10. cvičení (30. 11. a 1. 12. 2023)
Kvadriky v projektivním a afinním prostoru
Pojmy:
• kvadrika;
• regulární a singulární kvadriky;
• singulární body kvadriky;
• polární rovina kvadriky, pól roviny;
• střed kvadriky, průměrová rovina kvadriky;
• asymptotická kuželová plocha kvadriky.
Úlohy:
1. Určete množinu singulárních bodů kvadriky:
(a) K1 : x2
1 − 2x2
2 − 5x2
4 − 4x1x2 − 8x1x3 + 6x2x4 = 0
(b) K2 : x2
1 + 3x2
2 + 8x2
3 + 6x2
4 + 2x1x2 + 8x2x3 − 4x1x4 + 8x3x4 = 0
2. Určete polární rovinu bodu P = (1, 2, 0, 1) vzhledem ke kvadrice K : x2
1 +3x2
2 −x2
3 +x2
4 +2x1x2 −4x1x4 +
+ 2x3x4 = 0.
3. Určete středy kvadrik:
(a) K1 : 3x2 + 2y2 − 2xz + 4yz − 4x − 8z − 8 = 0
(b) K2 : 5x2 + 9y2 + 9z2 − 12xy − 6xz + 18y − 36z = 0
(c) K3 : x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy − 12x + 6y − 9 = 0
(d) K4 : 4x2 + y2 + 9z2 − 4xy + 12xz − 6yz + 8x − 4y + 12z − 5 = 0
4. Je dána kvadrika K : 2x2 − 3y2 − z2 + 4xy + 6xz − 8yz + 2x − 8y − 11z − 2 = 0.
(a) Určete obecnou rovnici průměrové roviny sdružené se směrem u = (1, −3, 2).
(b) Určete obecnou rovnici průměrové roviny obsahující přímku p: X = [3, 0, −1] + t · (2, 5, 3), t ∈ R.
5. Ukažte, že přímka p: X = [4, −2, 0] + t(6, 3, 2) má vzhledem ke kvadrice K : x2 − 4xy + 6yz + 2x − 5 = 0
asymptotický směr, tzn. protíná kvadriku v nevlastním bodě.
6. Určete asymptotickou kuželovou plochu kvadriky K : x2 + y2 + z2 + 2xy + 6xz − 2yz + 2x − 6y − 2z = 0.
Řešení
Kvadriky – pomocné úlohy
1. (a) nemá singulární body;
(b) přímka singulárních bodů XY , kde X = (−3, 1, 0, −1) a Y = (4, 0, −1, 2).
2. polární rovina π: x1 + 7x2 + x3 − x4 = 0
3. (a) střed S[0, 2, −2];
(b) přímka středů s: X = [−6, −5, 0] + t(3, 2, 1), t ∈ R;
(c) nevlastní střed s = (2, −1, 0);
(d) rovina středů σ: 2x − y + 3z + 2 = 0.
4. (a) rovina ϱ: 2x + 3y + 13z + 2 = 0;
(b) rovina ϱ: 16x − 19y + 21z − 27 = 0.
6. K′ : x2 + y2 + z2 + 2xy + 6xz − 2yz + 2x − 6y − 2z + 1 = 0