7. cvičení (3. a 9. 11. 2023)
Projektivní klasifikace kuželoseček
Pojmy:
• transformace projektivních homogenních souřadnic;
• projektivní typy kuželoseček.
Úlohy:
1. Na přímce p: 2x1 + x2 − 8x3 = 0 nalezněte bod polárně sdružený s bodem A = (3, 3, −1) vzhledem ke
kuželosečce k: 2x2
1 + 3x2
2 − 5x2
3 + 2x1x2 − 2x1x3 − 4x2x3 = 0.
2. Určete rovnici kuželosečky, která prochází body A = (2, −3, −1), B = (0, 1, 1) a C = (4, 0, 1) a dotýká se
přímky t: 6x1 + 17x2 + 11x3 = 0 v bodě T = (1, −1, 1).
3. Pomocí transformace projektivních homogenních souřadnic určete normální rovnice a projektivní typ
kuželoseček. Určete transformační rovnice, které převádějí rovnici kuželosečky do normálního tvaru.
(a) k1 : 4x2
1 + x2
2 + x2
3 − 4x1x2 + 4x1x3 − 2x2x3 = 0
(b) k2 : 3x2
1 + 3x2
2 + x2
3 − 2x1x2 + 2x1x3 − 4x2x3 = 0
(c) k3 : x2
1 + 2x2
2 + 4x2
3 + 2x1x2 + 4x2x3 = 0
(d) k4 : 5x2
1 + 2x2
2 + 6x2
3 + 2x1x2 − 6x1x3 + 2x2x3 = 0
(e) k5 : 3x2
3 − 4x1x2 − 6x1x3 + 2x2x3 = 0
Řešení
Kuželosečky v projektivní rovině
1. P = (−6; 4; −1)
2. k: 2x2
1 − 14x2
2 + 12x2
3 − 13x1x2 − 11x1x3 + 2x2x3 = 0
3. (a) k1 : y2
1 = 0, dvojnásobná přímka
(b) k2 : y2
1 + y2
2 − y2
3 = 0, reálná regulární kuželosečka
(c) k3 : y2
1 + y2
2 = 0, dvojice komplexně sdružených přímek
(d) k4 : y2
1 + y2
2 + y2
3 = 0, imaginární regulární kuželosečka
(e) k5 : y2
1 − y2
2 = 0, dvojice reálných přímek