2. cvičení (29. 9. a 5. 10. 2023)
Kubické rovnice
1. Řešte v C rovnice
(a) x3 − 2x2 + 9x − 18 = 0
(b) x3 − x2 − 4x + 24 = 0
(c) 4x3 + 32x2 + 55x − 36 = 0
Kvadratické rovnice dvou neznámých
2. Řešte v C2 rovnici
(a) x2 + 10xy + 9y2 = 0
(b) 6a2 + 7ab − 3b2 = 0
(c) 5u2 − 18uv + 18v2 = 0
Determinanty
3. Vypočítejte determinanty
(a)
1 0 −1
2 3 −1
1 1 2
(b)
1 0 2 0
1 2 −1 1
1 0 2 3
0 −1 −1 2
(c)
2 1 1 −3
2 1 0 −4
−3 −3 3 2
5 −2 2 −4
(d)
3 2 1 6
2 1 1 −1
−2 3 1 3
4 −2 0 −4
Vlastní čísla, vlastní vektory
4. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matic
(a)
5 −1
2 2
(b)
−1 1
−10 5
(c)


8 −5 −5
11 −6 −7
−1 −1 0


(d)


0 0 1
2 4 2
−2 −5 −3


(e)


2 0 0
−3 −4 −3
3 6 5


(f)


6 7 3
−3 −2 −1
1 3 4


Řešení
Kubické rovnice
1. (a) x1 = 2, x2 = 3i, x3 = −3i
(b) x1 = −3, x2 = 2 + 2i, x3 = 2 − 2i
(c) x1 = −4, x2 = 1
2, x3 = −9
2
Kvadratické rovnice dvou neznámých
2. (a) K = {[−t; t] ; [−9t; t]}, t ∈ C
(b) K = {[t; 3t] ; [−3t; 2t]}, t ∈ C
(c) K = {[6t; (3 + i)t] ; [6t; (3 − i)t]}, t ∈ C
Determinanty
3. (a) 8
(b) 15
(c) −75
(d) 0
Vlastní čísla, vlastní vektory
4. (a) char. polynom λ2 − 7λ + 12
λ1 = 3, u1 = (1, 2)
λ2 = 4, u2 = (1, 1)
(b) char. polynom λ2 − 4λ + 5
λ1 = 2 + i, u1 = (1, 3 + i)
λ2 = 2 − i, u2 = (1, 3 − i)
(c) char. polynom λ3 − 2λ2 − 5λ + 6
λ1 = 3, u1 = (1, 2, −1)
λ2 = 1, u2 = (0, 1, −1)
λ3 = −2, u3 = (1, 1, 1)
(d) char. polynom λ3 − λ2 + 2
λ1 = −1, u1 = (1, 0, −1)
λ2 = 1 + i, u2 = (1, −1 − i, 1 + i)
λ3 = 1 − i, u3 = (1, −1 + i, 1 − i)
(e) char. polynom λ3 − 3λ2 + 4
λ1,2 = 2, u1 = (1, 0, −1), u1 = (0, 1, −2)
λ3 = −1, u3 = (0, 1, −1)
(f) char. polynom λ3 − 8λ2 + 25λ − 26
λ1 = 2, u1 = (1, −1, 1)
λ2 = 3 + 2i, u2 = (5, −3 + i, 2 + i)
λ3 = 3 − 2i, u3 = (5, −3 − i, 2 − i)