6. cvičení (27. 10. a 2. 11. 2023)
Kuželosečky v projektivní rovině
Pojmy:
• kuželosečka;
• regulární a singulární kuželosečky;
• polární sdruženost bodů vzhledem ke kuželosečce;
• singulární bod kuželosečky, regulární bod kuželosečky;
• polára bodu, pól přímky;
• tečna v regulárním bodu kuželosečky.
Úlohy:
1. Určete společné body kuželosečky k a přímky p. Je kuželosečka k regulární?
(a) k1 : x2
1 + x2
2 − 4x2
3 − 2x1x2 + 3x1x3 + 3x2x3 = 0
p1 : x1 + 2x2 − x3 = 0
(b) k2 : x2
1 − 3x2
2 − 3x2
3 + 2x1x2 − 2x1x3 + 6x2x3 = 0
p2 : x1 − x2 + x3 = 0
2. Určete vzájemnou polohu přímky AB a kuželosečky k.
k: x2
1 − 2x2
2 + x1x2 + 3x1x3 + 6x2x3 = 0
A = (2, −1, 3)
B = (0, 0, 1)
3. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body A = (0, 0, 1), B = (0, 3, 1), C = (6, 0, 1), D = (2, 2, 1)
a E = (−2, 1, 1).
4. Určete poláru bodu A = (−3, −1, 1) vzhledem ke kuželosečce k: 3x2
1+2x2
2+2x2
3+6x1x2+2x1x3+2x2x3 = 0.
5. Určete pól přímky p : 2x1 + 3x2 + x3 = 0 vzhledem ke kuželosečce k: 3x2
1 + 2x2
2 + 2x2
3 + 6x1x2 + 2x1x3 +
+ 2x2x3 = 0.
6. Určete tečny ke kuželosečce k: 3x2
1 + 5x2
2 + x2
3 + 7x1x2 + 4x1x3 + 5x2x3 = 0, které prochází bodem
M = (0, 0, 1). Určete také body dotyku.
Řešení
Kuželosečky v projektivní rovině
1. (a) A = (1; 0; 1), B = (1; −1; −1), je regulární
(b) p2 ⊆ k2, je singulární
2. AB ⊆ k
3. k: x2
1 + 4x2
2 + 4x1x2 − 6x1x3 − 12x2x3 = 0
4. pA : 11x1 + 10x2 + 2x3 = 0
5. P = (8, −5, 1)
6. t1 : 2x1 + 5x2 = 0, T1 = (5, −2, −5)
t2 : 2x1 + x2 = 0, T2 = (1, −2, 3)