pak
mohou nastat následující situace:
1. Existuje vlastní limita lim
x→x0
f(x) = a, a ̸= f(x0). Bod x0 pak
nazveme bodem odstranitelné nespojitosti funkce f.
2. Neexistuje vlastní limita lim
x→x0
f(x)
a) Existují obě limity lim
x→x+
0
f(x) = a1 a lim
x→x−
0
f(x) = a2, a1 ̸= a2. Pak
bod x0 nazýváme bodem nespojitosti prvního druhu funkce f.
b) Alespoň jedna z jednostranných limit funkce f v bodě x0 neexistuje
nebo je nevlastní. Pak bod x0 nazýváme bodem nespojitosti druhého
druhu funkce f.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 7 / 7