Matematická analýza 1
Věty o střední hodnotě a L’Hospitalovo pravidlo
Petr Liška
Masarykova univerzita
25.10.2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2023 1 / 4
Lemma
Nechť f′(x0) > 0. Pak funkce f je rostoucí v bodě x0. Je-li f′(x0) < 0,
pak funkce f je klesající v bodě x0.
Věta (Rolleova)
Nechť funkce f ∈ C[a, b] má v každém bodě intervalu (a, b) vlastní nebo
nevlastní derivaci a nechť f(a) = f(b). Pak existuje c ∈ (a, b) tak, že
f′(c) = 0.
Věta (Cauchyova)
Nechť f, g ∈ C[a, b] a nechť v každém bodě x ∈ (a, b) existují vlastní
derivace f′(x), g′(x). Pak existuje c ∈ (a, b) tak, že platí
[f(b) − f(a)] g′
(c) = [g(b) − g(a)] f′
(c) .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2023 2 / 4
Věta (Lagrange)
Nechť f ∈ C[a, b] a nechť v každém bodě x ∈ (a, b) existuje vlastní nebo
nevlastní derivace f′(x). Pak existuje c ∈ (a, b), pro které platí
f′
(c) =
f(b) − f(a)
b − a
.
Důsledek
Nechť funkce f a g mají vlastní derivace v každém bodě otevřeného intervalu
I. Jestliže pro všechna x ∈ I platí f′(x) = g′(x), pak se funkce
f, g liší o konstantu, tj. existuje c ∈ R takové, že f(x) = g(x) + c.
Zejména jestliže f′(x) = 0 na I, je f na I konstantní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2023 3 / 4
L’Hospitalovo pravidlo
Věta
Buď x0 ∈ R⋆. Nechť je splněna jedna z podmínek
(i) lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0,
(ii) lim
x→x0
|g(x)| = +∞.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) lim
x→x0
f′(x)
g′(x) , pak existuje také
lim
x→x0
f(x)
g(x) a platí
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f′(x)
g′(x)
.
Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné limity.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2023 4 / 4