Matematická analýza 1
Derivace a extrémy funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
1.11.2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2023 1 / 7
Věta
Nechť má funkce f na otevřeném intervalu I vlastní derivaci. Pak platí:
1. Funkce f je neklesající na I právě tehdy, když f′(x) ≥ 0 na I.
2. Funkce f je rostoucí na I právě tehdy, když f′(x) ≥ 0 na I, přičemž
rovnost f′ = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I.
Analogická věta platí pro nerostoucí a klesající funkce na intervalu.
Důsledek
Nechť f má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I.
1. Je-li f′ > 0 pro každé x ∈ I, pak je f rostoucí na I.
2. Je-li f′ < 0 pro každé x ∈ I, pak je f klesající na I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2023 2 / 7
Definice
Řekneme, že funkce f má v bodě x0:
lokální maximum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0)
je f(x) ≤ f(x0),
lokální minimum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0)
je f(x) ≥ f(x0),
ostré lokální maximum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro každé
x ∈ O(x0) ∖ {x0} je f(x) < f(x0),
ostré lokální minimum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro každé
x ∈ O(x0) ∖ {x0} je f(x) > f(x0).
Věta (Fermatova)
Nechť má funkce f v bodě x0 lokální extrém a nechť existuje derivace
f′(x0). Pak f′(x0) = 0.
Bod x0 s vlastností f′(x0) = 0 se nazývá stacionární bod funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2023 3 / 7
Věta
Nechť je funkce f spojitá v bodě x0 a má vlastní derivaci v nějakém ryzím
okolí O(x0) \ {x0}. Jestliže pro všechna x ∈ O(x0), x < x0, je
f′(x) > 0 a pro všechna x ∈ O(x0), x > x0, je f′(x) < 0, pak má f
v bodě x0 ostré lokální maximum.
Obdobné tvrzení platí pro lokální minimum.
Věta
Nechť f′(x0) = 0, tj. x0 je stacionární bod.
a) Je-li f′′(x0) > 0, pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální mini-
mum.
b) Je-li f′′(x0) < 0, pak má f v bodě x0 ostré lokální maximum.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2023 4 / 7
Příklad
Určete lokální extrémy funkce
y =
x2
4 − x3
Příklad
Určete lokální extrémy funkce
y = ln2
x
Příklad
Ve městě s 10 000 obyvateli je počet N lidí, kteří mají v daném čase t
chřipku, roven
N(t) =
10000
1 + 9999e−t
,
kde t je čas měřený ve dnech a chřipka je rozšířena jedinou osobou,
která ji měla v čase t = 0. Určete, kdy je rychlost šíření nemoci nej-
větší.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2023 5 / 7
Definice
Buď funkce f definovaná na množině M. Jestliže x0 ∈ M a platí
f(x) ≤ f(x0)
pro všechna x ∈ M, říkáme, že funkce f má na M absolutní maximum
v bodě x0. Podobně definujeme absolutní minimum.
Postup pro nalezení absolutních extrémů:
1. Najdeme v daném intervalu stacionární body a body, v nichž
neexistuje první derivace.
2. Vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech.
3. Vypočteme funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (pokud
patří do D(f)).
4. Ze všech takto získaných funkčních hodnot vybereme největší a
nejmenší. To bude absolutní maximum a minimum.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2023 6 / 7
Příklad
Najděte absolutní extrémy funkce:
f(x) = x − x2
, x ∈ [0, 1]
f(x) = x2
ln x, x ∈ [1, e]
Příklad
Farma může prodat 20 beden úrody týdně při ceně 400 Kč. Majitel
odhaduje, že při snížení ceny o 10 Kč prodá o dvě bedny více. Výrobní
náklady jsou 200 Kč na jednu bednu. Jaká je optimální cena bedny
úrody pro maximalizaci zisku a jak velký tento zisk bude?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2023 7 / 7